Hh9 cđ2 đường tròn 2

Bài 5: Vị trí tương đối hai đường trịn A Kiến thức cần nhớ A O1 A O2 O1 B Hình O2 O1 O2 Hình Hình O1 O2 O1 O2 O1≡O2 Hình Hình Hình Cho hai đường O ;R O ;R tròn O  1  Ovà  2  Khi ta có trường hợp:  R1  R2  O1O2  R1  R2 1) cắt hai điểm phân biệt A, B (hình 1) O O - Có AB dây chung     - O1O2 đường trung trực AB O O -     có tiếp tuyến chung O O 2)     tiếp xúc a) Tiếp xúc ngồi (hình 2)  O1O2 R1  R2 - Tiếp điểm thuộc O1O2 O O -     có tiếp tuyến chung b) Tiếp xúc (hình 3)  O1O2  R1  R2 - Tiếp điểm thuộc O1O2 O O -     có tiếp tuyến chung *) Đặc biệt: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi M Tiếp tuyến chung trịn M cắt tiếp tuyến chung I ( A , B tiếp điểm) Chứng minh rằng: 1) O, M , O ' thẳng hàng 2) OO ' R  R ' M O 3) IM IA IB O' 4) AMB vuông M 5) OIO ' vuông A I B 6) AB 2 R.R '  AB R.R ' Chứng minh: Theo tính chất 5) OIO ' vng I Mà IM đường cao tam giác  IM MO.MO '  IM  R.R ' Theo tính chất 3)  AB 2 IM  AB 2 R.R ' O O 3)     khơng có điểm chung a) Hai đường trịn nằm ngồi (hình 4)  O1O2  R1  R2 O O -     có tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung trong, tiếp tuyến chung ngoài) b) Hai đường trịn đựng (hình 5)  O1O2  R1  R2 O O -     khơng có tiếp tuyến chung c) Hai đường trịn đồng tâm (hình 6)  O1O2 0  O1 O2 B Bài tập vận dụng Bài 1: O O' Cho hai đường tròn     cắt A B Vẽ AC AD theo thứ tự O O' đường kính     F E N A K M a) Chứng minh điểm B, C , D thẳng hàng O O' b) Đường thẳng AC cắt   E , C O E , F  A đường thẳng AD cắt   F  O' I B D Chứng minh bốn điểm D, C , E , F thuộc đường trịn c) Một đường thẳng d thay đổi ln O , O' qua A cắt     tương ứng M , N cho A nằm M , N Xác định vị trí tương đối đường thẳng d để CM  DN đạt giá trị lớn Lời giải   a) Ta có ABC 90 ; ABD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   CBD 1800  C , B, D thẳng hàng (đpcm)   b) Dễ thấy CED 90 ; DFC 90  điểm C , D, E , F thuộc đường trịn đường kính CD (đpcm) c) Gọi I trung điểm CD ; kẻ IK  CD  CMND hình thang  CM / / DN  có IK đường trung bình  CM  DN 2 IK mà IK IA  CM  DN 2IA CM  DN đạt GTLN 2IA  A K  d  IA Bài 2: O O' Cho     Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF Với A, E   O  B, F   O '  A M B E Gọi M giao điểm AB, EF a) Chứng minh rằng: O' O F AOM #BMO ' b) Chứng minh AE  BF Lời giải    a) MO phân giác AME  M M    Tương tự ta có MO ' phân giác BMF  M M  M   AME  FMB   M  180 90 2       Mặt khác OAM MBO 90  M  O1 90  M O1  AOM ∽ BMO (g-g)      b) Ta có: OM  AE  MAE O1 (phụ OAE ), mà M O1      AE / /OM  MAE M Mà MO '  BE  AE  BF (đpcm) Bài 3: O O Cho hai đường tròn     cắt A B Gọi AM dây A O O cung   tiếp xúc với   , AN O1 O O dây cung   tiếp xúc với   Gọi E điểm đối xứng A O Qua B B a) Chứng minh điểm A, E , M , N thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: Khi hai đường N M O O tròn     thay đổi E qua điểm cố định A, B tâm đường tròn qua bốn điểm A, E , M , N thuộc đường tròn cố định Lời giải a) Kẻ đường kính AF , AG  O1   O2   F , B, G thẳng hàng  FG  AB Gọi I trung điểm FG , ta có: FG trung điểm AE  IA IE  1 Trong tam giác AFG , có O1I đường trung bình  O1I / / AG Mà AG  AM  O1I IA   Tương tự ta có IO2 đường trung bình AN  IA IN  3 Từ (1)(2)(3)  IA IM IE IN  A, M , N , E   I ; IA  (đpcm) b) Do I  FG , mà FG  AB  I thuộc đường thẳng vng góc với AB B (đpcm) Bài 4: O O' Cho hai đường tròn     cắt hai điểm phân biệt A B Đường I O O' thẳng OA cắt     C D , O'A O O' cắt     E D A E F a) Chứng minh đường thẳng AB, CE DF đồng quy I O b) Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn O' C F B O c) Gọi PQ tiếp tuyến chung   O' P  O Q   O ' AB   với cắt Q M P PQ M Chứng minh MP MQ Lời giải a) Dễ thấy C , F , B thẳng hàng AB  CF  CEA 900  CE  AF ; ADF 900  DF  AC  AB, CE , DF ba đường cao ACF nên chúng đồng quy I   b) Dễ thấy IBF IEF 90  I , E , B, F thuộc đường trịn đường kính IF      MPB MAB   sd AB    c) Ta có MP MB  MBP ∽ MPA  gg     MP MA.MB MA MP Tương tự ta có: MQ MA.MB Từ (1)(2)  MP MQ (1) (2) (đpcm) Bài 5: E Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường F M C B b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O)  E , F  A Chứng minh A Q kính hai đường tròn (O) (O’) a) Chứng minh ba điểm C , B , D thẳng hàng F N điểm C , D, E , F nằm đường tròn P D c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O’) thứ tự M N Xác định vị trí d để CM  DN đạt giá trị lớn Lời giải   a) Do ABC  ABD 90  B, C , D thẳng hàng   b) Do CED CFD 90  C , D, E , F thuộc đường tròn c) Gọi P trung điểm DC P điểm cố định Gọi Q trung điểm MN Do CM , DN vng góc với MN nên CMND hình thang vng Nên CM  DN 2 PQ; PQ  MN Nhưng PQ PA  CM  DN 2PA Vậy CM  DN đạt giá trị lớn đường thẳng d vng góc với AP Bài 6: Cho tam giác vuông ABC (vuông A) cố A định nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động cung tròn BC khồng chứa A N giao điểm AM BC Chứng minh giao điểm (khác M ) đường tròn N B O C (O ) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định P M Lời giải Gọi P giao điểm thứ hai giao điểm đường thẳng qua A vuông góc với BC đường trịn (O) Rõ ràng BC đường trung trực đoạn AP P điểm cố định   Ta có: MOP 2MAP  1 (quan hệ vng góc tâm góc nội tiếp)    Mà NA  NP nên dễ thấy MNP 2 NAP 2MAP     Từ (1)(2) ta suy MOP MNP Vậy nên điểm M , N , O, P thuộc đường tròn Tức đường tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm P cố định Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn A  O; R  Gọi  O ' đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh AB , AC theo thứ tự M N a) Chứng minh ba điểm M , O , N thẳng hàng O M O' b) Tính bán kính đường trịn   theo B R D O' H N C K Lời giải a) Gọi K tiếp điểm hai đường trịn Ta có A, O, O ', K thẳng hàng Kẻ tiếp tuyến chung K cắt AB , AC D , E Ta có ADE  O ' giao điểm đường trung trực tam giác ADE Suy M , N trung điểm AD , AE Ta lại có O trung điểm AK nên M , O , N thẳng hàng b) Vì ADE nên O’ trọng tâm tam giác 2R O ' K  AK  3 Do Bài 8: E Cho đường trịn (O) đường kính AB , đường B trịn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) A Các dây BC , BD đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) theo thứ tự E , F Gọi I giao điểm EF AB Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD O E I F O' C D A Lời giải Do tính đối xứng nên CD  AB, EF  AB    Ta có CAE  AEB (cùng O ' EA ) nên EC EI (tính chất tia phân giác)   Suy ECI EIC , lại có ICD EIC  ICD ECI Điểm I giao điểm đường phân giác góc B C tam giác BCD nên I tâm đường trịn nội tiếp tam giác     Bài 9: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi OC bán kính vng góc với AB , d tiếp tuyến với nửa đường tròn C Gọi ( I ) E đường tròn tiếp xúc vưới nửa đường tròn tâm O tiếp xúc với đường kính AB Chứng minh điểm I cách đường thẳng d điểm O K M A C I H O Lời giải Giả sử đường tròn ( I ) tiếp xúc với (O) K tiếp xúc với AB H Khi ba điểm K , I , O thẳng hàng Tiếp tuyến đường tròn ( I ) K cắt OA M cắt HI E MHE MKB gcg  HE KO OC   Ta có Suy tứ giác HOCE hình chữ nhật  CE  CO Do E  d IE  d IKE IHO  gcg   IO IE Mặt kkác Vậy I cách d O B Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính AB , C điểm nửa đường trịn cho CA  CB , H hình chiếu C AB Gọi I trung điểm CH , đường  CH   I;  tròn   cắt nửa đường tròn D cắt cạnh CA , CB theo C N I D M E A H O B thứ tự M N , đường thẳng CD cắt AB E Chứng minh CMHN hình chữ nhật, từ suy E.I , M , N thẳng hàng Lời giải  CH   I;      CMH CH đường kính đường tròn  CNH 900 Vậy tứ giác CMHN hình chữ nhật  I trung điểm MN , tức I , M , N thẳng hàng (1)     Gọi O trung điểm AB , ta có OCB CBO  ACH MNH  CO  MN  2 Vì đường trịn (O) đường tròn ( I ) cắt điểm C D nên OI  CD Theo giả thiết CH  AB  I trực tâm CEO  EI  OC  3 Từ (2)(3) suy E , I , N thẳng hàng (4) Từ (1)(4) suy E , M , N , I thẳng hàng (đpcm) Bài 11: Cho hai đường tròn  O; R  B  O '; R '  R  R ' tiếp xúc C A hai điểm B, C (O ) (O ') cho O  BAC 900 Chứng minh OB / /O ' C A O' D Lời giải  Gợi ý : Giả thiết BAC 90 ta nghĩ đến điểm D giao điểm CA đường trịn (O) Ta có B, O, D thẳng hàng A C  ; A  A ; A  D  1 2 , từ suy kết OB / / O ' C Điểm phụ thuộc D “chìa khóa” để giải tốn Hướng dẫn giải: Vẽ đường kính BD đường trịn (O)  Ta có BAD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 0   Vì BAD  BAC 90  90 180  D, A, C thẳng hàng   Xét OAD có OA OD  R   OAD cân O  A2 D1     Chứng minh tương tự ta có A1 C1 , mà A1  A2 (đối đỉnh)     Nên D1 C1; D1 , C1 so le Vậy OB / / O ' C Bài 12: 10