Một số nghiên cứu về môđun các thương

ae BO GIAO DUC —- DAO MRUONG DALHOC ost 0) iW TAO SU PHAM KHON - TPLHCM TOAN ° | Ci vi ® & x(HHL-C 4C t4 : KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyén neanh: TOAN Giáo lở ng dân: PGS.TS Sinh vién thic hién: LP DALSO BULTUGNG Vad BAO PtHANH PHO HO CHI MINH Š - 2000 TRI THIEN TRUNG Fw , 24 4 6-6 4646 4 Lei Cam 4 ` On Li dau Hien khoa lain nay, em rin chin thank géi dén DUNS TS Thôi “Trưng “Trẻ người tfa tựu va tan tink luting dain eo eet qaa mod ledte khau hein thauh khoa lain odi long biét ou 1/01! tđịc bia chan Uaiah eam oe Thay FS My Cink Quang da witrct fink qiup d® va doug vién eu sudl qua teiah toe dae bi¢t la dia chau thamlh ean an Quay Thay: TS Fran Hayéeu, Fran Hitug va ede thay có thuộc to Dai Sé tin tink giaug day cÍung eo wot alutug adn Dai Hoe Chia thank cant on Quij Thay (2 Bau elu thiệt khoa Tuan tao moi dita kign thuan loi cho cluing en hoe tip cà phấn dau Din chan thauk eam on “Thủy (quyên cối Quốc Trường 1) T1? Anyen Le Héug Dhoug dé gitip tai li¢u ughién eu hin hag té long biét on ddi vdi Quy Thy, Cd thuge khoa Foun of Thi Oigu Dai Hoe Su Dhan TD FOOM tan tink trayén dat kiéu ute eng abut etie hd tre khuie cho em tuốt teink hee ‘hin cam ơn tung ban hoe khod 96, aluing ugqudi da eting tdi hoe lap va ughiéu eda TPD.FOOM thing nam 2000 rô rô rô rô & a) ,& rà -& -& -& & Le Thii Bao Thitn “Trang & -@-4-4-4-4.-46-4-4-46-464464646 44-84 qua triah Hare kháá luận 4-4-4-4-.4-& -4-44-4-4 4-4:-.4-4-4-4 +@-@-@-4-4-4 -& & 6-4 Mục Lục Trang Một số quy ước ký hiệu Chương ï: Các kiến thức vành va modun L Vành Il Modun Ill Tich TenXo s IV Môđun đẹt V Môđun 11 Nơte Modun Artin VI Vành thương 13 VII Mơđun thương 17 VIH Tính địa phương Chương ïI: +21 Một số nghiên cứu raôđun thương 23 I Mé6dun cac thuong cua médun det 24 II Mơđun thương mơđun Nơte mưđun Artin 25 III Môđun thương môđun không xoắn môđun chia IV Môđun V thương môđun nội xạ 27 28 Một nhận xét vành hệ tử A tập nhân Tài liệu tham khảo S 3o 32 MỘT SỂ NGHIÊN CỨU VỀ MÔDLN CÁC THƯƠNG GSHP: PGS.TS BÙI TƯỜNG Tài MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU + Các vành hệ tử ký hiệu hét chữ in hoa À, B,C, D,E + Cac idan chúng ký hiệu bịt chữ ứ, j, e3, y + Các módun đưực ký hiệu bơi +m + ae hoa M,N.P,X,Y idéan cua vanh A, ky hicu A A ky hiéu Ja idéan cua A sinh bei phan we a + Vac A, ký hiệu a” phần tứ kha nghịch a (aaÌ =l) + TLTK || - tài liệu tham khao [1] (xem phần tài liệu tham khảo) —— —- —> =—-———= ——- SVTH: LÊ THÁI "U\O THIÊN TRUNG - — Trang | MỘT SỂ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ —— ~ - - — — ~ — CHUONG I: CAC KIEN THUC CO BAN VE VANH VA MODUN -000 - Trong chương I, ngoai viée néu va chitng kiến thức bản, chúng tơi đặc biệt ý đến kết về: + Tich tenxd: “cho M, P A, B môđun: N (A,B) médun = (M®, N)®, P=M®, (N®,, P)" (ménh dé 1.3.3) + Môđun dẹt: *ƒ: A —> B đồng cấu vành, M A médun => M, =B®, det M 1a B médun det” (ménh dé 1.4.2) Hai két qua due néu TLTK [1], nhung khong chitng minh + Vành thương: nhận xét "nếu tập nhân S “ chứa phần tử khả nghịch A = SA" (vidu 1.6.6) + Môđun thương: -Tit ménh dé 1.7.5 “S'M=S A@,M (A médun)”, nêu chứng minh TLTK [1] Ching tơi cịn nhận xét “S'M đẳng cấu SA mơđun với S'A®AM” (nhận xét 1.7.6) - “S'M@s', S'N = S'(M@N)” (ménh dé 1.7.8) néu ong TLTK [1] không chứng minh Chúng tơi cố gắng chứng minh chí tiết kết ý chúng tất cần thiết cho việc nghiên cứu môđun thương sau £ one - eee ‘ = Tw jee 4 cơm Fatt VIỀN ¬—— ~ 3ư-Pkha„,, es -— SVTH: LE THAI BAO THIEN TRUNG Trang MÔ ¡ SẼ NGHIÊN CỨU VÉ MÔĐUN CÁC THƯƠNG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ SỐ Vanh Dinh nghia ltd Vành A di tập với hài lui hơp thành gọi phép nhân phép công tương ứng, viết tích tổng tương ứng thỏa mãn điều kiện sau: VỊ Đối với phép công, A mot nhóm Aben, V2 Phép nhân kết hợp (Á nửa nhỏm nhân) ® V3 VXx,y,⁄¿E À,(X+ y)/ = 80 + YZ Vad A(X +) = 7X Hy (các hẻ thức gọi lí tính phần phối) Vành A giao hốn, có đơn vị nửa nhóm nhân A giáo hốn, có đơn vị | ® Vành A miền nguyên néu A có đơn vị, giao hốn tích hai phán tử khác khơng khác không Dinh nghia ld Idean trai a cua vanh A nhom cla nhóm cơng A cho Aa & @, Khi dinh nghia idéan phai, ta dbi hoi aA ca Idéan 1a nhóm đồng thời iđếan trái nhải e Néu vanh A giao hodn thi iđêan tđểan trái phải e Néu vanh Acé don vi | thi diéu kien iđêan trái Ad = œ va phai aA =a Định nghĩa 1,1,.2h Cho A vành giao hốn có đơn vị, Idéan œ gọi iđêan vành A œ sinh phấn wae A.a=={ar:re A} Dinh nghia 1.1.2c Miễn nguyên A gọi vành iđêan A iđêan Từ vành xét khóa luận vành giao hốn có đơn vị trừ có điều nhấn mạnh: ngược lại SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang + MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Dinh nghia lols + Œ tđểan nguyên tô vành A, ký hiệu c ncua#A & Vaye * ` « œ xyeu = veut lay veu + B la idéan tGi dai cua vanh AL kv hice Bod j # A, VyaAÁ: cy>—y= huy y=A Dinh nghia 1.1.4 Một vành giao hốn có phương Mệnh dẻ 1.1.5 Cho vanh A, y< A, tập hợp Ann(y) = {ae A: ay=O} iđêan đại vành địa ld mot idéan cia A Ménh dé 1.1.6 Cho vanh A, p adA ú of la mién nguyén B4A© A6 trường Hé qud 1.1.7 I Mọi iđêan tối đại iđêan nguyên tố Mọi iđêany # A chứa iđẻan tối đại II Mơ đun Định nghĩa Nhóm cộng phép nhân tích ae tiên để : 1.2.1 giao hoán M A möđun M ta xác định phan tử A với phần tử M (AxM > M ), A meM ký hiệu am, phép nhân thỏa bốn MI1:Ìm=m M2: (ab)m=a(bm) V abe À; VmeM M3: (a+b)m= am + hm VỀ a he A; Vme M4 : a(m+n)=ame+an SVTH: LE THAI BAO THIEN TRUNG M VY ae A; Ym, ne M Trang MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG T1 Định nghia 1.2.2 Cho M la A médun va Nc A, Nốn định với hai phép toán M AN + AN CN Khi đó, N với hai phép tốn lập thành cấu trúc A mỏđun , Ta gor N la modun cua M Ky hicuN aM Mệnh dé 1.2.3 Cho M la A médun va N, P 4M ta co: )N+P={nt+p/ae A, pe P} aM i) NAP AM t)aN aM, iv) Cho MỊ CM¿C => m M, chuỗi tăng môđun M ˆ T với tính chất sau : i) Có tính chất phổ dụng ánh xạ song tuyến tính (: MxN-> P, Nghĩa tổn đồng cấu f' ;T-› P cho f = f'g ii) (T, g) tổn xác đến đẳng cấu T gọi tích tenxơ M N ký hiệu TzM€@, SVTH: LÊ THAI BAO THIEN TRUNG N Trang§ MỘ? SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Mệnh đề L M.N,P A mơđun, tì có mệnh để sau : i) M@N = N@M 1) (M@N)@P = M@(N@P) ii) (M@N)@P = (M@P)@(N@P)., iv) A@M = M Với đẳng cấu tương ứng : 1) mM@n => n@m li) (M@n)@p > mB(n@p) iit) (m,n) @p > (m@p,n@p) iv) a®@m —> am Chứng i) Xét anh xa f: MxN— N®@M cho {(m,n) = n@m Dễ dàng kiểm tra f hàm song tuyến tính = 3h: M@N—> N@M cho h(m®n) = n®m (định nghĩa 1.3.Ì) Tương tự 3g: N@M — M@N va g(n®m) = m@n Do h.g g.h đồng cấu đồng (vì chúng déng phần tử sinh) = h = g` = đ.p.c.m it) C6 thé xem ii) trường hợp đặc biệt mệnh để 1.3.3 iii) Có thể sử dụng tính chất đặc trưng tổng trực tiếp: Gọi jM, DM Ín pụ phép nhúng chiếu ' từ M,N vào M@N Ta có : iF DM-:]N = (NM ý DN-ÌM £ Đụ mia ring ; PrinBe= Ip DM-]M =ee Im M JM => ar — M@N “PN -— -> ——— N ]M-DM + JN.DN = ÏMeN Xét: hh P2 M@P M cho (am) —> am, song tuyến tính = 3! đồng cấu í ; A®M => M cho f(a®m) = am Dễ dàng nhn thy l ton cu YƠx=Laj@m, AđM => x = LI @am, = 1@(La,m,) => {(x) = Laim, vay néu f(x) = = x = 1@0=0 = [ đơn cấu, Vậy ta có đ.p.c.m Mệnh đề ! 3.3 Cho vành A, B; M A môdun; P B môdun N (A, B) song môđun (nghĩa là, N vừa A môđun vừa B mơđun; hai cấu trúc hịa hợp theo nghĩa a(xb) = (ax)b VxeM, VaeA, VbeB) Khi : M®, N la B médun va N @, P la A médun Và nifa: (M®, N)@, P=M®, (N®, P) Chứng minh se M@, N làB mơđun với phép nhân từ vành B vào M@, N định nghĩa bởi: bx = Em; @bn; ; Vx = Im, @n,e M@, N, Vbe B Dễ dàng kiểm tra phép nhân với phép cộng thỏa tiên để mơđun Tương tự, N®; P trang bị cấu trúc A mơđun e Chú ý (M@®, N)®,P M®,(N®,P) song môđun (A,B); Vậy ta chứng minh hai mô đun đẳng cấu C médun (A môđun lẩn B médun), - ọ: Trước hết tổn đồng cấu (M@,N)®;P-—M®@,(NGy P) SVTH: LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Trang