Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Chuyên đề: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN A Kiến thức cần nhớ Tiếp tuyến đường tròn a) Định nghĩa: Tiếp tuyến đường trịn đường thẳng có điểm chung với đường trịn b) Tính chất: d tiếp tuyến A ( O; R ) ⇒ d ⊥ OA, OA = R O A d c) Dấu hiệu nhận biết: Ta có d ⊥ OA, OA = R ⇒ d tiếp tuyến A ( O; R ) O A d 2) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: B A O C Xét (O; R) có AB AC hai tiếp tuyến B C  AO tia phân giác BAC  (tính chất hai tiếp ⇒ AB = AC ; OA tia phân giác BOC tuyến cắt nhau) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 B Các dạng tốn Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, chứng minh quan hệ hình học (hai góc nhau, hai đoạn thẳng nhau, song song, ) Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN = R Kẻ tiếp tuyến Nx N Gọi K điểm thuộc Nx , MK cắt nửa đường tròn tâm O I Tính MI MK theo R x I O M K N Lời giải ( O; R ) có đường kính MN (gt) mà I ∈ ( O; R ) (gt) = ⇒ MIN 900 (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam Xét giác tam giác vng) ⇒ NI ⊥ MK ( I ∈ MK ) Ta có tiếp tuyến Nx N ⇒ NK ⊥ MN (O ∈ MN , K ∈ Nx) Xét ∆NMK vuông N (do NK ⊥ MN ) mà NI ⊥ MK (cmt) ⇒ MN = MI MK (hệ thức lượng) hay MI MK = R Bài 2: Cho ( O; R ) bán kính AO = R , dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với ( O; R ) B , cắt đường B O thẳng OA E Tính độ dài BE theo R c) Chứng minh: BA ⊥ EC M C Lời giải A E GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 MC (định lí quan hệ …) a) Xét ( O; R ) có: BC ⊥ OA M (gt) ⇒ MB = mà MO = MA ( gt ) ; BC ∩ AO = {M } ⇒ Tứ giác OCAB hình thoi b) Xét ( O; R ) có BE tiếp tuyến B (gt) ⇒ BE ⊥ OB (t / c) = ⇒ OBE 900 Vì BO = BA (do hình thoi OCAB ) mà BO = OA = R ( gt ) ⇒ BO =BA =OA = 600 ⇒ ∆BOA ⇒ BOA  = 900 (cmt) Xét ∆BOE có OBE  =tan 600 =BE ⇒ tan BOA OB ⇒= BE R tan = 600 R c) Ta có BO //CA (do hình thoi OCAB ) mà BE ⊥ OA (cmt); CA ⊥ BE (t/c) Xét ∆BCE có: CA ⊥ BE (cmt ) ; EM ⊥ BC ( gt ) ; CA ∩ EM = { A} ⇒ A trực tâm ∆BCE hay BA ⊥ EC Bài 3: Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O) , vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc  AMB = 600 Biết chu vi tam giác MAB 18cm , tính độ dài dây AB A M O B Lời giải + Vì MA MB hai tiếp tuyến A B (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ ∆MAB cân M mà  AMB = 600 = MB = AB ⇒ ∆MAB tam giác đều, MA 18 Mặt khác, chu vi ∆MAB 18cm , nên MA + MB + AB = ⇔ AB = 18 ⇔ AB = 6(cm) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 4: Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AC  = 600 AB Chứng minh BAC OA = R C A O B Lời giải  (tính chất + Vì AC AB hai tiếp tuyến C B (O) nên AO phân giác BAC hai tiếp tuyến cắt nhau) + OC ⊥ AC C ( AC tiếp tuyến C (O) ) R   = OC mà OA = R ⇒ sin OAC ⇒ ∆AOC vuông C ⇒ sin OAC = = 2R OA  = 300 ⇒ BAC  = 600 ( AB phân giác BAC ) ⇒ OAC + Ngược lại:  (tính chất hai tiếp Vì AC hai tiếp tuyến C B (O) nên AO phân giác BAC  = 600 ⇒ OAC  = 300 tuyến cắt nhau) mà BAC + OC ⊥ AC C ( AC tiếp tuyến AC (O) )  = OC ⇒ ∆AOC vuông C ⇒ sin OAC OA R ⇒ sin 300 = ⇒ OA = R OA Bài 5: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường trịn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với BC ; b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD AO song song c) Tính độ dài cạnh ∆ABC biết OB = 2cm , AO = 4cm C A O B D Lời giải a) = OC ⇒ O nằm đường trung trực BC + Vì B C thuộc (O) nên OB + Vì AB AC hai tiếp tuyến B C (O) nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ A thuộc đường trung trực BC Suy đường thẳng AO đường trung trực BC ⇒ AO ⊥ BC b) = OC = OD (Vì B C , D thuộc (O) ) nên OB = DC O trung điểm CD + Ta có OB + Xét ∆BDC có OB = DC mà BO đường trung tuyến ứng với cạnh DC  =° Suy ∆BDC vuông D ⇒ DBC 90 ⇒ DB ⊥ BC mà AO ⊥ BC , suy BD song song với AO c) Tính độ dài cạnh ∆ABC biết OB = 2cm , AO = 4cm  (tính + Vì AC AB hai tiếp tuyến C B (O) nên AB = AC phân giác BAC chất hai tiếp tuyến cắt nhau) + OB ⊥ AB B ( AB tiếp tuyến B (O) ) ⇒ ∆AOB vuông B ⇒ OB + AB = OA2 (định lý Pytago) 42 ⇒ 22 + AB = ⇒ AB = 12 ⇒ AB = ⇒ AB = (cm) mà BA = AC (cmt ) ⇒ AC = (cm) OB OA  = ==⇒ BAO = + Ta có ∆ABO vng B : sin BAO 300  =° ⇒ BAC 60 mà BA = AC (cmt ) ⇒ ∆ABC ⇒ BC = AB = (cm) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 6: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa mặt phẳng bờ M AB chứa nửa đường tròn Trên Ax By x y = 90° theo thứ tự lấy M N cho MON I Gọi I trung điểm MN Chứng minh rằng: a) AB tiếp tuyến đường tròn ( I ; IO ) A H O b) MO tia phân giác góc MAN c) MN tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Lời giải N B a) Tứ giác ABNM có AM //BN (vì vng góc với AB ) ⇒ Tứ giác ABNM hình thang Hình thang ABNM có: = OA OB = ; IM IN nên IO đường trung bình hình thang ABNM Do đó: IO // AM // BN Mặt khác: AM ⊥ AB suy IO ⊥ AB O Vậy AB tiếp tuyến đường tròn ( I ; IO )  ( 1) b Ta có: IO // AM ⇒  AMO = MOI Lại có: I trung điểm MN ∆MON vuông O (gt) nên ∆MIO cân I  = MOI  (2) Hay OMN  Vây MO tia phân giác AMN Từ (1) (2) suy ra:  AMO = OMN c Kẻ OH ⊥ MN ( H ∈ MN ) (3)  = OHM = 90° Xét ∆OAM ∆OHM có: OAM   (chứng minh trên) AMO = OMN MO cạnh chung ∆OHM (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ∆OAM = AB Do OH = OA ⇒ OH bán kính đường tròn  O;  (4)   AB Từ (3) (4) suy ra: MN tiếp tuyến đường tròn  O;    GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 7: Cho đường trịn ( O ) đường kính AB , E thuộc đoạn AO ( E khác A, O AE > EO ) Gọi H trung điểm AE , kẻ dây CD vng góc với AE H C I A a) Tính góc ACB ; H E O B O' b) Tứ giác ACED hình gì, chứng minh? c) Gọi I giao điểm DE BC Chứng minh HI tiếp tuyến đường trịn đường kính EB Lời giải D a) Chỉ tam giác ACB nội tiếp (O) nhận AB đường kính nên tam giác ACB vng C ⇒ góc ACB = 900 b) Chứng minh tứ giác ACDE hình bình hành Chỉ hình bình hành ACDE hình thoi c) Chứng minh I thuộc đường trịn tâm O ' đường kính EB Chứng minh HI ⊥ IO ' I Bài 8: Cho đường trịn ( O ) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến ( O ) ( Ax, By nửa C H mặt phẳng bờ đường thẳng AB ) Trên Ax lấy điểm C , By lấy điểm D cho D = 90° Chứng minh rằng: CD tiếp xúc COD A với đường tròn ( O ) Lời giải Vẽ OH ⊥ CD ( H ∈ CD ) Ta chứng minh OH= R= OB Tia CO cắt tia đối tia By E O B E GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 ∆OBF ( g.c.g ) ⇒ OC = OE Ta có: ∆OAC = Tam giác DEC có DO vừa đường cao vừa trung tuyến nên tam giác cân Khi DO đường phân giác OH ⊥ DC , OB ⊥ DE ⇒ OH = OB OB R ⇒ CD tiếp xúc với ( O ) H Ta có OH ⊥ CD, OH == Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D , đường trịn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung ( I ) ( J ) A D B E O I H J C Lời giải Để chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn tâm I đường kính BH ta chứng minh DOE= 90° ID ⊥ DE hay  = CEH = 90° Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: BDH ⇒ tứ giác ADHE hình chữ nhật = OH = OE = OA Gọi O giao điểm AH DE , ta có OD ⇒ ∆ODH cân O ⇔∠ODH = ∠OHD Ta có ∆IDH cân I ⇔∠IDH = ∠IHO = 90° ⇔ ID ⊥ DE  + OHD =  + IHA = Ta có: IDH IHD 90° ⇔ IDO Ta có ID ⊥ DE , D ∈ ( I ) ⇒ DE tiếp xúc với ( I ) D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp xúc với ( J ) E Bài 10: GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID , IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE A D O E B H F I C Lời giải Gọi O trung điểm AH AH Tam giác ADH vuông D có DO trung tuyến nên ta có: DO = = OA = OH AH Tam giác AHE vng E có EO trung tuyến nên ta có: EO = = OA = OH = OD = OE , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE ⇒ OA ODA =  OAD (1) Tam giác OAD cân O ) ⇒  BC ∆BDC vng D có DI trung tuyến ⇒ = DI = IC ⇒ tam giác ICD cân I, IDC =  DIC (2) ⇒ H giao điểm hai đường cao BD CE ⇒ H trực tâm ∆ABC ⇒ AH ⊥ BC F  + ICD = Khi OAD 90° (2)  + IDC =  + ICD = OAD 90° Từ (1) , (2) (3) ta có ODA Ta có OD ⊥ DI , D ∈ ( O ) ⇒ ID tiếp xúc với (O) D Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với ( O ) E Bài 11: Cho đường trịn ( O; R ) đường kính AB Một điểm M nằm đường tròn ( M khác A, B ) Gọi N điểm đối xứng điểm A qua điểm M Gọi E giao điểm đường thẳng BM với tiếp tuyến A đường tròn ( O ) GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 a) Nếu biết góc ABE 60° R = cm Hãy tìm độ dài cảu đoạn thẳng EA EB b) Chứng minh EN ⊥ NB c) Chứng minh EN tiếp tuyến đường tròn ( B; R ) Lời giải a) Tính độ dài EA, EB Xét ∆EAB vng: + Tính EB =12cm + Tính EA = cm b) Chứng minh EN ⊥ NB ∆EAB ⇒ EN ⊥ NB + Ta có ∆ENB = c) Chứng minh EN tiếp tuyến đường tròn ( B; R ) Ta có + AB = NB + EN ⊥ NB + BN bán kính đường tròn ( B; R ) Bài 12: Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB M cắt AC N Gọi H giao điểm BN CM A = M 1) Chứng minh AH ⊥ BC N = K _ _H 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn ( O ) B 3) Chứng minh MN OE = 2.ME.MO BAC 4) Giả sử AH = BC Tính tan E Lời giải 1) Chứng minh AH ⊥ BC ΔBMC ΔBNC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC 10 O C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027   Suy BMC = BNC = 900 Do đó: BN ⊥ AC , CM ⊥ AB , Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt H Do H trực tâm tam giác Vậy AH ⊥ BC 2) Gọi E trung điểm AH Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) OB = OM (bán kính đường trịn (O)) ⇒ ΔBOM cân M  = OBM  (1) Do đó: OMB ΔAMH vng M , E trung điểm AH nên AE = HE = AH Vậy ΔAME cân E  (2) AME = MAE Do đó:  +  + MAH =  + MAH  Mà MBO Từ (1) (2) suy ra: OMB 900 (vì AH ⊥ BC ) AME = MBO +  = 900 Vậy ME tiếp tuyến đường tròn (O) nên OMB AME = 900 Do EMO 3) Chứng minh MN OE = 2.ME.MO OM = ON EM = EN nên OE đường trung trực MN Do OE ⊥ MN K MK = MN ΔEMO vuông M , MK ⊥ OE nên ME.MO = MK OE = MN OE Suy MN OE = 2.ME.MO  4) Giả sử AH = BC Tính tan BAC  (cùng phụ góc ACB )  = NAH ΔBNC ΔANH vuông N có BC = AH NBC ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ BN = AN BN BN NAB = = ⇒ tan NAB = BAC = ΔANB vuông N ⇒ tan  = Do tan AN AN Bài 13: 11 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường trịn ( O; R ) điểm A nằm bên C đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Gọi E giao điểm BC OA O Q E a) Chứng minh: BE vng góc với OA b) Chứng minh: OE.OA = R A c) Trên cung nhỏ BC đường tròn ( O; R ) K P B lấy điểm K ( K khác B, C ) Tiếp tuyến K đường tròn ( O; R ) cắt AB, AC theo thứ tự P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC Lời giải = OC = R Mặt khác: OB ⇒ OA trung trực BC ⇒ OA ⊥ BE b) Xét ∆OAB vuông B , đường cao BE , ta có: OE.= OA OB = R (theo hệ thức lượng tam giác vng) c) Ta có PB, PK tiếp tuyến kẻ từ P đến ( O ) nên PB = PK (t/c tiếp tuyến cắt nhau) QK , QC tiếp tuyến kẻ từ Q đến ( O ) nên QK = QC (t/c tiếp tuyến cắt nhau) Cộng vế ta có: PK + KQ = PB + QC ⇔ AP + PK + KQ + AQ = AP + PB + QC + QA ⇔ AP + PQ + QA = AB + AC ⇔ Chu vi ∆APQ =AB + AC không đổi Dạng 2: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Bài 1: 12 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm Vẽ đường tròn ( B; BA ) Chứng minh AC tiếp tuyến ( B; BA) B A C Lời giải Vì < < 10 ⇒ AB < AC < BC Xét ABC có AB + AC = 62 + 82 = 100 2 BC= 10 = 100 ⇒ AB + AC = BC ( = 100 ) ⇒ BAC =° 90 ( định lí pytago đảo.) ⇒ AB ⊥ AC mà A ∈ ( B; BA ) (gt) Vậy AC tiếp tuyến ( B; BA) (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) Bài 2: Cho ∆ABC cân A có hai đường cao AH ; BK cắt I Chứng minh: a) Đường trịn đường kính AI qua K b) HK tiếp tuyến đường tròn đường kính AI A O K I B Lời giải 13 H C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 a) Ta có BK ⊥ AC ( gt ); I ∈ BK ⇒  AKI = 900 Gọi O trung điểm AI ⇒ OK =OA =OI =  AI  ⇒ K ∈  O;    AI (đường trung tuyến tam giác vuông) Vậy đường trịn đường kính AI qua K b) Ta có ∆ABC cân A (gt) mà AH đường cao (gt) ⇒ AH đường trung tuyến ∆ABC ⇒ BH = HC Vì ∆BCK vng K (do BK ⊥ AC ) Mà KH đường trung tuyến ∆CBK (BH = HC ) BC BC = HC = HB = ⇒ KH = (định lí) nên KH 2 =  (1) HCK Ta có KH = HC (cmt ) ⇒ ∆KHC cân H ⇒ HKC  Ta có OK = OA =   AI   KAO  (2)  (cmt ) ⇒ ∆OKA cân O ⇒ AKO =   + HCA = 900 (3) (do  AHC = 900 ) Mà OAK  + CKH =  + OKH  + CKH = 900 mà OKA 1800 Từ (1);(2);(3) ⇒ OKA  = 900 ⇒ OK ⊥ OH mà K ∈  O; AI  (cmt ) ⇒ OKH     ⇒ HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI Bài 3: Cho ∆ABC vng A có đường cao AH Lấy B D đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn tâm O đường kính CD cắt AC E Chứng minh HE tiếp tuyến ( O ) A Lời giải Ta có E thuộc (O; DC ) mà đường kính CD 14 H D O F E C GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 = ⇒ DEC 900 ⇒ HF //AE (⊥ AC ) ⇒ AEDB hình thang Lấy F trung điểm AE mà H trung điểm BD (đối xứng) ⇒ HF đường trung bình hình thang AEDB ⇒ HF //AE Mà AB ⊥ AE (gt) ⇒ HF ⊥ AE =  (1) HAE Mà F trung điểm AE ⇒ ∆AHE cân H ⇒ HEA =  (2) CEO Ta có OE = OC = R ⇒ ∆ECO cân O ⇒ CEO  + HCA = 900 (3) (do  AHC = 900 ) Mà HAE  + CEO = 900 Từ (1);(2);(3) ⇒ HEA = ⇒ HEO 900 ⇒ HE ⊥ EO Mà E thuộc (O; DC ) Vậy HE tiếp tuyến ( O ) Bài 4: Cho đường trịn ( O ) , đường kính AB , điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng N C với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM , F đối xứng với E qua M a) Chứng minh: FA tiếp tuyến ( O ) M F E B O A b) Chứng minh: FN tiếp tuyến đường tròn ( B; BA) Lời giải a) Có đường trịn ( O ) , đường kính AB (gt) mà M , C ∈ ( O ) (gt)   ⇒ BMA = 900 , BCA = 900 (định lí tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng) ⇒ BM ⊥ AM , AC ⊥ CB Mà M ∈ AN , C ∈ BN ⇒ BM ⊥ AN , AC ⊥ BN Vì BM ∩ AC = {E} ⇒ E trực tâm ∆ABN ⇒ NE ⊥ AB Xét tứ giác AENF có EF ∩ AN = {M } = EM MF = , MA MN ( gt ) 15 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 FE ⊥ AN ( BM ⊥ AN ) ⇒ AENF hình thoi ⇒ FA//NE mà NE ⊥ AB (cmt ) ⇒ FA ⊥ AB ⇒ FA ⊥ OA mà BO = R( gt ) ⇒ FA tiếp tuyến ( O )  (t/c) b) Vì AENF hình thoi ( cmt) ⇒ FN = FA, FE tia phân giác NFA Chứng minh ∆FAB =∆FNB (c − g − c)   mà BAO  = 900 (cmt ) ⇒ BNF  = 900 ⇒ NF ⊥ BN ⇒= AB NB ; BAF = BNF Mà AB = NB (cmt) ⇒ FN tiếp tuyến đường tròn ( B; BA) Bài 5: Cho đường kính AB Vẽ dây AC cho góc  = 300 Trên tia đối tia BA lấy điểm M BAC cho BM = R Chứng minh: a) MC tiếp tuyến ( O ) A b) MC = 3R C O B Lời giải a/ Xét ∆ACO có OA = OC = R ( gt ) ⇒ ∆ACO cân O  =1800 − 2.CAO  =1800 − 2.300 =1200  ⇒ COA ⇒ COA  = 1800 − 1200 = 600 (kề bù với COA ) ⇒ COB Mà ∆BCO có OB = OC = R ( gt )  = 600 ⇒ ∆BCO ⇒ tam giác ∆BCO cân O COB ⇒ BC = BO = R OM Do BO = BM = R, B ∈ OM ⇒ BO = nên CB = MO (1) Mà CB đường trung tuyến ∆COM (2) (do BO = BM = R, B ∈ OM ) Từ (1; 2) ⇒ ∆CMO vuông C ⇒ CO ⊥ CM mà C ∈ ( O; R ) ( gt ) ⇒ MC tiếp tuyến ( O ) b) Xét ∆CMO vuông C ⇒ CO + CM = MO (đl Py-ta- go) ⇒ CM = MO − CO = 3R 16 M GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB = R M điểm tuỳ ý đường tròn ( M ≠ A, B ) Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn ( Ax, By nửa đường tròn nằm nửa mặt phẳng bờ AB ) Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt Ax By C D = AC + BD tam giác a) Chứng minh: CD COD vuông O b) Chứng minh: AC.BD = R c) Cho biết AM = R Tính theo R diện tích ∆BDM c) AD cắt BC N Chứng minh MN //AC Lời giải a) CA = CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) DB = DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ CD =CM + MD = AC + BD OC tia phân giác góc AOM OD tia phân giác góc BOM = 90° Mà góc AOM góc BOM hai góc kề bù nên COD Vậy tam giác COD vng O b).Tam giác COD vng O có OM ⊥ CD ⇒ OM = CM MD suy AC.BD = R c)Tam giác BMD nên SBMD = 3R đvdt d) Chứng minh MN song song với AC Ta-let đảo Bài 7: 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Cho đường trịn ( O ) , đường kính AB dây E cung CD vng góc với AB ( AC < CB ) Hai tia BC DA cắt E Gọi H chân đường vng góc hạ từ E tới đường thẳng AB a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn b) Gọi F giao điểm hai tia EH CA , chứng minh HC = HF c) Chứng minh HC tiếp tuyến đường tròn ( O ) C H A O D F Lời giải a) = 90° ⇒ ECA = 90° ∆ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên C = 90° AB ⊥ EH (gt) ⇒ EHA  + EHA = 90° + 90°= 180° Nên ECA Suy tứ giác AHEC nội tiếp đường trịn đường kính AE b) Ta có ∆ACD cân A ⇒  ACD =  ADC Ta có EF //CD ( EF ⊥ AB , CD ⊥ AB )  =  AFE =  ⇒ FEA ADC (so le trong) ADC (So le trong)   (Hai góc nội tiếp chắn cung AH )  = FEA mà HCA AFE =  Do  ACH ⇒ ∆CHF cân H ⇒ HC = HF c)  = OCB  (do ∆COB cân O ) Ta có : OBC   (hai góc nội tiếp chắn cung AC ) ⇒   ADC = OBC ADC = OCB  Mà  ACH =  ADC nên  ACH = OCB  +  Suy  ACH +  ACO = OCB ACO = 90° Vậy HC tiếp tuyến đường trịn ( O ) 18 B GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB AC I K Chứng minh: 1) Tứ giác AIHK hình chữ nhật 2) IK = HB.HC 3) Tứ giác BIKC nội tiếp 3) IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp B tam giác HKC A K O I H M C Lời giải AKH góc nội tiếp chắn nửa đường trịn AIH ,  1) Ta có  Suy  AKH= 90° AIH= 90° ,  = 90° (tam giác ABC vuông A ) IAK Vậy tứ giác AIHK hình chữ nhật 2) Trong tam giác vng ABC A có AH vng góc BC nên AH = HB.HC (hệ thức lượng tam giác vuông) Mà AH = IK (hai đường chéo hình chữ nhật) Vậy IK = HB.HC  ) = sđ   góc có đỉnh bên ngồi đường trịn ( O ) ) AK ( C AIH – sđ KH 3) Có C = (sđ  2  AIK = sđ  AK (  AIK góc nội tiếp ( O ) chắn cung AK ) AIK Suy C =  Vậy tứ giác BIKC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) 4) Tam giác HKC vuông K nên tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm HC  = C  Nên MK = MC ⇒ Tam giác MKC cân M ⇒ MKC  (cmt) AIK = C Ta có   (so le AI song song HK)  =  AIK mà  AIK = IKH Suy MKC   = IKH Suy MKC  + MKC  + IKH = 90° nên HKM = 90° Mặt khác HKM 19 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 ⇒ MK ⊥ IK Vậy IK tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HKC Bài 9: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng ( d ) không D d A qua tâm O , cắt ( O ) B C ( B nằm M A C ) Các tiếp tuyến với đường tròn ( O ) B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với AO, DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC a) Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh OH OA = OI OD c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn ( O ) C Lời giải a) Sử dụng tổng hai góc đối 180° b) Ta có: OB=OC=R; DC=DB (t/c hai tt cắt ) suy OD đường trung trực BC OD⊥BC Xét ∆OHD ∆OIA có  = I= 900 AOD chung ; H Xét ∆OHD ~ ∆OIA nên OH.OA=OI.OD c) ∆ODC vng C có CI đường cao OC2 = OI.OD (*) Mà OC=OM=R Từ (*), (b): OM2 = OH.OA ⇒ OM OA = OH OM OM OA Xét ∆OHM ∆OMA có :  AOM chung = OH ∆OHM ᔕ ∆OMA (c-g-c)  = OHM = 90° OMA 20 OM B I H O GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Suy AM vng góc với OM M AM tiếp tuyến đường tròn ( O ) Bài 10: Cho đường tròn ( O, r ) đường kính AB dây E cung CD vng góc với AB ( AC < CB ) Hai tia BC DA cắt E Gọi H chân đường vng góc hạ từ E tới đường thẳng AB H a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn b) Gọi F giao điểm hai tia EH CA F , chứng minh HC = HF c) Chứng minh HC ⊥ OC Lời giải C I O A B D a) ∆ACB nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB nên vng C Suy tứ giác AHEC có  AHE =  ACE = 1v nên nội tiếp đường trịn đường kính AE Tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHEC trung điểm AE, bán kính R = AE b) Vì AB ⊥ CD nên AC=AD  ACD = ADC ⇒ ∆CAD cân A ⇒  Mà CD / / EF (vì CD ⊥ AB, EF ⊥ AB ) nên:  ACD =  AFE (so le trong)  ADC =  AEF (so le trong) AH đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC) Lại có:  AEF =  ACH (cùng chắn cung  HF (đpcm) Do đó:  AFE =  ACH ⇒ ∆CHF cân H ⇒ HC = c) Trong chứng minh câu b, ta có  ACH =  ADC  = OCB  (do OB=OC), Lại do: OBC 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 = AC ) OBC ADC (cùng chắn cung   ⇒ + Nên:  ACH +  ACO = OCB ACO =° 90 ⇒ HC ⊥ CO ACH = OCB Bài 11: Cho tam giác ABC cân A ,các đường cao AD BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE a) Chứng minh: DE = BC A O b) Chứng minh DE tiếp tuyến (O ) E c) Chứng minh: BD.DC = AD.DH d) Tính độ dài DE biết DH = cm , AH = 5cm H B D C Lời giải a) Ta có ∆ BEC vng E (do BE đường cao),có ED trung tuyến (vì AD đường cao ∆ ABC cân A) ⇒ DE = BC b) ∆ AHE vuông E nên OA=OH=OE  = DEH  DBH (vì ∆ DBE có DB =ED = BC)   AHE = BHD (đối đỉnh)   (vì OE=OH) AHE = OEH  + BHD  =°  + OEH  =° Mà DBH 90 nên DEH 90 ⇒ DE ⊥ OE ⇒ DE tiếp tuyến ( O ) c) ∆ BDH đồng dạng với ∆ ADC (g-g) ⇒ BD DH ⇒ BD.DC = AD.DH = AD DC d) Ta có BD.DC = AD.DH =(AH+HD).DH=(5+4).4=36 Mà DE=DB=DC nên DE= 36 = (cm) 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ZALO:0382254027 Bài 12: Từ điểm ngồi đường trịn ( O ) kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( O ) ( B tiếp B I điểm) Gọi I trung điểm đoạn AB , kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn ( O ) ( M tiếp O A điểm) a) Chứng minh rằng: Tam giác ABM tam giác vuông b) Vẽ đường kính BC đường trịn ( O ) M C Chứng minh ba điểm A, M , C thẳng hàng c) Biết AB = cm; AC = 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng AM Lời giải a) Theo giả thiết IM , IB tiếp tuyến đường tròn ( O ) ⇒ IM = IB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà IA = IB (gt) suy MI = AB Vậy tam giác ABM vuông M = OB = OC ( Bán kính đường trịn ( O ) ) ⇒ MO = BC b) Trong tam giác BMC ta có OM ⇒ tam giác BMC vng M = 90° + 90°= 180° Ta có  AMB + BMC Vậy  AMC = 180° nên ba điểm A, M , C thẳng hàng c) Ta có AB tiếp tuyến đường tròn ( O ) ) ⇒ AB ⊥ OB (t/c tiếp tuyến) Trong tam giác ABC vng B ta có BM ⊥ AC ⇒ AB = AM AC ( Hệ thức lượng tam giác vuông) ⇒ AM = AB Thay số AM = 6, AC 23