Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Tỉnh Điện Biên Học sinh giỏi 99 Câu (5,0 điểm) ỉx - ỉ x - 9ữ x +2 9- x ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ A =ỗ + : ữ ữ ç ç ÷ ÷ ç ç x ÷ ÷ x + x x + x è ø è ø Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x= Câu ( ) 3- 6+ - b) Tính giá trị biểu thức A Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng số phương (3,0 điểm) 2x - + - 2x = 4x2 - 12x + Giải phương trình: ( Câu 10 + )( ) ìï ïï x + 2023 + x2 y + 2023 + y2 = 2023 í ïï 5x + 7y2 - 15xy = 27 Giải hệ phương trình: ỵï (4,0 điểm) 4 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x - y = 3y + 2 Cho hai phương trình x - 3mx + 2n = x - 5nx + 4m = với m, n số thực Chứng minh 2m + n £ hai phương trình cho ln có nghiệm (O;R ) điểm A nằm ngồi đường tròn cho AB, AC (O ) ( B,C hai tiếp OA = 3R Từ A kẻ tiếp tuyến với đường tròn Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O ) D , AD cắt (O ) điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt E Gọi M giao điểm BC AO Chứng minh AE AD = AM AO Tia BE cắt AC F Chứng minh F trung điểm AC Tính diện tích D BDC theo R Câu (2,0 điểm) Cho minh abcd £ a, b, c, d > a b c d + + + £ 1 + a + b + c + d Chứng 81 Trong hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trò chơi, người phải bốc 11 viên kẹo nhiều 20 viên kẹo Người bốc viên kẹo cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng -Hết CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (5,0 điểm) ỉx - ỉ x - 9ử x +2 9- x ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ A =ỗ + : ữ ữ ỗ ç ÷ç ÷ ç x- ø ÷ ç ç è2 - x + x x + x - 6÷ ø è Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A x= 10 + ( ) 3- 6+ - b) Tính giá trị biểu thức A Lời giải a) Rỳt gn biu thc A ổ ỗ x +3 ỗ 3- x A =ỗ + ỗ ỗ ỗ x x + ỗ ố ( ( A= A= )( )( ) ( ) ( )( x - 2)( 9- x + x - - + x æ :ỗ 1ỗ ỗ ỗ ố x - x +3 ( ( )( )( x- ) x +3 ( x- ổ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ :ỗ 1ỗ ữ ỗ ỗ ữ x +3 ữ ữố ỗ ứ 9- x )( x- ) ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ x +3 ÷ ÷ ø x- ( )( x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ x + 3ø ) x- )x + 3) ( x +2 x +3 x )( ) ìï ïï x + 2023 + x2 y + 2023 + y2 = 2023 í ïï 5x + 7y2 - 15xy = 27 ïỵ x= 10 + ( 6+ - b) Tính giá trị biểu thức A ) 3- Ta có: x - 3mx + 2n = Vậy x - 5nx + 4m = Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp n;n + 1;n + 2;n + với n Ỵ ¥ , ta có : ( )( ) A = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) + = n2 + 3n n2 + 3n + + ( ) ( ) A = n2 + 3n + n2 + 3n + ( ) A = n2 + 3n + Þ A = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) + Câu số phương (3,0 điểm) Giải phương trình: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 2x - + - 2x = 4x2 - 12x + Trang ) Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 ( )( ) ìï ïï x + 2023 + x2 y + 2023 + y2 = 2023 í ïï 5x + 7y2 - 15xy = 27 Giải hệ phương trình: ïỵ Lời giải 2x - + - 2x = 4x2 - 12x + Giải phương trình: £ x£ ĐKXĐ: pt Û 2x - + - 2x = 8x2 - 24x + 14 Û 2x - - ( 2x - 1) + - 2x - ( - 2x) = 8x2 - 24x + 10 Û Û Û ( 2x - - ) ( ) - 2x - 2( 2x - 1) ( 2x - 5) = 2x - + - 2x - 2x - 1( - 2x) - 2x ( 2x - 1) - 2( 2x - 1) ( 2x - 5) = + - 2x ỉ - 2x 2x - ữ ỗ ỗ x x + + 2 x x =0 ữ ( )( ) ỗỗ ( )( )ữ ÷ ÷ è2 + 2x - + - 2x ø + 2x - é êx = ê Û ê êx = ê ë + (TMĐK) ỉ - 2x 2x - ữ ỗ ữ ỗ + + 2 x x > "x ẻ ữ ( ) ( ) ỗ ữ ỗ ữ ỗ2 + 2x - + - 2x è ø ; ïìï x + 2023 + x2 y + 2023 + y2 = 2023 ïí ïï 5x2 + 7y2 - 15xy = 27 Giải hệ phương trình: ïỵ ( ( 1) Û (x + 2023 + x y+ ( Û - 2023 (x - ( 1) Û (x + )( ) = 2023 Þ 2023 + x ) 2023 + y2 2 2023 + x x+ ( Û - 2023 (y - )( y + (x 2023 + y ) (x )( y + CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 ) ) = 2023 2023 + x ) 2023 + x2 y + 2023 + y2 = 2023 + x2 - x (y 2023 + y ) (y - ) = 2023 Þ 2023 + y ) 2023 + x2 é1 5ù ê; ú ê2 2ú ë û ( 3) ) = 2023 2023 + y ) 2023 + y2 x + 2023 + x2 = 2023 + y2 - y ( 4) Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Þ x =- y Từ (3) (4) 27x2 = 27 Þ x = ±1 Þ y = m1 Thay x = - y vào phương trình (2) ta được: Câu Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (4,0 điểm) ( x;y) = {( 1;- 1) ;( - 1;1) } 4 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x - y = 3y + 2 Cho hai phương trình x - 3mx + 2n = x - 5nx + 4m = với m, n số thực Chứng minh 2m + n £ hai phương trình cho ln có nghiệm Lời giải 4 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x - y = 3y + ( 1) Û x4 = y4 + 3y2 + (2) Ta thấy: y + 2y + £ y + 3y + < y + 4y + (y ) ( ) + £ y4 + 3y2 + < y2 + (y Từ (2) (3) suy Mà x ẻ  nờn ( 1) ( y ) ) 2 (3) ( ) + £ x4 < y2 + ( ) x4 = y2 + 2 thay vào (2) ta có + = y4 + 3y2 + (4) Giải phương trình (4) ta y = Từ tìm nghiệm phương trình (1) ( 1;0) ;( - 1;0) 2 Cho hai phương trình x - 3mx + 2n = x - 5nx + 4m = với m, n số thực Chứng minh 2m + n £ hai phương trình cho ln có nghiệm Xét phương trình x2 - 3mx + 2n = x2 - 5nx + 4m = ( (2) ta có: ) ( 1) ta có: D1 = 9m2 - 8n D = 25n2 - 16m ( ) Þ D + D = 9m2 + 25n2 - 8n - 16m = 9m2 + 25n2 - 8( n + 2m) với m, n số thực 2m + n £ Þ D + D ³ éD ³ Þ ê êD ³ Þ ê ë đpcm CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 (O;R ) điểm A nằm ngồi đường trịn cho AB, AC (O ) ( B,C hai tiếp OA = 3R Từ A kẻ tiếp tuyến với đường tròn Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O ) D , AD cắt (O ) điểm) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt E Gọi M giao điểm BC AO Chứng minh AE AD = AM AO Tia BE cắt AC F Chứng minh F trung điểm AC Tính diện tích D BDC theo R Lời giải B D E M A O F C Chứng minh AE AD = AM AO AB ; AC (O ) nên chứng minh AO ^ BC Và Do hai tiếp tuyến với đường tròn AB = AM AO (1) Chứng minh: D AEB ∽ D ABD Suy AB = AE AD (2) Từ (1) (2) suy AE AD = AM AO Tia BE cắt AC F Chứng minh F trung điểm AC Chứng minh D FCE ∽ D FBC (g.g) Þ FC FE = Þ FC = FB FE FB FC (3) · · Chứng minh: ABF = CAE Chứng minh D FBA ∽ D FAE Þ FA FE = Þ FA = FE FB FB FA (4) Từ (3) (4) suy FC = FA Þ F trung điểm AC Tính diện tích D BDC theo R CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NM 2022- 2023 ị SCBD ổ BC ữ ữ =ỗ ỗ ữ ữ ỗ ốAC ứ SACB Chng minh D ACB ∽ D CBD (g.g) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có OB = OM OA Þ OM = Và MA = OA - OM = BM = OM MA = BC = 2BH = OB R2 R = = OA 3R 8R R 8R 8R 2 2.R = Þ BM = 3 2R AC = OA - OC = 9R - R = 8R SACB = 2SBMA = BM MA = 2R 8R 16 2R = 3 SCBD Câu ỉ BC 32R 16 2R 64 2R ữ ữ =ỗ S = = ỗ ữ ữ ACB ỗ 8R 81 èAC ø Vậy (2,0 điểm) Cho minh abcd £ a, b, c, d > a b c d + + + £ + a 1+ b 1+ c + d Chứng 81 Trong hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trị chơi, người phải bốc 11 viên kẹo nhiều 20 viên kẹo Người bốc viên kẹo cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng Lời giải Cho Ta có a, b, c, d > a b c d + + + £ abcd £ 81 + a + b + c + d Chứng minh a b c d b c d a + + + £ 1Þ + + £ 1= + a + b + c 1+ d + b 1+ c + d 1+ a 1+ a Áp dụng BĐT cauchy ta có: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 b c d bcd + + ³ 33 1+ b 1+ c 1+ d ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d) Þ bcd ³ 33 1+ a ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d) ( 1) Chứng minh tương tự: acd ³ 33 1+ b ( 1+ a) ( 1+ c) ( 1+ d) ( 2) ; abd ³ 33 1+ c ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ d) ( 3) abc ³ 33 1+ d ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ( 4) Nhân vế với vế (1), (2), (3), (4) 1 1 a3b3c3d3 ³ 813 3 3 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d) abcd ³ 81 ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d) ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d) Þ abcd £ 81 Þ a =b=c =d = Dấu “=” xảy Trong hộp có 2014 viên kẹo Có hai người tham gia trị chơi, người phải bốc 11 viên kẹo nhiều 20 viên kẹo Người bốc viên kẹo cuối thua Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc người thắng Để đảm bảo thắng cuộc, nước cuối người bốc kẹo phải để lại hộp 11 viên kẹo, nước trước phải để lại hộp: 11 + ( 20 + 11) = 42 viên kẹo Suy người bốc kẹo phải đảm bảo hộp lúc 11+ 31k viên kẹo 2014 - 11 = 64 31 Ta có dư 19 Như người bốc kẹo lần thứ phải bốc 19 viên ( 11 £ x £ 20) người bốc kẹo phải bốc Tiếp theo đối phương bốc x viên 31- x viên kẹo Cuối lại 11 viên kẹo cho đối phương -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang