Từ xa xưa khi biết đến toán học con người đã có thể tính toán được rất nhiều thứ từ diện tích các thửa ruộng với đủ các hình dạng khác nhau hay năng suất làm việc của [r]
(1)S
SỬ
Ử D
D
ỤN
Ụ
NG
G S
SU
U
Y L
Y
LU
UẬ
Ậ
N L
N
LO
OG
GI
IC
C
ĐỂ
Đ
Ể G
GI
IẢ
ẢI
I Q
Q
UY
U
YẾ
ẾT
T V
VẤ
Ấ
N Đ
N
Đ
Ề
Ề
Võ Văn Toàn , Nguyễn Nhật Thăng
Về các bài tốn suy luận logic, tùy theo mức độ cách đặt vấn đề dữ kiện đã cho của câu hỏi ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải quyết
· LẬP BẢNG DỮ LIỆU
· LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG · GIẢN ĐỒ VEN
· SUY LUẬN LOGIC
1 LẬP BẢNG DỮ LIỆU
Để tìm ra 1 phương pháp nào đó mà có thể khiến các dữ kiện có thể kết hợp lại với nhau. Một bảng dữ liệu là điều cần thiết lúc bấy giờ. Ta sẽ thiết lập 1 bảng dữ liệu gồm các hàng và các cột. Các cột ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ nhất, cịn các hàng ta liệt kê các đối tượng thuộc nhóm thứ hai. Dựa vào điều kiện trong đề bài ta loại bỏ dần các ơ (là giao của mỗi hàng và mỗi cột). Những ơ cịn lại (khơng bị loại bỏ) là kết quả của bài tốn.
Để hiểu rõ hơn về phương pháp này ta cùng tìm hiểu các ví dụ sau: Ví dụ 1:
Có 4 người làm cơng A,B,C,D cùng phối hợp làm một cơng việc. sau khi làm xong họ được nhận một số tiền thưởng. Họ cùng bàn bạc chia nhau số tiền thưởng đó với tỉ lệ là: : 1/10,2/10,3/10,4/10. Biết mỗi người đều nhận một phần và:
a) A khơng nhận 1/10,2/10. b) B khơng nhận 3/10,1/10.
c) Nếu A khơng nhận 3/10, thì D khơng nhận 1/10. d) C khơng nhận 2/10,1/10.
e) D khơng nhận 2/10,3/10.
Theo bạn thì mỗi người A,B,C,D nhận bao nhiu phần tiền?
Giải:
Trước hết ta viết lại các mệnh đề:
a) Nếu A khơng nhận 1/10,2/10 thì A có thể sẽ nhận 3/10 hoặc 4/10. b) Nếu B khơng nhận 3/10,1/10 thì B có thể sẽ nhận 2/10 hoặc 4/10. c) Nếu A khơng nhận 3/10, thì D khơng nhận 1/10.
d) Nếu C khơng nhận 2/10,1/10 thìC có thể sẽ nhận 3/10 hoặc 4/10. e) NếuD khơng nhận 2/10,3/10 thì D có thể sẽ nhận 1/10 hoặc 4/10.
(2)người và 4 dữ kiện lựa chọn) và dữ kiện © là dữ kiện then chốt để lựa chọn các dữ kiện đúng.
Nhận xét: Ta thấy trong cả 4 mệnh đề đều có dự đốn về tên cướp nhận được 4/10 số tiền nên ta xẽ xét tên nào là người nhận 4/10 số tiền trước.
+Ta giả sử A sẽ là người nhận 4/10 số tiền => A sẽ khơng nhận 3/10 ( loại ơ (4;1)). +Theo mệnh đề (c) thì D cũng sẽ không nhận 1/10.
+Theo mệnh đề (e), D khơng nhận 1/10 nên D nhận 4/10 (Mâu thuẫn vì ta đã giả sử A nhận 4/10) +Vậy A nhận 3/10, D nhận 1/10. +A nhận 3/10 nên C sẽ khơng nhận 3/10. +Theo mệnh đề (d), C khơng nhận 3/10 nên C nhận 4/10. +Cịn lại B nhận 2/10 Vậy : A nhận 3/10, B nhận 2/10, C nhận 4/10 cịn D nhận 1/10. Ví dụ 2: Sau 1 vụ cướp. Cảnh sát đã tóm được 3 nghi can A,B,C. Sau khi thẩm vấn, cảnh sát biết được 1 trong 3 tên A,B,C là kẻ cướp. Bọn chúng khai như sau: a) A khẳng định: hắn khơng làm, chính C làm. b) B khai: C khơng có tội, chính A làm. c) C khai: tơi khơng có tội, B cũng khơng có tội. Biết trong ba người họ có một người 2 lần nói thật, một người 1 lần nói thật một lần nói dối và một người hai lần nói dối. Bạn hãy giúp cảnh sát tìm ra chủ mưu nhé! Giải: Hồn tồn như các suy luận ở ví dụ 1 thì ta có được bảng sau: Khơng như ở bài tốn trước các dữ kiện của đề bài đưa ra là hồn tồn đúng, các dữ kiện của bài này có dữ kiện thì đúng hồn tồn, dữ kiện thì đúng một nửa, dữ kiện thì sai hồn tồn. Có vẻ như bài tốn đã trở nên rối rắm vì sự đúng sai của các mệnh đề. Nhưng khơng sao cả! Vẫn dùng các phép suy luận bình thường như ở ví dụ một, ta vẫn có thể giải được bài tốn này một cách khá dễ dàng:
+Giả sử C là người 2 lần nói thật.
+Theo mệnh đề (c) thì B,C khơng có tội => A là kẻ cướp. Thế thì B là người thứ 2 có 2 lần nói thật (vơ lí)
+Vậy C khơng phải người 2 lần nói thật
+Giả sử B là người 2 lần nói thật thì A là kẻ cướp => B,C vơ tội. Thế thì C là người thứ 2 có 2 lần nói thật ( vơ lí )
+Vậy B cũng khơng phải người 2 lần nói thật => A là người 2 lần nói thật. 1/10 2/10 3/10 4/10
(a) A A
(b) B B
(d) C C
(e) D D
Chủ mưu
Khơng có tội (a) C A (b) A C
(3)+Vậy C là kẻ chủ mưu.
Như vậy, việc lập bảng để hệ thống hố các dữ kiện là điều vơ cùng cần thiết để giải một bài tốn suy luận logic. Vậy nếu chúng ta đi theo một hướng khác, dung chính bảng dữ liệu để giải bài tốn thì sẽ như thế nào? Ta cùng xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa :Văn, Tốn, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Được biết cuốn bọc bìa màu dỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì?
Ta kí hiệu các ơ trong bảng từ 1 tới 9.
Theo đề bài thì cuốn bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí. Vậy cuốn Văn và Địa lí đều khơng được bao bìa màu đỏ. Ta ghi số o và các ơ 4 và 6 để loại các ơ này, đánh dấu x vào ơ 5 để biểu thị là sách Tốn được bao bìa màu đỏ.
Mặt khác, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh được mua cùng ngày. Điều này có nghĩa rằng cuốn địa lí khơng bao bìa màu xanh. Ta ghi dấu o vào ơ số 3. Nhìn vào cột 2 và ơ 9 ta thấy cuốn văn khơng bọc màu đỏ, cũng khơng bọc màu vàng. Vậy cuốn Văn bọc màu xanh. Ta đánh dấu x vào ơ số 1. Vậy: Cuốn Văn bao bìa màu xanh, cuốn Tốn bao bìa màu đỏ, cuốn địa lí bao bìa màu vàng. * Nhận xét: Bài tốn trên là một bài tốn rất đơn giản, có thẻ giải bằng những suy luận thơng thường khơng cần đến bảng số liệu để giải.Nhưng bài tốn này lại là ví dụ điển hình nhất, làm cơ sở cho các suy luận của hàng loạt các bài tốn phức tạp hơn rất nhiều. Chúng tơi xin đề cử một số bài tập sau để bạn đọc có thể làm quen cũng như có thể hiểu rõ phương pháp này.
Các bạn tiếp tục tự làm thêm các bài sau:
Bài tập 1/ Trong một bảng đấu loại bóng đá có 4 đội A, B, C, D. Người ta đưa ra 3 dự đốn : a/ Đội A nhì, đội B nhất. b/ Đội B nhì, đội D ba. c/ Đội C nhì, đội D tư. Kết quả dự đốn đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội Bài tập 2/ Trong một cuộc đua xe đạp, 4 VĐV An, Bình, Cường, Dũng đã đạt bốn giải đầu tiên. Trong các câu sau đây, mỗi câu chỉ đúng về một VĐV: a) Bình giải nhất, Dũng giải nhì. (4)b) Bình giải nhì, Cường giải ba. c) An giải nhì, Cường giải tư. Hãy xác định giải của từng VĐV.
Bài tập 3/ Ba bạn Khánh, Lương, Minh tham gia các mơn thể thao : chạy, bơi, bóng bàn, bóng đá, đá cầu và đua xe đạp, mỗi bạn tham gia hai mơn. Biết rằng:
a/ Bạn tham gia chạy và bạn chơi đá cầu nhà ở cạnh nhau. b/ Trong ba bạn thì Khánh ít tuổi nhất.
c/ Bạn Lương, bạn chơi bóng bàn và bạn chơi đá cầu thường rủ nhau đi học. d/ Bạn chơi bóng bàn nhiều tuổi hơn bọn chơi bóng đá.
e/ Bạn tham gia bơi, bạn chơi bóng đá và bạn Khánh thường cùng đi xem phim với nhau.
Hãy xét xem mỗi bạn tham gia hai mơn thể thao nào?
Bài tập 4/ Ba vận động viên Mai, Lan, Nga tham gia thi đấu thể thao, đó là 3 cơ gái ở Hà Nội, Huế, Thành phố Hồ Chí Minh. Một cơ thi chạy, một cơ thi nhảy xa, một cơ thi bơi. Biết rằng:
a/ Nga khơng thi chạy b/ Mai khơng thi bơi c/ Cơ ở Hà Nội thi bơi d/ Cơ ở Huế khơng thi chạy
e/ Mai khơng ở Thành phố Hồ Chí Minh Hỏi mỗi cơ ở đâu, thi đấu mơn nào?
Bài tập 5/. Ba bạn tên Đỏ, Xanh, Vàng mặc áo màu đỏ, xanh, vàng đến một buổi dạ hội. Bạn mặc áo màu xanh nói với bạn tên Vàng: "Cả ba chúng ta đều khơng mặc màu áo đúng với tên của mình". Hỏi màu áo của mỗi bạn đang mặc?
(5)ngài? Đó là thần Dối trá. Nghe xong, nhà hiền triết đã xác định được các vị thần. Hỏi nhà hiền triết đã suy luận như thế nào?
2 . LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG
Bài tốn mà các dữ kiện của đề bài, đươc chia thành nhiều trường hợp khác nhau, nhiệm vụ của ta là tìm ra trường hợp đúng để giải được bài tốn. Ta hãy cùng xét các ví dụ sau:
Ví Dụ 1 :
Tổ Tốn của 1 trường THPT có năm người: thầy Hùng, thầy Qn, cơ Hạnh và cơ Cúc, kì nghỉ hè cả tổ được 2 phiếu đi nghỉ mát. Mọi người đều nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị mội người đề xuất 1 ki ến. Kết quả như sau:
1. Thầy Hùng và thầy Quân đi. 2. Thầy Hùng và Cô Vân đi. 3. Thầy Quân và cô Hạnh đi. 4. Cô Cúc và Cô Hạnh đi.
5. Thầy Hùng Và Cô Hạnh đi.
Cuối cùng Thầy hiệu trưởng đã quyết định chọn đề nghị của cơ Cúc, vì theo đề nghị đó thì mội đề nghị đều thoả mãn 1 phần và bác bỏ 1 phần.
Hãy cho biết ai được đi nghỉ mát trong kì nghỉ hè đó?
Phân tích: Để chọn được đề nghị thoả mãn yêu cầu đề bài ta lần lượt xét đề nghị của từng người. Sẽ có 2 khả năng xảy ra:
Có 1 trong 4 đề nghị bị bác bỏ hồn tồn. Trường hợp này ta loại bỏ đề nghị đó. Khơng có đề nghị nào trong 4 đề nghị bị bác bỏ hồn tồn. Trường hợp này ta chọn đề nghị đó.
Giải:
Nếu chọn đề nghị thứ nhất ( thầy Hùng và thầy Qn đi) thì đề nghị thứ 4( Cơ Cúc và Cơ Hạnh đi) bị bác bỏ hồn tồn. Vì vậy ta khơng thể chọn đề nghị thứ nhất và thứ 4( đề bài nói đề nghị dc chọn làm các đề nghị khác đúng một nửa và sai một nửa). Tương tự như vậy với đề nghị thứ hai và thứ ba. Ta cũng khơng thể chọn đề nghị thứ hai và ba.
Nếu chọn đề nghị thứ năm thì mỗi đề nghị trong 4 đề nghị cịn lại đều thoả mãn một phần và bác bỏ một phần
(6)Nhận xét: Vấn đề mấu chốt để giải bài toán là giả thuyết một yêu cầu thoả mãn các u cầu cịn lại nửa đúng nửa sai, và chúng ta cần tìm ra tình huống thoả mãn đó. Vậy với các tình huống mà có nhiều sự lựa chọn hơn thì sao? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu ở ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Sau giờ tập luyện buổi sáng đội tuyển thể thao rủ nhau vào qn ăn trưa. Thực đơn của qn có 8 món: gà luộc, nem rán, chim quay, đậu rán, bị xào, cá rán, ốc xào măng và canh chua. Tồn đội thống nhât sẽ gọi 3 món trong thực đơn cho bữa ăn. Nguyện vọng của các cầu thủ chia ra thành 5 nhóm nhau sau:
Gà luộc, nem rán và chim quay. Đậu rán, bị xào và cá rán. Bị xào, cá rán và ốc xào măng.
Nem rán, ốc xào măng và canh chua. Gà luộc, bị xào và canh chua.
Cuối cùng, đội đã gọi đồ ăn theo thực đơn của đội trưởng đã chọn, vì theo thực đơn đó mỗi nhóm đều có ít nhất một món mà mình ưa thích.
Hỏi tốn đọi hơm đó ăn những gì? Giải:
Đây là 1 bài tốn phức tạp hơn bài tốn ở ví dụ trước, vì đây khơng phải là nửa đúng nửa sai (xác định rõ số nhận định đúng và sai trong 1 câu) mà là ít nhất 1 nhận định đúng. Nhưng cách giả ở bài tốn này vẫn tương tự như cách giải ở bài trước:
Nếu chọn thực đơn của nhóm 1 thì cả nhóm 2 và 3 đều khơng có món nào mình thích. Vậy khơng thể chọn thực đơn của nhóm 1.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 4 thì nhóm 2 khơng có món nào mình thích. Vậy khơng thể chọn thực đơn của nhóm 4
Tương tự như vậy với cách thực đơn của nhóm 2, 3.
Nếu chọn thực đơn của nhóm 5 thì mỗi nhóm trong 4 nhóm cịn lại đều có ít nhất 1 món mà mình ưa thích.
Vậy: hơm đó đội đã ăn 3 món gà luộc, bị xào và canh chua.
Ví dụ 3:
Năm bạn Anh, Bình, Cúc, Doan, An q ở năm tỉnh: Bắc Ninh, Hà Tây. Cần Thơ, Nghệ An, Tiền Giang. Khi được hỏi về q ở tỉnh nào các bạn trả lời như sau:
(7) Bình: Tơi cũng q ở Bắc Ninh, cịn Cúc q ở Tiền Giang. Cúc: Tơi qn ở Bắc Ninh, cịn Doan ở Hà Tây.
Doan: Tơi q ở Nghệ An, Cịn An ở Cần Thơ
Nếu khơng bạn nào trả lời sai hồn tồn thì qn mỗi người ở tỉnh nào? Giải:
Đây khơng cũng là một dạng bài như các ví dụ trước, chìa khố của bài tốn nằm ở câu “khơng bạn nào trả lời sai hồn tồn”. Vậy ta cần phải hiểu “khơng bạn nào trả lời sai hồn tồn” nghĩa là gì?
Mỗi câu trả lời đều nói về q qn của hai người. Nếu câu trả lời sai hồn tồn thì có nghĩa là q của 2 người đó đều khơng ở tỉnh đso. Vậy câu trả lời là một trong 2 người hoặc cả 2 người có q ở 2 tỉnh đó.
Chẳng hạn, câu trả lời của Anh khơng sai hồn tồn có nghĩa là: hoặc Anh q ở Bắc Ninh hoặc q Doan ở Nghệ An( mệnh đề tuyển có khơng sai khi ít nhất một trong 2 mệnh đề con đúng)
+ Để xác định q qn của mỗi bạn, ta cần lần lượt xét câu trả lời của mỗi người. Mỗi câu trả lời nói về q qn của 2 người. Ta lần lượt xét các trường hợp sau: + Q của người thứ nhất trong câu trả lời là đúng. Bằng suy luận ta xét các câu trả lời của bốn người cịn lại. Nếu suy khơng có câu nào sai hồn tồn thì ta xác định được q qn của người đó. Tiếp đó ta xác định q của 4 người cịn lại.Nếu có một câu trả lời( trong 4 câu cịn lại) bị sai hồn tồn thì q của người thứ nhất trong câu trả lời khơng đúng với tỉnh đó. Vậy q của người thứ 2 là đúng. Tiếp đó ta tìm q của 4 người cịn lại.
+ Q của người thứ nhất trong câu trả lời là sai. Vậy q của người thứ 2 trong câu trả lời là đúng. Vẫn làm như trường hợp thứ nhất ta sẽ xác định được q của 4 người cịn lại.
Giả sử Anh q ở Bắc Ninh thế thì q của Bình và Cúc đều khơng ở Bắc Ninh. Vậy theo Bình thì Cúc q ở Tiêng Giang và theo Cúc thì q Doan ở Hà Tây. Vậy theo An thì An q ở Cần Thơ. Cuối cùng cịn bình q ở Nghệ An( vì 4 bạn kia có q ở 4 tỉnh cịn lại).
Ví dụ 4:
AFF Cup 2012 có 4 đội vào vịng bán kết: Thái Lan, Singapore, Philipines, Malaysia. Trước khi thi đấu vịng bán kết và chung kết ba bạn Dũng, Quang, Tuấn dự đốn như sau:
Dũng: Singapore nhì,cịn Philipines ba. Quang: Thái Lan nhì, cịn Philippines tư Tuấn: Singapore nhất và Malaysia nhì
Mỗi bạn đều dự đốn đúng 1 đội và sai 1 đội. Hỏi mỗi đội đạt giải mấy?
(8) Nếu Singapore đạt giả nhì thì Singapore khơng đạt giải nhất. Vậy (theo Tuấn) thì Malaysia đạt giả nhì. Điều này vơ lí vì 2 đội cùng đạt giải nhì.
Nếu Singapore khơng đạt giả nhì thì theo Dũng, Philippines đạt giải ba. Như vậy Philippines không đạt giải tư. Theo Quang, Thái Lan đạt giải nhì. Thế thì Malaysia khơng đạt giải nhì. Vậy theo Tuấn, Singapore nhất, ci cùng cịn Malaysia đạt giải tư
Kết luận: thứ tự các đội là :
Nhất :Singapore ; Nhì: Thái Lan; Ba: Philippines ;Tư: Malaysia.
Như các ví dụ trên cho thấy, bài tốn giải theo phương pháp lựa chọn tình huống, chìa khố của vấn đề nằm ở dữ kiện có bao nhiêu mệnh đề đúng hoặc sai, ta nắm rõ điều đó, thì việc thành cơng trong việc giải sẽ nằm trong tầm tay.
Các bạn tiếp tục tự làm thêm các bài sau:
Bài tập 1/Cơ Phương đưa ba bạn Lan, Hồng, Phượng đi dự hội thi “Tiếng hát hoa phượng đỏ”. Về đến trường các bạn đến hỏi thăm, cơ trả lời: “ Mỗi bạn đều đạt một trong các giải nhất, nhì, ba hoặc đặc biệt”. Cơ đề nghị các bạn thư đốn xem.
Hà đốn ngay:
Theo em thì Phượng đạt giả nhất, Hồng giả nhì cịn Lan giải ba. Bích cho là:
Lan giả nhất, Phượng giải nhì cịn Hồng giả ba Ngọc đốn:
Hồng giải nhất, Lan giải nhì cịn Phượng giải ba.
Nghe xong, cơ lắc đầu nói khơng bạn nào đạt giả như các em dự đốn. Hãy cho biết mỗi bạn đã đạt giải gì?
Bài tập 2/Chiều thứ bảy Tùng nghe ba bạn Mạnh, CƯờng và Lân hẹn nhau sang chủ nhật đến nhà nhau chơi hoặc cùng nhau đi chơi công viên. Lúc 9h sang chủ nhật Tùng gọi điện đến nhà ba bạn. Mẹ Mạnh cho biết:
(9) Cả ba anh khơng có ở nhà em. Bà Lân thì bảo:
Lân và Mạnh khơng có ở nhà bà, Cường khơng có ở nhà Mạnh. Hãy cho biết ba bạn lúc ấy đang ở đâu?
Bài tập 3/Thầy Nghiêm được nhà trường cử bốn học sinh Lê, Huy, Hồng, Tiến đi thi đấu điền kinh. Kết quả có 3 em đạt giả nhất, nhì , ba và 1 em khơng đạt giải. Khi về trường mọi người hỏi kết quả các em trả lời như sau:
Lê: mình đạt giải nhì hoặc ba Huy: mình đã đạt giải
Hồng:mình đạt giải nhất Tiến:mình khơng đạt giải
Thầy Nghiêm chi mỉm cười và nói: “chỉ có 3 bạn nói thật, cịn 1 bạn nói đùa” Hãy cho biết ai nói thật? Ai nói đùa? Ai đoạt giải nhất? Ai khơng đạt giải?
3. GIẢN ĐỒ VEN
Từ xa xưa khi biết đến tốn học con người đã có thể tính tốn được rất nhiều thứ từ diện tích các thửa ruộng với đủ các hình dạng khác nhau hay năng suất làm việc của cơng nhân, máy móc đến việc tính tốn ngân sách(khố),tính tổng vv Nhưng lúc bấy giờ khi gặp các vấn đề phải tính ra số lượng của từng đối tượng cụ thể trong 1 cái chung qui hay nói cho dễ hiểu là 1 đám ‘hổ lốn’ với nhiều thành phần khác nhau đã làm cho rất nhiều người phải rất mất thời gian để tính.Để đơn giản hóa chúng lại, năm 1981 nhà tốn học người Anh GiơnVen đã đưa ra giảng đồ Venn giúp ta có thể dễ dàng tính ra vấn đề rắc rối nêu trên (có lẽ bởi sự tư duy của con người phần lớn hoạt động mạnh nhờ vào hình vẽ).Để tìm hiểu phương pháp này một cách cụ thể
Chúng ta hãy bắt đầu với bài tốn đơn giản sau: Ví dụ 1: Cho tập hợp
; ;
(10)Vẽ biểu đồ Ven tập hợp A các phần tử và biểu đồ Ven tập hợp B các phần tử như hình 1. Quan sát ta thấy số phần tử thuộc tập hợp A mà khơng thuộc tập hợp B là
Bây giờ ta sẽ đi tìm bài tốn thực tế cho bài tốn 1. Bài tốn thực tế được phát biểu: Bài tốn 2: Một nhóm có 9 học sinh. Trong đó có 3 học sinh tham gia mơn bơi. 6 học sinh vừa tham gia mơn bơi vừa tham gia mơn bóng bàn. Hỏi số học sinh khơng tham gia cả hai mơn bơi và bóng bàn là bao nhiêu ?
Giải
Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 phần tử tương ứng với 9 học sinh. 3 học sinh tham gia mơn bơi tương ứng là tập hợp C gồm 3 phần tử 1, 2, 3. 6 học sinh tham gia mơn bơi và mơn bóng bàn là tập hợp B gồm 6 phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6 (hình 1). Quan sát, ta thấy tử có các phần tử 7, 8, 9 vừa khơng thuộc tập hợp B vừa khơng thuộc tập hợp C. Vậy có 3 học sinh vừa khơng tham gia mơn bơi vừa khơng tham gia mơn bóng bàn.
Đây là cách giải bằng phương pháp liệt kê các phần tử của tập hợp thơng qua biểu đồ Ven. Tuy nhiên khi số phần tử của tập hợp rất lớn thì ta khơng thể liệt kê hết được. Vì vậy bài tốn 2 cịn một cách biểu diễn
(11)*** Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán 1 :
Ví dụ 2: Cho tập hợp
; ; ;
Những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà khơng thuộc tập hợp B, tập hợp C và tập hợp D ?
Giải
Vẽ biểu đồ Ven biểu diễn tập hợp A, B, C, D như hình 3. Quan sát ta thấy, các phần tử chỉ thuộc tập hợp A, không thuộc tập hợp B, tập hợp C và tập hợp D là 8, 9.Vậy các phần tử 8 và 9 chỉ thuộc tập hợp A mà khơng thuộc các tập hợp B, C, D.
Mặt khác bài tốn 3 có thể phát biểu dưới dạng :
Ví dụ 3: Có 9 học sinh. 1 học sinh tham gia mơn cầu lơng. 6 học sinh tham gia mơn bóng bàn và mơn bơi. 3 học sinh tham gia mơn bơi. Hỏi có bao nhiêu học sinh khơng tham gia cả ba mơn bóng bàn, bơi, cầu lơng ?
Cách 1. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 phần tử 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tương ứng với 9 học sinh. 1 học sinh tham gia mơn cầu lơng biểu thị là tập hợp D chỉ có phần tử 7. 6 học sinh tham gia mơn bóng bàn và mơn bơi biểu thị là tập hợp B gồm các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6. 3 học sinh tham gia mơn bơi được biểu thị là tập hợp C gồm 3 phần tử 4, 5, 6 (hình 4). Quan sát ta thấy, số các phần tử chỉ thuộc tập hợp A mà khơng thuộc các tập hợp B, C, D là 8, 9. Vậy có 2 học sinh khơng tham gia cả ba mơn bóng bàn, bơi và cầu lơng.
Cách 2. Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 9 học sinh ; tập hợp B gồm 6 học sinh
(12)Ví dụ 4: Có 45 học sinh. 20 học sinh thích uống sữa hiệu Yobi. 15 học sinh thích uống sữa Yomost và Cơ gái Hà Lan. 3 học sinh thích uống sữa Cơ gái Hà Lan. Hỏi có bao nhiêu học sinh khơng thích uống cả ba thứ sữa này ?
Vẽ biểu đồ Ven cho tập hợp A gồm 45 học sinh ; tập hợp B gồm 15 học sinh thích uống sữa hiệu Yobi và Cơ gái Hà Lan ; tập hợp C gồm 3 học sinh thích uống sữa Cơ gái Hà Lan. Tập hợp D gồm 20 học sinh tham gia uống sữa Yobi. (hình 6). Quan sát hình vẽ, ta có số học sinh khơng thích uống cả ba thứ sữa là 45 – (15 + 20) = 45 35 = 10 (học sinh).
Ta xuất phát từ bài tốn 1, sau đó ta đi đến các bài tốn tương tự và mở rộng của bài tốn 1. Bây giờ quay trở lại bài tốn 1, để ý ta thấy tập hợp C chính là tập hợp con của tập hợp B. Nếu bây giờ ta có một tập hợp cũng là tập hợp con của tập hợp A nhưng giao với tập hợp B thì ta có bài tốn tương tự với bài tốn 1 nhưng ở mức độ khó hơn.
Ví dụ 5: Cho ; ;
Hỏi những phần tử nào chỉ thuộc tập hợp A mà khơng thuộc tập hợp B và tập hợp C ?
Ta vẽ biểu đồ Ven các tập hợp A gồm 9 phần tử 1, 2 , 3, … , 8, 9 ; tập hợp B gồm các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; tập hợp C gồm các phần tử 5, 6, 7. Quan sát ta thấy, có hai phần tử 8 và 9 thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B và C.
Vậy các phần tử 8 và 9 chỉ thuộc tập hợp A mà không thuộc các tập hợp B và C.
Các bạn tiếp tục tự làm
thêm các bài sau:
(13)Bài tốn 2: Trong một cuộc hội thảo, mỗi người tham gia đều biết ít nhất một trong ba ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga. Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp, 17 người biết tiếng Nga, 13 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 12người biết cả tiếng Anh và tiếng Nga, 11 người biết cả tiếng Pháp và tiếng Nga, 10 người biết cả ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo.
Bài tốn 3: Trong một lớp học, tất cả nữ sinh đều tham gia các nhóm học nữ cơng gồm: thêu, làm hoa, làm bánh. Biết rằng có 7 bạn học thêu, 6 bạn học làm hoa, 5 bạn học làm bánh, 4 bạn vừa học thêu vừa học làm hoa, 3 bạn vừa học thêu vừa học làm bánh, 2 bạn vừa học làm hoa vừa học làm bánh, 1 bạn học cả ba nhóm. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu nữ sinh?
Bài tốn 4: Một lớp học có 20 học sinh giỏi Tiếng Việt,15 học sinh giỏi Tốn.Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh giỏi cả 2 mơn Tốn và Tiếng Việt,biết cả lớp có 28 học sinh giỏi ít nhất 1 trong 2 mơn.
Bài tốn 5 : Trong 100 số tự nhiên đầu tiền có 50 chữ sỗ chia hết cho 2,33 chữ số chia hết cho 3 và 20 chữ số chia hết cho 5.Cũng trong 100 số đó có:
15 số chia hết cho 2 và 3 10 số chia hết cho 2 và 5 6 số chia hết cho 3 và 5 3 số chia hết cho 2,3 và 5
Có bao nhiêu chữ số chỉ chia hết cho 1 trong 3 số 2,3 hoặc 5?
4 . SUY LUẬN LOGIC
Nếu như ở 3 phương pháp ở các phần trên đều là có một quy tắc chung nhất định để áp dụng, thì ở phần 4 này, ta sẽ cùng tìm hiểu về phương pháp suy luận đơn giản, khơng hề có bất kì quy tắc nào, tất cả cần một trực giác nhạy bén của người giải tốn. Ta cùng đến với ví dụ đầu tiên:
Ví dụ 1: Trong 4 đồng tiền có 3 đồng tiền thật có khối lợng nh nhau , 1 đồng tiền giả có khối lợng khác . Làm thế nào để tìm đợc đồng tiền giả bằng 2 lần cân? ( Cân đĩa khơng có quả cân )
(14)a) Cân thăng bằng
b) Cân khơng thăng bằng
Nếu cân thăng bằng theo trờng hợp (a) thì 2 đồng tiền đó là thật , thay một đồng tiền đã cân bằng 1 trong 2 đồng tiền cịn lại . Nếu cân vẫn thăng bằng thì đồng tiền thứ 4 là giả . Nếu cân khơng thăng bằng thì đồng tiền vừa thay là giả
Nếu cân khơng thăng bằng trờng hợp (b) thì một trong 2 đồng tiền trên đĩa là giả . Trong lần cân thứ 2 chỉ việc thay một đồng tiền đã cân bằng một trong hai đồng tiền cịn lại ( Cả 2 đồng tiền này đều là thật ) Xác định đợc đồng tiền giả.
Nhận xét : bằng phép suy luận đơn giản về các trường hợp có thể xảy ra trong các lần cân ta đó cú thể tỡm được đồng tiền giả chỉ với một lần cân. Nhưng nếu giờ tăng số lượng vật cần cân lên thỡ sẽ như thế nào? Ta cùng đến với ví dụ 2.
Ví dụ 2: Có 16 chai rợu trong đó có một chai nhẹ hơn tất cả các chai cịn lại . Làm thế nào chỉ 3 lần cân xác định đợc chai nào nhẹ ?
Giải : Chia 16 chai rợu thành 3 nhóm : 2 nhóm 6 , 1 nhóm 4 * Lần 1 đặt nên mỗi đĩa cân 6 chai , xảy ra 1 trong 2 trờng hợp
a) Cân bằng (1)
b) Cân khơng thăng bằng (2) * Lần cân 2:
a) Nếu cân thăng bằng (1) thì lấy 2 chai ở nhóm 4 chai đặt nên cân
Nếu cân thăng bằng thì đặt 2 chai cịn lại nên cân , lần 3 xác định đợc chai nhẹ Nếu cân khơng thăng bằng xác định ngay đợc chai nhẹ
b) Nếu cân khơng thăng bằng (2) thì lấy 6 chai ở bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân 3 chai, xác định đợc nhóm 3 chai bên nhẹ để cân lần 3
* Lần cân 3 : Với 3 chai bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân một chai Nếu cân thăng bằng thì chai nhẹ là chai thứ 3
Néu cân khơng thăng bằng thì xác định ngay chai nhẹ
(15)một điều khơng hề dễ dàng chút nào… Nó đũi hỏi sự động nóo của con người đến mức tối đa! Và để giúp bạn đọc có thể rèn luyện được các kĩ năng của mỡnh, chỳng tụi xin đưa ra các bài tập sau:
Bài tốn 1: Làm thế nào để đem 6 lít nớc từ sơng về nếu trong tay chỉ có 2 cái thùng, một thùng dung tích 4 lít , một thùng dung tích 9 lít và khơng thùng nào có vạch chia dung tích ?
Bài tốn 2 : Trong một can có 16 lít xăng . Làm thế nào để chia số xăng đó thành 2 phần bằng nhau , mỗi phần 8 lít , nếu chỉ thêm một can 11 lít và một can 6 lít để khơng ?
Bài tốn 3 : Một hiệu bán sữa tơi có 2 thùng A và B bằng nhau , mỗi thùng chứa đầy 40 lít sữa . Hai khách hàng , mỗi ngời mang can 5 lít , một ngời mang can 4 lít đến mua 2 lít sữa , ngời bán sữa khơng có dụng cụ đo lờng nào khác . Hỏi phải san sẻ làm sao để bán cho khách hàng ? ( khơng thùng nào có vạch chia dung tích) .
Bài tốn 4: Có 3 rổ táo . Rổ thứ nhất có 11 trái , rổ thứ 2 có 7 trái , rổ thứ 3 có 6 trái . Cần phải chuyển các trái táo sao cho số táo trong 3 rổ bằng nhau , với điều kiện việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia thoả mãn số táo chuyển vào rổ đó phải đúng bằng số táo đã có trong 3 rổ đó.
Bài tốn 5: Có 7 can bia đầy , 7 can đầy một nửa , 7 can khơng . Làm thế nào để chia số can bia thành 3 phần bằng nhau , để phần nào cũng có số can đầy , số can đầy một nửa , số can khơng nh nhau ?
Bài tốn 6: Có 10 gói kẹo hình thức giồng hệt nhau , số lợng kẹo trong mỗi gói bằng nhau (>10 cái) . Trong đó có 9 gói kẹo thật và 1 gói kẹo giả . Mỗi cái kẹo thật nặng 6g , mỗi cái kẹo giả nặng 5g . Làm thế nào chỉ một lần cân em hãy xác định đợc gói kẹo giả ?
(16)Bài tốn 8: Có 3 hộp : Hộp thứ nhất đựng 2 quả cam, hộp thứ 2 đựng 2 quả qt hộp thứ 3 đựng 1 quả cam và 1 quả qt. Nhng khi đóng hộp kín ngời ta dán nhầm các nhãn CC, QQ, CQ, cho nên các nhãn dán ở bên ngồi hộp khơng đúng với các quả đựng trong hộp . Làm thế nào để chỉo cần lấy ra 1 quả trong 1 hộp ( khơng nhìn vào trong hộp ) mà biết đợc chính xác các quả đựng trong 3 hộp ?
Bài tốn 9: Trong giỏ đựng 3 loại cam Hỏi khơng nhìn vào giỏ phải lấy ra ít nhất bao nhiêu quả để có 2 quả cùng loại ?
Bài tốn 10: Một hộp đựng 52 viên bi , trong đó có 13 viên màu xanh , 13 viên màu đỏ , 13 viên màu vàng, 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi
( khơng nhìn vào hộp) để chắc chắn trong số đó khơng có ít hơn 7 viên bi cùng màu 2/5 số cam của thúng thứ 2 , và 13/15 số cam của thúng thứ 3 thì đợc 70 quả . Hỏi nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúng thứ 3 thì đợc bao nhiêu quả
Hướng dẫn giải:
Giải 1 : Kí hiệu (a,b) là trạng thái thùng 4 lít có a lít . 0£ a £ 4và thùng 9 lít có b lít 0£b£9 .
Khi đó việc lấy 6 lít nớc từ sơng về đợc diễn tả qua các trạng thái sau : (0;0) => (0;9)=>(4;5) => (0;5) => (4;1 ) => (0;1) => (1;9) =>(4;6)
Giải2 :Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái can 16 lít có a lít xăng , can 11 lít có b lít xăng , can 6 lít có c lít xăng .
Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bắng nhau đợc diễn tả qua các trạng thái sau:
(16;0;0) => (10;0;6) =>(10;6;0) => (4;6;6) => (4;11;1)=> (15;0;1)=> (15;1;0) => (9;1;6) =>(9;7;0) =>(3;7;6)=>(3;11;2) =>(14;0;2) =>(14;2;0)=>(8;2;6)=>(8;8;0)
Giải 3: Gọi (a,b ) là trạng thái bình dung tích 5 lít có a lít sữa và bình 4 lít có b lít sữa Ta có (5;0) =>(1;4) =>(1;0) =>(0;1)=>(5;1) =>(2;4) =>(2;0)
Lúc này bình A có 38 lít , bình B có 40 lít , ngời thứ nhất đã nhận đợc 2 lít sữa cịn ngời thứ 2 cịn bình 4 lít sữa
Gọi (a,b,c ) là trạng thấi bình A có a lít sữa , bình B có b lít sữa , bình 4lít có c lít sữa . Ta có
(17)Vậy ngời thứ 2 nhận đợc 2 lít sữa .
Giải 4: Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái rổ thứ nhất có a quả táo , rổ thứ 2 có b quả táo, rổ thứ 3 có c quả táo.
Việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia sao cho số táo trong 3 rổ bằng nhau và thoả mãn số táo chuyển vào rổ đó phải đúng bằng số táo đã có trong rổ đợc diễn tả qua trạng thái sau
(11;7;6) => (4;14;6) => (4;8;12) => (8;8;8) Cuối cùng số táo trong 3 rổ đã bằng nhau và có 8 trái .
Giải 5: Vấn đề là phải làm thế nào để chia đợc số can đầy bia , số can đầy một nửa , số can khơng làm ba.
Cách 1: Từ 4 can đầy bia một nửa ta có thể đợc 2 can bia đầy và 2 can khơng . Thế thì ta đợc 9 can bia đầy , 3 can đầy một nửa , 9 can khơng .
Vậy mỗi phần gồm 3 can bia đầy , 1 can đầy một nửa , 3 can khơng
Cách 2 : Từ một can đầy và một can khơng ta đợc 2 can đầy một nửa . Thế thì ta có 6 can bia đầy , 9 can đầy một nửa , và 6 can khơng .
Vậy mỗi phần gồm 2 can đầy , 3 can đầy một nửa , 2 can khơng Cách 3 : Mỗi phần gồm 1 can đầy , 5 can đầy một nửa , 1 can khơng
Giải 6: Đánh số thứ tự từ 1 đến 10 vào 10 gói kẹo . Lấy số kẹo trong mối gói ra bằng đúng số thứ tự của gói đó . Nh vậy tổng số kẹo lấy ra là : 1+2+3+…+10 = 55 cái
Cho 55 cái kẹo nên cân thì sẽ xảy ra các trờng hợp : 320g,321g,322g, . . . 329g ( Nếu 55 cái kẹo là thật thì có khối lợng là 330g)
Nh vậy : Khối lợng cân đợc là 329g thì có 1 cái kẹo giả và gói đánh số thứ tự 1 sẽ là gói kẹo giả
Khối lợng 328 g thì có 2 cái kẹo giả và gói kẹo giả là gói thứ 2 . . . Khối lợng 320 g thì gói kẹo giả là gói đánh số 10 .
Vậy chỉ dùng 1 lần cân ta đã xác định đợc gói kẹo giả.
(18)Nếu quả lấy ra là quả qt thì hộp đó đựng 2 trái qt , hộp dán nhãn QQ đựng 2 trái camvà hộp dán nhãn CC đựng 1 cam , 1 qt.
Giải 9 : Vì có 3 loại cam nên lấy ra 3 quả thỉ có thể 3 quả đó mỗi quả thuộc một loại . Nếu lấy ra ít nhất 4 quả thì sẽ đợc 2 quả cùng loại .
Giải : Vì có 4 loại bi nên lấy : 6.4 +1 =25 viên bi thì chắc chắn có 7 viên bi cùng màu Giải 10: Lúc đầu bạn An có đầy cốc Ca Cao rồi cứ uống dần cho tới khi hết nên lợng Ca Cao bạn An uống bằng nhiều lần đúng bằng lợng Ca Cao có từ đầu , tức là 1 cốc đầy Ca Cao
Bây giờ đến lợt sữa . lần đầu khi uống 1/6 cốc Ca Cao rồi pha thêm cho đầy cốc thì rõ ràng lợng sữa pha thêm đúng bằng 1/6 cốc để bù lợng Ca Cao đã uống, lần thứ 2 lợng sữa pha thêm đúng bằng 1/3 cốc và lần thứ 3 lợng sữa pha them đúng bằng 1/2 cốc . Nh vậy lợng sữa bạn An đã uống trong 3 lần là :
1 2 1 3 1 6
= +
+ Tức là bạn An đã uống 1 cốc sữa đầy.