25 hà tĩnh 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99    Tỉnh Hà Tĩnh Giáo viên góp đề: Nguyễn Dương Quang Minh Giáo viên góp đề: Nguyễn Duy Hồng Sản phẩm nhóm: https://zalo.me/g/sidqta089 thực I.PHẦN GHI KẾT QUẢ: Câu Cho x 2  Tính giá trị biểu thức P 5 x  18 x  10 x  13 x  3x  Câu   x  1 x C    : 1 x x  1  x  x   Cho biểu thức Tìm tất giá trị nguyên x để giá trị biểu thức C số nguyên Câu                 29   4 4 4  4 A   1 1 1  1            30   4 4 4  4  Tính giá trị biểu thức Câu Tìm số tự nhiên n để B n  4n  2013 số phương Câu Câu y  m   x  m  Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng với m tham số Khi OM đạt giá trị lớn giá trị m bao nhiêu? 2 Cho số thực dương a, b thỏa mãn a  a b  ab  6b 0 Tính giá trị biều thức P 4a  b 4b  a AH  , BC 4BH Tính diện Câu Cho tam giác ABC vng A đường cao AH Biết tích tam giác ABC Câu Cho tam giác ABC ABC vng A A có 4AB 3AC, BC 25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC ABC cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn hình chữ nhật DEFG Câu Cho a, b không âm thỏa mãn 2a  b 4, 2a  3b 6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P a  2a  b Câu 10 Giải phương trình 3x  33  x 2x  II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 21  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu 11 Giải hệ phương trình xy  2 x  y  1  x  y   x  y  x  x  2    Câu 12 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2R Lấy điểm M nửa đường tròn ( M khác A, B ), tiếp tuyến A M nửa đường tròn  O  cắt K Gọi E giao điềm AM OK Đường thẳng qua O vng góc với AB cắt BM N a) Tính BM AN theo R b) Vẽ MH vng góc với AB H Gọi F giao điềm BK MH Chứng minh EF song song với AB BH.OK OE AB 3 Câu 13 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy  yz  zx  x  y3  z3  xy  yz  zx   -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 22  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho x 2  Tính giá trị biểu thức P 5 x  18 x  10 x  13 x  3x  Lời giải 2 Ta có x 2   (x  2) 5  x  4x  0 , P 5x  20x  5x  2x  8x  2x  3x  12x  3x  x  4x   10x            P 5x x  4x   2x x  4x   x x  4x   x  4x   10   P 25  10 Câu   x  1 x C    : 1 x x  1  x  x   Cho biểu thức Tìm tất giá trị nguyên x để giá trị biểu thức C số nguyên Lời giải ĐKXĐ: x 0; x 1; x  C  x Để C  Z  x  U     2;  1;1; 2  x   1; 0 Ta có Đối chiếu ĐKXĐ ta có x 0 Câu                 29   4 4 4  4 A   1 1 1  1            30   4 4 4  4  Tính giá trị biểu thức Lời giải * Với n   , ta có n4  1 1  1   n  n   n  n    n  n  n    n  n   4 2  2   thay n 1,3,5, , 29 Ta có    1   1                   29  29    29  29   2 2 2 2  2 2 A  1 1 1                         30  30    30  30   2 2 2 2  2 2  Ta thấy 12   1 1 1 22   ; 22   32   ,, 29  29  30  30  2 2 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 23  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A 1861 Do Câu Tìm số tự nhiên n để B n  4n  2013 số phương Lời giải 2 2 Đặt n  4n  2013 a Với a  N ta có a  (n  2) 2009 Vì a   n  2  a   n  2 ta có trường hợp: a   n   2009   n   2008  n 1002  a   n   1   TH1 a   n   287   n   280  n 138  a   n   7   TH2 a   n   49   n   8  n 2  a   n   41   TH3 Vậy Câu n   2;138;1002 giá trị cần tìm y  m   x  m  Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng với m tham số Khi OM đạt giá trị lớn giá trị m bao nhiêu? Lời giải Xét m   y  OM 7 y  m   x  m  Xét m  Gọi A, B giao điểm đường thẳng với trục Ox, Oy  5 m  A ;  , B  0; m   Tọa độ  m   OA  Suy 5 m ; OB  m  m2 1 OA OB2 m  10 m  25  (7 m  15) 2    OM     50 50 OA OB2 OA  OB2 m  m 5 ( m  2) 1 Ta có OM Vậy OM có giá trị lớn Câu 50 m  15 2 Cho số thực dương a, b thỏa mãn a  a b  ab  6b 0 Tính giá trị biều thức P 4a  b 4b  a Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 24  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 3 2 2 Ta có a  a b  ab  b 0  a  2a b  a b  2ab  3ab  b 0 b  11b  a  ab  3b  a    0  a b 0 2  Vì loại) Vậy Câu a 2 b  P   63 12 Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Biết tích tam giác ABC AH  , BC 4BH Tính diện Lời giải A x B 3x C H Đặt BH x suy CH 3x BH.CH AH  3x   x  Ta có 1 BC 4 4  S ABC  AH BC  2 Câu Cho tam giác ABC ABC vuông A A có 4AB 3AC, BC 25 Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC ABC cho D thuộc cạnh AB , E thuộc cạnh AC , F G thuộc cạnh BC Tính diện tích lớn hình chữ nhật DEFG Lời giải A x E D B G H F C Kẻ đường cao AH CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 25  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 4AB 3AC  Ta có AB AC AB2 AC2    16 AB2  AC BC 252    25  AB 15; AC 20  16 25 25 AH  Lại có AB AC 12 BC Đặt AD x  BD 15  x  15  x  DE AD x 5x DG BD 15  x    DE  ;    DG  AH AB 15 Do BC AB 15 1 S DEG DE DG  4 x  15  x   [x  15  x]2 75 3 Suy Vậy diện tích hình chữ nhật DEFG đạt giá trị lớn 75 Câu Cho a, b không âm thỏa mãn 2a  b 4, 2a  3b 6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P a  2a  b Lời giải 2 Ta có 2a  b 4  2a  b 2a  a  2a a  a 2a  a; b     0;  ,  2;0   Do P a  2a  b 2a  2a  b 0 Vậy GTLN P Mặt khác 2a  3b 6   b  2a  P a  2a  b a  2a  Suy Vậy GTNN P Câu 10 Giải phương trình  2a    22 22  a     3 9  14 22  a; b   ;    x  33  x 2x  Lời giải ĐKXĐ: x 0 Ta có 3x  33   x    x    x x  10 x   Xét x  33  x   x2  5x  x 23 x    x  1  x    2  x  33  x     0 x 23 x   x 1  x 4  x  1  x   0   CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 26  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Xét 3x  33  x  0 x 23 x  Với x 1 nghiệm  x  11 x  33  x Với x 1 ta có kết hợp với 1  x  33  x 3 x  33 3x  33  x 2x  x  x  40 0 Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 4;64 II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày Lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11 Giải hệ phương trình xy  2  x  y  x  y 1   x  y  x  x  2    Lời giải x  y 0; 2x  y   0; x  x    *  ĐKXĐ: x  y2  Từ phương trình 2xy 1 xy 2  x  x  y   y  x  y   xy  x  y 0 2 2 2  x  x  y   x  y  x  y   y  x  xy  y  x  y 0 2  x  x  y  1  y  x  y  1   x  y   x  y  1 0  Xét  x  y  1  x  y  x  y  0 x  y  0 , thay vào phương trình Với điều kiện x   x  y   x  x  1 2 x  0 , ta có  x    x   x    x  x3   x   x  x  1 2 x  4 x  x   0    x    x  x  x  x  1  0  x5  x3  x  0   x    x  x  x  x  1 0   x    x  x  1 0 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 27  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Với x  0  x 2  y  (TMĐK) Với Xét x  x  0  x1   1 3  1  y1  ; x2   x2  x   2 (loại) 2 2 x  y  x  y 0 , ta có x  y  x  y  x  x  1  y   x  y  1  theo ĐKXĐ   * thay vào ĐKXĐ Hệ phương trình có tập nghiệm    1    x; y    2;  1 ,     ;  2   Câu 12 Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2 R Lấy điểm M nửa đường trịn ( M khác A, B ), tiếp tuyến A M nửa đường tròn  O  cắt K Gọi E giao điểm AM OK Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM N a) Tính BM AN theo R b) Vẽ MH vuông góc với AB H Gọi F giao điểm BK MH Chứng minh EF song song với AB BH OK OE AB Lời giải BM BA  BMA ∽BNO   BMA BON  90 BO BN  BM BN BA.BO 2 R a) Ta có Vì NO  AB nên ANB cân N Suy BN  AN , suy BM AN 2 R b) Ta có KM KA, OM OA nên KO trung trực AM , suy KO  AM EA EM (1) Gọi P giao điểm đường thẳng BM đường thẳng AK Ta có AMP vng M , có KA KM nên KA KM KP FM BF FH    FM FH (2) Áp dụng hệ định lí Thales, ta có KP BK KA CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 28  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Từ (1), (2) suy EF đường trung bình AHM nên EF //AB Mặt khác OK đường trung bình ABP nên OK //BP BM BA  BMA ∽OAK   ABM  AOK AMB OAK  90 OA OK Ta có BM BH  OA OE BHM ∽OEA  Tương tự BA BH   BH OK OE AB Suy OA OE 3 Câu 13 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy  yz  zx  x  y3  z3 P  xy  yz  zx   Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy ta có x    y3    z   3  x  y  z   xy  yz  zx 3 Lại có  xy  yz  zx  (x  y  z) 9  xy  yz  zx 3 5P  Do  xy  yz  zx   15  xy  yz  zx   1  14 14 15 1    P  xy  yz  zx  1 5.3 1 8 Vậy giá trị nhỏ P Đạt x y z 1 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 29 