Hh9 cđ2 điểm thuộc đường tròn 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 2: Chứng minh từ diểm trở lên nằm đường tròn I Phương pháp: + Chứng minh điểm cách điểm O khoảng R Khi điểm thuộc đường trịn tâm O , bán kính R + Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh điểm liên tiếp nhìn đoạn AB cố định góc α Hay điểm thuộc cung chứa góc α dựng đoạn AB , nên điểm thuộc đường trịn chứa cung chứa góc α dựng đoạn AB II Bài tập mẫu Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D, O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N Chứng minh điểm M , N , O, D, A thuộc đường tròn A N M B D O C Lời giải Vì AO tia phân giác A (giả thiết) mà đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC lần AMO =  ANO = 900 (1) lượt M , N nên ta có  ADO = 900 (giả thiết) ( ) Lại có:  AMO =  ADO =  ANO = 900 nên điểm A, M , D, O, N thuộc đường tròn tâm O ' Từ (1) ( ) ⇒  đường kính AO GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 2: Cho đường tròn ( O ) điểm M nằm A ( O ) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến ( O ) ( A , B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyến MNP ( MN < MP ) đến ( O ) cho tia MP P K N M O nằm hai tia MA MO Gọi K trung điểm NP Chứng minh điểm M ; A ; K ; O ; B thuộc đường tròn B Lời giải = 90° = 90° ; MBO Vì MA , MB tiếp tuyến đường tròn ( O ) ⇒ MAO  =90° Vì K trung điểm NP ⇒ OK ⊥ NP ⇒ OKM = = = ⇒ MAO MBO MKO 90° ⇒ Các điểm M ; A ; K ; O ; B thuộc đường trịn đường trịn đường kính MO Bài 3: Cho ( O; R ) Một đường thẳng d không qua N O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C đường tròn ( C ∈ d CB < CA ), kẻ hai tiếp tuyến CM , CN với đường tròn ( M thuộc cung nhỏ AB) Gọi H trung điểm AB Đường thẳng OH cắt tia CN K Chứng minh điểm M , H , O, N , C thuộc đường tròn Xác định tâm đường trịn O C B Lời giải = = 90° 90° ; CNO Vì CM , CN tiếp tuyến đường tròn ( O ) ⇒ CMO  =90° Vì H trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB ⇒ OHC M H A d GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = = = ⇒ CMO CNO CHO 90° ⇒ điểm M , H , O, N , C thuộc đường trịn đường trịn đường kính OC Tâm đường tròn trung điểm OC Bài 4: Cho đường thẳng d đường tròn ( O; R ) B khơng có điểm chung Hạ OH ⊥ d H Điểm M thuộc đường thẳng d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA ; MB tới đường tròn ( O; R ) O Chứng minh năm điểm M , H , A , O , B thuộc đường tròn A M H d Lời giải = OBM = 90° (1) Vì MA ; MB hai tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) ⇒ OAM = 90° ( ) Lại có OH ⊥ d H ⇒ OHM = OBM = OHM = 90° ⇒ Năm điểm M , H , A , O , B thuộc Từ (1) ( ) ⇒ OAM đường tròn Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Gọi M ; N điểm đối xứng H qua AB AC Gọi giao điểm MN với AB AC lần lưọt F E Chứng minh rằng: Năm điểm A ; M ; B ; H ; F thuộc đường tròn A F E N M B H C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải AMB=  AHB= 90° ∆AMB = ∆AHB (c.c.c) nên  Suy M ; H thuộc đường trịn đường kính AB (1) AMN =  ANM Ta có AM = AN (cùng AH ) nên ∆AMN cân A   ANF = AHF ∆AFN (c.c.c) ⇒  Mà ∆AFH = Suy  AMF =  AHF , H M hai đỉnh liên tiếp nhìn AF hai góc ⇒ A ; M ; H ; F thuộc đường tròn ( ) Từ (1) ( ) suy A ; M ; B ; H ; F thuộc đường trịn Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E , F tiếp điểm ( O ) với cạnh A D AB, AC , BC M thuộc đoạn CE cho AM = AB Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh điểm B, D, O, H , F thuộc đường tròn E O M H B Lời giải C F = 450 (1) Vì AM = AB ∆ABM vng cân A ⇒ DBH 1 = E = 90° ; OD = OE ) ⇒ DFH  Có tứ giác ADOE hình vng (do A= D = DOE = 90 = ° 450 ( 2) Từ (1) ( ) ⇒ Tứ giác BDHF nội tiếp hay bốn điểm B, D, H , F nằm đường tròn qua ba điểm B, D, F ( 3) ( ) = BDF = 90° ⇒ bốn điểm B, D, O, F nằm đường Lại có tứ giác BDOF nội tiếp BDO trịn qua ba điểm B, D, F ( ) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Từ ( 3) ( ) ⇒ điểm B, D, O, H , F thuộc đường tròn Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E , điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A ; B ; E ; D ; F nằm đường tròn Xác định tâm O đường trịn A F D B C E Lời giải ∆BAD có A= 90° ⇒ A nằm đường trịn đường kính BD ∆BED = 90° ( E hình chiếu D lên BC ) ⇒ E nằm đường trịn đường kính BD có E đối xứng với E qua BD nên F nằm đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng đường trịn) F Vậy điểm A ; B ; E ; D ; F nằm đường trịn đường kính BD tâm O trung điểm BD Bài 8: "Góc sút" phạt đền 11 mét độ? Biết chiều rộng cầu môn 7,32 m Hãy hai vị trí khác sân có "góc sút" phạt đền 11 mét P 7,32m H 11m M Q GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền M , bề ngang cầu mơn PQ M nằm đường trung trực PQ PQ = 3, 66 Gọi H trung điểm PQ , ta có: HP = HQ =  =α Gọi PMH Do M nằm đường trung trực PQ nên MH ⊥ PQ Tam giác MPH vuông H , áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng ta có: tan α = PH 3, 66 = ≈ 0.333 HM 11 Nên α= 18°36′ Vậy góc sút phạt đền 2α= 37°12′ + Vẽ cung chứa góc 37°12′ dựng đoạn thẳng PQ Bất điểm cung vừa vẽ có “góc sút” phạt đền 11 m Bài 9: Cho I , O tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A= 60° Gọi H giao điểm đường cao BB′ CC ′ Chứng minh điểm B , C , O , H , I thuộc đường tròn A C' O B Lời giải + Xét đường tròn ( O ) :  góc tâm chắn cung BC BOC 60° I H B' C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  góc nội tiếp chắn cung BC BAC   BOC = BAC = 2.60= ° 120° (1)   ′HC ′ + HC ′A = A + AB′H + B 360° + Tứ giác AC ′HB′ có:    ′A = A = 60°;  AB′H = HC 90° ( BB′; CC ′ đường cao)  ′HC ⇒B =′ 360° − ( 60° + 90° + 90° )  ′HC ′ = ⇒B 120° ( ) + Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABC ,  ACB Suy BI ; CI tia phân giác  =1 =1 Do IBC ACB ABC ; ICB 2 1 =   + ICB ⇒ IBC ABC +  ACB = 180° −  A = 60° 2 ( ) ( )   + ICB = 180° − 60= = 180° − IBC ° 120° ( 3) Xét tam giác BIC có: BIC    = BHC = BIC = 120° Từ (1) , ( ) ( 3) BOC Do O ; H I nhìn BC cố định góc 120° Suy O ; H I thuộc cung chứa góc 120° dựng đoạn BC ⇒ B , C , O , H , I thuộc đường tròn chứa cung 120° dựng đoạn BC Bài 10: Từ điểm P nằm đường tròn ( O ) kẻ Q hai tiếp tuyến PM , PN tới đường tròn ( O ) , ( M , N hai tiếp điểm) Gọi I điểm  đường tròn ( O ) , ( I thuộc cung nhỏ MN  ) Kéo dài PI khác điểm MN cắt MN điểm K , cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai J Qua điểm O kẻ đường M J I P E N F O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 thẳng vng góc với PJ điểm F cắt đường thẳng MN điểm Q Gọi E giao điểm PO MN Chứng minh năm điểm Q, I , E , O, J thuộc đường Lời giải Xét ∆PIN ∆PNJ Có P chung; )  = PJN  (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn NI PNI ⇒ ∆PIN ∽ ∆PNJ ⇒ PI PJ = PN (1) Xét ∆PON vng N có NE ⊥ PO ⇒ PN = PE.PO ( ) Từ (1) ( ) ⇒ PI PJ = PE.PO ⇒ ∆PIE ∽ ∆POJ suy tứ giác IEOJ nội tiếp ( 3)  =IJO  ; IEP  + QEI  =900 ; IJO  + QOJ  =900 ⇒ QEI  =QOJ  Ta có IEP  = QOI  ⇒ QEI  = QOI  Suy tứ giác QIEO nội tiếp ( ) Mà QOJ Từ ( 3) ( ) suy năm điểm Q, I , O, J , E thuộc đường tròn III Bài tập tự luyện Bài 1: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) vẽ hai tiếp tuyến AD, AE ( D, E tiếp điểm) Vẽ cát tuyến ABC đường tròn ( O ) cho B nằm A C Tia AC nằm hai tia AD, AO Từ O kẻ OI ⊥ AC I Chứng minh điểm A, D, E , I , O nằm đường tròn Lời giải Ta có OI ⊥ BC = I (theo giả thiết) D C I B O A E GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = OCA = 90° (tính chất tiếp tuyến) Lại có: ODA  , ODA  , OCA  nhìn cạnh OA góc 90° Suy góc OIA Vậy điểm A, D, E , I , O nằm đường tròn Bài 2: Cho đường tròn ( O; R ) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( O ) ( B , C hai tiếp điểm) Một đường B A thẳng d thay đổi qua A ln cắt đường trịn hai điểm D E ( D thuộc cung nhỏ BC cung BD lớn cung CD ) Gọi I trung điểm DE Chứng minh năm điểm A , B , C , O , I thuộc đường tròn O D I d E C Lời giải minh năm điểm A , B , C , O , I thuộc đường tròn ABO= 90° Ta có: AB tiếp tuyến B đường trịn (O) nên:  Suy ra: điểm B thuộc đường tròn đường kính OA ACO= 90° nên điểm C thuộc đường trịn đường kính OA Tương tự, ta có:  Vi I trung điểm dây cung DE nên OI ⊥ DE (đường kính qua trung điểm dây = 90° ⇒ điểm I thuộc đường tròn đường kính OA khơng qua tâm ⇒ OIA Vậy điểm A , B , C , O , I thuộc đường trịn đường kính OA (đpcm) Bài 3: Lấy điểm M nằm đường tròn ( O; R ) cho OM = 3R Từ M kẻ hai tia tiếp P O M A GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 tuyến MP , MQ ( P; Q tiếp điểm ) cát tuyến MAB ( A nằm M B ) Gọi I trung điểm AB Tính bán kính đường trịn qua điểm M , P , I , O , Q Lời giải = 90° Vì I trung điểm AB nên ta suy OI ⊥ AB I ⇒ OIM = OQM = 90° ( MQ , MP tiếp tuyến ( O; R ) ) Ta lại có: OPM Suy P , I , Q thuộc đường trịn đường kính OM , có tâm trung điểm OM Do điểm điểm M , P , I , O , Q thuộc đường trịn đường kính OM , có bán kính 3R Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Gọi M ; N điểm đối xứng H qua AB AC Gọi giao điểm MN với AB AC F E Chứng minh điểm A ; E ; C ; H ; N thuộc đường tròn Lời giải A M B N F E H C ANC=  AHC= 90° ∆ANC = ∆AHC (c.c.c) nên  Suy N ; H thuộc đường tròn đường kính AC (1) AMN =  ANM Ta có AM = AN (cùng AH ) nên ∆AMN cân A   AME = AHE ∆AEM (c.c.c) ⇒  Mà ∆AEH = ANE =  AHE ⇒ H N hai đỉnh liên tiếp nhìn AE hai góc Suy  ⇒ A ; N ; H ; E thuộc đường trịn ( ) 10 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ⇒ ∆AHE ∽ ∆ACB( g g ) ⇒ Zalo: 0382254027 AH AE (hai cạnh tương ứng) = AC AB ⇒ AC ⋅ AE = AB ⋅ AH = R ⋅ AH (do AB = R) R Mặt khác, ta có H trung điểm OB (giả thiết) nên = HO = OB ⇒ AH =AO + OH = R+ R=R 2 Vậy AC AE =2 R ⋅ R =3R (đpcm) Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Thái Nguyên, năm học 2021 - 2022 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ) D điểm nằm cung nhỏ BC ( D ≠ B, DB < DC ) Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng AD cho AE > ED( E ≠ D) Đường trờn đường kinh ED cắt đường tròn (O) điểm F ( F ≠ D, F ≠ B, F ≠ C ) Đường thẳng DO AF cắt đường tròn đường kính ED điểm M , N ( M ≠ D, N ≠ F ) Kẻ đường kính DK đường trịn (O) Chứng minh: A E N B F K O M C I D a) Bốn điểm A, E , M , K thuộc đường tròn; b) Chứng minh: ∆NAD = ∆MAD Lời giải a) Ta có = 90° DME (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính DE ) = ⇒ EM ⊥ DK ⇒ EMK 90° = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) ) ⇒ EAK  =° 90 DAK  + EMK = 90° + 90°= 180° ⇒ tứ giác AEMK nội tiếp đường trịn (tứ Xét tứ giác AEMK có EAK giác có tổng hai góc dối 180° ) 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy bốn điểm A, E , M , K thuộc đường trịn = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính ED ) ⇒ EF ⊥ FD (1) b) Ta có EFD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) ) ⇒ KF ⊥ FD Tương tự DFK ( 2) Từ (1) ( ) suy E , F , K thẳng hàng  ) hay  = NDE  (2 góc nội tiếp chắn NE Xét đường trịn đường kính ED , ta có NFE  ( 3)  AFK = NDE  ( 4) Lại có  AFK =  ADK (góc nội tiếp chắn  AK ) hay  AFK = EDM  = EDM  (cùng  Từ ( 3) ( ) suy NDE AFK ) Xét ∆EDN ∆EDM có = EMD = 90° END ED : cạnh chung  = EDM  (chứng minh trên) NDE ⇒ ∆EDN = ∆EDM (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ ND = MD(2 cạnh tương ứng) Xét ∆NAD ∆MAD có ND = MD AD : cạnh chung  (chứng minh trên)  = MDA NDA ⇒ ∆NDA = ∆MDA (cạnh - góc - cạnh) Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Tây Ninh, năm học 2021 - 2022 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC CD Gọi E 18 A B E M K F GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 giao điểm BN với AM F giao điểm BN với DM ; DM cắt AN K Chứng minh điểm A nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK Lời giải Xét ∆ABM ∆DCM ta có: = C = 90° B BM = MC (giả thiết) DC = AB (giả thiết) ⇒ ∆ABM = ∆DCM (hai cạnh góc vng) =  (hai góc tương ứng nhau) ⇒ BAM MDC  = MDC  Hay MAB = 90° − NAD  − MAB  Ta có: MAN  = 90° − NAD  − MDC ⇒ MAN (1)  (góc ∆DNF )   − FDN = FNC Lại có: DFN Xét ∆AND ∆BNC ta có: = C = 90° D AD = BC ( gt ) DN = NC ( gt ) ⇒ ∆ADN = ∆BCN (hai cạnh góc vng) =  ⇒ BNC AND (hai góc tương ứng) = AND Hay FNC  (hai góc phụ nhau) AND= 90° − DAN Mà  = 90° − DAN  − FDN  ⇒ DFN (2)  = DFN  Từ (1) (2) suy MAN  + KFN = 180° Mặt khác: DFN 19 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  + KFE = ⇒ KAE 180° ⇒ AEFK tứ giác nội tiếp (dhnb) ⇒ A điểm nằm đường tròn ngoại tiểp ∆EFK (đpcm) Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Quảng Ngãi, năm học 2021 - 2022 Cho đường tròn (O, R) điểm S nằm bên ngồi đường trịn, SO = d Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( A, B tiếp điểm) a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn A C D O H M b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) D (khác C ) Hai đường thẳng AD SO cắt M Chứng minh SM = MD MA B d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi Lời giải a) Chứng minh điểm S , O, A, B thuộc đường tròn  + SBO = 90° + 90°= 180° Tứ giác SAOB có: SAO Suy tứ giác SAOB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối 180° ) Suy điểm S , A, O, B thuộc đường tròn b) Trong trường hợp d = R , tính độ dài đoạn thẳng AB theo R Gọi H giao điểm AB SO Có SA, SB hai tiếp tuyến cắt nên SA = SB ⇒ S thuộc trung trực AB OA = OB = R nên O thuộc trung trực AB 20 S GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ SO trung trực AB ⇒ AB ⊥ SO H trung điểm AB Tam giác SAO vuông A nên SA= SO − OA2= R − R 2= R SA ⋅ AO SO R 3⋅R 2R AH = = = Ta giác SAO vng A có: AH ⊥ SO nên R 2 AH = 2⋅ R= R Vậy AB = c) Gọi C điểm đối xứng B qua O Đường thẳng SC cắt đường tròn (O) D (khác C ) Hai đường thẳng AD SO cắt M Chứng minh SM = MD.MA ASO =  ABO =  ABC (hai góc nội tiếp Tứ giác SAOB nội tiếp (chứng minh trên) nên  chắn cung AO ) ADC =  ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC ) Trong (O) có:  = ADC (hai góc đối đỉnh) Mặt khác SDM   = SDM ASO =  ACD ⇒ MSA Suy   = SMA   SMD Xét ∆SMD ∆AMS có:   = MSA  (cmt )  SDM SM MD ⇒ ∆SMD ∽ ∆AMS ( g ⋅ g ) ⇒ = ⇒ SM = MD.MA AM SM d) Tìm mối liên hệ d R để tứ giác OAMB hình thoi  = SCA  nên đồng dạng Hai tam giác SAD SCA có góc Sˆ chung SAD Suy SA SD = ⇒ SA2 = SC.SD SC SA Ma SA2 = SH SO nên SC.SD= SH SO ⇒ SC SO = SH SD  = SHD  Lại có góc S chung nên tam giác SCO SHD đồng dạng, suy SCO Kết hợp với  = SCO  DAH (cùng 21 chắn cung  BD ), ta có GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  + DHA =  + DHA =  + DHA  =° DAH SCO SHD 90 Suy HD ⊥ AD Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng MHA , ta có MH = MD ⋅ MA , kết hợp với SM = MD.MA ta M trung điểm SH Tứ giác MAOB có hai đường chéo vng góc H HA = HB nên MAOB hình thoi chì HO = HM ⇔ SO = 3OH ⇔ OS OH = 1 OS ⇔ OA = OS ⇔= d R 3 Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Hải Dương, năm học 2021 - 2022 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O; R ) hai đường cao AE A , BF cắt H ( E ∈ BC , F ∈ AC ) F a) Chứng minh bốn điểm A; B; E; F nằm đường tròn b) Chứng minh rằng: OC ⊥ EF O H B C E Lời giải t AEB = 900 ⇒ IA = IE = IB (1) a) Gọi I trung điểm AB, AE ⊥ BC ⇒  = 900 ⇒ IA = IB = IF ( ) Do BF ⊥ AC ⇒ BFA Từ (1) ( ) suy ra: IA = IB = IE = IF , điểm A; B; E ; F nằm đường trịn đường kính AB b) Chứng minh: OC ⊥ EF Kẻ tiếp tuyến Ct đường tròn ( O; R )  = BAC  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây chắn cung BC  ) Ta có BCt  = CEF  (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp ABFE ) Mà BAC  = CEF  , mà hai góc vị trí so le nên Ct / / EF Dó đó: BCt 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Do OC ⊥ Ct suy ra: OC ⊥ EF (đpcm) Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Hà Giang, năm học 2021 - 2022 Cho đường tròn ( O; R ) đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A; B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC ; MD với đường tròn ( C ; D tiếp điểm) Gọi H trung điểm A; B d P A D H B I O a) Chứng minh bốn điểm M ; H ; O; D nằm đường tròn M Q C b) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Đường thẳng qua O , vuông góc với OM cắt tia MC , MD theo thứ tự P; Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé Lời giải  = 900 a) Do MD tiếp tuyến ( O ) ⇒ MD ⊥ OD ⇒ MDO Do H trung điểm AB không qua tâm O  = 900 nên OH ⊥ AB ⇒ MHO  + MHO  = 900 + 900 = 1800 Xét tứ giác MHOD có MDO Suy tứ giác MHOD nội tiếp suy bốn điểm M ; H ; O; D nằm đường tròn b) Do MC , MD tiếp tuyến (O)  ⇒ MI tia phân giác CMD  (*) ⇒ MO tia phân giác CMD 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  ⇒ COI  = DOI    OI tia phân giác COD hay CI = DI  = sđ CI   ; DCI  = sđ DI Mà MCI 2 (1) (2)    Từ 1, ⇒ MCI = DCI ⇒ CI phân giác MCD (**) Từ (*), (**) ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD c) Ta = có S MPQ = MO.PQ MO 2.OP MO.OP = MO CO Mà ∆MCO ∽ ∆MOP( g.g ) ⇒ = ⇒ MO.OP =MP.CO MP OP ⇒ S MPQ = MP.CO = ( MC + CP).CO ≥ MC.CP CO = 2OC = R Dấu “ =” xảy MC = CP ⇔ ∆MOP vuông cân MCOD hình vng cạnh R R ⇔ OM = Vậy diện tích tam giác MPQ bé OM = R Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Long An, năm học 2021 - 2022 ( )  ≠ 900 , Cho tam giác ABC cân A BAC đường cao AD BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a) Chứng minh bốn điểm C , D, H , E thuộc đường tròn b) Chứng minh BC = DE c) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn ( O ) Lời giải a) Chứng minh bốn điểm C , D, H , E thuộc đường trịn Ta có: AD, BE đường cao ∆ABC ( gt ) 24 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 =  = 900  BEC  HEC 900  BE ⊥ AC hay  ⇒ ⇒  = 900  AD ⊥ BC   ADC = 900  HDC  + HDC  = 900 + 900 = 1800 , mà hai góc vị trí đối diện nên Xét tứ giác DCEH ta có: HEC DCEH tứ giác nội tiếp hay điểm C , D, H , E thuộc đường tròn b) Chứng minh BC = DE Ta có: AD đường cao ∆ABC cân A nên AD đường trung tuyến ∆ABC (tính chất tam giác cân) ⇒ D trung điểm BC Xét ∆BEC vng E có đường trung tuyến ED ⇒ ED = BC ⇒ BC = ED (đpcm) c) Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn ( O ) Ta có ∆AHE vng E (giả thiết) ⇒ Tâm đường trịn ngoại tiếp ∆AHE trung điểm cạnh huyền AH ⇒ O trung điểm AH ⇒ OE đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ∆AEH vuông E  = OHE AH ⇒ ∆OEH cân O ⇒ OEH  =EBD  (tính chất tam giác cân) Ta có ∆BDE cân D  DE =BD = BC  ⇒ DEB   ⇒ OE = OH =  + BHD =  = BHD  (hai góc đối đỉnh) 900 mà OHE Ta có ∆BHD vng D ⇒ HBD  + OHE  =900 ⇒ BED  + OHE  =900 ⇒ BED  + OEH  =900 ⇒ BDH  = 900 ⇒ BE ⊥ OE ⇒ OED ⇒ DE tiếp tuyến O E (đpcm) Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Hậu Giang, năm học 2020 - 2021 Cho đường trịn ( O ) có bán kính R = 2a điểm A nằm ngồi đường trịn ( O ) kẻ đến M ( O ) hai tiếp tuyến AM ; AN (với M ; N tiếp điểm) 1) Chứng minh bốn điểm A; M ; N ; O thuộc đường tròn ( C ) Xác định tâm bán kính đường tròn ( C ) O P M' 2) Tính diện tích diện tích tứ giác AMNO 25 E N I A GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 theo a biết OA = 3a 3) Gọi M ′ điểm đối xứng với M qua O P giao điểm đường thẳng AO ( O ) , P  nằm bên đoạn OA Tính sin MPN Lời giải 1) Gọi I trung điểm OA = 90° tiếp tuyến với ( O ) ⇒ ∆AMO vuông M Ta có: OMA Có MI trung tuyến ⇒ MI = IO = IA = 90° ⇒ NA tiếp tuyến ( O ) ⇒ ∆ANO vuông N ONA Có NI trung tuyến nên IO = IA = IN ( ) Từ (1) ( ) suy IO = IA = IM= IN nên điểm A; M ; N ; O thuộc đường trịn ( C ) tâm I bán kính R = OA (đpcm) 2) Gọi E giao điểm MN OA Ta có OM = ON = R AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ OA đường trung trực MN ⇒ OA ⊥ MN trung điểm E MN Tam giác AMO vuông M , theo định lý Pytago ta có: AM =OA2 − OM =( 3a ) − ( 2a ) =5a ⇒ AM = a 2 Tam giác AMO vuông M có ME đường cao nên: ME.OA = OM AM ⇒ ME = ⇒ MN = ME = Tứ = SOMAN giác OM AM 2a.a 2a = = 3a OA 2.2a 4a = 3 OMAN có hai đường chéo OA; MN vng góc 1 4a = OA.MN 3= a 2a 2 Vậy SOMAN = 2a   = MM  ′N (hai góc nội tiếp chắn MN 3) Nối M ′ với N ta có MPN  = sin MM  ′N ⇒ sin MPN =′ 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên tam giác vng N ∆MNM ′ có MNM 26 nên GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH  ′N = ⇒ sin MM MN 4a = = : 4a MM ′ = Vậy sin MPN Zalo: 0382254027 5 Bài 9: Tuyển sinh vào 10 TPHCM, năm học 2020 - 2021 Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA > R Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD; AE đến đường tròn ( O ) ( D; E hai tiếp điểm) Lấy điểm M nằm cung nhỏ DE cho MD > ME Tiếp tuyến đường tròn ( O ) M cắt AD; AE D I A O M F I ; J Đường thẳng DE cắt OJ F E J a) Chứng minh OJ đường trung trực  = OEF  đoạn thẳng ME OMF b) Chứng minh tứ giác ODIM nội tiếp điểm I ; D; O; F ; M nằm đường tròn  sin IOA  = IOA  = MF c) Chứng minh JOM IO Lời giải   = OEF a) Chứng minh OJ đường trung trực đoạn thẳng ME OMF Ta có AE; IJ tiếp tuyến đường tròn ( O ) E; M nên JE = JM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OE OM =( R ) nên OJ đường trung trực đoạn ME Lại có =  = MOF  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); Xét ∆OEF ∆OMF có: OF chung; EOF OM = OE =( R ) =  (hai góc tương ứng) (đpcm) OEF ⇒ ∆OEF = ∆OMF ⇒ OMF b) Chứng minh tứ giác ODIM nội tiếp điểm I ; D; O; F ; M nằm đường 27 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 trịn  =°  =° 90 ⇒ ODI 90 Vì AD tiếp tuyến với ( O ) D nên AD ⊥ OD ⇒ ODA MI  =° 90 tiếp tuyến với ( O ) B nên OM ⊥ MI ⇒ OMI  + OMI = 90° + 90°= 180° nên ODIM tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng Tứ giác ODIM có ODI hai góc đối 180° Vậy tứ giác ODIM tứ giác nội tiếp =  ⇒ MOF  = MOF  ⇒ EOM  = MDF  = EM  (góc tâm số đo cung MOF Theo câu a) EOF bị chắn) =  (chứng minh trên) nên OFMD tứ giác nội tiếp (tứ MDF Xét tứ giác OFMD có ⇒ MOF giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện góc nhau), Do điểm O; F ; M ; D thuộc đường tròn Mà tứ giác ODIM nội tiếp (chứng minh trên) nên điểm I ; D; O; M thuộc đường tròn Vậy điểm I ; D; O; F ; M thuộc đường tròn  = IOA  sin IOA  = MF c) Chứng minh JOM IO OD OM =( R ) , OI chung; IM = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Xét ∆MOI ∆DOI có: = =  (2 góc tương ứng) DIO ⇒ ∆MOI = ∆DOI ( c.c.c ) ⇒ MIO  +MIO  =180° (tính chất tứ giác nội tiếp) Tứ giác OFMI nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ OFM  = DIO  (chứng minh trên) nên OFM  +DIO  =180° Mà MIO  +DIO  =180° ⇒ OFM =  OIA Lại có OIA  + ODA = 180° nên tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối Xét tứ giác OEAD có OEA 180° ) =  (hai góc nội tiếp chắn OD ⇒ OED OAD    (theo câu b) nên OMF    = OEF = OMF = OAD = OAI Mà OED  = OIA  (chứng minh trên); OMF  = OAI  (chứng minh trên) Xét ∆OFM ∆OIA có: OFM ⇒ ∆OFM ∽ ∆OIA (g-g)  = IOA  (hai góc tương ứng) hay JOM  = IOA  ⇒=  sin  JM (1) FOM sin IOA = JOM OJ  = MIO  (góc ngoại 1đỉnh góc Tứ giác OFMI nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ JFM 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 đỉnh đối diện) Xét tam giác ∆JFM ∆JIO có:    (chứng minh trên) ⇒ ∆JFM ∽ ∆JIO (g- g) J chung; JFM = MIO = JIO JM MF =(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) ( ) OJ OI  = MF (đpcm) Từ (1) ( ) suy sin IOA IO ⇒ Bài 10: Tuyển sinh vào 10 Hải Dương, năm học 2020 - 2021 A A' Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ) Gọi D; E; F chân đường cao thuộc cạnh BC ; CA; AB H trực tâm ∆ABC vẽ đường kính AK F a) Chứng minh BHCK hình bình hành b) Trong trường hợp ∆ABC không cân, gọi M trung điểm BC Hãy chứng minh  điểm FC phân giác DFE M ; D; F ; E nằm đường tròn E I O H B C D M K c) Khi BC đường tròn ( O; R ) cố định, điểm A thay đổi đường trịn cho ∆ABC ln nhọn, đặt BC = a Tìm vị trí điểm A để tổng P = DE + EF + DF lớn tìm giá trị lớn theo a R Lời giải ABK = 90° hay AB ⊥ BK a) Ta có  ABK góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ⇒  Mà CF ⊥ AB (giả thiết) ⇒ CF // BK hay CH // BK (1) ACK góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ⇒  ACK= 90° hay AC ⊥ CK Lại có:  Mà BE ⊥ AC (giả thiết) ⇒ BE // CK hay BH // CK ( ) Từ (1) ( ) suy tứ giác BHCK hình bình hành 29 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  + BHD = 90° + 90°= 180° , mà hai góc vị trí đối diện nên b) Xét tứ giác BFHD ta có: BFD BFHD =  (hai góc nội tiếp chắn HD  ( 3) HBD tứ giác nội tiếp ⇒ HFD AEH +  AFH= 90° + 90°= 180° mà hai góc vị trí đối diện nên AEHF Xét tứ giác AEHF có  =  (hai góc nội tiếp chắn HE  ( 4) HAE tứ giác nội tiếp ⇒ HFE AEB=  ADB= 90° ⇒ AEDB tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Xét tứ giác AEDB ta có:  =  ( 5) ⇒ DBE DAE     = EFH = HFD = HBD Từ ( 3) ; ( ) ; ( ) ⇒ EAD  = CFD  ⇒ FC phân giác DFE  (đpcm) Hay EFC Xét ∆EBC vng E có đường trung tuyến EM ⇒ EM = BM = BC  =MEB  +  = EBM  ⇒ EMC EBM =  EBM (góc ngồi tam giác) ⇒ ∆EBM cân M ⇒ MEB  (chứng minh trên)  2=  2=  EBM EFD HFD HBD Lại có = ( )    ⇒ EFDM tứ giác nội tiếp ⇒ điểm M ; D; F ; E nằm = EFD = EBM ⇒ EMC đường tròn c) Gọi giao điểm EF OA I  = BCK  (hai góc nội tiếp chắn cung BK ) Ta có: FAI = BFC = 90° (giả thiết) tứ giác BFEC tứ giác nội tiếp (tứ Xét tứ giác BFEC có BEC giác có đỉnh kề nhìn cạnh góc nhau)  AFI =  ACB (góc ngồi góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp) + +  ⇒ FAI AFI = BCK ACB = ACK = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ OA ⊥ EF Chứng minh tương tự ⇒ OB ⊥ FD ; ⇒ OC ⊥ ED Ta có: SOEAF = OA.EF (tứ giác có hai đường chéo vng góc) 1 1 SOFBD = OB.FD ; SODCE = OC.DE ⇒ SOEAF + SOFBD + SODCE = OA.EF + OB.FD + OC.DE 2 2 2S 1 ⇒ S ABC= R.EF + R.FD + R.DE ⇒ EF + FD + DE =ABC 2 R Kéo dài OM cắt ( O ) A′ ⇒ A′M ⊥ BC (do OM ⊥ BC ) Khi ⇒ S = ABC 1 AD.BC ≤ A′M BC 2 Áp dụng định lý Pytago tam giác vng OMC ta có: 30 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a2 a2 a a2 ⇒ A′M = A′O + OM =+ R R2 − ⇒ S ABC ≤  R + R − 4   a2  a R+ R −     ⇒ EF +FD + DE ≤ R Dấu “=” xảy ⇔ A ≡ A′ điểm A điểm cung lớn BC OM = OC − CM = R −     Vậy P = DE + EF + DF đạt giá trị lớn điểm A điểm cung lớn BC 31