18 hsg9 điện biên 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Điện Biên Câu 1 (5,0 điểm) 1 Cho biểu thức 3[.]

Trang 1

Tỉnh Điện BiênCâu 1 (5,0 điểm) 1 Cho biểu thức 3 2 9 3 9: 192 3 6xxxxAxxxxx                             a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1

6 2 5 5

x  



 

2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là một số chính phương

Câu 2 (3,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2x 1 5 2 x 4x212x 72 Giải hệ phương trình:  2 2222023 2023 20235 7 15 27xxyyxyxy        Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4y4 3y2 1

2 Cho hai phương trình x23mx2n 0 và x25nx4m0 với m n là các số ,thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0cho ln có nghiệm

Câu 4.(6,0 điểm) Cho đường tròn O R và một điểm A nằm ngồi đường trịn sao cho ; 

3

OA R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn ,  O ( ,B C là hai tiếp

điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt  O tại D , AD cắt  O tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO

1 Chứng minh AE AD AM AO.

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R Câu 5 (2,0 điểm) 1 Cho , , , > 0a b c d và 1.1 1 1 1abcda  b  c  d     Chứng minh 1.81abcd 

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trị chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

-Hết -

9

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (5,0 điểm) 1 Cho biểu thức 3 2 9 3 9: 192 3 6xxxxAxxxxx                          a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1

6 2 5 5x  Lời giải a) Rút gọn biểu thức A  3 3 2 2 9 3 3: 12 3 2 3 2 3 3 3xxxxxxAxxxxxxxx                                          9 4 9 3: 132 3xxxAxxx              24 3. 3xxAxxx   2 2222023 2023 20235 7 15 27xxyyxyxy        

b) Tính giá trị của biểu thức A khi 310 6 3 3 1

6 2 5 5x  Ta có: x23mx 2n  0Vậy x25nx 4m 0

2 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 ln là một số chính phương Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là n n; 1;n2;n  3

Trang 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:   x y ; 1; 1 ;  1;1

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4y4 3y21

2 Cho hai phương trình x23mx2n  và 0 x25nx 4m với ,0 m n là các số

thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0cho ln có nghiệm

Lời giải

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x4 y4 3y2 1

 1 x4 y4 3y2  (2) 1Ta thấy: y42y2 1 y43y2  1 y4 4y242 22 1 4 3 2 1 2 2y  y  y   y  (3) Từ (2) và (3) suy ra  2 2 4  2 21 2y  x  y Mà x   nên 4  2 21x  y  thay vào (2) ta có   2 2 4 21  y 1 y 3y 1 (4) Giải phương trình (4) ta được y  0

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình (1) là   1; 0 ; 1; 0

2 Cho hai phương trình x23mx2n  và 0 x25nx 4m với ,0 m n là các số

thực Chứng minh rằng nếu 2m   thì ít nhất một trong hai phương trình đã n 0cho ln có nghiệm

Xét phương trình x23mx2n 0  1 ta có: 21 9m 8n  2 5 4 0x  nx  m  (2) ta có: 22 25n 16m   22 2212 9m 25n 8n 16m 9m 25n 8 n 2m           với m n là các số thực và 2, m   n 0      12 01200   đpcm

Câu 4.(6,0 điểm) Cho đường tròn O R và một điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho ; 

3

OA R Từ A kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn ,  O ( ,B C là hai tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt  O tại D , AD cắt  O tại E Gọi M là giao điểm của BC và AO

1 Chứng minh AE AD AM AO.

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R

Trang 5

1 Chứng minh AE AD AM AO.

Do AB AC là hai tiếp tuyến với đường tròn ;  O nên chứng minh được AO BC Và

2

AB AM AO (1)

Chứng minh: AEB∽ABD

Suy ra AB2 AE AD (2)

Từ (1) (2) suy ra AE AD AM AO.

2 Tia BE cắt AC tại F Chứng minh F là trung điểm của AC

Chứng minh FCE ∽FBC (g.g) 2 FCFEFCFB FEFBFC    (3)

Chứng minh: ABF CAE

Chứng minh FBA∽FAEFAFEFA2 FE FB.

FBFA

    (4)

Từ (3) và (4) suy ra FC FA Flà trung điểm của AC

3 Tính diện tích BDC theo R Chứng minh ACB∽CBD (g.g)2CBDACBSBCSAC      Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có

Trang 6

222 9 22 8 2AC OA OC  R R  R22 2 8 16 22 3 3 9ACBBMARRRS  S BM MA Vậy 2 2 2 2232 1 16 2 64 2 .9 8 9 81CBDACBBCRRRSSACR      Câu 5 (2,0 điểm) 1 Cho a b c d, , , > 0 và 1.1 1 1 1abcda  b  c  d     Chứng minh 1.81abcd 

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trị chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc

Lời giải 1 Cho , , , > 0a b c d và 1.1 1 1 1abcda  b  c  d     Chứng minh 1.81abcd Ta có 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1abcdbcdaa  b  c  d   b  c  d   a  a        Áp dụng BĐT cauchy ta có:  3331 1 1 1 1 113 11 1 1 1bcdbcdbcdbcdbcdabcd           Chứng minh tương tự:    33313 2 ;1 1 1 113 31 1 1 11 3 41 1 1 1acdbacdabdcabdabcdabc         

Nhân vế với vế của (1), (2), (3), (4)

Trang 7

Dấu “=” xảy ra khi 13

a    bcd

2 Trong một hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trị chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên kẹo và nhiều nhất là 20 viên kẹo Người nào bốc viên kẹo cuối cùng sẽ thua cuộc Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc Để đảm bảo thắng cuộc, ở nước đi cuối cùng của mình người bốc kẹo đầu tiên phải để lại trong hộp 11 viên kẹo, ở nước đi trước đó phải để lại trong hộp: 11201142 viên kẹo

Suy ra người bốc kẹo đầu tiên phải đảm bảo trong hộp lúc nào cũng cịn 1131k viên kẹo Ta có 2014 11

6431



 dư 19

Như vậy người bốc kẹo đầu tiên ở lần thứ nhất của mình phải bốc 19 viên

Tiếp theo khi đối phương bốc x viên 11 x 20 thì người bốc kẹo đầu tiên phải bốc 31 viên kẹo Cuối cùng sẽ còn lại 11 viên kẹo cho đối phương.x