tiểu luận tích tenxơ

Tiểu luận này giúp cho sinh viên nghiên cứu về phần dồng cấu mô đun, tổng tích trực tiếp, tích len xơ và các định nghĩa định lí liên quan trong môn đại số đại cương nâng caoTích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều nghành toán học khác như giải tích, đại số và hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,….Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán họcThấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của tích tenxơ, mong muốn được mở rộng kiến thức và học hỏi, bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về tích tenxơ. Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại số đại cương nâng cao’ tôi xin chon đề tài “Tích tenxơ ” làm đề bài tiểu l

Phần A Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài.

Tích tenxơ là phép toán quan trọng của toán học Các kết quả của phép tínhtenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều nghành toán học khác như giải tích, đại số vàhình học Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngànhkhoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hóa học, sinh học,….Phép tính tenxơ vừa

là công cụ, vừa là đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học

Thấy được tầm quan trọng và ứng dụng thực tiễn của tích tenxơ, mong muốnđược mở rộng kiến thức và học hỏi, bản thân trong việc tìm hiểu, nghiên cứu về tíchtenxơ Cùng với sự giúp đỡ của giảng viên bộ môn ‘Đại số đại cương- nâng cao’ tôi

xin chon đề tài “Tích tenxơ ” làm đề bài tiểu luận cho mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề tài có mục đích tìm hiểu sâuhơn về tích tenxơ và từ đó giải một số bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống lí thuyết, các định nghĩa, Định lí, mệnh đề vềtích tenxơ

4 Đối tượng nghiên cứu

- Tích tenxơ của hai môđun

- Tích tenxơ của hai đồng cấu

- Tích tenxơ và dãy khớp

- Tích tenxơ của các tích trực tiếp và các tổng trực tiếp

- Quan hệ giữa Hom và tích tenxơ

5 Phạm vi nghiên cứu

- Hệ thống lí thuyết về tích tenxơ

- Các kiến thức liên quan

6 Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại các kiến thức đã học

- Phân tích các nội dung kiến thức cần nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, mạng internet

- Hỏi ý kiến chuyên gia

7 Đóng góp của đề tài

Phần B Nội dung

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Nếu Tiên đề  M3 được thay bởi , ab x b ax    thì M được gọi là một A-môđun

phải Và ta thấy ngay, nếu vành A giao hoán, thì hai khái niệm môđun trái và môđun

phải là như nhau Cũng cần lưu ý rằng, nếu trình bày môđun phairtheo kiểu phần tử vôhướng đặt ở bên phải thì khi đó Tiên đề  M3 sẽ được viết là x ab        xa b bởi ta có

                

x ab  ab x b ax  ax b xa b

Trong toàn bộ giáo trình này, ta chỉ xét các lớp môđun trái, và để thuận tiện, ta

sẽ dùng từ ‘môđun’ thay cho ‘môđun trái’

1.3 Ví dụ

(i) Mỗi ideal trái của vành A là một A-môđun Đặc biệt, mỗi ideal của A là một

A-môđun và bản thân A cũng là một A-môđun

(ii) K là một trường, thì các k-môđun chính là các không gianvectơ trên K

(iii) Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là Z-môđun với phép toán nhân ngoài

được xác định như sau: Với mỗi x M� và n Z� , thì nx x x x           x (tổng gồm n phần tử x) với n nguyên dương '

1

1

( ) 0 ( 0 ) 0

Với mỗi Amôđun M, ta luôn có:

(i) 0    0     0A x Ma Mvới mọi x M� và mọi a A�

(ii)  a x     ax a      x với mọi x M� và mọia Ax v�

Chứng minh.

Bởi 0     0    0A x ( A A)x   0    0  A x A x

A-(i) f x y    f x( ) f y( ) với mọi x y M, �

(ii) f x(a )  fa x( )với mọia A� và mọi x M�

Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng được

gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Nếu f M    0M' thì f được gọi là đồng cấu

không và thường được viết là 0 Ta kí hiệu K fer  f 1 0 và gọi nó là hạt nhân hay

hạch của f, còn Im f  f M được gọi là ảnh của f. Cok fer M'Im f được gọi là đối

hạch của f, còn Coim f M K fer được gọi là đối ảnh của f Một đồng cấu từ M vào M

được gọi là một tự đồng cấu của M Hai A-môđun M và M’ được gọi là đẳng cấu, và

viết là M M', nếu tồn tại một đẳng cấu A-môđun từ M đến M’

2.2 Nhận xét

Cho một A-đồng cấu môđun f : M � M' Khi đó f là đồng cấu không khi và

chỉ khiK fer M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f M, nên f    x f x  với

� cho bởip x  x là một đồng cấu A-môđun Hơn thế nữa, p

còn là một toàn cấu, được gọi là toàn cấu chiếu chính tắc Toàn cấu này có Kerp N     ,

(ii) Với mỗi môđun con N của một A-môđun M, ánh xạ nhúng

với mọi a b A, � và mọi x y M, �

Cho A và N là các A-môđun, kí hiệu Hom M N A( , ) là tập tất cả các A-đồng cấu

Tập Hom M N A ,  với các phép toán xác định như vậy, trở thành một Amôđun,

được gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N Chú ý rằng khi vành A không giao hoán,

 , 

A

Hom M N chỉ là một nhóm Aben với phép cộng đồng cấu

3 Tích và tổng trực tiếp các môđun

Cho I là một tập khác rỗng Giả sử(M)  �I là một họ các A-môđun chỉ số

hóa bởi I Kí hiệu M ��I M là tích Descartes của họ (M �) I Khi đó có thể xây

dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của A với các phần tử của M

môđun M xây dựng như trên được gọi là tích trực tiếp của các họ các

A-môđun M � I NếuM N với mọi �I thì ta kí hiệuП�I M bởiN I

Bây giờ trong M ��I M ta lấy ra tập con �Ibao gồm tất cả các phần tử

của M với các thành phần bằng 0 hầu hết, chỉ trừ một số hữu hạn thành phần có thể

khác 0 Khi đó với mọi    

A-môđun ��I Mđược gọi là tổng trực tiếp của họ các A-môđun ��I M

Nếu M Nvới mọi  �Ithì ta kí hiệu ��I Mbởi N

3.3 Nhận xét

Nếu họ các A-môđun M � Ichỉ gồm một số hữu hạn các môđun thì tích trực

tiếp và tổng trực tiếp của nó là như nhau Nếu coi vành A là A-môđun, thì tích trực tiếp của n A-môđun A kí hiệu là A'' Đặc biệt Z-môđun Z n được gọi là lưới nguyên trong

không gian n-chiều thực

Dãy (1) được gọi là khớp tạiM nnếuImn1 Kern;

Dãy khớp với 5 môđun: 0�M ���f M'���g M''�0 (*)

được gọi là dãy khớp ngắn Imf Kerg     .

(*) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cầu và Imf Kerg     .

Khi đó, do f là đơn cấu nên ta đồng nhất M' Im� f Kerg và do g là toàn cấu

nênImg M '' Do vậy theo định lý đồng cấu môđun, ta có

M K g er Img hay M M ' M''

4.2 Mệnh đề:( Tiêu chuẩn chẻ ra của dãy khớp ngắn)

Giả sử: 0�M ���f M'���g M''�0 là dãy khớp ngắn các môđun Khi đócác điều kiện sau là tương đương:

(i) f có nghịch đảo trái, tức :M �M'là đồng cấu, sao cho  f id M.

(ii) g có nghịch đảo phải, tức:M'' �M là đồng cấu, sao chogid M''.

Khi những điều kiện đó được thỏa mãn thì:

M Imf     �Ker    Kerg�Im   M’ �M''

Chương II Tích tenxơ

1 Tích tenxơ của hai môđun.

1.1 Ánh xạ song tuyển tính.

Giả sử V là một vành, E là một V-môđun phải, F là một V-môđun trái, G là một

Z-môđun

Một ánh xạ f từ tích Descartes E �F của hai tập hợp E và F tới G được gọi là

song tuyến tính, nếu và chỉ nếu,  x1, x 2 E,  y1, y 2 F,   V, ta có:

1.2 Định nghĩa tích tenxơ của môđun.

Giả sử E là một V-môđun phải và F là một V-môđun trái Ta gọi là tích tenxơ của E và F, một cặp (T, f) gồm một Z-môđun T, và một ánh xạ song tuyến tính f :

E F� �T , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi Z-môđun G và mọi ánh xạ song

tuyến tính g E F: � �G , tồn tại duy nhất một Z-đồng cấu h T: �G để cho g hf ,

tức là biểu đồ sau giao hoán:

1.3 Các hệ quả của định nghĩa.

Từ định nhĩa trên, hoàn toàn như trong trường hợp V-môđun tự do, ta suy ra

được các hệ quả sau:

(i) Nếu (T, f ) là một tích tenxơ của E và F thì f E F( � ) sinh ra T Tuy nhiên,

f ở đây là một ánh xạ song tuyến tính Vì vậy nói chung nó không thể là đơn ánh

được, trừ khi E và F đều bằng 0 Thật vậy vì

       f x, 0  f x, 0 0   f x, 0  f x, 0

        0, 0 0, 0, 0, f y  f  y  f y  f y

nên f x , 0 0 0,    f  y Nhưng x, 0 �0, y, trừ khi x 0 , y 0 .

(ii) Nếu (T, f ) và (T’, f ') là những tích tenxơ của E và F thì tồn tại một đẳng

của duy nhất : T T ' sao cho f’  f .

1.4 Sự tồn tại của tích tenxơ.

Cho V-môđun phải E và V-môđun trái F Ta sẽ chứng minh rằng tích tenxơ của

chúng bao giờ cũng tồn tại

Ta xét tích Descartes E F� của các tập hợp E và F, và dựng Z-môđun tự do

sinh ra bởi E F� Đó là một cặp gồm một Z-môđun, mà ta kí hiệu là C Z E  �F,

và một đơn ánh : E F� �C , thỏa mãn tính chất độc xạ sau: đối với mọi Z-môđun G

và mọi ánh xạ g E F: � �G tồn tại duy nhát một Z -đồng cấu k C: �G để cho g kj ,

tức là biểu đồ sau giao hoán:

Gọi D là Z -môđun con của C sinh ra bởi các phần tử có dạng:

Giả sử bây giờ G là một Z-môđun tùy ý và g E F: � �G là một ánh xạ song

tuyến tính bất kì Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một Z -đồng cấu b T: �G sao cho ta

có g hf .

Muốn vậy ta lấy ảnh bởi k của các phần tử sinh của D Nếu tất cả các ảnh này

đều bằng 0 thì ta sẽ có D�Kerk Khi đó, theo tính chất độc xạ của môđun thương, sẽ

tồn tại một Z -đồng cấu duy nhất h: C D/ �G sao cho ta có k hp .

Giả sử f : E V �E V’ là một đồng cấu của V -môđum phải, g: V F �V F' là một

đồng cấu của V -môđum trái.

Ta xét các tích tenxơ E�V F và E'�V F' cùng với các ánh xạ tenxơ  :

rõ ràng là song tuyến tính Vậy theo tính chất độc xạ của tích tenxơ, tồn tại duy nhất

một Z -đồng cấu h E: Į�V F E' V F' sao cho biểu đồ giao hoán:

là khớp thì đối với mọi V-môđum trái F, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben

Vì (g�1)(f �1)gf �1 0 1 0 �  , nên tính chất độc xạ của Coker, tồn tại một

Z-đồng cấu h coker f: ( �1)�E”�V F sao cho ta có g�1hp Từ đó suy ra:

h E Į�F Coker f sao cho kh và hk là những ánh xạ đồng nhất

Để xác định k, ta hãy tự cho một ánh xạ song tuyến tính từ E'' �F tới

và E�V F Im f/ ( �1)trên các phần tử sinh của chúng, do đó ta phải có:

Nếu dãy đồng cấu V-môđum trái: F��� ���f F g F''� 0

là khớp, thì đối với mọi V-môđun phải E, dãy cảm sinh các đồng cấu nhóm aben

Đặt V F'F'V0, V F F V0, V F''F''V0, E V V0E , trong đó V 0 là vành đối của V,

ta có dãy khớp các đồng cấu V 0- môđum phải

Nói chung nếu: 0�E'��� ���f E g E''�0 (1)

là một dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải và nếu F là một V-môđun trái thì

không thể kết luận rằng dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben

Giả sử dãy đồng cấu V-môđun phải A��� ��� �f B g C 0

và dãy đồng cấu V-môđun trái A'���f' B'���g' C'�0

là khớp Khi đó trong biểu đồ chín sau đây

các dòng và các cột là khớp và mỗi hình vuông là giao hoán Ngoài ra dãy

(A�V B B)( �V A')���������ľ�����f � � �f B V B' g�g C C'�0 (1)

trong đó (f �1) (�1�f )' là đồng cấu cảm sinh bởi f �1 và 1�f ' theo tính chất độc

xạ của tổng trực tiếp là khớp

Chứng minh.

Thật vậy, theo Định lí 3.1 các dòng và theo Định lí 3.2 các cột của biểu đồ chín

là khớp Các hình vuông đều giao hoán vì ta có, chẳng hạn, trong trường hợp hìnhvuông ở các góc trên bên trái:

(f �)( �f ) f �f '(1�f ')(f �1)

Ta còn phải chứng minh rằng dãy (1) là khớp Muốn vậy,ta xét biểu đồ phụ sau:

trong đó các dòng và các cột là khớp và hai hình vuông là giao hoán Ta sẽ chứng minhrằng dãy

là khớp Vì n và l là toàn ánh nên ln là toàn ánh Ngoài ra ln q i b a( �)( , )1 2 = ln qb ia( 1 2)

= lnqb lnia1 2 = 0 lnia 2 = ljma2 = 0 Vậy Im(q i� �) Ker(ln) Đảo lại giả sử

b � q i� , và ker ln  �Im q i( �) Vậy Im q i( �)Ker ln , tức là dãy (1’) khớp tại B2

Áp dụng kết quả này vào biểu đồ chín ở trên, ta suy ra rằn dãy (1) là khớp

Ta chú ý rằng, theo định nghĩa của (f � � �1  ) (1 f ') ta có

3.5.2 Chứng minh.

Thật vậy, ta có các dãy khớp

Vì các họ ( )x i I và ( )y j J đều có giá trị hữu hạn, nên họ (x i�y j ij) cũng có giá trị

hữu hạn, do đó g thật ra là một Z-đồng cấu từ E�V F tới � �i j, (Ei F j)

Ta sẽ chứng minh rằng g là một đẳng cấu Muốn vậy ta sẽ xác định một

Z-đồng cấu: h:�Įi j, (E i V F j) (�I E i)� �V(J F j) sao cho hg và gh là những ánh xạ đồng

nhất

Để đạt mục đích ấy, theo tính chất độc xạ của tổng trực tiếp, ta sẽ xác định một

họ Z-đồng cấu chỉ số hóa bởi I J� từ E i�F j tới ( ) V( )

(i) Giả sử F là một V-môđun trái tự do với cơ sở ( )c i i I� và giả sử E là một

V-môđun phải tùy ý Khi đó mỗi phần tử của E�V F có một biểu diễn duy nhất dạng:

Để chứng minh rằng cách biểu diễn là duy nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu

I

x �c 

� theo giả thuyết, nếu iI, ta có x i�c i 0

Mặt khác, có một đẳng cấu VVc i(  ci), và do đó E�V V E�V Vc i.Nhưng ta cũng có E�V V E Vậy E E �V Vc i Trong đẳng cấu này các phần tử x i và

i i

x �c là tương ứng Vì x i�c i 0 nên x i 0, iI

(ii) Nếu E và F là những môđun tự do trên một vành giao hoán A, với các cơ sở

theo thứ tự là ( )b j J và (c i)I thì E�A F cũng là một A-môđun tự do với cơ sở

� trong đó x i�E và (x i)I là một họ với giá hữu hạn Vì E có cơ sở là

( )b j J nên mỗi phần tử x i�E đều viết được một cách duy nhất dưới dạng: i ij j

Từ đó ta kết luận rằng E�A F là tự do trên A và (b j�c i J I) � là một cơ sở của nó

(iii) Giả sử E và F là hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng một trường

là một không gian vectơ trên T với cơ sở gồm mn vectơ e i�f j, do đó

ứng của các thành phần đó Giải tích tenxơ cổ điển mô tả các phần tử của E�T E, gọi

là các tenxơ hai lần phản biến, chỉ bằng các thành phần đó và bằng sự biến đổi củachúng khi đổi cơ sở

Một tenxơ với một chỉ số phản biến và một chỉ số hợp biến, theo định nghĩa, làmọt phần tử của *

T

E� E trong đó E*= HomT (E,T) là không gian đối ngẫu của E trong trường hợp này cơ sở (e i ) xác định cơ sở đối ngẫu (e i ) trong E* Mọi phần tử của

(iv) Giả sử 0�E'��� ���f E g E''�0 là một dãy khớp ngắn những đồng cấu

V-môđun phải và F là một V-môđun trái tự do Khi đó dãy cảm sinh các đồng cấu

nhóm aben: 0�ľ���ľ���ĮE' V F f �1 E V F g�1 E'' V F 0 là khớp

Như vậy mọi V-môđun trái tự do đều là dẹt.

Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải tự do đều dẹt.

Ta còn phải chứng minh rằng f �1 là một Z-đơn cấu Thật vậy, vì F là tự do, nên có có một cơ sở (c i)I Khi đó, mọi phần tử của E'�V f đều viết được một cáchduy nhất dưới dạng 'i i

(v) Giả sử P là một V-môđun trái xạ ảnh và E, F là hai V-môđun phải Nếu

:

f E�F là một đơn cấu thì f �Į�1 :p E V P F V P cũng là một đơn cấu

Như vậy, đối với mọi dãy khớp ngắn những đồng cấu V-môđun phải:

0� ��� ��� �E f F g G 0

và mọi V-môđun trái xạ ảnh P, dãy cảm sinh những đồng cấu nhóm Aben:

0�E�V P�F�V P�G�V P�0

là khớp

Do đó mọi V-môđun trái xạ ảnh đều là dẹt

Tương tự ta cũng thấy rằng mọi V-môđun phải xạ ảnh đều là dẹt

Thật vậy, vì là xạ ảnh nên tồn tại một V-môđun trái Q và một V-môđun trái tự

do T sao cho: TP�Q

Vì T là tự do nên nếu f E: �F là một V-đơn cấu thì: f �Į�1 :T E V T F V T

cũng là đơn cấu (iv)

Nhưng E�V TE�V (P�Q)E�V P�E�V Q và F�V TF�V (P

�Q)F�V P�F�V Q

Do các đẳng cấu này ta có thể đồng nhất hóa f �1T với:

(f �1P)(f �1 :Q) (E�V P) (�E�V Q) (F�V P) (F�V Q)

Vì f �1T là đơn cấu nên (f �1P)(f �1 )Q cũng là đơn cấu

Song nếu : A�B và  : C �D là những V-đồng cấu sao cho

Thật vậy, vì E là xạ ảnh nên nó đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp P1 của một

A-môđun tự do T2 Theo 4h P1�A P2 đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của T1�A T2

Nhưng vì A là giao hoán nên tích tenxơ của hai A-môđun tự do lại là tự do (ii) Do đó

A

E� F là một A-môđun xạ ảnh.

5 Quan hệ giữa Hom và Tích tenxơ.

Giả sử V và S là hai vành, AV là một V-môđun phải V BSlà một V-S songmôđun và CS là một S-môđun phải Khi đó tồn tại một đẳng cấu nhóm aben:

: HomS(AVB, C)HomV (A, HomS(B, C)) xác định bởi công thức:

((f)(a))(b) = f(ab), aA, bB, f HomS(AV B, C)

Đẳng cấu nghịch đảo φ được xác định bởi công thức φ(g)(ab) = (g(a))(b),trong đó g HomV(A, HomS(B, C))

- Trước hết ta chú ý rằng AVB có cấu trúc S-môđun phải, vì vậy ta có thể xácđịnh nhóm Aben HomS(AV B, C) Mặt khác HomS(B, C) có cấu trúc V-môđun phải,

vì vậy ta có thể xác định nhóm Aben HomV (A, HomS(B, C))

- Với mỗi a�A và mỗi f�HomS(AV B, C), ánh xạ

= (f1 (a))(b) + (f2(a))(b) = (f1 (a) + f2(a))(b).

Từ đó (f1+f2)(a) = f1(a)+f2(a) = (f1+f2)(a) và (f1+ f2) = f1+f2.

- Để chứng minh  là một đẳng cấu, ta dựng ánh xạ nghịch đảo φ.

Nếu g : A� HomS(B, C) là một V -đồng cấu và  �a A,  �b B thì