Sự phân tích nguyên sơ của mođun

St dưới quan diém ideal’ trong dành chính , định [y trén só thể phát bigu lai nhu sau :” Mot ideal bat ky trong vanh chinh bao gid eting od thể phan tich thanh giao ede ideal nguuên aơ `

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LH Do

LUAN VAN THAC SI TOAN HOC

SU PHAN TICH NGUYEN SG CUA MODUN

Chuyén nganh : Dai sé

Trang 2

Loi Cam On

ôi xi chin thanh cam on Thay Sién Si My, Oink Quang da tin

tinh goi YU, luting dan, gitip dé, ding vitn Féi hodu thanh lugu van nay,

mae di Thay bin obi biét bao céug viée

Fai xin bay té lòng biét on dé6i vdi Quy Ghay trong Khoa Goan Dai Jee Su Dham va Dai Foe Khoa J6ge Gu Whién da tận tinh

truyén dat kién thute, da cho FTéi nhiing gié hee tuyét vdi ma mét dei F6i

khéing bao gid quén Hin cain on Quy Ghay da khoi lai trong Féi niém say mé nghién atu Sodan mai mai khéng mét medi

ôi xin chin on Ban Gidin Wiéu Ferung Jee Dhé Ghéing Wguyén

Shi Minh Khai va các bạua đồng ngiiệp đã tạo điều kiện để ơi hồn thnÍt luận odn nay

Trang 3

MỤC LỤC cœs£Elœ»› CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN S1 - Vành các thương 1 §2 - Mở rộng và thu hẹp 4 §3 - Ideal nguyên sơ 7

CHƯƠNG II : MODUN NGUYEN TO VÀ MOĐUN NGUYÊN SƠ §1 - Mođun nguyên tố và mođun nguyên sơ 8 §2 - Một số tính chất của mođun tối đại, mođun nguyên tố,

mođun nguyên sơ 10

S3 - Mối liên hệ giữa mođun nguyên tố P với SP,

va modun thương M/P 17

CHUONG III : SU PHAN TICH NGUYEN SO CUA MODUN

§1 - Tính duy nhất của sự phân tích nguyên sơ 21

§2 - Vành Nơte và mođun Nơte với sự phân tích nguyên sơ 30

§3 - Mođun con Q và S(Q) 34

§4 - Điều kiện tồn tại sự phân tích nguyên sơ

của một mođun con 38

Hh

Trang 4

DAT VAN DE

‘Trong vanh TF , ching ta có định ly aơ bản của số họa sau đâu ;

“Moi 16 khae o khong kha nghich déu phan tich; đượa duy nhat thanh

tich sáo số nguuẽn tố dới liy thita nguyén duong tương ứng ( khong ké dén su

kháa biệt thứ tự và bháa dấu trừ )”

St dưới quan diém ideal’ trong dành chính , định [y trén só thể phát bigu lai nhu sau :” Mot ideal bat ky trong vanh chinh bao gid eting od thể

phan tich thanh giao ede ideal nguuên aơ `

Su phan tich một ideal thanh ede ideal nguyén 40 2d mot vai tro quan trong trong nghiên ouu edu trie ideal va vanh

The’ nhung khong phdi moi ideal’ trong mst vanh giao hodn cd don vj đều só thé duge phan tich thanh cde ideal nguyén so (ngay ed doi với miền

nguyen) Can phdi cd diéu biện gi dé mgt ideal ed thé phan tich duu nhất thành

ede ideal nguyen s0 ? Tai ligu tham khdo [1] da gidi quyet khd ou thé vé tinh duy nhat cia su phan tich nquyén so ella ede ideal

‘Trong dé tai nay, dựa tren modun ede thương , edn atta modun con , hat nhan S, (Om) cua déng edu M > M, ching ta sẽ mở tộng vige nghién cứu

sang link vue modun gom ‘

@ Nohien cứu điều Biện ton tai su phan tich nguyén 40 cua mét modun con

Ngoai ta, trong vanh giao hoán có don ve, ching ta da 0d khai niệm

ideal nguyén £5 va mdi quan he tuuệt dep gia ideal nguyén tố , ideal toi dai

va ideal MgUYyEN 40 ‘Trong luận van nay ching ta cùng 4£ dink nghia modun

con nguyén td va nghién cứu mối quan he dae biet giaa modun con tối dai,

modun con nguyen 40 nham Lam 6 hon tam quan trong etia modun econ nguyén

Trang 5

-BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn gồm 3 chương

® Chương |: Kiến thức cơ bản

® Chương II : Modun con nguyên tố và modun con nguyên sơ :

* Trình bày các định nghĩa về modun con nguyên tố, modun con

nguyên sơ

*- Nêu lên một số tính chất của các modun này ® Chương Ill : Sy phan tích nguyên sơ của modun :

* Dựa trên căn của modun con nguyên sơ và ảnh của modun nguyên

sơ trong modun các thương , chúng ta nghiên cứu tính duy nhất của sự phân tích nguyên sơ modun con

* Nghiên cứu sự phân tích nguyên sơ của modun con trong modun Nơte „ một số tính chất của modun con trong môi trường là vành Nơte

* Dựa trên dãy giảm các tập con nhân và hạt nhân S,„(O,) của đồng cấu M -› M,, chúng ta nghiên cứu điều kiện cần và đủ để một

modun con có sự phân tích nguyên sơ ĐÓNG GÓP CHÍNH CỦA LUẬN VĂN

Dựa vào hạt nhân của đồng cấu Sp (Om): M ——* Mp ,dãy giảm của

tập con nhân, bổ đề Zorn; chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh mệnh đề

3.16, mệnh đề 3.17, mệnh đề 3.18, mệnh đề 3.19

Các mệnh đề này là cơ sở để phát biểu và chứng minh Định lý

3.20 Đây là định lý nêu điều kiện tổn tại sự phân tích nguyên sơ của

modun

Luận văn gồm 34 chu dé Do vành giao hoán có đơn vị A là một

A -modun nên các lý thuyết về Ideal, sự phân tích nguyên sơ của Ideal trong vành A liên quan đến 34 chủ đề trên có thể được sử dụng trực tiếp

Trang 6

‘CHUONG | KIẾN THỨC CƠ BẢN §1 VANH CAC THUONG

1.1 DINH NGHIA

Cho A là một vành giao hoán có đơn vỊ

Một tập con nhân § trong A là một tập con chứa trong A sao cho S

chứa I và S đóng kín đối với phép nhân

Khi đó, chúng ta định nghĩa quan hệ = trén A x S như sau (a, s) =(b, t) khi và chỉ khi tổn tại u thuộc S sao cho (at— bs)u= 0 Dùng định nghĩa, ta kiểm chứng được quan hệ trên là quan hệ tương đương Ký hiệu ˆ là lớp tương đương chứa (a, s) S

Dat S'A= (Sa EA, s €S}

Trong SA, ta định nghĩa hai phép cộng và nhân như sau b _ (at+bs) a e -+-—= st st So t st # |»

Kiểm tra trực tiếp từ định nghĩa, chúng ta có các phép tóan trên

không phụ thuộc đại diện ( a, s ); ( b, t ) và SA là một vành giao hoán có

đơn vi

SA được gọi là vành các thương của A đối với S

Nếu A là một miền nguyên và § = A - {0}, thì SA là trường các

Trang 7

Ánh xạf: A ————> S'A được định nghĩa bởi f (x) = h là một

đồng cấu vành

1.2 MENH DE 1.2

Cho đồng cấu vành g: A ———> B sao cho g(s) kha nghich trong B

với mọi s thuộc S, thì tổn tại duy nhất một đồng cấu vành

h: S°A——>B sao cho g =ho f

Vành S''A va đồng cấu f: A——>S'`A có các tính chất sau

¡) Nếu s thuộc S thì f(s) khả nghịch trong SA ii) Nếu f(a) = 0 thì tổn tại s thuộc S sao cho as = 0

ii) Mọi phần tử trong SA đều có dạng f (a) f (s) với a thuộc A,

s thuộc S

1.3 MỆNH ĐỀ 1.3

Cho g: A———> B là một đồng cấu vành sao cho ¡)_ Nếu s thuộc S thì g(s) khả nghịch trong B

ii) Nếu g(a) = 0 thì tổn tại s thuộc S sao cho as = 0 ii) Mọi phần tử của S đều có dạng g(a).g(s) `

thì tổn tại duy nhất một đẳng cấu

h: S'A——*B sao cho g=hof

Cấu trúc S''M thực hiện như cách xây dung S''A

Cho M 1a mét A-modun va S 1a l tập con nhân trong A

Khi đó chúng ta định nghĩa quan hệ = trén M x S nhu sau

(m,s)=(n, t) khi và chỉ khi tổn tại u thuộc S sao cho u(tm—sn)=0

Tương tự như trên, ta kiểm tra được đây là quan hệ tương đương

Trang 8

dat S'M= (= (m«eM, seS} S S”M có cấu trúc SÌA -mođun với hai phép toán cộng và nhân như sau m n (tm+sn) ® — + =— S t st a m am : e -.— = “”, với a/s e S!A Ss t S

Ta ký hiệu M; thay cho SM nếu S = A - p (với p là ideal nguyên tố

của A) và M: thay cho SM nếu S = { /n>0)

Cho 1 đồng cấu A-mođunu : M——>N m —> u(m) Thì u cảm sinh một đồng cất s S'u: S'M——*S'IN m u(m) —_ => $ 5 Ta cé6 S'(v ou) =(S'v) 0 (Su) 1.4 MENH DE 1.4 NếuN, P là các A -mođun con của M thì i) S'(N+P)=S'N+S'P ii) S'(C(NAP)=S'NOS'P iii) Cac S' A —modun S'( M/N) va S'M/S"N đẳng cấu với nhau 1.5 DINH NGHIA 1.5

Một tính chất P của một vành A (hoặc một A -mođun M) được gọi là

địa phương nếu thỏa điều kiện

A (hoặc M) có tính chất P khi và chỉ khi A; (hoặc M,) có tính chất P

Trang 9

Cho M là một A -mođun Khi đó các điều sau đây tương đương

i) M=0

ii) M, = 0 với moi ideal nguyén té p

ili) Mm = 0 với mọi ideal téi dai m

1.7 MENH Dé 1.7

Cho A 1a | vanh va M 1a | A -modun

M 1a modun Note, nếu nó thỏa mãn | trong 3 điều kiện sau đây

1) Mọi mođun con của M đều hữu hạn sinh

1) Mọi chuỗi tăng các mođun con của M thoả M; cCM;ạcM¿:c

sao cho M; # M;„ ¡ đều hữu han

iii) Moi tap kh6ng rỗng S các modun con của M đều chứa 1 phần tử

tối đại (tức là mođun con Mụ, sao cho đối với phần tử N bất kỳ thuộc S chứa Mo, ta c6 N = Mo) 52 MO RONG VA THU HEP 1.8 DINH NGHIA 1.8 Cho f: A ———>B là một đồng cấu vành và a, b lần lượt là các ideal của A, B Chúng ta định nghĩa

Mở rộng a” của a là ideal Bf (a) sinh bởi f(a) trong B (có nghĩa a° là tập hợp tất cả tổng Ly; f(x;), với x; thuộc a và y; thuộc B)

Thu hẹp b° của b là ideal fÌ (b)

Trang 10

1.9 MỆNH ĐỀ 1.9 Cho f: A ———> B là một đồng cấu vành; a, b lần lượt là các ideal cua A, B Khi đó i) toa bob, ii) bo = b'*: a® = ae? 1.10 DINH NGHIA 1.10

Cho a, b 1a cac ideal cua A

Ching ta dinh nghia

Radical của một ideal a là giao tất cả ideal nguyên tố chứa a Ký

hiệu là r(a)

(a: b) = {xe A/xbca}la mét ideal của A được gọi là thương của a và b

Đặc biệt (0 : b ) được gọi là linh hóa tử của b và ký hiệu là Ann ( b)

Tập mọi ước của 0 trong A được mô tả là D= |L]Ann(+) Néu b = (x), ta ky hiéu (a: x ) thay cho (a: (x) )

Cho A là một vành và S là một tập con nhân của A

Khi đó, với mọi ideal a của A, ta có a°= Sa

1.11 MENH DE 1.11

Xét déng cfu f: A—+ S'A

a +—» f(a) = ĩ

Ký hiệu C là tập các ideal của A thu hẹp từ S'” A và E là tập các ideal

trong S'” A là mở rộng của các ideal trong A ¡) Mỗi ideal trong S'' A đều thuộc E

¡) Nếu a là một ideal trong A, thì a*° = | J(a: s) Do đó

Trang 11

iii) a thuộc C khi và chỉ khi không có phần tử nào của S là ước của 0 trong A/a

iv) Các ideal nguyên tố của §” A có một tương ứng I-l với các

ideal nguyên tố trong A khong giao với S

v) Toán tử S' giao hoán với phép lấy tích trực tiếp, tổng trực tiếp,

giao và lấy căn (radical)

Cho a, b là các ideal của A thì S"' (a:b) = (SỈ a:S'” b) nếu b hữu hạn sinh

1.12 MỆNH ĐỀ 1.12

Nếu A là nilradical của A thì S4 là nilradical của S$' A

1.13 MENH DE 1.13

Cho p là ideal nguyên tố tùy ý của vành A, thì các ideal nguyên tố

của vành A„ tương ứng I-1 với các ideal nguyên tố của A chứa trong p 1.14 MENH DE 1.14 Cho M 1a A —modun hitu han sinh S là một tập con nhân của A Khi đó S$† (Ann (M)) = Amn (S” (M)) 1.15 MỆNH ĐỀ 1.15

Cho A —> B là một đồng cấu vành; p là một ideal nguyên tố của A thì

p là thu hẹp của một ideal nguyên tố nào đó trong B khi và chỉ khi p” = p

1.16 ĐỊNH NGHĨA 1.16

Cho M là một A-mođun và mođun con Q z M

Trang 12

§3 IDEAL NGUYEN SƠ

1.17 DINH NGHIA 1.17

- - Một ideal p của vành A là ideal nguyên tố khi và chỉ khi p # A va

nếu xy € pthix e phayy ep

- M6t ideal M cia vành A 1a ideal t6i dai khi va chi khi M # A va

không có ideal a của A sao cho flcacA 1.18 ĐINH NGHĨA 1.18

Mot ideal q trong một vành là ideal nguyên sơ khi và chỉ khi q # A và nếu xy e q thì x e q hoặc y e r(q)

Nói cách khác, q là ideal nguyên sơ khi và chỉ khi A/q # 0 và mọi ước

của 0 trong A/q đều lũy linh

Ví dự Trong Z„ ta kiểm chứng được các ideal nguyên sơ đều có dạng <0> hoặc <pˆ> với p là số nguyên tố

1.19 MỆNH ĐỀ 1.19

Nếu q là một ideal nguyên sơ của một vành A thì r (g) là ideal

nguyên tố bé nhất chứa q

1.20 MENH ĐỀ 1.20

J) Giá SỬ Du «se , Da là các ideal nguyên tố va a là một ideal chứa trong | Jp, , thì tổn tại một p; sao cho a chứa trong p

11) GỌI ay, a, la các ideal va p là một ideal nguyên tố chứa

(14, thì tổn tại một a; sao cho p chứa a;

i=l

Trang 13

CHUONG II

MODUN CON NGUYÊN TỐ VÀ MOĐUN CON NGUYÊN SƠ §z.ODUN CON NGUYÊN TỔ VÀ MODUN CON NGUYÊN SO Trong tất cả các chương, chúng ta đều sử dung A là vành giao hoán, có đơn vị [ khác 0 2.1 ĐỊNH NGHĨA 2.1

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A -mođun với

mọi a e A, xét tự đồng cấu aw như sau

aw : M———> M

m——» ay (m) = a.m

* a được gọi là ước của O trong M néu ay khong đơn cấu

* a được gọi là lũy linh trong M nếu a„ lũy linh 2.2 ĐỊNH NGHĨA 2.2 Cho M là một A -mođun có mođun con là Q Trong vành A ,chúng ta định nghĩa 1) Ideal ( Q:M )= {ae A/aM <Q}

ii) Ideal ry (Q) = {a € A/Sn>0:a"McQ}

2.3 DINH NGHIA 2.3

Cho M 1a mét A —modun va Q 14 mét modun con của M

Q được gọi là một mođun con nguyên tố nếu Q # M và với mọi a e

A, ta đều có awuo đơn cấu hay amg = 0

Trang 14

Cho Q là mođun con của A —modun M va Q#M Các mệnh đề sau tương đương

i) Q 14 mođun con nguyên tố

ii) Néu am € Q thì a e (Q:M) hay m e Q 1i) Nếu am e Q và m £ Q thì a e (Q:M) iv) Néua ¢ (Q:M) vam £Q thì am ¢ Q v) Nếu am e Q và a ¢ (Q:M) thim e Q 2.5 ĐỊNH NGHĨA 2.5

Cho Q là mođun con của A -mođun M và Qz#M

Q được gọi là một mođun con nguyên sơ nếu

Với mọi a e A, ta đều có aw,o đơn cấu hay aw¿o lũy linh Từ định nghĩa 2.5 chúng ta có kết quả 2.6 MỆNH ĐỀ 2.6

Cho Q 14 modun con cua A -modun M va Q#M

Các mệnh đề sau tương đương

1) Q là mođun con nguyên sơ

ii) Mọi ước của 0 trong M/Q đều lũy linh

iii) Néu am € Q thia € ry(Q) hay me Q iv) Nếu am e Q và m ¢ Qthia € ry(Q)

Để đơn giản cách viết ,chúng ta quy ước dùng thuật ngữ mođun

tối đại; mođun nguyên tố , mođun nguyên sơ lần lượt thay cho mođun

con tối đại , mođun con nguyên tố , mođun con nguyên sơ

Trang 15

$2 MOT SO TINH CHAT CUA MODUN TOI DAI, MODUN

NGUYEN TO, MODUN NGUYEN SO

Mệnh đề sau đây sẽ nêu lên mối liên hệ giữa môđun tối đại, môđun nguyên tố và mođun nguyên sơ

Cho Q là mođun con cu2a một A -mođun M

i) Nếu Q là mođun tối dai thi Q là mođun nguyên tố

1) Nếu Q là mođun nguyên tố thì Q là mođun nguyên sơ

Ching mink

i) Q 1a modun t6i đại nên Q #M

Vivay Ime M vam ¢Q0 (1)

Từ đó, ta có Q là mođun con thực sự của Am + Q

Q là mođun tối đại, nên Am +Q=M

Do đó với mọi a £ (Q: M), ta đều có q e Q sao cho am + q =m Nếu am e Q thì m e Q trái với (1)

Vậy am £ Q

Theo 2.4, chúng ta có Q là mođun nguyên tố ii) Q 14 modun nguyên tố, nên ta có

QzM

Néu (am €Q thi (a€(Q : M) hay meQ)

QzM

mà (Q :M) c ru (Q) => (Re am € Q thi(aer, Q hay meQ)

Trang 17

acru(N) aer,,(P) dp>O:a"McN dq>0:a*MCP Gọi n = max (p, q), ta được a"McN(n>0) a“MCP >SaMeNn-P Vay a erm (N OP) Do dé ry (N AP) = ry (N) 9 rm (P)

Mệnh đề sau đây giúp chúng ta nhận biết tính chất nguyên

sơ của môđun có thể cảm sinh một ideal nguyên sơ trong vành A

Cho Q là một mođun con của A -mođun M

Nếu Q là mođun nguyên sơ thì (Q: M) là một ideal nguyên sơ trong A Ching minh xy €(Q:M) Vx, y € Athda x €(Q: M) Chúng ta suy ra am ha So

Do Q là modun nguyén sod nén y € ry Q

Vay (Q: M) là một ideal nguyén so trong A

TY dé, tacé r(Q: M) =ry(Q) 1a ideal nguyén té (theo 1.19)

Trang 18

Ta gọi Q là một mođun p — nguyên sơ

Trong vành A, giao hữu hạn các ideal p - nguyên sơ đều nguyên sơ Điều đó hoàn toàn có thể mở rộng ra trong một A -— modun M trong mệnh đề sau 2.10 MỆNH ĐỀ 2.10 Cho Q; (i = 1,n) là các mođun p — nguyên sơ của A -mođun M Khi đó Q= \Ào là mođun p — nguyên sơ của M Ching mink Theo mệnh đề 2.8, ta có TM Q = Im (ño )= (}w(@.) =P i=l Xét am e Q với m £ Q, ta có am € Q vdi Vie {I, , n} 3je{l,2, , n} :meQ, am eQ, Từ đó, ta có m¢Q; Do Q, là mođun p -nguyên sơ, mệnh dé 2.6 cho ta a € Ty (Qj), ma ry (Qi) =p >aep >a € ry (Q)

Theo 2.6, ta có Q là mođun p -nguyên sơ của M

Dựa vào tính chất Q là một môđun p - nguyên sơ, chúng ta có thể khảo sát đặc điểm của ideal (Q:x) trên một vành A như sau

Trang 19

2.11 MỆNH ĐỀ 2.11 Cho Q là mođun p -nguyên sơ của một AÁ -mođun M Khi đó ¡) Nếu x e Q thì (Q: x)= A ii) Néu x £Q thì (Q : x) là ideal p -nguyên sơ Chứng mình i) Vix e Q nên với mọi a e A, ta đều có ax e Q Do đó a € (Q: x) Vay (Q:x)=A

Trang 20

Chúng ta đã biết ideal nguyên tố đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyếtt vành giao hoán có đơn vị Mệnh để sau đây giúp chúng ta tận dụng

đặc điểm trên để nghiên cứu căn của một mođun nguyên tố của một A - môđuin M 2.12 MENH DE 2.12 Nếu P là mođun nguyên tố của một A -mođun M thi ry(P) 1a ideal nguyên tố của vành A Ching minh Với mọi a, b € A théa a.b € ry(P) va a ¢ ry(P) jn >Osaochoa".b"McP Ta có { 6 Wk>0,aMợP

Từ đó, ta suy ra 3n >0 sao cho a*.b"MœPvàa'MợP Do P là mođun nguyên tố, nên b° e (P:M) > b e ry(P)

Vậy rw(P) là ideal nguyên tố của A Từ mệnh đề 2.12 ta có hệ quả sau 2.13 HỆ QUÁ 2.13

Cho P là mođun nguyên tố của A -mođun M

Khi đó rw(P) là ideal tối đại nếu một trong ba điều sau đây được thỏa mãn 1) A là một vành Artin 11) A là một vành Boole 111) A là một vành sao cho Va e A, 3n > l (n phụ thuộc a), n e Z” sao cho a”= a

Xét đồng cấu vành f: A——> B Chúng ta đã biết tạo ảnh của I1 ideal nguyên tố là 1 ideal nguyên tố và nếu f toàn ánh thì tạo ảnh của một

Trang 21

ideal tối đại là 1 ideal tối đại Vậy đối với đồng cấu mođun f:M ——> N

Điều đó có xảy ra không ? Chúng ta sẽ xét trong mệnh để sau

2.14 MENH DE 2.14

Cho đồng cấu mođun f:M ——>N

¡) Nếu N¡ là mođun nguyên tố của A -mođun N và fÌ(N¡) #M

thì f ' (N,) la mođun nguyên tố của A -mođun M

ii) Néu N, 14 mođdun tối đại của mođun N, f!(N¡) #M và f là toàn cấu thì F' (N¡) là mođun tối đại của mođun M Ching minh i) V6i Va EA, Vm eM, sao cho am e fÌ (N¡) thỏa a ¢ (f' (N,) : M) Ta có f (am) € f[f'(N,)] vaaM cf (N)) Từ đó, ta có a.f(m) € N,; va af(M) ZN, = af (m) € N, va af(M) ZN, =>af(m)éeN, vaaNcN, N¡ là mođun nguyên tố nén f(m) € Nj Do đó mef (Ni)

Vậy f'N¡ là mođun nguyên tố của mođun M

1) Giả sử M: là mođun con thực sự của M sao cho

f ` (N) CM.CM

Từ đó, ta có f[f" (NJ] C fM,) C fM) =N

Trang 22

$3 MÔI LIÊN HÊ GIUA MODUN NGUYEN TO P VOI S'P, VA MIODUN THUONG M/P 2.115 MENH DE 2.15 Cho S là tập con nhân của vành A Gọi M là một A- mođun

i) Moi mođun con của S”Ì M đều có dạng S”Ì(P) với P là

mođun con của M

1i) Nếu P là mođun nguyên tố của M sao cho Đ nơ (P : M)=Ø

Trang 23

Vay S'PcB 4° „ Mm - S&S Mm * Với mọi — € B, ta cé TS eB S S nên 78B Từ đó ta cóm € P Dođó “eS'P VậyBcSP S Vì thế B = SP

ii) Nếu P là một mođun nguyên tố của M Cần chứng minh S”'P cũng là một mođun nguyên tố của S”ÌM a m Với mọi " STA, e S'P thoa —— e S'P va Â (S'P: S'M) S Vỡ Sơ(P:M) = Ø Nên ta có a.m e P và 3 7 e SÌM sao cho 2 £ S'}P S Tw d6, tac6am € Pvaam’ ¢ P Do d6 am € PvaaM ¢P P là mođun nguyên tố của M, nên meP > ™ es (Pp) S

Vay S”'P 1a 1 mođun nguyên tố của S”ÌM

Trong một vành giao hoán có đơn vị A, nếu p là ideal nguyên tố của A, chúng ta đã biết các ideal nguyên tố trong A /p tương ứng l — ] với các ideal nguyên tố chứa p

Trang 24

2.16 MỆNH ĐỀ 2.16 Cho N là mođun con của một A -mođun M Xét toàn cấu chính tắc p:M——> M/N m;_,m+N Khi đó i) Néu P 1a modun nguyên tố của M/N thì pr`(P) là mođun nguyên tố của M chứa N

ii) Mọi mođun nguyên tố của M chứa N đều có dạng p'`(P) với P là

mođun nguyên tố của M/N

1) Với mọi am e p'Ì(P) thỏa a £ (p'`(P):M)

Ta có am e P và 3m°e M sao cho am°£ p'`(P) Từ đó, ta có a.m c P và 3m`e M sao cho am'g P

Do đó a.m ePvàaM/NợP

Vì P là mođun nguyên tố của M/N nên m cP

Vì vậy, ta có m € p'(P)

Do đó, p`(P) là mođun nguyên tố của M

Với mọi n e N, ta có n = 0 eP,nên nep''(P)

Vậy NCp' Œ)

ii) Gọi Q là mođun nguyên tố của M và QN

Dat P = p(Q) > Q=p' (P)

Ta có

Với mọi a 6A, thỏa am e P và a #£ (P: M/N)

Trang 26

CHUONG Ill SU PHAN TiCH NGUYEN SO CUA MODUN $1 TINH DUY NHAT CUA SU PHAN TiCH NGUYEN SƠ 3.1 DINH NGHIA 3.1

Cho Q là modun con của một A- modun M Sự biểu diễn Q thành giao của một số hữu hạn các mođun nguyên sơ của mođun M được gọi là

sự phân tích nguyên sơ của mođun Q

Q= MQ với Q, là các mođun nguyên sơ (1)

i=l

Ngoài ra, nếu có thêm tính chất

1) Các rw(Q,) khác nhau đôi một

ii) ()Q,zQ (l<i<n)

Thì sự phân tích nguyên sơ (1) là sự phân tích tối tiểu

Áp dụng 2.10, từ sự phân tích nguyên sơ đã cho, ta có thể gán theo

các nhóm sao cho (i) được thỏa mãn ví dụ rụ (Q);) = rụ (Q)), ta thay Q; ,Q;

bằng Q; = ( Q;¡ ¬ Q,) trong phân tích nguyên sơ

Sau đó loại bỏ các thành phần không cần thiét, ta dude (ii) cu thé

nếu Q; Đ ƒQ, ta loại Q; Từ đó được sự phân tích tối tiểu

Trang 27

Khi đó tập các ideal nguyên tố p; (l < ¡ < n) trùng với tap cdc ideal nguyên tố có dạng r(Q:x) với xe€M Do đó với mọi sự phân tích tối tiểu thì tập p, pa .pạ không đổi Ching mink Với mọi x e M, ta có r(Q:x) = r((}Q ‘x)= A [r(Q, : x) Theo mệnh đề 2.11, ta c6 ()r(Q, :X) = ()p, i=l x€Q, nén r(Q:x) = {)p, xeQ,

Nếu r(Q : x) là ideal nguyên tố

Theo 1.20, tổn tại một ideal nguyên tố p; sao cho r(Q : x) = p¡

Do đó moi ideal nguyên tố có dạng r(Q : x) đều trùng với một Dị

Trang 28

Các phần tử tối tiểu trong tập {p¡, pa} được gọi là ideal nguyên tố tối

tiểu hay cô lập Các phần tử khác gọi là các phần tử nhúng ^ ^ 3.4 MENH DE 3.4 Cho Q là mođun con của A-mođun M phân tích được với phân tích tối tiểu là Sĩ TaI9 i=]

Trong đó, Q; 1a cdc p; nguyén so (1 <i <n)

Khi đó nếu véi moi ideal nguyén t6 p ma p chifa ry(Q)

thì p chứa 1 ideal nguyên tố tối tiểu thuộc về Q

Vậy các ideal nguyên tố tối tiểu thuộc về Q trùng với các phần tử tối

tiểu trong tập các ideal nguyên tố chứa rw(Q) Ching mink Giả sử p D rw(Q) Mà rw(Q) = rw(( ÌQ, )={ Ìru(Q)= [ }p, i=l Nén p> Ñ Di j=l Theo 1.20 Ta có một p¡ sao cho p Đ p¡ Vậy p chứa ideal nguyên tố tối tiểu của Q 3.5 MỆNH ĐỀ 3.5

Cho S là một tập con nhân của vành A, Q là mođun con của một A

Trang 32

ds, Š sao chos,am e Q Ta suy ra Vs'e S,taco' ssm¢Q Do Q là mođun nguyên sơ, nên cm sd ssm¢Q Cho ta a € ry(Q) haya ep vr , a Từ đó, ta có — € S'p S Ta ký hiệu S(Q) = f!(S''(Q)) 3.7 ĐLNH NGHĨA 3.7 Tap > cdc ideal nguyên tố liên kết với Q được gọi là cô lập nếu nó có tính chất sau Nếu p' là ideal nguyên tố liên kết với Q và p` Cp với p e 3` Thì p' e 3,

Xét 1 tập cô lập 3; các ideal nguyên tố liên kết với Q và đặt

S=A\ Up thì S là I tập con nhân trong A Khi đóp` e3 >p’AS=o p.£2SpơUp2paSzở 3.8 ĐỊNH LÝ 3.8 ( Định lý thứ hai về tính duy nhất) Cho Q là mođun phân tích được với Q = ñ Q, là phân tích tối tiểu ial

Néu {pij, piz, Pim} là tập cô lập các ideal nguyên tố liên kết với Q

Khi đó Q, 5Q, ¬Q, khơng phụ thuộc vào sự phân tích

Đặc biệt, các thành phần cô lập Q, (suy từ các ideal nguyên tố tối tiểu

p;) được xác định duy nhất bởi Q

|

Trang 33

Ching mink Muốn chứng minh mệnh dé 3.8 ta can xét b6 dé sau day 3.9 BO ĐỀ 3.9

Cho S là tập con nhân của vành A và Q là mođun phân tích được với

phân tích tối tiểu

Q= Q (Q; là p¡ nguyên sơ)

Giả sử chúng ta đánh số lại sao cho S không giao với p\,p ,Dm va S

E180 VỚI Puaet De Pu Khi đó, ta có S”(Q) =(S'(Qà S(Q)= (19 Và các phân tích này là phân tích tối tiểu Ching mink 3.9 S*Q= S410 (}(S'4Q,) Do § không giao với p¡,pa; Dm (3.6) cho ta S”(Q, là Sp; nguyên sơ (\s'4@, =( 49, Từ đó, ta c6 SQ) = (} (SQ)

Vì các p¡ khác nhau đôi một, nên ta có các S'Ìp¡ cũng khác nhau đôi một

Trang 34

Mặt kchác, 3.6 cũng cho ta S(Q) =f'(S?4Q)) =f'[(]S”4Q0] =f) FISTQI=MNQ Chang minh 3.8 Theo 3.9, ta có S(Q)= Q, ¬Q, a ¬Q, Với S= A\(p, 2p, (2 2 p,_) Do đó, phần giao trên không phụ thuộc vào sự phân tích 3.10 MENH DE 3.10

Cho S là một tập con nhân của một vành A

Nếu M là A-mođun mà mỗi mođun con đều có sự phân tích nguyên

sơ thì SỈM cũng có tính chất mỗi mođun con đều có sự phân tích

n;guyên sơ

Chiiwa mink X€ét mođun S”`Q bất kỳ của SˆM

Nếu ‘SS không giao với p¡, ,P„ và S giao với pma¡, ‹ , pa thì

Theo 3.0, ta có S'Q = §' (ÌQ,)=[(]§*‹Q,)

i=l i=l

Theo 3.6, tacé S'Q; 1a S''p; nguyên sơ

Ti dé ta c6 S' Qcé su phan tich nguyên sơ

Trang 35

§2 VANH NOTE VA MODUN NOTE VOI SU PHAN TiCH NGUYÊN SƠ 3.11 ĐỊNH LÝ 3.11 Cho M là một A-mođun Nơte Mọi mođun con N của M: đều có sự phân tích nguyên sơ Ching mink Gọi 3, là tập hợp các mođun con của N không có sự phân tích nguyên SƠ Nếu }) z ộ

Do M là mođun Nơte, nên trong 3`) có phần tử tối đại N

Modun con N không nguyên sơ

Ker a,,,y C Ker a@j,,, C Ker ayy C

Trang 36

=x'e Ker0 > ọ(x)= x=0

=> x =0.Mâu thuẫn

Ta có ọ không đơn cấu > Kerg # 0

Ta lại có Im # 0

Lấy ảnh ngược trong M, ta có 0 =N là giao của 2 mođun con của M không bằng N Do tính tối đại của N

—= Các mođun ấy thừa nhận sự phân tích nguyên sơ

Do đó N có sự phân tích nguyên sơ Mâu thuẫn

Trang 37

vô lý >fMecQ —=(rw(Q)”M = Q 3.13 MENH Dé 3.13

Clho A 1a 1 vanh Note, p 1a 1 ideal nguyén t6 cla A, M là một A-mođun

hifu hian sinh

Klhi d6 cdc diéu sau đây tương đương

i) p thudc vé Oy trong M

il) 3x € M sao cho Ann(x) = p

1ï) Có một mođun con của M đẳng cấu với A/p

Ching minh

(i) => (ii) Dat p = p;

Giả sử Ow = ()Q, là phân tích tối tiểu của O và p¡ = rw(Q,)

Trang 38

Pat n’ = max(n,), chting ta có jt

((\p" )p*Mc (Op Mp! Mc [Mei pm () Q=Om

j#i j=i jel Dat a; = An” , chúng ta có a;.p" 'M#Om = Ix € ap" 'M, x # Om, x € Mj sao cho px € a;.p*M = Om = pc (Ow: x) Vay (Om: x) =P (ii) => (ili) Xét đồng cấu mođun f: A — Msao cho f(1)=x Ta có Kerf= (Ôw : X)=P => f(A) = A/p iii) => 1)

Gọi M' là một modun con của M

và M' đẳng cấu với A/p

=> Tổồn tại đẳng cấu f: A/p > M’

Đặt f (I +p)=m Hay f(1)=m

Ker f = O

={ae A/aep}=p

Vaep=> f(a) =f(O)=Om => a.m = Om =>a € (Om: m) Va € (Oy: m)=> am = Om =>a € p=>(Om:m)=Pp

Ala vanh Note => Oy phân tích được

Trang 39

Goi Oy = CQ, la phan tich t6i ti€u cia Oy va ry (Q;) = pi Tac:6 r(Oy: m)=r(p) =p —T ((\9,: m)= (Ì», (Qi:m) = (ry (Qj :m)= (\p; Do dé p= (1p, i=l meQ, meQ, meQ, (1.210) = Jp; sao cho p = p, Vay’ p thudc vé Ox §3 .MODUN CON Q VA S (0) 3.144 MENH DE 3.14

(Cho S là tập con nhân của A

Trang 40

li) Theo 3.5, ta có S”ŒwQ) = r.„„(S”Q) S[ru(Q)] = @ 1S ”(w(Q))] = @ [r.„(S”Q)] Cần chứng minh @' [r,.„„(S”ˆQ)] = ruŒ[S”Q)]) Vae @ T[r.„„(S”Q)], ta có TE r (SQ) a" | > In> 0 S'McS'Q © 3n >0,V—e SÌM, ta có rm s'Q <>3n >0,VmeM,tacó Ts S†?(Q) © a'"mecf'(S!(Q))©a erw[S(Q)] Vậy S[rw(Q)] = ru[S(Q)] 3.15 MỆNH ĐỀ 3.15

Cho Q là mođun con của A-mođun M có sự phân tích nguyên sơ

p là phần tử tối đại của tập các ideal (Q:m) với m ¢ Q

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	13,03 MB