Sự phân tích nguyên sơ của mođun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LH Do LUAN VAN THAC SI TOAN HOC SU PHAN TICH NGUYEN SG CUA MODUN Chuyén nganh Người hướng dẫn Người thực ree saw : Dai sé : Tiến Si My Vinh Quang : Trần Phúc coronene > a0 ` ì THU-VIEN Trường | T! Bai-tlow Su Phm H+C1ôC: h1: (A1) tđ4 Shaul Dhé Fé Chi Minh - 2002 | | Loi Cam On ôi xi chin cam on Thay Sién Si My, Oink Quang da tin tinh goi YU, luting dan, gitip dé, ding vitn Féi hodu lugu van nay, mae di Thay bin obi biét bao céug viée Fai xin bay té lòng biét on dé6i vdi Quy Ghay Khoa Dai Jee Su Dham va Dai Foe Khoa J6ge Gu Whién Goan da tận tinh truyén dat kién thute, da cho FTéi nhiing gié hee tuyét vdi ma mét dei F6i khéing bao gid quén Hin cain on Quy Ghay da khoi lai Féi niém say mé nghién atu Sodan mai mai khéng mét medi ôi xin chin on Ban Gidin Wiéu Ferung Jee Dhé Ghéing Wguyén Shi Minh Khai va bạua đồng ngiiệp tạo điều kiện để hồn thnÍt luận odn Cp 20ồ Chi Minh, 07 thing 01 ndim 2002 MỤC LỤC cœs£Elœ»› CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN S1 - Vành thương §2 - Mở rộng thu hẹp §3 - Ideal nguyên sơ CHƯƠNG II : MODUN NGUYEN TO VÀ MOĐUN NGUYÊN SƠ §1 - Mođun nguyên tố mođun nguyên sơ §2 - Một số tính chất mođun tối đại, mođun nguyên tố, mođun nguyên sơ 10 va modun thương M/P 17 S3 - Mối liên hệ mođun nguyên tố P với SP, CHUONG III : SU PHAN TICH NGUYEN SO CUA MODUN §1 - Tính phân tích ngun sơ 21 §2 - Vành Nơte mođun Nơte với phân tích ngun sơ §3 - Mođun Q S(Q) 30 34 §4 - Điều kiện tồn phân tích nguyên sơ mođun Hh Cree TN 38 DAT VAN DE ‘Trong vanh TF , ching ta có định ly aơ số họa sau đâu ; “Moi 16 khae o khong kha nghich déu phan tich; đượa nhat tich sáo số nguuẽn tố dới liy thita nguyén duong tương ứng ( khong ké dén su kháa biệt thứ tự bháa dấu trừ )” St quan diém ideal’ dành , định [y trén só thể phát bigu lai nhu sau :” Mot ideal bat ky vanh chinh bao gid eting od thể phan tich giao ede ideal nguuên aơ` Su phan tich trong nghiên ideal ede ideal nguyén 40 2d mot vai tro quan ouu edu trie ideal va vanh The’ nhung khong phdi moi ideal’ mst vanh giao hodn cd don vj só thé duge phan tich cde ideal nguyén so (ngay ed doi với miền nguyen) Can phdi cd diéu biện gi dé mgt ideal ed thé phan tich duu thành ede ideal nguyen s0 ? Tai ligu tham khdo [1] da gidi quyet khd ou thé vé tinh nhat cia su phan tich nquyén so ella ede ideal ‘Trong nhan S, dé tai nay, dựa tren modun (Om) cua déng edu M > ede thương M, ching , edn atta modun , hat ta mở tộng vige nghién cứu sang link vue modun gom ‘ @ Nohien © B cho g(s) kha nghich B với s thuộc S, tổn đồng cấu vành h: S°A——>B cho g =ho f Vành S''A va đồng cấu f: A——>S'`A có tính chất sau ¡) Nếu s thuộc S f(s) khả nghịch SA ii) Nếu f(a) = tổn s thuộc S cho as = ii) Mọi phần tử SA có dạng f (a) f (s) với a thuộc A, s thuộc S 1.3 MỆNH ĐỀ 1.3 Cho g: A———> ¡)_ B đồng cấu vành cho Nếu s thuộc S g(s) khả nghịch B ii) Nếu g(a) = tổn s thuộc S cho as = ii) Mọi phần tử S có dạng g(a).g(s)` tổn đẳng cấu h: S'A——*B cho g=hof Cấu trúc S''M thực cách xây dung S''A Cho M 1a mét A-modun va S 1a l tập nhân A Khi định nghĩa quan hệ = trén M x S nhu sau (m,s)=(n, t) tổn u thuộc S cho u(tm—sn)=0 Tương tự trên, ta kiểm tra quan hệ tương đương Ký hiệu “` lớp tương đương ( m, s ) bo S dat S'M= (= S (m«eM, seS} S”M có cấu trúc SÌA -mođun với hai phép tốn cộng nhân sau m ® — + S e a m Ss t -.— Ta ký hiệu n (tm+sn) t st =— am : = “”, với a/s e S!A S M; thay cho SM A) M: thay cho SM S = A - p (với p ideal nguyên tố S = { /n>0) Cho đồng cấu A-mođunu : M——>N m —> Thì u cảm sinh đồng cất s u(m) S'u: S'M——*S'IN m $ —_ => u(m) Ta cé6 S'(v ou) =(S'v) (Su) 1.4 MENH DE 1.4 NếuN, i) P A -mođun M S'(N+P)=S'N+S'P ii) S'(C(NAP)=S'NOS'P iii) Cac S' A —modun S'( M/N) va S'M/S"N đẳng cấu với 1.5 DINH NGHIA 1.5 Một tính chất P vành A (hoặc A -mođun M) gọi địa phương thỏa điều kiện A (hoặc M) có tính chất P A; (hoặc M,) có tính chất P với ideal nguyên tố p A 1.6 MỆNH ĐỀ 1.6 Cho M A -mođun Khi điều sau tương đương i) M=0 ii) M, = với moi ideal nguyén té p ili) Mm = với ideal téi dai m 1.7 MENH Dé 1.7 Cho A 1a | vanh va M 1a | A -modun M 1a modun Note, thỏa mãn | điều kiện sau 1) Mọi mođun M hữu hạn sinh 1) Mọi chuỗi tăng mođun M thoả M; cCM;ạcM¿:c cho M; # M;„ ¡ hữu han iii) Moi tap kh6ng rỗng S modun M chứa phần tử tối đại (tức mođun Mụ, cho phần tử N thuộc S chứa Mo, ta c6 N = Mo) 52 MO RONG VA THU HEP 1.8 DINH NGHIA 1.8 Cho f: A ———>B đồng cấu vành a, b ideal A, B Chúng ta định nghĩa Mở rộng a” a ideal Bf (a) sinh f(a) B (có nghĩa a° tập hợp tất tổng Ly; f(x;), với x; thuộc a y; thuộc B) Thu hẹp b° b ideal fÌ (b) Nếu b ideal nguyên tố B bŸ ideal nguyên tố A 1.9 MỆNH ĐỀ 1.9 Cho f: A ———> B đồng cấu vành; a, b ideal cua A, B Khi i) ii) toa bob, bo = b'*: a® = ae? 1.10 DINH NGHIA 1.10 Cho a, b 1a cac ideal cua A Ching ta dinh nghia Radical ideal a giao tất ideal nguyên tố chứa a Ký hiệu r(a) (a: b) = {xe A/xbca}la mét ideal A gọi thương a b Đặc biệt (0 : b ) gọi linh hóa tử b ký hiệu Ann ( b) Tập ước A mô tả D= |L]Ann(+) Néu b = (x), ta ky hiéu (a: x ) thay cho (a: (x) ) Cho A vành S tập nhân A Khi đó, với ideal a A, ta có a°= Sa 1.11 MENH DE 1.11 Xét déng cfu f: A—+ S'A a +—» f(a) = ĩ Ký hiệu C tập ideal A thu hẹp từ S'” A E S'” A mở rộng ideal A tập ideal ¡) Mỗi ideal S'' A thuộc E ¡) Nếu a ideal A, a*° = | J(a: s) Do ,a =(l)©anSzẻ