BO GIAO DUC —- DAO TAO
MRUONG DALHOC SU PHAM TPLHCM KHON TOAN
ost 0) Ci vi
6 ° | ® & :
x(HHL-C 4C t4 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyén neanh: TOAN DALSO
Giáo sự lở ng dân: PGS.TS BULTUGNG TRI
Sinh vién thic hién: LP Vad BAO THIEN TRUNG
PtHANH PHO HO CHI MINH
Š - 2000
Trang 2-@-4-4-4-4.-46-4-4-46-464464646 44-84 4646 4 6-6 6-4 & 4 2 4 24 4 4 4 4 4 4 4 4 ` -& +@-@-@-4-4-4-4-4- 4-4-4 4-4:-.4-4-4-4 6 4-4-4-4-.4-& Lei Cam On
Li dau Hien trong khoa lain nay, em rin chin thank géi dén DUNS TS Thơi “Trưng “Trẻ người tfa tựu va tan tink luting dain
eo eet qaa mod ledte khau hein thauh khoa lain odi long biét ou
1/01! tđịc
bia chan Uaiah eam oe Thay FS My Cink Quang da witrct
fink qiup d® va doug vién eu trong sudl qua teiah toe dae bi¢t la qua triah Hare hiện kháá luận
dia chau thamlh ean an Quay Thay: TS Fran Hayéeu, Fran
Hitug va ede thay cĩ thuộc to Dai Sé tin tink giaug day cÍung eo wot alutug adn Dai Hoe
Chia thank cant on Quij Thay (2 trong Bau elu thiệt khoa
Tuan tao moi dita kign thuan loi cho cluing en hoe tip cà phấn
dau
Din chan thauk eam on “Thủy (quyên cối Quốc Trường 1) 7 T1? Anyen Le Héug Dhoug dé gitip do tai li¢u ughién eu
hin hag té long biét on ddi vdi Quy Thy, Cd thuge khoa Foun of Thi Oigu Dai Hoe Su Dhan TD FOOM tan tink trayén dat kiéu ute eng abut etie hd tre khuie cho em trong tuốt quá
teink hee
‘hin cam ơn tung ban hoe khod 96, aluing ugqudi da eting tdi
hoe lap va ughiéu eda
TPD.FOOM thing 5 nam 2000 Le Thii Bao Thitn “Trang
& & -& -& -& rà ,& a) & rơ
Trang 3Mục Lục
Trang
Một số quy ước và ký hiệu 1
Chương ï: Các kiến thức cơ bản về vành va modun 2 L Vành 3 Il Modun 4 Ill Tich TenXo s IV Mơđun đẹt 9 V Mơđun Nơte và Modun Artin 11 VI Vành các thương 13
VII Mơđun các thương 17
VIH Tính địa phương +21
Chương ïI: Một số nghiên cứu về raơđun các
thương 23
I Mé6dun cac thuong cua médun det 24 II Mơđun các thương của mơđun Nơte
và mưđun Artin 25
III Mơđun các thương của mơđun khơng
xoắn và mơđun chia được 27
IV Mơđun các thương của mơđun nội xạ 28
V Một nhận xét về vành hệ tử A và tập
con nhân S 3o
Trang 4MỘT SỂ NGHIÊN CỨU VỀ MƠDLN CÁC THƯƠNG GSHP: PGS.TS BÙI TƯỜNG Tài
MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU
+ Các vành hệ tử được ký hiệu hét các chữ in hoa À, B,C, D,E + Cac idan của chúng được ký hiệu bịt các chữ ứ, j, e3, y + Các mĩdun đưực ký hiệu bơi các chứ hoa M,N.P,X,Y
+m idéan cua vanh A, ky hicu ai A
+ ae A ky hiéu <a> Ja idéan cua A sinh bei phan we a
+ Vac A, ký hiệu a” là phần tứ kha nghịch của a (aa Ì =l)
+ TLTK || - tài liệu tham khao [1]
Trang 5MỘT SỂ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ —— ~ - - — — ~ — CHUONG I: CAC KIEN THUC CO BAN VE VANH VA MODUN -000 -
Trong chương I, ngoai viée néu va chitng mình các kiến thức cơ
bản, chúng tơi đặc biệt chú ý đến những kết quả về:
+ Tich tenxd: “cho M, P lần lượt là A, B mơđun: N là (A,B)
médun = (M®, N)®, P=M®, (N®,, P)" (ménh dé 1.3.3)
+ Mơđun dẹt: *ƒ: A —> B là đồng cấu vành, M là A médun det
=> M, =B®, M 1a B médun det” (ménh dé 1.4.2)
Hai két qua nay due néu trong TLTK [1], nhung khong chitng minh
+ Vành các thương: chúng tơi nhận xét được "nếu tập con nhân S “
chứa các phần tử khả nghịch thì A = SA" (vidu 1.6.6)
+ Mơđun các thương:
-Tit ménh dé 1.7.5 “S'M=S A@,M (A médun)”, được nêu và chứng minh trong TLTK [1] Ching tơi cịn nhận xét được “S'M đẳng cấu
SA mơđun với S'A®AM” (nhận xét 1.7.6)
- “S'M@s', S'N = S'(M@N)” (ménh dé 1.7.8) néu ong TLTK [1]
nhưng khơng chứng minh
Trang 6MƠ ¡ SẼ NGHIÊN CỨU VÉ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ SỐ 1 Vanh
Dinh nghia ltd
Vành A di một tập với hài lui hơp thành gọi là phép nhân và phép
cơng tương ứng, được viết như tích và tổng tương ứng và thỏa mãn các điều kiện sau:
VỊ Đối với phép cơng, A là mot nhĩm Aben,
V2 Phép nhân kết hợp (Á là nửa nhỏm nhân)
V3 VXx,y,⁄¿E À,(X+ y)/ = 80 + YZ Vad A(X +) = 7X Hy (các hẻ thức này được gọi lí tính phần phối)
® Vành A là giao hốn, cĩ đơn vị nếu nửa nhĩm nhân A là giáo
hốn, cĩ đơn vị |
® Vành A là miền nguyên néu A cĩ đơn vị, giao hốn và tích hai
phán tử khác khơng là khác khơng
Dinh nghia ld
Idean trai a cua vanh A là nhom con cla nhĩm cơng A sao cho
Aa & @, Khi dinh nghia idéan phai, ta dbi hoi aA ca
Idéan 1a nhĩm con đồng thời là iđếan trái và nhải
e Néu vanh A giao hodn thi iđêan là tđểan trái hoặc phải
e Néu vanh Acé don vi | thi diéu kien iđêan trái Ad = œ
va phai aA =a
Định nghĩa 1,1,.2h
Cho A là vành giao hốn cĩ đơn vị,
Idéan œ được gọi là iđêan chính của vành A nếu œ sinh bởi một phấn wae A.a=<a>={ar:re A}
Dinh nghia 1.1.2c
Miễn nguyên A được gọi là vành chính nếu mỗi iđêan của A là iđêan
chính
Từ đây các vành xét trong khĩa luậ n là vành giao hốn cĩ đơn vị
trừ khi cĩ điều nhấn mạnh: ngược lại
Trang 7
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG
GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
Dinh nghia lols
c * ` « P
+ Œ là tđểan nguyên tơ của vành A, ký hiệu œ<4A,
ncua#A & Vaye A> xyeu = veut lay veu
+ B la idéan tGi dai cua vanh AL kv hice Bod
nếu j # A, VyaẤ: cy>—y= huy y=A
Dinh nghia 1.1.4
Một vành giao hốn chỉ cĩ một iđêan tơi đại duy nhất là vành địa phương
Mệnh dẻ 1.1.5 Cho vanh A, y< A,
tập hợp Ann(y) = {ae A: ay=O} ld mot idéan cia A Ménh dé 1.1.6 Cho vanh A, p ú 5 adA of la mién nguyén B4A© A6 là trường Hé qud 1.1.7
I Mọi iđêan tối đại là iđêan nguyên tố
2 Mọi iđêany # A đều chứa trong một iđẻan tối đại
II Mơ đun
Định nghĩa 1.2.1
Trang 8MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG T1
Định nghia 1.2.2
Cho M la A médun va Nc A,
Nốn định với hai phép tốn trên M nếu AN + AN CN
Khi đĩ, N cùng với hai phép tốn trên lập thành cấu trúc A mỏđun ,
Ta gor N la modun con cua M Ky hicuN aM Mệnh dé 1.2.3 Cho M la A médun va N, P 4M ta co: )N+P={nt+p/ae A, pe P} aM i) NAP AM t)aN aM, iv) Cho MỊ CM¿C là chuỗi tăng các mơđun con của M ˆ m => M, <M Dinh nghia 1.2.4 Cho M la A médun va Na M, Nhĩm thudng giao hoin MA) lap thanh mot A mơđun, với Phép cộng: (m + N) + (n + N)=( m+n) +N; Vm,ne M Phép nhân: a(m+ N)= am +N V ae A; YmeM Mơđun MÁC gọi là mơđun thương của M trên A
Ménh dé 1.2.5
M là A mơđun và NaM,
Tập hợp Ann(N) = { aeA /aN= 0 } là một iđêan của A
II Tích tenxơ của các mơ đun
Định nghĩa Ì 3 Ì
Cho M, N là các A mơđun, tổn tại một cặp (T, g) gồm một A mơđun ï
và ánh xạ song tuyến tinh g: MxN —>T với những tính chất sau : i) Cĩ tính chất phổ dụng đối với mọi ánh xạ song tuyến tính (: MxN-> P, Nghĩa là tổn tại duy nhất một đồng cấu f' ;T-› P
sao cho f = f'g
ii) (T, g) là tổn tại và duy nhất chính xác đến một đẳng cấu
T được gọi là tích tenxơ của M và N ký hiệu TzM€@, N
Trang 9
MỘ? SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Mệnh đề L 3 2 M.N,P là các A mơđun, tì cĩ các mệnh để sau : i) M@N = N@M 1) (M@N)@P = M@(N@P) ii) (M@N)@P = (M@P)@(N@P)., iv) A@M = M Với các đẳng cấu tương ứng : 1) mM@n => n@m li) (M@n)@p > mB(n@p) iit) (m,n) @p > (m@p,n@p) iv) a®@m —> am Chứng mình
i) Xét anh xa f: MxN— N®@M sao cho {(m,n) = n@m
Dễ dàng kiểm tra f là hàm song tuyến tính
= 3h: M@N—> N@M sao cho h(m®n) = n®m (định nghĩa 1.3 Ì)
Tương tự 3g: N@M — M@N va g(n®m) = m@n
Do h.g và g.h là các đồng cấu đồng nhất (vì chúng déng nhất trên các
phần tử sinh) = h = g` = đ.p.c.m
it) C6 thé xem ii) là trường hợp đặc biệt của mệnh để 1.3.3 iii) Cĩ thể sử dụng 3 tính chất đặc trưng của tổng trực tiếp: Gọi jM, DM Ín và pụ lần lượt là các phép nhúng và chiếu ' - từ M,N vào M@N Ta cĩ : 7 iF DM-:]N = (NM ý DN-ÌM £ Đụ JM => -— -> “PN ee mia ring Be M — M@N N 2 DM-]M = Im ; Prin = Ip ar ——— 3 ]M-DM + JN.DN = ÏMeN Xét: hh P2 M@P <—„—” (M@N)@P —— N@P
Với j = ju@ Ip; Pi = Pu@ I p va h = |Jn@lp; p2= Pu@ 1p
Trang 10MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ - - — —— - ——_—- 2 p¡.]ị (mp) = p¡|(m,0)p| = mŒp =1 ya» (mBp) tưng tự ps.Jạ = Inep 3 (¡.p¡ + Is.p2)[(m,n)@p|= lị.mi[(m.n)Ðp] + I›.n:|(m,n)@p |= hi (m@p) + J2 (n@p) = (m,0)@p +(().n)@p = (m,n)@p = Ìtmenyar |(m.n)@n] Vay (M@NJOP=(M@P)G(N SP)
iv) Anh xa AxM —> M sao cho (am) —> am, là song tuyến tính = 3! đồng cấu í ; A®M => M sao cho f(a®m) = am
Dễ dàng nhận thấy í là tồn cấu
Y¥x=Laj@m, € A®M => x = LI @am, = 1@(La,m,)
=> {(x) = Laim, vay néu f(x) = 0 = x = 1@0=0
= [ đơn cấu, Vậy ta cĩ đ.p.c.m
Mệnh đề ! 3 3
Cho các vành A, B; M là A mơdun; P là B mơdun và N là một (A, B)
song mơđun (nghĩa là, N vừa là A mơđun vừa là B mơđun; hai cấu trúc này hịa hợp theo nghĩa a(xb) = (ax)b VxeM, VaeA, VbeB)
Khi đĩ :
M®, N con la B médun va N @, P con la A médun Và hơn nifa: (M®, N)@, P=M®, (N®, P)
Chứng minh
se M@, N làB mơđun với phép nhân từ vành B vào M@, N được
định nghĩa bởi: bx = Em; @bn; ; Vx = Im, @n,e M@, N, Vbe B
Trang 11MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ +tV/eP; ảnh xạ h,:N _yN@, P là một C đồng cấu vì : y => yâđ/ vy,,veN.Vc,.c.,e(C: h,(Cjyy +C;Y)=(c,yp+cy)@2=ciy,đ2+c;y; â/ =e fy, O27) + ery, Oz) =e,h, (y,)+ erh, (yy) + Nhận xét: ¥z,,z,E€P, VyeN: h,,„ (y)=y@(, +z‡;)=y®¿¡+y@¿/;=h,(y)+h Cy) =(h, +h, Wy) Vậy h,,„ =(h, +h, ) + XẻcLánh xa: g, =l@h, M@,NM@,(NG, P) x@y — x @y@z)
Như ta đã hiết ánh xa này là mơt A déng cau Hơn nữa, nĩ cịn là B đồng cấu
That vay, do g, la A đồng cấu nên ta chỉ cần Xiểm tra:
Vbe B, VL= x®ye M@ẠN, g,(bU = hg„(U:
g,(bt) = g,(x@by) = x@(by@z) = x@b(y@z) = b[x@(y@z)] = bg,(v
+ Xây dựng ánh xạ 8 (M®, N)x, P>M®, (N®, P)
sao cho O(x@y,z) > g, (x @y)=(1@h,)(x @ y) =x@Q(y@z)
là một ánh xa B song tuyến tính vì :
V\,U là các phần tử sinh cla M@,N; Vze P
0(t+t,z)=g, (t+tU)=g, ()+g, (U) = O(t,z) + O(t',z)
với L =x@y; V7\, Z¿E€ P ta cĩ:
Ơ(t⁄¿ +Z¿)=8,,„(U=x@©h, „„ (y)= x@(h,(y)+h, (y)
=x@h, (y)+x@h, (y)=O(t,2,) + O(t,z) io
Vhe B, O(bt,z) =g, (bt) = bg, (t) = bA(L,7)
Ht, bz) = g,, (=x Oly @ bz) = b(x O(y Oz)) = HAZ):
Trang 12MOT SO NGHIEN CUU VE MODUN CAC (HUONG GSHĐ: PGS.TS BÙI TƯỞNG 1t [L,Z) ny ENA Gv)Ê Oy (M&,N)xP ————> \\†*3.N)Ằ@.P i) | (p Vv eZ M@, (NOK P) OL s=pe Al) =x©(v@/) Tương tư tốn tại một A đĩng cầu - M@,(NG,P) (MS, NIG, P VN@(y Bz a(x@viGz - Ta cd meow va we@ là các ảnh xa đồng nhất trên những phần tử sinh nên là các ảnh xạ đồng nhất = @= tự ` Vậy: op là C đẳng cấu hay tà cĩ địncm IV.Mơ đun dẹt Định nghĩa 1.4.1 Cho vành A, N là A mơđun dẹt nếu N bảo tồn tính khớp của hàm tử tcnxở, Nghĩa là : Nếu 0M ' =M >M"—›0 là một dãy A mơđun khớp nghắn thì 0— M@N >M@®N —-M'@N —>0 cũng là dãy khớp ngắn Vì hàm tử tcnxơ khớp phải nén định ghia trên tương đương : Nếu f_M — N là đơn cấu thì f ® 1, :M'®N —= M@ N cũng là đơn cấu Ménh dé 1.4.2 Nếu f: A —= B là đồng cấu vành và M là A mơđun “thì M, =B®, M la B médun det Chứng minh + Nhan xét:
Cĩ thể trang bị cho B cau tric A médun như sau :
phé- nhân từ A vào B:Y+<A\,7heB ab=i(a)becB
Dễ dàng kiểm tra phép nhàn cùng phép cơng trên B thỏa mãn các tiền dé modun
Trang 13
MOT SO NGHIEN CUU VE MODUN CAC THUONG
GSHD: PGS.TS BULTUGNG TRI —— —— — a — TT Ă= Ă= ỒỒỒ Ta gọi B là mốt A đại số Vay Bla mot song médun (A.B), +Moa rong : Nếu N là một B mơđun thì N là A médun với phép nhân từ A vào N: an = l(a)n VneN
Nếu g: M' -> M'"' là B đơn cấu bất kỳ, theo md rong trén g cùng là A deine iu
doM ladct=> g@1ly:M@M—>M"OM Ia đưn ánh ty | Theo (1.3.2) B@, M'=Mva BO, M°=M* vaih:bS m3 bm' va h":b Sm > bm" bye Oh iy, Oh” >M®, (B®, M') = MS, MviM@,(BO,M) = MO, M: =>M ®, (B®, M')—>M ®, (B®, M") với k = (1u@h ””)(1@g)(1u©h' ) là đơn ánh ụ Theo 1.3.3 M®, (B@, M')=(M®, B)®, M’ rr vaM®, (B®, M") = (M â, B)đ, M vaig:m @(b@m')>(mOb)O@m'va yw:m@(b@m") + (m@b)S m" =>(M @, B)®@, M'——>(M®, B)®, M'" với h = k.@ “là đơn ánh Bây giờ ta chứng minh h = lục „ ®£
V(m @ b) @ m'e(M @, B)®, Mch=w.k.o'[(m@b) Om]
= t.k{m ®(b® m')]= (1 Oh" (1, @gi1y @Oh')[m @(b@ m’)| =w(ly Oh"! (1, @g)(m @ bm’) = wily Dh"! (im @ bg(m')) = wim @ (b @ g(m')) =(m@®h)@g(m)= (lụa, © #!|(m © h) © mi | Rồ ràng lu „ © g là một B đồng cấu Vậy n‹ là B đơn cấu = đ.p.c.m Mệnh dễ L4 3
Trang 14MỘT SỐ NGHIÊN CUU VE MƠĐUN CÁC THƯƠNG
(;SHĐ: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ — —_— — —.ẻ
Chưng mình
<=) Cho M 1a A médun bat k¥ sao cha M@N là mơđun dẹt với mọi N
la A modun det Chifng ninh M ta det
Tạ cĩ A là A médundet => A@M LA mắdun det mi A@®M=M => M là A médun det =>) Cho M,N là các Á mơđun d‹! Chứng minh MéỀN là A mơdun dẹt Giả sứ [: K-> P là đơn cấu Do M det =f®1„:K @M > P@Nlà đơn cấu Do N dẹt, = (f ®1„)®1¿:(K @M)@N >(P@N)@®M là đơn cấu Ma:(K@M)@®N=K@(MON) (P®N)®M=z:šP@(NOM) thco(2.2) = f ®luay :K®(M@N) >P@(N@M) là đơn cấu =M@Nlàúct ios V n Note va m Artin Mệnh dé 1.5.1
Cho tập hợp © vdi quan hé thi tự "<” trên &
Các điều kiện sau là tương đương :
¡) Mọi chuỗi tăng các phần tử của Ð x;< x;< là hữu hạn (nghĩa là 3n: x„ =X„„¡ = )
¡) Mọi tập con khác rỗng của È đều chứa một phần tử tối đại
Chứng mình
i) => ii)
Néu (t6n tai tap con T khdc rong cia £ khơng chứa phần tử tối đại, thì ta cĩ thể lấy từ X một chuỗi tăng nghiêm ngặt các phần tử khơng bao
Trang 15MỘT SỐ NGHIÊN CUU VE MODUN CAC THUONG
GSHD: PGS.TS BUI TUGNG TRI
—= mm —
« Xét È là tập hợp các mơđun con của một A odun M cho trước Ta cĩ các định nghĩa:
Dinh nghia 1.5.2
Médun M 1a médun Note néu M thoa man mét trong hai điều kiện
tudng dufdng cla ménh dé 1.5.1, khi xem quan hé “ec” 1 quan hé thứ tự ”<”,
Dinh nghia 1.5.3
Mơđun M Ia mOédun Artin n¢u M thoa min mot trong hai diéu kiên
wong dudng cla ménh dé 1.5.1 khi xem quan ắ “D" 1A quan hệ thứ tự “<" Mệnh dẻ 1.5.4 M là mơđun Nơte khi và chỉ khi mọi mơđun con của M đều hữu han, sinh Chứng mình
=>) Cho M la médun Note, YN <M lay a, eN nếu N#<a, >= 3a; eN
maa, €é<a, > Ti€p tuc quy nap la lim dude mot chuỗi tăng nghiêm ngat
các mơ đun con của M chứa trong N :< a, >C< a,,a; >C< a,,a;,â; >C Do M là Nơte = tập các nơđun con đĩ chứa phần tử tối đại < a,,ax, ,a, >
sao cho N =< a,,a3, ,a, >=> N hiftu han sinh
c=)M, SM; c 1a mét chudi tăng các mơđun con cữa M
Đặt N=| Ƒ”.M„ 4M
Trang 16MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠDUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG Thí
VỊ Vành các thương
Dinh nghia 1.6.4
Cho A la mién nguyén
Xét tập tích AxA”= {(a,s) /ase Avs #0}
Một quan hệ T giữa các cập trên ÀAxA ` :
(a,s) x (h.U € at-hs =0)
Dễ dàng kiểm tra đây là quan hệ tưởng đương Xây dựng :
Tập thương Á `A=Ä* NA lá một trường, với phép tốn cơng và nhân được định nghĩa :
Để để liên tưởng ta kí hiệu : a/x =(a.s)eA ÌA
aA/s + bít = (at + bs)/sI
a/sx b/t = ab/st
Gọi là trường các thương của miền nguyén A,
se Cách xây dựng trường các thương của một miễn nguyên là sư mở rộng cách dựng trường số hữu tÿ Q từ vành số nguyên Z
Định nghĩa 1.6.2
Cho Á là một vành và S là tập con nhân của A chứa 1 Xét tập tich AxS= {(a,s)/a,se A, se S }
Một quan hệ T giữa các cặp trên AxŠ :
(a,s) ~ (b,Ù © 3ueS : u(at -bs) = 0Ư
Đây là một quan hệ tương đương vì :
Tính phản xạ và đối xứng của T là dễ thấy, ta kiểm tra tính bắc cẩu :
Giả sử (a,s) ~ (b,Ù và (b,Ð ~ (c.u)
= 3v,we S: v(at - bs) = 0 và w(bu - cÙ = 0
=> vwu(at - bs) =0 va vws(bu - ct) =0 = vwt(au - cs) = Ư với vwte S
=> (â,S) ~ (c,u) Xây dựng :
Tâp thương S'A =A~x Sr là một vành cĩ đơn vị l/1 với các phần tỬ, phép tốn cộng và nhân được ký hiệu và định nghĩa tương tự trong
định nghĩa l.6.1, goi là vành các thương cũa vành A đối với §,
Trang 17
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯỜNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG Thị
« Nếu 0e S§= §”'A chỉ chứa mỗi phẩn tử (II
Từ đây ta chỉ quan tâm đến những S khơng chứa 0
e Wa/seS'A,WteES tacĩ: a/s=aU/st
« Xét đồng cấu vành : [: A->§ 'A
a —> a/l
Trong trường họp tổng quát, Ï khơng là đơn cấu
Mệnh dé 1.6.3
Với mọi đồng cấu vành g : A + B sao cho g(S) kha nghịch trong B; khi đĩ tổn tại duy nhất một đồng cấu vành h : SA —> B sao cho g = hf [ 4 À^ —>› Á La ae B
Nghĩa là: f là vật đầu trong phạm trù C gồm :
-Các vật là các đồng cấu vành g : A -> B sao cho g(S) khả nghịch với A cho trước, - Cấu xa là đồng cấu h trong sơ đồ trên sao cho sơ đổ giao hốn Chứng mình e Trước hết ta kiểm tra [(S) khả nghịch : Vse S, f(s) =s/1= f(s)1/s = l/1 e Sự duy nhất :
Nếu 3h thỏa điều kiện đầu bài :
Vae A:h(a/1) = h([(a)) = g(a)
Ws €S:h(1/s) =h((s/1)7') =[h(s/1)]! = gs)"
Vậy h(a/s) = h(a/1)h(1/s) = g(a)g(s)
Do đĩ h xác định duy nhất theo g e Su t6n lai:
Xét tương ứng h: §”'A —> B như sau :
Va/s eS”!A,h(a/s)= g(a)g(u) ` +h là ánh xạ vì nếu
Trang 18
MOT SO NGHIEN CUU VE MODUN CAC THƯƠNG
GSHD): PGS.TS HÙI TƯỜNG TRÀ SỐ
af/s= as => Jue S:ulas=a's) = — g[0(ax'=a s0 | = 0 => ø(u)|{g(a)g(x ! = g(4')E(s)| = 0 = gladats d= ea es) => giadgisy) = gla’ ts’ yh => hials) = hla)
+ Dẻ kiểm tra h là đồng cấu vành, + Hiển nhiên: g = hÍ
Ta suy ra các tính chất của I sau Tinh chdt 1.6.4
1) 1(S) kha nghịch trong S ‘A
ii) Vx =a/seS'A x = fap H¢ qua 1.6.5 Nếu đồng cấu vành g : A B sao cho: 1) g(S) khả nghịch trong B, 1) g(ầ) =( 3š ce6S:áš=0 li) Vbe B= 3ac A,3seS:h = g(a)g(s) ` Thìh : S”'A— B mà g =hf là dàng câu Ching minh
Theo 1.6.3 Va/seS~'A, h(a/s) = g(a)g(s)
Từ ii) =h là tồn cấu
Nếu Va/se§”!A,h(a/s) = g(a)z(s)”" = 0 = g(a) = 0 theo in) © a/s = 0
= h là đơn cấu
Vậy h là đẳng cấu
¢ Ta xét vài ví dụ đặc trưng về tập con nhân S
Vaec A nếu f(a) =0 = a/1 = 3s eS: as = 0 (1)
Ta thấy f là đơn cấu nếu (l1) =a=U
Khi đĩ, cĩ thể xem A như mơt vành con của S ÌA,
Vi du 1.6.6a
Cho vành A và S là tập các phân tử khả nghịch cua A Dễ kiểm tra S là tập con nhân
=[:A =>§”'A là đơn cấu
Hơn nữa, Va/se§S ÌA,a/s =as 1= f(as ”) = f là tồn cấu
— ————- - — ~
Trang 19MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
Vậy [ là đẳng cấu : Az=äS 'A
Vi du l.6.66
Nếu A 1a vanh dja phudng c6 a@aA và S=A\ d, Wse S s khả nghịch
(nếu trái lại thì s sẽ sinh ra một iđêan thực sư khơng chứa trong œ, là
điều khơng thể được) Đễ kiểm tra 5 là tắp con nhân
Tương tự ví dụ I.6.6a, ta cĩ A z§”'A
Ví dụ Ì.6.7
Cho vành A, 04A va S=A\p, dễ dàng kiểm tra § là tập con nhân Ta
ký hiệu: A,„ =§”A Nhận xét ; A„ là vành địa phương của vành A trong p với iđêan tối đại duy nhất L=/s:aep,s £ p} # A; Thật vậy : +L4A,: Vx/LeA„,Vaj/sL.:(X/U(a/S) = xa/tse L vi: xa 6 p(p 4 A) và ts e §,
+ Giả sử : 3M 4 A„ và L cM nếu L # M = 3a/s eM nhưng a/s £ L
=ngp,Vx/Lec A, => x/t = xias/tas = (xs/ta)(a/s)e M (Dowe S)
Vậy M= A,
Cho vành A và Ÿ là tập con nhân của A
J(A) là tận các iđêan trong À Xét ánh xa:
®,:1(A) —> 1(SÌA) với ® (ơ) =S'ơ
Trong đĩ SˆÌœ = {a/s:a 6 œ.s e SÌ Dễ dàng kiểm tra rằng Sˆ!œ 4 §”A
Ta gọi S Íơ là iđẻan các thương của iđêan ơ
Trang 20
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐLN CÁC THƯƠNG
GSHU: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRI Ménh dé 1.68 (hảo tồn các bao hàm thife sau: ) § "(œ+)=§ )œ+§”B ii) S !(œf) =(S”!ø)(S Bì i) §'!(œffl) =S”'œS§”!p Chứng mình Lể dàng kiểm trai) va ii) Chứng minh ii) sanftcavaanpicimS ‘ueappcoS 'asas (aapes 'p = Đ '!(ơBỡ=SĐ ”'œ¬&"8
cVa/seS ‘aos Poa/s=b/tvdiacava be => Jue S:utat-bs)= 0
= ual = ubs => ubs € a va ubse f} > d/x = uat/ust = ubs/ast € $= ta of) VII Médun các thương
Dinh nghia 1.7.1
Cho A là vành, M là A mơđun va S Ia 4p con nhân của A Nếu thay vành A trong định nghĩa l62 bằng mơđun M ta được tập
—Ừ——
S”ÌM= {m/s = (m,s):meM, se s}
-Vdi phép cong : m/s+n/t =(mt+ns)/st => ( S”ÌM ,+) là giao hốn,
- Phép nhân từ: S”!A vào §”ÌM
Va/te§”!A,Vm/s e §S”ÌM,(a/0(m/š) = am(ts
Dễ dàng kiểm tra phép nhân và phép cộng trên thỏa mãr các tiên
của một mơ đun
Kết luận 1: SÌM là một SA mơdun
-Phép nhân từ A vào SÌM: vae A,Vm/seS”'M,a(m/s)=am/s
Kết luận 2: dễ kiểm tra SÌM là một A mơđun
Trang 21MOT SO NGHIEN CUU VE MODUN CAC THUONG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ ————ễ—=— “ —— = _.—_—— _—Ồ
« Chou:M => là đồng cau cae A modun
Khi đĩ u cảm sinh ra đồng cấu các § '*¡ mỏđun S'Ìu: §ÌM —› §ÌN ms > u(m)/s e Cho M——»>N ——9P cic dong cau A médun sc cam sinh §'M———>›§N———›§”P Ta cĩ : §Ì(v.u)= (S lự)( Su) VNhin vét ! 7.2 S'_:Mod —> Mod M —>S'M Với mọi déng cau u;M —=N cho ứng v1 Su: SÌM => S'N s'_ l một hàm tử: HTL: ` lu = is" Mẹ VMe Mod HT2:S§!(uv)=(SÌu)(S'v), với M— —>N——>»P Mệnh đê 1.7 3
Cho dãy KhSp các A modun : M——»>M—*+M" khi do diy
S'm'—+5s'M—£55'M" IA khdp cic S'A médun,
Chiing minh
Ta chứng minh : Im(S0D= Ker(S 'g)
- (§”g) (S”D = §†(g.D = §Ì(0) =0 = Im(S !0c Ker(S”g)
Trang 22MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG
(;SHI): PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
Chitng minh
iva ii) chứng rìinh tướng tự như œ ¡để an các thương với :
Ta cĩ đầy khớp các phép chiếu và nhúng sau i F M } 0> N——>M-— TẨY —> l Vậy dấy U = SˆÌN———S”'M———-›§ MU —> 0 la khdp, Theo djnh ly Note : S'M — : M ` im mm NỈ Mà Ket(S Ìp) = Im(S !¡) = SN = đ.p.c.m iv) Ta kiểm tra được rằng : SÍN 4S ÌM với SÌM là A (SA ) m¿đún - Va,a'eA;Vn/s.n/teSỈN = a(n/s)+a'(n/t) = (ant +a'n’s)/tye S'N viatn +a'’sn'e N - Vafu,a/ueS'A:Vn/s.n/teSÌ'N => (a/u)(n/s) + (a/u n/t) = (tantu+a n su)/0u1sxeSỈN - vì atu`n + a`sun`e N Ta xét các đẳng cấu rất quan trọng sau: Mệnh đề 1.7.5
Cho M là A mơđun Khi đĩ SÌM và S'AđâAM l ng cu cỏc A
mơđun Chính xác hơn là tổn tại duy nhất một A đẳng cấu
{: S'A@,M —> SÌM sao cho [((a/s)® m) = am/s VaeA, meM, seS
Chứng mình
Xét ánh xạ g: SÌAxM —> §”M
g(a/s,m) = am/s
Dễ kiểm tra g là ánh xạ A song tuyến tính
Trang 23MOT SO NGHIEN CUU VE MODUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ _
> (a, /s, Om, = ¥ (a,t,/s) 2m, = 3 (1/s)®a,tm, = (I/s)® 3 a,tm, =(l/s)®m
tel
Vay mdi phan uh xe S'A@,M déu c6 dang x = (1/s)@m,
Néu xe Kerif) = f(x) = (((1/s)@m) = ms =0= 3te S$: tm=0 => x= (I/s)@m =(t/ts)@m = (1/ts)@ tm = (1/ ty) @0 = 0
=> 11a A don cau Vay fla Adang cau
hay S'A@\M = S'M(A médun )
Nhàn vét 1.7.6 é
Đẳng cấu A mêđun f trong mệnh dé 1.7.5 cịn là đẳng cau cae S'A
modun Nghia 1a S'A@,M s § M (SA mơđun )
Chứng mình
Với đồng cấu vành A —> SA (a —> a/1), S A@AM cịn được xem là một SA mơđun như trong nhận xét của mệnh để I.4.2
Ta chỉ cần kiểm tra í la một S !A đẳng cấu :
- = Vx,x'€ S!A@ẠM, ta cĩ : Í(x+x`) = f(x) + f(x') do f là A đồng cấu
- Wx=(I/s)@meS'A@sM, Va/te S'A
Ta co’: (a/t)x = (a/t)[ (1/s) @ m | = (a/ts)@m
Trang 24MỘT SỐ NGHIÊN CUU VE MODUN CAC THUONG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
=0-—>§ 'A@AM'—› §!A@AM > S'AQ, M" > 0 1a day khdp ngan
Ti dinh nghia 1.3.1 > S'A JA mt A moédun det Ménh dé 1.7.8 M,N 1A cic A médun cho trước, tổn tái duy nhất một đẳng cấu SA mơđun [: S'M®, ,S N>S '(M@N) sao cho: f](m/s)đ (n/t)}=(m@n)/sti Ơm/se S'M, vn/teS 'N Đặc biết nếu p4Á và S= AQ thí: M,@a,, N„ = ( M Oy N)p Chứng mình - Theo nhận xét 1.7.6:
S'A@,M = S'M (S'A médun ) (1)
S'A®,N = S'N(S'A médun ) (2)
S'A@, (M @, N) = S'(M @, N) (S'A médun ) (3)
Tit (1) va (2) thi: (S'A@,M) @y', (S'A@,N) = S'M@s', S''N (4)
Theo ménh dé 1.3.3:
(S'A@,M) @s', (S'A@AN) = [(S'A@,M) @s', S'AI@AN (5) Theo 1.3.2: (S'A@,M) @s', S'A=S'A@\M
Từ (5) : (S”A@AM) ®g}, (S'A®AN) s (SÌA®AM)SAN Cũng theo 1.3.2 thì : (S'A®AM)®@AN z SÌA®@(M@AN) => (S'A@,M) @s', (S'A®,N) zS!A@,(M®,N) Cudi cing tY (3) va (4) > S'M@s', S'N=S''(M @, N) - Va f[(m/s)® (n/t)] = (m@n)/st: S'M@s 5", S'N — (S'A@aM) @s', (S'A@AN) > [(S'A@AM) @s'aS'AI@AN (m/s)@(n/t) > [(/s)®m|@{I(/0@al — [((/4)®m)®(1/019n — (S'A@,M)@,N ĐèA@,(M@AN) > Đ!(Mđ;N) —> [(I/s)®m]®n => (1/6)®(m ®n) => (mØn)/4t
- Dễ dàng kiểm tra tính duy nhất vì [ xác định trên phần tử sinh
VIII Tính địa phương của vành và mơ đun
Một tính chất P của vành A ( hay của mêt A médun M ) được gọi là
địa phương nếu :
Trang 25
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ -_— - ——
: F
A ( hay M ) cĩ tính chất P © A„( hay Mẹ ) cĩ tính chất P, vpaA
Sau đây ta xét vài ví dụ vẻ tính địa phương: Mệnh đề 1.8 Ì Cho M là một A mơđun, Các mệnh để sau tướng đương : i) M=0 p i) M,=0 Vp<aA iii) M,,, = 0 YmaA Ching minh
Hiển nhiên ta cĩ : i) => ti) = iii)
iii) => i): gid sl iii) thoa min va M #0 = 3xe M mà x # 0 Ta cd: Ann(x) 2 A ( theo 1.2.5 ) và 3m4A sao cho : Ann(x) c m
Xét phần tử x/1e M„ do M„ =0 = x/I =0 3s e S = AVWn: s.x = Ú
= š 6€ Ann(x) c m trái với giả thiết s e S
Ménh dé 1.8.2 |
Cho $: M—>N là đồng cấu các A mơđun
Các phát hiểu sau là tương tương :
i) 6 1a don cấu,
2 p
it) $,:M,—N, laddncau Yp4aA iii) On: Mg 2 N,, a ddncéu Vm4A
Ta phát biểu một cách tương tự cho các tồn cấu
Ching minh
i)=> ii) Theo 1.7.3 thio, =S''6 1a don cau
Trang 26MỘT SỐ NGHIÊN CUU VE MODUN CAC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
CHƯƠNG II: MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN
CÁC THƯƠNG
o{Œo- -
Chương IÍ trình bày các kết quả nghiên cứu của chúng tơi về
modun cic thương của các lớp m„odun đặc biệt ( hay các tính chất của hàm tử S `_ trên các lớp mơđun đặc biệU) Trong quá trình nghiên cứu,
chúng tơi phát hiện một số kết quả sau ?
+ Khi nghiên cứu về mơđun các thương của médun det, ngoai kết quả dé thay “M la A modun det => S'M 1a A médun det” nha nhận xét l.5.6 chúng tơi cịn phát hiện “M là A mơđun đẹt > S"'M la
S'A médun det” '
+ Ban đầu, sử dụng mệnh dé 1.5.4 chỉ kiểm tra trực tiếp được
“M Ala Note => S'M 1a S'A Note” Sau dé, phat triển khái niệm vẻ
sự mở rộng các iđêan của vành A và sự thu hẹp các iđêan con của
vành thương SA theo TLTK [|1] Chúng tơi xây dựng khái niệm này
cho mơđun M và mơđun các thương S'M (SA mơđun), chứng minh
duge “WLe J(SM), L'*=L" Nhờ đĩ, chứng minh được“M là A Artin
= S'M 1a SA Artin”
+ Chúng tơi kiểm tra được: trên mién nguyén A “M là A khơng xoắn = §”M là §”A (A) khơng xoắn" và “M 1a A chia dugc => S'M
là S''A (A) chia được”
+ Chúng tơi trình bày một kết quả về mơđun các thương của
mơđun dẹt trên vành chính A: “trên vành chính A, M là A nội xa =
§'M là S'A (hay A) nội xạ ” nhờ vào kết quả về mơđun chia được
+ Khi chú ý đến chiểu ngược lai, nghĩa là khi nào thì §ÌM là SA (A) nội xạ (dẹt, xoắn ) = M là A nội xạ (dẹt, xoấn, ) Chúng
tơi nhận xét được "nếu § là tập con nhân chứa các phần tử khả nghịch
thh A=S'A va M=S'M” Khi do, S'M 1a S'A (A) ndi xa (det
xoắn ) © M là A nội xa (deẹt, xoắn, )
Trang 27MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ I Mơ đun các thương của mơđun dẹt Minh dé 2.1.1 Nếu M là A mơđun dẹt thì §ÌM là Á mơđun det, Chứng minh Ta cĩ SA là A mơđun dẹt theo 1.7.7,
M 1a A médun det > S'A@, M la A modun det theo 1.4.3
Theo 1.7.5 thi S’A@, M =S'M (A dang cau)
Vay S'M la A médun det
Ménh dé 2.1.2
Nếu M là A mơđun det thi S''M 1a S''A médun det
Chúng mình
Ta đã biết Í: A => §ÌA sao cho f(a)= a/1 là đồng cấu vành
Theo 1.4.2 do M là A mơđun dẹt nên §S !A®¿ M là SA mơđun dẹt,
Theo nhân xét 1,7,6 thì SAđM SĐ èM (SA ng cấu)
Vay S'M 1a S‘A médun det
Ta suy ra hệ quả sau ( đây là mệnh de 3.10 trong TLTK [1 ])
Hệ quả 2 Ì 3
Cho M la A mơđun dẹt, các phát biểu sau là tướng đương: ˆ 1) M la A médun det,
P 11) Mp la Ap m6dun det Vp<A
ili) M,, 14 A,, m6dun det Vm<aA Chúng minh
i)=> ii) Theo mệnh để 2.1.2
ii) => ii) Hiển nhiên
= i) Néu f: N > P là đơn cấu các A mơđun và m là iđêan †ổi đc: bat ky cua A, thi:
[„: N„ —> P„ là A„ đơn cấu thco 1.8,2
= fu®lwà : Nạ Bam Min Poy @am My 1a Ag, don cfu do M,, 1a det =f':(N®@AM)„ —= (P®AM), là Ay, đơn cấu
Vi theo 1.7.8: Nm @am Ma = (N@xAM)m Va Pin @am Mm = (P@aM) in => {": N@,M —› P@AM 1a A don c&u theo 1.8.2
Kiểm tra được {" = {@] 4, => V1 là A mưđun det
Trang 28
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
m lai:
S°MIlà A det@MlaAdet=> S'Mla S’Adet
[.Mơ đun các thương của mơđun nơte và médun artin Mệnh đề 2.2 I M là A médun Note thi S'M 1a S'A médun Note Chứng mình Ta sẽ chứng minh mọi N4 SÌM là hữu hạn sinh: n Goi —-eN „ đặt M¡= < n¡> # {| an) : eA} => S'M, = { ae :acA, seS} os LE N= S'MiCN S Ss 8 NéuS \M,#N = 3”? e N nhưng —2 sả £ S'M; >n;£ <n¡> Sz 52 Goi M2 = < n;,n->chifa M, = S'M; ={ a,n; +a¿n; - 5 Ta cũng cĩ : Se ee ae SiS Og 23 M2 âN=>S'M3CN Đ $s 8 S S
Nộu SèM; #N tương tự ta cĩ Mạ = < n;,n;,n: > chứa M;ạ
và SÌMạc N Tiếp tục quátrình trên ta sẽ cĩ một đãy tăng nghiêm
nghặt M,c Mạc SỐ
Do M là Nơte nên 3r : M, là tối đại — M, = < nụ, ,n,>
= S'M,=N= < = tin oa > hay N là hữu hạn sinh
: a), azEA, sES}
«_ Gọi J(M) là tập các mơđun con của một mâđun M e Xétánh xạf:M —> SÌM sao cho f(m) = m/1
se Nếu xem SM là A mơđun thì f là đổng cấu mơđun
m con va thu hẹp một mơđun con của m
các thương
Trang 29MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.T5 BÙI TƯỜNG TRÍ Định nghĩa 2.2.2 Cho M là A mơđun, SM là SA mơđun i) WNe J(M) SN J(S”M!) Ta gọi SN là mở rộng của mơdun con N Ký hiệu : N°= §ẢÌN ii) VWLe J(S'M) = <f'(L) > e J(M) Ta gọi < f'(L) > là thu hẹp của mơđun con L Ký hiệu : L= < f(L) > Mệnh đề 2.2 3 Cho M là A mơđun, khi đĩ S'M là SÌA mơđun VLe J(SÌM), Ta cĩ: L*=L Chứng mình
- Vm⁄s'e L*° => 3me L*,se S: m/s'=m/s
= m= Đa,m, :m,e f`(L), a, A, i=l, ,n |8 => —'eéeL, i=l, n> *, e€L.t=l, n ư ‹ m, _m, | | s => oe Bole L ¡=l, n => Teg eLâeL*eL Đ s S S22 tô » “la
-Vm/seL= me eL=mef'(L)> m/se LSS >LcL*
Hơn nữa dễ dàng thấy rằng
Nhận xét 2.2 4
Cho M là A mơđun, SM là SA (hay A) mơđun khi đĩ
Vv N, N’e J(M), NC N’ & S'Nc S"N'
Chứng minh
=>) Vm/se S'N => meN > meN’=> m/se S'N’=> S'NcS'N’ ¢) Vme N= m/se S'N= m/se S'N' > me N' > NCN'
Trang 30MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Chứng mình Néu M 1a A médun Artin thi S'M la S’A médun Artin That vay,
Cho L, DL: > L, > 1a chudi giảm nghiêm ngat cic S'A médun
con cba S'M Theo 2.2.3 WL,, tacé L', aM: L‘f=L, (i =1,2, )
Theo 2.2.5 LÝ, 5 L`; LÝ; là chuỗi giảm các A mơđun cen củ u M Hơn nữa, L, # L : (L # L*Ÿ„¡) = L,# L*„¡ (=l1,2 ) — chuỗi các
L‘; trên là nghiêm ngặt Do M là Aruin — chuối các L, là hữu hạn
= chuỗi các L, là hữu hạn = đ.p.c.m
Chứng minh tương tự cho M la A Note
Tĩm lại:
M là A Note (hay Artin) SÌM 1a S"'A Note (hay Artin)
IH Mơđun các thương của mơđun khơng xoắn và mơđun chia
được
Nhắc lại:
Cho M là A mơđun với A là miền nguyên,
+M là mơđun khơng xoắn nếu
t(M) = {me M/3ae A, a#0 : am =0} =0
+M là mơđun chia được nếu
&(M) = {me M/ Vae A, a# 0, Jm’e M: m=am'} =M
Nhdn xét 2.3.1
Nếu A là miền nguyên thì SÌA là miễn nguyên
Chứng mình
Va/s,a'/s'€ S'A, néu (a/s )(a'/s') = aa'/ss' = 0
=> Jue S: u(aa’) = Odo u #0, Ala mién nguyén = aa’ = 0
=>a=0 hay a` =0 Z a/s =0 hay a/s= 0
Bằng cách kiểm trực tiếp ta cĩ các kết quả sau:
Mệnh đề 2.3.2
Trên miễn nguyên A,Nếu M là A mơđun khơng xoắn thì §ÌM là S†!A (hay A) mơđun khơng xoắn
Trang 31
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐUN CÁC THƯƠNG GSHD: PGS.TS BULTUONG TRÍ Chung minh +S'M la S'A médun V¥ m/s et(S'M) = Ja/te S'A\{0}: (a/t)( m/s) = am/ts = 0 = Jue S: (ua)m = 0 do at 0 va uz 0 (S khơng chứa 0) = au# 0 (A là miền nguyên) => met(M)=0 >m=0 => m/s =0 t(S`M)=0 + Tudng tu S'M là A mơđun khơng xoắn Mệnh đề 2.3 3
Trên miễn nguyên A,
Nếu M là mơđun chia được thì §ÌM là §!A (hay A) mơđun chia được Chung minh ' +S'M 1a S'A médun Vm/se §ÌM, Va/te S!A\{0}— a# 0, du M là chia được =>3mˆ°e M:m=am' =>Jim'/s € SÌM: m/s = tam/ts = (a/t)(tm/s) = m/se ơ(SÌM) = S''M = &(S"'M)
+ Tương tự cho trường hợp SÌM là A mơđun Vm/s e SÌM, Vae A\{0} do M là chia được =>3m'e M: m=am’ =>3m'/s € S'M: m/s = am’/s = a( m/s) => m/s e 5(S"'M) => S'M = &(S'M) Tém lai:
M la A khéng xodn => S''M la S''A (hay A) khéng xoắn M 1a A chia dudc => S"'M la S”A (hay A) chia được
Trang 32MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠP N CÁC THƯỢNG GSHD: PGS.1» BÙI TƯỜNG TRÍ ( Íểnw mình Ya aS'N Pf (ara Avi fh Ne SN weber fia a Í đo A là vành chính =3 F (v)=- ác va Á 2z Vũ ^x€ Œ, a Í Z(x1)(ä xF- sý =#J0€ Í ((Ì ^A Zaf.7€ A => J.$S= a4 4S #(PÀX)L084/1=ragšcKa, LSSứŒC<Sg,/1 92 ~-{Í ‘
Va we D(a Mads a,/le amc, boca
Bây giờ ta neu va chifng minh latmeot het qua chuẩn bị
Ménh dé 2.4.2
Che Ald vinh chinh.,
M là mĩdun nội xà khi và chỉ khí M La modun chia dite Chitng minh =>) Lay me Mva ae A\O} bat kv ta ching minh dm’ eM: m= a.m’ xét sơ đỗ Oe fi —— EA uM
Voiae ASA la don cau ma air) = ar, tre A
Chon f: A> MIA dong cau ma (11) =m
Do M noi xa = 3f: AM sao cho lt =fa
= f(al=f.adl=fly=m => m=af(Ì) =am với m =f ( Ì]
c=) Ta su dung bổ để Baire: Bở đè Batre
M là mơđun nội xa <> moi done chu fo => M (với œ4 A) đều cĩ thể
mở rộng tới đồng cấu `; A> M Xét xở đề: 4 ———»A „ ral | ' = f '{n1= a1 (|!
Theo bổ đẻ Baire, M là nội và c2 r
mọi đồng cấu f: a — M déu ton 4 he
tại mục M: *ae a, fay =am a11x, =f (và) €
am, = Via ly = afectp col) =m,
——————— ——-— —— — — _——— ——-
Trang 33MOT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐLUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ
Ta chứng mình mơđun chia đưac M trên vành chính A là noi Xa
That vay, vi Ala vanh chinh => YasA, az 0,a=<ap>={aor/re A} Vf: œ —M vì f(as)e M, as# 0 và M chìa được
= 3mạe M: Í(aan) = aomụ
Khi đĩ, Vae œ, f(a) = f(apr) = r-f(ao) = (rap)mp = amo Theo Batre => M là nội xa Từ đĩ ta suy ra hệ quả về mơđun nội xạ sau Mệnh để 2.4.3 Cho A là vành chính, Nếu M là A mơđun nội xạ thì S M là SA (hay A) mơđun nội xạ Chứng mình
A là vành chính, theo 2.5.2 M là A mơđun chia được
,Theo 2.3.3 S'M 1a S'A (hay A) médun chia được
rats I S”A là vành chính = SM là § ‘A (hay A) nội xạ 252) | - Trên vành chính A, M là A nội xạ = SM là $ÌA (hay A) nội xạ V ố nhận xét về vành hệ tiv A và Nhdn xét 2.5.1
Cho A là một mién nguyên và S=A’
Khi đĩ, Á''A là một trường theo định nghĩa 1.6.1
Vậy: Nếu M là A mơdun thì A'ÌM là khơng gian véctơ trên trường các thương À`A
Vi du 2.5.1 bis
Như ta đã biết, mọi nhĩm cơng giao hốn (X,+) đều cĩ thể xem như
Trang 34MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ MƠĐLUN CÁC THƯƠNG
GSHD: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ _
— — -—— ————~ ———— -
Nhận xét 2.5.2
Cho vành A và S là tập con nhân chứa các phần tử khả nghịch của A
Theo ví dụ 1.6.6b thi A=S'A,
Anh xa f: M > S'M 1a đồng cấu A (hay SA) mơđun m —= m/l + Hơn nữa, f cịn là một đẳng cấu Thật vậy: Vme Ker( = f(m) =0 >3se S§: sm = => m = (` (do S khả nghịch) = f là đơn cấu Vm/se S'M = m/s=s”'m/1= f(s 'm) — f là tồn cấu Vậy, M zSM
Khi đĩ tất cả các tính chất của A mơđun M đều tương đương với các
tính chất của §'ÌM (nĩi cách khác hàm tử §'”_ bảo tổn các tính chất! của mơđun M)
Ví dụ: M là A mơđun nội xa (dẹt, khơng xoắn, chia được, ) khi và
chỉ khi S''M là S!A (hay A) nội xạ (dẹt, khơng xoắn, chia được, )