Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích, Bài 1: Hai tiếp tuyến B C đường tròn  O  cắt A a) Chứng minh AO  BC b) Vẽ đường kính CD  O  Chứng minh BD AO song song Lời giải a) Vì B C thuộc (O) nên OB  OC  O nằm đường trung trực BC + Vì AB AC hai tiếp tuyến B C (O) nên AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy A thuộc đường trung trực BC Suy đường thẳng AO đường trung trực BC  AO  BC b) Ta có OB  OC  OD (Vì B C , D thuộc (O) nên OB  DC O trung điểm CD + Xét BDC có OB  DC Mà BO đường trung tuyến ứng với cạnh DC   900 Suy BDC vuông D  DBC  DB  BC Mà AO  BC  BD //AO Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R D điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( M tiếp điểm) Tia Mx nằm MA MO cắt đường tròn  O; R  hai điểm C D ( C nằm M ) Gọi I trung điểm dây CD , kẻ AH vng góc với MO H a) Tính OH OM theo R b) Chứng minh: Bốn điểm M , A, I , O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 thuộc đường tròn c) Gọi K giao điểm OI với HA Chứng minh KC tiếp tuyến đường tròn  O; R  Lời giải a) Xét  O; R  có MA tiếp tuyến A (gt)   900  MA  OA, OA  R  OAM Xét MOA vuông A (do AM  OA ) có AH  OM (gt)  OH OM  OA2  R b) Xét  O; R  có I trung điểm dây CD (gt)   900  OIM   OAM   900  OI  CD (t/c)  OIM  A, I thuộc đường trịn đường kính OM Hay bốn điểm M , A, I , O thuộc đường trịn ( đpcm) c) Ta có OHK ∽ OIM ( g.g )  OH OI  OI OK  OH OM  OK OM Mà OH OM  R (cmt )  OI OK  R  OC OI OC  OCK ᔕ OIC (c.g c)   OC OK   OIC   900  OCK  OC  CK mà C   O; R  (gt)  KC tiếp tuyến đường tròn  O; R  Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm (O) , đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax , By với nửa đường trịn phía AB Từ M nửa đường tròn ( M khác A, B ) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh COD tam giác vuông b) Chứng minh MC.MD  OM 2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH c) Cho biết OC  BA  R Tính AC BD theo R Zalo: 0382254027 Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng AOM (tính + Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác  chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  (tính + Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  hai góc kề bù nên OC OD vng góc với AOM DOM + Mà  b) Chứng minh MC.MD  OM + Vì OC OD vng góc với nên COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM  CD + Xét COD vuông O , OM  CD M ta có: MC.MD  OM (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) c) Cho biết OC  BA  R Tính AC BD theo R +Vì CA hai tiếp tuyến A (O) nên OA  AC A Suy ra, COA vuông A , theo Pytago ta có: AC  OA2  OC  AC  R  (2R )2  AC  3R + Mà CA  CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 3R Suy CA.MD  OM  3.MD  R  MD  2 + Mà DB  DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên BD  MD  Bài 4: Cho đường trịn  O  có dây AB Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A  O  điểm C a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn  O  3R GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Cho bán kính  O  15cm dây AB  24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC Lời giải a) Xét ABO có OA  OB  R ( gt )  ABO cân O  (t/c)  BOC   AOC  Mà OC  AB (gt)  OC tia phân giác BOA Xét ACO BCO có OA  OB  R ( gt )  BOC AOC (cmt ) OC cạnh chung   OBC   AOC  BOC (c  g  c )  OAC   900 Mà AC tiếp tuyến A (gt)  AO  AC  OAC   900  OB  BC  OBC Mà B   O; R  (gt) Vậy BC tiếp tuyến  O; R  (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) b) Ta có OC  AB (gt) mà OC đường kính; AB dây cung Gọi OC cắt AB I  IA  IB (định lí quan hệ vng góc đường kính dây ) hay IA  IB  AB 24   12 cm 2 Xét AIO vuông I  IO  AI  AO (đl Py-ta-go)  OI  152  122  81  IO  cm Xét ACO vuông A (cmt) Mà AI  OC ( OC  AB )  AO  OI OC (hệ thức lượng)  152  9.OC  OC  25 cm Bài 5: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB  R Kẻ hai tiếp tuyến Ax By ( Ax , By nằm phía nửa đường trịn) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn ( C khác A B ) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax , By theo thứ tự C D   90 a) Chứng minh COD b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường tròn Chỉ bán kính đường trịn c) Chứng minh CD  AC  BD d) Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song h) Gọi BN  tia phân giác ABD ( N  thuộc OD ) Chứng minh: 1   BO BD BN  Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  (tính chất +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM hai tiếp tuyến cắt nhau)  hai góc kề bù nên OC OD vng góc với + Mà  AOM DOM b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường trịn Chỉ bán kính đường trịn + Ta có BOD vng B ( DB tiếp tuyến B (O) nên OB  BD )  B , D , O nằm đường trịn đường kính OD + Ta có MOD vuông M ( DM tiếp tuyến M (O) nên OM  MD )  M , D , O nằm đường trịn đường kính OD Vậy điểm B , D , M , O nằm đường trịn đường kính OD c) Chứng minh CD  AC  BD GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Ta có M  CD  CM  MD  CD +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên CA  CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên DB  DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  CA  BD  CD d) Chứng minh AC.BD không đổi M thay đổi (O) + Vì OC OD vng góc với nên COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM  CD + Xét COD vuông O , OM  CD M ta có: MC.MD  OM  R (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) Mặt khác, MC.MD  AC.BD  R mà R không đổi Suy AC.BD không đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD + Ta có tứ giác ABDC hình thang ( AC / / BD vng góc với AB ) + Gọi I trung điểm CD + Mà O trung điểm AB Suy IO đường trung bình hình thang ABDC  IO / / AC Mà AC  AB Suy IO  AB mà O thuộc đường trịn tâm I đường kính CD nên IO tiếp tuyến tròn tâm I đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Xét ACN có AC song song với BD , theo Ta-lét ta có: AC CN  BD NB CM CN  MN AC song song với  MD NB 1   ABD ( N  thuộc OD ) Chứng minh: h) Gọi BN  tia phân giác  BO BD BN + Gọi K giao điểm BN  OI  OK  OB  R  BK  R BO OK KN OK + Ta có: mà OK / / BD  (Hệ Talet)   BD BD NB BD BO KN BN NK     BD NB BD BO BN NB KN NB KB 2R 1           BD BO BO BO BO R BD BO NB Mà AC  CM ; BD  DM nên Bài 6: Cho nửa đường tròn (O; R ) có đường kính AB Dựng dây AC  R tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Tia phân giác góc BAC cắt OC M , cắt tia Bx P cắt nửa đường tròn tâm O Q a) Chứng minh: BP  PA.PQ b) Chứng minh: bốn điểm B, P, M , O thuộc đường trịn tìm tâm c) Đường thẳng AC cắt tia Bx K Chứng minh: KP  2.BP Lời giải GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Ta có AQB nội tiếp đường trịn đường kính AB  AQB vng Q => BQ  AP Xét ABP vuông đường cao BQ  BP  PA.PQ b) AC  AO  R  ACO cân A mà AM phân giác  AM đường cao BPO  90 (Bx tiếp tuyến) OMQ  90 mà    M , B thuộc đường tròn tâm trung điểm OP c) Ta có AOC  A  60 Xét AKB vuông: cos A  AB AB  AK   4R AK cos 60 AP đường phân giác  PK AK R     PK  2.BP BP AB R Bài 7: Cho ABC cân A nội tiếp  O  Gọi D trung điểm AC ; tiếp tuyến  O  A cắt tia BD E Tia CE cắt  O  điểm thứ hai F a) Chứng minh đường thẳng BC song song với tiếp tuyến A  O  b) Chứng minh tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC OI So sánh  BAC  BGO Lời giải a) Vì ABC cân A (gt)  AB  AC  A thuộc đường trung trực BC Vì OB  OC ( R ) (gt)  O thuộc đường trung trực BC nên AO đường trung trực BC  AO  BC (1) mà AE tiếp tuyến  O  A  AO  AE (2) Từ (1);(2)  BC //AE GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 EAD   DCB ( slt ) b) Vì BC //AE   Vì AED  CBD (g  c  g )  AE  BC mà BC //AE (cmt ) Vậy tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi AO cắt BC H mà AO  BC (cmt )  AH  BC Vì ABC cân A (gt) mà AH  BC (cmt ) BAC  2. BAH (3) BAC    AH phân giác  Ta có  ABH   BAH  900 mà BGO   ICG  900 Lại có tứ giác ABCE hình bình hành (cmt)  AB //CE  ABH  ICG (đồng vị)  BAH   BGO (4) BAC  2. BGO Từ (3);(4)   Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B đến d H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB a) Chứng minh CE  CF b) Chứng minh AE  BF khơng phụ thuộc vào vị trí C nửa đường tròn BAE c) Chứng minh AC phân giác  d) Chứng minh đường trịn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Tìm vị trí điểm C để BF AE đạt giá trị lớn Lời giải  AB  a) Xét  O;  có d tiếp tuyến C (gt)  d  OC , OC  R (t / c )   GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ta có BF //AE //OC ( d ) Xét hình thang BFEA ( AE //BF) có BF //AE //OC (cmt ) Mà AO  OB ( R )  CE  CF (định lí đường trung bình hình thang) b) Xét hình thang BFEA (cmt ) có OA  OC  R (gt) CE  CF ( cmt)  OC đường trung bình hình thang BFEA  AE  BF  2.OC  2.R Vậy AE  BF không phụ thuộc vào vị trí M nửa đường trịn EAC   ACO ( slt ) (1) c) Có AE //OC (cmt )   CAO   ACO (2) Mà OA  OC  R  ACO cân O   BAE Từ (1);(2)   CAO   CAE  AC phân giác  d) Xét AHC AEC có:  CHA  CEA  900 ( gt ) AC cạnh chung  CAH   CAE (cmt )  AHC  AEC (ch  gn )  CH  CE  CH  CE  EF  doCF  CE  Mà CH  AB (gt) Vậy AB tiếp tuyến đường tròn tâm C đường kinh EF Hay đường tròn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô –si ta BF  AE  BF AE   BF  AE   4.BF AE  BF  AE   BF AE  Chứng minh tương tự AE  BF  2.R (cmt ) 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH  BF AE  Zalo: 0382254027 4R2  R2 Dấu xảy  BF  AE mà BF //AE (cmt ), BF  EF ( gt )  AEFB hình chữ nhật  AB //EF  CO  AB  C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vậy BF AE đạt giá trị lớn  C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Cách 2: AHC  AEC (cmt )  AH  AE Chứng minh tương tự BH  BF  AB  Xét  O;  có đường kính AB (gt)    AB   Mà C   O;  (gt)  BCA  90   (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng.) Xét ABC vng C (cmt) Mà CH  AB ( gt)  CH  AH BH ( hệ thức lượng) Mà AH  AE , BH  BF (cmt )  CH  AE.BF Vì CHO vng H (gt)  CH  CO (định lí)  CH  R Hay BF AE  R Dấu xảy  H trùng O  CO  AB  C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vậy BF AE đạt giá trị lớn  C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Bài 9: 11 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn (O ) Từ điểm M ngồi đường trịn (O ) , vẽ hai tiếp tuyến ME MF cho EMO = 300 Biết chu vi MFE 30cm tính độ dài dây FE Lời giải + Vì ME MF hai tiếp tuyến E F (O ) nên ME  MF ME tia phân giác EMF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  EMF  2 EMO  MFE cân M  EMO  300   EMF  600 Mà   MFE tam giác đều, ME  MF  FE Mặt khác, chu vi MFE 30cm , nên : ME  MF  FE  30  3FE  30  FE  10(cm) Bài 10: Cho tam giác ABC cân A I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A Gọi O trung điểm IK a) Chứng minh bốn điểm B; I ; C; K thuộc đường tròn (O ) b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn (O; OK ) c) Tính bán kính đường trịn (O ) AB  AC  20cm , BC  24cm biết Lời giải a) Chứng minh bốn điểm B; I ; C; K thuộc đường trịn (O ) + Vì ( I ) đường tròn nội tiếp ABC nên AB , AC , BC tiếp tuyến ( I ) 12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Gọi tia đối tia BA tia CA Bx Cy + Vì ( K ) đường trịn bàng tiếp góc A ABC nên Bx , Cy , BC tiếp tuyến ( K ) ABC + Vì AB AC hai tiếp tuyến cắt B ( I ) nên tia BI tia phân giác  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) + Vì Bx BC hai tiếp tuyến cắt B ( K ) nên tia BK tia phân giác  xBC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ABC  xBC hai góc kề bù + Mà   AO  BC Suy ra, IBK vuông B , O trung điểm IK  B; I ; K thuộc đường trịn (O ) + Tương tự, ta có I ; C; K thuộc đường tròn (O ) Vậy B; I ; C; K thuộc đường tròn (O ) b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn (O; OK ) B1   B2 ABC nên  + Ta có BI tia phân giác  K1   B2 (cùng phụ với I1 ) ;  K1   B3 ( OBK cân O )   B2   B3 + OBI   B3  900 nên  OBI   B1  900   ABO  900  AB tiếp tuyến (O) Mặt khác  c) Tính bán kính đường trịn (O ) biết AB  AC  20cm , BC  24cm Gọi H giao điểm BC AO  HB  BC  12(cm )  AH  AB  HB  16(cm) AB 202   25(cm) ABO vng B có BH đường cao  AB  AO AH  AO  AH 16  OH  AO  AH  25  16  9(cm ) HBO vuông H , có BO  OH  HB  BO  92  122  15(cm ) Vậy bán kính đường trịn (O ) 15cm 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 11: Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R ) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE  AC CF  AB ( F  AB, E  AC ) , BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A , H , O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O ) Lời giải a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi + Vì AB, AC hai tiếp tuyến B C (O ) nên BO  AB; CO  AC + Mặt khác: BE  AC CF  AB  BE / /CO; CF / / BO  BH / /CO; CH / / BO  BOCH hình bình hành, mà OC  OB  BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A , H , O thẳng hàng BOC  OH tia phân giác  BOC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OA tia phân giác  Suy ba điểm A , H , O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O ) BOCH hình thoi Ta có rứ giác BOCH hình thoi  OB  BH  R Để H nằm đường tròn (O ) HO  R BOH  600   BAO  300  HB  AO  AO  2HO  2R  BOH   Vậy A cách O khoảng 2R H nằm đường trịn (O) Bài 12: 14 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tam giác cân ABC  AB  AC  , đường cao AD , BE , cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE 1) Bốn điểm A, E , B, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ED  BC 3) Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn O  4) Tính độ dài DE biết DH  cm , AH  cm AH = cm Lời giải BEC  900.     1) Theo giả thiết: BE đường cao  BE  AC   BDA  900 AD đường cao => AD  BC   Lấy I trung điểm AB  IA  IB  ID  IE Vậy bốn điểm B , A, E , D nằm đường trịn đường kính AB 2) Vì tam giác cân ABC cân A nên đường cao AD đồng thời đường trung tuyến  D trung điểm BC Xét BEC vuông E có D trung điểm BC  ED =DB  DC  BED   DBE 3) Vì ED =DB nên tam giác DEB cân D   OAE   AEO Xét (O) có  BED   OEA Mà  EBD   DAE (Cùng phụ với C )  BED   HEO   OEA   HEO   OED   AEH  90O   DE tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Theo giả thiết AH = 6cm  OH  OE  cm; DH  cm  OD  cm Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác OED vng E có: 15 BC GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 OD  ED  OE  ED  OD  OE  52  32  ED  Bài 13: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn  O  vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OB , cắt CA M Chứng minh : a) Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Tam giác MOA cân c) Cho biết OA  23 cm, OB  cm, BC  cm Tính thể tích hình nón đỉnh A có đường kính đáy BC Lời giải a) Xét tứ giác ABOC ta có :  ABO  90 (tính chất tiếp tuyến) (1)  ACO  90 ( tính chất tiếp tuyến ) (2)   Từ (1) (2) suy ABO ACO  180 Do tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn đường kình OA b) Do AB tiếp tuyến đường tròn (O) nên AB  OB Mà OM  OB (gt)   Do OM // AB  BAO  AOM ( so le ) (3) Mặc khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có:  Từ (3) (4) suy MOA cân M c) Gọi I giao điểm AO BC Ta có  OBC cân O  OI đường ohân giác đường cao  OA  BC I  BI  IC  BC = = (cm) 2 16  BAO  MAO (4) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  IBO vng I ta có: OI  OB2  BI  52  42   (cm) Ta có AI  AO  IO  13   10 (cm) Thể tích hình nón là: V   52.10  250  (cm3) HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 20162021 Cho nửa đường trịn  O  Bài 1: đường kính AB  R , dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D , OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD  MB DM  CB D Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn  O  để AD tiếp tuyến nửa đường tròn K M = A C // H B O Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn  O  , tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn  O  theo R Lời giải Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp  AMB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB)  AM  MB Mà CD // BM (gt)   900 nên AM  CD Vậy MKC   (gt)  OM  AC  MHC   900 AM  CM   MHC   1800 nên nội tiếp Tứ giác CKMH có MKC đường trịn Chứng minh CD = MB DM = CB ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có:  Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O)  AD  AB ADC có AK  CD DH  AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM  AD  Vậy AD  AB  CM // AB   AM  BC  nên    AM   MC   BC  = 600 Mà  AM  MC AM  BC Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: D K // M C = H A O B Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O); S1 diện tích tứ giác AOCD; S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 hình  Tính S1:   BC   600   AD tiếp tuyến đường tròn (O)   AM  MC AOD  600 Do đó: AD = AO tg 60 = R  SADO = 1 R2 AD AO  R 3.R  2 AOD  COD (c.g.c)  SAOD = SCOD  SAOCD = SADO R2 = = R2  R 1200  R   Tính S2:  S quạt AOC = = AC  120 3600  Tính S: S = S1 – S2 = R  R 3R   R R2 = = – 3   (đvdt) 3  Bài 2: 18  GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn (C  A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải I K / C M = N H P / = A O B a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó: Ta có  ACB   ANB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))   INP   90 Do đó: ICP   INP   180 nên nội tiếp đường tròn Tâm K đường Tứ giác ICPN có ICP trịn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn  O  Tam giác INP vuông N, K trung điểm IP nên KN  KI  IP Vậy tam giác IKN cân   KNI  (1) K Do KIN   NCP  (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2) Mặt khác NKP   BN   CN  NB Vậy NCB cân N N trung điểm cung CB nên CN   NBC  (3) Do : NCB   IBC  , hai góc vị trí đồng vị nên KN //BC Từ (1), (2) (3) suy INK Mặt khác ON  BC nên KN  ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O)   ONB   90  KNO   90 Chú ý: * Có thể chứng minh KNI * chứng minh   ANO   90  KNO   90 KNA c) Chứng minh C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định: 19 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  (gt) nên   Vậy OM phân giác  Ta có  AM  MC AOM  MOC AOC  , mà   kề bù nên MON   90 Tương tự ON phân giác COB AOC COB Vậy tam giác MON vuông cân O Kẻ OH  MN , ta có OH  OM sin M = R R = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn  O  đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường  tròn cố định  O;  R 2   Bài 3: Cho đường trịn O, R  có đường kính AB Trên đường tròn O, R  lấy điểm M cho   60 Vẽ đường tròn  B, BM  cắt đường MAB tròn O, R  điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn  B, BM  b) Kẻ đường kính MOI đường tròn O, R  MBJ đường tròn  B, BM  Chứng minh N , I J M A 60 B O N I J thẳng hàng JI JN  R c) Tính phần diện tích hình trịn  B, BM  nằm bên ngồi đường trịn O, R  theo R Lời giải   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn(O)) a) Ta có  AMB  ANB Điểm M N thuộc  B, BM  ; AM  MB AN  NB nên AM ; AN tiếp tuyến  B, BM  b)   MNJ   900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên IN  Ta có MNI 20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 MN JN  MN Vậy ba điểm N , I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ  2.BO  R Tam giác AMO cân O (vì   600 nên tam giác AMO OM = OA), MAO AB  MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) nên OH = 1 R 3R 3R OA  R Vậy HB  HO  OB =  R   NJ   3R 2 2 Vậy JI JN  2R.3R  6R2 c) Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4)   600  MB   1200  MB  R Vậy: S1 =  R  3 R Tính S1: MAB     600  S2 = Tính S2: MBN Tính S3: S3 = Squạt MOB OA = OB  SMOB =    R 600 3600 =  R2  R 1200  R    – SMOB MOB  120 Squạt MOB = 3600 R2 1 1 SAMB = AM MB = R.R = 2  R2 R2  Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3)   R2 2 R R2    = 3 R –   =   11 R  3R (đvdt) Bài 4: 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn O đường kính AB cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH  cm Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng cắt đường trịn O C D Hai đường thẳng DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tan  ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn O BC M N K C E I A H O B D d) Tiếp tuyến A đường tròn O cắt E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH Lời giải NC a) Ta có  ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   900 Tứ giác MNAC có N  C   180 nên nội tiếp đường tròn Suy MCA b) Ta có AB = (cm) ; AH = (cm)  HB = (cm) Tam giác ACB vuông C, CH  AB  CH  AH BH  1.5   CH  (cm) ABC = Do tan  CH  BH   NMA  (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp tứ giác c) Ta có NCA   (cùng chắn  ADC (so le MN // CD)  ADC  ABC AC ) Nên MNAC) NMA   sđ    ABC  Do  ABC  sđ  NCA AC  NCA AC Suy CN tiếp tuyến đường tròn 2 (O) d) Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng  với AB)  (đồng vị)  AKB  DCB   DCB  (cùng chắn cung BD) DAB 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   MAN  (đối đỉnh) MAN   MCN  (cùng chắn MN  ) DAB   ECK   KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến Suy ra: EKC cắt nhau) nên EK = EA KBE có CI // KE  Vậy CI BI IH BI   ABE có IH // AE  KE BE AE BE CI IH  mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) KE AE Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường tròn O cắt BC điểm thứ hai I a) Chứng minh AI  BI CI b) Kẻ OM  BC M , AM cắt O điểm thứ hai N Chứng minh AIM đồng dạng với CNM suy AM MN  CM c) Từ I kẻ IH  AC H Gọi K trung điểm IH Tiếp tuyến I O cắt AB P Chứng minh : ba điểm C , K , P thẳng hàng d) Chứng minh: OI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IMN Lời giải a) Ta có  AIC chắn nửa đường trịn O  nên  AIC  90 hay AI  BC ABC vuông A có AI đường cao nên theo hệ thức cạnh đường cao ta có AI  BI IC (đpcm) b) Xét AIM CNM có :    90 (do chắn nửa đường tròn O ) AIC  ANC   NMC  ( hai góc đối đỉnh) IMA  AIM ∽ CNM (g-g)  AM IM  CM NM 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  AM MN  IM CM Mà O trung điểm AC, OM // AI nên M trung điểm IC, IM = CM  AM MN  CM c) Giả sử CK  AB  P Vì IH // AB  CK IK CK HK   KP ' BP ' KP ' AP ' Do KI KH  mà K trung điểm IH  P trung điểm AB BP ' AP ' (1)   PI tiếp tuyến O  PIA ACI , mà  ACI  BAI   PAI   API cân P  PA  PI  PIA Mà tam giác ABI vuông I nên ta có PA  PB  PI  P trung điểm AB (2) Từ (1) (2)  P  P hay C , K , P thẳng hàng   OCI  mà OCI   INM  d) Ta có : OIC   INM   OI tiếp tuyến đường tròn  INM   OIC Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB  10cm C điểm đường tròn (O) cho AC  8cm Vẽ CH  AB  H  AB a) Chứng minh ABC vng Tính độ dài CH số đo  BAC (làm trịn đến độ) 24 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Tiếp tuyến B C đường tròn O cắt D Chứng minh OD  BC c) Tiếp tuyến A đường tròn O cắt BC E Chứng minh CE HB  AH CB d) Gọi I trung điểm CH Tia BI cắt AE F Chứng minh FC tiếp tuyến đường tròn O Lời giải   900 Do ABC vng a) Góc ACB góc nội tiếp chắn đường trịn nên ACB Ta có AH  AC 32 24 (cm)   CH  AC  AH  AB 5 Khi sin BAC  CH    BAC  37 AC b) Theo tích tiếp tuyến cắt ta có OD  BC c) Tam giác BEA có CH // AE (vì vng góc với AB)  BC BH  CE AH  BC AH  BH CE  d) sin COH CH 24   90   74  CDB   106  CFA   74 hay FCO   COH OC 25 Bài 7: Cho đường trịn O; R  đường kính AB điểm C thuộc đường trịn( C khác A B ) kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt tia BC D 25 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C cắt AD E a Chứng minh bốn điểm A, E, C, O thuộc đường tròn b Chứng minh BC.BD  R OE song song với BD c Đương thẳng kẻ qua O vng góc với BC N cắt tia EC F Chứng minh BF tiếp tuyến đường tròn O; R  d Gọi H hình chiếu C AB , M giao điểm AC OE Chứng minh điểm C di động đường tròn O; R  thỏa mãn yêu cầu đề đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN qua điểm cố định Lời giải   EAO   900 a.Vì EC EA tiếp tuyến O nên ECO Suy tứ giác ECOA nội tiếp đường trịn đường kính EO hay bốn điểm A, E, C, O thuộc đường tròn b Xét tam giác ADB vng A có AC đường cao  BC.BD  AB   R   R ( hệ thức lượng tam giác vng) c.Vì OF  BC  OF đường trung trực BC   FBC   FBC vuông F  FCB   OBF  Mà OBC cân O  OCF   FBC   OBC   FCB   OCB   FCO   900  FB tiếp tuyến (O) Ta có: FBO d Vì M , N trung điểm CA, CB  MN đường trung bình tam giác CAB   HNM  (1)  MN đường trung trực CH  CNH cân N  CNM   COM  (2) Mà EC EA hai tiếp tuyến cắt đường tròn nên HOM   MNC  (3) Dễ thấy MCNO hình chữ nhật  MOC   HNM  Từ (1),(2),(3) suy HOM Vậy tứ giác HONM nội tiếp hay đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN ln qua điểm O cố định 26 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB  R ABC với C điểm (O) Kẻ BI phân giác  I thuộc (O) gọi E giao điểm AI BC a) ABE tam giác gì? Vì sao? b) Gọi K giao điểm AC BI Chứng minh EK  AB C) Gọi F điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF tiếp tuyến (O) tứ giác AFEK hình thoi d) Khi điểm C di chuyển (O) E di chuyển đường nào? Lời giải a) Xét (O) , đường kính AB AIB  90o  BI  AI  BI  AE AIB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn   Ta có:  Xét AEB có +) BI đường phân giác +) BI đường cao  AEB cân B (dhnb) b) Xét (O) , đường kính AB Ta có:  ACB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   ACB  90o  AC  CB  AC  BE Xét AEB có AC  BE ; BI  AE ; AC  BI  K   K trực tâm AEB  EK  AB c) Ta có F đối xứng với K qua I  IF  IK  AI đường trung tuyến AFK 27 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lại có: AI đường cao AFK  AFK cân A   AFK   AKF (tính chất) (1) AKF   CKB (2 góc đối đỉnh) (2) Mà  Lại có:  CKB   CBK  90o ( CKB vuông C ) CBK   KBA ( BI phân giác)   CKB   KBA  90o (3) Từ giả thiết ta có:  AFK   KBA  90o Từ (1), (2), (3)   Hay  AFB   KBA  90o   FAB  90o (Tổng góc tam giác )  FA  AB  FA tiếp tuyến (O) Xét ABE có BI đường cao, đường phân giác  ABE cân C  BI trung tuyến (t/c tam giác cân)  I trung điểm AE Mà I trung điểm KF Lại có : AE  KF  tứ giác AFEK hình thoi d) Ta có: ABE cân C  BA  BE  2R Khi C di chuyển (O) ta ln có BE  R , E di chuyển ( B; BA) Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M điểm thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax C, cắt By D a Tính số đo góc COD b Chứng minh C D  AC  BD c Chứng minh AC.BD  R   ( R bán kính nửa đường trịn) Lời giải a) Ta có  AOM +  MOB  180 (kề bù) (1) 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Mà OC tia phân giác  O1   O2   AOM  AOM OD phân giác  O3   O4   MOB   MOB  (2) (3)  MOA  MOB = 1800 Từ (1), (2), (3)    COD = 900 Hay  O  O  900 CM  AC b) Vì tiếp tuyến AC , BD CD cắt C D nên ta có:   DM  BD  CM  DM  AC  BD Suy CD  CM  DM  AC  BD c) Ta có: AC BD  CM MD   (4) 2 Xét COD vuông O OM  CD nên CM MD  OM  R (5) Từ (4), (5)  AC BD  R   Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) nội tiếp (O) có đường kính BC Kẻ dây AD vng góc với BC Gọi E giao điểm BD CA Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC , cắt BC H cắt AB F Chứng minh rằng: a) Tam giác EBF tam giác cân b) Tam giác FHA tam giác cân c) HA tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải a) Gọi AC  BC  I   ID  IA ( định lý) Xét ABD có: BI  AD; ID  IA (gt)  ABD cân B  Đường cao BI đồng thời đường phân giác  ABD 29 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  B1   B2 Mà  B1   B4 ; B2   B3 (cặp góc đối đỉnh) EBF nên  B3   B4  BH tia phân giác  Xét BEF có BH vừa đường cao, vừa đường phân giác  BEF cân B b) Ta có BEF cân B nên đường cao BH đồng thời đường trung tuyến  EH  HF Xét AEF vng A có AH đường trung tuyến  EH  HF  HA  AHF cân H FAH   HFA c) Ta có: AHF cân H   Ta có AOB cân O (OA  OB)  OAB   B1   B4 Lại có  B4   HFA  90o ( HFB vuông H ) Mà  OAH   A1   OAB   B4   HFA  900  HA  AO Suy HA tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB  R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiêp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh: AC  BD  CD COD  90 b) Chứng minh:  AB c) Chứng minh AC.BD  d) Chứng minh OC // MB 30 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD f) Chứng minh MN vng góc với AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Xét (O) , ta có tiếp tuyến CM cắt tiếp tuyến Ax C nên ta có +) CA  CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)(1) AOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OC tia phân giác góc  Xét (O) , ta có tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến By D nên ta có +) DM  DB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) (2) BOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OD tia phân giác góc  Từ (1) (2) suy ra: AC  BD  CM  MD; AC  BD  CD AOM b) Ta có: +) OC tia phân giác góc  AOC   MOC  =>   AOM (tính chất tia phân giác góc) Ta có: +) OD tia phân giác góc  BOM BOD   DOM  =>   BOM (tính chất tia phân giác góc) Mà hai góc  AOM  BOM hai góc kề bù  AOM   BOM  180 Ta có:  AOM  BOM  AOM   BOM    COD  COM  MOD     90 2 COD  90 nên COD vuông O  OM  CD c) Theo ta có  Ta có: OM tiếp tuyến (O)  OM  CD 31 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét COD vng O có OM  CD Áp dụng hệ thức lượng cạnh đường cao ta có: OM  CM MD Lại có OM  R; CA  CM ; BD  DM AB  AC BD  R  AC BD  d) Ta có:  COD  90  OC  OD (3) Lại có: BD  DM (cmt)  D thuộc đường trung trực DB OM  OB  R  O thuộc đường trung trực BM Do OD thuộc đường trung trực BM  MB  OD (4) Từ (3) (4)  OC // MB (vì vng góc với OD ) e) gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp COD đường kính CD có OI bán kính Ta có Ax, By tiếp tuyến A B  O   AC  AB; BD  AB  AC // BD Vậy tứ giác ACDB hình thang Lại có: I trung điểm CD ; O trung điểm AB  OI đường trung bình hình thang ACDB  OI // AC , mà AC  AB  OI  AB O  AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD f) Theo ta có: AC // BD   CN AC  , mà CA  CM ; DB  DM BN BD CN CM   MN // BD BN DM Mà BD  AB  MN  AB g) Ta có chu vi tứ giác ACDB  AB  AC  CD  DB mà AC  BD  CD  Chu vi tứ giác ACDB  AB  2CD mà AB không đổi  Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ nhất, mà CD nhỏ CD khoảng 32 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 cách Ax Bx Khi AB // CD  M phải trung điểm cung AB Bài 12: Cho hai đường  O   O ' tiếp xúc A d tiếp tuyến chung đường trịn, CD tiếp tuyến chung ngồi  O   O ' (D  O ' , C  O  ) cắt d M CAD a) Tính số đo  b)  OMO '  900 c) CD tiếp tuyến dường tròn đường kính OO’ Lời giải a) Vì M giao điểm tiếp tuyến A B (O)  MA = MC ( t/c tiếp cắt nhau) (1) Vì M giao điểm tiếp tuyến A C (O’)  MA = MD ( t/c tiếp cắt nhau) (2) Từ (1) (2)  MA  MC  MD  CD   (vì điểm D, M, C thẳng hàng) Xét ACD có MA  MC  MD  CD    (cmt)  ACD vuông A Hay  CAD  900 33 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 DMA  180 (kề bù) (3) b) Ta có:  CMA +  AOM   AOM Mà OC tia phân giác  M1   M2   DMA   DMA OD phân giác  M3  M4   OMO ' =  Từ (3), (4) & (5)  M  M   (4) (5) 1 MOA  MOB = 180 o  M2  M3   2  OMO ' = 90 o M2  M  90 o hay  c) Gọi I tâm đường trịn đường kính OO '  IO = IO’ =  OO'    Xét OMO ' vuông M có: IO = IO’ =  OO'   (cmt)  IM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO '    IM  OO '  M   I ; OO '   (a)  Xét tứ giác CDO’O có OC / / O’D ( CD)  tứ giác CDO’O hình thang vuông OO' Mà: CD MC = MD = IO = IO' =     IM đường trung bình hình thang vng CDO’O    MI / / OC mà OC  CD   IM  CD M (b) Từ (a) (b)  CD tiếp tuyến đường tròn dường kính OO’ Bài 13: 34 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho  O  , từ điểm A  O  , kẻ tiếp tuyến d với  O  Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm MB ( B tiếp điểm) Kẻ AC  MB , B D  MA , gọi H giao điểm AC BD , I giao điểm OM AB a) Chứng minh A, M , B , O thuộc đường tròn b) Chứng minh điểm O , K , A, M , B nằm đường tròn c) Chứng minh OI OM  R , OI IM  IA d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh O , H , M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Lời giải a) Học sinh tự làm OKM  90o b) Vì K trung điểm NP nên OK  NP (quan hệ đường kính dây cung)   OAM  90o , OBM  90o Theo tính chất tiếp tuyến ta có o  K , A, B nhìn OM góc 90 nên đường kính OM Vậy nên O , K , A, M , B nằm đường trịn c) Ta có MA  MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA  OB  R  OM trung trực AB  OM  AB I OAM  90o nên OAM vuông A có AI đường cao Theo tính chất tiếp tuyến ta có  Áp dụng hệ thức cạnh đường cao 35 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  OI OM  OA2 hay OI OM  R2 OI IM  IA2 d) Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến); AC  MB (gt)  OB ∥ AC hay OB ∥ AH OA  MA (tính chất tiếp tuyến); BD  MA (gt)  OA∥ BD hay OA∥ BH  Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA  OB  R  OAHB hình thoi e) Theo OAHB hình thoi  OH  AB ; theo OM  AB  O , H , M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB ) f) Theo OAHB hình thoi  AH  AO  R Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng cách R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa  A bán kính AH  R Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn  A; AH  Vẽ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D, E hai tiếp điểm khác H ) a) Chứng minh BD  CE  BC ba điểm A, D, E thẳng hàng b) Chứng minh BD.CE  DE c) Đường trịn tâm M đường kính CH cắt đường tròn  A; AH  N ( N khác H ) Chứng minh CN song song với AM Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, có BD  BH , CE  CH b) BD.CE  BH CH  AH  DE c) HNC nội tiếp đường trịn đường trịn đường kính CH nên vng N  HN  NC Ta có AM đường trung trực HN nên AM  HN Suy AM //CN (vì vng góc với HN ) 36 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 15: Cho  O;15 , dây BC  24 cm Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A Kẻ OH vng góc với BC H a) Tính OH ; b) Chứng minh ba điểm O, H , A thẳng hàng ; c) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC ; d) Gọi M giao điểm AB CO , gọi N giao điểm AC BO Tứ giác BCNM hình ? Chứng minh ? Lời giải a) Ta có BH  HB  12 cm, OH  cm  , mà OA phân b) Tam giác OBC cân O có OH  BC suy OH phân giác BOC  nên O, H , A thẳng hàng giác BOC c) Tam giác OBA vuông B có BH đường cao nên 1    AB  20cm 2 BH OB AB2   NCB  nên BCNM d) Tam giác MAN có O trực tâm nên AO  MN suy MN //BC MBC hình thang cân Bài 16: Cho tam giác ABC có AB  cm; AC  cm; BC  cm; AH vuông góc với BC ( H  BC ) Đường trịn  O  qua A tiếp xúc với BC B Đường tròn  I  qua A tiếp xúc với BC C  a) Tính BAC b) Tính AH c) Chứng minh rằng:  O   I  tiếp xúc với 37 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 A d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: Tam giác IMO vuông OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Lời giải a) Ta có AB  AC  32  42  25  BC  BC  AB  AC Theo định lý đảo Py-ta-go  Tam giác ABC vuông A Vậy BÂC= 900 b)Trong tam giác vuông ABC tacó: AH BC  AB AC  AH.5 = 3.4  AH =  2.4cm c) Ta có HÂC = CÂI (1) ÔB = HÂB (2) BÂH + HÂC = BÂC=900 (3) Lại có A, O, I thẳng hàng OA  AI  OI ,  O   I  tiếp xúc với A d) Chứng minh MI đường phân giác  AMC MO đường phân giác  AMB Mà AMB  AMC  180 (hai góc kề bù )  OMI  90 Vậy tam giác OMI vng M Ta có MA  MB  MC  BC nên M tâm đường trịn đường kính BC Chứng minh được: MAC  MCA ; IAC  ICA Mà MCA  ACI  90 (tiếp tuyến vng góc bán kính)  MAC  CAI  MAI  90  MA  IA Vậy OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB M cắt AC N Gọi H giao điểm BN CM 1) Chứng minh AH  BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME 38 A = M E N = K _ _H B O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 tiếp tuyến đường tròn  O  3) Chứng minh MN OE  2.ME.MO  4) Giả sử AH  BC Tính tan BAC Lời giải 1) Ta có ΔBMC ΔBNC nội tiếp đường trịn  O  đường kính BC   BNC   90 Do đó: BN  AC , CM  AB , Suy BMC Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt H Do H trực tâm tam giác Vậy AH  BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn  O  OB = OM (bk đường tròn  O  )  ΔBOM cân O   OBM  (1) Do đó: OMB ΔAMH vng M , E trung điểm AH nên AE = HE = AH Vậy ΔAME cân E   MAE  (2) Do đó: AME    AME   MBO   MAH  mà MBO   MAH   90 (vì AH  BC ) Từ (1) (2) suy ra: OMB   AME   90 Do EMO   90 Vậy ME tiếp tuyến đường tròn  O  nên OMB 3) Ta có OM  ON ME  EN nên OE đường trung trực MN Do OE  MN K MK  MN ΔEMO vuông M , MK  OE nên ME.MO  MK OE  MN OE Suy ra: MN OE  2.ME.MO   NAH  (cùng phụ góc ACB ) 4) Ta có ΔBNC ΔANH vng N có BC  AH NBC ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn)  BN  AN  = ΔANB vuông N  tan NAB BN  1  Do tan BAC AN Bài 18: 39 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn tâm  O; R  đường kính AB điểm M đường tròn cho   60 Kẻ dây MN vng góc với AB MAN H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn  B; BM  M A Chứng minh MN  AH BH Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn  O  E , tia MB 60 B H O N F E cắt  B  F Chứng minh ba điểm N , E , F thẳng hàng Lời giải Ta có AMB nội tiếp đường trịn  O  có AB đường kính nên AMB vng M Điểm M   B; BM  , AM  MB nên AM tiếp tuyến đường tròn  B; BM  Chứng minh tương tự ta AN tiếp tuyến đường tròn  B; BM  Ta có: AB  MN H  MN  NH = MN (1) (tính chất đường kính dây cung) AMB vuông B , MH  AB nên MH  AH BH (hệ thức lượng tam giác vuông)  MN  hay    AH BH  MN  AH HB (đpcm)   3) Từ (1) suy AB là đường trung trực MN nên BM  BN   NMB   60 (cùng phụ với góc MBA ), suy tam giác BMN MAB Tam giác OAM có OM  OA  R MAO = 600 nên tam giác MH  AO nên HA  HO = OA OB = 2 Tam giác MBN có BH đường trung tuyến (vì HM  HN ) OH = tâm tam giác OB nên O trọng 4) MNE nội tiếp đường tròn  O  đường kính AB nên vmg N  MN  EN 40 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 MNF nội tiếp đường tròn  B  đường kính MF nên vmg N  MN  FN Do ba điểm N , E , F thẳng hàng Bài 19: Cho tam giác ABC vuông C , đường cao CH , O trung điểm AB Đường thẳng vng góc với CO C cắt AB D cắt tiếp tuyến Ax, By đường tròn  O; OC  E , F a) Chứng minh CH  AH  AH CO b) Chứng minh EF tiếp tuyến  O; OC  F C E D A từ suy AE  BF  EF c) Khi AC  AB  R , tính diện tích tam giác BDF theo R Lời giải a) Trong tam giác vuông ACH : AC  AH  HC Trong tam gi ác vuông ACB : AC  AH AB mà AB  2.CO (t/c trung tuyến tam giác vuông) 2  CH  AH  AH CO b) Ta có DE tiếp tuyến nên EA  EC ; FB  FC ; EA  FB  FE c) sin B1    300   600 B B    tam giác BCF Giải tam giác vuông ABC , BDF  BC  BF  R , BD  3R  SBDE = R (đvdt) 41 H O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 20: Cho  O  , đường kính AB  R hai tia tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm C tuỳ ý cung AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By D E a) Chứng minh: DE  AD  BF b) Chứng minh: OD đường trung trực đoạn thẳng AC OD //BC c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng DE , vẽ đường trịn tâm I bán kính ID Chứng minh rằng: Đường tròn  I ; ID  tiếp xúc với đường thẳng AB d) Gọi K giao điểm AE BD Chứng minh rằng: CK vng góc với AB H K trung điểm đoạn CH Lời giải a) Ta có EB  EC ; DA  DC mà DE  EC  DE Suy DE  AD  BF b) Ta có OA  OC ; DA  DC Suy OD đường trung trực đoạn thẳng AC  OD  AC Mà ACB vuông C  AC  CB Do OD //BC c) Ta cứng minh đươc IO đường trung bình hình thang vng ABED Suy IO//EB //AD mà AD  AB (gt)  IO  AB Ta lại có IO  (1) AD  BE DE  bk   I   O   I   IO  2 Từ (1), (2)  AB tiếp tuyến  I  O d) Ta có AD//BE  AD DK  mà EB  EC ; DA  DC BE KB 42 (2) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Suy Zalo: 0382254027 DC DK   KC //EB mà EB  AB Do CK  AB EC KB Kéo dài BC cắt AD N Ta có AD  DN   DC  Mặt khác KH KC  BK  , KH // AD, KC // DN  Suy KH  KC   DA DN  BD  43