03 hsg9 bắc giang 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Bắc Giang I Trắc nghiệm (7 điểm) Câu · Cho đường tròn tâm O có bán kính R dây cung AB = Biết AOB = 120° (như hình vẽ) O 120° B A S Diện tích S phần hình trịn giới hạn cung nhỏ AB dây AB A ( S = 3p - ) 3) ( S = 3( 3p - 2) D B C S = 4p - 3 Câu Câu S = 3p - y = ( - m) x + m + Có tất số nguyên m để hàm số đồng biến ¡ A 11 B C D 12 ìï x + my = 3m ï í ïï mx - my = m2 - Hệ phương trình ïỵ ( m tham số) Có giá trị nguyên m với - 2023 < m £ 2023 để hệ có nghiệm ( x0;y0 ) thỏa mãn x0 - 2x0 - y0 > 0? A 2023 B 4043 C 2022 D 4044 Câu Tính tổng tất giá trị tham số m , biết phương trình x - 3mx - 2m = có hai x12 + 3mx2 + 6m nghiệm phân biệt x1;x2 Câu m2 - 56 B 23 A - Câu thỏa mãn + m2 =4 x22 + 3mx1 + 6m C 17 256 D 153 3 Khi x = + biểu thức P = x - 5x + 9x - 12x + có giá trị a + b Giá trị 2a - b A 48 B C 36 D · (O ) với BOC = 100° Các tiếp tuyến đường tròn Cho hai điểm B,C thuộc đường tròn (O ) · B C cắt A Số đo góc ABC A 50° B 45° C 40° Câu Cho biểu thức x = 7+ ( ) f ( x) = 2x3 - 21x + 2022 49 + 78 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 D 55° 2023 Tính giá trị biểu thức f ( x) 49  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2023 A 2025 Câu B - M ( x0;y0 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình chiếu vng góc điểm O lên đường thẳng d : y = mx - m - (với m tham số) Khi độ dài đoạn thẳng OM đạt giá trị lớn nhất, P = x0 + 2y0 tính A P = - Câu 2023 D 2050 C B P = C P = D P = - ìï x + my = m + ï í ï mx + y = 3m - Biết hệ phương trình ïỵ (với m tham số) vơ nghiệm Giá trị m A m = ±1 B m = C m = - D m = AC = 10 3cm Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A , Gọi M trung điểm BC Khi tam giác AMB tam giác đều, tính chiều cao tam giác ABC kẻ từ A 10cm 3cm 3cm B C 9cm D Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi A,B hai điểm thay đổi thuộc hai tia Ox,Oy tương ứng A M ( 2;1) cho ba điểm A,B thẳng hàng Diện tích tam giác OAB có giá trị nhỏ A B C D 59 A= = a + b + c d 15 - + + Câu 12 Biết với a,b,c,d số nguyên Tính giá trị biểu thức a + b + c + d ( )( ) C D Câu 13 Cho tam giác ABC cân A với AB = 9, BC = 12 M trung điểm đoạn BC Gọi H chân đường cao tam giác AMB kẻ từ M ; I , K trung điểm đoạn MH , BH Đường thẳng AI cắt MK E , giá trị AI AE A B A 32 B 34 Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi C 33 M ( x0;y0 ) D 35 giao điểm hai đường thẳng y = 2x + y = - x + Giá trị biểu thức x0 + 4y0 A - B - D C - R = 16cm AB = 20cm Câu 15 Cho đường trịn tâm O có bán kính dây cung Trên dây AB lấy điểm AC = 8cm C cho Gọi D hình chiếu vng góc C lên đường kính AE đường trịn tâmO Tính độ dài đoạn thẳng AD cm A 11 cm B C 6cm D 5cm Câu 16 Phương trình x - 4x + m - = ( m tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn A m > B < m < C < m £ D m < CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 ( ) ( ) O;6cm O ';8cm Câu 17 Cho hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B · OAO ' = 90° Đường thẳng d qua A cắt đường tròn tâm O đường tròn tâm O ' C D (C , D khác A ) Giá trị lớn độ dài đoạn thẳng CD 25cm D Câu 18 Cho đường tròn tâm O có bán kính R hai dây cung AB,CD vng góc với I Biết IC = 4, ID = 12, IB = Tính R A 20cm B 30cm C B R = 66 A R = 24cm C R = 63 D R = 65 P ) : y = x2 m ( Oxy d : y = mx Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng parbol ( tham ( P ) hai điểm phân biệt cho khoảng cách số) Tính tích tất giá trị m để d cắt hai điểm A - B C - D - ( 3x - y) + x + 11+ x - + x + y + z = Giá trị Câu 20 Cho số thực x, y, z thỏa mãn biểu thức A P = 30 II Tự luận (3 điểm) Câu (6,0 điểm) P = x +y +z B P = 31 C P = 15 D P = 20 æ x ửổ 2x - x + 1ữ x ỗ ữ ỗ ữ ữ P =ỗ x x + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ x > 0; x ữ ỗ ỗ x ữ ỗ ố ứ x x è ø a) Rút gọn biểu thức với b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn (x + )( ) x2 + y + y2 + = Tính Q = x y2 + + y x2 + 2 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x - 2x + m + = có hai nghiệm x2 = 2x2 x ;x phân biệt thỏa mãn ( ) 4( x - 2) x + x2 - = x2 - 3x + 2x - Câu Giải phương trình (3,0 điểm) Câu A ( x) = 8x3 - 4x2 + 3x + B ( x) = 2x3 - 4x2 + 5x + Cho hai đa thức Biết A ( m) = B ( n) = , với m;n hai số thực Chứng minh rằng: 2m + n = x2 + 2x - Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn xy + y + số nguyên Chứng minh x.y số phương (O;R ) (O ¢;R ') ( với R > R ' ) cắt hai điểm phân (6,0 điểm) Cho hai đường tròn biệt A B Đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai đường trịn CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 (O;R ) (O ¢;R ')  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 (O;R ) M , N ( M , N khác A ) A thuộc đoạn thẳng MN Các tiếp tuyến với đường tròn (O ¢;R ') N cắt K M đường tròn Chứng minh tứ giác MBNK nội tiếp Gọi P ,Q, H tương ứng hình chiếu vng góc điểm B lên đường thẳng K M , K N MN Chứng minh ba điểm P , H ,Q thẳng hàng đường thẳng PQ tiếp xúc với đường tròn cố định · · Chứng minh PH = QH đường phân giác góc MK N MBN cắt Câu điểm nằm đường thẳng MN 2 (1,0 điểm) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c 3 + + ³ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 -Hết HƯỚNG DẪN GIẢI  Giáo viên góp đề hướng dẫn: Trần Thị Hoa SĐT: 0964.331.668  Giáo viên góp đề hướng dẫn: Bùi Văn Hưởng SĐT: 0976.074.495 I Trắc nghiệm (7 điểm) · Câu Cho đường tròn tâm O có bán kính R dây cung AB = Biết AOB = 120° (như hình vẽ) O 120° B A S Diện tích S phần hình trịn giới hạn cung nhỏ AB dây AB A ( S = 3p - ) 3) ( S = 3( 3p - 2) D B C S = 4p - 3 S = 3p - Câu y = ( - m) x + m + Có tất số nguyên m để hàm số đồng biến ¡ A 11 B C D 12 ìï x + my = 3m ï í ï mx - my = m2 - Hệ phương trình ïïỵ ( m tham số) Có giá trị nguyên m với Câu - 2023 < m £ 2023 để hệ có nghiệm ( x0;y0 ) thỏa mãn x0 - 2x0 - y0 > 0? A 2023 B 4043 C 2022 D 4044 Tính tổng tất giá trị tham số m , biết phương trình x - 3mx - 2m = có hai Câu x12 + 3mx2 + 6m nghiệm phân biệt x1;x2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 thỏa mãn m2 m2 + =4 x2 + 3mx1 + 6m  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 - 56 B 23 A - Câu Câu C 17 256 D 153 3 Khi x = + biểu thức P = x - 5x + 9x - 12x + có giá trị a + b Giá trị 2a - b A 48 B C 36 D · (O ) với BOC = 100° Các tiếp tuyến đường tròn Cho hai điểm B,C thuộc đường tròn (O ) · B C cắt A Số đo góc ABC A 50° B 45° C 40° Câu Cho biểu thức x = 7+ 49 + 78 2023 A 2025 Câu ) 2023 Tính giá trị biểu thức f ( x) 49 B - 2023 D 2050 C M ( x0;y0 ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình chiếu vng góc điểm O lên đường thẳng d : y = mx - m - (với m tham số) Khi độ dài đoạn thẳng OM đạt giá trị lớn nhất, P = x0 + 2y0 tính A P = - Câu ( f ( x) = 2x3 - 21x + 2022 D 55° B P = C P = D P = - ìï x + my = m + ï í ï mx + y = 3m - Biết hệ phương trình ïỵ (với m tham số) vô nghiệm Giá trị m A m = ±1 B m = C m = - D m = AC = 10 3cm Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A , Gọi M trung điểm BC Khi tam giác AMB tam giác đều, tính chiều cao tam giác ABC kẻ từ A 3cm 3cm B C 9cm D Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi A,B hai điểm thay đổi thuộc hai tia Ox,Oy tương ứng A 10cm M ( 2;1) cho ba điểm A,B ln thẳng hàng Diện tích tam giác OAB có giá trị nhỏ A B C D 59 A= = a + b + c d 15 - + + Câu 12 Biết với a,b,c,d số nguyên Tính giá trị biểu thức a + b + c + d ( )( ) C D Câu 13 Cho tam giác ABC cân A với AB = 9, BC = 12 M trung điểm đoạn BC Gọi H chân đường cao tam giác AMB kẻ từ M ; I , K trung điểm đoạn MH , BH Đường thẳng AI cắt MK E , giá trị AI AE A B A 32 B 34 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 C 33 D 35  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độOxy , gọi M ( x0;y0 ) giao điểm hai đường thẳng y = 2x + y = - x + Giá trị biểu thức x0 + 4y0 A - B - D C - R = 16cm AB = 20cm Câu 15 Cho đường trịn tâm O có bán kính dây cung Trên dây AB lấy điểm AC = 8cm C cho Gọi D hình chiếu vng góc C lên đường kính AE đường trịn tâmO Tính độ dài đoạn thẳng AD cm A 11 cm B C 6cm D 5cm Câu 16 Phương trình x - 4x + m - = ( m tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn A m > B < m < C < m £ D m < ( ) ( ) O;6cm O ';8cm Câu 17 Cho hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B · OAO ' = 90° Đường thẳng d qua A cắt đường tròn tâm O đường tròn tâm O ' C D (C , D khác A ) Giá trị lớn độ dài đoạn thẳng CD 25cm D Câu 18 Cho đường tròn tâm O có bán kính R hai dây cung AB,CD vng góc với I Biết IC = 4, ID = 12, IB = Tính R A 20cm B 30cm C B R = 66 A R = 24cm C R = 63 D R = 65 ( P ) : y = x2 ( m tham Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y = mx parbol ( P ) hai điểm phân biệt cho khoảng cách số) Tính tích tất giá trị m để d cắt hai điểm A - B C - D - ( 3x - y) + x + 11+ x - + x + y + z = Giá trị Câu 20 Cho số thực x, y, z thỏa mãn biểu thức A P = 30 II Tự luận (3 điểm) Câu (6,0 điểm) P = x +y +z B P = 31 C P = 15 D P = 20 æ x ưỉ 2x - x + 1÷ x ç ÷ ç ÷ ÷ P =ç x x + + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ x > 0; x ữ ỗ ỗ x ữố ỗ2 x - ứ x è ø a) Rút gọn biểu thức với CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 (x + b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 Q = x y +1+y x +1 )( ) x2 + y + y2 + = Tính 2 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x - 2x + m + = có hai nghiệm x2 = 2x2 x ;x phân biệt thỏa mãn Giải phương trình ( ) 4( x - 2) x + x2 - = x2 - 3x + 2x - Lời giải 1) a) Với x  x  , ta có:   x x 1 x  x 1    x  x 1 x  x 1 P           x               x x  x            x       x 1   x x 1   x x 1 x  x 1 x       x1  x 1  x   2  x x 1 x     x x 2  x x 2x  x 2x  x 1                KL x b) Từ giả thiết ta   x  y  y  2  xy  x y   y x   x  y  2  1 x   x  x  x  x  x 0, x x   x  y  y  2   y x2 1  x y 1  Cộng theo vế  1  x2 1  x  x  y   xy   2 y   y  y  y  y  y 0, y tương tự , ta được:  y 1  y   2 x y 1  y x2 1  KL 2) Ta có    m Phương trình có hai nghiệm phân biệt      m   m    * CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  x1  x2 2  x x m  Theo định lý Vi-et ta   1  2  x   x2 4 x12  x1  0    1 ta  x1 1  x2 1 Từ giả thiết x x2 So sánh với điều kiện ta x1  ; x2 4   ta m  10 (thỏa mãn điều kiện  * ) Thay x1  2; x2 4 vào KL  x  0  x 1  x  x     3) Điều kiện xác định: Với điều kiện trên: Phương trình tương đương với  x      x 2   x  x  9  x  1 x   Phương trình x  x    x  1 x   0   1  2  2 2  x  1   x  1  x 1   x  1 9  x  1 2  2  x   x 1  x 9  x  1 x   x   x  9  x  1 x      x    x  1    2 x    x  0 3x     x   3x      0  x   x 1      3x    x    0 x   x 1   x 1  x   Do x  0  x  0 x   x 1 nên phương trình tương đương với (thỏa mãn)  5 S 2;   3 Vậy phương trình có tập nghiệm Câu (3,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A ( x) = 8x3 - 4x2 + 3x + B ( x) = 2x3 - 4x2 + 5x + Cho hai đa thức Biết A ( m) = B ( n) = , với m;n hai số thực Chứng minh rằng: 2m + n = x2 + 2x - Cho số nguyên dương x, y thỏa mãn xy + y + số nguyên Chứng minh x.y số phương Lời giải Ta chứng minh B  a  B  b   a b  * Thật 2a  4a  5a  2b3  4b  5b    a  b3    a  b    a  b  0   a  b   2a  2ab  2b   a  b   5 0  1 Do 2a  2ab  2b   a  b    a  b    a  b   a, b Nên từ  1 ta a  b 0  a b Ta B   2m  2   2m     2m     2m     8m3  4m  3m  1   A  m    2.2  5 (do A  m  2 )    1   ta B  n  B   2m  Áp dụng tính chất  * suy n 1  2m hay Từ 2m  n 1 (Điều phải chứng minh) x2  x   x  x  1 xy  y   xy  y  2 Do nên  1 2   x  1  2y  x  1   y   x  1   y  x  1      x  1  y  x  1      x  1  y  y  x  1    x  1  y y  x  1    x  1  y  y  x  1  (do x, y nguyên dương)   x  1  y   2    1 phải có + Với y 1 thay vào x  x  1x    x  3  x     x  3  2x   2x  (không thỏa mãn)  x  1  y    N , kết hợp với   suy  x  1  y     0;1; 2 Vì x 1 , y 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 TH1:  x 1  y 2 thay vào  1 thấy không thỏa mãn  x  1  y   0     x  1  y   1   x  1  y   2   x; y     2;3 ;  2;  ;  3;3  TH2:  Thay lại vào (đpcm) Câu  1 ta thấy có  x; y   3;3 (6,0 điểm) Cho hai đường tròn (O;R ) thỏa mãn suy xy 9 số phương (O ¢;R ') ( với R > R ' ) cắt hai điểm phân biệt A B Đường thẳng d thay đổi qua A cắt hai đường trịn (O;R ) (O ¢;R ') (O;R ) M , N ( M , N khác A ) A thuộc đoạn thẳng MN Các tiếp tuyến với đường tròn (O ¢;R ') N cắt K M đường tròn Chứng minh tứ giác MBNK nội tiếp Gọi P ,Q, H tương ứng hình chiếu vng góc điểm B lên đường thẳng K M , K N MN Chứng minh ba điểm P , H ,Q thẳng hàng đường thẳng PQ tiếp xúc với đường tròn cố định · · Chứng minh PH = QH đường phân giác góc MK N MBN cắt điểm nằm đường thẳng MN Lời giải Chứng minh …    1 (tính chất góc tạo tia tiếp tuyến dây cung   KMA Ta có MBA hay MBA KMN tính chất góc nội tiếp) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 10  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023     Tương tự NBA KNA hay NBA KNM  2     3 Ta có MBN MBA  NBA Từ  1 ,    3 ta    MBN KMN  KNM  4       Do KMN  KNM  MKN 180  KMN  KNM 180  MKN Từ  4  5  5   ta MBN  MKN 180 hay tứ giác MBNK nội tiếp Chứng minh…    6 Từ giả thiết ta có tứ giác PBQK nội tiếp nên PBQ 180  PKQ Từ  5  6     suy MBN PBQ  PBM QBN  7 Xét trường hợp H thuộc đoạn AN (các trường hợp lại tương tự) Dễ thấy tứ giác PMBH       MBP nội tiếp MPB MHB 90 QNHB nội tiếp BHN  BQN 180 , PHM    8 QHN  9 QBN Từ   , (8)   ta suy ba điểm P , H , Q thẳng hàng   10  Trước hết BHA 90 nên điểm H thuộc đường trịn đường kính AB Xét tứ giác nội tiếp PMBH , ta có:        HBM 180  HPM PMH  PHM  ABM suy HBM PHM  ABM mà PMH   HBA  ABM Mặt khác, HBM Từ  11  12   11  12   13   HBA suy PHM  10   13 suy đường thẳng PQ tiếp xúc với đường trịn đường kính AB Từ điểm H Gọi D điểm đối xứng điểm M qua điểm B   Gọi E giao điểm hai đường phân giác góc MBN MKN Khi điểm E thuộc đường thẳng MN theo tính chất đường phân giác tam giác ta có MK MB  ME  MK DB     KN BN  EN  KN BN  14      15  Mặt khác, MKN DBN (cùng bù với góc MBN ) Từ  14   15       16  suy MKN DBN  MNK DNB , NMK NDB CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 11  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023       BMH Do tứ giác PHBM nội tiếp nên BPH hay BPQ BMN BPH  NDB hay    BPQ  NDB  NDB  17   Câu  PH BP BP PBH MDN  g.g   MN  DM  BM suy  16  Từ  17  Dễ thấy MBN PBQ  g.g   18 Từ  19  PQ BP  nên MN BM  18   19  PH  PQ  HP HQ ta (đpcm) (1,0 điểm) 2 Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c 3 + + ³ 2 2 b +c c +a a +b Lời giải 2 2 2 Do a , b , c dương a  b  c 1 nên  a , b , c   a ,  b ,  c số dương 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm 2a ,  a ,  a ta 2a    a     a  3 a   a    a  23  2a   a    a    3a 1  a  27 , dấu " " xảy 2 Ta có: a2  a a a2   2a   a    a  b2  c2  a a   a   a2 23  27  3a 2  1 Chứng minh tương tự, ta được: b2  b b b   2b   b    b  c2  a  b2 b   b2  2 c c c   2 a  b 1 c c   c2  Cộng  1 ,   ,  3  c2 2c   c    c    b2 23  27 c2 23  27  3b 2  2  3c 2  3 theo vế ta được: a b c 3    a  b2  c2   2 b c c a a b 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 12  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  a b c 3    2 b c c a a b (đpcm) Dấu " " xảy  a b c  3 -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 13 