Hh9 c2 b5 dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A Tóm tắt lý thuyết a Định nghĩa: Một đường thẳng gọi tiếp tuyến đường tròn có điểm chung với đường trịn I Các định lí a) Định lí 1: Nếu đường thẳng a tiếp tuyến đường O O; R  trịn  vng góc với tiếp tuyến qua tiếp điểm O; R  b) Định lí 2: Nếu đường thẳng a qua điểm đường trịn  vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn a) Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Giả thiết O Đường thẳng a , điểm C thuộc   a  OC C Kết luận O; R  tiếp tuyến đường tròn  b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn a đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Giả thiết O; R  Đường tròn  đường thẳng a d khoảng cách từ O đến a d R Kết luận O; R  tiếp tuyến đường tròn  c) Nếu đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng tiếp a tuyến đường trịn B Bài tập áp dụng dạng toán Dạng 1: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn O; R  Cách giải: Để chứng minh đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn  tiếp điểm C , ta làm theo cách sau: O Cách 1: Chứng minh C nằm   OC vng góc với a C Cách 2: Kẻ OH vng góc với a H chứng minh OH OC R O Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a '   chứng minh a trùng với a ' Cho tam giác ABC Bài 1: có A AB 6cm, AC 8cm, BC 10cm Vẽ đường tròn C B  B; BA  Chứng minh AC tiếp tuyến B đường tròn   Lời giải 2 0  Ta có: BC  AB  AC  BAC 90 90  BA  AC B Vậy AC tiếp tuyến đường tròn   Bài 2: O Cho đường tròn   dây AB Gọi M trung điểm AB , vẽ bán kính OI qua O M Từ I vẽ đường thẳng xy / / AB Chứng A minh xy tiếp tuyến đường tròn M x B y I  O Lời giải O Xét đường trịn   , ta có OI  AB (đường kính qua trung điểm dây góc với dây) Mà xy / / AB  OI  xy  xy tiếp tuyến đường tròn Bài 3: O; R  Từ điểm A ngồi đường trịn  vẽ tiếp B tuyến AB ( B tiếp điểm), C điểm E O đường tròn   cho AC  AB A a) Chứng minh AC tiếp điểm O D M C O đường tròn   b) D điểm AC Đường thẳng qua C O vng góc với OD M cắt đường tròn   E ( E C ) Chứng minh DE tiếp O tuyến đường tròn   Lời giải OC OB  R  ; OA : chung ; AC  AB  gt   OAC OAB  ccc  a) Xét OAC OAB , có:    OCA OBA 900  AC tiếp tuyến đường tròn  O  b) OD  EC  gt   M OD trung điểm EC (định lí đường kính vng góc với dây cung)   900 (tính chất đối xứng đường trung trực đoạn thẳng EC  DE DC  OED OCD  A trục) O Vậy DE tiếp tuyến đường tròn   D O Bài 4: Cho ABC , hai đường cao BD CE cắt H E H B a) Chứng minh bốn điểm A, D, H , E M nằm đường trịn đường kính AH b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh MD tiếp tuyến đường tròn đường kính AH Lời giải a) Gọi O trung điểm AH OD OE OA OH  AH Xét ADH AEH vuông D E ta có: Suy bốn điểm A, D, H , E nằm đường trịn đường kính AH MD MB  BC b) Tam giác DBC vng D có DM đường trung tuyến nên C   Ta có: ODA OAD ( OAD cân)    OAD DBC (phụ với ACB )   DBC BDM (Vì MBD cân)   Do đó: ODA BDM Ta có:        ODA  ODB 900  BD  AC   BDM  ODB 900 ODA BDM  Hay ODM 90  MD  OD  A Vậy MD tiếp tuyến đường trịn đường kính AH F Tương tự ta chứng minh ME tiếp tuyến đường trịnPđường kính AH Bài 5: E  ABC Cho vuông A , đường cao AH B Đường trịn tâm I đường kính BH cắt AB I H E , đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC Tại F Chứng minh rằng: a) AH tiếp tuyến chung hai đường tròn  I   J  H I b) EF tiếp tuyến   E , tiếp tuyến J   F Lời giải a) Gọi I trung điểm BH I tâm đường trịn đường kính BH Gọi J trung điểm HC J tâm đường trịn đường kính HC Ta có: IH  AH  BH tiếp tuyến đường trịn đường kính BH Cũng BH tiếp tuyến đường trịn đường kính HC I J Vậy AH tiếp tuyến chung đường tròn        b) Ta có: A E F 90  AFHE hình chữ nhật Gọi P giao điểm AH EF J C Ta có: PE PF PH PA Lại có:  IHP  PEI PHI  ccc   IEP 900  EF I tiếp tuyến đường tròn   A Chứng minh được:  PHJ  PEJ PHJ  ccc   IFJ 90  EF tiếp tuyến đường tròn  J O Bài 6: Cho ABC cân A có đường cao AH K BK cắt I Chứng minh I a) Đường trịn đường kính AI qua K b) HK tiếp tuyến đường tròn đường H B C kính AI Lời giải  a) Chứng minh được: BKA 90 b) Gọi O trung điểm AI Ta có:   - OK OA  OKA OAK A    - OAK HBK (cùng phụ với ACB ) D O      HB HK  HBK HKB  OKA HBK  HKO 900 Bài 7: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE E H cắt H B a Chứng minh bốn điểm A, D, H , E nằm đường tròn O b Gọi   đường tròn qua bốn điểm A, D, H , E M trung điểm BC O Chứng minh ME tiếp tuyến   M C Lời giải  900 )  D   O; AH ADH ( H   a) Xét   AH    ; AEH E 90  E   O;       Vậy điểm A, D, H , E thuộc đường tròn b) Xét   90 BEC E , M trung điểm BC  EM MC  EMC cân M    CEM ECM   Ta lại có AOE cân O  AEO EAO      Mặt khác EAO EAM (cùng phụ với ABC ) AEO  OEC 90  OE  ME  ME tiếp tuyến O đường tròn   Bài 8: O; R  Cho  đường kính AB Vẽ dây AC C  cho CAB 30 , tia đối tia BA lấy điểm M cho BM R Chứng minh : A O B M O a MC tiếp tuyến đường tròn   2 b MC 3R Lời giải 0   a Ta có: ACB 90  ABC 60  BOC  BC OB BM R Vậy OCM vuông C (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)  OM  OC  MC tiếp tuyến đường tròn (O)   b BMC cân B  BCM M 30 BCM #CAM ( gg )  MC MB   MC MA.MB 3R MA MC Bài 9: Cho tam giác ABC vng A , có A AB 8cm, AC 15cm Vẽ đường cao AH Gọi F D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường E trịn đường kính CD cắt AC E B D H a Chứng minh HE tiếp tuyến C O đường tròn b Tính HE Lời giải  O  DEC 900  DE / / AB a Ta có E thuộc đường tròn   +) Gọi F trung điểm ABDE  HF  AE  AHE AE  HF đường trung bình hình thang   cân H  A1 E1 +)Ta có: c cân  C   E  E   A  C  900  HEO  O E 900  HE  OE (đpcm) 2  b Xét ABC ( A 90 )  BC 17cm 120 AH BC  AB AC  AH HE   cm  Ta có: Bài 10: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường A O trịn tâm   Vẽ hình bình hành ABCD , tiếp D N tuyến C đường tròn cắt đường thẳng O AD N Chứng minh : a Đường thẳng AD tiếp tuyến đường B O tròn   b AC , BD, ON đồng quy Lời giải A  OA  BC  1 a Ta có ABC cân  AD / / BC   Vì tứ giác ABCD hình bình hành I C  AD // BC (2)  AD  OA  Từ     đpcm b Gọi I giao điểm AC BD  I trung điểm AC  I  ON ( NA, NC tiếp tuyến)  AC , BD, ON đồng quy (đpcm) Bài 11: Cho tam giác ABC cân A Vẽ đường trịn A tâm D đường kính BC cắt AC AB E F Gọi H giao điểm BE O CF Chứng minh : F a A, E , H , F thuộc đường tròn E b DE tiếp tuyến đường tròn câu a B D Lời giải a Ta có D tâm đường trịn đường kính BC  DC DB DE DF  BEC , BFC vuông +) Gọi O trung điểm AH  OF OE  AH Vậy điểm A, E , H , F thuộc đường tròn b Có H trực tâm ABC  AD đường trung trực BC  A, H , D thẳng hàng 0           Mà B1 E1; E2 H H1  E1  E2 H  H1 90  OED 90  DE tiếp tuyến (đpcm) Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng C Cách giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp tuyến sử dụng cơng thức hệ thức lượng tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: O Cho đường trịn tâm   có bán kính OA R , B dây BC vng góc với OA trung điểm M OA a) Tứ giác OACB hình gì? Vì E A M O b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B , cắt đường thẳng OA E Tính độ dài BE theo C R Lời giải a) OA vng góc với BC M  M trung điểm BC  OCAB hình thoi b) Tính được: BE R Bài 2: O Cho đường trịn   có dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB , cắt tiếp tuyến A O A O   C B a Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn O b Cho bán kính   15cm dây C AB 24cm Tính độ dài đoạn thẳng OC Lời giải a Xét OAC OBC , có : OA OC R    OAC OBC (cgc)  OBC OAC 900   OC : chung đpcm 2   b Xét OBC; OBI ( I 90 )  OI OB  BI  OI 9cm , áp dụng   900 OBC B Xét , OB OI OC  OC  áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: OB 225  25(cm) OI Bài 3: Cho ABC vuông A , AH đường cao, A AB 8cm, BC 16cm Gọi D điểm đối xứng E với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD 8 cắt AC E  B 60 a Chứng minh HE tiếp tuyến D H C O đường trịn b Tính độ dài đoạn thẳng HE Lời giải   AB   B  600 ABC A 900 , cosB BC a Xét   Xét ABD có AH đường cao đồng thời đường trung tuyến nên ABD cân A ,  600  ABD B tam giác +) Ta có OD OE  ODE cân O   Có: AB / / DE  ABC EDC 60  ODE  DE DH DO  BC   HEO 900  HE tiếp tuyến đường trịn đường kính CD 2 2 2  b Xét HEO ( E 90 )  HO HE  EO  HE 8  12  HE 4 3(cm) Bài 4: O; R  Cho nửa đường tròn tâm  đường kính E AB Một đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn C Gọi A B D xy E AD  BE C D x Chứng minh rằng: a) C trung điểm b) Tổng hình chiếu y DE A không đổi C di động nửa đường tròn 10 H O B c) Tích AD.BE DE Lời giải a) Nối OC ta OC  xy Ta có: AD / / BE / /OC   xy  Mặt khác OA OB  CD CE b) Kẻ CH  AB Xét hai tam giác vng DAC HAC có: +) AC : chung  AD  AH   DAC HAC  ACO  DAC HAC   CD CH +)  Chứng minh được:  BE BH ; CE CH  AD.BC  AH BH  1 Điểm C nằm nửa đường trịn đường kính AB nên CAB vng C Vậy AH BH CH   DE  DE  2  AD BE  CH  CD CE           Từ đpcm Bài 5: O; R  Cho đường tròn  dây AB 1, R Vẽ tiếp tuyến song song với AB , cắt A tia OA OB thoe thứ tự M N Tính R A diện tích MON M Lời giải a) Nối OH ta OH  MN (tính chất tiếp tuyến) Ta lại có AB / / MN  OH  AB I Theo tính chất đường kính vng góc với dây ta được: 1, R IA IB  0,8R 11 I H B N Tam giác IOA Xét MON có số đồng dạng) vuông I  OI OA2  IA2 R   0,8R  0,36 R  OI 0, R AB / / MN  OAB#OMN   MN  AB OI  MN OH (tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ AB.OH 1, R   R OI 0, R 1 S MON  MN OH  R.R  R 2 3 Diện tích tam giác MON là: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Xét tốn: Cho góc xAy (khác góc bẹt) lấy điểm 12 D tùy ý cạnh Ax Hãy nêu cách dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với Ax D tiếp xúc với Ay Hãy xếp cách hợp lí câu sau để lời giải toán a) Dựng tia phân giác At góc xAy cắt d O b) Dựng đường tròn  O; OD  Đó đường trịn cần dựng c) Qua D dưụng đường thẳng d vng góc với Ax d) Dựng góc xAy khác góc bẹt lấy điểm cạnh Ax D Sắp xếp sau hợp lý? A) c), b), a), d ) B) d ), a), b), c) C) d ), c), a), b) Chọn đáp án C D) a), b), d ), c) x d Giải thích: D t Lời giải tốn sau d) Dựng góc xAy O khác góc bẹt lấy điểm D cạnh Ax c) Qua D y A dưụng đường thẳng d vng góc với Ax a) Dựng tia phân giác At góc xAy cắt d O b) Dựng đường tròn  O; OD  Đó đường trịn cần dựng Câu 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD AB BC vuông góc với xy Từ điểm M nửa đường tròn ta Điền Đ (đúng) S (sai) vào c ác ô trống khẳng định sau: A) MC MD B)  AD  BC có giá trị không đổi điểm C) Đường D)  Diện M chuyển động nửa đường trịn trịn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC tích tứ giác ABCD lớn M AB điểm nằm cung trịn đường kính AB 13 Chọn đáp án B Giải thích: D A) Đúng Xét ABCD , ta có: AD / / BC   xy   ABCD M hình thang vng C OA OB  MC MD  OM / / AD  Lại có: A O H B B) Đúng Dựa theo kết tên ta được: AD  BC 2OM 2 R (không đổi) C) Đúng Hạ MH  AB  MH MC Vậy đường trịn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB D) Đúng Ta có: S ABCD  1  AD  BC  CD  2R.CD R.CD 2 Do S ABCD lớn CD lớn Trong hình thang vng ABCD , ta có nhận xét: CD  AB 2 R  CDmax 2R đạt ABCD hình chữ nhật, nên OM  AB Do kính M điểm cung tròn đường AB Câu 3: Từ điểm A bên ngồi đường trịn  O; R  , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn Đường thẳng vng góc với OB O cắt tia AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia A) Hình bình hành AB M Xác định hình dạng tứ giác AMON B) Hình thoi C) Hình chữ nhật D) Hình vng 14 Chọn đáp án B B Giải thích: M Xét AMON , ta có: A AM / / ON   OB  ; AN / / OM   OC   AMON hình bình hành C ta có:   OB OC R ; O1 O2 Do N Mặt khác, xét hai tam giác vuông OBM OCN , O I  (phụ với MON OBM OCN  ch  gn   OM ON Vậy AMON hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề nhau) Câu 4: Từ điểm A bên ngồi đường trịn  O; R  , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn Đường thẳng vng góc với OB O cắt tia AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt tia AB M Điểm A) OA R A phải cách O khoảng MN tiếp tuyến đường tròn  O  B) OA 2 R C) OA 3R Chọn đáp án B D) OA 4 R B Giải thích: M O; R  Để MN tiếp xúc với  A O I d  O; MN  R  OI R  OA 2 R N Với OA 2 R  MN tiếp tuyến đường C O tròn   BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: 15 O Cho đường tròn   đường kính AB 10cm E C Bx O tiếp tuyến   Gọi C điểm O    cho CAB 30 E giao điểm tia AC Bx A B O a) Tính độ dài đoạn thẳng AC , EC BC b) Tính độ dài đoạn thẳng BE Lời giải a) Tính được: AC 5 3cm, CE  cm 10 BE  cm b) Tính được: Bài 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB O M điểm nằm   Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B D I O   C D Đường thẳng AM cắt OC E , đường thẳng BM cắt OD F M C A  a Chứng minh COD 90 b Tứ giác MEOF hình gì? c Chứng minh OB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Lời giải 0   a Dễ thấy AMB 90  EMF 90  Có CM , CA tiếp tuyến  OC  AM  OEM 90  Tương tự ta có: OFM 90 16 F E O B  CAO#CMO  AOC MCO  OC phân giác AMO   Tương tự OD phân giác BOM  OC  OD  COD 90  b Do AOM cân O nên OE đường phân giác đồng thời đường cao  OEM 90  Tương tự OFM 90  MEOF hình chữ nhật c Gọi I trung điểm CD I tâm đường trịn đường kính CD IO IC ID Có ABCD hình thang vng A B nên IO / / AC / / BD Do AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Bài 3: O Cho đường trịn   đường kính AB Lấy M O thuộc   cho C M MA  MB Vẽ dây MN vuông góc với AB H Đường thẳng AN K cắt BM C Đường thẳng qua C vuông góc với AB K cắt BN D O A H B N a Chứng minh A, M , C , K thuộc đường D tròn  b Chứng minh BK tia phân giác MBN c Chứng minh KMC cân KM tiếp O tuyến   O d Tìm vị trí M   để tứ giác MNKC trở thành hình thoi Lời giải a Ta có:   CKA CMA 900  C , K , A, M   I ; AC  b MBN cân B có BA đường cao, trung tuyến phân giác c BCD có BK  CD; CN  BN  H trực tâm BCD  D, A, M thẳng hàng   Ta có DMC vng M có MK trung tuyến nên KMC cân K  KCM KMC 17 0        Lại có: KBC OMB  KMC  OMB KCB  KBC 90  KMO 90 O Mà OM bán kính nên KM tiếp tuyến đường tròn   ˆ 300  AM  R d MNKC hình thoi  MN CK ; CM CK  KCM  KBC Bài 4: O Cho đường trịn   đường kính AB , vẽ CD  OA trung điểm I OA Các tiếp tuyến với đường tròn C D D cắt M a Chứng minh A, B, M thẳng hàng M A I O B b Tứ giác OCAD hình C  c Tính CMD K d Chứng minh đường thẳng MC tiếp tuyến B; BI  đường tròn  Lời giải a AB trung trực CD , có MC MD (tính chất tiếp tuyến)  m thuộc đường trung trực CD  M  AB  M , A, B thẳng hàng b Tứ giác OCAD có hai đường chéo vng góc trung điểm đường nên hình thoi c) AOC có OA OC  AC nên tam giác    AOC 600  CMO 300  CMD 600    d Hạ BK vng góc MC , ta có: C1 C2 30  CA phân giác MCD AC  BC  CB  phân giác KCD  BI BK  đpcm (dựa vào tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau)    Ta có: MCD, DCK hai góc kề bù, CA phân giác MCD AC  BC  CB  phân giác DCK d MNKC hình thoi  MN CK ; CM CK  KCM ˆ 300  AM R  KBC 18