Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích, Bài 1: Hai tiếp tuyến B C đường tròn ( O ) cắt A a) Chứng minh AO ⊥ BC b) Vẽ đường kính CD ( O ) Chứng minh BD AO song song D B O A C Lời giải = OC ⇒ O nằm đường trung trực BC a) Vì B C thuộc (O) nên OB + Vì AB AC hai tiếp tuyến B C (O) nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy A thuộc đường trung trực BC Suy đường thẳng AO đường trung trực BC ⇒ AO ⊥ BC = OC = OD (Vì B C , D thuộc (O) nên OB = DC O trung điểm CD b) Ta có OB + Xét ∆BDC có OB = DC Mà BO đường trung tuyến ứng với cạnh DC = Suy ∆BDC vuông D ⇒ DBC 900 ⇒ DB ⊥ BC Mà AO ⊥ BC ⇒ BD //AO Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R D điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( M tiếp điểm) Tia Mx nằm MA MO cắt đường tròn ( O; R ) hai điểm C D ( C nằm M ) Gọi I trung điểm dây CD , kẻ AH vuông góc với MO H a) Tính OH OM theo R K A D I C M H O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Chứng minh: Bốn điểm M , A, I , O thuộc đường tròn c) Gọi K giao điểm OI với HA Chứng minh KC tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Lời giải a) Xét ( O; R ) có MA tiếp tuyến A (gt) = 900 ⇒ MA ⊥ OA, OA = R ⇒ OAM Xét ∆MOA vuông A (do AM ⊥ OA ) có AH ⊥ OM (gt) ⇒ OH OM = OA2 = R2 b) Xét ( O; R ) có I trung điểm dây CD (gt) =  = OAM  = 900 900 ⇒ OIM ⇒ OI ⊥ CD (t/c) ⇒ OIM ⇒ A, I thuộc đường trịn đường kính OM Hay bốn điểm M , A, I , O thuộc đường trịn ( đpcm) c) Ta có ∆OHK ∽ ∆OIM ( g.g ) ⇒ OH OI OH OM = ⇒ OI OK = OK OM Mà OH OM = R (cmt ) ⇒ OI OK == R OC OI OC ⇒ = ⇒ ∆OCK ᔕ ∆OIC (c.g c) OC OK  =OIC  =900 ⇒ OCK ⇒ OC ⊥ CK mà C ∈ ( O; R ) (gt) ⇒ KC tiếp tuyến đường tròn ( O; R ) Bài 3: Cho nửa đường trịn tâm (O) , đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax , By với nửa đường tròn phía AB Từ M nửa đường tròn ( M khác A, B ) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh ∆COD tam giác vuông x C y M D A O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH b) Chứng minh MC.MD = OM = BA = R Tính AC c) Cho biết OC BD theo R Zalo: 0382254027 Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng + Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  (tính + Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  hai góc kề bù nên OC OD vng góc với + Mà  AOM DOM b) Chứng minh MC.MD = OM + Vì OC OD vng góc với nên ∆COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM ⊥ CD + Xét ∆COD vuông O , OM ⊥ CD M ta có: MC.MD = OM (hệ thức cạnh đường cao tam giác vng) = BA = R Tính AC BD theo R c) Cho biết OC +Vì CA hai tiếp tuyến A (O) nên OA ⊥ AC A Suy ra, ∆COA vuông A , theo Pytago ta có: (2 R) AC + OA2 = OC ⇔ AC + R = ⇔ AC = 3R + Mà CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 3R Suy CA.MD = OM ⇔ 3.MD = R ⇔ MD = 3R + Mà DB = DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên BD = MD = Bài 4: Cho đường trịn ( O ) có dây AB Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A ( O ) điểm C A O I B C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn ( O ) b) Cho bán kính ( O ) 15cm dây AB = 24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC Lời giải a) Xét ∆ABO có OA = OB = R ( gt ) ⇒ ∆ABO cân O  (t/c) ⇒ BOC =  Mà OC ⊥ AB (gt) ⇒ OC tia phân giác BOA AOC Xét ∆ACO ∆BCO có OA = OB = R ( gt ) = BOC AOC (cmt ) OC cạnh chung =  OBC ⇒ ∆AOC = ∆BOC (c − g − c) ⇒ OAC = 900 Mà AC tiếp tuyến A (gt) ⇒ AO ⊥ AC ⇒ OAC = ⇒ OBC 900 ⇒ OB ⊥ BC Mà B ∈ ( O; R ) (gt) Vậy BC tiếp tuyến ( O; R ) (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) b) Ta có OC ⊥ AB (gt) mà OC đường kính; AB dây cung IB (định lí quan hệ vng góc đường kính dây ) Gọi OC cắt AB I ⇒ IA = hay IA = IB = AB 24 = = 12 cm 2 Xét ∆AIO vuông I ⇒ IO + AI = AO (đl Py-ta-go) ⇒ OI = 152 − 122 = 81 ⇒ IO = cm Xét ∆ACO vuông A (cmt) Mà AI ⊥ OC ( OC ⊥ AB ) ⇒ AO = OI OC (hệ thức lượng) ⇒ 152 = 9.OC ⇒ OC = 25 cm Bài 5: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = R Kẻ hai tiếp tuyến Ax By ( Ax , By nằm phía nửa đường tròn) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn ( C khác A B ) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax , By theo thứ tự C D x C y M D A = 90° a) Chứng minh COD O B b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường tròn Chỉ bán kính đường trịn = AC + BD c) Chứng minh CD d) Chứng minh tích AC.BD không đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song � ( N′ h) Gọi BN ′ tia phân giác ABD thuộc OD ) Chứng minh: 1 + = BO BD BN ′ Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  (tính chất +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM hai tiếp tuyến cắt nhau)  hai góc kề bù nên OC OD vng góc với + Mà  AOM DOM b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường trịn Chỉ bán kính đường trịn + Ta có ∆BOD vng B ( DB tiếp tuyến B (O) nên OB ⊥ BD ) ⇒ B , D , O nằm đường trịn đường kính OD + Ta có ∆MOD vng M ( DM tiếp tuyến M (O) nên OM ⊥ MD ) ⇒ M , D , O nằm đường tròn đường kính OD Vậy điểm B , D , M , O nằm đường trịn đường kính OD = AC + BD c) Chứng minh CD GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CD + Ta có M ∈ CD ⇒ CM + MD = +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên DB = DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) CD ⇒ CA + BD = d) Chứng minh AC.BD không đổi M thay đổi (O) + Vì OC OD vng góc với nên ∆COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM ⊥ CD + Xét ∆COD vuông O , OM ⊥ CD M ta có: MC.= MD OM = R (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) Mặt khác, MC = MD AC = BD R mà R không đổi Suy AC.BD không đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD x C y I M D A O B + Ta có tứ giác ABDC hình thang ( AC / / BD vng góc với AB ) + Gọi I trung điểm CD + Mà O trung điểm AB Suy IO đường trung bình hình thang ABDC ⇒ IO / / AC Mà AC ⊥ AB Suy IO ⊥ AB mà O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD nên IO tiếp tuyến trịn tâm I đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 x C y I K M N A D N' B O + Xét ∆ACN có AC song song với BD , theo Ta-lét ta có: AC CN = BD NB CM CN ⇒ MN AC song song với = MD NB 1 + = ABD ( N ′ thuộc OD ) Chứng minh: h) Gọi BN ′ tia phân giác  BO BD BN ′ + Gọi K giao điểm BN ′ OI ⇒ OK = OB = R ⇒ BK = R BO OK KN′ OK (Hệ Talet) + Ta có: mà OK / / BD ⇒ = = BD BD N′B BD BN′ N′K BO KN′ ⇒ ⇒ = = BD BO BD N′B BN′ N′B KN′ N′B KB 2R 1 ⇒ + = = + = = ⇒ + = BD BO BO BO BO R BD BO N′B = AC CM = ; BD DM nên Mà Bài 6: Cho nửa đường trịn (O; R) có đường kính AB Dựng dây AC = R tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Tia phân giác góc BAC cắt OC M , cắt tia Bx P cắt nửa đường tròn tâm O Q a) Chứng minh: BP = PA.PQ b) Chứng minh: bốn điểm B, P, M , O thuộc đường trịn tìm tâm c) Đường thẳng AC cắt tia Bx K Chứng minh: KP = 2.BP Lời giải K C A M Q P O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Ta có ∆AQB nội tiếp đường trịn đường kính AB ⇒ ∆AQB vuông Q => BQ ⊥ AP Xét ∆ABP vuông đường cao BQ ⇒ BP = PA.PQ = AO = R ⇒ ∆ACO cân A mà AM phân giác ⇒ AM đường cao b) AC BPO= 90° (Bx tiếp tuyến) OMQ= 90° mà  ⇒ ⇒ M , B thuộc đường tròn tâm trung điểm OP c) Ta có ∆AOC ⇒ A= 60° Xét ∆AKB vuông: cos A = AB AB ⇒ AK = = 4R AK cos 60° PK AK R AP đường phân giác ⇒ = = = ⇒ PK = 2.BP BP AB R Bài 7: Cho ∆ABC cân A nội tiếp ( O ) Gọi D A trung điểm AC ; tiếp tuyến ( O ) A E cắt tia BD E Tia CE cắt ( O ) điểm thứ hai F a) Chứng minh đường thẳng BC song song với tiếp tuyến A ( O ) b) Chứng minh tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC OI So sánh  BAC  BGO D O B H I C Lời giải AC ⇒ A thuộc đường trung trực BC a) Vì ∆ABC cân A (gt) ⇒ AB = = OC =( R) (gt) ⇒ O thuộc đường trung trực BC Vì OB nên AO đường trung trực BC ⇒ AO ⊥ BC (1) mà AE tiếp tuyến ( O ) A ⇒ AO ⊥ AE (2) Từ (1);(2) ⇒ BC //AE F G GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  EAD = DCB ( slt ) b) Vì BC //AE ⇒  Vì ∆AED =∆CBD ( g − c − g ) ⇒ AE =BC mà BC //AE (cmt ) Vậy tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi AO cắt BC H mà AO ⊥ BC (cmt ) ⇒ AH ⊥ BC Vì ∆ABC cân A (gt) mà AH ⊥ BC (cmt ) BAC = 2. BAH (3) BAC ⇒  ⇒ AH phân giác  BGO +  ICG = 900 ABH +  BAH = 900 mà Ta có   ABH = ICG (đồng vị) Lại có tứ giác ABCE hình bình hành (cmt) ⇒ AB //CE ⇒   ⇒ BAH = BGO (4) BAC = 2. BGO Từ (3);(4) ⇒  Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ A, B đến d H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB a) Chứng minh CE = CF b) Chứng minh AE + BF khơng phụ thuộc vào vị trí C nửa đường tròn F C E A H O BAE c) Chứng minh AC phân giác  d) Chứng minh đường trịn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Tìm vị trí điểm C để BF AE đạt giá trị lớn Lời giải  AB  R (t / c) a) Xét  O;  có d tiếp tuyến C (gt) ⇒ d ⊥ OC , OC =   d B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ta có BF //AE //OC (⊥ d ) Xét hình thang BFEA ( AE //BF ) có BF //AE //OC (cmt ) = OB =( R) ⇒ CE = CF (định lí đường trung bình hình thang) Mà AO = OC = R (gt) b) Xét hình thang BFEA (cmt ) có OA CE = CF ( cmt) ⇒ OC đường trung bình hình thang BFEA ⇒ AE + BF = 2.OC= 2.R Vậy AE + BF khơng phụ thuộc vào vị trí M nửa đường tròn  EAC = ACO ( slt ) (1) c) Có AE //OC (cmt ) ⇒   CAO = ACO (2) = OC = R ⇒ ∆ACO cân O ⇒  Mà OA BAE CAO =  CAE ⇒ AC phân giác  Từ (1);(2) ⇒  d) Xét ∆AHC ∆AEC có:  CHA =  CEA = 900 ( gt ) AC cạnh chung  CAH =  CAE (cmt ) EF ⇒ ∆AHC = ∆AEC (ch − gn) ⇒ CH =CE ⇒ CH =CE = ( doCF =CE ) Mà CH ⊥ AB (gt) Vậy AB tiếp tuyến đường tròn tâm C đường kinh EF Hay đường trịn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô –si ta BF + AE ≥ BF AE ⇒ ( BF + AE ) ≥ 4.BF AE ( BF + AE ) ⇒ BF AE ≤ 2.R (cmt ) Chứng minh tương tự AE + BF = 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 1  Mà OC tia phân giác  O= O= AOM ⇒  AOM 2 1  O= O= OD phân giác  MOB ⇒  MOB ( (2) (3) ) MOA +  MOB = 1800 Từ (1), (2), (3) ⇒  ⇒ 900 COD = 900 Hay  O + O = CM = AC b) Vì tiếp tuyến AC , BD CD cắt C D nên ta có:   DM = BD  CM + DM = AC + BD = AC + BD Suy CD = CM + DM   (4) c) Ta có: AC BD = CM MD MD Xét ∆COD vuông O OM ⊥ CD nên CM = OM = R (5)   = R2 Từ (4), (5) ⇒ AC BD Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) nội tiếp (O) có đường kính BC Kẻ dây AD vng góc với BC Gọi E giao điểm BD CA Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC , cắt BC H cắt AB F Chứng minh rằng: a) Tam giác EBF tam giác cân b) Tam giác FHA tam giác cân c) HA tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải E A H B I D F a) Gọi AC ⊥ BC = IA ( định lý) {I } ⇒ ID = Xét ∆ABD có: BI ⊥ AD; ID = IA (gt) ⇒ ∆ABD cân B ⇒ Đường cao BI đồng thời đường phân giác  ABD 29 E C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ B1 =  B2    Mà = B1  B= B3 (cặp góc đối đỉnh) ; B2 EBF nên  B3 =  B4 ⇒ BH tia phân giác  Xét ∆BEF có BH vừa đường cao, vừa đường phân giác ⇒ ∆BEF cân B b) Ta có ∆BEF cân B nên đường cao BH đồng thời đường trung tuyến ⇒ EH = HF Xét ∆AEF vng A có AH đường trung tuyến = HF = HA ⇒ ∆AHF cân H ⇒ EH  FAH = HFA c) Ta có: ∆AHF cân H ⇒  Ta có ∆AOB cân O (OA = OB)   ⇒ OAB = B1 = B4 Lại có  90o ( ∆HFB vng H ) B4 +  HFA = A +   Mà  OAH = OAB = B4 +  HFA = 900 ⇒ HA ⊥ AO Suy HA tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB = R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa x y đường tròn kẻ tiêp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC D I cắt N M CD a) Chứng minh: AC + BD = C COD = 90° b) Chứng minh:  c) Chứng minh AC.BD = N AB A d) Chứng minh OC // MB 30 O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD f) Chứng minh MN vng góc với AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Xét (O) , ta có tiếp tuyến CM cắt tiếp tuyến Ax C nên ta có +) CA = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)(1) AOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OC tia phân giác góc  Xét (O) , ta có tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến By D nên ta có +) DM = DB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) (2) BOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OD tia phân giác góc  Từ (1) (2) suy ra: AC + BD = CM + MD; AC + BD = CD AOM b) Ta có: +) OC tia phân giác góc   AOM AOC =  MOC = =>  (tính chất tia phân giác góc) BOM Ta có: +) OD tia phân giác góc   BOM = BOD  DOM = =>  (tính chất tia phân giác góc) AOM  BOM hai góc kề bù Mà hai góc  ⇒ AOM +  BOM = 180° Ta có:  AOM  BOM  AOM +  BOM    COD = COM + MOD = + = = 90° 2 COD = 90° nên ∆COD vuông O ⇒ OM ⊥ CD c) Theo ta có  Ta có: OM tiếp tuyến (O) ⇒ OM ⊥ CD 31 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét ∆COD vng O có OM ⊥ CD Áp dụng hệ thức lượng cạnh đường cao ta có: OM = CM MD Lại có = OM R= ; CA CM= ; BD DM AB ⇒ AC.BD = R ⇒ AC.BD = COD = 90° ⇒ OC ⊥ OD (3) d) Ta có:  Lại có: BD = DM (cmt) ⇒ D thuộc đường trung trực DB OM = OB = R ⇒ O thuộc đường trung trực BM Do OD thuộc đường trung trực BM ⇒ MB ⊥ OD (4) Từ (3) (4) ⇒ OC // MB (vì vng góc với OD ) e) gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp ∆COD đường kính CD có OI bán kính Ta có Ax, By tiếp tuyến A B ( O ) ⇒ AC ⊥ AB; BD ⊥ AB ⇒ AC // BD Vậy tứ giác ACDB hình thang Lại có: I trung điểm CD ; O trung điểm AB ⇒ OI đường trung bình hình thang ACDB ⇒ OI // AC , mà AC ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB O ⇒ AB tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD f) Theo ta có: AC // BD ⇒ ⇒ CN AC = ; DB DM =, = mà CA CM BN BD CN CM = ⇒ MN // BD BN DM Mà BD ⊥ AB ⇒ MN ⊥ AB CD g) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + DB mà AC + BD = ⇒ Chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi 32 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ nhất, mà CD nhỏ CD khoảng cách Ax Bx Khi AB // CD ⇒ M phải trung điểm cung AB Bài 12: Cho hai đường ( O ) ( O ') tiếp xúc A d tiếp tuyến chung đường tròn, CD tiếp tuyến chung ( O ) ( O ') (D∈ ( O ') , C∈ ( O ) ) cắt d M CAD a) Tính số đo  OMO ' = 900 b)  c) CD tiếp tuyến dường trịn đường kính OO’ Lời giải a) Vì M giao điểm tiếp tuyến A B (O) ⇒ MA = MC ( t/c tiếp cắt nhau) (1) Vì M giao điểm tiếp tuyến A C (O’) ⇒ MA = MD ( t/c tiếp cắt nhau) (2) Từ (1) (2) ⇒ MA = MC = MD = = MC = MD = Xét ∆ACD có MA CD   (vì điểm D, M, C thẳng hàng) CD    (cmt) 33 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ⇒ ∆ACD vuông A Hay  CAD = 900 DMA = 180 (kề bù) (3) CMA +  b) Ta có:  1  Mà OC tia phân giác  M = M = AOM ⇒  AOM 2 1  DMA ⇒  DMA OD phân giác  M = M = OMO ' =  Từ (3), (4) & (5)  M + M ( ) (4) (5) 1 MOA +  MOB = 180 o ⇒ M2 + M = 2 ⇒ OMO ' = 90 o 90 o hay  M2 + M3 = c) Gọi I tâm đường trịn đường kính OO ' ⇒ IO = IO’ =    OO'   OO'  (cmt) Xét ∆OMO ' vng M có: IO = IO’ =    ⇒ IM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO '   ⇒ IM = OO ' ⇒ M ∈  I ; OO '   (a)  Xét tứ giác CDO’O có OC / / O’D (⊥ CD) ⇒ tứ giác CDO’O hình thang vng OO' Mà: CD MC = MD = IO = IO' =    ⇒ IM đường trung bình hình thang vng CDO’O   ⇒ MI / / OC mà OC ⊥ CD ⇒  IM ⊥ CD M (b) Từ (a) (b) ⇒ CD tiếp tuyến đường tròn dường kính OO’ Bài 13: 34 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho ( O ) , từ điểm A ( O ) , kẻ tiếp tuyến d với ( O ) Trên đường thẳng d lấy A P điểm M ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm MB ( B tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA , gọi H giao điểm AC BD , I giao điểm OM AB D K N O I M H C a) Chứng minh A, M , B, O thuộc đường tròn B b) Chứng minh điểm O, K , A, M , B nằm đường tròn = OI OM R= , OI IM IA2 c) Chứng minh d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh O, H , M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Lời giải a) Học sinh tự làm 90o OKM = b) Vì K trung điểm NP nên OK ⊥ NP (quan hệ đường kính dây cung) ⇒  o  OAM 90 = , OBM 90o Theo tính chất tiếp tuyến ta= có o ⇒ K , A, B nhìn OM góc 90 nên đường kính OM Vậy nên O, K , A, M , B nằm đường tròn = OB = R c) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA ⇒ OM trung trực AB ⇒ OM ⊥ AB I OAM = 90o nên ∆OAM vng A có AI đường cao Theo tính chất tiếp tuyến ta có  Áp dụng hệ thức cạnh đường cao ⇒ OI OM = OA2 hay OI OM = R OI IM = IA2 35 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 d) Ta có OB ⊥ MB (tính chất tiếp tuyến); AC ⊥ MB (gt) ⇒ OB ∥ AC hay OB ∥ AH OA ⊥ MA (tính chất tiếp tuyến); BD ⊥ MA (gt) ⇒ OA∥ BD hay OA∥ BH ⇒ Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA= OB= R ⇒ OAHB hình thoi e) Theo OAHB hình thoi ⇒ OH ⊥ AB ; theo OM ⊥ AB ⇒ O, H , M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB ) f) Theo OAHB hình thoi ⇒ AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng cách R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa ( A) bán kính AH = R Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn ( A; AH ) Vẽ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D, E hai tiếp điểm khác H ) BC ba điểm a) Chứng minh BD + CE = A, D, E thẳng hàng b) Chứng minh BD.CE = DE E A N D B H M C c) Đường tròn tâm M đường kính CH cắt đường trịn ( A; AH ) N ( N khác H ) Chứng minh CN song song với AM Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, có = BD BH = , CE CH CE BH = CH AH = b) BD= DE c) ∆HNC nội tiếp đường trịn đường trịn đường kính CH nên vng N ⇒ HN ⊥ NC Ta có AM đường trung trực HN nên AM ⊥ HN Suy AM //CN (vì vng góc với HN ) Bài 15: 36 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho ( O;15 ) , dây BC = 24 cm Các tiếp tuyến m đường tròn B C cắt A Kẻ OH vng góc với BC H a) Tính OH ; b) Chứng minh ba điểm O, H , A thẳng hàng ; c) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC ; d) Gọi M giao điểm AB CO , gọi N giao điểm AC BO Tứ giác BCNM hình ? Chứng minh ? b 12 h a 15 o 12 c n Lời giải a) Ta có BH = HB = 12 cm, OH = cm  , mà OA phân b) Tam giác OBC cân O có OH ⊥ BC suy OH phân giác BOC  nên O, H , A thẳng hàng giác BOC c) Tam giác OBA vuông B có BH đường cao nên 1 = + → AB = 20cm 2 BH OB AB  nên BCNM  = NCB d) Tam giác MAN có O trực tâm nên AO ⊥ MN suy MN //BC MBC hình thang cân Bài 16: Cho tam giác ABC có AB = cm; AC = cm; BC = cm; AH vng góc với BC ( H ∈ BC ) Đường tròn ( O ) qua A tiếp xúc với BC B Đường tròn ( I ) qua A tiếp xúc với BC C i  a) Tính BAC b) Tính AH c) Chứng minh rằng: ( O ) ( I ) tiếp xúc với A 37 a o b // h // m c GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: Tam giác IMO vuông OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Lời giải a) Ta có AB + AC = 32 + 42 = 25 = BC ⇒ BC = AB + AC Theo định lý đảo Py-ta-go ⇒ Tam giác ABC vuông A Vậy BÂC= 900 b)Trong tam giác vng ABC tacó: AH BC = AB AC ⇔ AH.5 = 3.4 ⇒ AH = 3.4 = 2.4cm c) Ta có HÂC = CÂI (1) ÔB = HÂB (2) BÂH + HÂC = BÂC=900 (3) OI , ( O ) ( I ) tiếp xúc với A Lại có A, O, I thẳng hàng OA + AI = d) Chứng minh MI đường phân giác ∠ AMC MO đường phân giác ∠ AMB Mà ∠AMB + ∠AMC = 180 (hai góc kề bù ) ⇒ ∠OMI = 90 Vậy tam giác OMI vuông M Ta có MA = MB = MC = BC nên M tâm đường trịn đường kính BC Chứng minh được: ∠MAC = ∠MCA ; ∠IAC = ∠ICA Mà ∠MCA + ∠ACI = 90 (tiếp tuyến vng góc bán kính) ⇒ ∠MAC + ∠CAI = ∠MAI = 90 ⇒ MA ⊥ IA Vậy OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB M cắt AC N Gọi H giao điểm BN CM 1) Chứng minh AH ⊥ BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn ( O ) A = M N = K _ _H B 38 E O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 3) Chứng minh MN OE = 2.ME.MO  4) Giả sử AH = BC Tính tan BAC Lời giải 1) Ta có ΔBMC ΔBNC nội tiếp đường trịn ( O ) đường kính BC = BNC = 90° Do đó: BN ⊥ AC , CM ⊥ AB , Suy BMC Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt H Do H trực tâm tam giác Vậy AH ⊥ BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn ( O ) OB = OM (bk đường tròn ( O ) ) ⇒ ΔBOM cân O  = OBM  (1) Do đó: OMB ΔAMH vng M , E trung điểm AH nên AE = HE = AH Vậy ΔAME cân E  = MAE  (2) Do đó: AME  +  + MAH  mà MBO  + MAH = Từ (1) (2) suy ra: OMB AME = MBO 90° (vì AH ⊥ BC ) + = 90° Vậy ME tiếp tuyến đường tròn ( O ) nên OMB AME =° 90 Do EMO 3) Ta có OM = ON ME = EN nên OE đường trung trực MN Do OE ⊥ MN K MK = MN ΔEMO vuông M , MK ⊥ OE nên ME = MO MK = OE MN OE Suy ra: MN OE = 2.ME.MO  = NAH  (cùng phụ góc ACB ) 4) Ta có ΔBNC ΔANH vng N có BC = AH NBC ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ BN = AN  = ΔANB vuông N ⇒ tan NAB BN  = = Do tan BAC AN Bài 18: 39 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn tâm ( O; R ) đường kính AB điểm M đường trịn cho = 60° Kẻ dây MN vng góc với AB MAN H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn ( B; BM ) M A Chứng minh MN = AH BH Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn ( O ) E , tia MB 60° B H O N F E cắt ( B ) F Chứng minh ba điểm N , E , F thẳng hàng Lời giải Ta có ∆AMB nội tiếp đường trịn ( O ) có AB đường kính nên ∆AMB vng M Điểm M ∈ ( B; BM ) , AM ⊥ MB nên AM tiếp tuyến đường tròn ( B; BM ) Chứng minh tương tự ta AN tiếp tuyến đường tròn ( B; BM ) Ta có: AB ⊥ MN H ⇒ MN = NH = MN (1) (tính chất đường kính dây cung) ∆AMB vng B , MH ⊥ AB nên MH = AH BH (hệ thức lượng tam giác vuông)  MN  AH HB (đpcm) hay   = AH BH ⇒ MN =   3) Từ (1) suy AB là đường trung trực MN nên BM = BN = NMB = 60° (cùng phụ với góc MBA ), suy tam giác BMN MAB = OA = R MAO = 600 nên tam giác Tam giác OAM có OM MH ⊥ AO nên HA = HO = OA OB = 2 Tam giác MBN có BH đường trung tuyến (vì HM = HN ) OH = tâm tam giác OB nên O trọng 4) ∆MNE nội tiếp đường tròn ( O ) đường kính AB nên vmg N ⇒ MN ⊥ EN 40 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ∆MNF nội tiếp đường tròn ( B ) đường kính MF nên vmg N ⇒ MN ⊥ FN Do ba điểm N , E , F thẳng hàng Bài 19: Cho tam giác ABC vuông C , đường cao CH , O trung điểm AB Đường thẳng vng góc với CO C cắt AB D cắt tiếp tuyến Ax, By đường tròn ( O; OC ) E , F a) Chứng minh CH + AH = AH CO b) Chứng minh EF tiếp tuyến ( O; OC ) F C E D A từ suy AE + BF = EF c) Khi = AC = AB R , tính diện tích tam giác BDF theo R Lời giải a) Trong tam giác vuông ACH : AC = AH + HC Trong tam gi ác vuông ACB : AC = AH AB mà AB = 2.CO (t/c trung tuyến tam giác vuông) 2 AH CO ⇒ CH + AH = b) Ta có DE tiếp tuyến nên FE = EA EC = ; FB FC ; EA + FB = c) sin B1 =  = 600  = 300 B B ⇒ ⇒ ⇒ tam giác BCF Giải tam giác vuông ABC , BDF ⇒ BC = BF = R , BD = 3R ⇒ SBDE = R (đvdt) 41 H O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 20: Cho ( O ) , đường kính AB = R hai tia tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm C tuỳ ý cung AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By D E a) Chứng minh: DE = AD + BF b) Chứng minh: OD đường trung trực đoạn thẳng AC OD //BC c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng DE , vẽ đường trịn tâm I bán kính ID Chứng minh rằng: Đường tròn ( I ; ID ) tiếp xúc với đường thẳng AB d) Gọi K giao điểm AE BD Chứng minh rằng: CK vng góc với AB H K trung điểm đoạn CH Lời giải DE a) Ta có = EB EC = ; DA DC mà DE + EC = Suy DE = AD + BF b) Ta có = OA OC = ; DA DC Suy OD đường trung trực đoạn thẳng AC ⇒ OD ⊥ AC Mà ∆ACB vng C ⇒ AC ⊥ CB Do OD //BC c) Ta cứng minh đươc IO đường trung bình hình thang vng ABED Suy IO//EB //AD mà AD ⊥ AB (gt) ⇒ IO ⊥ AB Ta lại có IO = (1) AD + BE DE IO = bk ( I ) ⇒ O ∈ ( I ) ⇒= 2 Từ (1), (2) ⇒ AB tiếp tuyến ( I ) O d) Ta có AD//BE ⇒ AD DK = mà = EB EC = ; DA DC BE KB 42 (2) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Suy Zalo: 0382254027 DC DK = ⇒ KC //EB mà EB ⊥ AB Do CK ⊥ AB EC KB AD DN =( DC ) Kéo dài BC cắt AD N Ta có = Mặt khác KH KC  BK  = , KH // AD, KC // DN  Suy KH = KC = DA DN  BD  43