Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 105 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
105
Dung lượng
616,36 KB
Nội dung
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM NGÅC HOA MËT SÈ DNG CÕA ÀNH LÞ RITT V ÙNG DÖNG VO VN DUY NHT LUN N TIN S TON HÅC THI NGUYN - 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM NGÅC HOA MËT SÈ DNG CÕA ÀNH LÞ RITT V ÙNG DƯNG VO VN DUY NHT Ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC TS Vô Ho i An GS TSKH H Huy Kho¡i Ngữới hữợng dăn khoa hồc: THI NGUYN - 2018 i Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH H Huy Kho¡i v TS Vô Ho i An C¡c kát quÊ viát chung vợi tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa vo luên Ăn CĂc kát quÊ cừa luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố bĐt ký cổng trẳnh khoa hồc cừa khĂc TĂc giÊ PhÔm Ngồc Hoa ii Lới cÊm ỡn Luên Ăn ữủc thỹc hiằn v hon thnh tÔi khoa ToĂn thuởc trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh v nghiảm khưc cừa GS TSKH H Huy KhoĂi v TS Vụ Hoi An CĂc thƯy  truyÃn cho tĂc giÊ kián thực, kinh nghiằm hồc têp v sỹ say mả nghiản cựu khoa hồc Vợi tĐm láng tri ¥n s¥u sc, t¡c gi£ xin b y tä lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt ối vợi hai thƯy TĂc giÊ xin cÊm ỡn Ban GiĂm ốc Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban o tÔo Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban GiĂm hiằu trữớng Ôi hồc Sữ phÔm- Ôi hồc ThĂi Nguyản, cĂc Phỏng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, Ban chừ nhiằm khoa ToĂn ton th giĂo viản khoa, c biằt l tờ GiÊi tẵch  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng Cao ¯ng H£i D÷ìng, Pháng Ban chực nông, Phỏng o tÔo, cĂc giÊng viản Khoa Tỹ Nhiản  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu v hon thnh luên Ăn TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy, cổ, bÔn b cĂc Seminar tÔi Bở mổn ToĂn GiÊi tẵch v ToĂn ựng dửng Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm Ôi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng Ôi hồc Thông Long v Trữớng Cao ng HÊi Dữỡng  ln gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ nghi¶n cùu khoa håc T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh, c biằt l chỗng hai trai, nhỳng ngữới  chu nhiÃu khõ khôn, vĐt vÊ v dnh hát tẳnh cÊm yảu thữỡng, ởng viản, chia s, khẵch lằ tĂc giÊ hon thnh ữủc luên Ăn TĂc giÊ PhÔm Ngồc Hoa iii Mưc lưc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u Chữỡng Hai nh lỵ cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ 1.2 Hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi cĂc a thực kiu Fermat-Waring cừa cĂc hm phƠn hẳnh 13 1.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh 20 Chữỡng nh lỵ thự hai cõa Ritt v v§n · nh§t cõa a thùc vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 38 2.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trđ 39 2.2 nh lỵ thự hai cõa Ritt v v§n · nh§t cõa a thực vi phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet 44 2.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn nhiÃu bián trản mởt trữớng khổng-Acsimet 54 Ch÷ìng ành lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 66 3.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trñ 67 3.2 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng-Acsimet 79 3.3 ành lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cõa a thùc vi ph¥n v a thùc sai ph¥n trản mởt trữớng khổng-Acsimet 85 Kát luên v ki¸n nghà 93 Danh mưc cỉng tr¼nh 94 T i li»u tham kh£o 95 iv Danh mửc cĂc kỵ hiằu, cĂc chỳ viát tưt ã Bi U RSM : song têp xĂc nh nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh (bi-unique range set for meromorphic functions) ã Ef (S): nghch Ênh cừa têp S qua hm f, cõ tẵnh ã E f (S): nghch Ênh cừa têp S qua hm f, khổng tẵnh ã gcd: ữợc chung lợn nhĐt (greatest common divisor) ã M(K) : trữớng cĂc hm phƠn hẳnh trản K ã O(1): Ôi lữủng b chn ã O(r): Ôi lữủng vổ lợn bêc vợi r r + ã o(r): Ôi lữủng vỉ cịng b² bªc cao hìn r r → + ã U RSE : têp xĂc nh nhĐt ối vợi hm nguyản (unique range set for entire functions) ã U RSM : têp xĂc nh nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh (unique range set for meromorphic functions) M Ưu Lỵ chồn à ti nh lỵ cỡ bÊn cừa lỵ thuyát số phĂt biu rơng mồi số nguyản n Ãu biu diạn nhĐt dữợi dÔng tẵch cĂc số nguyản tố cõ dÔng mk n = pm pk , vỵi k ≥ 1, ð â c¡c thøa sè nguy¶n tè p1 , , pk ỉi mët ph¥n bi»t v c¡c sè mơ t÷ìng ùng m1 ≥ 1, , mk ≥ ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt theo n Ritt l ngữới Ưu tiản tữỡng tỹ nh lỵ ny ối vợi cĂc a thực mổ tÊ kát quÊ cừa Ritt, ta kẵ hiằu M(C) (tữỡng ựng, A(C)) l têp cĂc hm phƠn hẳnh (nguyản) trản C v kẵ hiằu L(C) l tªp c¡c a thùc bªc °t E, F l c¡c tªp kh¡c réng cõa M(C), õ mởt hm phƠn hẳnh F (z) ữủc gồi l khổng phƠn tẵch ữủc trản Eì F náu bĐt ký cĂch viát thnh nhƠn tỷ F (z) = ϕ2 (z) vỵi ϕ1 (z) ∈ E v ϕ2 (z) F Ãu ko theo hoc l tuyán tẵnh hoc l tuyán tẵnh Nôm 1922, Ritt [46]  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ A ( nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt) Cho F l têp khĂc réng cõa C[z] \ L(C) N¸u mët a thùc F (z) cõ hai cĂch phƠn tẵch khĂc thnh cĂc a thực khổng phƠn tẵch ữủc trản Fì F : F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , thẳ r = s, v bêc cừa cĂc a thực i l bơng vợi bêc cừa cĂc a thực i náu khổng tẵnh án thự tỹ xuĐt hiằn cừa chúng Cụng [46], Ritt  chựng minh nh lỵ sau nh lỵ B ( nh lỵ thự hai cừa Ritt) GiÊ sû r¬ng ϕ, α, ψ, β ∈ C[x] \ C thäa m¢n ϕ ◦ α = ψ ◦ β v gcd(deg(); deg()) = gcd(deg(); deg()) = Khi õ tỗn tÔi cĂc hm tuyán tẵnh lj C[x] cho (l1 ◦ ϕ ◦ l2 , l2−1 ◦ α ◦ l3 , l1 ◦ ψ ◦ l2 , l4−1 ◦ l3 ) cõ mởt cĂc dÔng (Fn , Fm , Fm , Fn ) ho°c (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ð â m, n > l nguy¶n tè cịng nhau, s > l nguyản tố vợi n, v h ∈ C[x] \ xC[x], lj−1 l h m ng÷đc cõa lj , Fn , Fm l c¡c a thùc Chebychev Tứ õ, theo hữợng tiáp cên Ôi số  cõ rĐt nhiÃu cĂc tĂc giÊ nghiản cựu và php phƠn tẵch cĂc a thực cĂc nh lỵ cừa Ritt nh÷ M.F.CosteRoy [14], F.Dorey v G Whaples [15], H.T.Engstrom [16], H.Levi [37], Chng hÔn, nôm 1941 Engstrom [16] v nôm 1942 Levi [37]  chựng tọ rơng nh lỵ B văn cỏn úng trản mởt trữớng bĐt ký c số khổng Trản phữỡng diằn giÊi tẵch, ta thĐy rơng nh lỵ thự hai cừa Ritt mổ tÊ cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh () = (), õ , , ψ, β l c¡c a thùc v bªc cõa c¡c a thực l nguyản tố Ró rng phữỡng trẳnh a thực ữủc Ritt nghiản cựu l trữớng hủp riảng cừa phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g), ð â P, Q l c¡c a thùc v f, g l cĂc hm phƠn hẳnh Phữỡng trẳnh hm P (f ) = Q(g)  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ nhữ TÔ Th Hoi An-Nguyạn Th Ngồc Diằp [4], H.Fujimoto [20], H Huy Kho¡i-C.C.Yang [34], F.Pakovich [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51], ỵ rơng, phữỡng trẳnh hm liản quan mêt thiát án vĐn à xĂc nh nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh-mởt ựng dửng cừa lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr VĐn à xĂc nh nhĐt  ữủc nghiản cựu lƯn Ưu tiản bi R.Nevanlinna Nôm 1926, R.Nevanlinna  chựng minh ữủc rơng: Vợi hai hm phƠn hẳnh f v g trản mt phng phực C, náu chúng cõ chung Ênh ngữủc (khổng tẵnh bởi) cừa im phƠn biằt thẳ f = g ( nh lỵ im) v náu chúng cõ chung Ênh ngữủc (câ t½nh bëi) cõa af + b (a, b, c, d l c¡c sè phùc n o â cho cf + d ad bc 6= 0)( nh lỵ im) Khi nguỗn tứ nh lỵ im v nh lỵ im, vĐn à nhĐt  ữủc nghiản cựu liản tửc vợi hai hữợng nghiản cựu chừ yáu v  cõ rĐt nhiÃu kát quÊ sƠu sưc cừa G.Dethloff, é ùc Th¡i, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, H Huy Kho¡i, H Huy Kho¡i-Vô Ho i An, H Huy Kho¡i-Vô Ho i An-Lả Quang Ninh, TÔ Th Hoi An, TÔ Th Hoi An-H TrƯn Phữỡng, L.Lahiri, TrƯn Vôn TĐn, Sắ ực Quang, A.Escassut, H.Fujimoto, im phƠn biằt thẳ g = Tiáp theo, sỹ nghiản cựu ữủc m rởng sang mởt nhĂnh cừa lỵ thuyát xĂc nh nhĐt õ l xem xt têp xĂc nh nhĐt cừa cĂc a thực vi phƠn V ngữới Ưu tiản xữợng cho hữợng nghiản cựu ny l Hayman Nôm 1967, Hayman  chựng minh mởt kát quÊ nời tiáng rơng mởt hm phƠn hẳnh f trản trữớng số phực C khổng nhên giĂ tr v Ôo hm bêc k cừa f , vợi k l số nguyản dữỡng, khổng nhên giĂ tr thẳ f l hm hơng Hayman cụng ữa gi£ thuy¸t sau Gi£n thuy¸t Hayman [22] N¸u mởt hm nguyản f thọa mÂn iÃu kiằn f (z)f (z) = vợi n l số nguyản dữỡng v vợi mồi z C thẳ f l hm hơng GiÊ thuyát ny  ữủc chẵnh Hayman kim tra vợi n > v ữủc Clunie kim tra vợi n CĂc kát quÊ ny v cĂc vĐn à liản quan  hẳnh thnh mởt hữợng nghiản cựu ữủc gồi l sỹ lỹa chồn cừa Hayman Cổng trẳnh quan trồng thúc ây hữợng nghiản cựu ny thuởc và Yang-Hua [51], hai  nghiản cựu vĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v ỡn thực vi phƠn cừa nõ cõ dÔng f n f Hai  chựng minh ữủc rơng, vợi f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng, n l số nguyản, n 11 náu f n f v g n g cịng nhªn gi¡ trà phùc a tẵnh cÊ thẳ hoc f, g sai khĂc mởt côn bêc n + cừa ỡn v, hoc f, g ữủc tẵnh theo cĂc cổng thực cừa hm mụ vợi cĂc hằ số thọa mÂn mởt iÃu ki»n n o â Tø â, c¡c k¸t qu£ ti¸p theo  nhên ữủc dỹa trản xem xt cĂc a thực vi phƠn dÔng (f n )(k) , [f n (f − 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [11], Fang [19]) v câ dÔng [f n (af m + b)](k) , [f n (f − 1)m ](k) (xem Zhang v Lin [53]), v cõ 0 dÔng (f )( ) P (f ) (xem K Boussaf- A Escassut- J Ojeda[12]) N«m 1997, thay vẳ nghiản cựu cĂc Ôo hm bêc n, I Lahiri [35]  nghiản cựu cĂc trữớng hủp tờng quĂt hỡn cừa cĂc a thực vi phƠn khổng tuyán tẵnh cừa cĂc hm phƠn hẳnh nhên giĂ tr tẵnh cÊ Theo hữợng nghiản cựu ny, nôm 2002 C Y Fang v M L Fang [18]  chựng minh rơng, náu n 13, v ối vợi hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng f v g, m f (n) (f − 1)2 f v g (n) (g − 1)2 g nhên giĂ tr tẵnh cÊ bởi, thẳ f = g Vo cuối nhỳng nôm cừa thêp k ny, vĐn à nhên giĂ tr cụng ữủc xem xt ối vợi a thực sai phƠn cừa cĂc hm nguyản v cĂc hm phƠn hẳnh Laine v Yang [36]  nghiản cựu vĐn à phƠn bố giĂ tr cừa tẵch sai phƠn ối vợi cĂc hm nguyản X C.-Qi, L.-Z Yang v K Liu [45] xem x²t c¡c t½ch sai phƠn v vi phƠn cõ dÔng f (z)(n) f (z + c), v ¢ ch¿ i·u ki»n º f = tg , vỵi f v g l hai h m nguyản siảu viằt cõ bêc hỳu hÔn Nôm 2008, xuĐt phĂt tứ nh lỵ thự hai cừa Ritt, F.Packovich [43] cõ ỵ tững xt Ênh ngữủc cừa hai têp compact ối vợi hai a thực ặng  tẳm ữủc iÃu ki»n cho hai a thùc f1 , f2 v hai têp compact K1 , K2 thọa mÂn f11 (K1 ) = f21 (K2 ) Tứ nh lỵ thự hai cừa Ritt v kát quÊ cừa F.Pakovich nõi trản chúng tổi cõ nhên xt Nhên xt nh lỵ thự hai cừa Ritt cõ th ữủc xem l kát quÊ Ưu tiản và vĐn à xĂc nh hm tứ phữỡng trẳnh h m P (f ) = Q(g), tø â sinh cĂc kát quÊ cho VĐn à xĂc nh a thực thổng qua iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa têp hủp im Tứ nhên xt ny v cĂc kát quÊ và phữỡng trẳnh hm (xem [4], [34], [44]) nảu trản, vĐn à nghiản cựu ữủc t tỹ nhiản nhữ sau Xem xt sỹ tữỡng tỹ hai nh lỵ Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn Xem xt v§n · x¡c ành h m, v§n · nh§t èi vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn dữợi gõc ở nh lỵ thự hai cừa Ritt Xem xt v§n · x¡c ành h m, v§n · nh§t èi vợi tẵch q -sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh dữợi gõc ở nh lỵ thự hai cõa Ritt V§n · V§n · V§n · Tø â, chóng tỉi chån · t i: "Mët sè dÔng cừa nh lỵ Ritt v ựng dửng vo vĐn à nhĐt" giÊi quyát cĂc vĐn à nghiản cựu trản Ơy, ỗng thới gõp phƯn lm phong phú thảm cĂc kát quÊ v ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna Mửc tiảu cừa luên Ăn 2.1 Thiát lêp mởt số nh lỵ tữỡng tỹ hai nh lỵ cừa Ritt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi ph¥n, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trữớng hủp phực v p-adic 2.2 Tiáp cên VĐn à xĂc nh hm, VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh, a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu VĐn à xĂc nh hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thùc sai ph¥n, a thùc q -sai ph¥n trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt VĐn à nhĐt cừa hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic dữợi gõc ở cừa hai nh lỵ Ritt Phữỡng phĂp v cổng cử nghiản cựu Sỷ dửng hai nh lỵ chẵnh v cĂc tữỡng tỹ cừa chúng vợi cĂc kiu Bờ à Borel cừa Lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr giÊi cĂc phữỡng trẳnh hm CĂc phữỡng trẳnh hm ny tữỡng tỹ nhữ phữỡng trẳnh hm nh lỵ 85 Tữỡng tỹ, ta cõ (n m)T (r, g) ≤ 16T (r, g) + 12T (r, f ) − log r + O(1) Bði vªy, câ (n − m) T (r, f ) + T (r, g) ≤ 28 T (r, f ) + T (r, g) − log r + O(1), (n − m − 28) T (r, f ) + T (r, g) + log r ≤ O(1) Do n m + 28 ta gp mƠu thuăn A.B = tùc l f n f m (qz + c).g n g m (qz + c) = Theo Bờ Trữớng hủp l vợi ln+m = g A = B tùc l f n f m (qz + c) = g n g m (qz + c) Theo Bê · 3.2.1ii) suy f = hg vỵi hn+m = · 3.2.1i) suy f = Trữớng hủp Ta tờng hủp cĂc kát quÊ cừa cĂc nh lỵ 3.2.3, 3.2.4, 3.2.5 v 3.2.6 nh lỵ sau Ơy nh lỵ 3.2.7 Cho f, g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, n, m l l vỵi ln+m = 1, ho°c g n+m f = hg vợi h = náu mởt cĂc i·u ki»n sau ¥y x£y ra: m = 1, n ≥ 13 v f n f (qz + c) v g n g(qz + c) nhên cõ tẵnh bởi; m = 1, n ≥ 25 v f n f (qz + c) v g n g(qz + c) nhªn khỉng t½nh bëi; m ≥ 2, n ≥ m + 16 v f n f m (qz + c) v g n g m (qz + c) nhªn câ t½nh bëi; m ≥ 2, n ≥ m + 28 v f n f m (qz + c) v g n g m (qz + c) nhªn khỉng tẵnh hai số nguyản dữỡng q, c K, |q| = Khi â f = 3.3 nh lỵ thự hai cừa Ritt v vĐn à nhĐt cừa a thực vi phƠn v a thực sai phƠn trản mởt trữớng khổng-Acsimet Chúng tổi thiát lêp ữủc mởt kát quÊ tữỡng tỹ nh lỵ thự hai cõa Ritt l bê · sau Bê · 3.3.1 Cho q, c ∈ K vỵi |q| = 1, n, m, d, k l cĂc số nguyản dữỡng vợi n > 2k + 1, m > d Khi â 86 Phữỡng trẳnh hm (k) nm nd (k) =1 f nm f nd (qz + c) g g (qz + c) khổng cõ nghiằm phƠn hẳnh khĂc hơng (f, g) Phữỡng trẳnh hm (k) (k) = g nm g nd (qz + c) f nm f nd (qz + c) cõ nghiằm phƠn hẳnh khĂc hơng (f, g) v ch¿ f = hg vỵi h ∈ K v hn(m+d) = Chùng minh °t A = (f nm (z)f nd (qz + c))(k) , B = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , A B C = f m (z)f d (qz + c), D = g m (z)(g d (qz + c), P = n−k , Q = n−k Khi C D â A = (C n )(k) = C n−k P, B = (Dn )(k) = Dn−k Q (f nm (z)f nd (qz + c))(k) (g nm (z)g nd (qz + c))(k) = (C n )(k) (Dn )(k) = Ta s³ chùng minh C 6= 0, C 6= ∞, D 6= 0, D 6= ∞ Gi£ sû r¬ng C câ khỉng iºm Gåi a l khỉng iºm vỵi ω(C, 0, a) = α, α ≥ Khi â a l cüc iºm cõa D vỵi ω(D, ∞, a) = β , β ≥ cho nα − k = nβ + k v k(m + d) + 16 > 2k + ta gp md mƠu thuăn Bơng cĂch lêp luên tữỡng tỹ, ta cõ D 6= 0, C 6= ∞, D 6= ∞ Do C, D kh¡c h¬ng, ta cụng gp mƠu thuăn (f nm (z)f nd (qz + c))(k) = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , (C n )(k) = (Dn )(k) Bði v¼ f, g kh¡c h¬ng, v Bê · 3.1.5 ta thĐy C, D khĂc hơng Do õ C n = Dn + s, Dn = C n − s, vỵi s l mët a thùc bªc < k Ta chùng minh s ≡ Gi£ sû s 6≡ Thá thẳ n( ) = 2k Tứ Ơy v n ≥ 2k + nT (r, D) = T (r, Dn ) + O(1) ≤ T (r, C n ) + T (r, s) + O(1) ≤ nT (r, C) + (k − 1) log r + O(1) Tø ¥y v n ≥ 2k + k(m + d) + 16 > 2k + ta nhên ữủc m−d k−1 1 < , T (r, D) ≤ T (r, C) + log r + O(1) n 2 Cn Dn °t F = ,G = Do C, D khĂc hơng, ta nhên ữủc s s F s = C n , nT (r, C) = T (r, C n ) ≤ T (r, F ) + T (r, s) + O(1) (3.17) 87 ≤ T (r, F ) + (k − 1) log r + O(1), nT (r, C) − (k − 1) log r ≤ T (r, F ) + O(1), 1 N1 (r, ) ≤ N1 (r, ) ≤ T (r, C) + O(1), F C 1 N1 (r, ) ≤ T (r, D) + O(1) ≤ T (r, C) + log r + O(1), F N1 (r, F ) ≤ N1 (r, C n ) + N1 (r, ) ≤ N1 (r, C) + (k − 1) log r + O(1) s ≤ T (r, C) + (k − 1) log r + O(1) Tø ¥y v Bê · 2.1.10, câ F − = G n¶n ta suy nT (r, C) − (k − 1) log r + O(1) ≤ T (r, F ) 1 ) + N1 (r, F ) + N1 (r, ) − log r + O(1) F F −1 ≤ T (r, C) + T (r, C) + (k − 1) log r + N1 (r, ) − log r + O(1) G ≤ 2T (r, C) + (k − 1) log r + N1 (r, ) − log r + O(1) D ≤ 2T (r, C) + T (r, C) + log r + (k − 1) log r − log r + O(1) Vªy, ta câ ≤ N1 (r, (n − 3)T (r, C) − 2(k − 1) log r + log r ≤ O(1) M°t kh¡c, C kh¡c h¬ng sè, ta nhên ữủc T (r, C) log r + O(1) Vªy k(m + d) + 16 (n−2k−1) log r+ log r ≤ O(1) Tø ¥y v n ≥ 2k+ > m−d 2k + ta g°p mởt mƠu thuăn Vêy s Do vêy, C n = Dn v C = eD, f m (z)f d (qz + c) = eg m (z)g d (qz + c) vỵi f f (qz + c) en = °t h = Gi£ sû h kh¡c h¬ng Khi â h(qz + c) = g g(qz + c) kh¡c h¬ng v e , hd (qz + c) e mT (r, h) = T (r, hm ) + O(1) = T r, d + O(1) h (qz + c) T (r, h(qz + c)) = T (r, h) + O(1), hm = 88 = dT (r, h(qz + c)) + O(1) = dT (r, h) + O(1) Suy (m − d)T (r, h) = O(1) i·u n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát m > d, h khĂc hơng Vêy h l hơng Do f m (z)f d (qz + c) = eg m (z)g d (qz + c), en = ta kát luên rơng f = hg vợi hm+d = e, hn(m+d) = Vêy Bờ à 3.3.1 ữủc chựng minh CĂc nh lỵ 3.3.2 v 3.3.3 sau Ơy  ữủc cổng bố bi bĂo [8], cĂc nh lỵ ny cho ta mởt số kát quÊ và vĐn à nhĐt cho cĂc tẵch qsai phƠn dÔng (f nm (z)f nd (qz + c))(k) nh lỵ 3.3.2 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, q, c K, |q| = 1, cho n, m, d, k , l cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn iÃu k(m + d) + 16 ki»n m > d ≥ 1, n ≥ 2k + N¸u (f nm (z)f nd (qz + c))(k) m−d v (g nm (z)g nd (qz + c))(k) nhên tẵnh cÊ bởi, thẳ f = hg vợi hn(m+d) = 1, h ∈ K Chùng minh °t A = (f nm (z)f nd (qz + c))(k) , B = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , B A C = f m (z)f d (qz + c), D = g m (z)(g d (qz + c), P = n−k , Q = n−k Khi C D n (k) n−k n (k) n−k â A = (C ) = C P, B = (D ) = D Q Chú ỵ rơng N1 (r, A) + N1,(2 (r, A) = N2 (r, A), 1 ) + N1,(2 (r, ) = N2 (r, ), A A A N1 (r, B) + N1,(2 (r, B) = N2 (r, B), N1 (r, 1 ) + N1,(2 (r, ) = N2 (r, ) B B B n (k) n (k) Khi â, ¡p döng Bê · 3.1.4 èi vợi (C ) , (D ) ta xt cĂc trữớng hđp sau N1 (r, Tr÷íng hđp T (r, A) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, ) − log r + O(1), A B T (r, B) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, ) − log r + O(1) A B (3.18) 89 Ta thĐy rơng náu a l mët cüc iºm cõa A, th¼ C(a) = ∞ vợi à01 (a) A n + k v Bê · 3.1.4 ta câ N1 (r, C) = N1 (r, f m f d (qz + c)) ≤ N1 (r, f ) + N1 (r, f (qz + c)) + O(1) ≤ T (r, f ) + T (r, f (qz + c)) + O(1) = 2T (r, f ) + O(1) T÷ìng tü, N1 (r, C1 ) ≤ 2T (r, f ) + O(1) Do â, theo Bê · 3.1.5 ta câ N2 (r, A) = 2N1 (r, C) ≤ 4T (r, f ) + O(1), 1 1 ) ≤ N2 (r, n−k ) + N (r, ) = 2N1 (r, ) + N (r, ) A C P C P ≤ 4T (r, f ) + N (r, ) + O(1) P ≤ 4T (r, f ) + k(m + d)T (r, f ) + kN1 (r, C) + O(1) N2 (r, T÷ìng tü, ta cơng câ N2 (r, B) ≤ 4T (r, g) + O(1), 1 ) ≤ 4T (r, g) + N (r, ) + O(1) B Q ≤ 4T (r, g) + k(m + d)T (r, g) + kN1 (r, D) + O(1) N2 (r, Tø c¡c bĐt ng thực trản v (3.18) ta cõ T (r, A) ≤ 8(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, 1 ) + N (r, ) − log r + O(1) P Q ≤ 8(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)T (r, f )+kN1 (r, C)+N (r, )−log r+O(1), Q 1 ) + N (r, ) − log r + O(1) P Q ≤ 8(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)T (r, g)+kN1 (r, D)+N (r, )−log r+O(1), P 1 T (r, A) + T (r, B) ≤ 16(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, ) + N (r, ) P Q +k(m + d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N1 (r, D)) − log r + O(1) T (r, B) ≤ 8(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, Do Bê · 3.1.5 ta câ ) ≤ T (r, A) + O(1), P (n − 2k)(m − d)T (r, g) + kN (r, D) + N (r, ) ≤ T (r, B) + O(1) Q (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, C) + N (r, 90 Kát hủp cĂc bĐt ng thực trản Ơy, ta nhên ữủc (n 2k)(m d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N (r, C) + N (r, D))+ N (r, 1 ) + N (r, ) P Q ≤ (k(m + d) + 16)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N (r, D)) + N (r, ) P ) − log r + O(1), Q [(n − 2k)(m − d) − (k(m + d) + 16)](T (r, f ) + T (r, g)) + log r ≤ O(1) k(m + d) + 16 V¼ n ≥ 2k + , ta g°p mƠu thuăn md +N (r, Trữớng hủp (f nm (z)f nd (qz + c))(k) (g nm (z)g nd (qz + c))(k) = (C n )(k) (Dn )(k) = ÷đc suy tø Bê · 3.3.1.1 Tr÷íng hđp (f nm (z)f nd (qz + c))(k) = (g nm (z)g nd (qz + c))(k) , (C n )(k) = (Dn )(k) Kát luên cừa trữớng hủp ny ữủc suy tứ Bờ à 3.3.1.2 Vêy nh lỵ 3.3.2 ữủc chựng minh nh lỵ 3.3.3 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, q, c ∈ K, |q| = 1, v cho n, m, d, k l cĂc số nguyản dữỡng, thọa mÂn cĂc i·u ki»n 2k(2m + 2d + 3) + 28 m > d ≥ 1, n ≥ 2k+ N¸u (f nm (z)f nd (qz+c))(k) v m−d nm nd (k) (g (z)g (qz + c)) nhên khổng tẵnh bởi, thẳ f = hg vỵi hn(m+d) = 1, h ∈ K Chùng minh Ta sû dưng c¡c k½ hi»u chùng minh nh lỵ 3.3.2 Khi õ Ăp dửng Bờ à 3.1.6 èi vỵi (C n )(k) , (Dn )(k) ta xem x²t c¡c tr÷íng hđp sau Tr÷íng hđp 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, )+ A B 1 2(N1 (r, A) + N1 (r, )) + N1 (r, B) + N1 (r, ) − log r + O(1), A B 1 T (r, B) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, ) + N2 (r, B) + N2 (r, )+ A B T (r, A) ≤ N2 (r, A) + N2 (r, 91 1 )) + N1 (r, A) + N1 (r, ) − log r + O(1) B A Kát hủp cĂc bĐt ng thực trản ta cõ 2(N1 (r, B) + N1 (r, T (r, A) + T (r, B) ≤ 2(N2 (r, A) + N2 (r, 1 ) + N2 (r, B) + N2 (r, )) A B 1 ) + N1 (r, B) + N1 (r, )) − log r + O(1) A B Tứ Ơy, tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp cừa nh lỵ 3.3.2 v Bờ à 3.1.5 ta cõ +3(N1 (r, A) + N1 (r, (n − 2k)(m − d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N (r, C) + N (r, D)) +N (r, 1 ) + N (r, ) ≤ T (r, A) + T (r, B) + O(1); P Q (3.19) 1 ) + N (r, )+ P Q k(m + d)(T (r, f ) + T (r, g)) + k(N1 (r, C) + N1 (r, D)) + 3(N1 (r, A)+ T (r, A) + T (r, B) ≤ 16(T (r, f ) + T (r, g)) + N (r, N1 (r, 1 ) + N1 (r, B) + N1 (r, )) − log r + O(1); A B (3.20) ) ≤ 2T (r, f )+ A k(m + d + 2)T (r, f ) + O(1); N1 (r, A) ≤ 2T (r, f ) + O(1), N1 (r, N1 (r, B) ≤ 2T (r, g) + O(1), N1 (r, ) ≤ 2T (r, g) + k(m + d + 2)T (r, g) + O(1) B (3.21) Do (3.19), (3.20), (3.21) ta câ (n−2k)(m−d)(T (r, f )+T (r, g)) ≤ 16(T (r, f )+T (r, g))+k(m+d)(T (r, f ) +T (r, g))+3[2T (r, f )+2T (r, f )+k(m+d+2)T (r, f )+2T (r, g)+2T (r, g) +k(m + d + 2)T (r, g)] − log r + O(1) = (28 + 2k(2m + 2d + 3))(T (r, f ) + T (r, g)) − log r + O(1) 92 Tø â, suy [(n−2k)(m−d)−(28+2k(2m+2d+3))](T (r, f )+T (r, g))+4 log r ≤ O(1) 28 + 2k(2m + 2d + 3) m−d Ta sû döng c¡c lêp luên tữỡng tỹ nhữ cĂc Trữớng hủp v cừa nh lỵ 3.3.2 Ta cụng cõ kát luên f = hg vợi hn(m+d) = nh lỵ 3.3.3 ữủc chựng minh iÃu ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát n ≥ 2k + Tr÷íng hđp v Tr÷íng hđp Ta têng hđp c¡c k¸t qu£ cõa c¡c nh lỵ 3.3.2 v 3.3.3 nh lỵ sau Ơy nh lỵ 3.3.4 Cho f v g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản K, q, c K, |q| = 1, v cho n, m, d, k l cĂc số nguyản dữỡng, thọa mÂn cĂc iÃu kiằn m > d ≥ Khi â f = gh vỵi hn(m+d) = 1, h ∈ K n¸u mët hai iÃu kiằn sau ữủc thọa mÂn: n 2k + k(m+d)+16 v (f nm (z)f nd (qz + c))(k) v (g nm (z)g nd (qz + c))(k) m−d nhªn t½nh c£ bëi; n ≥ 2k + 2k(2m+2d+3)+28 v (f nm (z)f nd (qz + c))(k) v (g nm (z)g nd (qz + m−d c))(k) nhªn khỉng tẵnh Kát luên cừa Chữỡng Trong Chữỡng 3, chúng tổi  thiát lêp ữủc cĂc Bờ à 3.2.1, 3.3.1 nhữ l hai kiu nh lỵ Ritt thự hai cho tẵch q -sai phƠn dÔng f n f m (qz + c) v a thùc vi ph¥n, sai ph¥n dÔng (f nm f nd (qz + c))(k) , â q, c ∈ K vỵi |q| = v f l hm phƠn hẳnh trản K Chúng tổi cụng  thiát lêp ữủc hai kát quÊ và VĐn à nhĐt cho tẵch q -sai phƠn v a thực vi phƠn, sai phƠn cõ dÔng trản, õ l cĂc nh lỵ 3.2.7, 3.3.4 Chú ỵ rơng cĂc kát quÊ ny chữa cõ trữớng hủp phực 93 Kát luên v kián ngh Luên Ăn nghiản cựu VĐn à nhĐt cừa hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic, xem x²t c¡c t÷ìng tü cõa c¡c ành lỵ Ritt ối vợi VĐn à nhĐt ối vợi a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh v VĐn à nhĐt ối vợi tẵch q-sai phƠn, a thực vi phƠn cừa hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng Acsimet Nhỳng kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn Thiát lêp ữủc mởt nh lỵ tữỡng tỹ nh lỵ thự hai cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 1.2.2), mởt nh lỵ tữỡng tỹ nh lỵ thự nhĐt cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh ( nh lỵ 1.2.5) Thiát lêp ữủc mởt kát quÊ và Bi U RSM ( nh lỵ 1.3.2), mởt kát quÊ và U RSM ( nh lỵ 1.3.3), mởt kát quÊ và têp xĂc nh nhĐt cho a thực vi phƠn ( nh lỵ 1.3.10) Thiát lêp hai kiu nh lỵ thự hai cừa Ritt cho hm phƠn hẳnh v vec-tỡ cĂc hm nguyản trản mởt trữớng khổng-Acsimet ( nh lỵ 2.2.6 v nh lỵ 2.3.2) Thiát lêp ữủc ba kát quÊ và VĐn à nhĐt cho hm v a thực vi phƠn ( nh lỵ 2.2.7, Hằ quÊ 2.2.9, nh lỵ 2.3.7) Thiát lêp ữủc hai kiu nh lỵ Ritt thự hai cho tẵch q -sai phƠn dÔng f n f m (qz + c) v a thực vi phƠn, sai phƠn dÔng (f nm f nd (qz + c))(k) , ð â q, c ∈ K vỵi |q| = v f l h m phƠn hẳnh trản K, vợi K l mởt trữớng khổng-Acsimet (Bờ à 3.2.1, Bờ à 3.3.1) Thiát lêp ữủc hai kát quÊ và VĐn à nhĐt cho tẵch q -sai ph¥n v a thùc vi ph¥n, sai ph¥n câ dÔng trản ( nh lỵ 3.2.7, 3.3.4) Nhỳng vĐn à cƯn tiáp tửc nghiản cựu Tiáp tửc nghiản cựu cĂc tữỡng tỹ cừa hai nh lỵ Ritt và VĐn à xĂc nh v VĐn à nhĐt ối vợi hm phƠn hẳnh v a thực vi phƠn, a thực sai phƠn, a thực q -sai phƠn trữớng hủp phực v p-adic Tiáp tửc nghiản cựu cĂc ựng dửng cừa hai nh lỵ Ritt vo bi toĂn xĂc nh hm v têp xĂc nh nhĐt 94 Danh mửc Cổng trẳnh cừa tĂc giÊ Â cổng bố liản quan ¸n · t i [5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 [8] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 114 [6] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of non-Archimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289302 [29] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539549 [1] PhÔm Ngồc Hoa, Nguyạn XuƠn Lai (2018), "VĐn à nhên giĂ tr v nhĐt cừa toĂn tỷ sai phƠn v tẵch sai phƠn ối vợi hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng Archimedes", TÔp chẵ Khoa hồc Cổng nghằ Viằt Nam, Volume 60, Number 6, pp 1-4 [7] Vu Hoai An and Pham Ngoc Hoa (2018), "A new class of unique range sets for meromorphic functions", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 47, pp.109-116 95 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Viằt [1] PhÔm Ngồc Hoa, Nguyạn XuƠn Lai (2018), "VĐn à nhên giĂ tr v nhĐt cừa toĂn tỷ sai phƠn v tẵch sai phƠn ối vợi hm phƠn hẳnh trản mởt trữớng khổng Archimedes", TÔp chẵ Khoa hồc Cæng ngh» Vi»t Nam, Volume 60, Number 6, pp 1-4 [2] Nguyạn XuƠn Lai (2017), VĐn à xĂc nh hm hai Ôo hm nhên mởt têp, Luên Ăn Tián s ToĂn hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản [3] Lả Quang Ninh (2017), Và xĂc nh hm v Ănh xÔ chnh hẳnh qua iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa têp hủp im, Luên Ăn Tián s ToĂn hồc, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản Tiáng Anh [4] Ta Thi Hoai An, Nguyen Thi Ngoc Diep (2013), "Genus one factors of curve defined by separated variable polynomial", J Number Theory, 133 (8), pp 2616-2634 [5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials", Interractions between real and complex analysis, Sci Technics Publ.House, Hanoi, pp 152-161 [6] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2017), "On the uniqueness problem of non-Archimedean meromorphic functions and their differential polynomials", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 46, pp.289-302 [7] Vu Hoai An and Pham Ngoc Hoa (2018), "A new class of unique range sets for meromorphic functions", Annales Univ.Sci.Budapest, Sect Comp, 47, pp.109-116 [8] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, pp 114 96 [9] Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2016), "On functional equations of the Fermat-Waring type for non-Archimedean vectorial entire functions", Bull.Korean Math.Soc, 53(4), pp 1185-1196 [10] Bezivin J P., Boussaf K and Escassut A (2012), "Zeros of the derivative of a p-adic meromorphic function", Bull Sci Math²matiques, 136(8), pp 839847 [11] Bhoosnurmath Subhas S and Dyavanal Renukadevi S (2007), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Computers and Mathematics with Applications, 53, pp 1191-1205 [12] Boussaf K , Escassut A., Ojeda J (2012), "p-adic meromorphic func0 0 tions (f )( ) P (f ), (g)( ) P (g) sharing a small function", Bull Sci Math, 136, pp 172-200 [13] Boutabaa A (1990), "Th'eorie de Nevanlinna p-adique", Manuscripta Math, 67, pp 251-269 [14] Coste-Roy M.F (1990),"A note on Ritt's theorem on decomposition of polynomials", Journal of Pure and Applied Algebra, 68, pp 293-296 [15] Dorey F and Whaples G (1972),"Prime and composite polynomials", J Algebra, 28, pp 88-101 [16] Engstrom H.T (1941),"Polynomial substitutions", Amer.J.Math, 63, pp 249-255 [17] Escassut A (2015), "Value Distribution in p-adic Analysis", World Sci Publ Co Pte, Ltd Singapore [18] Fang C Y and Fang M L (2002), "Uniqueness of meromorphic functions and differential polynomials", Comput Math Appl, 44 , pp 607617 [19] Fang M L (2002), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", Comput Math Appl, 44, pp 823-831 [20] Fujimoto H (2000), "On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets", Amer J.Math, 122(6), pp 1175 - 1203 [21] Hayman W.K (1964), "Meromorphic Functions", Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [22] Hayman W.K (1967), "Research problems in Function Theory", The Athlone Press University of London, London [23] Hu P C and Yang C C (1999), " A unique range set for p-adic meromorphic functions with 10 elements", Acta Math Vietnamica., 24, pp 95-108 97 [24] Hu P C and Yang C C (2000), "Meromorphic functions over nonArchimedean fields", Kluwer [25] Ha Huy Khoai (1983), "On p-adic meromorphic functions", Duke Math J., 50,pp 695-711 [26] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2003), "Value distribution for p-adic hypersurfaces", Taiwanese Journal of Mathematics, 7(1), pp 51-67 [27] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2011), "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann Fac Sc Toulouse, Volume Special, pp.135-149 [28] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), " Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., 64(2), pp 147-164 [29] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An, and Pham Ngoc Hoa (2017), "On functional equations for meromorphic functions and applications", Archiv der Mathematik, Springer International Publishing, Volume 109, Issue 6, pp 539549 [30] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Ann Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, pp 71-92 [31] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Valuesharing and Uniqueness problems for non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 [32] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness theorems for holomorphic curves with Hypersurfaces of FermatWaring type", Complex Anal Oper Theory, Vol.8, No.3, pp 591-790 [33] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (2004), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat J Math, 6(1995), pp 719-731 [34] Ha Huy Khoai and Yang C C., "On the functional equation P (f ) = Q(g)", Advances in Complex Analysis and Application, Value Distribution Theory and Related Topics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, pp 201-208 [35] Lahiri I (1997) , "Uniqueness of meromorphic functions as governed by their differential polynomials", Yokohama Math J., 44, pp 147156 [36] Laine I and Yang C C (2007), "Value distribution of difference polynomials", Proc Japan Acad., Ser A, 83(8), pp.148-151 98 [37] Levi H (1942),"Composite polynomials with coeffients in an arbitrary field of characteristic zero", Amer.J.Math, 64, pp 389-400 [38] Li P and Yang C.C (2004), "Some Further Results on the Functional Equation P (f ) = Q(g)", Value Distribution Theory and Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Kluwer Academic, Boston, MA, Vol.3, pp 219-231 [39] Liu K., Liu X., Cao T B (2011), "Value distribution and uniqueness of difference polynomials", Adv Difference Equ., article ID234215, 12pp [40] K Masuda and J Noguchi (1996), "A construction of hyperbolic hypersurface of P N (C)", Math Ann., 304 ,pp 339-362 [41] Ojeda J (2008), "Hayman's conjecture in a p-adic field", Taiwanese J Math 12(9), pp 2295-2313 [42] Ostrovskii I., Pakovitch F., Zaidenberg M (1996), "A remark on complex polynomials of least deviation", Internat Math Res Notices, 14, pp 699703 [43] Pakovich F (2008), " On polynomials sharing preimages of compact sets, and related questions", Geom Funct Anal, 18(1), pp 163-183 [44] Pakovich F (2010), "On the equation P (f ) = Q(g), where P, Q are polynomials and f, g are entire functions", Amer J Math., 132(6), pp 1591-1607 [45] Qi X C., Yang L Z., Liu K (2010), "Uniqueness and periodicity of meromorphic functions concerning the difference operator", Comp Math Appl., 60(6), pp 1739-1746 [46] Ritt J (1922), "Prime and composite polynomials", Trans Amer Math Soc., 23(1), pp 51-66 [47] Ru M (2001), "A note on p-adic Nevanlinna theory", Proc Amer Math Soc., 129, pp 1263-1269 [48] Siu Y.T., Yeung S.K (1997), "Defects for ample divisors of Abelian varieties, Schwarz lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degrees", Amer J Math., 119, pp 1139-1172 [49] Yang C (1978), "Open problem in Complex analysis", Proceedings of the S.U.N.Y.Brockport Conf on Complex Function Theory, June 79, 1976, Edited by Sanford S Miller Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, Vol.36 [50] Yang C.C (1976), "On two entire functions, which together with their first derivatives have the same zeros", J Math Anal Appl., 56, pp 1-6 99 [51] Yang C.C and Hua X.H (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann Acad Sci Fenn Math., 22, pp 395406 [52] Yi H X (1990), "A question of C C Yang on the uniqueness of entire functions", Kodai Math J., 13, pp 39-46 [53] Zhang X.Y., Lin W.C (2008), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", J Math Anal Appl., 343, pp 938-950