Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Chuyên đề: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN A Kiến thức cần nhớ Tiếp tuyến đường tròn a) Định nghĩa: Tiếp tuyến đường trịn đường thẳng có điểm chung với đường trịn b) Tính chất: d tiếp tuyến A  O; R   d  OA, OA  R c) Dấu hiệu nhận biết: Ta có d  OA, OA  R  d tiếp tuyến A  O; R  2) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Xét (O; R ) có AB AC hai tiếp tuyến B C  AO tia phân giác BAC  (tính chất hai tiếp  AB  AC ; OA tia phân giác BOC tuyến cắt nhau) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 B Các dạng tốn Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, chứng minh quan hệ hình học (hai góc nhau, hai đoạn thẳng nhau, song song, ) Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN  R Kẻ tiếp tuyến Nx N Gọi K điểm thuộc Nx , MK cắt nửa đường tròn tâm O I Tính MI MK theo R Lời giải  O; R  có đường kính MN (gt) mà I   O; R  (gt)   900 (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam  MIN Xét giác tam giác vuông)  NI  MK ( I  MK ) Ta có tiếp tuyến Nx N  NK  MN (O  MN , K  Nx) Xét NMK vuông N (do NK  MN ) mà NI  MK (cmt)  MN  MI MK (hệ thức lượng) hay MI MK  R Bài 2: Cho  O; R  bán kính AO  R , dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với  O; R  B , cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo R c) Chứng minh: BA  EC Lời giải GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 a) Xét  O; R  có: BC  OA M (gt)  MB  MC (định lí quan hệ …) mà MO  MA ( gt ) ; BC  AO  M   Tứ giác OCAB hình thoi b) Xét  O; R  có BE tiếp tuyến B (gt)  BE  OB (t / c)   900  OBE Vì BO  BA (do hình thoi OCAB ) mà BO  OA  R ( gt )  BO  BA  OA   600  BOA  BOA   900 (cmt) Xét BOE có OBE   tan 600  BE  tan BOA OB  BE  R tan 600  R c) Ta có BO //CA (do hình thoi OCAB ) mà BE  OA (cmt); CA  BE (t/c) Xét BCE có: CA  BE (cmt ) ; EM  BC ( gt ) ; CA  EM   A  A trực tâm BCE hay BA  EC Bài 3: Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O ) , vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc  AMB  600 Biết chu vi tam giác MAB 18cm , tính độ dài dây AB Lời giải + Vì MA MB hai tiếp tuyến A B (O) nên MA  MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  MAB cân M mà  AMB  600  MAB tam giác đều, MA  MB  AB Mặt khác, chu vi MAB 18cm , nên MA  MB  AB  18  AB  18  AB  6(cm) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 4: Cho đường tròn (O; R ) điểm A ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AC   600 AB Chứng minh BAC OA  R Lời giải  (tính chất + Vì AC AB hai tiếp tuyến C B (O) nên AO phân giác BAC hai tiếp tuyến cắt nhau) + OC  AC C ( AC tiếp tuyến C (O) )   OC mà OA  R  sin OAC  R 1  AOC vuông C  sin OAC OA 2R   300  BAC   600 ( AB phân giác BAC )  OAC + Ngược lại:  (tính chất hai tiếp Vì AC hai tiếp tuyến C B (O) nên AO phân giác BAC   600  OAC   300 tuyến cắt nhau) mà BAC + OC  AC C ( AC tiếp tuyến AC (O) )   OC  AOC vuông C  sin OAC OA R  sin 300   OA  R OA Bài 5: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) a) Chứng minh AO vuông góc với BC ; b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD AO song song c) Tính độ dài cạnh ABC biết OB  2cm , AO  4cm Lời giải a) + Vì B C thuộc (O) nên OB  OC  O nằm đường trung trực BC + Vì AB AC hai tiếp tuyến B C (O) nên AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  A thuộc đường trung trực BC Suy đường thẳng AO đường trung trực BC  AO  BC b) + Ta có OB  OC  OD (Vì B C , D thuộc (O) ) nên OB  DC O trung điểm CD + Xét BDC có OB  DC mà BO đường trung tuyến ứng với cạnh DC   90 Suy BDC vuông D  DBC  DB  BC mà AO  BC , suy BD song song với AO c) Tính độ dài cạnh ABC biết OB  2cm , AO  4cm  (tính + Vì AC AB hai tiếp tuyến C B (O) nên AB  AC phân giác BAC chất hai tiếp tuyến cắt nhau) + OB  AB B ( AB tiếp tuyến B (O) )  AOB vuông B  OB  AB  OA2 (định lý Pytago)  22  AB  42  AB  12  AB   AB  (cm) mà BA  AC (cmt )  AC  (cm)  + Ta có ABO vng B : sin BAO OB   300    BAO OA   60 mà BA  AC (cmt )  BAC  ABC  BC  AB  (cm) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 6: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Trên Ax By   90 theo thứ tự lấy M N cho MON Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: a) AB tiếp tuyến đường tròn  I ; IO  b) MO tia phân giác góc MAN c) MN tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Lời giải a) Tứ giác ABNM có AM //BN (vì vng góc với AB )  Tứ giác ABNM hình thang Hình thang ABNM có: OA  OB; IM  IN nên IO đường trung bình hình thang ABNM Do đó: IO // AM // BN Mặt khác: AM  AB suy IO  AB O Vậy AB tiếp tuyến đường tròn  I ; IO   ( 1) b Ta có: IO // AM   AMO = MOI Lại có: I trung điểm MN MON vuông O (gt) nên MIO cân I  = MOI  (2) Hay OMN  Vây MO tia phân giác AMN AMO = OMN Từ (1) (2) suy ra:  c Kẻ OH  MN  H  MN  (3)  = OHM   90 Xét OAM OHM có: OAM   (chứng minh trên) AMO = OMN MO cạnh chung Suy ra: OAM  OHM (cạnh huyền- góc nhọn) AB Do OH  OA  OH bán kính đường trịn  O;  (4)   AB Từ (3) (4) suy ra: MN tiếp tuyến đường tròn  O;    GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 7: Cho đường trịn  O  đường kính AB , E thuộc đoạn AO ( E khác A, O AE  EO ) Gọi H trung điểm AE , kẻ dây CD vng góc với AE H C I A a) Tính góc ACB ; H E O B O' b) Tứ giác ACED hình gì, chứng minh? c) Gọi I giao điểm DE BC Chứng minh HI tiếp tuyến đường tròn đường kính EB Lời giải D a) Chỉ tam giác ACB nội tiếp (O) nhận AB đường kính nên tam giác ACB vng C  góc ACB = 900 b) Chứng minh tứ giác ACDE hình bình hành Chỉ hình bình hành ACDE hình thoi c) Chứng minh I thuộc đường trịn tâm O ' đường kính EB Chứng minh HI  IO ' I Bài 8: Cho đường trịn  O  đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến  O  ( Ax, By nửa C H mặt phẳng bờ đường thẳng AB ) Trên Ax lấy điểm C , By lấy điểm D cho D   90 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc COD A với đường tròn  O  Lời giải Vẽ OH  CD  H  CD  Ta chứng minh OH  R  OB Tia CO cắt tia đối tia By E O B E GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Ta có: OAC  OBF  g.c.g   OC  OE Tam giác DEC có DO vừa đường cao vừa trung tuyến nên tam giác cân Khi DO đường phân giác OH  DC , OB  DE  OH  OB Ta có OH  CD, OH  OB  R  CD tiếp xúc với O H Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D , đường trịn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung  I   J  A D B E O I H J C Lời giải Để chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn tâm I đường kính BH ta chứng minh DOE  90 ID  DE hay    CEH   90 Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: BDH  tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH DE , ta có OD  OH  OE  OA  ODH cân O ODH = OHD Ta có IDH cân I IDH = IHO   OHD   IHD   IHA   90  IDO   90  ID  DE Ta có: IDH Ta có ID  DE, D   I   DE tiếp xúc với  I  D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp xúc với  J  E Bài 10: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID , IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE A D O E B H F I C Lời giải Gọi O trung điểm AH AH Tam giác ADH vng D có DO trung tuyến nên ta có: DO   OA  OH AH Tam giác AHE vng E có EO trung tuyến nên ta có: EO   OA  OH  OA  OD  OE , O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE ODA   OAD (1) Tam giác OAD cân O )   BDC vuông D có DI trung tuyến  DI  BC  IC  tam giác ICD cân I, IDC   DIC (2)  H giao điểm hai đường cao BD CE  H trực tâm ABC  AH  BC F   ICD   90 (2) Khi OAD   IDC   OAD   ICD   90 Từ (1) , (2) (3) ta có ODA Ta có OD  DI , D   O   ID tiếp xúc với (O) D Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với O E Bài 11: Cho đường tròn  O; R  đường kính AB Một điểm M nằm đường tròn ( M khác A, B ) Gọi N điểm đối xứng điểm A qua điểm M Gọi E giao điểm đường thẳng BM với tiếp tuyến A đường tròn O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 a) Nếu biết góc ABE 60 R  cm Hãy tìm độ dài cảu đoạn thẳng EA EB b) Chứng minh EN  NB c) Chứng minh EN tiếp tuyến đường tròn  B;2R  Lời giải a) Tính độ dài EA, EB Xét EAB vng: + Tính EB =12cm + Tính EA = cm b) Chứng minh EN  NB + Ta có ENB  EAB  EN  NB c) Chứng minh EN tiếp tuyến đường trịn  B; 2R  Ta có + AB  NB + EN  NB + BN bán kính đường tròn  B; 2R  Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB M cắt AC N Gọi H giao điểm BN CM A = M 1) Chứng minh AH  BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn O 3) Chứng minh MN OE  2.ME.MO BAC 4) Giả sử AH  BC Tính tan Lời giải 1) Chứng minh AH  BC ΔBMC ΔBNC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC 10 E N = K _ _H B O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027   BNC   900 Do đó: BN  AC , CM  AB , Suy BMC Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt H Do H trực tâm tam giác Vậy AH  BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) OB = OM (bán kính đường trịn (O))  ΔBOM cân M   OBM  (1) Do đó: OMB ΔAMH vuông M , E trung điểm AH nên AE = HE = AH Vậy ΔAME cân E  (2) Do đó:  AME  MAE   AME   MBO   MAH  Mà MBO   MAH   900 (vì AH  BC ) Từ (1) (2) suy ra: OMB   AME   900 Do EMO   900 Vậy ME tiếp tuyến đường tròn (O) nên OMB 3) Chứng minh MN OE  2.ME.MO OM  ON EM  EN nên OE đường trung trực MN Do OE  MN K MK  MN ΔEMO vuông M , MK  OE nên ME.MO  MK OE = MN OE Suy MN OE  2.ME.MO  4) Giả sử AH  BC Tính tan BAC   NAH  (cùng phụ góc ACB ) ΔBNC ΔANH vng N có BC = AH NBC ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)  BN = AN BN NAB    tan NAB  BN  Do tan BAC  ΔANB vuông N  tan AN AN Bài 13: 11 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường trịn  O; R  điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Gọi E giao điểm BC OA a) Chứng minh: BE vng góc với OA b) Chứng minh: OE.OA  R c) Trên cung nhỏ BC đường tròn  O; R  lấy điểm K ( K khác B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn  O; R  cắt AB, AC theo thứ tự P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC Lời giải Mặt khác: OB  OC  R  OA trung trực BC  OA  BE b) Xét OAB vng B , đường cao BE , ta có: OE.OA  OB  R (theo hệ thức lượng tam giác vng) c) Ta có PB, PK tiếp tuyến kẻ từ P đến  O  nên PB  PK (t/c tiếp tuyến cắt nhau) QK , QC tiếp tuyến kẻ từ Q đến  O  nên QK  QC (t/c tiếp tuyến cắt nhau) Cộng vế ta có: PK  KQ  PB  QC  AP  PK  KQ  AQ  AP  PB  QC  QA  AP  PQ  QA  AB  AC  Chu vi APQ  AB  AC không đổi Dạng 2: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Bài 1: 12 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Cho tam giác ZALO:0382254027 có AB  6cm, AC  8cm, BC  10cm Vẽ đường tròn  B; BA Chứng minh AC tiếp tuyến ABC  B; BA Lời giải Vì   10  AB  AC  BC Xét ABC có AB  AC  62  82  100 BC  102  100  AB2  AC  BC   100  BAC  90 ( định lí pytago đảo.)  AB  AC mà A   B; BA (gt) Vậy AC tiếp tuyến  B; BA (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Bài 2: Cho ABC cân A có hai đường cao AH ; BK cắt I Chứng minh: a) Đường trịn đường kính AI qua K b) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Lời giải 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 AKI  900 a) Ta có BK  AC ( gt ); I  BK   Gọi O trung điểm AI  OK  OA  OI   AI   K   O;    AI (đường trung tuyến tam giác vng) Vậy đường trịn đường kính AI qua K b) Ta có ABC cân A (gt) mà AH đường cao (gt)  AH đường trung tuyến ABC  BH  HC Vì BCK vuông K (do BK  AC ) Mà KH đường trung tuyến CBK (BH  HC )  KH  BC BC (định lí) nên KH  HC  HB  2   HCK  (1) Ta có KH  HC (cmt )  KHC cân H  HKC Ta có OK  OA    AI     (cmt )  OKA cân O  AKO  KAO (2)    HCA   900 (3) (do  AHC  900 ) Mà OAK   CKH   900 mà OKA   OKH   CKH   1800 Từ (1);(2);(3)  OKA   900  OK  OH mà K   O; AI  OKH     (cmt )   HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI Bài 3: Cho ABC vng A có đường cao AH Lấy D đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD cắt AC E Chứng minh HE tiếp tuyến  O  Lời giải Ta có E thuộc (O; DC ) mà đường kính CD 14 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027   900  HF //AE ( AC )  AEDB hình thang  DEC Lấy F trung điểm AE mà H trung điểm BD (đối xứng)  HF đường trung bình hình thang AEDB  HF //AE Mà AB  AE (gt)  HF  AE   HAE  (1) Mà F trung điểm AE  AHE cân H  HEA   CEO  (2) Ta có OE  OC  R  ECO cân O  CEO   HCA   900 (3) (doAHC   900 ) Mà HAE   CEO   900 Từ (1);(2);(3)  HEA   900  HE  EO  HEO Mà E thuộc (O; DC ) Vậy HE tiếp tuyến  O  Bài 4: Cho đường trịn  O  , đường kính AB , điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM , F đối xứng với E qua M a) Chứng minh: FA tiếp tuyến  O  b) Chứng minh: FN tiếp tuyến đường tròn  B; BA Lời giải a) Có đường trịn  O  , đường kính AB (gt) mà M , C   O  (gt)   900 , BCA   900  BMA (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vuông)  BM  AM , AC  CB Mà M  AN , C  BN  BM  AN , AC  BN Vì BM  AC  E  E trực tâm ABN  NE  AB Xét tứ giác AENF có EF  AN  M  EM  MF , MA  MN ( gt ) 15 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 FE  AN ( BM  AN )  AENF hình thoi  FA//NE mà NE  AB (cmt )  FA  AB  FA  OA mà BO  R ( gt )  FA tiếp tuyến  O   (t/c) b) Vì AENF hình thoi ( cmt)  FN  FA, FE tia phân giác NFA Chứng minh FAB  FNB (c  g  c)   BNF  mà BAO   900 (cmt )  BNF   900  NF  BN  AB  NB ; BAF Mà AB  NB (cmt)  FN tiếp tuyến đường trịn  B; BA Bài 5: Cho đường kính AB Vẽ dây AC cho góc   300 Trên tia đối tia BA lấy điểm M BAC cho BM  R Chứng minh: a) MC tiếp tuyến  O  b) MC  3R Lời giải a/ Xét ACO có OA  OC  R ( gt )  ACO cân O   1800  2.CAO   COA   1800  2.300  1200  COA   1800  1200  600 (kề bù với COA )  COB Mà BCO có OB  OC  R ( gt )   600  BCO  tam giác BCO cân O COB  BC  BO  R Do BO  BM  R, B  OM  BO  OM nên CB  MO (1) Mà CB đường trung tuyến COM (2) (do BO  BM  R, B  OM ) Từ (1; 2)  CMO vuông C  CO  CM mà C   O; R  ( gt )  MC tiếp tuyến  O  b) Xét CMO vuông C  CO  CM  MO (đl Py-ta- go)  CM  MO  CO  3R 16 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  R M điểm tuỳ ý đường tròn ( M  A, B ) Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn ( Ax, By nửa đường tròn nằm nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt Ax By C D a) Chứng minh: CD  AC  BD tam giác COD vuông O b) Chứng minh: AC.BD  R c) Cho biết AM  R Tính theo R diện tích BDM c) AD cắt BC N Chứng minh MN //AC Lời giải a) CA  CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) DB  DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)  CD  CM  MD  AC  BD OC tia phân giác góc AOM OD tia phân giác góc BOM   90 Mà góc AOM góc BOM hai góc kề bù nên COD Vậy tam giác COD vuông O b).Tam giác COD vng O có OM  CD  OM  CM MD suy AC.BD  R c)Tam giác BMD nên SBMD 3R = đvdt d) Chứng minh MN song song với AC Ta-let đảo Bài 7: 17 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường trịn  O  , đường kính AB dây cung CD vng góc với AB ( AC  CB ) Hai tia BC DA cắt E Gọi H chân đường vng góc hạ từ E tới đường thẳng AB a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn b) Gọi F giao điểm hai tia EH CA , chứng minh HC  HF c) Chứng minh HC tiếp tuyến đường tròn  O  Lời giải a)   90  ECA   90 ACB nội tiếp đường trịn đường kính AB nên C   90 AB  EH (gt)  EHA  + EHA   90  90  180 Nên ECA Suy tứ giác AHEC nội tiếp đường trịn đường kính AE b) Ta có ACD cân A   ACD =  ADC Ta có EF //CD ( EF  AB , CD  AB )  =   FEA ADC (So le trong)  ADC (so le trong) AFE =   (Hai góc nội tiếp chắn cung AH )  = FEA mà HCA Do  ACH  CHF cân H  HC  HF AFE =  c)  = OCB  (do COB cân O ) Ta có : OBC   (hai góc nội tiếp chắn cung AC )    ADC = OBC ADC = OCB  ACH =  ADC nên  ACH = OCB Mà   +  Suy  ACH +  ACO = OCB ACO = 90 Vậy HC tiếp tuyến đường tròn  O  18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính AH cắt AB AC I K Chứng minh: 1) Tứ giác AIHK hình chữ nhật 2) IK  HB.HC 3) Tứ giác BIKC nội tiếp 3) IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC Lời giải 1) Ta có  AIH ,  AKH góc nội tiếp chắn nửa đường tròn Suy  AIH  90 ,  AKH  90   90 (tam giác ABC vuông A ) IAK Vậy tứ giác AIHK hình chữ nhật 2) Trong tam giác vng ABC A có AH vng góc BC nên AH  HB.HC (hệ thức lượng tam giác vuông) Mà AH  IK (hai đường chéo hình chữ nhật) Vậy IK  HB.HC  ) = sđ   góc có đỉnh bên ngồi đường trịn  O  ) 3) Có C = (sđ  AIH – sđ KH AK ( C 2  AIK = sđ  AK (  AIK góc nội tiếp  O  chắn cung AK ) AIK Suy C =  Vậy tứ giác BIKC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) 4) Tam giác HKC vuông K nên tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm HC  = C  Nên MK  MC  Tam giác MKC cân M  MKC  (cmt) Ta có  AIK = C  (so le AI song song HK)  =  AIK mà  AIK = IKH Suy MKC   = IKH Suy MKC  + MKC  + IKH   90 nên HKM   90 Mặt khác HKM 19 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027  MK  IK Vậy IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC Bài 9: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng  d  không qua tâm O , cắt  O  B C ( B nằm A C ) Các tiếp tuyến với đường tròn  O  B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với AO, DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC a) Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OH OA  OI OD c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn  O  Lời giải a) Sử dụng tổng hai góc đối 180 b) Ta có: OB=OC=R; DC=DB (t/c hai tt cắt ) suy OD đường trung trực BC ODBC Xét OHD OIA có    I  900 AOD chung ; H Xét OHD ~ OIA nên OH.OA=OI.OD c) ODC vng C có CI đường cao OC2 = OI.OD (*) Mà OC=OM=R Từ (*), (b): OM2 = OH.OA  OM OA  OH OM OM OA Xét OHM OMA có :  AOM chung  OH OHM ᔕ OMA (c-g-c)  = OHM   90 OMA 20 OM GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Suy AM vng góc với OM M AM tiếp tuyến đường tròn  O  Bài 10: Cho đường trịn  O, r  đường kính AB dây cung CD vng góc với AB ( AC  CB ) Hai tia BC DA cắt E Gọi H chân đường vng góc hạ từ E tới đường thẳng AB a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn b) Gọi F giao điểm hai tia EH CA , chứng minh HC  HF c) Chứng minh HC  OC Lời giải a) ACB nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB nên vng C   1v nên nội AHE  ACE Suy tứ giác AHEC có  tiếp đường trịn đường kính AE Tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHEC trung điểm AE, bán kính R  AE b) Vì AB  CD nên AC=AD  CAD cân A   ACD   ADC Mà CD / / EF (vì CD  AB, EF  AB ) nên:   (so le trong) ACD  AFE   (so le trong) ADC  AEF AEF   ACH (cùng chắn cung  Lại có:  AH đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHEC)   CHF cân H  HC  HF (đpcm) AFE  ACH Do đó:   c) Trong chứng minh câu b, ta có  ACH  ADC   OCB  (do OB=OC), Lại do: OBC 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027   ADC  (cùng chắn cung  OBC AC )     OCB   ACO   90  HC  CO ACH  OCB ACH  ACO Nên:  Bài 11: Cho tam giác ABC cân A ,các đường cao AD BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a) Chứng minh: DE  BC A O b) Chứng minh DE tiếp tuyến O c) Chứng minh: BD.DC  AD.DH d) Tính độ dài DE biết DH  cm , AH  cm E H B D C Lời giải a) Ta có  BEC vng E (do BE đường cao),có ED trung tuyến (vì AD đường cao  ABC cân A)  DE  BC b)  AHE vuông E nên OA=OH=OE   DEH  DBH (vì  DBE có DB =ED = BC)   AHE  BHD (đối đỉnh)   (vì OE=OH) AHE  OEH   BHD   90 nên DEH   OEH   90 Mà DBH  DE  OE  DE tiếp tuyến  O  c)  BDH đồng dạng với  ADC (g-g)  BD DH  BD.DC  AD.DH  AD DC d) Ta có BD.DC  AD.DH =(AH+HD).DH=(5+4).4=36 Mà DE=DB=DC nên DE= 36  (cm) 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 12: Từ điểm ngồi đường trịn  O  kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn  O  ( B tiếp điểm) Gọi I trung điểm đoạn AB , kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn  O  ( M tiếp B I O A điểm) a) Chứng minh rằng: Tam giác ABM tam giác vuông b) Vẽ đường kính BC đường trịn  O  M C Chứng minh ba điểm A, M , C thẳng hàng c) Biết AB  cm; AC  10 cm Tính độ dài đoạn thẳng AM Lời giải a) Theo giả thiết IM , IB tiếp tuyến đường tròn  O   IM  IB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà IA  IB (gt) suy MI  AB Vậy tam giác ABM vuông M b) Trong tam giác BMC ta có OM  OB  OC ( Bán kính đường trịn  O  )  MO  BC  tam giác BMC vuông M   90  90  180 Ta có  AMB  BMC Vậy  AMC  180 nên ba điểm A, M , C thẳng hàng c) Ta có AB tiếp tuyến đường trịn  O  )  AB  OB (t/c tiếp tuyến) Trong tam giác ABC vng B ta có BM  AC  AB  AM AC ( Hệ thức lượng tam giác vuông)  AM  AB Thay số AM  6, AC 23