Tích tenxơ của các môđun trên vành giao hoán

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TPHCM KHOA TỐN BỘ MƠN: ĐẠI SỐ KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP DE TAI: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC MƠĐUN TREN VANH GIAO HOAN GVHD : PGS,PTS BUI TUONG TRI SVTH : VOTHI TUYET LAN Pinder THU -view barat tee: ` Su Pham — Khóa học 1996 - 2000 Lời giới thiệu Chúng tu biết, tốn tuyển tính dụng toán thường gặp Wong dạng tốn : số luận, đai số tuyến tính cổ điển dạng vị phân, phương trình đạo hàm riêng hàm giải tích, tơpơ đại số Để nghiên cứu khia cạnh hoàn toàn đại số hài tein đó, người ta đưa khái niệm Mơdun vành môi khái niệm quan đại số đại Trên sở người ta xây dựng khái niệm tích tenxd mỏdun, hàm tử tích tenxơ phạm trù mơđun mà tốn tuyến tính linh cuốc khảo sát Để tìm hiểu sâu vẻ phan lý thuyết môđun mà thầy Trần Huyền dạy.trong tiểu luận này, Em tiền hành khảo sát môđun vành giáo hốn có đưn vị, mơi quản hẻ mơưđun vành sở đặc biệt tính đóng kín mơđun quu tích tenxơ Tiểu luận gốm có hai phần : Chương [I: Giới thiệu môit số vấn đề lý thuyết vành lý thuyết Ở khơng có khái niệm mà Mơdun tính chất lớp mưdun vũng trình bày qua mệnh đẻ định lý đặc biệt mối quan hệ chúng Chương II: Trình bày số nghiền cứu nhỏ tích tenxơ mơđun để hiểu rõ chúng,ta xét bảo tồn mơđun qua tích tenxơ giới thiệu Do han chế thời gian non yếu kinh nghiệm nên tiểu luận không tránh khỏi sai thiết sót Em mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng q thấy bạn Em chân thành cảm ơn PGS - PTS Bùi Tường Trí nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành tiểu luận Em chân thành cảm on thay Tran Huyén da truyén đạt cho em kiến thức quan trongtrong học phần “Chuyên để đại số"để em hồn thành tiểu luận Xin cảm ơn q thấy cô bạn quan tâm, theo dõi, đóng góp ý kiến TP Hồ Chí Minh Tác giả Võ Thị Tuyết Lan Khoa ludn tét nghiép Chương! CHUONG I: NHUNG VAN DE CG BAN VE LY THUYET VANH VA LY THUYET MODUN CO LIEN QUAN DEN DE TAI §1 Các khái niêm vành: 1.1/ Nửa nhóm: Tập X z ð gọi nhóm X xác định phép toán hai ngơi có tính chất kết hợp + Nửa nhóm mà phép tốn có tính chất giao hốn gọi nửa nhóm giao hốn + Nửa nhóm có đơn vị gọi vị nhóm 1.2/ Nhóm: Tập X # ¿ nhóm xác định phép tốn hai ngơi có tính chất kết hợp có đơn vị phần tử x thuộc X có nghịch đảo Nếu phép tốn hai ngơi X có tính chất giao hốn ta có nhóm giao hốn hay nhóm ABEN 13/ Nhóm con: Cho nhóm X, phận ổn định A # & X gọi nhóm X A lap nhóm với phép tốn đa cho X Nhóm giao hốn nhóm X giao hốn 1:4/ Định nghĩa vành: Vành tập X# ¿ trang bị hai phép toán: Phép cộng phép nhần thỏa mãn điều sau: a) X với phép cộng nhóm giao hốn b) X với phép nhân nửa nhóm c) Phép nhân có tính chất phân phối phép cộng, nghĩa là: VX,y,Z€ X ta có; X ( ¥+Z ) = XY + XZ ( y+z ) X= YX + ZX + Vành có đơn vị phép nhân có đơn vị + Vành giao hốn phép nhân có tính chất giao hoán 1.5/ Vành con: Cho( X.*+, ) vành Trang | Khou luan t6t nghiép Chương] Tip A #ð X ổn định hai phép toán + goi vành X ( A +, ) lâp thành vành 1.6 IĐÊAN: Cho X vành ; nhóm cộng ( A, + ) nhóm + IĐÊAN trái X X AC + IĐÊAN phải X néu AX CA ( X, + ) gọi là: A(VxeX,VaeA:xueA) + IDEAN hai phía AX c A XA c A, * IĐÊAN chính: IDEAN I gọi IDÊAN vành X I sinh phần tử x X nghĩa Ï =< x> 1.7/ Vành thương: Cho X vành, A lđêan X thì: nhóm cóng giao hốn X và: X/A=Z!x+A/xeX!là + Lớp xy + A phụ thuộc vào lớp x + Á y + A mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử x,y thuộc lớp + X/A với hai phép toán: (x+A,y+A) (24 A, YRA) —*tY+Á oP? ZY HA Lập thành vành gọi vành thương X/ A 1.8/ Miền nguyên: Vành ( X, +, ) gọi miền nguyền X có đơn vị, giao hốn tích hai phân tử khác X khác 1:9/ Vành chính: Miền nguyên X gọi vành Idéan X Iđêan §2 Các khái niêm Môđun: 2.1 / Định nghĩa Mô đun: Cho R vành giao hốn có đơn vị Ì Một nhóm cộng ( X, + ) giao hoán gọi R_ Môđun X ta xác định phép nhân phần tử R với phần tử X \ phép nhản Trang Khóa luận tốt nghiệp thực ánh xạ ¡: RxX Chương —> X ) mà tích phần tửr e R xeX ký hiệu rx phép nhân thỏa mãn tiên đề: MI lLx=xVxeXx M2 (rs)x=r(sx) VrsEeR, V xy eX M3 (r#s)X=rX+sx M4 r(x+y)=rx+ry Khi vành R gọi vành hệ tử X gọi R_ Môđun hay Môđun vành R LƯU Ý: Từ sau không nói thêm xem Mơđun điều xét vành hệ tử giao hốn có đơn vị 2.2/ Môđun con: Cho X R_ Môđun Nếu ‡ # A c X phận ổn định hai phép toán X, nghia lavx,yeA:x+yeadA YreR,VxreA:meadA Thi Á với hai phép tốn lập thành R_ Môdun Ta goi A la R_ Médun cua X va ky hiéu A X Cho R_médun X va Ac X, Môđun tap A) gọi Tập A Trường hợp bé chứa A(chính la giao họ tất môđun chứa môđun sinh A Kí hiệu: gọi tập sinh X = A gọi tập sinh X == {ra/reR} 2.4/ Mô đun thương: Cho X la R_mdédun,A X =(A.+) (X, +) => (X/,,+) = ( x + A/x € X } nhóm giao hốn Khi X/a R_môđun gọi R_môđun thương ta trang bị hai phép toán: + Phép cộng: ( x+ Á )+(y+A)=(x+y)+A + Phép nhân ngồi: VreR,Vx+Ấ eX/;:r(X+A)=rx+Ấ Phép nhân định nghĩa hợp lí x + A =x+ A >x=x+t+avdiaedA =Sr(X +AÀ)=rXx +A=r(X+a)+A Trang Khóa luận tốt nghiệp Chương =X #ra + Á =rX+ A =r(X+AÄ) Và hiển nhiên phép nhân thỏa tiên đến MI —> M4 Vì phép tốn +, thực dai dien modun X nhung X tiên để MI —› M4 để thỏa nên M1 => M4 thỏa X/, 3.5/ Đồng cấu môđun: Cho X, Y R_môđun Anh xa f: X => Y gọi R_ đồng cấu hay R_ánh xạ tuyến tính f thỏa: a) Wx xX: © X: fC x, + x-) = fC x, ) + fC x2) bạ Vx€R,VreR:f(rx)=rÍ(x) Cả hai điểu kiện a) b) thu gọn lại: f( rịXi + faXa ) £ rịiẾ( X ) + rift x2) V X).x2 € X Đặc biệt: + Khi f đồng thời đơn ánh f gọi đơn cấu + Khi f đồng thời tồn ánh f gọi tồn cấu + Khi f đồng thời song ánh f gọi đẳng cấu Mệnh dé 1.2.1 Với X, Y, K R_môđun Lae g: Y >K gf: X —>K_ Làhaiđồng cấu cấu Ménh đề 1.2.2: Cho X, Y R_môđun Đồng cấu f:X „ Y đơn cấu kerf= { x X/f(x):$4 = Mênh đề 1.2.3: Cho X, Y R_môđun Néuf:X „Y đẳng cấu thi f~': Y —> X đẳng cấu CHÚ Ý: Nếu hai R_môđun X ; Y có đẳng cấu f: X ——*Y X z Y Đinh lý 1.2.1: Cho f: X ————* Y tồn cấu hai R_mơđun Khi tồn đẳng cấu £: X/¿„„ —> Y cho f = /,p Trong đó:p: X —®Xgey phép chiếu tư nhiên Trang Khóa luận tốt nghiệp Chương] 3.6/ Tổng trực tiến hai môđun: 2.6.1 Định nghĩa: Cho À, B R_môđun Trên AxB=((a.b)/ac A,beB | xác định hai phép tốn; ® (o,.b,)}+Í(a,.b, )=(u, +a,.b,+b,}e 4x8 ® r(¿.bÌ = (ra.rh) cAxB Khi [axe on | R_môđun Kihiéu: 4x8 hay A@B 2.6.2 Các phép niting va phộp chiu: Mờnh 1.2.4 Phộp nhỳng: /J,:4dơaAđ8 ar-(a,0) J,:8—» ABB b-—(0,b) đơn cấu Vi ker 7„ = Íbe 8/(0.6)= (0.0) = {b e 8/b = 0}= {0} Tương tự ker /, = (0} Khi đó: | | 0g) J” 4®8=/,(4)9 /,(8) Az/,(4) + Phép chiếu: P,:A@B——4 (a.b)——>a P,:A®B——+B (a.b}—>b Là tồn cấu Chifng minh: e P„ : đồng cấu : P,((a,.b,)+ (a,.b ))= Pa, +a;.b, +b.}= a, +a = P,(u,.b,)+ P,(a;.b,} P.(r(u.bÌ}= P,(ra.b) = = rP,(u.b} Trang Khóa luận tốt nghiệp Chương! Px tồn inh vi Va £ A ln tốn (u.h)£ ADB P (ob) ou Vậy P, toàn cấu Tương tự Pạụ Cho A,B R_môđun Xét phép nhúng, phép chiếu ja, jp Pa, Pa nhu sau: Mu A ak By AB, P, i, B Ta co: a) Pru dy =%ug bì) P, c) đa ' j,=l, " tạ +1, Ps + ụ Pee Pạ Ja =%n, ja HN = Ì „epg 2.6.4 Tổng trực tiếp trong: Ménh dé 1.2.5; Cho X lA R_médun, A,B médun cla X sav cho: A+B=X | ANB=0 Khi đó: ¥ =A@B Và X gọi tổng trực tiếp hai mơđun A.B Kí hiệu: Y z 4® Chứng mình: Go: go: A@®B—› X (a.b)——> a+b Ta chứng minh Ø@ đẳng cấu Thật vậy: w,.r, «#:va,.a, Á:b,,b, e B Trang Khóa luận tốt nghiệp + Chương | g(r,(a,.b,)+ r,(a,., ))= plr,a, +;q; ’ nb, +ryb,) = r,(a, + È,)+ r;(a, + b,) = n,ø(a,,b,)+ r,@(a;.b.) Vay Ø đồng cấu + kerø = lÍa,b})c 4® 8ia+b =0 + ể l ton cu = |(a.b)c 4đB/a=-be AơB =0} =(0.0) Vậy Ø đơn cấu, Vì xe X = 4@8 tổn ae 4.be cho: x=a+b chọn (a,b)e 4® B: ø(a,b)=x = đẳng cấu Vậy 4A@8zX 3.1( Tích trực tiếp họ bất kỳ: Mệnh đề 1.2.6: Cho {X x, aœ6Í Trên [][X, a Ì, a Ce c /¡ làmộthọoR_mơđun ene € X,] xác định hai phép toán: ee! + + (x, r(x, be + (y, Jaret lưi = (x, +Y„ = (rx, La II Hiển nhiên (#Ý„ + ›- ) R_mơđun gọi tích trực tiếp họ (xX, } ael Dinh nghia họ phép chiếu: Trang Khóa luận tốt nghiệp Với Chương! € ƒ ta định nghĩa phép chiếu từ I] Ret] X,—> X, X, lên X„: “ ie! (x, Yer ne Xo Mệnh để 1.2.7: Họ phép chiếu | P, :[ |] X,——>X„ chất phổ dụng theo nghĩa sau: Ì¿¿, có nh ter Với họ đồng cấu th, cA — > XxX, } , tổn đồng cấu?:#——>] | *, is! cho Va@ thi: 4, =P, , x—>ø(x)= (h/(x)),„ + Chứng minh Ø đồng cấu: Vx,x e X, Vre Đ °«øx+x )=(h(x+x ))., =(h(x)+ 5x )},, =(h,(x Mer * (h, (x | ) = ø(x)+ ø(x ) s g|rx )= (h, (rx)) m ứ h, (x)),., "r(h, (x))„ „Hé g(x) + Ching minh Va : 4, =P, ,@ Thật vxe X ta có: P,„ ø(x)= P,[(b,(x))„ ]= h„ (+) + Duy nhất: Giả sử tồn tai /:X—| | X, saocho Va: P.w=h, chứng minh ⁄ = @ Trang wean