Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

TRAN HUYEN Sinh viên thựchiện : VO TIEN TRINH Trang 2 Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán Lời nói đâu Lý thuyết vành giao hoán được phát triển rất nhiều trong nhữn

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM

KHOA TOÁN - TIN HỌC oma

LUAN VAN TOT NGHIEP Bộ môn: Đại số

Đề tài

IDEAN NGUYEN TO TRONG VANH GIAO HOAN

Gido vién huéng din: TS TRAN HUYEN Sinh viên thựchiện : VO TIEN TRINH

Trang 2

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Lời nói đâu

Lý thuyết vành giao hoán được phát triển rất nhiều trong những năm

vừa qua Trong đó iđêan nguyên tố đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này Vì thế trong luận văn này chúng tôi cố gắng trình bảy một cách cơ bản

nhất về các vấn đề của Iđêan nguyên tổ trong các vành giao hoán Trong luận văn này, chương 1 được dành cho việc trình bày những kiến thức cơ sở Nội dung chính của chương 1 nêu lên các khái niệm về các

vành, iđêan, môđun và phần tử nguyên cùng các tính chất của chúng Tuy nhiên định nghĩa vành được nhìn nhận dưới quan điểm là vành giao hoán có

đơn vị

Các iđêan nguyên tổ trong vành giao hoán được trình bày trong

chương 2, và cũng là phần chính của luận văn Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một số cách xây dựng iđêan nguyên tố Và sau đó sẽ trình bày tính chất của các iđêan nguyên tố trong một số vành giao hoán như: vành các thương, vành chính, vành nhân tử hóa Kết hợp lý thuyết iđêan nguyên tố với mở rộng nguyên ta đưa ra lý thuyết going-up trong vành mở rộng Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm G_miễn,

G_iđêan và vành Hilbert, thông quá đó chứng minh định lý Nullstellensantz Và cuối cùng là một số kết quả về hạng của iđêan nguyên tố trong vành đa thức

Luận văn này được thực hiện với nhiều nỗ lực cá nhân nhưng cũng

không tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý

của quý thầy cô và các bạn sinh viên

Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn TS Trần Huyên đã tận tình giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn này

Trang 3

Luận v j Idéan nguyén tố trong vành giao hoán

MỤC LỤC

Ti EIS eaoneoitskibtiosad260ả040016201466098G09100006436/60/801G NÓ 2

Chương Ì: Kiêo tiệc chuẩn ĐỈ s‹ c.ccccccociiá G02 0020/22220642/1216ảả6 5 LT Cho dink nghia vith chiticscsscice cise 5

lý) TH 011122/1/2/00Á04/004300ãi 2204026922 Q0 004vv@ 3 5 I.1.2 lđêan, iđêan sinh bởi một tập, tđêan chính

WIRED AMIN as sss tnisccicccerens vanssncnsnseonuncevtah pouanieusunscbunicsnsisscecsseninsseniice 6

1.1.3 Idéan nguyén té, idéan tối dai, hạng của iđêan nguyên tố,

S-mién, S-vanh manh ( strong Š -ring) . : 8

1.1.4 Tap con nhân và tập con nhân bão hòa trong

NV 2 test seneseeecaxkenceeicescdobknntevoyjasas 10 1.1.5 Phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố ll 1.1.6 Vành nhân tử hóa (vành Gaus$) 12 1:17 Đông uầu ( VÂÀH (c2 226bccc02022G0 000200 66 12 1.1.8 Vanh cdc thương, trường các thương, vành địa phương hóa 13 I.1.9 Môđun trên vành: <Ă Ăn TH ng ng 16

1.1.10G miền, G_iđêan, vành Hilbert -. 5-55 55<2 20 1.2 Một số định lý về đồng cấu vành - - 55c 55s 21

1.3 Phần tử nguyên và mở rộng nguyên - . -cc c-: 23

Trang 4

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tổ trong vành giao hoán

2.4 Iđêan nguyên tổ trong vành chính và vành nhân tử hóa 34

2S MúCH thái Giải Q0 BÀ ke kieeianensieseeseosooed 37 2.6 Một số tính chất của G _iđêan 2-5 cecsscsecsscree 42 2.7 Một số tình chất của vành Hilbert 5-6-5555 ccee 44

Trang 5

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tô trong vành giao hoán

CHUONG |

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Cac dinh nghia va tinh chat 1.1.1 Vanh

Định nghĩa 1.1

Khái niệm vành ở đây được xem là vành giao hoán có đơn vị tức là một bộ ba thứ tự (#,+,-),trong đó + và - là hai phép tốn trên ®# thỏa các

điều kiện sau :

¡) (8,+) là một nhóm aben với phân tử trung hòa là 0 (gọi là phan

tử không)

ii) Va,beR ab=b.a (taki hiéu abthay cho ab)

iii) Va,b,cER a(bc)=(ab)c

iv) 3leRWVaeR la=a( 1 duge goi la phan tir don vị)

v) WVa,b,cEeR a(b+c)=ab+ac

Ta thường gọi tắt “ vành & ” thay cho “ vành (Ñ,+,:) ”

Nhận xét l_l :

Trong định nghĩa trên, điều kiện aben của nhóm (#,+) có thê suy ra

từ các điều kiện còn lại

Nếu trong vành # ta có l =0 thì vành # chỉ có một phần tử duy nhất

và ta gọi đó là vành không, kí hiệu 0

Ménh dé 1.1:

Trang 6

Luân văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tô trong vành giao hoán

iii) Va,beR (-a)b = a(—=b)= -(ab) ivy) Va,beR (-=aX-b)=ab

vy) VWa,beR YneZ (na)b=a(nb)=n(ab)

V068 (Sa) $e, }-FSa0, tal y= tal jal

vi) VWa,beR VneZ (ab)"=a'b" n! il(n—1)! viii) Va,beR YneZ (a+b)'=Š`C¡a"“b', với C; = ¡=0 Một số định nghĩa liên quan : Cho vành ®, với bất kỳ phần tử a e R

e© ađược gọi là phan tử khả nghịch nếu tồn tại a'e R sao cho aa'= Ì

e© a#0 được gọi là ước của 0 nếu tổn tại a'e R,a'# 0sao cho aa'= 0

e _ Vành khác 0, không có ước của 0 được gọi là miền nguyên

« ađược gọi là lũy linh nếu tồn tại me NỈ sao cho a" =0

° ann(a) = {x e R|ax = 0Ì được gọi là linh tử của ae R

1.1.2 lđêan, iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính,vành chính

Định nghĩa 1.2

Cho vành , iđêan của vành ® là một tập con ï c R thỏa : i) 1#@

ji) Vx,yel x+yel iii) Vxel,Vael :axel Định nghĩa 1.3

Iđêan nhỏ nhất của một vành # chứa tập con 7 của R được gọi là

Trang 7

uận văn tốt nghỉ Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Một iđêan được gọi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một tập hữu

hạn 7 = {x,x;, x„} Kí hiệu (x,,x¿, ,X„)

Iđêan sinh bởi một phần tử được gọi là iđêan chính

Một miền nguyên mà mọi idéan đều là iđêan chính được gọi là vành chính Vi dụ l : nữ = {nz :z Z} là một iđêan trong miền nguyên Z Hơn nữa trong miền nguyên Z mọi iđêan đều có dạng øZ là iđêan sinh bởi z nên Z là vành chính Mệnh đề 1.2:

Giao CM, của một họ iđêan (Ï,),„„ của vành R là một iđêan của R

Do đó, iđêan sinh bởi tập con T là giao của tất cả iđêan của R chứa T Mệnh đề I.3 :

Cho hai idéan I va J của vành R Khi đó các tập sau là các iđêan của

R:

Tập I+.J ={x+ y|x e I,y J} được gọi là tổng của hai idéan I vaJ

Tập ¿-{ >: sy,puehy,eJ| được gọi là tích của hai idéan I vaJ

Tập (I:J) ={x e R|Vy e J xy e I} được gọi là thương của hai iđêan I

và /

Trang 8

uận v i Idéan nguyén V

1.1.3 Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, hạng của iđêan nguyên tố,

$-miền, S- vành mạnh ( strong S-ring)

Định nghĩa 1.4

Trong vành R lđêan P được gọi là iđêan nguyên tổ nếu P # & và với abe P >aeP hoac beP

Idéan M là iđêan tối dai néu M # R va khong cé idéan thye sy J nao

của # mà Ä Œ ! Dinh nghia 1.5

Cho P la mét idéan nguyén té Mét day chuyén các iđêan nguyên tô phân biệt ( nếu có) :

Pme 5ñ 5£

được gọi là một dây chuyền giảm từ P và có chiều dài là ø

Ta nói P có hạng là n, kí hiệu la rankP = n nếu tổn tại một dây chuyển giảm từ P có chiều dài m và không tồn tại một dây chuyền nào giảm từ P mà có chiều dai lén hon n

Ta nói P có hạng là œ, kí hiệu là rankP =œ nếu tồn tại các dây chuyền giảm từ P có chiều dài tùy ý

Ví dụ 2 :

Trong miễn nguyên Z, với iđêan nguyên tổ bất kì P ta đều có rank P =! Định nghĩa 1.6

Một miền nguyên # là một S - miền nếu mọi iđêan nguyên tổ P có

rank P =I thì rank P` =1.(P` là mở rộng PR[x]của P tới vành đa thức

R[x] )

Một vành R la mét S- vanh manh (strong S-ring) néu N là iđêan

Trang 9

Luận văn tốt nghiệp _ Idéan nguyên tổ trong vành giao hoán

Nhận xét 1.2:

Trong miền nguyên Z thì iđêan pZ vừa là iđêan nguyên tổ vừa là

iđêan tối đại Thật vậy :

+ pZ là iđêan nguyên tổ vì : với a,b e pZ suy ra p|ab = p|a hoặc p|b

hay ae pZ hoặc be pZ

+ pZ là iđêan tối đại vì : giả sử 8 là iđêan của Z thỏa p#.c B Khi đó tồn

tai ae B\ pZ do do ac4/ 7 ,a#0 VÌ oz là một trường nén ton tai b: ab=l suy ra ab—1 € pZ CB nên leð vì vậy B=Z Vậy pZ là

iđêan tôi đại Mệnh dé 1.4:

Giả sử ï là một iđêan trong vành R, khi đó :

i) I la idéan nguyén t6 © Ñ//_ là miền nguyên ii) 1 là iđêan tối đại ©» Đ⁄( là trường

Chứng mỉnh :

Giả thiết 7 # #8 tương đương với sự kiện vành thương 8⁄4 #0 i)(=)Va,be ®/ ,ab=0> abel > aelvbel=>a=0vb=0

(©)Va,b e R ab e ï = ab=0=ab=0>a=0vb=0>aelvbel

ii) () Xét phần tử a #0 của vành thương Š⁄,

Ta thấy a#£7 nên iđêan (4) + / chứa 7 thật sự và do tính tối đại của 7

nên (a)+/= R, suy ra 3ðe,3xe1:I1=ab+x=ab =l, tức là a khả

Trang 10

Luân văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

(<=) Giả sử J là một iđêan của 8 và chứa 7 như là một tập con thực sự

Khi đó tồn tại phần tử a eJ/ƒ và ae Ä⁄ khác 0 Vì Ä⁄/ là trường nên tồn

tại phần tử be Ry :ab=], suy ra ab-leTcJ=>leJ/,ticla J=R Vay

[ là iđêan tối đại

Hệ quả I.I :

i) Moi idéan tối đại đều là iđêan nguyên tó

ii)Iđêan 0 của vành # là nguyên tổ khi và chỉ khi # là miền nguyên

Nhận xét 1.3 :

Trong vành chính mọi iđêan nguyên tổ đều tối đại Nếu (x) # 0 là

iđêan nguyên tố và (y) Đ (x)

Ta có xe(y)=x=„z vì thế yz(x) mà y#(x)=ze(x)—=z=tx

Vì vậy x= „z = yz= yt=l=(y)= ())

1.1.4 Tập con nhân và tập con nhân bão hòa trong vành

Định nghĩa 1.7

Cho vành R& Tập con § c # được gọi là tập con nhân nếu :

i) le S,O¢S

ili) Va,beS :abeS

Tập con nhân S duge goi là bao hda néu: abe Seo aeS va beS Vidu 3:

Dễ thấy các tập sau là tập con nhân và tập con nhân bão hòa

+ Nếu # là một miền nguyên thì $= #\{0} là một tập con nhân

+ Tap S=1+/,voi / laidéan cua ®# là một tập con nhân

+ S§ là tập các phần tử không là ước của không trong # là tập con nhân

Trang 11

Luận văn tốt nghiệp [đêan nguyên tô V lao hoán

Mệnh đề 1.5:

Chol là iÄêan trong vành R, S là phân bù của l trong R I là iđêan nguyên tổ khi và chỉ khi Š là tập con nhân

Chứng mình :

(=>) Gia sử7 là iđêan nguyén to.Vi S=R\J ,1¢/ => leS,0¢S

(SCR) Vx,yeSx,y#l => xyel (do I nguyén td) > xyeS.Vay §

là tập con nhân

(<=) Gia st S la tap con nhân Vx, y6 &, xy€l >xz£ SSx£SŠ hoặc y£S ( vì § là tập con nhân)= xe ¡ hoặc ye7 Vậy/ là iđêan nguyên td

1.1.5 Phần tử bất khả quy và phần tử nguyên tố

Định nghĩa 1.8

Cho ®& là miền nguyên, a,ð e # ta nói rằng a liên kết với b , kí hiệu

a~b nễu a=ub với we R, u khả nghịch

Mệnh đề 1.6 :

avà b là liên kết khi và chỉ khi a|b và b| a

Định nghĩa 1.9

Cho R là miền nguyên, lấy r e R, r #0, r không khả nghịch

i) r được gọi là một phần tử bất khả quy của # nếu : "r=ab >r~a hoặc r ~b

ii) r được gọi là một phần tử nguyên tố của # nếu :

r|ab => r|a hoặc r|b

Mệnh đề 1.7:

r là phân tử nguyên tô của miền nguyên R thì r là phân tử bất khả

Trang 12

Luận văn tốt nghiệp lđêan nguyên tố trong vành giao hoán

r là phan tử nguyên tổ của miền nguyên R nếu và chỉ nếu {r) là

iđêan nguyên tổ của R Mệnh đề 1.9 :

Cho R là một miền nguyên, S là tập các phân tử trong R có biểu

diễn dưới dạng tích của các phần tử nguyên tổ Khi đó S là tập con nhân

bão hòa

1.1.6 Vành nhân tử hóa (hay vành GAUSS)

Định nghĩa 1.10

Một vành nhân tử hóa( hay vành Gauss) là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều có phân tích duy nhất thành tích các phần tử bất khả

quy

Vi dụ 4:

Vành số nguyên là vành nhân tử hóa

Các vành Z{x], Q[x,y], R[x,y] là vành nhân tử hóa 1.1.7 Đồng cẫu vành

Định nghĩa 1.1 Í

Giả sử # và ' là các vành Ánh xạ ø : R —> R' được gọi là một đồng cấu vành nếu nó bảo toàn cả hai phép toán của vành, tức là :

ø(x+y)=ø(x)+@(y)

Ø(x)=ø(x)ø(y), Vx,yeR

Một đồng cấu đơn ánh gọi là đơn cấu, đồng cấu toàn ánh gọi là toàn cầu, đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu

Nếu tổn tại một đẳng cấu ƒ từ vành &, đến vành #, thì ta viết #Ẩ, = #¿

Trang 13

Luan van tot nghiép Idéan nguyén tố trong vành giao hoán

Cho đồng cấu vành ø : # —> R', hạt nhân và ảnh của đồng cầu ø được định nghĩa như sau :

Ker p:={x e R|ø(x)= 0Ì = ø'(0) Imø:={ø@(x)|x e R} =ø(R)

Nhận xét 1.4:

Ker ọ là iđêan của vành R, hơn nữa mọi iđêan của một vành đều là

hạt nhân của một đồng cấu vành nào đó

1.1.8 Vành các thương, trường các thương, vành địa phương hóa

Giả sử ®# là vành ,S là tập con nhân của R

Trên tập tích #x S ta xét quan hệ ~ sau đây Với (z,s),(r',s')e Rx $, ta nói

(r,s) ~(r’, s’) nếu có một phần tử s, €Š sao cho s, (s'r —sr')=0

Dễ dàng kiểm nghiệm rằng ~ là quan hệ tương đương Lớp tương đương

của phần tử (z,s) được kí hiệu là —, hay z/s

$

Tập thương R x$/~ được kí hiệu là S”ÌR

Trang 14

Luân văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tô trong vành giao hoán Sy (sr; - sự) =0 s,(s'r';-s',r')=0 Nhân đẳng thite thir nhat vi s,s's', va dang thire thirc thir hai voi s;ss rồi cộng chúng lại ta có : $483 [s's' (sn - sự) +58) (s'r'\- s', r')| =0 ty #2 [ss'(s) n+s#\)—s,s\(s' -sr')]=0 Vi s,s, €S nén đẳng thức cuối cùng chứng tỏ sn ts’) s'r+sr'

Tương tự đối với phép nhân thì :

Nhân đẳng thức thứ nhất với s,r', s', dang thitc thứ hai với s„rs, rối cộng chúng lại ta có : s;s;(rr",ss—rr"'ss)=0 Vì s„s; e.$ nên đẳng thức cuối cùng chứng tỏ: Trì = rr’ hay 1C to rr 8$, ss’ ss # # Dễ dàng kiểm traS”ÌR với hai phép tốn trên lập thành một vành với độn vị là = VseS Ss Dinh nghia 1.12

Giả sử S 1a tap con nhan cia vanh R Khi đó vànhS”Ì® được gọi là

vanh cac thuong cua R theoS

Trang 15

Khi P là iđêan nguyên tổ trong miền nguyên # thì $= &\P là tập con nhân Khi đó vành các thương S”'& được kí hiệu là &„

Vi du 3:

Tap Si, = {10"|n e Z) là một tập con nhân của miền nguyên Z , nên vanh S,,Z là vành các thương của Z theo S,,.Vành này được gọi là vành các số thập phân Nhận xét 1.5: Từ định nghĩa ta thấy mọi phần tử“ với r, s $ đều khả nghịch # trong S”'# Nghịch đảo của — _l— r Định nghĩa 1.13

Nếu # là miền nguyên và chọn §= #\{0} thỡ :

V~eđ''R:=0â>r =0 , nờn mi phn t khác không của vành các

$ #

thương Sˆ'# đều khả nghịch , do đó S-'# là một trường và được gọi là

Trang 16

Luân văn tốt nghiệp lđêan nguyên tô trong vành giao hoán ƒ(r)=“——=~-—=ƒ0)/ứ9 Dễ thấy những tính chất sau : + seS=› ƒ(s) khả nghịch trong §"'Đ + /(r)=023seS.,r:=0 + mỗi phần tử của S'R duge viét dudi dang f(r) f(s)! voi reR,seS Ménh de 1.10:

Cho R la mién nguyén va $ là tập con nhân của # thì /:/& -> §”'R xác

định bởi f(r) =T là một đơn cấu vành

Chứng minh :

Ta đã có ƒ là một đồng cấu vành Ta chỉ ra ƒ là đơn ánh Thật vậy :

với ƒ(r)=+=0=T=3se§:z(z~1.0)=sz=0 nhưng s#0 (vì se)

Trang 17

Luận văn tốt nghiệp lđêan nguyên tố trong vanh giao hoán

khả nghịch trong R„ với phần tử nghịch đảo là 5 Nhu vậy mọi phần tử của r

R, \ P déu kha nghịch, nên không nằm trong bất kỳ iđêan thật sự nào của R, Vay P là iđêan tối đại duy nhất của R, và R, là vành địa phương 1.1.9 Môđun trên vành Định nghĩa 1.15 Giả sử # là vành Một môđun trên # là một nhóm abel M(viét theo lỗi cộng) cùng với ánh xạ : RxM>›>¬M (a,x) ax

thường được gọi là phép nhân với vô hướng trong &, thỏa mãn các điều kiện sau đây :

(M,) a(x+ y)=ax+ay (M;) (a+b)x=ax+by

(M,) (ab)x=a(bx)

(M,) lx=x

với mọi a,b e ® và mọi x,ye Mí

Một môđun trên vành Ẩ gọi là R-môđun, và nếu không sợ nhằm lẫn ta gọi

là môđun cho đơn giản Ví dụ 7:

Mỗi nhóm aben là một Z-môđun

Mỗi vành là một môđun trên chính nó

Vành đa thức R[x] là một R -médun

Trang 18

Luận văn tốt nghiệp Idéan nguyên tổ trong vành giao hoán

Cho 4 là một R-môđm Ta nói M là R-môđụun trung thành, nêu đẳng thitc aM = 0, ae#, chỉ xảy ra khi a = Ö

Định nghĩa 1.17 :

Giả sử Ä⁄ là một R-môđun Tập con N c M được gọi là một R-mddun

con nêu W là một nhóm con của nhóm cộng M và M khép kín đối với phép

nhân với vô hướng, tức làrxeNW VreR,xeN Vị dụ 8 : Nhóm con của nhóm abel M (đối với phép cộng) là Z.-môđun con của #,-môÄun M Nếu 4 là iđêan của vành #, và Ä⁄ là một R-môđun, thì AM = {4,%, + +,x„|a,€ A,x,cM,ne N} là m6t R-mdédun con cua M Ménh dé 1.13: Giao của một họ túy ý các môđun con của M⁄ là một môđun con cua M Định nghĩa 1.18:

Giao của tat cả các môđun con của M chứa Š được gọi là môđun con

của M sinh boi tap S, va được kí hiệu là #<S> hay đơn giản <S> Ta nói Š là tập sinh của R<S>, hay S sinh ra R<S>

Định nghĩa 1.19:

Một tô hợp tuyến tính của các phần tử thuộc Š (với các hệ tử trong R)

Trang 19

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán Định nghĩa 1.20: Nếu phần từ xe M có thẻ viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S : x= >a, (a, ER), seS

thì ta nói x biểu thị tuyến tinh qua cdc phan tir cia S

Nhận xét l_8 : S là một tập sinh của M ( tức là M=R<S>) néu va chỉ nếu mọi phần tử của A⁄ đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của $ Định nghĩa 1.21: Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh gồm hữu hạn phần tử Vi dụ 9 : R[x] là một R -môđun hữu hạn sinh với hệ sinh S={1, x, , x"” Định nghĩa 1.22:

Một R-đại số là một vành 7 vừa là một &-móđun thỏa mãn :

a(xy) = (ax)y = x(ay)

voiaeR, x,yeT

Ménh dé 1.14

Gia sit la C la T -médun hitu han sinh, và T là R -đại số hữu hạn

sinh Thi C la R-médun hitu han sinh

1.1.10 G_mién,G_idéan, vanh Hilbert

Mệnh đề 1.15 :

Cho R là một miễn nguyên với trường các thương K Hai phát biếu

sau là tương đương

Ù K là vành hữu hạn sinh trên R

ii) Như là một vành, K có thể được sinh trên R bởi một phần tử

Trang 20

Luận văn tot nghiép Idéan nguyén tố trong vành giao hoán

ii)=> i) Hién nhiên

i)=> ii) Gia st K = le .et a,eR, b,eR\{0)

Một miền nguyên thỏa mãn một trong hai phát biểu ở mệnh đề 1 I 5 được gọi là một G_ miền

Một iđêan nguyên tố P trong vành & làG_ iđêan nếu &/P làG_ miền Một vành # là vành Hilbert nếu mọi G_ iđêan trong R là tối đại

Vi du 10:

e Vành số nguyên Z không phải là G_ miễn

° Mọi trường đều làG miền

e©_ Mọi iđêan nguyên tố khác 0 trong vành số nguyên Z đều là

G_iđêan Vì chúng cũng là những iđêan tối đại nên Z là vành

Hilbert

1.2 Một số định lý về đồng cấu vành

Định lý 1.1 ( Định lý về đồng cấu vành )

Giả sử @ : R —> R' là một đồng cầu vành Khi đó tôn tại duy nhất một

Trang 21

Luận văn tốt nghiệp Idéan ên tô trong vành giao hoán

R ? Im@

R/ Kero

nic la p= Gj

Chứng minh:

Vì ø là đồng cấu vành, nói riêng là một đồng cấu của các nhóm cộng

R va R' Do đó, theo định lý về đồng cấu nhóm, ø : #/kerø—> Imø được

định nghĩa bởi ø(x + kerø) = (x) ( voi moi xe R) la đăng cấu nhóm duy nhất thõa ø= Ø,/ Ta cần chứng minh Ø là một đồng cấu vành, tức là cần chỉ ra Ø bảo toàn phép nhân Thật vậy : Ø|[(x + kerø)(y +kerø) ]= Ø(xy + kerp) = ø(xy) = o(x)e(y) = Ø(x + kerø)@(y + kerø) với mọi x, y€ Â Định lý được chứng minh (@ Định lý 1.2 ( Định lý đồng cầu vành mở rộng)

Trang 22

Luận văn tốt nghiệp lđêan nguyên tố trong vành giao hoán RiA ——> R/A' tức là Ø j = j',ø trong đó j, j' là các phép chiếu chính tắc Chứng minh : Xây dựng ánh xạ Ø : R®/ A -> R1 A' được định nghĩa bởi công thức Ø(x+ 4)= ø(x)+ 4'

se ø được định nghĩa hợp lí vì với x+ Á=x'+ l©=x=x+a (ae A)

Ta có Ø(x+ 4)= ø(x)+ A'=ø@(x'+a)+ A'= ø(x')+ ø@(a)+ A'=ø(x')+4'

Trang 23

Luân văn tốt nghiệp Idéan nguyên tố trong vành giao hoán KerØ ={x+ A|ð(x+ 4)= 0z; „Ì ={x+ A|ø(x)+ A'= On, 4} ={x+ Alg(x)e 4) ={xe A} = {0x4} ¢ Kiêm tra Øj=/,Ø vxeR:Ø/(x)=Ø(x+ 4)= ø(x)+ A'= /{ø@(x)]= /'.e(x) Vậy OJ =J',@- © @ la duy nhất Giả sử có ánh xạ b : R/ A—> R1 A' thỏa hj = j'.9.Tacd VW x+AeR/A h(x+ A)=h_j(x)= /'@(x)= @(x)+ A'= Ø(x+ 4) do đó h=ø @ 1.3 Phần tử nguyên và mở rộng nguyên Định nghĩa 1.24

Cho RCT là các vành Một phần tử xe7' được gọi là nguyên trên R nếu x thỏa phương trình dạng :

x+ax"'+ +a,=0 (a,eR)

T được gọi là nguyên trên # nếu mọi phần tử của 7 là nguyên trên R khi đó ta cũng nói 7 là mở rộng nguyên của #

Định lý 1.3:

Cho R T là các vành Các phát biểu sau là tương đương:

) x€T là nguyên trên R

ii) R[x] la mét R -médun hitu han sinh

Trang 24

Luận văn tốt nghiệp Idéan nguyên tổ trong vành giao hốn

iv) Tơn tại một R[x] -médun trung thành M nhic la mét R- modun hitu hạn sinh Chứng minh : 1) =>ii) Vì xe7 là nguyên trén R nén 34,, ,a,€R sao cho: x" +ax"'+ 4a,=0 = x”” =-(ax””"'+ + a,x’) Vr20

Do đó bằng qui nạp ta có mọi lũy thừa nguyên dương của x đều năm trong

R -môđun sinh bởi I,x, ,x”" R[x] là #-môđun sinh bởi l,x, ,x”" ii) > iii) Chon R'= R[x] ta cé diéu phải chứng minh iii) => iv) Chọn M = R', R' là một R[x]-môđun trung thành vì yR'= 0 => y.1=0 IV) =>i) Vi M la mét R[x]-médun nén xM cM, do d6 x.x"" € M ,tức là tồn tai a,, ,a, # không đồng thời bằng 0 sao cho : xx”= -(ax"" + + a, ) Vay xeT languyéntrén R @ Hé qua 1.2:

Cho x,(1<i<n) la nhimg phan tử của 7 , mỗi phần tử đều nguyên

trên R Thì vành R{[x,, x„ | là một #-môđun hữu hạn sinh

Trang 25

an V nghié Idéan nguyén to V i

e V6i n=1 ding do i) cua dinh ly 1.3

e Giả sử véi n>1 thi R,, =R[x,, ,x,,] la R- médun hiv han sinh ¢ Tachimg minh R, = R[x,, ,x, ]l4 R-médun hitu han sinh Thật vậy ta

có R„=R„.[x„] là R„ ,-môđun hữu hạn sinh ( trudng hop n=1, x, nguyên trên R,.) Do đó R„ là R-môđun hữu hạn sinh.(do mệnh đề

1.14)

Hé qua 1.3:

Tập hợp C tất cả các phần tử của 7 mà nguyên trên R lập thành một

vành con của 7 chứa R8

Chung minh ;

Nếu x,yeC thì #[x, y] là R-môđun hữu han sinh, do 46 x + y , xy

là nguyên trên R Hé qua 1.4:

Cho RCC CT lacac vanh, néu C nguyén trén R, va T nguyén trén

C, thi 7T nguyên trên Ä

Chứng minh : Cho xe7, x là nghiệm của phương trình :

x"+ax"'+ 4a,=0 (a, EC)

Vanh C'= R{a,, ,a,] la R-médun hitu hạn sinh( do hệ quả 1.2), va C'[x]

là C'-môđun hữu hạn sinh (vì x nguyên trén C') Theo ménh dé 1.14 C'[x]

là #-môđun hữu hạn sinh và do đó x nguyên trên # (theo định lý 1.3) Định lý 1.4:

Cho Cho RCT' là các vành, T nguyên trên R

Trang 26

Luận văn tốt nghỉ Idéan nguyên tổ trong vành giao hoán

ii) Nếu S là tập con nhân tính của R, thì Sˆ'T là nguyên trên S 1B Định lý 1.5: Cho RCT' là các miền nguyên, T nguyên trên R Thì T là trường nếu và chỉ nếu R là trường Chứng mình : Giả sử # là trường, lẫy xeT,x # 0 Ta có : xh+ax”'+ +a =0 (ae) =a, =-(x"+ax"'+ +4,,x) x'=-a, (x" +ax"?+ +a )

Do 7 là miễn nguyên và a„ #0 nên x”' e7 Vi vậy 7 là trường

Trang 27

Luận văn tốt nghiệp Idéan nguyên tô trong vành giao hoán CHUONG II: CAC IDEAN NGUYEN TO TRONG VANH 2.1 Một số tính chất của iđêan nguyên tổ trong vành Định lý 2.1 :

Giả sử S là một tập con nhân của R, khi đó tôn tại một iđêan tối đại

trong tập các iđêan của R không giao với S, và mọi iÄêan như thế đều nguyén 16

Chứng minh:

Sự tồn tại iđêan tôi đại trong tập các iđêan không giao với S duge suy

ra từ bỗ đẻ Zorn( tập các iđêan không giao với Š không rỗng, vì có chứa idéan 0, và được sắp thứ tự bởi quan hệ =)

Giả sử P là phần tử tối đại trong tập đó Giả sử a,b R,ab e P nhưng

a¢ P va b¢ P Do P tối đại trong tập các iđêan không giao với Š nên (a,P) và (b, P) giao với S vi vay ton tai phan tir s,s'e S,c,c'e R, p, p'e P sao cho: s=ca+p,s'=c'b+p'

Ta cé: ss'=cc'ab+ p"(p"€ P)=> ss'e P (mau thuẫn voi PAS =) Vay

P nguyén to @

Dinh ly 2.2:

Cho R lavanh, A la mét R_ médun, I la idéan téi dai trong số các

iđêan ann(x), với xe A, x#0 Thì I là iđêan nguyên tố

Chung minh :

Trang 28

Luận văn tốt nghiệp lđêan nguyên to trong vanh giao hoan

=> cx = 0 => cax = acx = 0 => c € ann(ax), do tinh tdi đại của 7 nên ann(ax)= I, từ đó bax=0 >beann(ax)=I => bel

Vay / là iđêan nguyên tố, @

Định lý 2.3:

Cho ï là iđêan của R Gia sử l không hữu hạn sinh và là idéan toi đại trong tất cả các iđêan không hitu han sinh Thil la idéan nguyén td

Chứng minh : Giast abel, a¢l, bel

Taco (J,a)> 7 =(1,a) là iđêan hữu han sinh Gọi các phân tử sinh

của iđêan (1,a) là : ủ + x;4,i2 + Xađ, ,ía + xađ ( ñ,ly J„€ T)

(x,, ,x„ € R)

Goi J là tập J={ye R[yae!]} =beJ( do bae1) và I cJ

=Ja2 IE= Jlà iđêan hữu hạn sinh

Bây giờ ta chứng mình J =(i,i,, ,in,Ja)

Lẫy z e != z e(I,a) =z=u,(i + xị4)+ +„(i„ + X„3)

(M,,„, ,„ € Ñ ) = z = (mi, + + H„Ÿ„) + (x, + + u„x„)a

Vì z€l và (ui+ +ui)el = (uxy+ +u,x„)a€l

=> (Mx,+ +ux,)6J =z€ (sias-.slnsJ4)

=1 =(i,i›, la,Ja) = 1 là ¡đêan hữu hạn sinh ( mâu thuẫn với đẻ)

Vậy 7 là iđêan nguyên tố @

Định lý 2.4 :

Cho { P} la một dây chuyển các iđêan nguyên tô trong vanh R Thi UP,

Trang 29

Luận văn tốt nghiệ _ Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Chứng minh :

Dat S =R\P do P nguyên tố nên Š, là tập con nhân

Taco S =AS, la tap con nhén vi le S(doleS, Vi), va 0€S( do 0¢€S, Vi), lấy x,ye§ = x,yeS, Vi=xyeS Vi =xye6

Do d6 R\S=R\AS, =UR\S,=UP |a idéan nguyén té

Taco S'=WUS, ciing la tap con nhan vi le S'( le S, Vi), va 0¢ S'( do

O¢S', Vi), lay x,yeS'=3i:x,ye% (do {PB} là dây chuyển)

>xrweS >xyeS'

Do 46 R\S'=R\US, =AR\S, =P la idéan nguyén t6 @ Định lý 2.5 :

Cho! Ia idéan trong vanh R , P là iđêan nguyên tố chứal, thì P chứa trong nó một iđêan nguyên tổ tôi tiểu trong sô tất cả các iđêan nguyên tô chứa

I,

Chimg minh :

Nhung P vao day chuyén Ién nhat {P} cac idéan nguyén tố chita J, OP

la iđêan nguyên tổ và nó là iđêan tối tiểu trong tất cả các iđêan nguyên tố chứa I @

Định lý 2.6 :

ChoP <Q là các iđêan nguyên tố phân biệt trong vành R ,thì tồn tại các

iđêan nguyên tô phân biệt P,, O, thỏa PC Pc Q.CO và không có iÄêan

nguyên tố thực sự nào ở giữa P, và Ó,

Chứng minh :

Trang 30

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán Đặt Q, là giao của tất cả Ð mà chứa x,? là hợp của tất cả các P mà

không chứa x.Ta có ?và @, là các iđêan nguyên tố và thỏa PC hcQcQ

Bây giờ ta chứng minh không có iđêan nguyên tố thực sự nào ở giữa ? và Q Nếu có P nào trong dây chuyền mà chứa x thì QC ?,, nếu có ? nào trong dây chuyền không chứa x thì Ð c P Do tính lớn nhất của dây chuyển suy ra không có iđêan nguyên tổ thực sự nào ở giữa ® và Q, @

Định lý 2.7 :

Cho iđêan Ï và cho các iđêan nguyên to P,P,, P, cua mot vanh R,

Néu CUP, thi I< P véi i néo dé

Cho các iđêan I,,1,, ,1, và iđêan nguyên tố P của một vành R

Nếu POCSP, thì PO I, với ¡ nào đó, và do đó, nếu P = C^I, thì mM,

P=l với ¡ nào đó

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng qui nạp theo ø Hiển nhiên mệnh đề đúng khi ø = l

Giả sử mệnh đề đúng với n = k

hel

Trang 31

Vậy ton taijsaocho Jc v P va, theo gia thiét qui nap, taco J duge chita trong P nao do

Vậy mệnh đề đúng với n=k +1

+ Giả sử phản chứng Vi = I, ,nm /,\ P #@Ø Chọn x,c7,\P,V,=1,.,„ và

dat x= x,x, x, Vi xen, CP? nên 3j :x,e?P, vô lý!

Vậy PO I, với ¡ nào đó @

2.2 Iđêan nguyên tổ trong vành các thương

Định lý 2.8 :

Các iđêan nguyên tô trong vành các thương S”'R là tương ứng một-

một với các iđêan nguyên tô trong R mà không giao với S

Chứng mình :

Ta chứng minh P nguyên tổ trong R <> S”'P nguyén té trong S'R

(>)

Giả sử P nguyên tố, khi đó &/P là miền nguyên

Đặt Š là ảnh của S trong &/P Khi đó ta có S'!R/S"'PzSŠ"'(R/P) Do Š$~!(R/P) chứa trong trường các thương của R/P nén Š"'(&/P) là miền nguyên ( vì mọi phần tử khác không cùa Š'(&/ P) đều không là ước của không vì chúng là phần tử của trường thương ) và ta có $”'P là iđêan

nguyên to

(=)

Gia si S"'P 1a idéan nguyén td, xét dong cau vanh

Trang 32

Luận văn tốt nghiệp Idéan nguyên tổ trong vành giao hoán

=reP hay r'e Pdo đó P là iđêan nguyên tố @

Định lý 2.9 :

Nếu P là iđêan nguyên tô trong R Thì các iđêan nguyên tổ trong vành địa phương R, tương ứng một-một với các iđêan nguyên tổ trong R chứa trong P

Chung minh :

Dat S=R\ P, theo dinh lý 2.8 thì có sự tương ứng một-một giữa

iđêan nguyên tổ trong Šˆ'R# = R, với các iđêan nguyên tổ trong R mà không

giao với $Š, tức là các iđêan nguyên tố trong # mà chứa trong P @

2.3 Iđêan nguyên tổ trong vành mở rộng Định lý 2.10 :

Cho RGT' là các vành, T nguyên trên R, lấy Q là iđêan nguyên tố trong T và P=QcÑR Thì Q là tôi đại nếu và chỉ nếu P là tối đại

Chứng minh :

Do định lý 1.4 tacé T/Q nguyên trên R/P, và T/Q,R/P là những

miễn nguyên, theo định ly 1.5 7/Q là trường nếu và chỉ nếu &/P là trường hay là tối đại nếu và chỉ nếu P là tối đại @

Hé qué 2.1:

Cho RCT lacac vanh, T nguyén trén R, lay Q,Q" la idéan nguyén tố trong 7 sao cho QC Ø' và Q¬R=@'¬R=P Thì Q=Q'

Chứng minh :

Do định lý 1.4 ta có 7„ là nguyên trên R„ Lấy M là mở rộng của P

trong R„, W,M' là hai mở rộng của @,Q' trong 7„.Thì ta có M là iđêan tối

đại trong R„, MœŒ Ñ' và N¬R,=N'¬R„=M Do định lý 2.10 ta có

Trang 33

Luận văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Định lý 2.11:

Cho RCT' là các vành, T nguyên trên R, và P là iÄêan nguyên tô

Do định lý 1.4 ta có 7„ là nguyên trên R,, va biéu đồ sau giao hoán

Trong đó œ, Ð là những đơn ánh Lấy là idéan tối đại của 7„, thì

M =NnR, là iđêan tối đại (do định lý 2.10) và là iđêan tối đại duy nhất của vành địa phương R„ Nếu Ø=''(M) thì @ là iđêan nguyên tổ và ta có

Ø¬R=ơ'(M)= P (do biểu đồ giao hoán) @

Định lý 2.12( Going-up)

Cho RCT là các vành, T nguyên trên R, cho P,C C P, là một

dây chuyên các iÄêan nguyên tô của R và Q, G CQ„ (m<n) là một dây

chuyên các iđêan nguyên tô của T sao cho P.=Q,fxR (L<¡<m)

Thì dây chuyên Q< c<ỚØ, có thể mở rộng tới một dây chuyên @,< cŒ, sao cho P =Q, R với Ì Si <n

Chung minh :

Ta sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh định lý này

Trang 34

iđêan nguyên tổ Ở, của 7 sao cho Ở,+R= ,, P, là ảnh của P, trong Ẽ Do đó ta có iđêan nguyên tố Z, thỏa mãn định lý

Giả sử định lý đúng với m=—1,m= k—1(1 < k), tức là dây chuyền

0,6 Q,, 6 thể mở rộng tới dây chuyền CC ceÐ

Ta chứng minh định lý khi m = ¡, n = &, tức là chứng minh dây chuyền Ø, G C Ó, có thể mở rộng tới dây chuyền Q, G C @, Điều này

được suy ra từ trường hợp m = l, n = 2, khi chọn @',=@,., và P,Ò=F, P',=f, do đó định lý được chứng mình (@ 2.4 Iđêan nguyên tổ trong vành chính và vành nhân tử hóa Định lý 2.13 : Trong vành chính R,r là phân tử nguyên tố khi và chỉ khi r là phân tử bắt khả quy Chứng minh :

r là phần tử nguyên tố thì r là phần tử bất khả quy( theo mệnh đề 1.7 )

Lay la phan tử bat khả quy Giả sử (r)C B, 8 là một iđêan của R Vì R

là vành chính nên 8 =(ð) (be R), vì vậy r=ab (ae R) Vì r bất khả quy nên ta có r~a hoặc r~b, do đó 8= hoặc 8=(r) nên (r) là iđêan tối

đại nên là iđêan nguyên tố do vậy r là phần tử nguyên tố

Nhận xét 2 I:

Trong vành chính một iđêan là nguyên tố khi và chỉ khi nó được sinh

bởi một phần tử bất khả quy @

Trang 35

Luan van tốt nghiệp lđêan nguyên to trong vanh giao hoan

Trong vành nhân tử hóa R,r là phân tử nguyên tố khi và chỉ khi r là

phân tử bắt khả quy

Chứng mình :

r là phần tử nguyên tổ thì r là phần tử bất khả quy (theo mệnh đề 1.7) Lấy r là phần tử bất khả quy Giả sử r|ab = ab=rx Vì là vành nhân tử hóa nên ta có thể biểu diễn các phần tử của nó duy nhất dưới dạng tích các phần tử nguyên tố, do đó ta có thể viết a= PẠP; P,., P=qq; q„, x=tt,.d®,, từ dd ta 6 P.P› .P,4,4;- 4„ = ril; 4, => r ~ p, hoặc r~q, =r|a hoặc r|b Vậy r là phần tử nguyên tố (2) Nhận xét 2.2 :

Nếu là một vành nhân tử hóa, thì mọi phần tử bất khả qui p đều sinh

ra iđêan nguyên tô (p) Vì vậy trong vành nhân tử hóa, các phần tử bắt khả

qui cũng được gọi là các phần tử nguyên tố

Định lý 2.15:

Một miễn nguyên R là vành nhân tử hóa nếu va chi néu moi idéan nguyên tô khác 0 trong R đều chứa một phản tử nguyên tổ

Chứng minh -

(=)

Gia sit R 1a vanh nhan tir héa, P la idéan nguyén t6 trong R, P #0 suy ra tôn tại phần tử ae P, a#0, a khéng kha nghich Do R 1a vanh nhan

tử hóa nên ta có thể viet a= P,P›- P„ p, là phần tử nguyên tố Do aeP, P

nguyên tố nên tôn tại p, e P Vậy P chứa một phân tử nguyên tố

Trang 36

Luận văn tốt nghiệp Idéan nguyên tô trong vành giao hoán

Giả sử mọi iđêan nguyên tố khác 0 trong #& đều chứa một phần tử

nguyên tô Gọi Š là tập tat cả các tích của các phần tử nguyên tó

Đẻ chứng minh ®# là vành nhân tử hóa ta chỉ cần chỉ ra $ chứa mọi phân

tử của # mà khác không và không khả nghịch

Giả sử tồn tại e e #, e #0, e không khả nghịch mà e £ $ Do 6$ là tập

con nhân bão hòa (theo mệnh 1.9) nờn (c)/ơ Đ = ỉ Theo định lý 2.1 ta có

thể mở rộng (c) tới iđêan nguyên tổ P, P¬S=Ø, suy ra P chứa một phần

tử nguyên tố, điều ny mõu thun vi Pơ.Đ =@Ø Vậy Š chứa mọi phần tử

cua R mà khác không và không khả nghịch suy ra # là vành nhân tử hóa.(@ Định lý 2.16:

Mỗi vành chính là một vành nhân tử hóa

Chứng mình :

Dé chứng minh & là vành nhân tử hóa ta chứng mình mọi iđêan nguyên tố khác 0 trong & đều chứa một phần tử nguyên tố

Lấy P là iđêan nguyên tố khác 0 bất kì trong &, vì # là vành chính

nên ? là iđêan chính , giả sử P =(p), vì P là iđêan nguyên tố nên p là

phần tử nguyên tố Ta có pe P do đó theo định lý 2.15 # là vành nhân tử

hóa @

Nhận xét 2.3:

Vành nhân tử hóa không nhất thiết là vành chính, cụ thể như:

Z{x].Q[x y].R[x, y] là vành nhân tử hóa nhưng không phải là vành

chính vì (n,x) của Z[ x], (x,y) cba Q[ x,y], R[ x,y] khong la cdc idéan

Trang 37

Định lý 2.17:

Giả sử K là một trường Khi đó vành đa thức một biến K[x] là vành chính

Chứng minh :

Giả sử 7 là một iđêan của K[x]và7 # 0 Giả sử ø là một phân tử

thuộc / , bậc bé nhất >0và ƒ là một phần tử khác không bất kỳ thuộc /

Khi đó tồn tại 4,r e K[x] sao cho

ƒ=qg+r

va degr <degg Nhung r = ƒ —4g, do đó r nằm trong 7 Vì g có bậc bé

nhất >0 nên =0, tức là 7 gồm tất cả các đa thức dạng 4ø ( trong đó

q€K[>x]) Vậy 7 là iđêan chính @

Hệ quả 2.2: K[x] là vành nhân tử hóa

2.5 Một số tính chất của G_miền

Định lý 2.18 :

Cho R là miền nguyên với trường các thương K Cho u e R,u # 0

Các phát biểu sau tương đương :

i) Bat kì iđêan nguyên tố khác không của R đều chứa u

Trang 38

Luân văn tốt nghiệp Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Xét $= {I,u,u’, ,u", } thì S là tập con nhân tính và § + = Ø Theo định

lý 2.1 ta có thể mở rộng / đến iđêan nguyên tổ P m PơĐ=ỉ, do ú P

không chứa (mâu thuần với i)) nên / chứa một lũy thừa của

ii)=> iii)

Lay be R,b+#0

Từ ii) ta có iđêan (b) chứa u" = u" =be => b =cu™ € R[ uv" | Điều này

đúng cho mọi #0 nên K = Riu |

iii) => i)

Lẫy P là iđêan nguyên tô khác không bắt kì, lầy be P Vì

K=R[u"'|=b'=cu"(ceR,neZ)=u" =bc eP=ue P (vì P nguyên tổ) @ Định ly 2.19: Mién nguyén R chi cé hitu han idéan nguyén té la G_ mién Chứng minh : Giả sử & có hữu hạn iđêan nguyên tổ khác không là P,P, ,P, Xét =P la idéan cia R

Néu P la idéan nguyên tố thì P= P, với / nào đó từ 1 dén n(djnh ly 2.7), do đó P không là iđêan nguyên tố Vì & là miền nguyên nên 0 là

iđêan nguyên tố do đó P #0 Lay ue P nghia u la nam trong moi idéan

nguyên tố của # điều này tương đương với K = R[ˆ' | ( K là trường các

thương của #) (do định lý 2.18) suy ra # làG_ miễn @

Định lý 2.20 :

Một vành chính R là G_ miền nếu và chỉ nễu R có hữu hạn phân tử

Trang 39

ân van tot nghié lđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Chứng minh :

R làG miền nên trường các thương K = B với c e R, vì R là vành

c

chính nên ta có thé viết ¢ = p,p, p, voi p, là các phần tử nguyên tổ trong R Ta có & chỉ chứa hữu hạn các phần tử nguyên tổ là p, vi giả sử trong R còn có phân tử nguyên tô p # p, thì rõ ràng phân tử te K (diéu nay mau

P

thuần )

(=)

R là miền iđêan chính có hữu hạn phần tử nguyên tổ nên có hữu han iđêan nguyên tổ do đó theo định lý 2.19 thì # là G_ miền @

Định lý 2.21 :

Nếu R là một miền nguyên thì R[x] không là một G_ miễn

Chứng minh :

Lay K là trường các thuong cla R Néu R[x] 1a G_ mién thi K[x] cũng là G_ mién.Dé chimg minh R[x] khéng là G_ miền ta cần chỉ ra K[x] không là G_ miền Nhưng K[>x] là vành chính (theo định lý 2.17), vì vậy ta

Trang 40

Vậy K[x] có vô hạn đa thức bất khả qui nên K[x] không là G_ miền , do

đó R[x] không làG_ miền @

Định lý 2.22:

Cho RCT' là các miền nguyên và giả sử T là đại số trên R và như là một vành hữu hạn sinh trên R Thì R là G_ miền nếu và chỉ nếu T là G_

miễn

Chứng minh :

Lay K,L lần lượt là trường các thương của R,T

(=)

Gia sir R 1aG_mién, lic dé K =R[u] , vi T[u"'] 1a mién dai 86 trên trường K nén T[u"'] la trudng = L= 7|" |=T làG_ miền

(<=)

Giả sử 7 là một G_ miền , khi đó z=7[ v”' |, do 7 là vành hữu hạn sinh trên R, viet T= R[w,, ,w,], cdc phần tử v”,w,, „w, L, mà L đại

số trên K( vì 7 đại số trên R) nén v"',w,, ,w, dai so trén K Ta cé cdc

phuong trinh sau :

av" +,,.=0

bw"+ =0 (i=l, ,k)

( Hệ số của các phương trình trên nằm trong &)

Gắn các phần tử a'',"}, ð;' với R ta được một vành R, mà

RcR cK

Ta có L được sinh ra trên # bởi các phan tr v',,, ,, do d6 cing

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	2,57 MB