Nguyên lý iđêan nguyên tố trong đại số giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ CẨM VÂN NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ CẨM VÂN NGUYÊN LÝ IĐÊAN NGUYÊN TỐ TRONG ĐẠI SỐ GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016 Người viết luận văn Trần Thị Cẩm Vân i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Ngun Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Đồn Trung Cường (Viện Tốn học Việt Nam), thầy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng sau Đại học, q thầy khoa Tốn, bạn học viên lớp cao học Toán k21b k22 tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, bạn bè ln động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016 Người viết luận văn Trần Thị Cẩm Vân ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Iđêan nguyên tố iđêan cực đại 1.1.1 Mối quan hệ iđêan nguyên tố iđêan cực đại 1.1.2 Sự tồn iđêan nguyên tố Phạm trù Nguyên lý iđêan nguyên tố 2.1 Họ iđêan nguyên lý iđêan nguyên tố 2.2 Ứng dụng nguyên lý iđêan nguyên tố 17 2.3 2.2.1 Iđêan linh hóa tử điểm 20 2.2.2 Iđêan cốt yếu 21 2.2.3 Iđêan khả nghịch 22 Phạm trù môđun xyclic Kết luận 30 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Trong đại số giao hoán, tồn iđêan nguyên tố có số kết thường gặp trình học đại số giáo hốn Ví dụ Định lý Cohen: Tồn iđêan nguyên tố vành giao hoán Định lý [Ka2 , p.1].Cho S tập đóng nhân vành giao hốn R, I tập iđêan khơng giao với S Khi iđêan cực đại I ln ngun tố Ngồi có kết khác Herstein, Isaacs Mặc dù quan trọng kết xuất cách rời rạc khơng hệ thống Đó lí tác giả Lam Reyes tiến hành nghiên cứu cách hệ thống nguyên lý iđêan nguyên tố báo " A prime ideal in commutative algebra ", J.Algebra 319, (2008), 3006-3027 Mục đích luận văn trình bày lại báo Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày kiến thức cho Chương Cụ thể hơn, chúng tơi trình bày đặc trưng iđêan nguyên tố, kết liên quan đến tồn iđêan nguyên tố Cohen, Herstein, Isaacs Phần cuối chương dành để nhắc lại vài kiến thức sở phạm trù Nội dung luận văn Chương 2, nguyên lý iđêan nguyên tố Cụ thể, chúng tơi trình bày họ iđêan ngun lý iđêan ngun tố Tiếp theo dựa chúng tơi nêu ứng dụng nguyên lý iđêan nguyên tố iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu iđêan khả nghịch Cuối chương phạm trù môđun xyclic Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn luận văn, ta ln xét R vành giao hốn có đơn vị Ở chương này, nhắc lại số kiến thức iđêan nguyên tố vành giao hoán 1.1 Iđêan nguyên tố iđêan cực đại Trong tiết nhắc lại định nghĩa số đặc trưng iđêan nguyên tố iđêan cực đại 1.1.1 Mối quan hệ iđêan nguyên tố iđêan cực đại Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán I iđêan, I ⊆ Rvà I = R Khi I iđêan nguyên tố xy ∈ I x ∈ I y ∈ I với x, y ∈ R.Tập iđêan nguyên tố kí hiệu Spec(R) gọi phổ iđêan nguyên tố vành R Ví dụ 1.1.2 Trong Z, nZ iđêan nguyên tố n = n số nguyên tố i đêan nguyên tố vành Z Định lý 1.1.3 (Định lý đặc trưng) Cho I iđêan vành R Khi I iđêan nguyên tố R/I miền nguyên Chứng minh (⇒) Giả sử I iđêan nguyên tố R Khi đó, R/I = {x + I | x ∈ R} vành thương R I Vì I iđêan nguyên tố nên I = R R/I có nhiều phần tử Phần tử đơn vị R/I + I Do R/I vành giao hoán nên R/I vành giao hoán Giả sử x + I, y + I ∈ R/I mà (x + I)(y + I) = + I, xy + I = + I , xy ∈ I Do I nguyên tố nên x ∈ I y ∈ I Suy x + I = I y + I = I Vì R/I vành giao hốn khơng có ước hay R/I miền nguyên (⇐) Giả sử R/I miền nguyên, R/I có nhiều phần tử suy R = I Giả sử x, y ∈ R xy ∈ I suy xy + I = I hay (x + I)(y + I) = I = + I Vì R/I khơng có ước nên x + I = I y + I = I , x ∈ I y ∈ I Vậy I iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.1.4 Cho R vành giao hoán, I iđêan, I ⊆ R, I = R Khi đó, I iđêan cực đại vành R tồn iđêan J I J J = R Ví dụ 1.1.5 Vành Z6 có hai iđêan cực đại 2Z6 = {0, 2, 4} 3Z6 = {0, 3} Định lý 1.1.6 (Định lý đặc trưng) Cho I iđêan vành R Khi đó, I iđêan cực đại R/I trường Chứng minh (⇒) Giả sử R/I trường, R/I có nhiều phần tử R = I Giả sử, J iđêan R J I, tồn x0 ∈ J/I Xét x0 + I ∈ R/I, x0 ∈ / I nên x0 + I khả nghịch tức tồn x0 + I cho (x0 + I)(x0 + I) = x0 x0 + I = + I hay = x0 x0 + y với y ∈ I mà x0 ∈ I nên ∈ I ⊆ J Do đó, ∈ J , suy J = R Vậy I iđêan cực đại (⇐) Giả sử I iđêan cực đại R suy R = I Do đó, R/I = Vì R vành giao hốn có đơn vị nên R/I vành giao hốn có đơn vị + I Giả sử, x + I ∈ R/I x + I = I suy x ∈ / I Xét iđêan J R mà J = I + xR suy I ⊆ J x ∈ J Do I cực đại nên 1R = y + xx1 ∈ J suy + I = (y + xx1 ) + I = xx1 + y + I = (x + I)(x1 + I) Suy x + I khả nghịch Vậy R/I trường Định lý 1.1.7 Trong vành giao hoán R, iđêan cực đại iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử I iđêan cực đại R Với a, b ∈ R, giả sử ab ∈ I a ∈ / I Khi I + (a) iđêan R I I + (a) Vì I cực đại nên I + (a) = R Khi đó, tồn tai phần tử u ∈ I, v ∈ R cho = u + va suy rb = bu + v(ba) ∈ I Vậy I iđêan ngun tố Điều ngược lại khơng Ví dụ 1.1.8 Trong vành Z, iđêan {0} iđêan nguyên tố khơng phải iđêan cực đại 2Z iđêan Z {0} ⊆ 2Z = Z Định nghĩa 1.1.9 Cho F họ iđêan R với R ∈ F Khi đó: i) F phần bù F ( gồm tất iđêan R ∈ / F ) Max(F ) tập phần tử cực đại F ii) F họ M P (cực đại nên nguyên tố) Max(F ) ⊆ Spec(R) 1.1.2 Sự tồn iđêan nguyên tố Các kết tồn iđêan nguyên tố vành giao hoán kết quan trọng Đại số giao hoán Trong phần chúng tơi trình bày lại số kết quan trọng số Định lý 1.1.10 Trong vành giao hốn iđêan ngun tố ln tồn Định lý 1.1.11 (Định lý Cohen.) Cho S tập đóng nhân Luôn tồn iđêan nguyên tố cho P ∩ S = ∅ Định lý 1.1.12 (Định lý Herstein.) Cho R− môđun M khác Giả sử I iđêan tối đại iđêan có dạng Ann(x) với x = ∈ M Khi I nguyên tố Định lý 1.1.13 (Định lý Isaacs.) Giả sử I iđêan cực đại iđêan khơng vành R Khi I nguyên tố 1.2 Phạm trù Lý thuyết phạm trù đời vào khoảng năm 1945 Có nhiều cách để định nghĩa phạm trù Định nghĩa mà ta đưa sau nhằm thích hợp cho loại phạm trù quen biết phạm trù nhóm, nhóm Abel đặc biệt phạm trù môđun, loại phạm trù sau động lực cho phát triển lý thuyết phạm trù Định nghĩa 1.2.1 Một phạm trù K cho bởi: (K1 ) Một lớp vật Ob(K) mà phần tử Ob(K) gọi vật phạm trù K.) (K2 ) Hai vật A, B tùy ý Ob(K) xác định tập hợp M orK (A, B) gọi tập hợp cấu xạ từ vật A đến vật B cho với hai cặp khác vật (A, B) = (C, D) thì: M orK (A, B) ∩ M orK (C, D) = (K3 ) Với ba (A, B, C) tùy ý vật Ob(K) ln có ánh xạ M orK (B, C) × M orK (A, B) (a, b) → ba ∈ M orK (A, C) gọi phép nhân , cho điều kiện sau thỏa mãn: • Tính chất kết hợp: Với a ∈ M orK (A, B), b ∈ M orK (B, C), c ∈ M orK (C, D) (ab)c = a(bc) • Có đồng nhất: Với vật A ∈ Ob(K) tùy ý tồn cấu xạ 1A ∈ M orK (A, A) gọi phần tử đồng cho a1A = 1B a = a, với a ∈ M orK (A, B) Khi phạm trù K xác định trước tiện ta viết M or(A, B) thay cho M orK (A, B) kí hiệu M or(K) = ∪A , B ∈ Ob(K)M or(A, B) Ngoài ta viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K), Định nghĩa 1.2.2 Cho K phạm trù G ⊆ K, G gọi phạm trù phạm trù K G phạm trù dạng ax, a ∈ R Đặt H = I : J = {a ∈ R : ax ∈ I} Suy I = xH = JH = J(I : J) Nhận xét 2.2.22 Đẳng thức I = J(I : J) nói chung khơng trường hợp tổng quát Thật xét R = K[X, Y ], I = (x), J = (x, y) Suy I iđêan nguyên tố Do I : J = I Vì J.(I : J) = J.I = (x, y)(x) = (x2 , xy) (x) = I Tiếp theo nêu kết cho iđêan khả nghịch Kết Max(F ) ⊆ Spec(R) Mc Adam đưa trường hợp đặc biệt miền nguyên Sử dụng định lý phân tích, nghiên cứu họ monoid iđêan khả nghịch chứng minh giả thiết tổng quát với vành giáo hoán Mệnh đề 2.2.23 Cho F họ monoid iđêan khả nghịch R Khi F Oka mạnh F họ M P Chứng minh Ta kiểm tra tính chất O4 Lấy I, J iđêan (R) cho I ⊆ J thỏa mãn J, (I : J) ∈ F Cần chứng minh I ∈ F Thật J khả nghịch nên J ∈ F Theo định lý phân tích có I = J(I : J) vìJ, (I : J) ∈ F Mặt khác F monoid nên I = J(I : J) ∈ F Nhận xét 2.2.24 Họ F nói chung khơng Ako Do Oka mạnh không √ √ Ako Thật vậy, xét R = Z( 5) = {n + m 5; m, n ∈ Z}, F = 24 √ √ { tất iđêan khả nghịch Z[ 5]} Xét I = (2 + 5), a = Ta có √ I + aR = (2 + 5, 2) = 2R Suy (I + aR) R2 = R Vì I + aR ∈ F Mặt khác ta có √ √ I + a2 R = (2 + 5, 4) = 2(1 + 5, 2) Vì (1 + √ 5, 2) không khả nghịch nên I + a2 R ∈ / F Vì F khơng Ako Hệ 2.2.25 Vành R vành Dedekind iđêan nguyên tố khác khả nghịch Chứng minh Cho F họ tất iđêan khả nghịch R Theo 2.2.23 F Oka mạnh Ta cần chứng minh I hữu hạn sinh Ta có II −1 = R nên = II −1 Do đó, n bi , ∈ I, bi ∈ I −1 1= i=1 Đặt I = (a1 , , an )R ⊆ I Với a ∈ I , ta có n a= (abi ) i=1 Vì II −1 n (abi ) ∈ I Vì vậy, I ⊆ I = R nên abi ∈ R Suy a = i=1 Tiếp theo, ta chứng minh I khả nghịch Với a ∈ I \ {0}, giả sử :R a = (0) Theo 2.1.9, ta có J := :R a ∈ F, JJ −1 = R nên ∈ JJ −1 Lại có n 1= ui vi , ui a = 0, i=1 với vi ∈ J −1 Lấy n a= (aui )vi = 0, i=1 mâu thuẫn 25 Bây tập trung nghiên cứu họ iđêan thông qua số phần tử sinh chúng Tổng qt hơn, cho R - mơđun M , cho µ(M ) ký hiệu cho µ lớn cho M sinh µ phần tử Mệnh đề 2.2.26 Cho tập hữu hạn cố định α Fα ( tương ứng F