Hh9 c2 b4 vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN A Tóm tắt lý thuyết Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn O; R  Gọi d khoảng cách từ tâm O đường tròn  đến đường thẳng a , ta có: Hệ thức d R Số điểm chung Quan hệ Đường thẳng a cắt đường trịn Hình vẽ  O; R  điểm O d a A d R H B Đường thẳng a tiếp xúc O; R  đường tròn  O d=R a H d R Đường thẳng a không cắt O; R  đường tròn  O d a H Định lý Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm B Bài tập dạng toán Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn ngược lại Cách giải: So sánh d R dựa vào bảng vị trí tương đối đường thẳng đường tròn nêu lý thuyết Bài 1: Cho ABC vng A có BD đường A phân giác Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường tròn tâm kính D D bán DA B E DA tiếp xúc C Lời giải Vẽ DE  BC  E  BC  D  thuộc tia phân giác ABC ; DA  AB, DE  BC  DE DA Do đường thẳng BC đường trịn tâm Cho ABC vng A bán kính Bài 2: có D B AB 3cm, AC 4cm H Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC vầ A đường tròn tâm A bán kính 2,8cm Lời giải Vẽ AH đường cao tam giác vuông ABC 1 1  2    AH 2, 4cm  2,8  d  r  2 AB AC Ta có: AH A; 2,8cm  Do đường thẳng BC đường trịn  cắt Bài 3: C Cho hình thang vng ABCD có A D A B  900 , AD 2cm, BC 6m, CD 8cm Chứng minh trịn đường kính AB tiếp xúc với đường I K CD B Lời giải Gọi I , K trung điểm CD Ta có: Lại có: Do IK đường trung bình hình thang AD / / IK , AD  AB  IK  AB; IK  AB AB tiếp xúc với đường tròn tâm ABCD  IK  AD  BC 4  cm  CD  4cm  , IK  AB I đường kính CD Dạng 2: Bài tốn liên quan đến tính độ dài C Cách giải: Ta nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp điểm sử dụng định lý pyatago Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính 6cm B điểm A cách O 10cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn B tiếp điểm Tính A O độ dài đoạn AB Lời giải Ta có ABC vng B  AB 8cm Bài 2: O; R  Cho đường tròn  dây AB  R Vẽ K M N tiếp tuyến song song với AB , cắt tia O OA, OB M N Tính diện tích B A tam giác OMN Lời giải Tiếp tuyến MN , tiếp điểm K Vì AB / / MN nên OK  AB 4 OK  R  KN  R  SOMN  R 3 Ta tính được: Bài 3: O; 2cm  Cho đường tròn  điểm A A chạy đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến xy Trên xy lấy điêm M AM 2  cm  cho M Hỏi điểm M di động O đường A chạy   Lời giải Tính OM 4  M di chuyển  O; 4cm  Bài 4: O O; 2cm  Cho đường trịn  điểm A ngồi  O  Từ A A kẻ cát tuyến với  O  , cắt  O  B B C Cho biết AB BC kẻ đường kính COD , tính độ dài đoạn thẳng AD D O C Lời giải Chứng minh OB đường trung bình CDA  AD 4cm Bài 5: xy M Cho điểm cách đường thẳng 6cm, vẽ M ;10cm  đường tròn  M a Chứng minh đường tròn tâm M y x P đường thẳng xy cắt H Q b Gọi hai giao điểm P Q Tính PQ Lời giải a Kẻ MH  xy H  MH khoảng cách từ M đến xy  MH 6cm    MH  R  xy O;10cm   R 10cm cắt  P Q MH  PQ  HP HQ  PQ b Ta có (Quan hệ vng góc đường kính dây)  PQ 2.HQ  Xét MHQ( H 90 )  HQ 8cm( HQ  0)  PQ 16(cm) Bài 6: Cho hình vng ABCD , đường chéo BD A B lấy điểm I cho BI BA Đường thẳng kẻ E qua I vng góc với BD cắt AD E a So sánh: AE , EI , ID I C D b Xác định vị trí tương đối đường thẳng BD với đường trịn  E; EA  Lời giải a Ta có : AEB IEB(ch  cgv)  AE EI (1)  450  EID( I 900 ), D vuông cân  IE ID(2) Từ (1)(2)  AE EI ID b Ta lại có EI EA  I  ( E; EA)  R EI E; EA  mặt khác: EI  BD  d EI  d R  đường thẳng BD tiếp xúc với  Bài 7: D Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB , E M điểm thuộc nửa đường tròn, qua M M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi D C C theo thứ tự hình chiếu A B A tiếp tuyến a Chứng minh M trung điểm CD b Chứng minh: AB BC  AD   c Giả sử: AOM  BOM , gọi E giao điểm AD với nửa đường tròn Xác định dạng tứ giác BDCE d Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn cho tứ giác ABCD có diện tích lớn Tính diện tích theo bán kính O B nửa đường trịn cho Lời giải a Hình thang ABCD có AO OB, OM / / AD / / BC  M trung điểm CD b Ta có: AB 2OM BC  AD c Tứ giác BDCE hình chữ nhật có góc vng d S ABCD  AD  BC BE OM BE OM AB 2 R 2  maxS ABCD 2 R  OM  AB Bài 8: Cho đoạn thẳng AB trung điểm O AB D Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia H C Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax A O B By lấy theo thứ tự hai điểm C D cho  COD 900 , kẻ OH  CD a Chứng minh H thuộc đường trịn tâm O đường kính AB b Xác định vị trí tương đối CD với O đường trịn   Lời giải a Kéo dài DO cắt AC E , ta có :  D  ; OD OE  OHD OAE (ch  gn)  OH OA OB  H  (O; AB ) AOE BOD( gcg )  E O b Ta có H thuộc đường tròn   , CD  OH H  khoảng cách từ O đến CD bán O O kính   Vậy CD tiếp xúc với   H Bài 9: Cho điểm A cách đường thẳng xy B khoảng 12 cm H C y x a Chứng minh  A;13cm  cắt đường thẳng xy hai điểm phân biệt A b Gọi hai giao điểm  A;13cm  với xy B, C Tính độ dài đoạn thẳng BC Lời giải a) Kẻ AH  xy  AH 12cm  R  ( A) cắt xy hai điểm B C b) Tính : BC 2.HC 10cm Bài 10: O Cho nửa đường tròn   đường kính AB F C O Lấy điểm C điểm thuộc   gọi d E O tiếp tuyến qua C với với   Kẻ AE BF vng góc với d ; CH vng góc với A AB H O B a Chứng minh: CE CF CH  AE.BF b Khi C di chuyển nửa đường tròn, tìm vị trí điểm C để EF có độ dài lớn Lời giải a) Chứng minh OC đường trung bình hình thang AEFB nên C trung điểm EF Chứng minh : AE  AH , BH BF  CH HA.HB  AE.BF b) Ta có: BF   O   H   EF  AH  AB  EFmax  AB  C điểm AB BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Từ điểm nằm bên ngồi đường trịn  O;8cm  cho OA 12cm Kẻ tia Ax tạo với A góc 30 Gọi H hình chiếu O tia Ax Khẳng định sau A) Tia Ax đường trịn O khơng có điểm chung OA B) Tia Ax đường tròn O có điểm chung C) Tia Ax đường trịn O có hai điểm chung Chọn đáp án C H Giải thích: Từ AOH vng H , ta có: OH OA.sinA 12.sin300 12.0,5 6  cm   OH  R A O 12 (bán kính) Vậy tia Ax đường trịn  O  cắt hai điểm Câu 2: Cho đường tròn  O; R  đường thẳng a Gọi d khoảng cách từ O đến a Điền vào bảng để khẳng định Vị trí tương đối a  O  Số điểm Hệ số chung a d R  O  cắt d R a  O  khơng giao Đáp án Vị trí tương đối a  O  a Số điểm Hệ số chung d R d R  O  cắt a  O  không giao d R d R Câu 3: Cho đường tròn  O; R  , bán kính OA , dây CD trung trực OA Kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  C , tiếp tuyến cắt đường thẳng OA I Khẳng định sau A) OAC tam giác B) Tứ giác OCAD hình thoi C) CI R D) Cả A, B, C Chọn đáp án D C Giải thích: R A) Gọi J giao điểm OA CD O Do CD đường trung trực OA nên I A CA CO R  OA OC CA R  1 Vậy OAC tam giác D B) Chứng minh tương tự: OA OD  AD R   Từ  1    OC OD  AC  AD R  OCAD hình thoi   C) Xét OCI , ta có: OCI 90 ; COI 60   CI OC.tanCOI R.tan600 R  O; R  Câu 4: Cho đường tròn tiếp tuyến điểm PM P nằm bên ngồi đường trịn cho OP 2 R Kẻ hai PN với đường tròn Khẳng định sau sai  A) MON 120 B) Tam giác PMN tam giác C) MN R Chọn đáp án B D) Cả A, B, C sai C Giải thích:  A) Ta có PM  OM  OMP 90 O OMP vuông M , ta có: 2 R OM R   cosPOM     POM 600 OP R N 0    Ta có POM PON 60  MON 120 P B) Ta có PM PN  PMN cân   0      OMP có: O1  P1 90  P1 30  P1 P2 30  Do MPN 60    PMN Từ     tam giác 10 P C) OMN cân O , có    MON 1200  OMN ONM 300    MON  OMN  MN  ON BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: 11 Cho ABC vuông cân A Vẽ tia phân giác A BI I I ; IA  a) Chứng minh đường tròn  tiếp xúc với đường thẳng AB, AC b) Cho biết AB a Tính IA C B từ suy tan22033'   Lời giải a) Ta có IA  BA  IA d  I , BA    I , IA  tiếp xúc với mặt khác BI BA A  tia phân giác ABC I , IA  Do đường trịn  tiếp xúc với BC IA IC AC  IA IA a  IA     IB BC a AB a  ABC b) Áp dụng tính chất tia phân giác , ta có:  2.IA a  IA  IA   tan 22033'  a   21 a a a 1 21   21 , ABC vng A ta có: tan ABI  IA BA (đpcm) Bài 2: O; R  Cho đường trịn  đường kính AB y M tiếp tuyến xAy Trên xy lấy điểm M , kẻ N dây cung BN song song với OM Chứng O minh MN tiếp tuyến đường tròn   A x Lời giải     Vì BN / /OM  AOM  ABN ; MON ONB     Mà OBN cân O  OBM ONB  MON  AOM 12 O B Ta có:   OAM ONM OA ON R; AOM MON ; OM : chung   ONM   OAM 0   Ta lại có: OAM 90 (vì xy tiếp tuyến A ), nên ta có: ONM 90  MN  ON O Vậy MN tiếp tuyến đường tròn   Bài 3: O Cho điểm   cách đường thẳng a 6cm O,10cm  Vẽ đường tròn  O O a) Chứng minh   có hai giao điểm với 10 đường thẳng d B H C b) Gọi hia giao điểm nói B C Tính độ dài BC Lời giải a) Kẻ OH  a  OH 6cm khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Do  10   O  b) Vì có hai giao điểm với đường thẳng a OH  a  OH  BC  BH HC  BC Áp dụng hệ thức pytago vào OHC vuông H có cạnh huyền OC 10cm , ta được: OC CH  HO  102 CH  62  CH 82  CH 8  cm   CH   Vậy BC 16  cm  Bài 4: O; R  Cho đường thẳng d đường trịn  khơng giao A O điểm   Xác A O định vị trí điểm A để khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn d H Lời giải 13 B Gọi H , B hình chiếu A, O đường thẳng d , ta có: B cố định AH  HB  AH  AB Xét ba điểm OA, B ta có: AB OA  OB  AH R  OB, R  OB không đổi  H B  Dấu ‘‘=’’ xảy O nam giua Ava B O O Vậy A giao điểm tia đối tia OB đường trịn   ( B hình chiếu   d ) khoảng cách từ A đến d lớn Bài 5: O; R  Cho điểm A nằm ngồi đường trịn  D' C H Đường thẳng d qua A , gọi B C giao O điểm đường thẳng d đường tròn   B O A Xác định vị trí đường thẳng d để tổng AB  AC lớn D Lời giải Vẽ đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn D D ' , ta có D D ' cố định - Nếu d trùng với AD AD ' Ta có điểm B, C , D trùng nên: AB  AC 2 AD 2 AD ' - Nếu d không trùng với AD AD ' Vẽ OH  d  H  d  Ta có H trung điểm BC (địn lý đường kính vng góc với dây cung) có OH  R  AB  AC  AH  HB  AH  HC 2 AH 2 Xét OAH vuông H  OH  AH OA 2 Xét OAD vuông D  OD  AD OA 2 2 Do : OH  AH OD  AD , mà OH  OD R  AH  AD  AB  AC  AD Vậy đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn AB  AC nhỏ 14