Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG TRỊN TIẾP XÚC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2018 i Danh mưc h¼nh 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 B i to¡n Feuerbach Düng ÷íng trán Thebault nh lỵ Thebault Bờ sung tẵnh chĐt cõa t¥m I B i to¡n cì b£n a) P Q i qua I ; b) P Q i qua IC c) P Q i qua IA ; d) P Q i qua IB CĂc trữớng hủp cừa nh lỵ Thebault Tø b i to¡n Thebault án nh lỵ Feuerbach Mằnh à 1.3 nh lỵ Feuerbach ối vợi ữớng trỏn bng tiáp IMO 2012 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 B i to¡n Malfatti Tờng diằn tẵch cĂc hẳnh trán Malfatti khæng Nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc Lới giÊi Ôi số Lới giÊi Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach Khi R = 21 ; a = sin α, b = sin β, c = sin γ Ph²p düng phö v  ph²p düng phö Php dỹng bơng phƯn mÃm GeoGebra, n«m B i to¡n A B i to¡n B 10 11 12 13 14 16 17 18 ph£i l  lợn nhĐt 2013 20 21 24 25 26 28 29 30 32 33 3.1 arbelos - h¼nh "con dao thđ èng gi¦y" 39 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos 41 3.3 nh lỵ Bankoff thù nh§t 42 ii 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Ba cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC C¡ch düng thù t÷ cõa ÷íng trán nëi tiáp Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai nh lỵ Bankoff thự hai C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ Cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu C°p ÷íng trán thù b£y, thù t¡m Cp ữớng trỏn thự chẵn v  c°p thù m÷íi C°p thù m÷íi mët v  c°p thù m÷íi hai 43 45 46 47 48 49 50 51 52 iii Mưc lưc Líi c£m ìn M Ưu Tứ bi toĂn Thebault án bi toĂn Feuerbach 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.1.1 B i to¡n Feuerbach 1.1.2 B i to¡n Thebault 1.2 B i to¡n cì b£n 1.2.1 p döng b i toĂn cỡ bÊn chựng minh nh lỵ Thebault 1.2.2 Tứ nh lỵ Thebault án nh lỵ Feuerbach 1.3 p döng B i to¡n Malfatti 2.1 Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti 2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.3.1 C¡ch düng Ôi số 2.3.2 CĂch dỹng Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc 2.4.1 Hai b i to¡n Malfatti èi ngău 2.4.2 B i to¡n Malfatti cho tam gi¡c ·u v hẳnh vuổng 2.4.3 Bi toĂn Malfatti cho ữớng trỏn ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos vi 4 12 14 17 20 20 22 24 24 26 31 31 34 37 38 3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n 38 iv 3.2 ÷íng trán nëi ti¸p arbelos 3.2.1 T½nh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos 3.2.2 CĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC 3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes arbelos 3.3.1 Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai 3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ 3.3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù n«m v  thù s¡u 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù t¡m T i li»u tham kh£o 40 40 44 45 45 48 49 50 54 v BÊng kỵ hiằu stt 10 11 Kỵ hiằu O9 ρa (ABC) (O) (OA , rA ) [ABC] (P Q) O(r) ab t= a+b (Wk ), (Wk0 ) (CXY ) Nởi dung kỵ hiằu TƠm ữớng trỏn Euler BĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp Ab ữớng trỏn i qua iºm A, B, C 11 ÷íng trán tƠm O 17 TƠm, bĂn kẵnh ữớng trỏn Malfatti Ab 24 Hẳnh arbelos 22 Nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q 38 ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r 38 BĂn kẵnh ữớng trỏn Archimedes 45 Cp ữớng trỏn Archimedes ữớng trỏn Bankoff hẳnh arbelos 46 47 vi Lới cÊm ỡn  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn-Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K10B (2016 - 2018) Trữớng Ôi hồc khoa Hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi ho n th nh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ìn chƠn thnh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! HÊi Phỏng, thĂng 10 nôm 2018 Ngữới viát Luên vôn Vụ Th Nôm M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn CĂc bi toĂn và ữớng trỏn luổn l  nhúng b i to¡n ÷đc c¡c nh  to¡n håc quan tƠm NhiÃu bi toĂn và sỹ tiáp xúc cừa cĂc ữớng trỏn  gưn liÃn vợi tản tuời cừa cĂc nh  to¡n håc nh÷ b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trán hẳnh hồc arbelos ("hẳnh dao cừa thủ õng giƯy") Sỹ dăn dưt tứ bi toĂn ny sang bi toĂn khĂc cĂc ựng dửng cừa chúng  mang lÔi nhiÃu kát quÊ tuyằt với cừa hẳnh hồc Euclide  hiu biát thảm và cĂc cĂc ữớng trỏn tiáp xúc, khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cĂch xĂc nh chúng, Ăp dửng ữủc vo cĂc bi toĂn khĂc, tổi  chồn à ti "Mởt số bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc" Mửc ẵch cừa à ti l: -Tẳm hiu cĂc bi toĂn liản quan án cĂc ữớng trỏn tiáp xúc: b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos - Trẳnh by mội bi toĂn vợi nhỳng nởi dung ữủc cêp nhêt, theo trẳnh tỹ: xuĐt cừa bi toĂn, cĂch giÊi quyát mợi cừa bi toĂn v cĂc bi toĂn liản quan - CĂc kát luên khoa håc rót tø c¡c b i to¡n v  ¡p dưng º gi£i to¡n håc sinh giäi ð phê thỉng - Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh håc giäi mỉn H¼nh håc 2 Nëi dung cừa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c b i to¡n nâi trản, Ăp dửng ữủc cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn tiáp xúc vo cĂc bi toĂn khĂc Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng Tứ bi toĂn Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v  mèi li¶n h» giúa chóng B i to¡n Feuerbach l  mët nhúng b i toĂn àp  nhĐt cừa hẳnh hồc phng Euclide trÊi qua nhiÃu nôm thĂng vợi nhiÃu cĂch chựng minh Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Giợi thiằu và hai bi toĂn: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.2 B i to¡n cì b£n 1.3 p dưng Ch÷ìng B i to¡n Malfatti Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti v  b i to¡n Malfatti gèc Trẳnh by chi tiát lới giÊi bi toĂn toĂn Malfatti cho tam giĂc bĐt ký, giÊi thẵch Ưy ừ tÔi c¡c ÷íng trán Malfatti khỉng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc v  ¥u l  nghi»m óng cõa b i to¡n õ Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Giợi thi»u b i to¡n Malfatti 2.2 Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc Ch÷ìng ÷íng trán tiáp xúc hẳnh hồc arbelos Hẳnh hồc arbelos nghiản cựu cĂc nỷa ữớng trỏn tiáp xúc, chỳ "arbelos" ữủc gh²p tø c¡i α, %, β, η, λ, θ, ς th nh (α%βηλθς ) H¼nh arbelos l  ba nûa ữớng trỏn vợi cĂc ữớng kẵnh trản mởt ữớng thng Theo quan iºm trüc quan, ng÷íi ta gåi arbelos l  "hẳnh dao cừa thủ õng giƯy" 40 Chựng minh Xem \ \ = h¼nh 3.1b) Ta câ c¡c gâc vuæng AU C = ADB b , D, b Vb cõa tù gi¡c CU DV ·u b¬ng 1v Suy \ CV B = 1v n¶n ba gâc U tự giĂc CU DV l hẳnh chỳ nhêt Bi toĂn 3.3 GiÊ thiát nhữ bi toĂn trản, õ ữớng thng U V l tiáp tuyán cừa hai nỷa ÷íng trán (AC) v  (CB) Chùng minh Gåi O l  trung iºm CD Ta câ" \ \ \ AU C = 900 , U AC = 900 − U CA \ \ \ \ LÔi cõ U CD = 1v U CA nản AU C =U CD, vêy U O1 C ∼ ∆U CD \ \ \ v  suy U\ O1 C = U OD V¼ C, O, D th¯ng h ng n¶n CU O+U OD = 0 0 \ \ \ 180 hay U\ O1 C + U OC = 180 m  O CO = 90 n¶n O1 U C = 90 hay O1 U U O Nhữ thá U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AC) tÔi U Hon ton tữỡng tỹ, U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (CB) tÔi V 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos Ta xt nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp, phĂt biu v chựng minh mởt số tẵnh chĐt  tứ õ cõ cĂc cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp mởt Arbelos 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos nh nghắa 3.1 Cho Arbelos ABC ữớng trỏn tiáp xúc ngoi vợi (BC), (CA) tÔi X, Y v tiáp xúc vợi (AB) tÔi Z ữủc gồi l ữớng trỏn nëi ti¸p cõa arbelos ABC Ba iºm X, Y, Z l cĂc tiáp im Mằnh à 3.1 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC cõ bĂn kẵnh = ab(a + b) a2 + ab + b2 Chùng minh Gåi ω l tƠm v l bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp , t \ OO2 = Theo nh lỵ cỉsin ¡p dưng v o ∆O1 ωO, ∆O2 ωO: O1 ω = Oω + OO12 + 2Oω.OO1 cosθ O2 ω = Oω + OO22 + 2Oω.OO2 cosθ 41 Hẳnh 3.2: ữớng trỏn nởi tiáp arbelos tữỡng ữỡng vỵi (a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ)cosθ (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 + 2a(a + b − ρ)cosθ Khû cosθ ta ÷đc a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 + b2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 Khai trin hai vá v giÊn ữợc ta ữủc phữỡng trẳnh bêc nhĐt ối vợi : a3 + b3 + 2(a2 + b2 )ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ hay ρ = ab(a + b) a2 + ab + b2 Trong [5], P.Woo  ữa cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp cừa hẳnh arbelos rĐt ỡn giÊn, tĐt cÊ ·u suy tø vi»c ph¡t hi»n iºm thuëc ữớng trỏn Ngay sau Ơy ta s trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Tứ õ suy cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh arbelos Mằnh à 3.2 (nh lỵ Bankoff thự nhĐt) GiÊ sỷ Q1, Q2 l  trung iºm nûa ÷íng trán (AC), (BC) Vợi kỵ hiằu nhữ nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC thẳ i, A, C, X, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q1 ii, B, C, Y, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q2 42 Hẳnh 3.3: nh lỵ Bankoff thự nhĐt Chựng minh Xem hẳnh 3.3 Gồi D l giao cừa nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB vợi ữớng thng CtAB Lữu ỵ r¬ng ta câ AB.AC = AD2 X²t ph²p nghàch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l (A, AD) Hai iºm B, C l  nghàch £o cõa nhau, cán AB l  ÷íng th¯ng k²p ƒnh cõa c¡c nûa ÷íng trán (AB), (AC) t÷ìng ùng l  c¡c ÷íng th¯ng `, `0 vuổng gõc vợi AB , lƯn lữủt i qua C v B Nỷa ữớng trỏn (AB) trỹc giao vợi AB (kp) nản cụng l nỷa ữớng trỏn kp ữớng trỏn nởi tiáp (XY Z) nghch Êo thnh ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (BC) v cĂc ữớng thng `, `0 tữỡng ựng tÔi im P, Y , Z Vẳ nỷa ữớng trỏn (BC) kp n¶n c¡c iºm A, X, P th¯ng h ng; c¡c iºm Y , Z , cƯn thọa mÂn iÃu kiằn º BP Z v  CP Y l  c¡c ữớng thng tÔo vợi AB cĂc gõc 450 Ta lÔi cõ ữớng thng BP Z i qua trung iºm L cõa ÷íng trán (AB) ƒnh nghàch £o cõa nâ l  ÷íng i trán i qua A, C, X, Z Vẳ php nghch Êo bÊo ton gõc nản ữớng trỏn ny cụng tÔo vợi AB gõc 450 Do â t¥m cõa nâ l  trung iºm Q1 cõa ữớng trỏn (AC) PhƯn thự hai hon ton tữỡng tỹ 43 Hẳnh 3.4: Ba cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC M»nh · 3.3 C¡c ÷íng th¯ng AX, BY, CZ cưt tÔi im S trản ữớng trỏn nởi tiáp (XYZ) Chựng minh Xem hẳnh 3.4 b) Ta luæn câ A, X, Q2 th¯ng h ng, B, Y, Q1 th¯ng h ng Gåi S = AQ2 ∩ (XY Z) v  xt php nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l A(AD) ƒnh nghàch £o cõa S l  S = AQ2 ∩(Q2 Y Z ) 0 0Z = Q 0 0 \ \ \0 \ Lữu ỵ rơng AS S Z = Q2 Y Z = 45 = ABZ n¶n A, B, S , Z thuởc mởt ữớng trỏn Bơng cĂch xt £nh nghàch £o cõa ÷íng trán n y ta rót CZ chùa S Nâi c¡ch kh¡c AQ2 v  CZ cưt tÔi im S trản ữớng trỏn (XY Z) Cụng giống nhữ vêy ối vợi BQ1 v CZ M»nh · 3.4 Gåi M l  trung iºm cõa nûa ữớng trỏn (AB) ối xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) cõa arbelos ABC Khi â, c¡c iºm A, B, X, Y nơm trản ữớng trỏn tƠm M v CZ i qua M Chùng minh Xem h¼nh 3.4 c) V¼ C, Q2, Y nơm trản ữớng thng tÔo vợi AB gâc 450 n¶n £nh nghàch £o cõa nâ l  mët ữớng trỏn i qua A, B, X, Y cụng tÔo vợi AB gõc 450 TƠm cừa ữớng trỏn ny ph£i l  trung iºm M cõa nûa ÷íng trán (AB) èi xùng vỵi nûa (AB) cõa arbelos qua AB Nèi M n¶n iºm A, Z , B, M \ = 450 = BZ \ AM , nâ c­t ` ð M Vẳ BAM ỗng viản Sỷ dửng php nghch Êo ta suy CZ i qua M 44 3.2.2 C¡ch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC Ta cõ nhiÃu cĂch dỹng ữớng trỏn nởi táp mởt arbelos: CĂch dỹng (Suy tø m»nh · 3.2), h¼nh 3.4 a)) - Düng Q1 , Q2 l  trung iºm c¡c nûa ÷íng trán (AB), (CB) - Düng ÷íng trán Q1 (Q1 A) cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (CB), (AB) lƯn lữủt X, Y - Düng ÷íng trán Q2 (Q2 B) c­t cĂc nỷa ữớng trỏn (AC), (AB) lƯn lữủt Y, Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trán c¦n düng C¡ch düng (Suy tø m»nh · 3.3), h¼nh 3.4 b)) - Düng X = AQ2 ∩ (CB), Y = BQ1 = ∩(AC), gåi S l  giao cõa c¡c ÷íng th¯ng AQ2 , BQ1 - ÷íng trán ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng CĂch düng (Suy tø m»nh · 3.4), h¼nh 3.4 c)) - Düng M l  trung iºm nûa ÷íng trán èi xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) Arbelos - Dỹng ÷íng trán M (M A), nâ c­t c¡c nûa ÷íng trỏn (CB), (AC) lƯn lữủt X, Y - Dỹng ÷íng th¯ng M C , nâ c­t nûa ÷íng trán (AB) Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng Ta lÔi thĐy rơng tƠm cừa (XY Z) chẵnh l giao cừa cĂc ữớng thng nối X, Y, Z lƯn lữủt l tƠm cĂc nỷa ữớng trỏn (BC), (AC), (AB) Tuy nhiản ta cõ th dỹng tƠm mởt cĂch ỡn giÊn hỡn, bơng cĂch ch cƯn dỹng hai hẳnh vuổng (hẳnh 3.5) Ta kỵ hiằu t¥m cõa (XY Z) l  ω º sû dưng v· sau 45 Hẳnh 3.5: CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp 3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes arbelos CĂc cp ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt giống c°p ÷íng trán Archimedes ÷đc ph¡t hi»n v  cỉng bè nhiÃu cĂc bi bĂo khoa hồc gƯn Ơy Cp ữớng trỏn thự nhĐt chẵnh Archimedes tẳm ra, chựng minh ữủc chúng cõ bĂn kẵnh bơng khổng phử thuởc vo v trẵ cừa im C trản AB 3.3.1 Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Mằnh à 3.5 (nh lỵ Archimedes) Hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi CD, vợi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v mët hai nûa ÷íng trán O1(a), O2(b) câ b¡n k½nh t = a ab khỉng phư thc v o trẵ cừa C trản AB +b Chựng minh Xt ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc nỷa ữớng trỏn O(a + b), O1 (a) v CD Kỵ hiằu t l bĂn kẵnh ữớng trỏn Bơng cĂch tẵnh khoÊng cĂch tứ tƠm ữớng trỏ ny tợi AB theo cĂch ta cõ phữỡng trẳnh (a + b t)2 (a b − t)2 = (a + t)2 − (a − t)2 ab a+b Do t½nh èi xùng cõa biu thực ối vợi a, b ta suy ữớng trán thù hai cơng câ b¡n k½nh t Tø â, t = 46 Hẳnh 3.6: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Hai ữớng trỏn nõi trản l cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt Php dỹng ữớng trỏn Archimedes ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau - Dỹng Q1 , Q2 l  trung iºm nûa ÷íng trán (AB) v  CB - Düng K = O1 Q2 ∩ O2 Q1 , th¼ K ∈ CD v  KC = KC = ab Chú ỵ rơng a+b ab = t - bĂn kẵnh cừa cĂc ữớng trỏn Archimedes a+b - Düng M1 , M2 ∈ AB cho CM1 = CM2 = KC - Düng W1 = O1 (O1 M2 ) ∩ M1 u vỵi M1 u⊥AB â l  tƠm Archimedes thự nhĐt - Dỹng W10 = O2 (O2 1M1 ) ∩ M2 v vỵi M1 v⊥AB â l tƠm Archimedes thự hai Trản hẳnh 3.6 ta kỵ hiằu (W1 ), (W10 ) Sau Archimedes ngữới ta tẳm ÷đc ab kh¡ nhi·u c¡c c°p ÷íng trán câ b¡n kẵnh v cõ tẵnh chĐt tiáp xúc a+b giống nhữ thá Chúng tổi s lƯn lữủt trẳnh by mởt số c°p, câ c£ nhúng c°p ÷đc ph¡t hi»n nhúng nôm gƯn Ơy Cp ữớng trỏn (W2 ), (W20 ) lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa (W1 ), (W10 ) lản AB õ l cp ữớng trỏn Archimedes thự hai, c¡c c°p ÷íng trán (W1 ), (W20 ) 47 câ ti¸p tuy¸n chung i qua B , cán c¡c c°p (W10 ), (W2 ) câ ti¸p tuy¸n chung i qua A, hẳnh 3.6 Cp ny ữủc phĂt hiằn bi C.W Dodge, cổng bố tÔp chẵ Math Mag.,72(1999) Hẳnh 3.7: nh lỵ Bankoff thự hai Mằnh à 3.6 (nh lỵ Bankoff thự hai) GiÊ sỷ ữớng trỏn nởi tiáp cừa arbelos [ABC] tiáp xúc hai nỷa ữớng trỏn (AC) v (CB) tữỡng ựng tÔi X,Y Khi õ ữớng trỏn i qua C, X, Y cụng cõ bĂn kẵnh bơng t = a ab +b Chùng minh Rã r ng ÷íng trỏn (CXY ) l ữớng trỏn nởi tiáp cừa tam gi¡c ωO1 O2 v  ωX = ωY = t, O1 X = O1 C = a, O2 Y = O2 C = b Nûa chu vi cõa tam gi¡c CO1 O2 b¬ng (a + b)2 ab(a + b) = a + b + t = (a + b) + a + ab + b2 a + ab + b2 S BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ữủc tẵnh theo cổng thực r = p s r ab abt ab.ab(a + b) r= = = a+b+t (a + b)3 a+b â ch½nh l  b¡n k½nh t cừa ữớng trỏn Archimedes ữớng trỏn CXY õ cõ tản gồi l ữớng trỏn Bankoff, hẳnh 3.7 Kát quÊ ny ch mối quan hằ giỳa ữớng trỏn nởi tiáp arbelos v  ÷íng trán Bankoff (cơng l  ÷íng trán Archimedes) ỗng thới ữớng trỏn Bankoff lÔi l ữớng trỏn nởi tieps cõa tam gi¡c ωO1 O2 48 3.3.2 C°p ữớng trỏn Archimedes thự ba v thự tữ Hẳnh 3.8: Cp ữớng trỏn Archimedes thự ba v thự tữ Kỵ hi»u th¶m I l  trung iºm cung AB ữớng vuổng gõc vợi AB , i qua O, C lƯn lữủt cưt Q1 Q2 I, J Khi â ta câ CJ = 2t v  v¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 nản theo tẵnh chĐt ữớng trung bẳnh hẳnh thang ta câ: OI = (a + b) − 2t K²o theo II = 2t lữu ỵ rơng OQ1 = OQ2 v vẳ I v J lÔi ối xựng qua trung iºm cõa Q1 Q2 n¶n câ JJ = II = 2t Tø â suy ra: hai ữớng trỏn tƠm (W3 ), (W30 ) mội ữớng trỏn i qua I, J v tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt cừa arbelos Ãu cõ bĂn kẵnh bơng t â l  c°p ÷íng trán Archimedes thù ba cõa arbelos [ABC], xem hẳnh 3.8a Cp ny ữủc phĂt hiằn bi Thomas Schoch, Germany Nôm 1970 T.Schoch  lữu ỵ rơng cõ rĐt nhiÃu ữớng trỏn Archimedes hẳnh Arbelos ab GiÊ sỷ t = nhữ trản Náu U V l tiáp tuyán chung ngoi cừa hai a+b nỷa ữớng trỏn nhọ hẳnh arbelos v tiáp xúc vợi dƠy cung HK cừa nỷa ữớng trỏn lợn Gồi W4 = O1 W ∩ O2 U V¼ O1 U = a, O2 V = b v  O1 C a ab = nản W4 = = t iÃu õ nghắa l ÷íng trán W4 (t) i CO2 b a+b qua C v tiáp xúc vợi HK im N Gồi M l  trung iºm cõa HK V¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 n¶n OM + CN = O1 U + O2 V = a + b Tø â suy (a + b) OM = CN = 2t Nghắa l ữớng trỏn tiáp xúc vợi dƠy HK v cung HK cõ bĂn kẵnh t ữớng trỏn tƠm W40 ny tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) im Q Cp ữớng trỏn tƠm W4 (t), (W40 (t) gồi l cp ữớng trỏn Archimedes thự tữ, hẳnh 3.8b) 49 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Hẳnh 3.9: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Nôm 2005, Frank Power  phĂt hiằn cp ÷íng trán Archimedes (W5 ), (W50 ) v  (W6 ), (W60 ), xem [3] Mằnh à 3.7 ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) v tiáp xúc vợi OQ1 Q1 (Hoc tiáp xúc vợi OQ2 Q2 ) câ b¡n k½nh t = a ab +b Chựng minh Cõ hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi OQ1 Q1, trản hẳnh 3.9 ta kỵ hiằu tƠm l W5 v W50 Xt ữớng trỏn tƠm W5 , b¡n k½nh r Ta câ c¡c tam gi¡c vng OQQ1 v  OW5 Q1 n¶n: OQ21 = O1 Q21 + OO12 = a2 + b2 , thay v o ¯ng thùc sau OW52 = Q1 W52 + OQ21 ⇐⇒ (a − b − r)2 = (a2 + b2 ) + r2 ab Tẵnh toĂn nhữ thá thu ữủc (W50 ) cơng câ b¡n k½nh t Tø â, r = a+b Hon ton tữỡng tỹ, ta cõ thảm cp (W6 ), (W60 ) C°p ÷íng trán (W5), (W50 ) v  (W6), (W60 ) cán ÷đc gåi l  c°p ÷íng trán kiºu Pewer Ta s giợi thiằu thảm cp nhữ vêy 50 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù t¡m Gåi M l  trung iºm cõa CD, kỵ hiằu im xuyản tƠm ối cừa ữớng kẵnh ữớng trỏn CD, vuổng gõc vợi OM v U1 , U2 Chú ỵ rơng OC = (a b)2 v vẳ CD = ab nản OD2 = a2 − ab + b2 v  OU12 = a2 + b2 Hẳnh 3.10: Cp ữớng trỏn thự bÊy, thự tĂm BƠy giớ xt cp ữớng trỏn bơng nhau, mội ữớng trỏn tiáp xúc O(a+b) v tiáp xúc vợi tÔi U1 v U2 BĂn kẵnh r cừa cĂc ữớng trỏn ny thọa mÂn (a + b r)2 = OU12 + r2 Thay c¡c ¯ng thù trản vo phữỡng trẳnh ab thu ữủc: r = Vêy ta cõ cp ữớng trỏn Archimedes thự bÊy kiu a+b Power (W7 ), (W70 ) Bơng cĂch lĐy ối xóng qua OM ta câ c°p ÷íng trán Archimedes thù t¡m kiºu Power (W8 ), (W80 ), h¼nh 3.10 Hai c°p n y ÷đc ph¡t hi»n bði Floor van Lamoen (St Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands) N«m 2014, Dao Thanh Oai v  Tran Quang Hung cơng giỵi thi»u c°p ÷íng trán Archimedes Forum Geometricorum: c°p (W9 ), (W90 ) v  0 c°p (W10 ), (W10 ) trản hẳnh 3.11 cừa Dao Thanh Oai; cp (W11 ), (W11 ) v  c°p (W12 ), (W12 ) trản hẳnh 3.12 cừa Tran Quang Hung + b)2 Chựng minh rơng diằn tẵch IO1O2 bơng aab(a v + ab + b2 I c¡ch AB mët kho£ng b¬ng 2ρ B i to¡n 3.4 51 B i to¡n 3.5 Chùng minh rơng cĂc tiáp im cừa I() vợi cĂc nỷa ữớng trán câ thº x¡c ành ¬ng c¡ch: X,Z l  giao cõa Q1(Q1A) vỵi hai nûa O1 (a), O(a+b), cán X, Z l  giao cõa Q2 (Q2 B) vỵi hai nûa O2 (b), O(a+b) Hẳnh 3.11: Cp ữớng trỏn thự chẵn v  c°p thù m÷íi B i to¡n 3.6 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A' B' l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa D trản tiáp tuyán tÔi K v H cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB, tữỡng ựng CĂc ữớng trỏn ữớng kẵnh DA' v DB' l cĂc ữớng trỏn Archimedes Bi toĂn 3.7 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A1A2 v B1B2 l tiáp tuyán cừa hai ữớng trỏn (AC), (CB) vợi A1, B1 AB v  A1A2 = a, B1 B2 = b Gåi W10 = CQ1 ∩ A1 B2 , W10 = CQ2 ∩ B1 A2 Khi â c¡c ÷íng trán tƠm W10, W100 i qua C l cĂc ữớng trỏn Archimedes Bi toĂn 3.8 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, cĂc ữớng thng vuổng gõc vợi AB tÔi O1, O2 cưt (AB) tữỡng ựng tÔi E, F Kỵ hiằu W11 = AF ∩ 0 (AC), W11 = BE ∩ (CB) thẳ cĂc ữớng trỏn tƠm W11 , W11 tiáp xóc vìi CD l  c¡c ÷íng trán Archimedes 52 Bi toĂn 3.9 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, giÊ sỷ W12 l giao cừa AD vợi nỷa ữớng trỏn (AO2) v W120 l giao cừa BD vợi nỷa ữớng trỏn (BO1 ) CĂc ữớng trỏn tƠm W12 v W12 tiáp xúc vợi CD l cĂc ữớng trỏn Archimedes Hẳnh 3.12: Cp thự mữới mởt v cp thự mữới hai B i to¡n 3.10 (÷íng trán cõa Schoch) ÷íng trán C nởi tiáp tam giĂc cong b giợi hÔn bði nûa ÷íng trán O(a+b) v  c¡c ÷íng trán A(2a), B(2b) Chựng minh rơng C l ữớng trỏn Archimedes 53 Kát luên cừa luên vôn Luên vôn  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ sau Trẳnh by hai bi toĂn nời tiáng vợi hữợng chựng minh mợi: Bi to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach xu§t ph¡t tø b i to¡n cì b£n v  têng qu¡t hâa Tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n Malfatti v· düng ÷íng trán v trẳnh by tữớng minh và nghiằm cừa bi toĂn Malfatti gèc còng ba b i to¡n kiºu Malfatti (cho tam giĂc Ãu, hẳnh vuổng v ữớng trỏn) PhĂt biu v  tr¼nh b y líi gi£i mët sè b i to¡n v· ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc Arbelos ữa cĂc kát quÊ và cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC v giợi thiằu 12 cp ữớng trỏn Archimedes cừa Arbelos CĂc kát quÊ ny mợi ữủc cổng bố cĂc bi bĂo gƯn Ơy: [2], [4], [5], [7] Chúng tổi nhên thĐy cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo: - Tẳm thảm và cĂc bi toĂn ựng dửng kát quÊ cừa cĂc nh lỵ luên vôn Tẳm hiu sƠu thảm và hẳnh hồc Arbelos - Sỷ dửng cĂc php bián hẳnh thẵch hủp hoc phữỡng phĂp tồa ở  nghiản cựu sƠu và cĂc bi toĂn ang xt Mc dũ  rĐt cố gưng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, khiám khuyát TĂc giÊ rĐt mong sỹ gõp ỵ, bờ sung cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cừa cĂc ỗng nghiằp nhơm lm cho kát quÊ nghiản cựu hon chnh v cõ ẵch hỡn Xin ch¥n th nh c£m ìn 54 T i li»u tham kh£o Tiáng Viằt [1] Nguyạn BĂ ang, (2016), Nhỳng nh lỵ b i to¡n ¡p döng, NXB Gi¡o döc Vi»t nam hẳnh hồc phng v cĂc Tiáng Anh [2] Kostandinov E., (2013) Malfatti's Problems, Meeting in Mathematics 2nd edition, Bulgarian Academy of Sciences [3] Power F (2005), Some More Arechimedean Circles in the arbelos, Volume 5, 133-134, Forum Geometricorum [4] Schellbach, (1998), Malfatti's Problem,1998 Volume 45, Crelle's Journal [5] Woo P Y., (2001), Simple Constructions of Volume 1,133-136, Forum Geometricorum the Incircle of an arbelos, [6] Zalgaller V.A, Los G.A, (1994), The solution of Malfatti's Problem, Journal of Mathematical Sciences Vol 72, N0 (p3163-3177) Tiáng Nga [7] ẽợũủợõ (1995), ấủỵựốồủ ợờúổớợủũố: ẻũ ềồỏợ ọợ ễồộồỏừ, ấõớũ, ợỡồ 11-1975