Bài 1 sự xác định đường tròn tính chất đối xứng của đường tròn

CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN BÀI SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày khái niệm đường trịn + Trình bày cách xác định đường tròn + Xác định đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác  Kĩ + Biết cách vẽ đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng + Chứng minh toán điểm nằm trong, nằm nằm ngồi đường trịn + Vận dụng vào tốn thực tế I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Nhắc lại đường tròn Tập hợp điểm M cách điểm O khoảng cho trước không đổi R  gọi đường tròn tâm O , bán kính R , kí Một số hình ảnh thực tế đường tròn: hiệu  O; R  Cách xác định đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Nhắc lại: Đường tròn qua ba đỉnh ABC gọi đường tròn ngoại tiếp ABC Tâm đối xứng Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn Trang Trục đối xứng Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Tập hợp điểm cách điểm khoảng cho trước không đổi gọi đường trịn tâm , bán kính , kí hiệu Khái niệm Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn ng xứ đối m Trụ c đối xứn g ĐƯỜNG Tâ Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn TRỊN Cách xác định đường trịn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh điểm nằm đường tròn  Phương pháp giải Cách Dùng định lí: “Tâm đường trịn ngoại Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A Chứng tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền” minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh BC Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Vì tam giác ABC vuông A AI đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác nên IA IB IC Vậy I tâm đường tròn qua ba điểm A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Cách Chứng minh điểm cho trước cách Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có đường cao điểm BD CE cắt I Chứng minh bốn điểm A, E , D, I thuộc đường tròn Hướng dẫn giải Gọi O trung điểm AI Tam giác ADI vuông D nên ta có OA OD OI (1) Tam giác AIE vng E nên ta có OA OE OI (2) Từ (1) (2) suy OA OD OI OE Vậy bốn điểm A, D, I , E thuộc đường trịn  O; OA  Trang  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ giác ABCD có AC vng góc với BD Gọi E , F , G, H trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh bốn điểm E , F , G, H thuộc đường trịn Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có E trung điểm AB , F trung điểm BC nên EF đường trung bình tam giác ABC  EF ∥ AC EF  AC (1) Chứng minh tương tự ta có HG ∥ AC HG  AC (2) EH ∥ BD EH  BD (3) Từ (1) (2) suy tứ giác EFGH hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song nhau) Từ (2) (3) ta có HG ∥ AC EH ∥ BD Mặt khác theo giả thiết AC  BD nên HG  HE Suy tứ giác EFGH hình chữ nhật (hình bình hành có góc vng) Vậy bốn điểm E , F , G, H nằm đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo EG FH Ví dụ Trên cạnh AB, BC , CD, DA hình vng ABCD theo thứ tự ta lấy điểm E , F , G, H cho AE BF CG DH Gọi O tâm hình vng Chứng minh điểm E , F , G, H nằm đường tròn tâm điểm O Hướng dẫn giải Xét tam giác OEA, OFB, OGC , OHD có AE BF CG DH (giả thiết);     OAE OBF OCG ODH 45 ; OA OB OC OD Do OEA OFB OGC OHD  c.g.c   OE OF OG OH Vậy bốn điểm E , F , G, H nằm đường tròn tâm O  Bài tập tự luyện dạng Trang Bài tập Câu Cho tứ giác ABCD có góc A C 90 Chứng minh bốn điểm A, B, C , D nằm đường tròn Câu Cho tứ giác lồi ABCD có đường trung trực đoạn thẳng AB, BC , AD đồng quy điểm Chứng minh đỉnh A, B, C , D tứ giác thuộc đường tròn Bài tập nâng cao Câu Cho tam giác ABC , H trực tâm tam giác ABC Lấy D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC Chứng minh bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn Câu Cho hình thang cân ABCD Chứng minh bốn điểm A, B, C , D nằm đường tròn Câu Cho tam giác ABC cân A , đường trịn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB AB N M Gọi H giao điểm BM CN a) Chứng minh AH vng góc với BC b) Chứng minh bốn điểm A, N , H , M thuộc đường tròn, xác định tâm I đường trịn Dạng Xác định vị trí điểm với đường tròn cho trước  Phương pháp giải Muốn xác định vị trí điểm M đường tròn  O; R  , ta so sánh khoảng cách OM với bán kính R theo bảng sau: a) OM 4 cm b) OM 5 cm c) OM 6 cm Hướng dẫn giải Vị trí tương đối Hệ thức M nằm đường tròn  O  OM R M nằm đường tròn  O  OM  R M nằm ngồi đường trịn  O  OM  R a) Vì OM 4 cm  R 5 cm nên điểm M nằm đường trịn b) Vì OM 5 cm R 5 cm nên điểm M nằm đường trịn c) Vì OM 6 cm  R 5 cm nên điểm M nằm đường trịn Ví dụ: Cho đường trịn  O,5 cm  Xác định vị trí điểm M đường trịn trường hợp sau  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a , đường cao BM CN Gọi O trung điểm cạnh BC a) Chứng minh bốn điểm B, C , M , N thuộc đường tròn tâm O Trang b) Gọi G giao điểm BM CN Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngồi đường trịn đường kính BC Hướng dẫn giải a) Vì tam giác BMC vng M có trung tuyến MO ứng với Vì AO đường trung tuyến cạnh huyền nên OB OC OM G trọng tâm tam giác Vì tam giác BNC vng N có trung tuyến NO ứng với cạnh nên huyền nên OB OC ON Suy OB OC OM ON Vậy bốn điểm B, C , M , N thuộc đường tròn tâm O bán kính a R OB  BC  2 b) Tam giác ABC có G trực tâm đồng thời trọng tâm 1 a a a OG  AO    R 3 Vậy G nằm đường tròn  O tam giác M , N theo thứ tự trung điểm AC , AB Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AOB , ta có a2 a a OA  a    R 2 Suy A nằm đường tròn  O   Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn có tâm O  0;  , bán kính R 3 (đơn vị) điểm A  2;1 , B   4;2  Hãy xác định vị trí tương đối điểm A, B đường tròn cho Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A  2;2  , B   1;3 Hãy xác định vị trí tương đối điểm A, B đường tròn tâm I  2;  , bán kính R 2 Bài tập nâng cao Câu Trên đoạn thẳng AM lấy điểm B cho AB 4 cm, BM 3 cm ( B nằm A M ) Dựng hình vng ABCD BMNP phía so với đường thẳng AM Dựng đường tròn tâm O , qua bốn điểm A, B, C , D Xác định vị trí tương đối điểm N , P đường tròn  O  Trang Dạng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AB 3 cm, AC 4 cm Tính bán kính đường trịn qua ba đỉnh A, B, C Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC , ta có BC  AB  AC 32  42 25  BC 5 cm Gọi O trung điểm BC Vì tam giác ABC vng A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OB OC Do ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O bán kính R OA OB OC Mà O trung điểm BC nên R  BC 2,5 cm Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8 cm, BC 6 cm Chứng minh bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng ABC , ta có AC  AB  BC 82  62 100  AC 10 cm Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Vì ABCD hình chữ nhật nên OA OB OC OD Vậy bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn tâm O bán kính R OA OC  AC 5 cm Trang Ví dụ Cho hình thoi ABCD có cạnh cm Gọi M , N , P , Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q thuộc đường trịn Tính bán kính đường trịn Hướng dẫn giải Gọi O tâm hình thoi ABCD Vì AOB vng O OM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OM  AB (1) 1 Tương tự ta có ON  BC , OP  CD, OQ  AD (2) 2 Vì ABCD hình thoi nên AB BC CD DA (3) Từ (1), (2) (3) suy OM ON OP OQ Vậy M , N , P , Q nằm đường trịn có bán kính R OM  AB 2 cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho tam giác ABC cạnh cm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Câu Cho tứ giác ABCD có AC  BD AC 6 cm, BD 8 cm Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q nằm đường trịn tính bán kính đường trịn Bài tập nâng cao Câu Cho hình vng ABCD cạnh cm Gọi M , N trung điểm AB, BC Gọi E giao điểm DN MC Chứng minh bốn điểm A, M , E , D nằm đường trịn tính bán kính đường trịn Câu Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi A điểm đối xứng A qua H Chứng minh bốn điểm A, B, C , A thuộc đường trịn tính bán kính đường trịn biết AB 2 cm góc ABC 60 Trang ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh điểm nằm đường tròn Bài tập A, B, C , D Câu Vậy bốn điểm Gọi O trung điểm BD thuộc đường trịn tâm O bán kính OA Vì tam giác ABD vng A nên đường trung tuyến AO  BD hay OA OB OD Vì tam giác CBD vng C nên đường trung tuyến CO  BD hay OB OC OD Suy OA OB OC OD Câu Gọi O giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB, BC , AD Vì O nằm đường trung trực AB nên OA OB Tương tự ta có OB OC , OA OD Khi OA OB OC OD Vậy bốn điểm A, B, C , D nằm đường tròn Bài tập nâng cao Câu Xét tứ giác BDCH có đường chéo HD BC cắt trung điểm M đường  BDCH hình bình hành Vì BDCH hình bình hành nên BD ∥ HC  BD vng góc với AB Suy tam giác ABD vng B , ba điểm A, B, D thuộc đường trịn đường kính AD (1) Vì BDCH hình bình hành nên DC ∥ BH  DC vng góc với AC Trang Suy tam giác ACD vuông C , ba điểm A, C , D thuộc đường trịn đường kính AD (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn đường kính AD Câu Giả sử hình thang cân ABCD có đáy lớn CD , đáy bé AB Vậy bốn điểm A, B, C , D Gọi E , F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD nằm đường trịn tâm O bán Khi EF đường trung trực AB, CD kính OA Gọi O giao điểm EF đường trung trực BC Vì O thuộc đường trung trực BC nên OB OC Vì O thuộc đường trung trực AB nên OA OB Vì O thuộc đường trung trực CD nên OC OD Suy OA OB OC OD Câu a) Ta có bốn điểm B, N , M , C thuộc đường trịn đường kính BC Xét tam giác BCM có BC đường kính đường tròn qua ba điểm B, C , M  tam giác BCM vuông M Xét tam giác BCN có BC đường kính đường trịn qua ba điểm B, C , N  tam giác BCN vuông N Suy BM CN đường cao tam giác ABC Mà H giao điểm BM CN nên H trực tâm tam giác ABC Từ suy AH  BC   b) Vì H trực tâm ABC nên HN  AB HM  AC  HNA HMA 90 Xét tam giác AHN vuông N suy ba điểm A, H , N nằm đường trịn đường kính AH (1) Xét tam giác AHM vuông M suy ba điểm A, H , M nằm đường tròn đường kính AH (2) Trang 10 Từ (1) (2) suy bốn điểm A, M , N , H nằm đường trịn đường kính AH có tâm I trung điểm AH Dạng Xác định vị trí điểm với đường tròn cho trước Bài tập Câu Kẻ AH  Ox, BK  Ox  H , K  Ox  Vì OB 2  R Xét tam giác vng AOH có AH 1, OH 2 nằm ngồi đường trịn  O  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AOH , ta có nên B OA OH  HA2 12  22 5  OA  Vì OA   R nên A nằm bên đường tròn  O  Xét tam giác vng OBK có OK 4, BK 2 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông OBK , ta có OB OK  KB 42  22 20  OB 2 Câu Ta có IA 2 R nên điểm A nằm đường tròn  I  Kẻ BH  Ox  H  Ox  Xét tam giác vuông IBH có IH 3, BH 3 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng IBH , ta có IB IH  HB 32  32 18  IB 3 Vì IB 3  R nên điểm B nằm ngồi đường trịn  I  Tọa độ điểm B Oy Bài tập nâng cao Câu Đường tròn  O  qua bốn điểm A, B, C , D giao điểm hai đường chéo AC BD Suy bán kính đường trịn  O  R OB  BD Trang 11 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABD , ta có BD  AB  AD 42  42 32  BD 4 cm Do R  BD 2 cm Vì đường trịn  O  qua điểm A, B, C , D nên cạnh BC nằm bên đường tròn Mặt khác P nằm BC nên OP  OB R Suy P nằm bên đường tròn Dựng OI  MN  I  MN  1 Ta có OI BM  AB 5 cm IN MN  BC 1 cm 2 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OIN , ta có ON OI  IN 52  12 26  ON  26 cm Vì ON  26  2 R nên N nằm đường trịn  O  Dạng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài tập Câu Gọi O giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC Vì ABC tam giác nên O trọng tâm trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác Vậy A, B, C nằm đường trịn tâm O bán kính 2 OA  AM   cm 3 Câu Xét tam giác ABC có MN đường trung bình nên MN ∥ AC MN  AC 3 cm (1) Xét tam giác ABD có MQ đường trung bình nên MQ ∥ BD MQ  BD 4 cm (2) Trang 12 Xét tam giác ADC có PQ đường trung bình nên PQ ∥ AC PQ  AC 3 cm (3) Từ (1) (3) ta có MN ∥ PQ MN PQ nên tứ giác MNPQ hình bình hành Theo giả thiết có AC vng góc với BD nên từ (1) (2) ta có MN vng góc với MQ Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Vì tam giác MNP vng N nên ba điểm M , N , P thuộc đường trịn đường kính MP (*) Vì tam giác MQP vuông Q nên ba điểm M , Q, P thuộc đường trịn đường kính MP (**) Từ (*) (**) suy bốn điểm M , N , P, Q nằm đường trịn có đường kính MP Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng MNP , ta có MP MN  NP 32  42 25  MP 5 cm Vậy bán kính đường trịn qua bốn điểm M , N , P, Q R  MP 2,5 cm Bài tập nâng cao Câu  C  Ta có MBC NCD  c.g.c  nên D 1  N  90 nên C  N  90 Mà D 1 1  N  90 nên  Xét tam giác ENC có C CEN 90 1 Gọi O trung điểm DM Vì tam giác ADM vng A có trung tuyến AO ứng với cạnh huyền nên OA OD OM Vì tam giác DEM vng E có trung tuyến EO ứng với cạnh huyền nên OD OM OE Vậy bốn điểm A, M , E , D nằm đường tròn tâm O đường kính DM Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng, ta có DM  AD  AM 42  22 20  DM 2 cm Vậy bán kính đường trịn qua bốn điểm A, M , E , D R  DM  cm Câu Trang 13 Ta có BC đường trung trực đoạn thẳng AA nên Vậy bán kính đường trịn qua bốn BA BA, CA CA điểm   A  90 Khi ABC ABC  c.c.c   A Vì tam giác ABC vng A nên ba điểm A, B, C nằm A, B, C , A R  BC 2 cm đường trịn đường kính BC Vì tam giác ABC vuông A nên ba điểm A, B, C nằm đường trịn đường kính BC Vậy A, B, C , A nằm đường trịn đường kính BC Xét tam giác vng ABC có cos ABC  AB AB  BC  4 cm BC cos 60 Trang 14