Hh9 cđ2 đường tròn 1

Chuyên đề 2: ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: Định nghĩa đường tròn A Kiến thức A Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu O; R   tập hợp điểm M cho OM R Từ muốn chứng minh điểm A, B, C , D nằm B C O đường trịn ta tìm điểm O cho OA OB OC OD O Đường tròn   đường kính BC , A  điêm nằm đường trịn ( A khác B khác C ) BAC 90 ) Nhắc lại: + Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Ngược lại: Nếu tam giác vó đường trung tuyến nửa cạnh đối diện tam giác vng B Bài tập Bài 1: Cho tam giác cân ABC  AB  AC  A Gọi H trực tâm tam giác, đường cao CE Gọi E D, M , N trung điểm BC , AB, CH M Chứng minh điểm D, M , E , N nằm đường tròn H O B D N C Lời giải Gọi O trung điểm MN Ta có MEN vng E có trung tuyến EO  OE OM ON  DN / / BH   DN  DM MD / / AC Theo định lí đường trung bình tam giác  Tam giác DMN vng D có trung tuyến DO  OD OM ON  OM ON OD OE Vậy điểm D, M , E , N nằm đường tròn Bài 2: Cho hai đường thẳng xy x ' y ' vng góc B với O Một đoạn thẳng AB 6cm M1 chuyển động cho A nằm xy B x ' y ' Hỏi trung điểm M M AB xy A chuyển đồng đường tròn nào? M3 O M4 M2 x'y' Lời giải Vì tam giác AOB vng O có trung tuyến OM  OM  AB 3  cm  O;3cm  Vậy M di động  Bài 3: O; R  , R 4cm Cho đường tròn  Vẽ dây cung AB 5cm C điểm dây cung AB cho A C B D AC 2cm Vẽ dây CD vng góc với OA D Tính độ dài đoạn thẳng AD E Lời giải  Kẻ đường kính AE  ABE 90 ADC ∽ ABE  gg   AD AC AC   AD  AB   cm  AB AE AE Vậy AD 5cm Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O; R  A H trực tâm ABC Vẽ OK  BC Chứng minh AH 2OK O H B K C D Lời giải Kẻ đường kính AD  DC  AC Mà BH  AC  BH / /CD Tương tự ta có CH / / BD Vậy BHCD hình bình hành  HD cắt BC trung điểm đường, mà K trung điểm BC  K trung điểm HD  OK / / AH , OK  AH + ADH có OK đường trung bình (đpcm) Bài 5:  Cho tam giác ABC , A  90 Gọi D, E , F theo F thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B, C E Chứng minh a) Các điểm A, D, B, E nằm đường N M tròn b) Các điểm A, D, C , F nằm đường tròn c) Các điểm B, C , E , F nằm đường tròn Lời giải a) Gọi M trung điểm AB B D I C  900  MA MB MD  AB  1 D Xét ABD có  900  MA ME MB  AB   E Xét AEB có Từ (1)(2)  MA MB MC MD  điểm A, D, B, E nằm đường tròn b) Gọi N trung điểm AC Xét tam giác ACD vuông D tam giác ACF vng F , có DN , FN trung tuyến với cạnh huyến BC  NA ND NC NF  A, D, C , F nằm đường tròn c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh tương tự ta có IE IF IB IC  B, C , E , F nằm đường tròn Bài 6: Cho tam giác ABC cân A , nội tiếp A đường tròn (O) , đường cao AH a) AH cắt đường tròn (O) D , chứng minh AD đường kính b O b) Cho AB b, AH h Tính bán kính đường trịn (O) h B H C D Lời giải a) Vì tam giác ABC cân A nên AH đường cao đồng thời đường trung trực BC  O  AH  A, O, H , D thẳng hàng  AD đường kính đường trịn (O) b) Vì AD đường kính nên ACD vng C Ta có AC  AH AD  AD  AC b2 b2  2R   R  AH h 2h Bài 7: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  Chứng d A minh tồn đường tròn qua B đỉnh A, B, C , D O D C Lời giải Gọi d trục đối xứng hình thang cân ABCD  AB / / CD  , O giao điểm d đường trung trực đoạn thẳng BC Ta có O thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC nên BC OC Mà O  d  OA OB, OC OD Do OA OB OC OD Vậy đường trịn tâm O , bán kính OA qua điểm A, B, C , D Bài 8: Cho đường tròn  O; R  ; R 3cm Vẽ dây cung AB 4cm Lấy điểm M đoạn thẳng OA C A B M cho AM 1cm Đường thẳng vng góc với O OA M cắt AB C Tính tích AB AC D Lời giải Vẽ đường kính AD đường trịn (O) Ta có AD 3.2 6  cm   Điểm B thuộc đường trịn đường kính AD  ABD 90 Xét ACM ABD có: AMC : chung ; AMC ABD  900  DO Vậy AMC ∽ ABD  gg   AM AC   AB.AC  AM AD AB AD AB AC 1.6 6  cm  Bài 9:  Cho tam giác ABC có A nhọn nội tiếp đường trịn A  O; R  Chứng minh D  BC 2 R.sin BAC O B C Lời giải Vẽ đường kính BD đường trịn  O; R   ACD 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  900  BC BD.sin BDC  BCD có C   Ta lại có BD 2 R; BDC BAC (góc nội tiếp chắn cung BC )  Vậy BC 2 R.sin BAC   BC 2 R.sin 1800  BAC  BAC *) Chú ý: Nếu tù  Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O; R  Gọi A M trung điểm BC Giả sử O nằm tam giác AMC O nằm A O I M Gọi I trung điểm AC Chứng minh rằng: B a) MA  MC  OA  OC b) Chu vi tam giác IMC lớn 2R c) Chu vi tam giác ABC lớn 4R Lời giải M N C a) O nằm tam giác AMC , kéo dài AO cắt MC N OA  OC  AO   ON  NC   AN  NC   AM  MN   NC  AM  MC b) IM  IC  MC IM  IA  MC  MA  MC  OA  OC 2R c) C ABC  AB  BC  CA 2  MI  IC  MC  2CIMC  2.2R 4R Bài 11: Cho đường tròn  O; R  điểm A cố định đường tròn, B điểm di động M B A đường tròn Gọi M điểm AB K O AM  AB cho Chứng minh B di động đường trịn (O) M di động đường tròn cố định Lời giải AK  AO Gọi K điểm bán kính OA cho Như K điểm cố định AM AK MK AM    MK / / OB    Ta có AB AO (Talét đảo) OB AB Vậy điểm M di động đường tròn tâm K bán kính Bài 12: Cho đường trịn  O;3cm  điểm A di động đường tròn Vẽ đoạn thẳng AB  OA AB a Gọi H hình chiếu A OB G trọng tâm tam giác AOB A O G H a) Khi a 4cm điểm B điểm H di động đường nào? M D B b) Xác định vị trí a để điểm G di động đường tròn  O;3cm  Lời giải 2 Ta có OB   5  cm  Điểm B cách điểm O cho trước 5cm nên B   O;5cm  Ta có OH OB OA2  OH  32 1,8  cm  Vậy H thuộc đường tròn tâm O bán kính 1,8cm b) Gọi M trung điểm AB OM   AM  a a2 36  a   36  a 4 2 1 OG  OM  36  a  36  a 3 Ta có OG 3cm  a  36 3  a 3  cm  Bài 13: Cho ba điểm A, B, C đường trịn (O) bán kính Chứng minh tồn điểm M nằm đường tròn (O ) C B D cho MA  MB  MC 3 O E A Lời giải Kẻ đường kính ED đường trịn (O) Ta có  DA  DB  DC    EA  EB  EC   AD  AE    BD  BE    CD  CE  3DE 6 Vì tổng  DA  DB  DC   EA  EB  EC  nên biểu thức lớn Nếu EA  EB  EC 3 ta lấy M trùng E Bài 2: Tính đối xứng đường trịn A Kiến thức cần nhớ Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) vng góc với dây Hai dây cung chúng cách tâm Dây cung gần tâm dài ngược lại   Góc tâm có số đo số đo cung bị chắn: EOF sđ EF Hai đường thẳng song song cắt đường trịn tạo thành hai cung có số đo  Nếu AB / / CD  sđ AD sđ BC E A K A O B F H O C D B d Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB 10 Dây CD vng góc với AB D H  HA  HB  a) Nếu CD 8 Tính độ dài HA, HB b) Nếu số đo cung nhỏ CD 120 Tính HA 600 H A O M c) Nếu CD 8 Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu H AC , BC Tính diện tích tứ B N C giác CMHN Lời giải a) Tam giác ABC vuông C ( AB đường kính) có đường cao CH  CH HA.HB  HC  CD 4 Vì đường kính AB  CD H 2 Vậy HC HA.HB  HA  10  HA   HA  10HA  16 0  HA 2  HB 8 TM    HA 8  HB 2  KTM  Vậy HA 2; HB 8 1   HOD  COD  sdCD 600 2 b) Ta có HOD vuông  H  cos HOD   HA OA  OH 5  OH  OH 5.cos 600  OD 5  2 CD 8  HA  ; CH 4 c) Với AHC vuông H, đường cao HM  1  2  HM HM HA HC CH CM   SCMHN HM MC CA + (tứ giác CMHN hình chữ nhật có ba góc vng) Bài 1: Cho đường trịn  O; 2cm  điểm A cho N H OA 3cm Một cát tuyến quay quanh A cắt đường trịn M N Tính giá trị lớn M O tổng AM  AN Lời giải Từ O hạ OH  MN  H trung điểm MN  AM  AN  AH  HM    AH  HN  2 AH Xét OHA vuông H  AH  AO Dấu “=” xảy  H O  cát tuyến AMN qua O Vậy giá trị lớn AM  AN 2 AO 6 cát tuyến AMN qua O Bài 1: 10 A