Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Bắc Ninh (4,0 điểm) 2x x 2x x x x 1 P : x 1, x 1 x x x 1 x x với x 0 Cho biểu thức P Rút gọn biểu thức P tìm giá trị x để P : y x Gọi A B giao điểm đường thẳng d : y x với parabol Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) Câu Câu (4,0 điểm) x xy y x y 0 x xy y 15 0 Giải hệ phương trình 2 Giải phương trình x x x 3x x (3,0 điểm) x; y y x 1 x Tìm cặp số nguyên thỏa mãn 2 Với số nguyên a , gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x 2ax 0 Chứng 2n x minh Câu x2 2n x14 n x2 n chia hết cho 48 với số tự nhiên n (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B, C ) Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC Đường thẳng MN cắt đường tròn O P, Q cho M nằm P N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B ) Các đường thẳng DI , AC cắt K a) Chứng minh PID PAC Từ suy bốn điểm A, I , P, K thuộc đường tròn QA PD b) PBD đồng dạng với PAK QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G ( khác P ) Đường thẳng CD IG cắt đường thẳng BC E Chứng minh D di chuyển đoạn BC tỉ số CE khơng đổi Cho tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh AB.CD AD.BC AC BD Câu (3,0 điểm) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a, b, c 3 a b c 6 Tìm giá trị nhỏ F a b c A k 1, 2,3 , 2024 , Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A2024 Tại đỉnh k người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề số ngun dương khơng CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 13 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 lớn Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đôi khác -Hết HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) 2x x 2x x x x 1 P : x 1, x 1 x x x 1 x x với x 0 Cho biểu thức P Rút gọn biểu thức P tìm giá trị x để P : y x Gọi A B giao điểm đường thẳng d : y x với parabol Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) Lời giải ( 2,0 điểm) Với x 0 x 1, x ta có x x 1 x x 1 x x 1 x P : x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x1 P x 1 x x1 P x 1 x P x x x x 1 x x : x x x 1 x1 x x1 : 1 x x x 1 x 1 x x P x 3 x 9 x 1 3x 10 x 0 x 1 x 1 x ( thỏa mãn ) 1 x 9; 9 Vậy ( 2,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 14 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x 1 x x x x 0 x Phương trình hồnh độ giao điểm A 1;1 , B 2; Suy Gọi H , K hình chiếu vng góc A, B lên trục Ox Có S AHKB AH BK HK 15 1 ; SOAH OH AH ; SOBK OK BK 4 2 2 Vậy SOAB S AHBK SOAH SOBK 3 Câu (4,0 điểm) 2 x 3xy y x y 0 (1) 2 x xy y 15 (2) Giải hệ phương trình 2 Giải phương trình x x x 3x x Lời giải y 2 x (1) x y x y 0 x 5 y Phương trình x 1 15 x 15 0 x y x +) Với thay vào (2) ta Với x 1 y 2 , với x y y 2 y 30 y 40 0 y x y +) Với thay vào (2) ta Với y 2 x 1 , với y 4 x Vậy nghiệm x; y hệ 1; , 3; , 1; x x x 3 x x 1 x Điều kiện 1 x x x x x 0 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2 Trang 15 Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 x nên Vì A 3 x x B x x 2 x 16 x x x 1 x 0 2 A B x 16 x 16 x x 36 x 36 0 A B 9x 2 x 0 A B Vì A 0, B 0, x 9x nên A B Do phương trình có nghiệm x 2 Câu (3,0 điểm) y x 1 x thỏa mãn 2 Với số nguyên a , gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x 2ax 0 Chứng Tìm cặp số nguyên minh 2n x x; y x2 2n x14 n x2 n Phương trình chia hết cho 48 với số tự nhiên n Lời giải y x 1 x 1 Dễ thấy x 1 nghiệm phương trình cho x2 x 1 y x x Với x 1 , phương trình Mà x nên x ước Do x 1; 3 x 2;0; 4; 2 Khi ta có cặp x; y 2; ; 0; ; 2; ; 4;6 x 2ax 0 ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn a Với phương trình x1 x2 2a x1 x2 Đặt Sn x12 n x2 n Ta có M 2n x1 x2 n x14 n x2 4n x12 n x2 2n x12n x2 n 8 x12 n x2 n x12 n x22 n x12 n x2 n 8 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 16 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 S Sn Sn Sn 1 Sn Sn 1 S n S n n 8 S x12 n x2 n số nguyên dương chẵn (*) Ta chứng minh với n n Thật vậy: Với n 0 S0 2 số nguyên dương chẵn S x x2 x1 x2 x1 x2 4a 2 2a 1 Với n 1 1 số nguyên dương chẵn a số nguyên Giả sử (*) đến n k , tức S k Sk số nguyên dương chẵn Ta có S k 1 x12 k 1 x2 2 k 1 x12 x2 x12 k x2 k x12 x2 x12 k 1 x2 2 k 1 S1.S k S k số nguyên dương chẵn Vậy Sn x12 n x2 n số nguyên dương chẵn với số tự nhiên n S S S M n 1 n n 1 2 tích ba số tự nhiên liên tiếp Suy M chia hết cho Vậy Câu x 2n x2 n x14 n x2 n 8M 48 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B, C ) Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC Đường thẳng MN cắt đường tròn O P, Q cho M nằm P N Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B ) Các đường thẳng DI , AC cắt K a) Chứng minh PID PAC Từ suy bốn điểm A, I , P, K thuộc đường tròn QA PD b) PBD đồng dạng với PAK QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G ( khác P ) Đường thẳng CD IG cắt đường thẳng BC E Chứng minh D di chuyển đoạn BC tỉ số CE khơng đổi Cho tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh AB.CD AD.BC AC BD Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 17 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 K A I N M P O H G O' B Q D E C PAC PBC 180 1 a) Vì tứ giác APBC nội tiếp PBC PID 180 Vì tứ giác BPID nội tiếp Từ (1) (2) suy PAC PID Lại có PID PIK 180 ; PAC PAK 180 PAK Do PIK Mà hai đỉnh I , A kề Suy I , A thuộc vào cung tròn dựng PK Hay bốn điểm A, I , P, K thuộc đường tròn b) BPD Ta có APK AIK BID PBD 180 PID 180 PAC PAK PB PD 3 PA PK PBD đồng dạng với PAK Vì tứ giác APBQ nội tiếp nên tam giác PMB đồng dạng với tam giác AMQ (g-g) tam giác QBM đồng dạng với tam giác APM (g-g) Do đó: PB MP PB QB PB QB QA MA 1 4 QA PA PA QA QB MB PA MP QA PD Từ (3) (4) suy QB PK c) Trên đoạn AB lấy điểm H cho APH KPI Vì tứ giác AIPK nội tiếp, nên KPI BAC CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 18 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Lại có A, P BAC khơng đổi nên H điểm cố định KI KP APH g g 5 AH AP KPI đồng dạng PKD đồng dạng PAB g g KP KD 6 AP AB KD KI KD AB 7 KI AH Từ (5) (6) suy AB AH CD KD PGI PBI PCA GI //AC 8 CE KI Ta có CD AB AB CD Từ (7) (8) suy CE AH mà AH không đổi nên CE không đổi Cho tứ giác ABCD nội tiếp Chứng minh AB.CD AD.BC AC BD Lời giải B C M O A D Trên cạnh BD lấy điểm M DAM CAB DA DM DA.CB DM CA 1 Hai tam giác DAM CAB đồng dạng (g-g) nên CA CB BA BM BA.CD BM CA Hai tam giác BAM CAD đồng dạng (g-g) nên CA CD Từ (1) (2) suy DA.CB BA.CD DM CA BM CA AB.CD AD.BC AC BD Câu (3,0 điểm) 1) Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a, b, c 3 a b c 6 Tìm giá trị nhỏ F a b2 c Lời giải Ta có F a b2 c a b c ab bc ca 36 ab bc ca a 3 b 3 c 3 0 abc ab bc ca a b c 27 0 Vì a, b, c 3 nên abc 3 ab bc ca 27 1 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 19 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 a 1 b 1 c 1 0 abc ab bc ca a b c 0 Vì abc ab bc ca ab bc ca abc 3 ab bc ca 27 Từ (1) (2) suy ab bc ca 11 F 36 ab bc ca 14 Đẳng thức xảy a 1; b 2; c 3 hoán vị Vậy giá trị lớn F 14 a 1; b 2; c 3 hoán vị A k 1, 2,3 , 2024 , 2) Cho đa giác lồi A1 A2 A3 A2024 Tại đỉnh k người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số thực hai đỉnh kề số ngun dương khơng lớn Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đôi khác Lời giải a ak 1 1, 2,3 , k 1, 2,3 , 2024 Xét đa giác lồi A1 A2 A3 A2024 Khi k Khơng tính tổng qt, coi a1 nhỏ nhất, an lớn (dễ thấy n 2) d max a j d an a1 số dương Giả sử theo chiều kim đồng hồ có n đỉnh nằm A1 , An Suy theo chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ có 2024 n đỉnh nằm A1 , An Hơn giá trị tuyệt đối Đặt i j hiệu hai số kề khơng vượt q Do d a1 an a1 a2 a2 a3 an an 3 n 1 d 3 2024 n 1 Tương tự ta có n 1 2024 n 1 d 3036 Suy d 3036 Nếu hiệu hai số ghi hai đỉnh kề hay ta có a a ai 1 2 1 3; i 1, 2,3, , 2023 1 1 2 i i 1 i 1, 2,3, , 2022 ai ai 2 1 ai 1 2 a1 a2024 a1 a2 a2 a3 a2023 a2024 2023 a1 a2 a1 a2024 2023 a1 a2 2023.3 (khơng xảy ra) Do d 3035 Ta xây dựng trường hợp cho d 3035 sau a1 0; a2 2; ak ak 3k với k 3; 4; ;1013 a1014 a1013 3033; ak ak 6075 3k với k 1015;1016; ; 2024 Khi hiệu lớn a1013 a1 3035 Các số a2 ; a3 ; ; a1013 số nguyên dương tăng dần có dạng 3t chia cho dư CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 20 Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Các số a1014 ; a1015 ; ; a2024 nguyên dương giảm dần có dạng 6075 3h chia hết cho Suy số a1 , a2 , a2024 đôi khác Vậy giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh 3035 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang 21