Tích tenxơ của các môđun trên vành giao hoán

Trờn cơ sở đú người ta xõy dựng khỏi niệm tớch tenxd của cỏc mỏdun, hàm tử tớch tenxơ giữa cỏc phạm trự mụđun mà bài toỏn tuyến tớnh như là linh hộn của cuốc khảo sỏt.. Chương II: Trỡnh

Trang 1

DE TAI:

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TPHCM

KHOA TOÁN

BỘ MễN: ĐẠI SỐ

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍCH TENXƠ CỦA CÁC MễĐUN TREN VANH GIAO HOAN

Trang 2

Lời giới thiệu

Chỳng tu đó biết, bài toỏn tuyển tớnh là một trong những dụng toỏn thường gặp Wong những dạng toỏn như : số luận, đai số tuyến tớnh cổ điển dạng vị phõn, phương trỡnh đạo hàm

riờng hàm giải tớch, tụpụ đại số Để nghiờn cứu khia cạnh hoàn toàn đại số của cỏc hài tein đú, người ta đưa ra khỏi niệm Mụdun trờn vành và là mụi trong những khỏi niệm quan trong

của đại số hiện đại Trờn cơ sở đú người ta xõy dựng khỏi niệm tớch tenxd của cỏc mỏdun,

hàm tử tớch tenxơ giữa cỏc phạm trự mụđun mà bài toỏn tuyến tớnh như là linh hộn của cuốc

khảo sỏt

Để tỡm hiểu sõu hơn vẻ phan lý thuyết mụđun mà thầy Trần Huyền đó dạy.trong tiểu

luận này, Em sẽ tiền hành khảo sỏt cỏc mụđun trờn một vành giỏo hoỏn cú đưn vị, mụi quản

hẻ giữa cỏc mụửđun trờn cựng một vành cơ sở đặc biệt là tớnh đúng kớn của cỏc mụđun quu

tớch tenxơ Tiểu luận gốm cú hai phần chớnh :

Chương [I: Giới thiệu mụit số vấn đề cơ bản về lý thuyết vành và lý thuyết Mụdun

Ở đõy khụng chỉ cú cỏc khỏi niệm mà cỏc tớnh chất của cỏc lớp mửdun chớnh vũng

được trỡnh bày qua cỏc mệnh đẻ định lý và đặc biệt là mối quan hệ giữa chỳng

Chương II: Trỡnh bày một số nghiền cứu nhỏ về tớch tenxơ của cỏc mụđun và để hiểu rừ

hơn chỳng,ta xột sự bảo toàn cỏc mụđun qua tớch tenxơ như đó giới thiệu ở trờn

Do han chế về thời gian cũng như sự non yếu về kinh nghiệm nờn tiểu luận này khụng trỏnh khỏi sai lắm thiết sút Em mong nhận được ý kiến đúng gúp, phờ bỡnh, xõy dựng của quý thấy cụ và cỏc bạn

Em chõn thành cảm ơn PGS - PTS Bựi Tường Trớ đó nhiệt tỡnh hướng dẫn giỳp đỡ em

hoàn thành tiểu luận này

Em chõn thành cảm on thay Tran Huyộn da truyộn đạt cho em những kiến thức quan trongtrong học phần “Chuyờn để đại số"để em hoàn thành tiểu luận này

Xin cảm ơn quớ thấy cụ cựng cỏc bạn đó quan tõm, theo dừi, đúng gúp ý kiến TP Hồ Chớ Minh

Tỏc giả

Trang 3

Khoa ludn tột nghiộp Chương!

CHUONG I: NHUNG VAN DE CG BAN VE LY THUYET VANH

VA LY THUYET MODUN CO LIEN QUAN DEN DE TAI Đ1 Cỏc khỏi niờm cơ bản về vành: 1.1/ Nửa nhúm: Tập X z ð được gọi là nữa nhúm nếu trờn X đó xỏc định được một phộp toỏn hai ngụi cú tớnh chất kết hợp + Nửa nhúm mà phộp toỏn cú tớnh chất giao hoỏn được gọi là nửa nhúm giao hoỏn + Nửa nhúm cú đơn vị gọi là vị nhúm 1.2/ Nhúm:

Tập X # ¿ là nhúm nếu trờn đú đó xỏc định phộp toỏn hai ngụi cú tớnh chất kết

hợp cú đơn vị và mỗi phần tử x thuộc X đều cú nghịch đảo

Nếu phộp toỏn hai ngụi trong X cú tớnh chất giao hoỏn thỡ ta cú một nhúm giao hoỏn hay nhúm ABEN

13/ Nhúm con:

Cho nhúm X, bộ phận ổn định A # & trong X được gọi là nhúm con của X nếu

A lap thanh một nhúm với phộp toỏn đa cho trờn X Nhúm con giao hoỏn khi nhúm X giao hoỏn

1:4/ Định nghĩa vành:

Vành là tập X# ¿ trờn đú trang bị hai phộp toỏn: Phộp cộng và phộp nhần thỏa

món cỏc điều sau:

a) X cựng với phộp cộng là một nhúm giao hoỏn

b) X cựng với phộp nhõn là một nửa nhúm

c) Phộp nhõn cú tớnh chất phõn phối đối với phộp cộng, nghĩa là:

VX,y,Z € X ta cú;

X ( Ơ+Z ) = XY + XZ ( y+z ) X= YX + ZX

+ Vành cú đơn vị nếu phộp nhõn cú đơn vị

+ Vành giao hoỏn nếu phộp nhõn cú tớnh chất giao hoỏn

1.5/ Vành con:

Cho ( X.*+, ) là một vành

Trang 4

Khou luan t6t nghiộp Chương]

Tip A #ð trong X ổn định đối với hai phộp toỏn + được goi là vành con của

X nếu ( A +, ) lõp thành một vành 1.6 IĐấAN:

Cho X là một vành ; nhúm cộng con ( A, + ) của nhúm ( X, + ) được gọi là:

+ IĐấAN trỏi của X nếu X AC A(VxeX,VaeA:xueA)

+ IĐấAN phải của X nộu AX CA

+ IDEAN hai phớa nếu AX c A và XA c A, * IĐấAN chớnh:

IDEAN I được gọi là IDấAN chớnh trong vành X nếu I được sinh bởi

một phần tử x X nghĩa là ẽ =< x>

1.7/ Vành thương:

Cho X là một vành, A là một lđờan của X thỡ: X/A=Z!x+A/xeX!là

nhúm cúng giao hoỏn của X và:

+ Lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào cỏc lớp x + Á và y + A mà khụng phụ

thuộc vào sự lựa chọn cỏc phần tử x,y thuộc cỏc lớp đú

+ X/A cựng với hai phộp toỏn:

(x+A,y+A) —*tY+Á

(24 A, YRA) oP? ZY HA

Lập thành một vành gọi là vành thương của X/ A

1.8/ Miền nguyờn:

Vành ( X, +, ) được gọi là miền nguyền nếu X cú đơn vị, giao hoỏn và tớch

hai phõn tử khỏc 0 của X là khỏc 0

1:9/ Vành chớnh:

Miền nguyờn X được gọi là vành chớnh nếu mọi Idộan của X đều là Iđờan chớnh

Đ2 Cỏc khỏi niờm cơ bản về Mụđun:

2.1 / Định nghĩa Mụ đun:

Cho R là một vành giao hoỏn cú đơn vị è

Một nhúm cộng ( X, + ) giao hoỏn sẽ được gọi là một R_ Mụđun nếu trờn X ta

xỏc định được một phộp nhõn cỏc phần tử của R với cỏc phần tử của X \ phộp nhản

Trang 5

Khúa luận tốt nghiệp Chương thực ra là ỏnh xạ Ă: RxX —> X ) mà tớch của phần tử r e R và xeX được ký hiệu là

rx hơn nữa phộp nhõn đú thỏa món 4 tiờn đề:

MI lLx=xVxeXx

M2 (rs)x=r(sx) VrsEeR, V xy eX

M3 (r#s)X=rX+sx

M4 r(x+y)=rx+ry

Khi đú vành R được gọi là vành hệ tử

X được gọi là R_ Mụđun hay Mụđun trờn vành R

LƯU í: Từ đõy về sau nếu khụng núi gỡ thờm thỡ xem như mọi Mụđun điều

được xột trờn vành hệ tử giao hoỏn cú đơn vị 2.2 / Mụđun con: Cho X là R_ Mụđun

Nếu ‡ # A c X là bộ phận ổn định đối với hai phộp toỏn trờn X,

nghia lavx,yeA:x+yeadA YreR,VxreA:meadA

Thi Á cựng với hai phộp toỏn đú lập thành một R_ Mụdun

Ta goi A la R_ Mộdun con cua X va ky hiộu A 6 X

Cho R_mộdun X va Ac X,

Mụđun con bộ nhất chứa A(chớnh la giao của họ tất cả cỏc mụđun con chứa tap A) được gọi là mụđun con sinh bởi A là Kớ hiệu: <A>

Tập A được gọi là tập sinh của <A>

Trường hợp X = <A> thỡ A được gọi là tập sinh của X

<{a}>=<A>= {ra/reR} 2.4/ Mụ đun thương:

Cho X la R_mdộdun, A 4 X =(A.+) 4 (X, +)

=> (X/,,+) = ( x + A/x € X } là nhúm giao hoỏn

Khi đú X/a cũng là một R_mụđun và được gọi là R_mụđun thương nếu ta trang bị hai phộp toỏn:

+ Phộp cộng: ( x+ Á )+(y+A)=(x+y)+A

+ Phộp nhõn ngồi: VreR,Vx+Ấ eX/;:r(X+A)=rx+Ấ

Phộp nhõn được định nghĩa như vậy là hợp lớ vỡ nếu x + A =x+ A

>x=x+t+avdiaedA

=Sr(X +AÀ)=rXx +A=r(X+a)+A

Trang 6

Khúa luận tốt nghiệp Chương =X #ra + Á

=rX+ A =r(X+AÄ)

Và hiển nhiờn phộp nhõn thỏa cỏc tiờn đến MI —> M4

Vỡ phộp toỏn +, được thực hiện trờn cỏc dai dien trong modun X nhung trong X cỏc tiờn để MI —› M4 để thỏa nờn M1 => M4 cũng thỏa trong X/, 3.5/ Đồng cấu mụđun: Cho X, Y là cỏc R_mụđun Anh xa f: X => Y được gọi là R_ đồng cấu hay R_ỏnh xạ tuyến tớnh nếu f thỏa: a) Wx xX: â X: fC x, + x-) = fC x, ) + fC x2) bạ Vx€R,VreR:f(rx)=rÍ(x)

Cả hai điểu kiện a) và b) cú thể thu gọn lại:

f( rịXi + faXa ) Ê rịiẾ( X ) + rift x2) V X).x2 € X

Đặc biệt:

+ Khi f đồng thời là đơn ỏnh thỡ f được gọi là đơn cấu

+ Khi f đồng thời là toàn ỏnh thỡ f được gọi là toàn cấu

+ Khi f đồng thời là song ỏnh thỡ f được gọi là đẳng cấu Mệnh dộ 1.2.1 Với X, Y, K là cỏc R_mụđun bất kỳ Lae 7 g: Y >K Làhaiđồng cấu thỡ gf: X —>K_ cũng là một đổng cấu Mộnh đề 1.2.2: Cho X, Y là cỏc R_mụđun Đồng cấu f:X „ Y là đơn cấu khi và chỉ khi kerf = { x X/f(x):$4 = 0 Mờnh đề 1.2.3: Cho X, Y là cỏc R_mụđun

Nộuf:X „Y là đẳng cấu thi f~': Y —> X là đẳng cấu

CHÚ í: Nếu hai R_mụđun X ; Y cú đẳng cấu f: X ——*Y thỡ X z Y Đinh lý 1.2.1: Cho f: X ————* Y là toàn cấu của hai R_mụđun

Khi đú tồn tại duy nhất đẳng cấu Ê: X/¿„„ —> Y sao cho f = /,p

Trong đú:p: X —đXgey là phộp chiếu tư nhiờn

Trang 7

Khúa luận tốt nghiệp Chương]

3.6/ Tổng trực tiến của hai mụđun:

2.6.1 Định nghĩa: Cho À, B là cỏc R_mụđun

Trờn AxB=((a.b)/ac A,beB | xỏc định hai phộp toỏn; đ (o,.b,)}+Í(a,.b, )=(u, +a,.b,+b,}e 4x 8

đ r(¿.bè = (ra.rh) cAxB

Khi đú [axe on | là R_mụđun

Kihiộu: 4x8 hay A@B 2.6.2 Cỏc phộp niting va phộp chiếu: Mờnh để 1.2.4 Phộp nhỳng: /J,:4d—ơaAđ8 ar-—(a,0) J,:8—ằ ABB b-—(0,b) là cỏc đơn cấu Vi ker 7„ = Íb e 8/(0.6)= (0.0) = {b e 8/b = 0} = {0} Tương tự ker /, = (0} Khi đú: Az/,(4) 0g) J” 4đ8=/,(4)9 /,(8) | | + Phộp chiếu: P,:A@B——4 (a.b)——>a P,:AđB——+B (a.b}—>b Là cỏc toàn cấu Chifng minh: e P„ : đồng cấu :

P,((a,.b,)+ (a,.b ))= Pa, +a;.b, +b.}= a, +a = P,(u,.b,)+ P,(a;.b, }

P.(r(u.bè}= P,(ra.b) = ra = rP,(u.b}

Trang 8

Khúa luận tốt nghiệp Chương!

Px là toàn inh vi Va Ê A luụn tốn tại (u.h)Ê ADB P (ob) ou

Vậy P, là toàn cấu Tương tự đối với Pạụ

Cho A,B là cỏc R_mụđun

Trang 9

Khúa luận tốt nghiệp Chương |

+ g(r,(a,.b,)+ r,(a,., ))= plr,a, +;q; ’ nb, +ryb,)

= r,(a, + ẩ,)+ r;(a, + b,) = n,ứ(a,,b,)+ r,@(a;.b )

Vay ỉ là một đồng cấu

+ kerứ = lÍa,b})c 4đ 8ia+b =0

= |(a.b)c 4đB/a=-be AơB =0} =(0.0)

Vậy ỉ là đơn cấu,

+ ể là toàn cấu

Vỡ xe X = 4@8 luụn tổn tại ae 4.be 8 sao cho:

Trang 10

Khúa luận tốt nghiệp Chương!

Với mọi € ƒ ta định nghĩa phộp chiếu từ I] X, lờn X„:

Ret] X,—> X, “

ie!

(x, Yer ne Xo

Mệnh để 1.2.7: Họ cỏc phộp chiếu | P, :[ |] X,——>X„ è¿¿, cú nh

chất phổ dụng theo nghĩa sau: ter

Trang 11

Khoa luận tốt nghiệp Chương!

Thật vậy Vx€ x y(x) = (P (ự{x))), = (h, (x)) , = p(x )

2.8/ Tổng trực tiếp của một ho bất kỳ:

2.8.1/Đỡnh nghĩa: Cho họ mụđun_ {X, ,.,

Mộdun con cia I] X; bao gdm tất cả cỏc bộ (x, L mà hầu hết cỏc thành phẩn x, = 0 trừ ra một số hữu hạn được gọi là tổng trực tiếp của họ X k⁄ '

Kớ hiệu: đ Xx;

ief

Vay @ Xx, = {(s hes € RX Chỉ hữu hạn x, + 0} se! (eÍ

LƯU í: Nếu I hữu hạn thỡ đ X, = =l]* Nếu Ivụhanthỡ @ X, ell x ie! ie/ Dinh nghia cộc phộp nhiing:V6i moi œ € ẽ ta dinh nghia phộp nhing X, vo đX, J, : X——>8í x | , ie! HE) - â: : Now Lo ma = : FP me Tg, eae Dee Mệnh để 1.2.8 : Họ cỏc phộp nhỳng {dei Xe — ox, cú tớnh chất re re/

phộ dung theo nghia sau:

Với bất kỳ họ đồng cấu: th, `ˆ > x}, luụn tồn tại duy nhất

Trang 13

Khúa luận tốt nghiệp Chương] 2.9.2 Dóy khớp ngắn: đõu Dóy khớp cú ba mụđun trung gian và hai đều bằng 0 thỡ được goi là dóy khớp ngắn: 0——>A——B—*—›C —0 2.9.3 Dóy khớp gắn chẻ: Dóy khỳp Ú——>4——>B—‡> >0 Được gọi là chẻ nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, Núi cỏch khỏc B= Imf đC trong đú C zC Định lý 1.2.2 Dóy khớp ngắn 0——>A——B——›C —0 ( I ) chẻ khi và chỉ khi:

( 1) Đồng cấu f cú nghịch đảo trỏi q: B ——— A tức là q.f = |,

(2) g cú nghịch đảo phảip CC ——> Bức là: gup= lụ

Để chứng minh được định lớ này ta phải chứng minh bổ để sau: Bổ để 1.2.1 Nếu hợp thành hai đồng cấu X———>Y —>K là đẳng cấu g.f thỡ Y = Imf đ kerg hứng minh bổ đề: Im ƒ ơ ker ứ = 0 Ta cần chứng minh: irom y aS = Tổng ;ey , /()=y T7”! |yekerg =0=g(y)= gỨ(y))= g./(x)>x=0 =y=f(x)=0 Vay kerg > Imf =0 + Imf + kerg = Y

Lấy y e Y, xột sơ đổ: X——>Y —>K

Vỡ g.f đẳng cấu nờn tổn tại ( g;f ) ` = tổn tại f( guf ) 'g(y) e Imf

=y =Í( guf)`g(y) +( y - Ấ( gof }g(y)) với y - f( guf )'g(y) e kerg

Vi gly - f( guf ) èg(y)) = gly) - g(y) =U Vậy Imf + kerg = Y

Chứng minh định lớ: Chứng minh ( I)

=/ Nếu ( I ) chộ thi day ( I ) tương đương với dóy khớp:

Trang 14

Khúa luận tốt nghiệp Chương! 0—>4——>/(a)đC€ ——›C——›0

i f(A)

Trong đú V a e A: f “(a) = f(a) ;iĂ : f(A)— f(A) @C là phộp nhỳng

pi: f(A) đC —*đ f(A) la phộp chiộu Khi dộ chon q=f*"', p,

Ta cú: quf = ( Ê7” Pe Pi Miwf =f" "'( Pro l yf*=1,

=/ Nếu f: A=>B cú nghịch dao trai g: BA

ta phải chứng minh Ê(A) là hạng tử trực tiếp của B Theo bổ để: 4——> 8 ——> 4 Với q,f =1, là đẳng cấu nờn: B = Imf đ kerg Vay day (1) chộ, Chứng minh ( 2 ): =/ Nếu dóy ( I ) chẻ thỡ dóy ( I ) tương đương với day: 0—> A—-> ƒ(A)đC ` —>C ——>0

Xõy dựng p:C ———> f(A) đC như sau:

Do g toàn cấu nờn theo định lớ nơte tổn tại đẳng cấu gị: B/,„Ă—> C

Mặt khỏc tồn tại đẳng cấu pz: Bhay > C

=C—*>ệm ;—đ>C —>>/(\ @C

Vậy p=isp› 6L `

Kiộm tra gop = IÂ

VceC:gp(c)=gsi:sPzsẽi (C)=gizpz(c + Imf)

( với g(c )=€)= goi;(c ) =g(0,c )=g(c )=c

Vậy gop=leÂ

Ă Nếu g cú nghịch đảo phải p: C—>+B

Vi C—+B—>C 1a dang cau Ic nộn theo bộ dộ

Ta cộ: B = Imp @ kerg = Imp â Imf

= Imf là hang tử trực tiếp của B Vay day ( 1) che

Trang 15

Khúa luận tốt nghiệp Chương!

2.10/ Mộdun i | một tap:

Cho tap S = > mộdun tự do sinh bởi tập S được kớ hiệu F( Đ ) là mụt mụđun

xuo cho cú ỏnh xa j¿: S—>E( Đ ) cú tớnh chất phổ dụng đổi với mọi ỏnh xạ h; S-ằX, X

là mụđun bất kỳ, nghĩa là tổn tại duy nhất đồng cấu @ „: F( S )—>X sao cho h = (0 pejs Mệnh để 1.2.9 Vành hệ tử được xem như là một mụđun tự do trờn chớnh nú Mộnh dộ 1.2.10 js: S—ằF( S) là đơn ỏnh js Chứng minh: xột sơ đổ Đ ——————* F(S) 1, VYu.beS.azb taco: Pp (j(a))=0 = 1 = oa (j,(b)) = j,(a) # J,(b) Vậy j, là đơn ỏnh Định lý 1.2.3

Với mọi tập hợp S z $, tổn tại mụđun tự do F( S ) và cỏc mụđun tự do sinh bởi

tập S là đẳng cấu với nhau Chỳng mỡnh: + Sự tổn tại F( S ) Xột họ mụđun {X,},ôs với X, = R, = (rt/r e R] Ta chứng minh F( S )= ẹ ấ , với ỏnh xạ reS ! j,:S—> OR tạ$ ! 0,Êzs ` , s—>[rt ma rt= Ke i

Với mọi mụđun X

Với mọi đồng cấu f: S —>X ta cẩn chứng minh tổn tai đồng cấu

(p : F( Đ )—>X sao cho: ( j; = f

Trang 16

Khúa luận tốt nghiệp Chương Xột sơ đổ: is S >R, > OR, reS f 3!o, alo X Trong đú với mọi s e Đ, ỏnh xạ f cú thể mở rộng tới đồng cấu p ,: R,—X sao cho (@ u(r.$) = f(s) vỡ R, là mụđun sinh bởi { s} Vậy ta cú họ cỏc đồng cấu {ọ : R, —> X]., „ s Và do tớnh phổ dụng của họ cỏc phộp nhỳng V, :Ẩ, —*& Re đối với (Jes

Trang 17

Khúa luận tốt nghiệp Chương! g.h= Ir.s;(è) và hg = lrs;( 2) Để kiểm tra ( I ) ta xột sơ đổ: S——>F(S) i /m F( Đ ) Do j, cú tớnh phổ dụng nờn tổn tại duy nhất đồng cấu ọ : F( Đ )—> F( S ) sao cho @ j, = j, Rử ràng đúng vai trũ của @ là ỏnh xạ đồng nhất lạ, s, và cả đồng cấu g.h vighj,=2j,=js np gob ơ lr Đ) Tương tự ta cũng sẽ chứng mỡnh được ( 2 )

Hệ quả: Tổng trực tiếp của cỏc mụđun tự do F( S ), F( T ) là mụt mụđun tư do

F( SỤT) ; SUT: hợp rời rạc của S,T Thật vậy: F(S)=@R, seR F(T)=@R Suy ra: F(S)đF(T)=đR, đR,=âR,

seS tel heS UT

Trang 18

Khoa luận tốt nghiệp Chương!

Theo định lớ Nơte nờn tổn tại duy nhất đẳng cấu ỉ :

XY gk huy X đẳng cấu với mụđun thương của

mờ đun tự do F( X )

Định lý:12.4 Mụ đun X cú cơ sở khi và chỉ khi X là Mụ đun tự do

Chứng minh:

—= / Cho X cú cơ sở S={$S\,Sa, S }

Khi đú một phẩn tử x X đều được viết một cỏch duy nhất dưới dạng :

X S178; + P82 + HOS, VOI Cyto, ER Ta cần chứng minh Xc F(S) Xột sơ đề: S — F(S) js | 3'!0 X

Trong đú j, là phộp nhỳng, Đ là tập con của X

Do tinh phổ dụng của j, nờn tổn tại duy nhất đồng cấu ọ : F(S) > X sao cho 9j, = j, Ta cần chứng minh @ đẳng cấu : + (0 toàn ỏnh : VX&€X:X=friĐĂ +f+$ạ + đ+fFvSy chon y € F(S) sao cho y = ruj2(SĂ) + raj2(Sz) + + rvj¿(s„) thỡ @(y) = OCH rials) a =) tS =x + don cau: ker@ = {rijc(S)) + +fxJ(sv)/ Š rs, = 0] = tŠ rJ;(S;)/ r; = 0, i=1l,k} =0 ô¿/ Giả sử X = F(S) là mụ đun tự do Ta chứng minh F(S) cú cơ sở chớnh là j,(S)

Thõt võy F(S) = < j(S) > vỡ nếu:

x € F(S) = BresRi => X = (thes = Dies r{rs)

=> rijs(t) â <j,(S)>

ies

vay F(S) = <js(S)>

Trang 19

Khúa luận tốt nghiệp Chương

và hệ j.(S) độc lập tuyến tớnh vỡ W s e S: js(s) e X, là cỏc hạng tư trực tiếp khỏc nhau của F(S) = @ ÂsX, nờn chỳng độc lập tuyến tớnh với nhau :

Vay F(S) cú cơ sở là j,(S)

Nhõn xột;12.1 Cho F(S) là mụđun tự do sinh bởi S Ta đồng nhất S với j.(S), tạ cú thể xem Đ là cơ sở của F(S) và cỏc phần tử x Ê F(S) cú thể viết x = 3 Is

Vỡ vậy một đồng cấu tp :F(S) > X hoàn tũan xỏc định khi và chỉ khi biết ảnh @ (S)

Khi do :pix) = pC > es) = } rọ($)

2.11 Tớnh tenxớ của cỏc mụđun: 2.11.1 Anh xa song tuyộn tinh:

€ho X.Y.G la cdc R = mộdun Anh xa o: X x Y > G dude goila song tuyộn tinh nộu

w thod man:

.V Xi,X:.X €X, VY,,Y›,y € Y thi:

{ (0(rị * X›,Y) = @(XỊ,y) + @(xạ,y) (@(X,YĂ * Y+) = 0(X,yĂ) + @(X,y:) .Vre€R,.VxeX,Vye€Y (0(rE.Y) = r@(X,y) (0(X,ry) = r@(x,Y}) * Anh xạ n tuyến tớnh là ỏnh xạ tuyến tớnh theo từng biến một như trờn 2.11.2 củ :

Cho X, Y là hai R mụđun Tớch Tenxơ của X và Y là một mụđun ệ sao cho ỏnh

xạ song tuyến tớnh œ : XxY —>G cú tớnh chất phổ dụng đối với mọi ỏnh xạ song tuyến tớnh : XxY —> K tức là với mọi @ tổn tại duy nhất đồng cấu f: G-> K sao cho

(0= fo t

Khi đú, Tớch tenxơ của X và Y được kớ hiệu X đ Y, Anh xạ phổ dụng :

ec (eer —ằ X đ Y dude goi la anh xa tenxd

2.11.3 Tớch tenxơ của n mụđun :

Cho X,,X:, ,X; là cỏc R - mụđun Tớch tenxơ của X;, ,X„là mụđun G sao

cho cú ỏnh xạ n tuyến tớnh @ :X.xX:x xX„ >3 K tức là với mọi ọ tồn tại duy nhất đồng cấu f: G > K sao cho @ = fox

Tương tự: Tớnh tenxơ của X:, X;, , Xa được ký hiệu X.,đ X;đ đ X;

Anh xạ phổ dung: X;, X2, , X——rt> X,đX:.đ đX,

Cũng được gọi là ỏnh xa tenxơ

2.11.4 Sư tồn tai của tớnh tenxơ:

Định lý \ 1Š Cho X.Y là hai R mụđun

Trang 20

Khúa luọn tốt nghiệp Chương] Khi đú tớch tenxơ X @ Ytồn tại chớnh xỏc tới một đẳng cấu,

Chứng minh : sự tổn tại X đ Y

Xột mụđun tự do F(XxY) của tớch Descarter X xY và mụđun con D của F(XxY) sinh bởi cỏc phần tử dạng :

(XĂ#X+,VèT— (Xi,Y) — (X:Y)

(X.Yi+Y>+) - (X.YĂ) — (X.y2)

(FX,Y} = f{(X,Y) ;{X.,rY) ~ f(X,Y)

với mỌi X,X;,X: € X,V.v,y:€ Yvà VreR

ta chứng mỡnh X đ Y = E/D xột ỏnh xạ song tuyến tớnh

[: XxY ——F(XxY)-—*>F(XxY)/D

Thỏt vậy :VX.x(,,X:eX,Y(,YyxycY,VreR

Fix ÆX‡s+,VY) — Ẩ(XI,V) — Í(X3,y) = pJ(Xịi+X+.V) — pJ(X¿.Y) — pI(X+.V)

= P(X; +X2,y) — p(XLy) — p(x2y) = p[(xi+X2,y) — (xny) — (X2.y)] = 0 Tương tự f(x,y, +y2) — f(x.y,) — f(x.y2) = 0 f(rx,y) — f(x,ry) =9 Xột sơ đồ sau: XxY_ Ủ „F(XxY), P „F(XxYJ/D <<

Trong đú f = pị; vất j là ỏnh xạ nhỳng phổ dụng vào mụđun tự do nờn tốn tại duy

nhất đồng cấu k: F(WY) — K sao cho g = kj, K la mụđun tuỳ ý và

g:XxY -> K là đồng cấu bất kỳ Để chứng minh (F(XxY)/D,P là tớch tenxơ của X.Y thi ta cần chỉ ra tổn tại duy nhất đồng cấu h: F(XxY)/D -> K sao cho g=hf Muốn vậy ta lấy ảnh bởi k cỏc phần tử sinh của D Nếu tất cả ảnh này đều bằng 0 thi De ker k Khi do, theo tớnh chất phổ dụng của mụđun thương sẽ tổn tại duy nhất đồng cấu

h:F(XxY)/D => K sao cho k=hp

Vè KU(xi+X2y) — (X.Y) = (X2y)]

= KJ(XĂ#X3,Y) — KJ(Xị,y) — kJ(x,y)

= #(XĂ+X+,Y) — #(XĂ,Y) — #(X›,Y) = 0

Tương tư:

Trang 21

Khúa luận tốt nghiệp Chương! k |(rx,y) - r(x,y)| =0 kÍ(x.ry) = r(x.v)| =0 Do đú tổn tại đuy nhất đồng cấu h sao cho : k=hp và h_ cũng thoả g=ht Thật vậy ta cú :hf = hp) = kị = g Vậy tả chứng minh sự tổn tại của tớch tenxơ X đ Y + Sử dụng duy nhất của X đ Y Giả sử tổn tại G, =Gơ›=X@@ Y Khi đú ta cú sơ đồ sau : xư S3 6, [› h Với f, :ỏnh xa tenxơ vào G; F› :ỏnh xa tenxơ vào Ga Ta can chứng mỡnh : hah; = log hyhs = lo, Thay vay “ [a = h/f, = h hf, fy = haf; = hahĂf; => hh, = lay h,h,= la, — a 9 + > i quan iửa chỳng : 2.11.5.1 Cỏc phần từ sinh c :

Xộtxz:XxY —L-ằ F(XxYệ Py F(XxYJD

Với j là phộp nhỳng ,p là phộp chiếu tự nhiờn , D là mồđun con của F(XxY)

Vỡ [j(x,y)/W (x,y) e XxY} là hệ sinh của F(XxY)

= {pi(x.y) / (x.y) e XxY |} là hệ sinh của F(XxY)/D = X đ Y Kớ hiệu : (x,y) = x @ y Vậy ta cú : (xđ y/x e X,y e Y} là hệ sinh của X @ Y l Mất ia cdc phần tử sinh : V X.X;,X;ạ c X, V y\,Y¿,y € Y ta Cú : (X)+X2) By =x, @y +x, By xđ(y,*y;) =xđ yĂ+xđy; vàÀxđy=xđÀy=À(x9y),VÀeR xđ0=0đx=0 _ Do đú cỏc phần tử z của X đ Y cú dạng: f THƯ-VIE ˆ Tr

Goose Del Mee Su Pho

Z= at A(X, @ Ơi) ur a it 2 rer

Trang 22

Khúa luận tốt nghiệp Chương!

= at (AX, @ y,) = Dei (X', đ y\) (1)

2= Dlx, đÂ,y,}= Ơ (x, @y) (2

azl

Cả (|) và (2) cho thấy mỗi phản tử của tớch tenxơ là tổng hữu han phần tử xinh

Do (1) và (2) nờn tập cỏc x đ y khụng là cơ sở mà chỉ là hệ sinh 2.11.6 Tớch texơ của hai đồng cấu: 2.11.6.1 Định nghĩa: Cho : ni là hai đồng cấu mụđun Ê'?¿ Xột sơ đỗ: XxYƠ—“Ê+5AxB 1 Ne \" X @Y—4A@QB Với m, , m; là cỏc ỏnh xa tenxơ của X @Y; ASB fxg: XxYƠY— +AxB (x,y)—>(/(x).ứ()) Rừ ràng h = z;(ƒ x g) là ỏnh xạ song tuyến tớnh

Do đú theo định nghĩa của tớch tenxơ, tổn tại duy nhất nine cấu

Trang 23

Khúu luận tốt nghiệp ChươngL + Với X,——y›Y, —X—> K, X,—44yY, —*—?K; thỡ (e,/,)đ(g./; )=(g, %g; Xf, @f,) (2) Chứng minh (1): xột X đ ƒ —+`*_>› Y @Y VxđyexXđY:

(i, @1, Xx@y)=1, (x)đ1,(y)=x@y

Vậy I,@1, = | gai

Chứng minh (2): Xột sơ đồ sau:

Trang 24

Khộa ludn tột nghiộp Chirene!

nghĩa là tồn tại duy nhất đồng cau 4: A@ B—+B@A sao cho h(x @ yj=y Ox,

Và đo tớnh chất đối xứng nờn ta cũng cú nghich dio k: B@ A——> A@B ciiah Vậy h là một đẳng cấu Mệnh đề 1.2.14: Giả sử A,B,C là cỏc R_mụđun Khi đú tổn tai một đẳng cấu duy nhất từ (4đ 8)đŒC——>4@|BđC] xỏc định bởi: (xđ y)đz——>xđ(yđ@z) V\x,y,z)e AxBxC€ Thật vậy: lấy x là một phần tử của A thỡ ỏnh xa: g.:BRx€C——ằ(4@ B)đC là song tuyến tớnh (y.z)——ơ>Íx y)đz Vậy g, được phõn tớch một cỏch duy nhất qua tớch tenxơ B đ C BxC—> BOC &x Ẽ, (A@B)@C trong đú với Zz, 1& một dộng cu sao cho: Z,(y đ z)=(x đ y)đ z Mót khỏc ỏnh xa ứ: 4x(BđC)——>x(4đ 8)đC xỏc định bởi ứ(x,t)= z(t) với

(x.L)e 4x(8 đC) là song tuyến tớnh

Trang 25

Khúa luận tốt nghiệp: Chương

Vỡ ứ là ỏnh xạ song tuyến tớnh nờn nú được phõn tớch một cỏch duy nhất qua tớch

tenxd A@(B@C)

Ax(B@C)—“+A@(B@C)

\

(A@B)@C

nghĩa là tổn tại đuy nhất đổng cấu ỉ: 4đ(8đC)]——>(4đ 8)C€ sao cho

ứ{xđ(vđ zè}= ứ(x,yđz}= ứ,(yđz}= (xđy)đz

Đổi vai trũ của A và C, ta cũng chứng minh được cú đồng cấu 4: ỉ ' :(4đB)đC€C——>A4@(BđC) sao cho:

(x đ@ y)đ C+ x @(y @z) Suy ra đ c6 nghich dao la ỉ "

Vậy ỉ là đẳng cấu

Định lý 1.2.6: Tớnh tenxơ của hai tổng trực tiếp:

Giả sử ( M,)Ă và (N,); là hai họ R_mụđun Tổn tại một đẳng cấu chớnh tắc: ":(ew,èe|ex,è—elw,ew,) jel (x,), @(y, ) t—(x, đy,) That vay: Quy tắc g: ew,k(ex,}—ơe(w.đu,) (ô, ) sly, ) hole, đy, ) / Xỏc định một ỏnh xạ từ ew,(ex,) với đ(M, đ N,,)

vỡ cỏc họ (X,)Ă, (y)); đều cú giỏ hữu hạn Do đú (x, @y / |, cũng

cú giỏ hữu han và vỡ vậy nú thuộc đ(M ,8N, )

Anh xa này rừ ràng là song tuyến tớnh

Trang 26

Khúa luận tốt nghiệp Chương|

Nốn cú được phõn tớch một cỏch duy nhất qua tớch tenxơ (đ M,) đ(đN) Tt (BM,)x(@N)) P (BM )I@ISN) lea (lÊ1 jet wa @ ( M,@N,) t7

trong đú h là một đồng cấu và h ((x J, đ (y,),) =(xĂ 8y),

Để chứng minh h là một đẳng cấu,ta sẽ xỏc định một đồng cấu k: eM, @N;j) — CC Cõy ý) Sao cho k h và h.k là những ỏnh xa đồng nhất Goia, :M, > OM, “1 B, :N, > ON; là cỏc phộp nhỳng chớnh tắc vào tổng trực tiếp.Ta cú cỏc đồng cấu : “ứđủ,: MđN, +(@M,)@(@N,) (€1

khi đú theo tớnh phổ dụng của tổng trực tiếp tồn tại duy nhất một đồng cấu k sao

Trang 27

Khúa luận tốt nghiệp Chương!

(@M )đ(@N;).Dod6: kh=l ewe en) cú Mặt khỳc: h.ẾT ( x, đy, „ ) =h((X,), đ (ýj)) =(x, By, diy Vay h.k=lg won, Do dộ h: (@M,)@(QN,) => @(M,đN,) là một đẳng cấu hay (@M,)đ(@N) z@(M@N) “ a “J 5 Mệnh đề : 1.2.15 : Với mọi R _ mụđun M, tớch Tenxơ RđM đẳng cấu với M Thật vậy , ỏnh xạ g: RxM —> M (dqXx)—> ax là song tuyến tớnh nờn g phõn tớch được một cỏch duy nhất qua tớch Tenxơ RđM RxM 7 R@M M

Trong đú h là một đồng cấu với h(œđx) =œ x

Ta cũng cú ỏnhxạk:M —-=> R@M sao cho k(x) =lgđ x rừ ràng là tuyến tớnh và

h.k =l„ và k.h=ège Vè :

k.h(œ@x) = k(œx)= lđœx = œ@x

2.11,8 Hàm tử tớch tenxơ :

- - Nếu M Là một R _ mụđun cố định thỡ với mỗi R _ mụđun N.M@ N là một R_ mụđun và nếu N -> N' là một đồng cấu thỡ ỏnh xa: l„đg:M@N —> M@N' x8y +—> x@g(y) là một đồng cấu cú cỏc tớnh chất sau : 1đ lw = | Men luđ g'g =(Iuđg`)(1uđg)

Để diễn tả tớnh chất này, ta núi M@ - là một hàm tử hiệp biến

Nếu N là một R _ mụđun cố định thỡ với mỗi R _ mụđun M.NđM là mội R_ mụđunvà nộu M -> M' là một đồng cấu thỡ ỏnh xạ:

f@â1„:M@N —> M '@N

x8y —> f(x)đy

Trang 28

Khúa luận tốt nghiệp là một đồng cấu cú cỏc tớnh chất sau : Im@ 1 = lmen f.f@ ly =(f @ Iy)(fđ In) Để diễn tả tớnh chất này, ta núi - đN là một hàm tử hiệp biến Chương |

- Nếu M và Nlà hai R _ mụđun bất kỳ thỡ M@N là một R _ mụđun

Nếuf:M -> M',g: N —>N' là những đổng cau thi: f9g:M@N —> M'đN' x@y +> f(x)đg(y) là một đồng cấu cú cỏc tớnh chất sau : ly ly = ImMon ffđg`g = (fđg')(f9g) Để diễn tả tớnh chất này ta núi rằng - đ - là một song hàm tử hiệp biển tại hai biến 2.1 a ớch Tenxơ và 2.11.9.1 Tứnh khớp phải của hàm tử tớch Tenxơ : Mệnh đề 1.2.16:

Cho dóy khớp ngan :0 +X ty Ÿ, K 30

khi đú cỏc đóy sau là khớp phải:(với A là R mụđun bất kỳ)

4.đ/ 4,94

0 + AđX —->AđY ——> ABK 0 (I)

0 +x@a t= yea 2°°5 Kea 30

Chiing minh :

Day (I) khộp nghia lap 1,4@g là toàn cấu (1)

Im(1,đ f ) = ker(14@g) (2)

(1) <=> Ta chifnh minh 1,@g la toàn ỏnh lờn hệ sinh của A@K

Lay a@k € A@K va do 1, ; g là cỏc toàn cấu = Tổn tại ae A,ye Y saocho :1, (a) =a;g(y) =k

Vay ta cộ6 ađ@y € A@Y ma (1,@g)(a@y) =a@k

Nờn 1 đg là toàn cấu

Trang 29

Khúa luận tốt nghiệp Chương! = <{x@y/xeA =Imi, ,yeker g=Imf}>

=<{xđy/xelmlx ,ye[mf}> c Im(1 „đ f)

Vậy ta đó chứng minh dóy (1) khớp về bờn phải

Tương tự, ta cũng chứng minh được dóy (11) khớp về bờn phải 2.11.9.2 Tớnh khớp -chẻ của hàm tử tớch Tenxớ : Mệnh dộ 1.2.17 : Nộu day : 0 —>X-đ#› Y-ẩ ›K—› 0(*) khớp- chẻ thỡ cỏc dóy : Ạ 0 +>A@X!đẩ‡AsYy “8h nex 30 WD

0 + x@a Es yea 1% K@A 30 (ID

là những dóy khớp-chẻ(với moi A la R _mộdun)

Chứng mỉnh : (I) là dóy khớp - chẻ

Do tớnh khớp phải của hàm tớch tenxơ nờn ta chỉ cần chỉ ra 1„đ f là đơn cấu

và lxđ f cú nghịch đảo trỏi

Khi 1„đ f cú nghịch đảo trỏi => 1,@ f là đơn cấu

Vậy ta chỉ cần chứng minh 1„đ f cú nghịch dảo trỏi

Thật vậy : Vỡ (*) là dóy khớp chẻ nờn f cú nghịch đảo trỏi

q: Y —X sao cho dof =1x

=>1,đ q of = 1,đ lx

=>(1,@ q)( 1, f) =1,8 x

=>1,đq 1a nghịch đảo trội cla 1,@ f

Vay (1) là đóy khớp ~ chộ

Tương tự dóy (II) là khớp - chộ ( f@1, c6 nghich đảo trỏi

Thậy vậy : vỡ f cú nghịch đảo trỏi gq: Y —đX sao cho Gof = lx =>q 9 fđ l~= 1,đ lạ => (q@ 1,)( f@ la) = lx@ a => fđ 1, c6 nghịch đảo 1a q@1, Vay day (II) la day khớp-chẻ 3.1 Mộdun xa anh:

Định nghĩa : Một mụđun X trờn R được gọi là mụđun xạ ảnh nếuvà chỉ nếu với

mọi đồng cấu f: X > B và mọi tũan cấu gứ : A ->B của những mửđun trờn R ton tai

một đồng cấu h : X->A sao cho :

guh =f

Trang 30

Khúa luõn tốt nghiệp Chương

hay biểu đồ sau giao hoỏn :

Mộnh dộ 1.3.1

Cho P là tổng trực tiếp của cỏc mụđun P, khi đú :

P là mụđun xạ ảnh khi và chỉ khi P, là mụđun xa ảnh , 3 L€ 1 Chẳng mỡnh :

=› /P là mụđun xạ ảnh ta cần chứng minh Vỡ ô [ : P,là mụđun xa ảnh

Nghĩa là V đồng cấu f, : P, => C, v tũan cấu g: B —> C ta cần chứng minh tổn tại

đồng cấu f,: P, > B sao cho : g.f= f, Xột sơ đồ bờn : trong đú P, là phộp chiếu từ @P> P, Xột đồng cấu f=f, oP/@đ P, => C Vỡ g: B —>C là toàn cấu Pa 2 P, là mụđun xạ ảnh Nờn tổn tại đồng cấu f:@P,—B sao cho g,=f Lấy f, =fj, :P, +B với j: P; Si là phộp nhỳng thứ L Ta cần kiểm tra Zo fi= f, Thật vậy : go f= gf j) =f =f Pj i= f

<=/ Viel:P, là mộdun xa anh ta can chifng minh es P, là mụđun xa ảnh

Nghĩa là với moi | dong cấu f : P =ằC ,với moi toàn cấu g: B —C ta cần chứng minh tồn tại đồng cấu f: P -> B sao cho g,Ÿ= f

Trang 31

Khỏa luận tốt nghiệp Chương! Xột sơ đồ - | ị f, tư Fi f "| B g C Trong đú ứ toàn cấu |: P, => @P, là phộp nhỳng thứ Ă f: P -> C là đồng cấu bất kỳ khi đú V Ăel ta cú đồng cấu f=f, j, Do g là toàn cấu _ _

P, là mụđun xa ảnh nờn tổn tại đồng cấu f,: P, + B sao cho g„ f, = f,

Vỡ bộ nhỳng {j,: P, >@P,},„ cú tớnh phổ dụng đối với họ đồng cấu -— {f :P,->B};¿¿Ă nờn tổn tại đồng cấu

f: OP, ~> B sao cho Viel : ft,

ta can kiộm tra | Sof =f: @P, >B

hay Viel gfj,= fj, <=> gẽi = f|,= f,

Vỡ P, là mụđun xạ ảnh nờn g,Ÿ= f V iel _ =m>ggf=fƒ Vậy P=@P, là mụđun xạ ảnh Mệnh đề 1.3.2 Đối với R mụđun P, cỏc phỏt biểu sau tương đương : a) Pla mụđun xạ ảnh

bỡ Mỗi dóy khộp ngin:O—> A -#+ B -Cy P—+> O(*) điểu chẻ

Trang 32

Khúa luận tốt nghiệp Chương! Xột sơ đồ :

f lp

— >ằ

B P

Trong đú l; là ỏnh xạ đồng nhất, g : toàn cấu, P là mụđun xạ ảnh =>tồn tại đồng cấu f: P —>B sao cho: g„f =lp

=>f là nghịch phải g

Vậy dóy (*) chẻ

b=>c / Theo lý thuyết về mụđun tự do, mỗi mụđun là mụđun thương của một mụđun

tự đo nào đú

Vay P=F(P)/K với K là mụđun con của F(P)

Đẳng cấu này cho ta dóy khớp ngắn sau :

0>K =-+>F(P) ->P —0

Theo b) thi day trộn chộ ra <=> F(P) = K@ P

Vay P cộ thộ xem 1a hang tf truc tiộp cha mộdun ty do F(P)

c=>a/ ta cộ F(P)=K@đP mà F(P) là mụđun tự do => F(P) là mụđun xạ ảnh =>P là mụđun xạ ảnh

3.2 Mụđun nội xa

Một mụđun X trờn R được gọi là mụđun nội xa nếu và chỉ nếu với mọi đồng cấu

Trang 33

Khúa luận tốt n nghiệp Xột sơ đồ sau : Với g đơn cấu tuỳ ý ự Ta P,,j, là phộp chiếu , phộp nhỳng xột f là đồng cấu tuỳ ý f=j,of, : A =>Q Vỡ Q là mụđun nội xạ nẻn tổn tại đồng cấu :f:B— Q sao cho : fg= f= jf Lấy f P, of f,: BQ, Ta can kiểm tra : f, B= f, Thõt vậy f, g=P if g= P, ji f = fi

Vay Ơ iel : Q, là mụđun nội xạ

Trang 34

Khúa luận tốt nghiệp _ Chưưng|

Với g là đơn cấu , f : đồng cấu tuỳ ý

Khi đú V iel, xột đồng cấu f,„ pof: A => Q, sao cho f, g = P.f

Lay f=jof, :B —> nQ,

_iel

ta cần kiểm tra fe=f

Thật vậy : fg = jifig = joP,f=f =>Q là mụđun nội xa

Vậy [[ Q= Q nội xạ <=> V iel,Q, nội xa ie!

3.3 Mộdun det :

Đỉnh nghĩa : Nếu hàm tử tenxơ _đ@N(hay N@_ ) là hàm tử khớp nghĩa là nú

biến mọi dóy khớp thành dóy khớp thỡ khi đú mụđun N được gọi là R_ mụđun dẹt , Mệnh để 1.3.4 : Cho N là một R _ mụđun Cỏc phỏt biểu sau tương đương : a) N là một mụđun đẹt b) Nếu dóy 0—>A-+B -2>C -> 0 là dóy khớp cỏc R _ mụđun thỡ dóy 0-> A@N ##*, B@N -1#⁄4C @ N —0 (1) là khớp c) Nếu f: A—> B là một đơn cấu , khi đú : f đ ly : A@ N —› B@N cũng là một đơn cấu d) Nếu f: A ->B là đơn cấu và A,B hữu hạn sinh thỡ fđ l„ : A@ N —> B@N cũng là một đơn cấu Mệnh đề 1.3.5 :

A=@Ai la R mGdun det <=> A, 14 R mộdun det Vi € |

Chiing minh : xột đơn cấu bất kỳ f: X —> Y của cỏc R _ mụđun Vỡ A là mụđun đẹt nờn f đ 1, : X@A > Y@A 1a don cấu

<=> fđ lại: X@A, —> Y@@A, &đơn cấu

<=> @(f đ I„) : đ(Xđ A,) > đ(YđA, ) là mụt đơn cấu

Trang 35

Khúa luận tốt nghiệp Chương <=> A, la mộdun det Vi € I

3.4 Mộdun xodn - mộdun khụng xoắn :

+ Phần tử xoắn :

Giả sử R là một miền nguyờn, Một phần tử x của một mụđun X trờn R được gọi

là phần tử xoấn của X nếu và chỉ nếu tổn tại một phần tử 0z 2 e R sao cho Àx =U)

Khi đú tập hợp cỏc phần tử xoắn của X được kớ hiệu là [](X) lập thành một mụđun con của X Thật võy : [](X) ={xeX/ tốn tai O#AER ; Ax =0 } Vx.v e [l(X) => tổn tại 0 # ÀĂ,À¿ e R:r ÀĂx =0 | Asx =() VruraeR

Ta co (Ay Aa) (tix # rạ Y }E (ÀĂ À‡)(nX) + (ÀIÀ3)(r:y)

= (Agr (Ayx) + (Agrs)Quy)

=0

Vậy []ẽ(X)à mụđun con của X hay mụđun con xoắn của X

+ Một mụđun X được gọi là mụđun xoắn nếu và chỉ nếu [ ](X) =X

+ Một mụđun được gọi là mụđun khụng xoắn nếu [ J(X) =0 Mệnh để 1.3.6 A= ° A, lA R mộdun khụng xoắn <=> A, la R mụđun khụng xoắn, Y Ăel f <= / lấy a={a,) ;ôĂ bất kỡ thuộc A *Àc R ,À#0 Tacú :az0

=>tồn tại a, A, sao cho a,Ê 0 Do A, là R mụđun khụng xoắn

=>)a, +0

=>Àaz0

=>A là mụđun khụng xoắn

=> / Giả sử A=@ A, là R mụđun khụng xoắn Chứng minh A ( là R mụđun khụng xoin Viel '°

Lấy cố định Ăe I

Va, €A,,a, 20

Trang 36

Khúa luận tốt nghiệp Chương! Vươe€R,œ#0 si Can chitng minh a a, +0 Xột a =(0 0,a, ,0, 0) €e A Mó ÀA là R mụđun khụng xoắn =>a a, +0

Vay A, là R mụđun khụng xoắn V ie ẽ

Đ4 Mối quan hệ giữa cỏc lớp mụđun chớnh

4.1 Mệnh để 1.4.1 : Mọi mụđun tự do đều là mụđun xạ ảnh Chitng minh -: Cho mụđun tự do F(S) cú cơ sở là S Xột sơ đồ : F(Đ)D Đ f f B—=*—> Â 5 f(S)

Với g là toà n cấu bất kỡ, f là đồng cấu bất kỡ

Để chứng minh F(S) là mụđun xạ ảnh ta cẩn chỉ ra tồn tại đồng cấu f : F(S)->B

Sao cho; gi=f

That vay:vdi mois ô S,chon s* ơ gtf(s)) zÍ ứ"(G))c B

Datf(s)=s*

Mở rộng ỏnh xa f:S ->+B thanh đồng cấu f: F(S) +B Khi đú gf =f vỡ với moise S_cosdciaF(S) _„

Ta cú g Í (s) =g(s*) =f(s) với s* e g1f(s))=> #o Í =f trờn cơ sở S

=> ứạ f = f (vỡ F(S) là mụđun tự do )

Vaymộdun tu do 1a mộdun xa anh

Nhõn xột : 1.4.1 Nếu X là R mụđun xạ ảnh thỡ khụng thể suy ra X là

Trang 37

Khúa luận tốt nghiệp Chương

(a,,bị) + (a2,b2) =(a,+ a>,b)+b2)

(ai,b.)(aa ba) = (a)@2,b,.b3)

X là một R mụđun với phộp nhõn cỏc phần tử của R và cỏc phan wf eda X nhu sau :

ự(ab) eR.V (a,,0) e X (a.b).(a,.0) = (a,.a,0)

Ta kiểm tra với phộp nhõn này X 1a một R mộdun

+MI :(I1,1)(a,0) =(a.0) ,Y (a,0) e (Z0)

+ M2: [(a,,b,).(a›,b›)](a.0)=( a.,b,){ (a:,b-)(a,0)]

<=> (a)a3,b,b3)(a,0)= (a),b,)[ (a2a,0))

<=> (a,a,a,0) = (a,aza,0) luộn ding Vay (rs)x = r(sX)

Vv r=(a),b,) s=(a2,b2) € R , x =(a,0) € X

+ M3: [(a),b,)+ (a2,b2)](a,0) =(a,,b,)(a,0)+ (a2,b2) (a,0) < => (ai + a+,bị + bạ )(a,0) =(aa; ,0) +(aa¿,0)

<=> (a(a;+ a+),0) = (a(aĂ+a;),0) đỳng

Võy r(X+y) =rx+ry

vơi mọi r =(a,b) e R, x=(aĂ ,0).y=(a:,0)<X

+M4: (a,b)[(a, 0)+(a:,0)] = (a,b)(a,,0)+ (a.b)(ax0)

œ (ab)(as+a;y0) =(aa,,0)+(aa2,0)

ô (a(a,+a;),0) =(a(a+a;)0) dung

Vậy t(x+y)=rx+ry

Với mọi r=(a,b)e R,x=(a;,0),y=(a:,0)eX

Trang 38

Khúa luận tốt nghiệp Chương!|

Khi đú dóy cảm sinh cỏc đồng cấu ;

0 —›Aextđ*“,pexi%4Ce@ex 0

Là dóy khớp nghĩa là X là mụđun đẹt

Thật vậy : Vỡ hàm tử Tenxơ cú tớnh khớp phải nờn ta chỉ cần chứng minh fđ Ix là đơn cẩu

Do X là mụđun tự do nờn X cú cơ sở (X,).,eĂ

Khi dú mọi phần tử của AđX được viết một cỏch duy nhất dưới dang > x,"đ x, với

x, = A va ho (x;), c6 gid hitu han

Giả sử (fđ 1x Lx, @x = LZ f(x’) @ x, =0

Khi đú ta cú f(x,`)=0 ,Viel

Vỡ moi phần tử của B đ X đều cú biển diễn duy nhất dưới dạng :

3 y,/đ x, Vỡ f là đơn ỏnh nộn x,’ =0 Vie |

=>) x, @x, =0

=>f@1, la don cau

Vay X la mộdun det

4.3 Mộdun xa anh la mộdun det:

Mệnh đề 4,3: nộu f : A> B la một don cau va X 1a R _ mộdun xa ảnh

thỡfđlx: AđX~>Bđ X cũng là một đơn cấu nghĩa là X là một mụđun

đẹt

Thật vậy : vỡ X là mụđun xạ ảnh nờn tổn tại mụđun Y và mụđun tự do F sao cho

F = X@ Y (do mộnh dộ 1.3.2)

Vỡ F là mụđun tự do nờn nếu f:A ->B là một đụn cấu thỡ :

fđlz : A@F -> B @ F cũng là một đơn cấu

Mặt khỏc Ađ$F s A đ(X@Y) z (AđX) @ (A@Y) B@F =BA(X@Y) = (B@X) 8B (B@Y)

Do cỏc dang cfu nay ta cộ thộ dộng nhat hdộa fđ Ip voi

(f@ ly) SEB ly): (A@X) S(ABY ) > (B @ X) (Bđ Y)

Trang 39

Khúa luõn tốt nghiệp Chương

Nhưng X khụng là mụđun xạ ảnh That vậy : Giả sử X là R _ mụđun xa ảnh

Trang 40

Khúa luận tốt nghiệp ChươngII

Chumett: ` MỘT SỐ NGUYấN CỨU NHỎ VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC MễĐUN

$1 Tich Ten xơ của hai mụđun tư do :

Mệnh đề 2.I : Nếu A.B là cỏc R _ mụđun tự do với cơ sở (S)j<1 (SỬ )iet theo thứ tự thỡ A đ B cũng là một mụđun tự do với cơ sở (s/đ s,),„

Chứng mỡnh -

Ta chứng mỡnh A đ B cú cơ sở là (s/đ $s,),,

Vỡ A,B là mụđun tự do nờưnỗi phần tử của Ađ B được viết một cỏch dưới dạng :

s

Trong d6 x, A và (x,);¿Ă là một họ cú giỏ hữu hạn

Vỡ A cú cơ sở là (s),„; nờn mỗi phần tử x,e A đều được viết duy nhất dưới dang : ⁄,=2 đuố

trong d6 a, e R và (œ„), cú giỏ hữu hạn

Khi đú, mỗi phần tử của A đ B được viết dưới dạng : L(x a, s) 9$; =2 dụ (s/đS,`) => (s/đ s,'),, là cơ sở của A @ B Vậy A @ B là mụđun tự do Nhõn xột 2.1: A đ B 1a R _ mụđun tự do thỡ khụng phải lỳc nào củng suy ra A,B là mụđun tự do Vớ dụ 2.1 : Z là vành cỏc số nguyờn R=ZđZ A= R @(Z,0) B= R $(0,Z) Ta cú:AđB=[R @ (Z,0)] @ [R đ (O,Z)] =[R đ R] đ[R đ (O,Z)] đ [2 O) đ (O,Z)] & [(Z,O) @ R] z[R đ R] đ (R @ [(O,Z) đ (Z2 O)]) ( vi(Z,0) @ (O,Z)=0 ) =(R@R)đ(R@R) =R@R

=> AđB là mụđun tự do

Nhưng A khụng là mụđun tự do

Thật vậy : Giả sử A là mụđun tự do

= Acốúcơsở