Đạo hàm lie của dòng và liên thông

Tai Lieu Chat Luong BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI CAO VÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA DỊNG VÀ LIÊN THƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC VINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI CAO VÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA DỊNG VÀ LIÊN THƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 01 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG PGS TS KIỀU PHƯƠNG CHI VINH - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang PGS TS Kiều Phương Chi Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng luận án không trùng lặp với tài liệu khác Tác giả Bùi Cao Vân ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Hữu Quang PGS TS Kiều Phương Chi Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc người Thầy mình: PGS TS Nguyễn Hữu Quang PGS TS Kiều Phương Chi, người đặt toán hướng nghiên cứu cho tác giả Các Thầy dạy bảo, dẫn tác giả nghiên cứu cách kiên trì nghiêm khắc Tác giả học nhiều kiến thức khoa học, nhận chia sẻ, yêu thương Thầy trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến q thầy, giáo Khoa Sư phạm Tốn học, đặc biệt tổ Hình học, Trường Đại học Vinh trang bị cho tác giả kiến thức cần thiết để hồn thành chương trình nghiên cứu sinh hồn thiện luận án Trong q trình học tập thực luận án, tác giả nhận hỗ trợ tạo điều kiện tốt để hồn thành chương trình Tác giả xin gửi lời cảm ơn trân trọng đến Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học Phòng chức khác Trường Đại học Vinh giúp đỡ quý báu Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu./ Bùi Cao Vân MỤC LỤC Mục Lục Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dạng vi phân đa tạp Riemann 1.2 Liên thông đa tạp Riemann 11 1.3 Đạo hàm Lie dạng vi phân 14 1.4 Phân bố dòng đa tạp Riemann 20 Chương Đạo hàm Lie dòng đa tạp 28 2.1 Đạo hàm Lie dòng dạng suy rộng 28 2.2 Đạo hàm Lie dịng nhóm Lie 47 2.3 Một số ứng dụng đạo hàm Lie dòng 54 2.4 Đạo hàm Lie dạng dòng song bậc 60 Chương Đạo hàm Lie liên thông pháp dạng 72 3.1 Đạo hàm Lie liên thơng vi phân ngồi liên kết 72 3.2 Đạo hàm Lie liên thông pháp dạng 83 Kết luận chung kiến nghị 97 Danh mục cơng trình 99 Tài liệu tham khảo 100 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu M (U, x) Mc Tp M Vk (Tp M ) B(M ) F(M ) Fc (U ) Tên gọi Đa tạp Riemann n−chiều Bản đồ M M c Đa tạp phức n−chiều Không gian tiếp xúc với M p ∈ M Không gian k−dạng tuyến tính, phản xứng Khơng gian trường véctơ trơn M Không gian hàm trơn M Không gian hàm trơn suppf tập compact U D(U ) Không gian phân bố U có giá compact k Ω (M ) Khơng gian k−dạng vi phân trơn M k Ωc (M ) Khơng gian k−dạng vi phân trơn có giá compact k D (M ) Khơng gian k−dịng có giá compact M k e Ω (M ) Không gian k−dạng suy rộng M (p,q) c Ω (M , C) Không gian dạng vi phân song bậc M c Ωk (M, F ) Không gian k−dạng vi phân với giá trị không gian định chuẩn F M c O(M ) Không gian hàm chỉnh hình M c (1,0) Bhol (M c ) Khơng gian trường véctơ chỉnh hình M c Ωphol (M c ) Khơng gian p−dạng chỉnh hình M c D(p,q) (M, C) Khơng gian dịng song bậc (p, q) M c N(M ) Không gian trường véctơ pháp dạng khả vi đa tạp Riemann M ∇ Liên thông Levi-Civita M e f ∇ Liên thông Levi-Civita củaM ∇⊥ Liên thông pháp dạng M R Tenxơ cong (độ cong) đa tạp Riemann M e f R Tenxơ cong (độ cong) đa tạp RiemannM R⊥ Độ cong pháp dạng đa tạp Riemann M £X Đạo hàm Lie dòng LX Đạo hàm Lie dạng vi phân dạng suy rộng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Lý thuyết đạo hàm Lie lĩnh vực nghiên cứu toán học đại, xuất từ năm 30 kỷ trước cơng trình nghiên cứu Slebodzinski, Dantzig, Schouten Van Kampen ([47]) Đây lĩnh vực quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Phép đạo hàm Lie đa tạp công cụ hữu hiệu để nghiên cứu toán đa tạp tích cực tiểu địa phương, xác định độ cong chính, độ cong Ricci đa tạp Riemann Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học tìm nghiệm phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệ Hamilton ([4], [25]) Ngồi ra, đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế 1.2 Lý thuyết dịng lý thuyết ngành Hình học - Tôpô Từ cuối năm 60 kỷ XX, với hình thành phát triển lý thuyết không gian phức hyperbolic, lý thuyết dịng có bước tiến mạnh mẽ ứng dụng sâu sắc giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ động lực Việc sử dụng lý thuyết dòng nghiên cứu thể tích cực tiểu k−mặt đa tạp Riemann tìm thấy cơng trình nghiên cứu A T Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân ([38]) 1.3 Các phép đạo hàm đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng việc mơ tả đặc trưng hình học đa tạp Chính vậy, mà việc nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Mặc dù có nhiều kết quan trọng vấn đề mang tính thời sự, thu hút ngày nhiều nhà tốn học nghiên cứu tính thực tiễn ứng dụng khoa học kỹ thuật Năm 2010, Sultanov trình bày tính chất đạo hàm Lie ứng dụng chúng vào việc khảo sát độ cong độ xoắn đại số kết hợp, giao hốn có đơn vị ([37]) Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie sử dụng nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Trong năm gần đây, đạo hàm Lie nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K Habermann, A Klein ([19]); L Fatibene, M Francaviglia ([16]); R P Singh, S D Singh ([33]); A Ya Sultanov ([37]); J D Pérez ([28], [29]) Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dịng liên thơng đa tạp, đồng thời nghiên cứu tính chất ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Đạo hàm Lie dịng liên thơng" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu đạo hàm Lie đa tạp như: Đạo hàm Lie dòng dạng suy rộng, đạo hàm Lie dạng dòng song bậc, vi phân ngồi liên kết với liên thơng, đạo hàm Lie liên thông nhằm bổ sung số tính chất hình học đa tạp Riemann, đồng thời số ứng dụng chúng Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án đạo hàm Lie dòng dạng suy rộng, đạo hàm Lie liên thông đa tạp Riemann Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu tính chất đạo hàm Lie dòng, đạo hàm Lie phân bố, đạo hàm Lie dạng suy rộng, đạo hàm Lie dạng dịng song bậc, vi phân ngồi liên kết với liên thông, đạo hàm Lie liên thông ứng dụng chúng Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết hình học Riemann, lý thuyết dịng, giải tích hàm, lý thuyết liên thơng lý thuyết nhóm Lie trình thực đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án đạt số kết đạo hàm Lie đa tạp Riemann như: Đạo hàm Lie dòng, đạo hàm Lie phân bố, đạo hàm Lie dạng suy rộng, đạo hàm Lie dạng dòng song bậc, vi phân ngồi liên kết với liên thơng, đạo hàm Lie liên thông pháp dạng nhằm bổ sung số tính chất hình học đa tạp Đồng thời, áp dụng kết thu vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức đồng ln dịng tìm điều kiện để đa tạp cực tiểu Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Đa tạp Riemann khái niệm sở toán học đại Khái niệm xuất vào nửa cuối kỷ 19 Hình học đa tạp có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác tốn học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực ngành: Vật lý, ngành khoa học kỹ thuật Lý thuyết liên thông công cụ hình học Riemann trình bày tài liệu ([22], [24]) Đến năm cuối kỷ 20, với phát triển tôpô với cơng trình tiếng Hausdorff, Poincaré hình học đa tạp phát triển mạnh mẽ tơpơ trở thành cơng cụ hữu hiệu việc xây dựng cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ cong, độ xoắn, đạo hàm dạng vi phân đa tạp đặc biệt mơ tả tính chất hình học quan trọng nhóm Lie compact S Lie người đưa khái niệm đạo hàm X[f ] hàm số f theo trường véctơ X đa tạp khả vi gọi đạo hàm Lie hàm số theo trường véctơ Năm 1920, Élie Cartan ([5]) định nghĩa cách tự nhiên toán tử vi phân LX dạng vi phân chứng minh toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân d Đặc biệt, Élie Cartan chứng minh công thức sau gọi công thức Cartan LX = d ◦ iX + iX ◦ d, iX tích trường véctơ X đối vớ dạng vi phân ´ Năm 1931, công trình nghiên cứu W Slebodzi´ nski ([35]) xuất toán tử vi phân LX trường tenxơ theo trường véctơ ´ X W Slebodzi´ nski chứng minh cơng thức tốn tử vi phân LX tích hai trường tenxơ ứng dụng vào việc tìm nghiệm phương trình Hamilton tắc Với hàm số H(p, q), p = (pµ ), q = (q µ ), µ = ´ 1, 2, , n, W Slebodzi´ nski định nghĩa trường véctơ ∂H ∂ ∂H ∂ XH = − ∂pµ ∂q µ ∂q µ ∂pµ chứng minh LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dq µ ∧ dpµ , B = ∂q∂µ ∧ ∂p∂µ Năm 1932, D V Dantzig đặt tên cho toán tử vi phân LX đạo hàm Lie mang tên nhà toán học S Lie ([10]) Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig thu nhiều kết thú vị, khơng gian xạ ảnh n−chiều mô tả n + tọa độ cong mà xem khơng gian (n + 1)−chiều với liên thơng tuyến tính ông đưa ứng dụng đạo hàm Lie vào Vật lý Kể từ đó, phép biến dạng đường cong, không gian không gian phép biến dạng nhóm chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học tiếng như: L Berwald, E Cartan, N Coburn, E T Davies, P Dienes, A Duschek, L P Eisenhart, F A Ficken, H A Hayden, V Hlavatý, E R van Kampen, M S Knebelman, T Levi Civita, J Levine, W Mayer, A J McConnel, A D Michal, H P Robertson, S Sasaki, J A Schouten, J L Synge, A H Taub, H C Wang nhiều tác giả khác Năm 1948, J A Schouten D J Struik ([34]) phát triển thêm số tính chất đạo hàm Lie dạng vi phân đưa số kỹ thuật tính đạo hàm Lie dạng vi phân đa tạp Sau đó, năm 1957 K Yano người giới thiệu lý thuyết đạo hàm Lie ứng dụng đạo hàm Lie ([47]) Việc nghiên cứu phép đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng việc mơ tả đặc trưng hình học đa tạp đặc biệt ứng dụng lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, học lượng tử, động lực học Năm 1997, J.-H Kwon Y J Suh nghiên cứu số tính chất đạo hàm Lie tenxơ siêu mặt thực kiểu A không gian dạng phức ([21]) Năm 2002, B N Shapukov trình bày số kết đạo hàm Lie trường tenxơ trờn a Fiber ([36]) Nm 2008, K Răobenack ó đưa thuật tốn cho phép tính đạo hàm Lie bậc cao máy tính ([31]) Năm 2010, tác giả L S Velimirovi´c, S M Min˘ci´c, M S Stankovi´c : x ∈ U j , |β| ≤ s, I , Dβ αI = ∂ β1 + +βn αI ,β β ∂x1 ∂xβnn Ωkc (U j ) ⊂ = (β1 , , βn ) ∈ Zn+ , |β| = β1 + + βn Khi Ωkc (U j+1 ) k Ω (U ) = ∞ [ Ωkc (U j ) j=1 Tôpô Ωk (U ) xác định giới hạn quy nạp chặt họ Ωkc (U j ) Điều có nghĩa tập V ⊂ Ωk (U ) lân cận ∈ Ωk (U ) T V Ωkc (U j ) lân cận Ωkc (U j ) với j,  dãy αj ∈ Ωk (U ) hội tụ Ωk (U ) tới α ∈ Ωk (U ) tồn   j ∈ N∗ cho αj , α ∈ Ωkc (U j ) αj hội tụ tới α Ωkc (U j )  1.4.16 Chú ý ([2, tr.33]) Dãy αj ⊂ Ωk (U ) mà αj → α tôpô Ωk (U ) i) Tồn tập compact K ⊂ U cho suppαIj , suppαI ⊂ K, ∀I, j; ii) Dβ (αIj ) → Dβ (αI ) K j → ∞ với I β ∈ Zn+ 1.4.17 Định nghĩa ([2, tr.34]) k−dòng (hay dòng bậc k ) có chiều (n−k) tập mở U ⊂ M dạng tuyến tính, liên tục T : Ωn−k (U ) → R Nếu ω c dạng Ωn−k (U ), giá trị T ω, ký hiệu T (ω) hay < T, ω > c Dòng bậc n ( chiều 0) phân bố U Ký hiệu khơng gian k−dịng U Dk (U ) Khơng gian k−dịng thường xét với tơpơ yếu xác định sau: Một dãy {Tn } dòng bậc k U gọi hội tụ tới dòng T bậc k U {Tn } hội tụ tới T không gian Dk (U ), nghĩa với ω ∈ Ωn−k (U ), < Tn , ω >→< T, ω > c Sau ví dụ dịng đa tạp 1.4.18 Ví dụ ([2, tr.35]) Giả sử ψ k−dạng vi phân U , với hệ P số khả tích địa phương, ψ = ψI dxI Xét ánh xạ I Tψ : Ωn−k (U ) c →R Z α 7→ Tψ (α) = ψ ∧ α U Khi đó, Tψ k−dòng U 25 (U ) nên Tψ (α) xác định hiển Thật vậy, ψI ∈ L1loc (U ) α ∈ Ωn−k c nhiên Tψ dạng tuyến tính Ta chứng minh Tψ liên tục Ωn−k (U ) c P j j n−k j n−k Giả sử α = αI dxI ∈ Ωc (U ) α → Ωc (U ) I j Vì α → Ωn−k (U ) nên c 1) Tồn tập compact K ⊂ U cho suppαIj , suppαI ⊂ K, ∀I, j; 2) Dβ (αIj ) → K j → ∞ với I β ∈ Zn+ R R Do đó, ta có Tψ (αj ) =