Hh9 cđ2 điểm thuộc đường tròn 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chuyên đề: CHỨNG MINH HỆ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu ( O; R ) , hình gồm điểm cách O khoảng R + Nếu A nằm đường trịn ( O; R ) OA = R O R A + Nếu A nằm đường tròn ( O; R ) OA < R + Nếu A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) OA > R Định lí xác định đường trịn A Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Tâm O đường tròn qua ba điểm A; B; C giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC O Phương pháp chứng minh nhiều điểm nằm đường B C tròn: Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta chứng minh điểm cách điểm ABC= 90° B thuộc đường trịn đường kính AC ” Cách 2: Sử dụng kết “Nếu  Chú ý: Từ kết “Ba điểm không thẳng hàng A; B; C xác định đường tròn qua ba điểm đó”, khai thác thêm sau: Nếu điểm A; B; C ; D thuộc đường tròn ( O ) A; B; C ; E thuộc đường trịn ( O1 ) ( O ) ≡ ( O1 ) , hay nói cách khác ” Năm điểm A; B; C ; D; E thuộc đường tròn ” Mở rộng “Nếu ta có A; B; C ; D thuộc đường tròn ( O1 ) A; B; C ; E thuộc đường tròn ( O2 ) A; B; C ; F thuộc đường trịn ( O3 ) ( O1 ) ≡ ( O2 ) ≡ ( O3 ) ≡ ( O ) ( O ) đường tròn ngoại tiếp ∆ABC B CÁC DẠNG BÀI TOÁN Dạng 1: Chứng minh điểm nằm đường tròn I Phương pháp: - Để chứng minh điểm nằm đường tròn: Chứng minh tứ giác tạo điểm nội tiếp đường trịn - Thơng thường ta dùng cách để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn: + Chứng minh tổng góc đối tứ giác = 180° + Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh cịn lại góc khơng đổi II Bài tập mẫu GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 1: Từ điểm M bên ngồi đường trịn ( O ) , kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( O ) , A B tiếp điểm Chứng minh điểm M , A , O , B thuộc đường tròn Lời giải = = 90° 90° ; MBO Vì MA , MB tiếp tuyến đường tròn ( O ) ⇒ MAO  + MBO = 90° + 90°= 180° ⇒ MAB Mà chúng hai góc đối ⇒ Tứ giac MAOB nội tiếp hay điểm M , A , O , B thuộc đường tròn Bài 2: Cho đường trịn ( O ) bán kính R , đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Từ điểm C d ( A nằm B C ), vẽ tiếp tuyến CN với đường tròn ( N tiếp điểm; N thuộc cung AB lớn) Gọi E trung điểm đoạn AB Chứng minh bốn điểm C , E , O, N nằm đường tròn Lời giải Vì E trung AB nên OE ⊥ AB ⇒ OE ⊥ CE ⇒ E thuộc đường tròn đường kính OC GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vì CN tiếp tuyến đường trịn, N tiếp điểm nên CN ⊥ ON ⇒ N thuộc đường trịn đường kính OC Do E , N thuộc đường trịn đường kính OC hay bốn điểm C , E , O, N nằm đường trịn đường kính OC (ĐPCM), suy tứ giác OECN nội tiếp Hay điểm C , E , O, N nằm đường tròn Bài 3: Cho đường tròn ( O ) , AB đường kính C điểm thuộc đường trịn cho CB < CA ( C khác với A B ) Trên tia đối tia BA lấy điểm S ( S khác B ), qua S kẻ đường thẳng ( d ) vng góc với AB , cắt tiếp tuyến C I Đường thẳng AC cắt đường thẳng ( d ) H Chứng minh H , S , B, C nằm đường trịn Lời giải ACB góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB nên  ACB= 90° Đường trịn ( O ) có  = 90° Mà BC cắt AH C nên HCB = 90° Đường thẳng ( d ) vng góc với AB S nên HSB  + HCB = 90° + 90°= 180° Xét tứ giác HSBC có: HSB  HCB  vị trí đối Mà HSB Vậy HSBC tứ giác nội tiếp hay H , S , B, C nằm đường tròn Bài 4: Cho đường trịn tâm O , đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn ( O ) A lấy điểm C ( C ≠ A ) Từ C vẽ tiếp tuyến thứ hai CD với đường tròn ( O ) ( D tiếp điểm) Kẻ DK vng góc với AB ( K ∈ AB ) , CB cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai M cắt DK N GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Chứng minh rằng: bốn điểm A, M , N , K nằm đường trịn Lời giải AMN= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); Xét tứ giác AMNK có   AKN= 90° (giả thiết) ⇒ AMN +  AKN= 90° + 90°= 180° Mà hai góc vị trí đối ⇒ tứ giác AMNK nội tiếp đường trịn đường kính AN Hay bốn điểm A, M , N , K nằm đường tròn Bài 5: Cho đường tròn ( O ) Điểm A ngồi đường trịn ( O ) Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn ( O ) hai điểm B C ( B nằm A C ) Kẻ đường kính EF vng góc với BC D(E thuộc cung nhỏ BC ) Tia AF cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai I , dây EI BC cắt K Chứng minh bốn điểm D, K , I , F nằm đường trịn Lời giải GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = 900 (giả thiết) Xét tứ giác DKIF có: FDK  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) FIK  + FIK = ⇒ FDK 1800 , mà chúng nằm vị trí đối ⇒ FIKD tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Hay Bốn điểm D, K , I , F nằm đường tròn Bài 6: Cho đường trịn ( O; R ) đường kính AB Gọi E D hai điểm thuộc cung AB đường tròn ( O ) cho E thuộc cung AD ; AE cắt  BD C ; AD cắt BE H Chứng minh bốn điểm C , D, H , E nằm đường trịn Lời giải AEB,  ADB hai góc nội tiếp, AB đường kính Xét ( O ) có  ⇒ AEB =  ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ BE ⊥ AC , AD ⊥ BC GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 =  ADC = 90o    ⇒ BEC o  ⇒ HEC = HDC = 90 {H= } AD ∩ BE   + HDC  HDC  hai góc đối  = 90o + 90o = 180o HEC Xét tứ giác CDHE có HEC ⇒ tứ giác CDHE tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận iết tứ giác nội tiếp) Hay Bốn điểm C , D, H , E nằm đường tròn Bài 7: Cho đường trịn tâm O bán kính R dây cung BC cố định ( BC không qua O ) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD , BE , CF tam giác ABC cắt  H Chứng minh bốn điểm B, E , C , F thuộc đường tròn Lời giải Xét tứ giác BFEC có: = BEC = 90° (Vì AD; BE đường cao tam giác ABC ) BFC ⇒ F ; E hai đỉnh kế nhìn BC góc vng Do tứ giác BFEC nội tiêp đường tròn hay bốn điểm B, E , C , F thuộc đường tròn Bài 8: Cho ( O; R ) cố định, dây AB cố định không qua tâm O Qua trung điểm  I dây AB , kẻ đường kính PQ vng góc với AB ( P thuộc cung nhỏ AB ) E điểm cung nhỏ QB ( E không trùng với B Q ) Chứng minh bốn điểm P, I , E , M thuộc đường trịn Lời giải GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) Ta có PEQ = ) ⇒ PEM 90° (kề bù với PEQ = 90° (do PQ ⊥ AB ) Vì PIM = = ⇒ PEM PIM 90° ⇒ E; I hai đỉnh kề nhìn PM góc vng Do tứ giác PIEM nội tiêp đường tròn hay bốn điểm P, I , E , M thuộc đường tròn Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh bốn điểm D, B, M , D thuộc đường trịn Lời giải Vì D nằm đường trịn đường kính AB ⇒ ADB =° 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) ABCD hình bình hành  =° ADB = DBC 90 ⇒ AD //BC ⇒  = 90° (vì DM ⊥ AC ) Lại có DMC = DBC = 90° DMC ⇒ M ; B hai đỉnh kế nhìn DC góc vng GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Do tứ giác DMBC nội tiêp đường trịn hay bốn điểm D, B, M , D thuộc đường tròn Bài 10: Cho đường tròn ( O; R ) với dây BC cố định ( B, C không qua O ) Gọi A điểm cung nhỏ BC Điểm E thuộc cung lớn BC , Kẻ CH ⊥ AE H Gọi AO cắt BC I Chứng minh điểm A, H , I , C thuộc đường tròn Lời giải  =90° Ta có CH ⊥ AE ⇒ CHA AIC =90° Vì A điểm cung BC nên OA ⊥ BC ⇒  AHC=  AIC= 90° Xét tứ giác AHIC có  ⇒ Hai điểm H , I nhìn cạnh AC góc vng ⇒ Tứ giác AHIC nội tiếp hay điểm A, H , I , C thuộc đường tròn Bài 11: Cho ( O; R ) với dây BC cố định ( B, C không qua O ) Điểm A thuộc cung lớn BC Đường  cắt ( O ) D , tiếp tuyến C D ( O ) cắt E , tia CD cắt phân giác BAC AB K , đường thẳng AD cắt CE I Chứng minh điểm A, K , I , C thuộc đường trịn Lời giải GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = DAC  ( AD phân giác BAC ) Có BAD  = DAC  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây chắn cung CD ) DCE   ⇒ BAD = DCE =  ⇒ KAI KCI ⇒ A, C hai đỉnh kề nhìn đoạn AC hai góc ⇒ AKIC tứ giác nội tiếp Hay điểm A, K , I , C thuộc đường tròn III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ( O ) dây BC cố định không qua O Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM , AN tới ( O ) ( M , N tiếp điểm) Chứng minh bốn điểm A , M , O , N thuộc đường tròn Lời giải Xét tứ giác AMON có: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  AMO= 90° ,  ANO= 90° (vì AM , AN tiếp tuyến ( O ) M , N tiếp điểm) ⇒ AMO +  ANO = 180° mà hai góc đối nên tứ giác AMON nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Vậy bốn điểm A , M , O , N thuộc đường tròn Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = R Gọi C trung điểm OA , qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM , H giao điểm AK MN Chứng minh bốn điểm B, C , H , K thuộc đường tròn Lời giải  = 90 ( gt) Ta có HCB  AKB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) + AKB= 90° + 90°= 180° Xét tứ giác BCHK có BCH   Mà BCH AKB hai góc đối suy tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn Hay bốn điểm B, C , H , K thuộc đường tròn Bài 3: Cho đường trịn ( O; R ) đường kính AB cố định Gọi H điểm thuộc đoạn OA ( H khác O A) Vẽ dây CD vng góc với AB H Gọi M điểm thuộc CH Nối AM cắt ( O ) điểm thứ hai E , tia BE cắt DC F Chứng minh bốn điểm H ; M ; E ; B thuộc đường trịn Lời giải 10 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = 90 (giả thiết) Ta có MHB  = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MEB Xét tứ giác HMEB có:  + MEB = MHB 180  HDC  hai góc đối HEC ⇒ tứ giác HMEB nội tiếp ⇒ Bốn điểm H ; M ; E ; B thuộc đường tròn Bài 4: Cho ∆ABC vng cân A , đường trịn đường kính AB cắt cạnh BC D ( D khác B ) Gọi M điểm đoạn thẳng AD Kẻ MH ⊥ AB H Chứng minh Bốn điểm B, D, M , H thuộc đường tròn Lời giải  =90° Ta có: MH ⊥ AB ⇒ MHB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BDM = BHM = 90° Xét tứ giác BDMH , ta có: BDM Khi đó: Tứ giác BDMH nội tiếp đường trịn đường kính BM 11 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Hay bốn điểm B, D, M , H thuộc đường tròn Bài 5: Cho đường tròn ( O; R ) đường kính AB Kẻ đường kính CD vng góc AB Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC , AM cắt CD E Qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( O ) cắt đường thẳng BM N Chứng minh bốn điểm M , N , D, E nằm đường trịn Lời giải Xét ( O; R ) có AB đường kính, M ∈ ( O ) ⇒ AMB =° 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) = 90° Vì DN tiếp tuyến đường tròn ( O ) D nên CDN  + EDN = 90° + 90°= 180° +) Xét tứ giác EMND có: EMN Mà hai góc vị trí đối ⇒ Tứ giác EMND tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) Hay bốn điểm M , N , D, E nằm đường trịn Bài 6: Cho hình vng ABCD có điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE , đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh bốn điểm H , E , C , K nằm đường tròn Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác Lời giải 12 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = Ta có EHK 90° ( DE ⊥ BK ) = 90° ( ABCD hình vng) ECK  + ECK = 90° + 90°= 180° Xét tứ giác EHCK có: EHK Mà hai góc vị trí đối nên tứ giác EHCK nội tiếp đường trịn đường kính EK Hay bốn điểm H , E , C , K nằm đường tròn Suy trung điểm I EK tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHKC Bài 7: Cho đường tròn (O; R) , dây MN ( MN < R) Trên tia đối tia MN lấy điểm A Từ A kẻ tiếp tuyến AB , AC tới đường tròn (O) ( B , C tiếp điểm) Chứng minh bốn điểm A , B , O , C thuộc đường tròn Chỉ rõ tâm O′ bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABO C Lời giải Xét ( O ) có: AB ⊥ OB , AC ⊥ OC ( AB , AC tiếp tuyến)  Xét tứ giác ABO C có= ABO 900 ( AB ⊥ OB ) ;  ACO = 90° ( AC ⊥ OC ) ⇒ ABO +  ACO = 180° ⇒ tứ giác ABO C nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180° ) Hay bốn điểm A , B , O , C thuộc đường tròn 13 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Tâm O′ trung điểm AO bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC AO Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn ( O ) AB < AC Các đường cao BM CN cắt H Chứng minh bốn điểm B, N , M , C nằm đường tròn Lời giải  = 900 Vì CN ⊥ AB (giả thiết) suy BNC ⇒ Điểm N nhìn cạnh BC góc khơng đổi 900 ⇒ Điểm N thuộc đường trịn đường kính BC (bài tốn quỹ tích ) (1)  = 900 Vì BM ⊥ AC (giả thiết) suy BMC ⇒ Điểm M nhìn cạnh BC góc khơng đổi 900 ⇒ Điểm M thuộc đường trịn đường kính BC (bài tốn quỹ tích ) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp) Hay Bốn điểm B, N , M , C nằm đường tròn Bài 9: Cho đường tròn tâm O điểm P nằm ( O ) Vẽ tiếp tuyến PC ( O ) ( C tiếp điểm) cát tuyến PAB ( PA < PB ) cho điểm A, B, C nằm phía với đường thẳng PO Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh bốn điểm P, C , M , O nằm đường trịn Lời giải 14 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vì PAB cát tuyến điểm P nằm ( O ) nên AB dây cung ( O ) Vì M trung điểm đoạn thẳng AB (giả thiết) nên OM ⊥ AB M (liên hệ đường kính dây cung) = 90° ⇒ AMO= 90° ⇒ PMO    =° = PCO = 900 90 ⇒ PMO Vì PC tiếp tuyến ( O; R ) ⇒ PCO Mà M , C hai đỉnh kề nên tứ giác BFEC nội tiếp Hay bốn điểm P, C , M , O nằm đường tròn Bài 10: Cho ( O; R ) cố định, dây AB cố định không qua tâm O Qua trung điểm I dây AB , kẻ đường kính PQ vng góc với AB ( P thuộc cung nhỏ AB ) E điểm cung nhỏ QB ( E không trùng với B Q ) QE cắt AB M Chứng minh điểm P , I , M , E thuộc đường tròn Lời giải = 90° nên ba điểm P , I , M thuộc đường trịn đường kính PM Ta có PIM 15 (1) GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 = 90° = 90° (góc nội tiếp chắn đường tròn ( O ) ) Suy PEM Ta lại có PEQ Suy ba điểm P , E , M thuộc đường tròn đường kính PM ( 2) Từ (1) ( ) suy điểm P , I , M , E thuộc đường trịn đường kính PM Bài 11: Cho tam giác nhọn dường tròn ( O ) Ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N điểm cung nhỏ AB BC Hai dây AN CM cắt I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H , K Chứng minh điểm C , N , K , I thuộc đường tròn Lời giải = ANM ( góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Ta có MCB =  ⇒ ICK INK ⇒ Hai điểm C , N nhìn cạnh IK góc ⇒ Tứ giác IKNC nội tiếp hay điểm C , N , K , I thuộc đường trịn C HỆ THỐNG BÀI TỐN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 20162021 Bài 1: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2016 - 2017 Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ( O ) ( B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , I khác O ) Đường thẳng AI cắt ( O ) hai điểm D E ( D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE Chứng minh bốn điểm A, B, O, H nằm đường tròn Lời giải 16 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ABO = 900 Vì AB tiếp tuyến ( O ) nên AB ⊥ BO ⇒  AHO = 900 Vì H trung điểm dây DE ( O ) nên OH ⊥ DE ⇒  ABO +  AHO = 900 + 900 = 1800 ⇒ AHOB tứ giác nội tiếp Suy góc  Suy bốn điểm A, H , O, B nằm đường tròn Bài 2: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2017 - 2018 Cho đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn Lời giải 1, C  góc nội tiếp chắn cung nhỏ MA, MB Ta có N 1 1 =  = MB  (giả thiết) ⇒ N C Mà MA ⇒ Bốn điểm C , N , K , I thuộc đường trịn (theo tốn cung chứa góc) Bài 3: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2019 - 2020 17 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H Chứng minh bốn điểm B, C , E , F  cùng thuộc đường tròn Lời giải   = BFC = 90o Vì BE , CF đường cao ∆ABC nên BEC   ⇒ E , F thuộc đường trịn đường kính BC ⇒ Bốn điểm B, C , E , F  cùng thuộc đường tròn Bài 4: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2021 - 2022 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm C , bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn ( C ; CA ) ( M tiếp điểm, M A nằm khác phía đường thẳng BC ) Chứng minh bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn Lời giải = 90° Tam giác ABC vuông A nên BAC ⇒ A thuộc đường trịn đường kính BC BM tiếp = 90° tuyến đường tròn ( C ) nên BMC ⇒ M thuộc đường trịn đường kính BC 18 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy bốn điểm A, C , M B thuộc đường trịn đường kính BC Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Vĩnh Long, năm học 2019 - 2020 Cho đường trịn ( O ) đường kính AB điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB ( M ≠ A ) Kẻ tiếp tuyến A đường tròn, tiếp tuyến cắt tia BM N Tiếp tuyến đường tròn M cắt AN D Chứng minh bốn điểm A, D, M , O thuộc đường tròn Lời giải DM = 90° tiếp tuyến đường tròn ( O ) nên BMD ⇒ M thuộc đường trịn đường kính BD AD tiếp = 90° tuyến đường tròn ( O ) nên BAD ⇒ A thuộc đường trịn đường kính BD Vậy bốn điểm A, D, M , O thuộc đường trịn đường kính BD Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M bán kính OA ( M khác A, O ) qua dựng đường thẳng d vng góc với AB M Trên d lấy điểm N cho đoạn thẳng  NB cắt nửa ( O ) C Kẻ tiếp tuyến NE với đường tròn ( E tiếp điểm) Chứng minh điểm O, M , N , E thuộc đường tròn Lời giải 19 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  = 900 ( NE tiếp tuyến ) Ta có OEN  = 900 (giả thiết) ⇒ OEN  + OMN = 180° + OMN Mà góc vị trí đối nên tứ giác OMNE nội tiếp Vậy bốn điểm O, M , N , E thuộc đường tròn Bài 7: Cho đường tròn ( O ) điểm M nằm bên ngồi đường trịn ( O ) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn ( O ) ( A B tiếp điểm) MO cắt AB điểm H Chứng minh bốn điểm M , A, O, B thuộc đường trịn Lời giải Vì MA, MB hai tiếp tuyến đường tròn   ⇒ OAM = 900 ; OBM = 900  + OBM = 1800 Suy OAM  + OBM = 1800 Tứ giác MAOB có OAM Mà hai góc hai góc đối ⇒ MAOB tứ giác nội tiếp Suy M , A, O, B thuộc đường tròn Bài 8: 20 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Từ điểm A ngồi đường trịn ( O; R ) vẽ hai tiếp tuyến AB , AC ( B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng OA không chứa điểm  B đường tròn (O ) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn Lời giải a) Xét ( O ) có AB, AC hai tiếp tuyến cắt ( B, C tiếp điểm) ⇒ ABO =  ACO = 900 ⇒ B, C thuộc đường trịn đường kính OA ⇒ Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường trịn đường kính OA Bài 9: Cho đường tròn ( O; R ) , đường kính AB CD vng góc với Điểm M di động cung nhỏ BC Gọi N , E giao điểm AM với CD, CB Tia CM cắt AB S , MD cắt AB F Kẻ CH vng góc với AM H Chứng minh bốn điểm A, C , H , O thuộc đường tròn Lời giải  90 ⇒ O thuộc đường tròn đường kính AC (1) a) Có AB ⊥ CD O (giả thiết ) ⇒ AOC =° 21 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  90 ⇒ H thuộc đường trịn đường kính AC (2) Có CH ⊥ AM (giả thiết) ⇒ AHC =° Từ (1) (2) suy bốn điểm A, O, H , C thuộc đường trịn đường kính AC (đpcm) Bài 10: Cho ∆ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) , kẻ đường cao AH ∆ABC đường kính AD ( O ) Gọi M hình chiếu vng góc B đường thẳng AD Chứng minh bốn điểm A, H , M , B thuộc đường tròn Lời giải AHB = 90o Vì AH đường cao ∆ABC ⇒  ⇒ H thuộc đường trịn đường kính AB Vì M hình chiếu vng góc B đường thẳng AD ⇒ AMB = 90o ⇒ M thuộc đường trịn đường kính AB Bài 11: Từ điểm A ngồi đường trịn ( O; R ) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng OA không chứa điểm B đường tròn ( O ) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn Lời giải 22 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét đường trịn ( O; R ) có AB, AC tiếp tuyến với B, C tiếp điểm ⇒ AB ⊥ OB, AC ⊥ OC ⇒ ABO = 900 ,  ACO = 900 Xét tứ giác ABOC có:  ABO +  ACO = 900 + 900 = 1800 Mà hai góc vị trí đối ⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) ⇒ Bốn điểm A, B, O, C thuộc đường tròn (điều phải chứng minh) 23