Hh9 c2 b7 vị trí tương đối của hai đường tròn

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN A Tóm tắt lý thuyết Tính chất đường nối tâm - Đường nối tâm (Đường thẳng qua tâm đường trịn) trục đối xứng hình tạo hai đường tròn Chú ý: - Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm - Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung Liên hệ vị trí hai đường trịn với đoạn nối tâm d bán kính R, r Vị trí tương đối hai đường Số O; R  O '; r   R r  tròn   điểm Cắt Hệ thức Hình vẽ chung R  r  OO '  R  r R r O Tiếp Tiếp xúc O' OO ' R  r  xúc R O r O' OO ' R  r Tiếp xúc ngồi R r O Khơn Ngồi O' OO '  R  r g cắt R r OO '  R  r Đựng O O' OO ' O O' O Tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn a) Hai đường trịn cắt có hai tiếp tuyến chung ngồi b) Hai đường trịn tiếp xúc ngồi có hai tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung (hình vẽ b) c) Hai đường trịn tiếp xúc có tiếp tuyến chung (hình c) d) Hai đường trịn ngồi có hai tiếp tuyến chung ngồi hai tiếp tuyến chung (hình vẽ d) e) Hai đường trịn chứa khơng có tiếp tuyến chung f) Hai đường trịn đồng tâm khơng có tiếp tuyến chung O Hình a O O' Hình b O' O' O O O' Hình c B Bài tập dạng tốn Hình d Dạng 1: Các tốn liên quan đến hai đường trịn tiếp xúc Cách giải: Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường trịn liên quan đến trường   hợp hai đường tròn tiếp xúc ABH  ANH Bài 1: O O' Cho đường trịn     tiếp xúc ngồi A B Kẻ tiếp tuyến chung C BC với B thuộc  O  , C thuộc  O '  Tiếp tuyến chung chung BC A O cắt tiếp tuyến O' I I a Vẽ đường kính BOD CO ' E Chứng D K minh ba điểm B, A, E C , A, D E thẳng hàng b Chứng minh BAC , DAE có diện tích c Gọi K trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp OKO ' tiếp xúc với BC d Cho OA 4,5cm; O ' A 2cm Tính AI , BC , CA Lời giải  a Xét ABC , có BI IC  AI  ABC vuông A  BAC 90 B M C   Lại có: BAD CAE 90  đpcm b Ta có: BAD#EAC  gg   AD AE  AB.AC  S ABC S DAE O c Có OIO ' K hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng) I A O' Vậy đường trịn ngoại tiếp OKO ' đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật, có đường kính IK mà: IK  BC I d Ta có: AI OA.O ' A 4,5.2 9  AI 3cm Xét  900 )  BCD( B 1 1  2     AB 2, 68cm 2 AB BC BD 36 36 2 2 2  Xét ABC ( A 90 )  BC  AB  AC  CA BC  AB 36  7,  AC 5, 4cm Bài 2: O; R  O '; r  Cho hai đường trịn   tiếp xúc ngồi với A Vẽ tiếp tuyến chung BC với B   O  , C   O ' Đường thẳng vng góc với OO ' kẻ từ A cắt BC M a) Tính MA theo R r b) Tính diện tích tứ giác BCO ' O theo R r c) Tính diện tích BAC theo R r d) Gọi I trung điểm OO ' Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn  I ; IM  Lời giải  a) Chứng minh được: O ' MO 90 Aps dụng hệ thức lượng tam giác vng ta tính được: MA  Rr b) Chứng minh S BCOO '  R  r  Rr c) Chứng minh được: S SOMO ' BC Rr Rr  BC  BAC#OMO '  BAC   S   ABC  M Rr SOMO '  OO '   OO ' d) Tứ giác OBCO ' hình thang vng B C có DIM1 đường trung bình  IM  BC  M  I E Bài 3: O O' Cho hai đường tròn     tiếp xúc A B O H Kẻ đường kính AOB , AO ' C Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn Gọi M giao điểm BD CE  a Tính DAE b ADME hình ? Vì ? c Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn d Chứng minh: MD.MB ME.MC e Gọi H minh trung điểm BC , chứng MH  DE Lời giải      :2  A  1800  O   900  DAE   A1  A 900   :2  A2  1800  O  a) Ta có: b) Có c) Gọi ADME I hình chữ nhật (tứ giác có góc vng hình chữ nhật) giao điểm DE AM  ID IA   IAO IDO(ccc )  IAO IDO 900  MA  OA  A  (O ) Chứng minh tương tự: MA  O ' A  A  (O ') Vậy MA tiếp tuyến chung hai đường trịn  d Ta có: MAB( A 90 ), AD  MB  MA MD.MB A 2 O' C MAC ( A 900 ), AE  MC  MA2 ME.MC  MB.MD ME.MC B     e) M  D1 B1  BMA 90  MH  DE Bài 4: A' Cho ba điểm J , I , J ' nằm đường thẳng theo thứ tự Cho biết IJ 10cm , IJ ' 4CM IJ đường kính J O Vẽ đường tròn   O B' A kính IJ ' O O' a Chứng minh     tiếp xúc I b Gọi A tia O' cắt   AI O điểm đường tròn   , A' Chứng minh AIJ #A ' IJ ' c Qua điểm ( B A I O kẻ cát tuyến cắt   B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ O' ), cắt đường tròn   B' Chứng minh: IAB#IA ' B ' d Chứng minh rằng: OAB#O; A ' B ' e ABA ' B ' hình ? Lời giải a) Ta có: OO ' OI  O ' I Vậy Hai đường trịn tiếp xúc ngồi  A  A ' 900  AII #A ' IJ '   I I  b) Xét AIJ A ' IJ ' có:  c) AII #A ' IJ '  gg   J' O' I O' đường trịn   đường ngồi IA IJ 10     1 IA ' JI '  '  IB  OB   B OIB#O ' IB '  gg   OB / / O ' B '  B   1 IB ' O ' B ' I Từ  1    IA IB    ; AIB  A ' IB  IAB#IA ' B '  cgc  IA ' IB ' d) IAB IA ' B '(cgc)  AB IA OA OB OA OB AB   ;       AOB A ' O ' B ' A ' B ' IA ' O ' A ' O ' B ' O ' A' O ' B ' A' B ' e       ) AOB#A ' O ' B '  OBA O ' B ' A '; OBI O ' B ' I '  ABI  AB ' I '  AB / / A ' B ' Tứ giác có hai cạnh đối song song hình thang Bài 5: Cho điểm A, B, C theo thứ tự ABA ' B ' D đường thẳng AB 4 BC Trên nửa măt phẳng bờ AC vẽ nửa đường trịn tâm O đường kính AB F nửa đường trịn I tâm O ' có đường kính BC Tiếp tuyến G E chung hai nửa đường trịn có tiếp điểm A với đường trịn  O F O B O' C với nửa đường O' tròn   G , cắt tiếp tuyến vẽ từ C hai nửa đường tròn D A E Tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn B cắt DE I a Chứng minh tam giác OIO ' , OID , O ' IE tam giác vuông b Đặt O ' C a (a độ dài cho trước) Tính BI , EG AD theo a c Tính diện tích tứ giác ADEC theo a Lời giải a Theo tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù ta có: IOO ' vng vng O, IO ' E vuông O ' b Ta có: OB 2 BC 4a I , OID IOO '( I 900 )  IB  OO '  IB OB.O ' B 4a  IB 2a 2  ' 900 )  O ' G EG.GI  GE  O ' G  a  a  IG IB IF 2a   AD 8a IO ' E (O GI 2a 1 a S ACED  ( EC  AD) AC  (8a  ).10a 42,5a 2 2 c) Ta có: Dạng 2: Các tốn liên quan đến hai đường tròn cắt Cách giải : Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn cắt Bài 1: O;12cm  O ';5cm  Cho hai đường tròn   , A OO ' 13cm O a) Chứng tỏ hai đưuòng tròn   O  O ' cắt nhua hai điểm phân biệt H O' B b) Gọi A, B giao điểm hai đường tròn  O   O ' Chứng minh OA tiếp O' tuyến đường tròn   , OA tiếp tuyến O đường tròn   Tính độ dài AB Lời giải a) Ta có: 12   13  12   R  R '  d  R  R '  O O' nên hai đường tròn     cắt hai điểm phân biệt 2 2 2 b) OA  O ' A 12  169; O ' O 13 169 OAO ' có: OA2  O ' A2 O ' O , theo định lý Pytago đảo tam giác OAO ' vng A Có OA  O ' A OA tiếp tuyến đường tròn  O ' O ' A tiếp tuyến đường tròn  O  O ' O đường trung trực đoạn AB Gọi H giao điểm O ' O AB nên AH O ' O OA.O ' A  AH  120 AB 2 AH   cm  13 Vậy OA.O ' A 12.5 60    cm  O 'O 13 13 Bài 2: O O' Cho hai đường tròn     cắt A bờ B AB ) ( O O ' thuộc hai nửa mặt phẳng B Kẻ đường kính BOC BO ' D O O' a Chứng minh ba điểm C , A, D thẳng C hàng D A b Biết OO ' 5cm, OB 4cm, O ' B 3cm Tính diện tích tam giác BCD Lời giải   BAC ( AO  BC )  BAC BAD 900  a Cách 1: đpcm  OO '/ / CD  1 Cách 2: BCD có OO ' đường trung bình ABC  OO '/ /CA   có OI đường trung bình  C , A, D Từ     thẳng hàng 1 B  S BCD  BC.BD  8.6 24(cm ) 2 b) Ta có: OBO ' vng B  BCD vuông Bài 3: O O' Cho hai đường tròn     giao M N Gọi I M vng góc O O' đường tròn     Hai đường thẳng vng góc với B H trung điểm OO ' Đường thẳng kẻ qua A O cắt đường tròn   a Chứng minh M MI K cắt B O A B AB A P ,  O ' M P ởQ trung điểm AB b MI cắt PQ E, chứng minh: EP EQ 10 I E O' N Q F nhật BLMI    hình vng  BLC KIO  LBC OKIMBIK A O R E B N 0        Mà: BIK  IBA 90  LBC  IBA 90 , có: LBC  LBI  IBA 180 d) Có OMCN hình vuông cạnh a cố định  C cố định AB ln qua C Dạng 3: Các tốn hai đường trịn khơng cắt Cách giải: Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường trịn khơng giao Bài 1: Cho hai đường trịn đồng tâm O , có bán kính R r Dây MN đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ A B Gọi BC đường kính đường trịn nhỏ Tính AC giá trị biểu thức   AM  AN  theo R r Lời giải Kẻ OE  AB; OF  AC Đặt AC a, AM b, AN c 2  a  c b  a   c b  r      ; R       2    2   Ta có: 2 Chứng minh được: a  b  c 2  r  R  Bài 2: 13 Cho hai đường tròn  O; R   O '; r  M E Gọi MN tiếp tuyến chung ngoài, H N EF Là tiếp tuyến chung ( M  O  , N F E O thuộc O' thuộc  O;  ) Tính bán kính đường trịn  O   O ' K trường hợp sau: a) OO ' 10cm, MN 8cm, EF 6cm b) OO ' 13cm, MN 12cm, EF 5cm Lời giải a) Kẻ O ' H  OM ; OK  O ' F Ta có: OH R  r; O ' K R  r , 2 2 2 mà OH O ' O  MN 36; O ' K O ' O  EF 64  OH 6; O ' K 8  R 7cm; r 1cm 17 R  cn, r  cm 2 b) Tương tự tính được: Bài 3: Cho hai đường tròn  O; 6cm   O '; 2cm  nằm Gọi AB A tiếp tuyến H chung ngoài, CD tiếp tuyến chung D O O' hai đường tròn ( A, C   O  ; B, D   O ' ) Biết AB 2CD , tính độ dài đoạn nối tâm C OO ' K Lời giải a) Kẻ O ' H  OA; O ' K  OC Tính được: OH 4cm, OK 8cm , 2 2 Đặt CD x  AB 2 x; O ' O 64  x O ' O 16  x  x 4  OO '  80cm Bài 4: 14 B Cho hai đường tròn  O   O ' nằm Kẻ tiếp tuyến chung CD ( A, C   O  ; B, D   O ' ) chung MN AB Tiếp A E tuyến O O' cắt AB, CD theo thứ tự N E , F ,  M   O  , N   O '  Chứng minh: a) B M C AB EF b) EM FN Lời giải a) Ta có: AB  AE  BE EM  EN CD FD  FC NF  NE  AB  CD 2 EF  AB EF b) Ta có: EM  AB  EB EF  EN NF 15 F D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho đường tròn  O; R   O '; R ' cắt A, B Khẳng định sau A) AB đường trung trực OO ' B) OO ' đường trung trực dây C) OAO ' B AB hình thoi D) Cả A, B, C Chọn đáp án B A Giải thích: Ta có: OA OB R; O ' A O ' B R ' Do O, O ' thuộc đường trung trực Vậy đường trung trực dây OO ' O' O B AD AB *) Chú ý: Ta có OA OB R; O ' A O ' B R ' Mà R, R ' chưa nên OA O ' A; OB O ' B Vậy AB đường trung trực nên OAO ' B hình thoi Câu 2: Cho hai đường trịn  O;13cm   O ';15cm  cắt A, B cho OO ' Tính độ dài O 'O A) 11 cm  B) 13  cm  C) 14  cm  D) 15  cm  16 AB 24  cm  Chọn đáp án C A Giải thích: Gọi Từ  AIO  AIO ' 900  I OO ' AB    IA IB  AB 12  cm   vng AIO I O , ta có: B OI  132  122  25 5  cm  Từ AIO ' vuông I O' I , ta có: O ' I  152  122  81 9  cm  Do OO ' 5  14  cm  Câu 3: Cho hai đường tròn  O   O ' cắt A, B Gọi Qua A vẽ đường thẳng vng góc với IA cắt  O  C I trung điểm cắt  O ' D So sánh OO ' AC AD A) B) AC  AD C) AC  AD Chọn đáp án A D) Không so sánh C Giải thích: Vẽ AC  AD M A OM  AC M  MA MC  AC  1 N O ' N  AD  N  NA ND  AD   Hình thang OO ' NM có: IO IO ' I O O' D B IA / / OM / / O ' N  MA NA Từ  1    AC  AD Câu 4: Cho hai đường tròn  O   O ' tiếp xúc A song song với thuộc nửa mặt phẳng có bờ OO ' Vẽ hai bán kính Tam giác MAN OM tam giác gì? A) Tam giác cân B) Tam giác vuông C) Tam giác D) Tam giác vuông cân 17 O'N Chọn đáp án B M Giải thích: Ta có N OAM cân A O O  AOM 1800  A1  1 O'   O ' AN cân O '  AO ' N 180  A   Cộng  1   theo vế, ta được:  AOM  AO ' N 3600  A  A     A  A   3600  AOM  AO ' N   3   Mà AOM  AO ' N 180  3  Từ Ta có: 0 A  A   360  180 900 2    MAN 1800  A1  A2 900 Vậy MAN vuông A Câu 5: Cho hai đường tròn  O;8cm   O ';5cm  tiếp xúc tuyến chung hai đường tròn  A   O  ; B   O '  Tính độ dài AB M Gọi AB (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai) 8, 75  cm  B) 10,85  cm  C) 12, 65  cm  Chọn đáp án C D) 14, 08  cm  A) A Giải thích: Vẽ BC / /OO '  C  OA   1 Ta có: OA / / O ' B   AB     OCBO ' Từ     hình bình hành Do Có: B C O OC O ' B 5  cm  ; BC OO ' 13  cm  AC OA  OC 8  3  cm  18 tiếp M O' 2 ABC vuông A  AB  BC  AC  132  32 12,65  cm  Câu 6: Gọi O trung điểm đoạn thẳng đoạn thẳng qua A AB Vẽ đường tròn  O; OA   B; BA  Kẻ cắt hai đường tròn  O   B  théo thứ tự C D Khẳng định sau A) Hai đường tròn  O   B  tiếp xúc B) AB CD C) OC / / BD A D) Cả A, B, C Chọn đáp án D D Giải thích: A) Ta có A, O, B C thẳng hàng (1) A OB  AB  OA   O B Từ  1     O; OA  B; BA  tiếp xúc A B) AB OC ABC nội tiếp đường tròn  O  có cạnh đường kính nên tam giác vuông C  BC  AD  AC CD đường trung bình ABD  OC / / BD Câu 7: Cho hai đường tròn  O   O ' cắt (không qua hai tâm) cắt  O  A) Ba điểm E , B, F C cắt  O ' A D B Một đường thẳng qua Vẽ đường kính AOE Khẳng định sau sai thẳng hàng B) EC / / FD OO '  EF C) D) A, B đúng, C sai 19 A AO ' F Chọn đáp án C C Giải thích: A D O A) ABE nội tiếp đường trịn   có cạnh O AE đường kính nên ABE 90 O' E F B  Tương tự: ABF 90   EBF  ABE  ABF 1800 Vậy E , B, F thẳng hàng B) Tương tự ta có: ACE  ADF 900  EC  CD; FD  CD  EC / / FD   CD  C) Ta có: OA OE ; O ' A O ' F  OO ' đường trung bình AEF  OO '  EF Câu 8: Cho hai đường tròn  O; R   O '; R  cắt nằm đường tròn Tính theo R A) R A R C) R Chọn đáp án A cho tâm đường trịn diện tích tứ giác B OAO ' B B) D) R2 A Giải thích: Ta có: OA OB O ' A O ' B R OAO ' B hình thoi  SOAO ' B O OO ' AB  OAO ' tam giác có AI đường cao AI  I B OA R  ; AB 2 AI R 2 20 O'