Hh9 c2 b2 đường kính và dây của đường tròn

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN A Tóm tắt lý thuyết So sánh độ dài đường kính dây C Định lí 1: Trong dậy đường trịn, dây lớn đường kính đường trịn A Quan hệ vng góc đường kính dây B Định lí 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với D dây qua trung điểm dây Định lí 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây B Bài tập dạng toán Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Sử dụng kiến thức sau Trong đường trịn đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng tam giác vng Bài 1: D Cho đường trịn tâm O , hai dây AB CD vng góc với AB 18cm, CD 14cm, MC 4cm M Biết Hãy tính K khoảng cách từ tâm O đến dây AB A CD Lời giải Gọi H K hình chiếu O AB CD Ta có: OH  AB  HA HB 9cm  OK  CD  KD KC 7cm O M H B Mà: KC KM  MC  KM KC  MC 7  3cm  OH MK 3cm 2  Xét OHB( H 90 )  OB OH  HB  OB OD 3 10(cm) 2  Xét OKD( K 90 )  OD OK  DK  OK  41(cm) Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính 3cm hai dây AB C AC Cho biết AB 5cm AC 2cm, O tính khoảng cách từ O đến dây A B H Lời giải Gọi OH , OK khoảng cách từ O đến AB, AC - Tính được: OH  11  cm  ; OK 2  cm  Bài 3: C Cho đường tròn  O; R  có hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử IA 2cm, IB 4cm Tính khoảng cách từ tâm K O đến dây A I D Lời giải Gọi OH , OK khoảng cách từ O đến AB, CD Ta có: OH OK 1 cm  Bài 4: O H B Cho đường tròn  O  dây CD Từ O kẻ tia H vuông góc với CD M , cắt  O  Tính bán kính R  O D H M biết: C CD 16cm, MH 4cm O Lời giải Đặt OH x  cm  Ta có OM  x    cm  C - Áp dụng định lý Pytago ta được: x 10  cm  Bài 5: Cho đường tròn tâm  O  đường kính AB M A AB 13cm , dây CD có độ dài 12cm vng góc với N a Tính độ dài đoạn thẳng HA, HB b Gọi M , N hình chiếu H AC , BC Tính diện tích tứ giác CMHN Lời giải a Ta có AB  CD  HC HD 6cm Xét O 12 H  900 )  CH  AH HA  ABC (C   HA  HB 13 13 H  HA.HB 36    HA  HB 13  HA 4cm   HB 9cm b Cách 1: Tứ giác CMHN hình chữ nhật (có góc vuông ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có :  1 12 13    (cm)  HN  2  216  HN  HC HB 13    SCMHN  (cm )  1 13   HM 18 13 (cm)    HM HC HA2   13  Cách 2: Ta có : B 2 S 36 108 216  CH   6 CHN #ABC  CHN  ; S ABC 39  SCHN   SCMHN  (cm )     S ABC  AB  169 13 13  13  Bài 6: Cho đường trịn tâm O , đường kính AB Dây D CD cắt AB M , biết MC 4cm, MD 12cm 12  BMD 300 Hãy tính : A a Khoảng cách từ O đến CD C M B O O b Bán kính   Lời giải a Gọi OH khoảng cách từ O đến CD  OH  CD  CH HD 8  MH 4cm  900 ), tan 300  OH  OH  (cm) MHO ( H MH Xét b Bán kính đường trịn  O  đoạn OD Ta tính độ dài đoạn thẳng OD dựa vào định lý pytago Xét  900 )  OD OH  HD ( pytago)  OD 82     OD  39 (cm) OHD( H     Bài 7: C O; R  A Cho đường tròn tâm  , B di động A O  đường tròn   thỏa mãn AOB 120 Vẽ H B O OH  AB H a) Chứng minh H trung điểm b) Tính OH , AB SOAB theo AB R O; R  c) Tia OH cắt đường tròn  C Tứ giác OABC hình gì? Vì Lời giải a) Ta có AB dây cung đường trịn  O  ; OH  AB  H trung điểm đoạn thẳng AB b) OAB cân O  OA OB R  có: OH đường trung tuyến nên đường phân giác   AOH HOB  AOB 600 HAO vuông H , có AOH 600 nên nửa tam giác 1 3  OH  OA  ; AH  OA  R; AB 2 AH  3R 2 2 1 SOAB  OH AB  R 3R  R 2 2 (đvdt) c) HC OC  OH R  1 R R 2 HA HB; HO HC  R  OACB OACB có hình bình hành Mà: OA OB  R   OACB hình thoi Bài 8: O; R  Cho đường tròn tâm  dây cung A AB Gọi I trung điểm AB Tia OI cắt E cung AB M N a) Cho R 5cm, AB 6cm Tính độ dài dây O M I cung MA b) Gọi N điểm đối xứng M qua O , B giả sử MA 5cm; AB 6cm Tính bán kính R Lời giải a) Vì I trung điểm dây AB nên: -  IA IB  AB  3  cm  2 OI  AB  OIA I 900  OI OA2  IA2 52  32 42  OI 4cm  IM 1cm   AIM I 900  AM  AI  IM 32  12 10  AM  10 b) Gọi E trung điểm dây AN Ta có: OE  NA; NE EA 2,5cm - Xét NEO#NIA  gg   NE ON NA.NE 2,5.5   ON   3,125  cm  NI NA NI Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải - Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác nhau, đồng dạng với - Dùng quan hệ cạnh góc tam giác, quan hệ cạnh huyền cạnh góc vng - Sử dụng tính đường trung bình tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt Bài 1: Cho nửa đường tròn  O  , đường kính dây cung CD Kẻ với CD E AE và F BF AB vng góc E F C E Chứng minh: a) CE DF b) F D O A B  O  Lời giải a) Gọi Trung điểm CD  CI ID I Xét hình thang AEFB , I trung điểm EF  IE IF  CE DF   b) Ta có EAB FBA bù nên có góc tù góc nhọn  Giả sử EAB  90  EAO có OE  OA R  E ngồi đường trịn mà OE OF Nên F ngồi đường trịn Bài 2: Cho đường trịn  O; R  đường kính M điểm nằm A vẽ dây CD vng góc với đối xứng với A qua AB C Gọi B, qua điểm M AB Lấy điểm E K H M A M a) ACED hình gì? Vì b) Giả sử R 6,5cm, MA 4cm Tính CD c) Gọi H K CA, CB MH MK  D hình chiếu Chứng minh M rằng: MC 2R Lời giải a Ta có: AB  CD  MC MD mà ME MA  ACED hình bình hành, lại có AB  CD  ACED hình thoi B  b Điểm C nằm đường tròn  O; AB   ACB 90  Xét ACB (C 90 ) , có: MC MA.MB 36  MC 6  CD 12(cm) c) MCA có: MH AC MA.MC  MH  B MA.MC AC A O I D MB.MC MC MA.MB MC MC MC MK BC MB.MC  MK   MH MK    MCB có : BC AC AB MC.MA 2R Bài 3: Cho đường tròn  O  , đường kính cung trịn tâm D bán kính R AD R cắt  O  C Vẽ B C a Tứ giác OBDC ? ?    b Tính số đo góc CBD; CBO; OBA c Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải a Xét OBDC , có: OB OC DC R  OBDC hình thoi b Xét OBD , có: OB OD BD R  OBD tam giác    OBD 600 ODB  BC tia phân giác  OBD  B   OBD   B 300 2 0   Ta có B  (O)  ABD 90  B3 30 c OBDC hình thoi  OD  BC I ; IB IC Xét ABC , có AI đường cao đồng thời đường trung tuyến nên ABC cân    Mà ABC B2  B3 60  ABC Bài 4: A Cho đường trịn  O  đường kính cắt AB I AB , dây CD C H Gọi H , K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A M đến CD B A Chứng minh rằng: CH DK I O B N D Lời giải Ta kẻ OM vng góc với CD M  MC MD (quan hệ vng góc đường kính dây) Gọi N giao điểm OM AK Xét AKB  NA NK Xét AHK  MH MK  MC  MH MD  MH  CH DK Bài 5: Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có hai đường cao BD CE cắt trực tâm H K D E Lấy H O I trung điểm BC a Gọi A C B I điểm đối xứng H qua I K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành b Xác định tâm O đường tròn qua điểm A, B, K , C c Chứng minh: OI / / CH d Chứng minh rằng: BE.BA  CD.CA BC Lời giải  HI IK ( gt )  BHCK  BI  IC ( gt )   BHCK a Xét có: hình bình hành b Ta có AKB, ACK vng B C nên bốn điểm A, B, K , C nằm đường trịn đường kính AC tâm O c Xét AHB d Gọi M có OI đường trung bình  OI // AH giao điểm AH BC BMA#BEC ( gg )  BE.BA BM BC  BE.BA  CD.CA ( BM  CM ).BC BC  Ta có CMA#CDB( gg )  CA.CD CM BC (đpcm) Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB E Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C đoạn thẳng OB lấy điểm C tròn D cho OC OD Từ D kẻ hai tia song song cắt nửa đường E F Gọi I I trung điểm EF F A C D O B Chứng minh rằng: SCEF  S DEF EF OI Lời giải Vì trung điểm I EF nên OI  EF Ta có: CE / / EF O trung điểm CD nên CEFD hình thang Lại có OI đường trung bình hình thang  OI / /CE / / DF Mà OI  EF  CE  EF ; DF  EF  OI   CE  DF  1 1 SCEF  CE.EF ; S DEF  DE.EF  SCEF  S DEF  CE.EF  DE.EF  EF  CE  DF  EF OI 2 2 Bài 7: Cho đường tròn  O; R  Các điểm A, B, C , D A B thuộc  O; R  Tìm giá trị lớn diện K tích tứ giác ABCD H I O D Lời giải Vẽ AH  BD  H  BD  , CK  BD  K  BD  Gọi I giao điểm AC , BD Ta có: AH  HI  AH  AI ; CK  KI  CK CI  AH  CK  AI  IC  AC 10 C Mà AC , BD 2 R ( AC , BD dây cung đường tròn  O; R  ) 1 1 S ABCD S ABD  S BCD  BD AH  BD.CK  BC  AH  CK   BD AC 2 2 Ta có : S ABCD  R.2 R 2 R 2 Do Dấu ‘=’’ xảy  BD 2 R   AC 2 R  AC , BD  H I K  hai đường kính vng góc Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD 2R BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Xét đường tròn  O  đường kính AB vng góc với dây CD I Gọi E , F hình chiếu O AC , AD  E  AC  Khẳng định sau 11 A) ACD tam giác cân B) OE OF EF  CD C) D) Cả A, B, C Chọn đáp án B C Giải thích: A) Ta có E AB  CD I  1  IC ID   A Từ  1    AB đường trung trực CD I O Do AC  AD  ABC cân A B F B) Ta có AC  AD  OE OF (hai dây D cách tâm) C) Ta có: EA EC  OE  AC   3 FA FD  OF  AD   4 Từ  3    EF đường trung bình ACD  EF  CD Câu 2: Cho đường trịn  O;34cm  có OI vng góc với dây MN  I  MN  cho OI 30cm độ dài MN bằng? A) 30  cm  B) 32  cm  C) 34  cm  Chọn đáp án B D) 40  cm  M I Giải thích: Từ OIM vng I 34 , ta có: N 30 O 2 2 MI  OM  OI  34  30 16  cm  Do OI  MI  MI IN  MN 2MI 32  cm  Câu 3: Cho đường tròn  O; R  dây AB 19,  cm  Gọi H Cho biết OH 7, 2cm Độ dài bán kính A) 12  cm  hình chiếu O R bằng? B) 13  cm  12 AB C) 14,5  cm  Chọn đáp án B D) 15,  cm  A H B Giải thích: OH  AB  HA HB  AB 9,  cm  Ta có Từ HOA vng H R 7,2 O ta có: OA  OH  HA2  7, 2  9, 62 12  cm  Câu 4: Cho đường trịn  O  đường kính A) Hình thang cân AB dây CD vng góc với OB trung điểm OB Tứ giác OBCD hình gì? B) Hình chữ nhật C) Hình thoi Chọn đáp án B D) Hình vng C Giải thích: Ta có: IO IB; IC ID; CD  OB  OCBD hình thoi (tứ giác có hai đường A O B I chéo vng góc với trung điểm đường) D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: 13 Cho đường trịn  O  bán kính OA 11cm Điểm M C bán kính AO cách O khoảng 7cm Qua M kẻ dây CD có độ dài E 18cm Tính độ dài đoạn thẳng MC O MD M A D Lời giải Kẻ OE  CD, E  CD Ta có OC 11cm, CE 9cm  OE 2 10cm OM 7cm  ME 43cm  MC 6cm, MD 12cm Hoặc: MD 6cm, MC 12cm Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB 13cm, dây CD có độ dài 12cm vng góc với AB C N H M a) Tính độ dài đoạn thẳng HA, HB A b) Gọi M , N hình chiếu H H AC , BC Tính diện tích tứ giác CMHN D Lời giải a) Tính : HA 4cm, HB 9cm 12 13 18 13 216 HM   cm  ; HN   cm   SCMHN   cm  13 13 13 b) Tính được: Bài 3: 14 B Cho đường  O trịn có  AB 24cm, AC 20cm, BAC  900 góc BAC Gọi M Khoảng cách từ điểm dây O nằm A H trung điểm AC M đến AB M K 8cm O a) Chứng minh tam giác ABC cân B b) Tính bán kính  O  C Lời giải a) Vẽ MH  AB H ; CK  AB K  MH đường trung bình CAK  AM 10cm; AH 6cm  AK 12cm  AK  AB Từ chứng minh ABC cân C b) Ta có CK 2MH 16cm Đặt OC x  OK 16  x  CO 12,5cm Cho tam giác ABC có trực tâm H đường trịn  O  đường kính Bài 4: nội tiếp AD b Kẻ đường kính OI vng góc BC B I c Chứng minh AH 2OI Lời giải  BD // CH  BHCD  BH // CD  a Ta có : hình bình hành trung điểm BC  I trung điểm HD c Ta có OI đường trung bình AHD  AH 2OI Bài 5: 15 C I D Chứng minh I , H , D thẳng hàng I O H a Chứng minh BHCD hình bình hành b A Cho tam giác ABC  AB  AC  có hai đường cao I BD CE cắt trực tâm H A Lấy trung điểm BC a) Gọi K D điểm đối xứng H qua I O H Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành b) Xác định tâm O đường tròn qua B M C I điểm A, B, K , C c) Chứng minh: OI AH K song song d) Chứng minh: BE.BA  CD.CA BC Lời giải a) BHCK có I trung điểm hai đường chéo b) Ta có ABK , ACK vng B C nên A, B, K , C nằm đường trịn đường kính c) Ta có OI đường trung bình AHK  OI / / AH d) Gọi AH Cho điểm cắt BC A M Ta có: BE.BA BM BC; CA.CD CM BC Bài 6: nằm đường trịn  O  có CB đường kính AB  AC Vẽ dây góc với BC H H vuông Chứng minh a) Tam giác ABC vuông a) AD A trung điểm B A AD , AC CD BC tia phân giác ABD b) H D ABC  ADC Lời giải a) Vì OA OB OC  ABC vng A       c) Chứng minh ABC CBD; CDH CBD  ABC CDH 16 O C AK