d đề vào 10 chuyên ĐHSP hà nội 22 23

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm :150 phút Bài (2,0 điểm) a) Không sử dụng máy tính, tìm giá trị biểu thức P = 7+5 + 7−5 b) Cho đa thức P ( x ) = ax + bx + c với a≠0 Chứng minh rằng, đa thức x nhận giá trị nguyên với số nguyên ngun Sau đó, chứng tỏ rằng, ba số P ( x) a , a + b, c nhận giá trị nguyên với số nguyên ABC Bài (3,0 điểm) Cho tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn (O) điểm thứ hai a) 2a, a + b, c Chứng minh tia EO OBC cắt đường tròn ABOF Chứng minh tứ giác c) Gọi D giao điểm thứ hai đường thẳng Bài (2,0 điểm) Cho minh số N =a 2022 a, b, c, d +b 2022 +c số nguyên x OB ( O) điểm E Tia BE cắt F b) minh ba điểm số ngoại tiếp đường trịn (O) Cung nhỏ tia phân giác góc A, F , D P ( x) CEF nội tiếp CE đường tròn (O) Chứng thẳng hàng số nguyên dương thỏa mãn 2022 +d ab = cd Chứng 2022 hợp số 0,1, 2, ,9 Bài (2,0 điểm) Ta viết mười số vào mười ô trịn hình bên dưới, số viết lần Sau đó, ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận tổng Có hai không cách viết 10 số cho tổng nhận Bài (1,0 điểm) a) Trong mặt phẳng cho năm điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm cho b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn 2018 tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ 2022 điểm cho ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) Không sử dụng máy tính, tìm giá trị biểu thức c) P = 7+5 + 7−5 P = 7+5 + −5 = Ta có Cho đa thức d) P ( x) (1+ ) P ( x ) = ax + bx + c ( + 1− với a≠0 ) = 1+ +1− = Chứng minh rằng, đa thức x nhận giá trị nguyên với số nguyên số nguyên Sau đó, chứng tỏ rằng, ba số ngun P ( x) a , a + b, c a , a + b, c những số nhận giá trị nguyên với số nguyên x x Giả sử P(x) nhận giá trị nguyên với số nguyên Khi đó, ta có : P ( −1) , P ( ) , P ( 1) ta có : Vậy số nguyên Suy a + b = ( a + b + c) − c 2a, a + b số nguyên a − b + c, c, a + b + c 2a = ( a + b + c ) + ( a − b − c ) c số nguyên Bây giờ, giả sử a , a + b, c số nguyên Từ số nguyên Khi đó, ta có : số nguyên P ( x ) = a ( x − x ) + ( a + b ) x + c = 2a x ( x − 1) + ( a + b) x + c Luôn nhận giá trị nguyên với số nguyên x, x ( x − 1) số nguyên với x nguyên Bài (3,0 điểm) Cho tam giác OB BE ABC đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn (O) điểm thứ hai ngoại tiếp đường tròn (O) Cung nhỏ OBC F cắt đường tròn ( O) điểm E Tia d) Chứng minh tia EO tia phân giác góc Do đường trịn (O) nội tiếp tam giác AO, BO, CO Do tứ giác Suy ABC nên đường phân giác tam giác OEBC nội tiếp nên ∠OEF = ∠OEC CEF ∠BAC = ∠CBA = ∠ACB = 60° ABC ∠OEF = ∠OCB = 30° nên EO tia phân giác ∠OEC = ∠OBC = 30o ∠CEF e) Chứng minh tứ giác Vì tam giác OEF f) nội tiếp ∠OFE = ∠OEF = 30° cân O nên ∠BAO = ∠BFO = 30° Do ABOF ABOF nên tứ giác nội tiếp Gọi D giao điểm thứ hai đường thẳng Chứng minh ba điểm Hai tam giác Suy OED, OEF ED = EF có A, F , D OE = OF = OD Từ đó, tam giác DEF ∠OEF = ∠OED cân E Mà ABOF ∠AFB + ∠BFD = ∠AOB + ∠EFD = 120° + 60° = 180° A, F , D minh số a , b, c , d 2022 +b 2022 Từ giả thiết , ta có Do a 2022 x y = mx, c nên chúng ∠DEF = 60° nội tiếp, ta có : 2022 số nguyên dương thỏa mãn +c 2022 +d = my, d Chứng hợp số 2022 a d x = 2022 = 2022 c b y 2022 ab = cd 2022 với x, y số nguyên dương nguyên tố phân số tối giản nên tồn số nguyên dương 2022 nên tam giác thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho N =a đường tròn (O) thẳng hàng tam giác Bây giờ, với ý tứ giác Vậy ba điểm CE = nx, b 2022 = ny N = mx + ny + my + nx = ( m + n ) ( x + y ) m, n cho Từ đó, ta có : hợp số, m + n; x + y số nguyên dương lớn 0,1, 2, ,9 Bài (2,0 điểm) Ta viết mười số vào mười trịn hình bên dưới, số viết lần Sau đó, ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận tổng Có hai không cách viết 10 số cho tổng nhận Giả sử tồn cách điền số thỏa mãn yêu cầu đề Gọi số điền a1 , a2 , , a10 hình vẽ Khi : S = ( a1 + a5 + a2 ) + ( a2 + a7 + a3 ) + ( a3 + a6 + a1 ) + ( a3 + a10 + a4 ) + ( a4 + a9 + a2 ) + ( a4 + a8 + a1 ) = ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 ) = ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + ( + + + + + + + + + ) = ( a1 + a2 + a3 + a4 ) + 45 Suy 45 số chẵn, mâu thuẫn Vậy không tồn cách điền số thỏa mãn Bài (1,0 điểm) a) Trong mặt phẳng cho năm điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm cho A1 , A2 , A3 , A4 , A5 Xét năm điểm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Có thể thấy bao lồi C năm điểm phải ngũ giác lồi tứ giác lồi tam giác *Trường hợp 1: Bao lồi C năm điểm ngũ giác lồi Khơng tính tổng qt, giả sử ngũ giác A1 A2 A3 A4 A5 Khi đó, ta có : ∠A1 A2 A3 + ∠A2 A3 A4 + ∠A3 A4 A5 + ∠A4 A5 A1 + ∠A5 A1 A2 = 540° Suy , góc ∠A1 A2 A3 , ∠A2 A3 A4 , ∠A3 A4 A5 , ∠A4 A5 A1 , ∠A5 A1 A2 phải có góc lớn 90° , từ suy điều cần chứng minh *Trường hợp 2: Bao lồi C năm điểm tứ giác lồi Khơng tính tính tổng qt, giả sử tứ giác giác A2 A3 A4 A5 Ta có : góc 90° Khi , điểm A1 phải nằm tứ ∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 + ∠A4 A1 A5 + ∠A5 A1 A2 = 360° ∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2 Nếu góc có số đo phải A2 , A1 , A4 A2 A3 A4 A5 90° 90° góc Suy Do , góc lớn phải có số đo không nhỏ ∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2 ∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 = 180° , tức ba điểm thẳng hàng, mâu thuẫn Như vậy, góc lớn góc ∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A5 , ∠A5 A1 A2 phải góc tù Ta có điều phải chứng minh *Trường hợp 3: Bao lồi C năm điểm tam giác Khơng tính tổng qt, giả sử tam giác giác này, Suy A2 A3 A4 Khi hai điểm ∠A2 A1 A3 + ∠A3 A1 A4 + ∠A4 A1 A2 = 360° A1 A5 phải nằm tam Từ , góc lớn ba 360° = 120° > 90° ∠A2 A1 A3 , ∠A3 A1 A4 , ∠A4 A1 A2 góc phải có số đo khơng nhỏ Ta có điều phải chứng minh b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn 2018 tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ 2022 điểm cho n+4 Ta chứng minh mệnh đề tổng quát quy nạp theo n: Với điểm mặt phẳng cho trước , cho khơng có ba điểm thẳng hàng, tồn n tam giác tù mà tam giác tù có đỉnh lấy từ Theo kết câu a) mệnh đề với n = n+4 Giả sử mệnh đề với nguyên dương, ta chứng minh mệnh đề với A1 , A2 , Ak +5 năm điểm điểm cho n = k + 1/ Xét Ak +1 , Ak + , Ak +3 , Ak + , Ak +5 tù.Bỏ qua điểm k +5 điểm theo câu a) ta tìm tam giác tù có đỉnh Ak +5 xét k +4 điểm A1 , A2 , Ak + k Như vậy, từ k +5 điểm A1 , A2 , , Ak + , ta tìm k +1 k +4 k+4 điểm tam giác tù có đỉnh điểm xét Khẳng định với n Ak +3 Ak + Ak +5 Theo giả thiết quy nạp, từ điểm xét, ta tìm tam giác tù có đỉnh lấy từ k +5 với k mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng Khi đó, với lấy từ năm điểm này.Khơng tính tổng qt, giả sử tam giác lấy từ n=k nạp, ta có khẳng định với nguyên dương n = k + Theo nguyên lý quy ... năm điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác tù có đỉnh lấy từ năm điểm cho b) Trong mặt phẳng cho 2022 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn 2018 tam giác tù... nguyên tố phân số tối giản nên tồn số nguyên dương 2022 nên tam giác thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho N =a đường tròn (O) thẳng hàng tam giác Bây giờ, với ý tứ giác Vậy ba điểm CE = nx, b 2022 = ny N... 0,1, 2, ,9 Bài (2,0 điểm) Ta viết mười số vào mười trịn hình bên dưới, số viết lần Sau đó, ta tính tổng ba số đoạn thẳng để nhận tổng Có hai khơng cách viết 10 số cho tổng nhận Giả sử tồn cách điền