Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
3,33 MB
Nội dung
GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích, Bài 1: Hai tiếp tuyến B C đường tròn O cắt A a) Chứng minh AO BC b) Vẽ đường kính CD O Chứng minh BD AO song song Lời giải a) Vì B C thuộc (O) nên OB OC O nằm đường trung trực BC + Vì AB AC hai tiếp tuyến B C (O) nên AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy A thuộc đường trung trực BC Suy đường thẳng AO đường trung trực BC AO BC b) Ta có OB OC OD (Vì B C , D thuộc (O) nên OB DC O trung điểm CD + Xét BDC có OB DC Mà BO đường trung tuyến ứng với cạnh DC 900 Suy BDC vuông D DBC DB BC Mà AO BC BD //AO Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R D điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( M tiếp điểm) Tia Mx nằm MA MO cắt đường tròn O; R hai điểm C D ( C nằm M ) Gọi I trung điểm dây CD , kẻ AH vng góc với MO H a) Tính OH OM theo R b) Chứng minh: Bốn điểm M , A, I , O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 thuộc đường tròn c) Gọi K giao điểm OI với HA Chứng minh KC tiếp tuyến đường tròn O; R Lời giải a) Xét O; R có MA tiếp tuyến A (gt) 900 MA OA, OA R OAM Xét MOA vuông A (do AM OA ) có AH OM (gt) OH OM OA2 R b) Xét O; R có I trung điểm dây CD (gt) 900 OIM OAM 900 OI CD (t/c) OIM A, I thuộc đường trịn đường kính OM Hay bốn điểm M , A, I , O thuộc đường trịn ( đpcm) c) Ta có OHK ∽ OIM ( g.g ) OH OI OI OK OH OM OK OM Mà OH OM R (cmt ) OI OK R OC OI OC OCK ᔕ OIC (c.g c) OC OK OIC 900 OCK OC CK mà C O; R (gt) KC tiếp tuyến đường tròn O; R Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm (O) , đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax , By với nửa đường trịn phía AB Từ M nửa đường tròn ( M khác A, B ) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh COD tam giác vuông b) Chứng minh MC.MD OM 2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH c) Cho biết OC BA R Tính AC BD theo R Zalo: 0382254027 Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng AOM (tính + Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (tính + Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM chất hai tiếp tuyến cắt nhau) hai góc kề bù nên OC OD vng góc với AOM DOM + Mà b) Chứng minh MC.MD OM + Vì OC OD vng góc với nên COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM CD + Xét COD vuông O , OM CD M ta có: MC.MD OM (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) c) Cho biết OC BA R Tính AC BD theo R +Vì CA hai tiếp tuyến A (O) nên OA AC A Suy ra, COA vuông A , theo Pytago ta có: AC OA2 OC AC R (2R )2 AC 3R + Mà CA CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 3R Suy CA.MD OM 3.MD R MD 2 + Mà DB DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên BD MD Bài 4: Cho đường trịn O có dây AB Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A O điểm C a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn O 3R GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Cho bán kính O 15cm dây AB 24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC Lời giải a) Xét ABO có OA OB R ( gt ) ABO cân O (t/c) BOC AOC Mà OC AB (gt) OC tia phân giác BOA Xét ACO BCO có OA OB R ( gt ) BOC AOC (cmt ) OC cạnh chung OBC AOC BOC (c g c ) OAC 900 Mà AC tiếp tuyến A (gt) AO AC OAC 900 OB BC OBC Mà B O; R (gt) Vậy BC tiếp tuyến O; R (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) b) Ta có OC AB (gt) mà OC đường kính; AB dây cung Gọi OC cắt AB I IA IB (định lí quan hệ vng góc đường kính dây ) hay IA IB AB 24 12 cm 2 Xét AIO vuông I IO AI AO (đl Py-ta-go) OI 152 122 81 IO cm Xét ACO vuông A (cmt) Mà AI OC ( OC AB ) AO OI OC (hệ thức lượng) 152 9.OC OC 25 cm Bài 5: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB R Kẻ hai tiếp tuyến Ax By ( Ax , By nằm phía nửa đường trịn) Gọi M điểm thuộc nửa đường tròn ( C khác A B ) Tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt Ax , By theo thứ tự C D 90 a) Chứng minh COD b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường tròn Chỉ bán kính đường trịn c) Chứng minh CD AC BD d) Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song h) Gọi BN tia phân giác ABD ( N thuộc OD ) Chứng minh: 1 BO BD BN Lời giải a) Chứng minh COD tam giác vng +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên OC tia phân giác AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (tính chất +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên OD tia phân giác DOM hai tiếp tuyến cắt nhau) hai góc kề bù nên OC OD vng góc với + Mà AOM DOM b) Chứng minh điểm B , D , M , O nằm đường trịn Chỉ bán kính đường trịn + Ta có BOD vng B ( DB tiếp tuyến B (O) nên OB BD ) B , D , O nằm đường trịn đường kính OD + Ta có MOD vuông M ( DM tiếp tuyến M (O) nên OM MD ) M , D , O nằm đường trịn đường kính OD Vậy điểm B , D , M , O nằm đường trịn đường kính OD c) Chứng minh CD AC BD GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Ta có M CD CM MD CD +Vì CA CM hai tiếp tuyến A M (O) nên CA CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) +Vì DB DM hai tiếp tuyến B M (O) nên DB DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) CA BD CD d) Chứng minh AC.BD không đổi M thay đổi (O) + Vì OC OD vng góc với nên COD vng O + Vì CD tiếp tuyến M (O) nên OM CD + Xét COD vuông O , OM CD M ta có: MC.MD OM R (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông) Mặt khác, MC.MD AC.BD R mà R không đổi Suy AC.BD không đổi M thay đổi (O) e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD + Ta có tứ giác ABDC hình thang ( AC / / BD vng góc với AB ) + Gọi I trung điểm CD + Mà O trung điểm AB Suy IO đường trung bình hình thang ABDC IO / / AC Mà AC AB Suy IO AB mà O thuộc đường trịn tâm I đường kính CD nên IO tiếp tuyến tròn tâm I đường kính CD g) Gọi giao điểm AD BC N Chứng minh MN AC song song GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Xét ACN có AC song song với BD , theo Ta-lét ta có: AC CN BD NB CM CN MN AC song song với MD NB 1 ABD ( N thuộc OD ) Chứng minh: h) Gọi BN tia phân giác BO BD BN + Gọi K giao điểm BN OI OK OB R BK R BO OK KN OK + Ta có: mà OK / / BD (Hệ Talet) BD BD NB BD BO KN BN NK BD NB BD BO BN NB KN NB KB 2R 1 BD BO BO BO BO R BD BO NB Mà AC CM ; BD DM nên Bài 6: Cho nửa đường tròn (O; R ) có đường kính AB Dựng dây AC R tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Tia phân giác góc BAC cắt OC M , cắt tia Bx P cắt nửa đường tròn tâm O Q a) Chứng minh: BP PA.PQ b) Chứng minh: bốn điểm B, P, M , O thuộc đường trịn tìm tâm c) Đường thẳng AC cắt tia Bx K Chứng minh: KP 2.BP Lời giải GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Ta có AQB nội tiếp đường trịn đường kính AB AQB vng Q => BQ AP Xét ABP vuông đường cao BQ BP PA.PQ b) AC AO R ACO cân A mà AM phân giác AM đường cao BPO 90 (Bx tiếp tuyến) OMQ 90 mà M , B thuộc đường tròn tâm trung điểm OP c) Ta có AOC A 60 Xét AKB vuông: cos A AB AB AK 4R AK cos 60 AP đường phân giác PK AK R PK 2.BP BP AB R Bài 7: Cho ABC cân A nội tiếp O Gọi D trung điểm AC ; tiếp tuyến O A cắt tia BD E Tia CE cắt O điểm thứ hai F a) Chứng minh đường thẳng BC song song với tiếp tuyến A O b) Chứng minh tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC OI So sánh BAC BGO Lời giải a) Vì ABC cân A (gt) AB AC A thuộc đường trung trực BC Vì OB OC ( R ) (gt) O thuộc đường trung trực BC nên AO đường trung trực BC AO BC (1) mà AE tiếp tuyến O A AO AE (2) Từ (1);(2) BC //AE GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 EAD DCB ( slt ) b) Vì BC //AE Vì AED CBD (g c g ) AE BC mà BC //AE (cmt ) Vậy tứ giác ABCE hình bình hành c) Gọi AO cắt BC H mà AO BC (cmt ) AH BC Vì ABC cân A (gt) mà AH BC (cmt ) BAC 2. BAH (3) BAC AH phân giác Ta có ABH BAH 900 mà BGO ICG 900 Lại có tứ giác ABCE hình bình hành (cmt) AB //CE ABH ICG (đồng vị) BAH BGO (4) BAC 2. BGO Từ (3);(4) Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B đến d H chân đường vng góc kẻ từ C đến AB a) Chứng minh CE CF b) Chứng minh AE BF khơng phụ thuộc vào vị trí C nửa đường tròn BAE c) Chứng minh AC phân giác d) Chứng minh đường trịn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Tìm vị trí điểm C để BF AE đạt giá trị lớn Lời giải AB a) Xét O; có d tiếp tuyến C (gt) d OC , OC R (t / c ) GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ta có BF //AE //OC ( d ) Xét hình thang BFEA ( AE //BF) có BF //AE //OC (cmt ) Mà AO OB ( R ) CE CF (định lí đường trung bình hình thang) b) Xét hình thang BFEA (cmt ) có OA OC R (gt) CE CF ( cmt) OC đường trung bình hình thang BFEA AE BF 2.OC 2.R Vậy AE BF không phụ thuộc vào vị trí M nửa đường trịn EAC ACO ( slt ) (1) c) Có AE //OC (cmt ) CAO ACO (2) Mà OA OC R ACO cân O BAE Từ (1);(2) CAO CAE AC phân giác d) Xét AHC AEC có: CHA CEA 900 ( gt ) AC cạnh chung CAH CAE (cmt ) AHC AEC (ch gn ) CH CE CH CE EF doCF CE Mà CH AB (gt) Vậy AB tiếp tuyến đường tròn tâm C đường kinh EF Hay đường tròn đường kính EF tiếp xúc với AB e) Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô –si ta BF AE BF AE BF AE 4.BF AE BF AE BF AE Chứng minh tương tự AE BF 2.R (cmt ) 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH BF AE Zalo: 0382254027 4R2 R2 Dấu xảy BF AE mà BF //AE (cmt ), BF EF ( gt ) AEFB hình chữ nhật AB //EF CO AB C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vậy BF AE đạt giá trị lớn C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Cách 2: AHC AEC (cmt ) AH AE Chứng minh tương tự BH BF AB Xét O; có đường kính AB (gt) AB Mà C O; (gt) BCA 90 (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng.) Xét ABC vng C (cmt) Mà CH AB ( gt) CH AH BH ( hệ thức lượng) Mà AH AE , BH BF (cmt ) CH AE.BF Vì CHO vng H (gt) CH CO (định lí) CH R Hay BF AE R Dấu xảy H trùng O CO AB C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vậy BF AE đạt giá trị lớn C điểm nửa đường trịn tâm O đường kính AB Bài 9: 11 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn (O ) Từ điểm M ngồi đường trịn (O ) , vẽ hai tiếp tuyến ME MF cho EMO = 300 Biết chu vi MFE 30cm tính độ dài dây FE Lời giải + Vì ME MF hai tiếp tuyến E F (O ) nên ME MF ME tia phân giác EMF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) EMF 2 EMO MFE cân M EMO 300 EMF 600 Mà MFE tam giác đều, ME MF FE Mặt khác, chu vi MFE 30cm , nên : ME MF FE 30 3FE 30 FE 10(cm) Bài 10: Cho tam giác ABC cân A I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A Gọi O trung điểm IK a) Chứng minh bốn điểm B; I ; C; K thuộc đường tròn (O ) b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn (O; OK ) c) Tính bán kính đường trịn (O ) AB AC 20cm , BC 24cm biết Lời giải a) Chứng minh bốn điểm B; I ; C; K thuộc đường trịn (O ) + Vì ( I ) đường tròn nội tiếp ABC nên AB , AC , BC tiếp tuyến ( I ) 12 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Gọi tia đối tia BA tia CA Bx Cy + Vì ( K ) đường trịn bàng tiếp góc A ABC nên Bx , Cy , BC tiếp tuyến ( K ) ABC + Vì AB AC hai tiếp tuyến cắt B ( I ) nên tia BI tia phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) + Vì Bx BC hai tiếp tuyến cắt B ( K ) nên tia BK tia phân giác xBC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ABC xBC hai góc kề bù + Mà AO BC Suy ra, IBK vuông B , O trung điểm IK B; I ; K thuộc đường trịn (O ) + Tương tự, ta có I ; C; K thuộc đường tròn (O ) Vậy B; I ; C; K thuộc đường tròn (O ) b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn (O; OK ) B1 B2 ABC nên + Ta có BI tia phân giác K1 B2 (cùng phụ với I1 ) ; K1 B3 ( OBK cân O ) B2 B3 + OBI B3 900 nên OBI B1 900 ABO 900 AB tiếp tuyến (O) Mặt khác c) Tính bán kính đường trịn (O ) biết AB AC 20cm , BC 24cm Gọi H giao điểm BC AO HB BC 12(cm ) AH AB HB 16(cm) AB 202 25(cm) ABO vng B có BH đường cao AB AO AH AO AH 16 OH AO AH 25 16 9(cm ) HBO vuông H , có BO OH HB BO 92 122 15(cm ) Vậy bán kính đường trịn (O ) 15cm 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 11: Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R ) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE AC CF AB ( F AB, E AC ) , BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A , H , O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O ) Lời giải a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi + Vì AB, AC hai tiếp tuyến B C (O ) nên BO AB; CO AC + Mặt khác: BE AC CF AB BE / /CO; CF / / BO BH / /CO; CH / / BO BOCH hình bình hành, mà OC OB BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A , H , O thẳng hàng BOC OH tia phân giác BOC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OA tia phân giác Suy ba điểm A , H , O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O ) BOCH hình thoi Ta có rứ giác BOCH hình thoi OB BH R Để H nằm đường tròn (O ) HO R BOH 600 BAO 300 HB AO AO 2HO 2R BOH Vậy A cách O khoảng 2R H nằm đường trịn (O) Bài 12: 14 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tam giác cân ABC AB AC , đường cao AD , BE , cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE 1) Bốn điểm A, E , B, D nằm đường tròn 2) Chứng minh ED BC 3) Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn O 4) Tính độ dài DE biết DH cm , AH cm AH = cm Lời giải BEC 900. 1) Theo giả thiết: BE đường cao BE AC BDA 900 AD đường cao => AD BC Lấy I trung điểm AB IA IB ID IE Vậy bốn điểm B , A, E , D nằm đường trịn đường kính AB 2) Vì tam giác cân ABC cân A nên đường cao AD đồng thời đường trung tuyến D trung điểm BC Xét BEC vuông E có D trung điểm BC ED =DB DC BED DBE 3) Vì ED =DB nên tam giác DEB cân D OAE AEO Xét (O) có BED OEA Mà EBD DAE (Cùng phụ với C ) BED HEO OEA HEO OED AEH 90O DE tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Theo giả thiết AH = 6cm OH OE cm; DH cm OD cm Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác OED vng E có: 15 BC GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 OD ED OE ED OD OE 52 32 ED Bài 13: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn O vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OB , cắt CA M Chứng minh : a) Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Tam giác MOA cân c) Cho biết OA 23 cm, OB cm, BC cm Tính thể tích hình nón đỉnh A có đường kính đáy BC Lời giải a) Xét tứ giác ABOC ta có : ABO 90 (tính chất tiếp tuyến) (1) ACO 90 ( tính chất tiếp tuyến ) (2) Từ (1) (2) suy ABO ACO 180 Do tứ giác ABOC nội tiếp đường trịn đường kình OA b) Do AB tiếp tuyến đường tròn (O) nên AB OB Mà OM OB (gt) Do OM // AB BAO AOM ( so le ) (3) Mặc khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: Từ (3) (4) suy MOA cân M c) Gọi I giao điểm AO BC Ta có OBC cân O OI đường ohân giác đường cao OA BC I BI IC BC = = (cm) 2 16 BAO MAO (4) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 IBO vng I ta có: OI OB2 BI 52 42 (cm) Ta có AI AO IO 13 10 (cm) Thể tích hình nón là: V 52.10 250 (cm3) HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 20162021 Cho nửa đường trịn O Bài 1: đường kính AB R , dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D , OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD MB DM CB D Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn O để AD tiếp tuyến nửa đường tròn K M = A C // H B O Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn O , tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn O theo R Lời giải Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) AM MB Mà CD // BM (gt) 900 nên AM CD Vậy MKC (gt) OM AC MHC 900 AM CM MHC 1800 nên nội tiếp Tứ giác CKMH có MKC đường trịn Chứng minh CD = MB DM = CB ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O) AD AB ADC có AK CD DH AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM AD Vậy AD AB CM // AB AM BC nên AM MC BC = 600 Mà AM MC AM BC Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: D K // M C = H A O B Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O); S1 diện tích tứ giác AOCD; S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 hình Tính S1: BC 600 AD tiếp tuyến đường tròn (O) AM MC AOD 600 Do đó: AD = AO tg 60 = R SADO = 1 R2 AD AO R 3.R 2 AOD COD (c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = SADO R2 = = R2 R 1200 R Tính S2: S quạt AOC = = AC 120 3600 Tính S: S = S1 – S2 = R R 3R R R2 = = – 3 (đvdt) 3 Bài 2: 18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn (C A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P Chứng minh: a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải I K / C M = N H P / = A O B a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó: Ta có ACB ANB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) INP 90 Do đó: ICP INP 180 nên nội tiếp đường tròn Tâm K đường Tứ giác ICPN có ICP trịn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn O Tam giác INP vuông N, K trung điểm IP nên KN KI IP Vậy tam giác IKN cân KNI (1) K Do KIN NCP (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2) Mặt khác NKP BN CN NB Vậy NCB cân N N trung điểm cung CB nên CN NBC (3) Do : NCB IBC , hai góc vị trí đồng vị nên KN //BC Từ (1), (2) (3) suy INK Mặt khác ON BC nên KN ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O) ONB 90 KNO 90 Chú ý: * Có thể chứng minh KNI * chứng minh ANO 90 KNO 90 KNA c) Chứng minh C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định: 19 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 (gt) nên Vậy OM phân giác Ta có AM MC AOM MOC AOC , mà kề bù nên MON 90 Tương tự ON phân giác COB AOC COB Vậy tam giác MON vuông cân O Kẻ OH MN , ta có OH OM sin M = R R = không đổi 2 Vậy C di động đường trịn O đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định O; R 2 Bài 3: Cho đường trịn O, R có đường kính AB Trên đường tròn O, R lấy điểm M cho 60 Vẽ đường tròn B, BM cắt đường MAB tròn O, R điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn B, BM b) Kẻ đường kính MOI đường tròn O, R MBJ đường tròn B, BM Chứng minh N , I J M A 60 B O N I J thẳng hàng JI JN R c) Tính phần diện tích hình trịn B, BM nằm bên ngồi đường trịn O, R theo R Lời giải 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn(O)) a) Ta có AMB ANB Điểm M N thuộc B, BM ; AM MB AN NB nên AM ; AN tiếp tuyến B, BM b) MNJ 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) Nên IN Ta có MNI 20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 MN JN MN Vậy ba điểm N , I J thẳng hàng Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ 2.BO R Tam giác AMO cân O (vì 600 nên tam giác AMO OM = OA), MAO AB MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) nên OH = 1 R 3R 3R OA R Vậy HB HO OB = R NJ 3R 2 2 Vậy JI JN 2R.3R 6R2 c) Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) 600 MB 1200 MB R Vậy: S1 = R 3 R Tính S1: MAB 600 S2 = Tính S2: MBN Tính S3: S3 = Squạt MOB OA = OB SMOB = R 600 3600 = R2 R 1200 R – SMOB MOB 120 Squạt MOB = 3600 R2 1 1 SAMB = AM MB = R.R = 2 R2 R2 Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3) R2 2 R R2 = 3 R – = 11 R 3R (đvdt) Bài 4: 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường trịn O đường kính AB cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH cm Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng cắt đường trịn O C D Hai đường thẳng DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB ) a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tan ABC c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn O BC M N K C E I A H O B D d) Tiếp tuyến A đường tròn O cắt E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH Lời giải NC a) Ta có ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 900 Tứ giác MNAC có N C 180 nên nội tiếp đường tròn Suy MCA b) Ta có AB = (cm) ; AH = (cm) HB = (cm) Tam giác ACB vuông C, CH AB CH AH BH 1.5 CH (cm) ABC = Do tan CH BH NMA (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp tứ giác c) Ta có NCA (cùng chắn ADC (so le MN // CD) ADC ABC AC ) Nên MNAC) NMA sđ ABC Do ABC sđ NCA AC NCA AC Suy CN tiếp tuyến đường tròn 2 (O) d) Gọi K giao điểm AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùng với AB) (đồng vị) AKB DCB DCB (cùng chắn cung BD) DAB 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 MAN (đối đỉnh) MAN MCN (cùng chắn MN ) DAB ECK KEC cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến Suy ra: EKC cắt nhau) nên EK = EA KBE có CI // KE Vậy CI BI IH BI ABE có IH // AE KE BE AE BE CI IH mà KE = AE nên IC = IH (đpcm) KE AE Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm O đường kính AC Đường tròn O cắt BC điểm thứ hai I a) Chứng minh AI BI CI b) Kẻ OM BC M , AM cắt O điểm thứ hai N Chứng minh AIM đồng dạng với CNM suy AM MN CM c) Từ I kẻ IH AC H Gọi K trung điểm IH Tiếp tuyến I O cắt AB P Chứng minh : ba điểm C , K , P thẳng hàng d) Chứng minh: OI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp IMN Lời giải a) Ta có AIC chắn nửa đường trịn O nên AIC 90 hay AI BC ABC vuông A có AI đường cao nên theo hệ thức cạnh đường cao ta có AI BI IC (đpcm) b) Xét AIM CNM có : 90 (do chắn nửa đường tròn O ) AIC ANC NMC ( hai góc đối đỉnh) IMA AIM ∽ CNM (g-g) AM IM CM NM 23 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 AM MN IM CM Mà O trung điểm AC, OM // AI nên M trung điểm IC, IM = CM AM MN CM c) Giả sử CK AB P Vì IH // AB CK IK CK HK KP ' BP ' KP ' AP ' Do KI KH mà K trung điểm IH P trung điểm AB BP ' AP ' (1) PI tiếp tuyến O PIA ACI , mà ACI BAI PAI API cân P PA PI PIA Mà tam giác ABI vuông I nên ta có PA PB PI P trung điểm AB (2) Từ (1) (2) P P hay C , K , P thẳng hàng OCI mà OCI INM d) Ta có : OIC INM OI tiếp tuyến đường tròn INM OIC Bài 6: Cho đường tròn O đường kính AB 10cm C điểm đường tròn (O) cho AC 8cm Vẽ CH AB H AB a) Chứng minh ABC vng Tính độ dài CH số đo BAC (làm trịn đến độ) 24 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Tiếp tuyến B C đường tròn O cắt D Chứng minh OD BC c) Tiếp tuyến A đường tròn O cắt BC E Chứng minh CE HB AH CB d) Gọi I trung điểm CH Tia BI cắt AE F Chứng minh FC tiếp tuyến đường tròn O Lời giải 900 Do ABC vng a) Góc ACB góc nội tiếp chắn đường trịn nên ACB Ta có AH AC 32 24 (cm) CH AC AH AB 5 Khi sin BAC CH BAC 37 AC b) Theo tích tiếp tuyến cắt ta có OD BC c) Tam giác BEA có CH // AE (vì vng góc với AB) BC BH CE AH BC AH BH CE d) sin COH CH 24 90 74 CDB 106 CFA 74 hay FCO COH OC 25 Bài 7: Cho đường trịn O; R đường kính AB điểm C thuộc đường trịn( C khác A B ) kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt tia BC D 25 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C cắt AD E a Chứng minh bốn điểm A, E, C, O thuộc đường tròn b Chứng minh BC.BD R OE song song với BD c Đương thẳng kẻ qua O vng góc với BC N cắt tia EC F Chứng minh BF tiếp tuyến đường tròn O; R d Gọi H hình chiếu C AB , M giao điểm AC OE Chứng minh điểm C di động đường tròn O; R thỏa mãn yêu cầu đề đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN qua điểm cố định Lời giải EAO 900 a.Vì EC EA tiếp tuyến O nên ECO Suy tứ giác ECOA nội tiếp đường trịn đường kính EO hay bốn điểm A, E, C, O thuộc đường tròn b Xét tam giác ADB vng A có AC đường cao BC.BD AB R R ( hệ thức lượng tam giác vng) c.Vì OF BC OF đường trung trực BC FBC FBC vuông F FCB OBF Mà OBC cân O OCF FBC OBC FCB OCB FCO 900 FB tiếp tuyến (O) Ta có: FBO d Vì M , N trung điểm CA, CB MN đường trung bình tam giác CAB HNM (1) MN đường trung trực CH CNH cân N CNM COM (2) Mà EC EA hai tiếp tuyến cắt đường tròn nên HOM MNC (3) Dễ thấy MCNO hình chữ nhật MOC HNM Từ (1),(2),(3) suy HOM Vậy tứ giác HONM nội tiếp hay đường trịn ngoại tiếp tam giác HMN ln qua điểm O cố định 26 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 8: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB R ABC với C điểm (O) Kẻ BI phân giác I thuộc (O) gọi E giao điểm AI BC a) ABE tam giác gì? Vì sao? b) Gọi K giao điểm AC BI Chứng minh EK AB C) Gọi F điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF tiếp tuyến (O) tứ giác AFEK hình thoi d) Khi điểm C di chuyển (O) E di chuyển đường nào? Lời giải a) Xét (O) , đường kính AB AIB 90o BI AI BI AE AIB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Ta có: Xét AEB có +) BI đường phân giác +) BI đường cao AEB cân B (dhnb) b) Xét (O) , đường kính AB Ta có: ACB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ACB 90o AC CB AC BE Xét AEB có AC BE ; BI AE ; AC BI K K trực tâm AEB EK AB c) Ta có F đối xứng với K qua I IF IK AI đường trung tuyến AFK 27 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lại có: AI đường cao AFK AFK cân A AFK AKF (tính chất) (1) AKF CKB (2 góc đối đỉnh) (2) Mà Lại có: CKB CBK 90o ( CKB vuông C ) CBK KBA ( BI phân giác) CKB KBA 90o (3) Từ giả thiết ta có: AFK KBA 90o Từ (1), (2), (3) Hay AFB KBA 90o FAB 90o (Tổng góc tam giác ) FA AB FA tiếp tuyến (O) Xét ABE có BI đường cao, đường phân giác ABE cân C BI trung tuyến (t/c tam giác cân) I trung điểm AE Mà I trung điểm KF Lại có : AE KF tứ giác AFEK hình thoi d) Ta có: ABE cân C BA BE 2R Khi C di chuyển (O) ta ln có BE R , E di chuyển ( B; BA) Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M điểm thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax C, cắt By D a Tính số đo góc COD b Chứng minh C D AC BD c Chứng minh AC.BD R ( R bán kính nửa đường trịn) Lời giải a) Ta có AOM + MOB 180 (kề bù) (1) 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Mà OC tia phân giác O1 O2 AOM AOM OD phân giác O3 O4 MOB MOB (2) (3) MOA MOB = 1800 Từ (1), (2), (3) COD = 900 Hay O O 900 CM AC b) Vì tiếp tuyến AC , BD CD cắt C D nên ta có: DM BD CM DM AC BD Suy CD CM DM AC BD c) Ta có: AC BD CM MD (4) 2 Xét COD vuông O OM CD nên CM MD OM R (5) Từ (4), (5) AC BD R Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A ( AB AC ) nội tiếp (O) có đường kính BC Kẻ dây AD vng góc với BC Gọi E giao điểm BD CA Qua E kẻ đường thẳng vng góc với BC , cắt BC H cắt AB F Chứng minh rằng: a) Tam giác EBF tam giác cân b) Tam giác FHA tam giác cân c) HA tiếp tuyến đường tròn (O) Lời giải a) Gọi AC BC I ID IA ( định lý) Xét ABD có: BI AD; ID IA (gt) ABD cân B Đường cao BI đồng thời đường phân giác ABD 29 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 B1 B2 Mà B1 B4 ; B2 B3 (cặp góc đối đỉnh) EBF nên B3 B4 BH tia phân giác Xét BEF có BH vừa đường cao, vừa đường phân giác BEF cân B b) Ta có BEF cân B nên đường cao BH đồng thời đường trung tuyến EH HF Xét AEF vng A có AH đường trung tuyến EH HF HA AHF cân H FAH HFA c) Ta có: AHF cân H Ta có AOB cân O (OA OB) OAB B1 B4 Lại có B4 HFA 90o ( HFB vuông H ) Mà OAH A1 OAB B4 HFA 900 HA AO Suy HA tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax , By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiêp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh: AC BD CD COD 90 b) Chứng minh: AB c) Chứng minh AC.BD d) Chứng minh OC // MB 30 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD f) Chứng minh MN vng góc với AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Xét (O) , ta có tiếp tuyến CM cắt tiếp tuyến Ax C nên ta có +) CA CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)(1) AOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OC tia phân giác góc Xét (O) , ta có tiếp tuyến DM cắt tiếp tuyến By D nên ta có +) DM DB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) (2) BOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) +) OD tia phân giác góc Từ (1) (2) suy ra: AC BD CM MD; AC BD CD AOM b) Ta có: +) OC tia phân giác góc AOC MOC => AOM (tính chất tia phân giác góc) Ta có: +) OD tia phân giác góc BOM BOD DOM => BOM (tính chất tia phân giác góc) Mà hai góc AOM BOM hai góc kề bù AOM BOM 180 Ta có: AOM BOM AOM BOM COD COM MOD 90 2 COD 90 nên COD vuông O OM CD c) Theo ta có Ta có: OM tiếp tuyến (O) OM CD 31 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét COD vng O có OM CD Áp dụng hệ thức lượng cạnh đường cao ta có: OM CM MD Lại có OM R; CA CM ; BD DM AB AC BD R AC BD d) Ta có: COD 90 OC OD (3) Lại có: BD DM (cmt) D thuộc đường trung trực DB OM OB R O thuộc đường trung trực BM Do OD thuộc đường trung trực BM MB OD (4) Từ (3) (4) OC // MB (vì vng góc với OD ) e) gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp COD đường kính CD có OI bán kính Ta có Ax, By tiếp tuyến A B O AC AB; BD AB AC // BD Vậy tứ giác ACDB hình thang Lại có: I trung điểm CD ; O trung điểm AB OI đường trung bình hình thang ACDB OI // AC , mà AC AB OI AB O AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD f) Theo ta có: AC // BD CN AC , mà CA CM ; DB DM BN BD CN CM MN // BD BN DM Mà BD AB MN AB g) Ta có chu vi tứ giác ACDB AB AC CD DB mà AC BD CD Chu vi tứ giác ACDB AB 2CD mà AB không đổi Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ nhất, mà CD nhỏ CD khoảng 32 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 cách Ax Bx Khi AB // CD M phải trung điểm cung AB Bài 12: Cho hai đường O O ' tiếp xúc A d tiếp tuyến chung đường trịn, CD tiếp tuyến chung ngồi O O ' (D O ' , C O ) cắt d M CAD a) Tính số đo b) OMO ' 900 c) CD tiếp tuyến dường tròn đường kính OO’ Lời giải a) Vì M giao điểm tiếp tuyến A B (O) MA = MC ( t/c tiếp cắt nhau) (1) Vì M giao điểm tiếp tuyến A C (O’) MA = MD ( t/c tiếp cắt nhau) (2) Từ (1) (2) MA MC MD CD (vì điểm D, M, C thẳng hàng) Xét ACD có MA MC MD CD (cmt) ACD vuông A Hay CAD 900 33 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 DMA 180 (kề bù) (3) b) Ta có: CMA + AOM AOM Mà OC tia phân giác M1 M2 DMA DMA OD phân giác M3 M4 OMO ' = Từ (3), (4) & (5) M M (4) (5) 1 MOA MOB = 180 o M2 M3 2 OMO ' = 90 o M2 M 90 o hay c) Gọi I tâm đường trịn đường kính OO ' IO = IO’ = OO' Xét OMO ' vuông M có: IO = IO’ = OO' (cmt) IM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OO ' IM OO ' M I ; OO ' (a) Xét tứ giác CDO’O có OC / / O’D ( CD) tứ giác CDO’O hình thang vuông OO' Mà: CD MC = MD = IO = IO' = IM đường trung bình hình thang vng CDO’O MI / / OC mà OC CD IM CD M (b) Từ (a) (b) CD tiếp tuyến đường tròn dường kính OO’ Bài 13: 34 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho O , từ điểm A O , kẻ tiếp tuyến d với O Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A ) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm MB ( B tiếp điểm) Kẻ AC MB , B D MA , gọi H giao điểm AC BD , I giao điểm OM AB a) Chứng minh A, M , B , O thuộc đường tròn b) Chứng minh điểm O , K , A, M , B nằm đường tròn c) Chứng minh OI OM R , OI IM IA d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh O , H , M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Lời giải a) Học sinh tự làm OKM 90o b) Vì K trung điểm NP nên OK NP (quan hệ đường kính dây cung) OAM 90o , OBM 90o Theo tính chất tiếp tuyến ta có o K , A, B nhìn OM góc 90 nên đường kính OM Vậy nên O , K , A, M , B nằm đường trịn c) Ta có MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA OB R OM trung trực AB OM AB I OAM 90o nên OAM vuông A có AI đường cao Theo tính chất tiếp tuyến ta có Áp dụng hệ thức cạnh đường cao 35 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 OI OM OA2 hay OI OM R2 OI IM IA2 d) Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến); AC MB (gt) OB ∥ AC hay OB ∥ AH OA MA (tính chất tiếp tuyến); BD MA (gt) OA∥ BD hay OA∥ BH Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA OB R OAHB hình thoi e) Theo OAHB hình thoi OH AB ; theo OM AB O , H , M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB ) f) Theo OAHB hình thoi AH AO R Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng cách R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa A bán kính AH R Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn A; AH Vẽ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D, E hai tiếp điểm khác H ) a) Chứng minh BD CE BC ba điểm A, D, E thẳng hàng b) Chứng minh BD.CE DE c) Đường trịn tâm M đường kính CH cắt đường tròn A; AH N ( N khác H ) Chứng minh CN song song với AM Lời giải a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, có BD BH , CE CH b) BD.CE BH CH AH DE c) HNC nội tiếp đường trịn đường trịn đường kính CH nên vng N HN NC Ta có AM đường trung trực HN nên AM HN Suy AM //CN (vì vng góc với HN ) 36 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 15: Cho O;15 , dây BC 24 cm Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A Kẻ OH vng góc với BC H a) Tính OH ; b) Chứng minh ba điểm O, H , A thẳng hàng ; c) Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC ; d) Gọi M giao điểm AB CO , gọi N giao điểm AC BO Tứ giác BCNM hình ? Chứng minh ? Lời giải a) Ta có BH HB 12 cm, OH cm , mà OA phân b) Tam giác OBC cân O có OH BC suy OH phân giác BOC nên O, H , A thẳng hàng giác BOC c) Tam giác OBA vuông B có BH đường cao nên 1 AB 20cm 2 BH OB AB2 NCB nên BCNM d) Tam giác MAN có O trực tâm nên AO MN suy MN //BC MBC hình thang cân Bài 16: Cho tam giác ABC có AB cm; AC cm; BC cm; AH vuông góc với BC ( H BC ) Đường trịn O qua A tiếp xúc với BC B Đường tròn I qua A tiếp xúc với BC C a) Tính BAC b) Tính AH c) Chứng minh rằng: O I tiếp xúc với 37 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 A d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: Tam giác IMO vuông OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Lời giải a) Ta có AB AC 32 42 25 BC BC AB AC Theo định lý đảo Py-ta-go Tam giác ABC vuông A Vậy BÂC= 900 b)Trong tam giác vuông ABC tacó: AH BC AB AC AH.5 = 3.4 AH = 2.4cm c) Ta có HÂC = CÂI (1) ÔB = HÂB (2) BÂH + HÂC = BÂC=900 (3) Lại có A, O, I thẳng hàng OA AI OI , O I tiếp xúc với A d) Chứng minh MI đường phân giác AMC MO đường phân giác AMB Mà AMB AMC 180 (hai góc kề bù ) OMI 90 Vậy tam giác OMI vng M Ta có MA MB MC BC nên M tâm đường trịn đường kính BC Chứng minh được: MAC MCA ; IAC ICA Mà MCA ACI 90 (tiếp tuyến vng góc bán kính) MAC CAI MAI 90 MA IA Vậy OI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài 17: Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB M cắt AC N Gọi H giao điểm BN CM 1) Chứng minh AH BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME 38 A = M E N = K _ _H B O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 tiếp tuyến đường tròn O 3) Chứng minh MN OE 2.ME.MO 4) Giả sử AH BC Tính tan BAC Lời giải 1) Ta có ΔBMC ΔBNC nội tiếp đường trịn O đường kính BC BNC 90 Do đó: BN AC , CM AB , Suy BMC Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt H Do H trực tâm tam giác Vậy AH BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn O OB = OM (bk đường tròn O ) ΔBOM cân O OBM (1) Do đó: OMB ΔAMH vng M , E trung điểm AH nên AE = HE = AH Vậy ΔAME cân E MAE (2) Do đó: AME AME MBO MAH mà MBO MAH 90 (vì AH BC ) Từ (1) (2) suy ra: OMB AME 90 Do EMO 90 Vậy ME tiếp tuyến đường tròn O nên OMB 3) Ta có OM ON ME EN nên OE đường trung trực MN Do OE MN K MK MN ΔEMO vuông M , MK OE nên ME.MO MK OE MN OE Suy ra: MN OE 2.ME.MO NAH (cùng phụ góc ACB ) 4) Ta có ΔBNC ΔANH vng N có BC AH NBC ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn) BN AN = ΔANB vuông N tan NAB BN 1 Do tan BAC AN Bài 18: 39 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho đường tròn tâm O; R đường kính AB điểm M đường tròn cho 60 Kẻ dây MN vng góc với AB MAN H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn B; BM M A Chứng minh MN AH BH Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn O E , tia MB 60 B H O N F E cắt B F Chứng minh ba điểm N , E , F thẳng hàng Lời giải Ta có AMB nội tiếp đường trịn O có AB đường kính nên AMB vng M Điểm M B; BM , AM MB nên AM tiếp tuyến đường tròn B; BM Chứng minh tương tự ta AN tiếp tuyến đường tròn B; BM Ta có: AB MN H MN NH = MN (1) (tính chất đường kính dây cung) AMB vuông B , MH AB nên MH AH BH (hệ thức lượng tam giác vuông) MN hay AH BH MN AH HB (đpcm) 3) Từ (1) suy AB là đường trung trực MN nên BM BN NMB 60 (cùng phụ với góc MBA ), suy tam giác BMN MAB Tam giác OAM có OM OA R MAO = 600 nên tam giác MH AO nên HA HO = OA OB = 2 Tam giác MBN có BH đường trung tuyến (vì HM HN ) OH = tâm tam giác OB nên O trọng 4) MNE nội tiếp đường tròn O đường kính AB nên vmg N MN EN 40 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 MNF nội tiếp đường tròn B đường kính MF nên vmg N MN FN Do ba điểm N , E , F thẳng hàng Bài 19: Cho tam giác ABC vuông C , đường cao CH , O trung điểm AB Đường thẳng vng góc với CO C cắt AB D cắt tiếp tuyến Ax, By đường tròn O; OC E , F a) Chứng minh CH AH AH CO b) Chứng minh EF tiếp tuyến O; OC F C E D A từ suy AE BF EF c) Khi AC AB R , tính diện tích tam giác BDF theo R Lời giải a) Trong tam giác vuông ACH : AC AH HC Trong tam gi ác vuông ACB : AC AH AB mà AB 2.CO (t/c trung tuyến tam giác vuông) 2 CH AH AH CO b) Ta có DE tiếp tuyến nên EA EC ; FB FC ; EA FB FE c) sin B1 300 600 B B tam giác BCF Giải tam giác vuông ABC , BDF BC BF R , BD 3R SBDE = R (đvdt) 41 H O B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 20: Cho O , đường kính AB R hai tia tiếp tuyến Ax, By Lấy điểm C tuỳ ý cung AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By D E a) Chứng minh: DE AD BF b) Chứng minh: OD đường trung trực đoạn thẳng AC OD //BC c) Gọi I trung điểm đoạn thẳng DE , vẽ đường trịn tâm I bán kính ID Chứng minh rằng: Đường tròn I ; ID tiếp xúc với đường thẳng AB d) Gọi K giao điểm AE BD Chứng minh rằng: CK vng góc với AB H K trung điểm đoạn CH Lời giải a) Ta có EB EC ; DA DC mà DE EC DE Suy DE AD BF b) Ta có OA OC ; DA DC Suy OD đường trung trực đoạn thẳng AC OD AC Mà ACB vuông C AC CB Do OD //BC c) Ta cứng minh đươc IO đường trung bình hình thang vng ABED Suy IO//EB //AD mà AD AB (gt) IO AB Ta lại có IO (1) AD BE DE bk I O I IO 2 Từ (1), (2) AB tiếp tuyến I O d) Ta có AD//BE AD DK mà EB EC ; DA DC BE KB 42 (2) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Suy Zalo: 0382254027 DC DK KC //EB mà EB AB Do CK AB EC KB Kéo dài BC cắt AD N Ta có AD DN DC Mặt khác KH KC BK , KH // AD, KC // DN Suy KH KC DA DN BD 43