Khóa Luận Phân Tích Nguyên Sơ Của Iđêan Đơn Thức.pdf

Möc löc Mð �¦u 3 0 1 Sü c¦n thi¸t cõa � t i 3 0 2 Möc �½ch nghi¶n cùu 3 0 3 �èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu 3 0 4 Nëi dung nghi¶n cùu 3 0 5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 3 0 6 K¸t qu£ �¤t �÷ñc 3 0 7 C§u tróc[.]

Mưc lưc Mð ¦u 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Sỹ cƯn thiát cừa à ti Mửc ẵch nghiản cựu ối tữủng v phÔm vi nghiản cùu Nëi dung nghi¶n cùu Phữỡng phĂp nghiản cựu Kát quÊ Ôt ữủc C§u tróc · t i Kián thực chuân b 1.1 V nh 1.2 I¶an Ph¥n tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng quĂt 2.1 PhƠn tẵch nguy¶n 2.1.1 I¶an nguy¶n 2.1.2 PhƠn tẵch nguyản sỡ 2.2 Iảan nguyản tố liản kát PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn thực v i¶an v nh Z 3 3 3 5 10 10 10 12 14 16 3.1 I¶an ìn thùc 16 3.2 B i tªp 19 K¸t luên 25 Lới cÊm ỡn Khõa luên ny ữủc hon thnh dữợi sỹ dăn dưt v ch bÊo tên tẳnh cừa TS Lả XuƠn Dụng Em xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh nhĐt án thƯy ThƯy  tên tẳnh hữợng dăn, hát lỏng giúp ù em suốt quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu  hon thnh khõa luên Em xin trƠn trồng cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo Tờ Bở mổn Ôi Số - Khoa Khoa hồc tỹ nhiản - Trữớng Ôi Hồc Hỗng ực, Ban chừ nhiằm Khoa KHTN  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho em quĂ trẳnh hồc têp, thỹc hiằn v hon thnh khõa luên Dũ rĐt cố gưng, xong khõa luên cụng khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v thiáu sõt Em rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa thƯy cổ v cĂc bÔn TĂc giÊ Trnh Quốc TuĐn M Ưu 0.1 Sỹ cƯn thiát cừa · t i I¶an l  mët kh¡i ni»m cì b£n v  quan trồng cừa cĐu trúc vnh Trong chữỡng trẳnh Ôi số Ôi cữỡng, sinh viản  ữủc tiáp cên vợi mởt số loÔi iảan c biằt nhữ: iảan nguyản tố, iảan cỹc Ôi, Ngoi cĂc loÔi iảan nõi trản, cỏn cõ mởt số loÔi iảan khĂc cụng ữủc nhiÃu nh toĂn hồc quan tƠm, nghiản cựu, õ cõ iảan nguyản tố liản kát Em chồn à ti "PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn thực" vợi mửc tiảu chẵnh l tẳm hiu khĂi niằm cừa iảan nguyản tố liản kát qua viằc tẵnh toĂn cử th trản mởt số lợp iảan vnh a thực 0.2 Mửc ẵch nghiản cựu - PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa mởt iảan bĐt kẳ vnh Noether - PhƠn tẵch mởt số lợp iảan cử th vnh a thực 0.3 ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu - ối tữủng: Iảan, vnh - PhÔm vi: Ôi số giao hoĂn 0.4 Nởi dung nghiản cựu PhƠn tẵch iảan I bĐt kẳ thnh giao cõa c¡c th nh ph¦n nguy»n v nh giao hoĂn, tứ õ xĂc nh têp iảan nguyản tố liản kát tữỡng ựng cừa I 0.5 Phữỡng phĂp nghiản cựu PhƠn tẵch v tờng hủp lỵ thuyát dỹa trản bián ời iảan sinh bi mởt têp hỳu hÔn cĂc phƯn tỷ vnh giao hoĂn 0.6 Kát quÊ Ôt ữủc i) Giợi thiằu lÔi phƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ii) Giợi thiằu khĂi niằm têp iảan nguyản tố liản kát PhƠn tẵch mởt số lợp i¶an cư thº v nh a thùc v  v nh Z 0.7 CĐu trúc à ti Ngoi phƯn m Ưu v kát luên, tiu luên ữủc chia lm chữỡng Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng 2: PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng quĂt Chữỡng 3: PhƠn tẵch nguyản cõa i¶an ìn thùc v  i¶an v nh Z Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh b y mët sè kh¡i ni»m v· v nh, i¶an, v nh Noether v vnh a thực  chuân b cho cĂc chữỡng sau (Xem [1] v  [2]) 1.1 V nh ành ngh¾a 1.1.1 Vnh l mởt têp hủp R 6= ữủc trang bà ph²p to¡n ”+” : (a, b) 7→ v  ph²p toĂn nhƠn. : (a, b) a.b thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau: i) Php cổng cõ cĂc tẵnh chĐt sau: ã Tẵnh chĐt kát hủp, tực l vợi mồi a, b, c ∈ R cho a+b a + (b + c) = (a + b) + c • ã Cõ phƯn tỷ 0, tực l vợi mồi a ∈ R cho + a = a + = a Câ ph¦n tû èi, tùc l  èi vợi mội a R, tỗn tÔi phƯn tỷ a0 ∈ R cho a + a0 = a0 + a = 0(a0 = a) ii) Php nhƠn cõ tẵnh chĐt kát hủp, tực l vợi mồi a, b, c ∈ R cho (1.1) (1.2) (1.3) iii) Ph²p nh¥n cõ tẵnh chĐt phƠn phối dối vợi php cởng, tực l  vỵi måi a, b, c ∈ R cho a.(b + c) = a.b + a.c v  (b + c).a = b.a + c.a Náu php nhƠn . cõ phƯn tỷ ỡn v thẳ (R, +, ) gồi l vnh cõ ỡn v Náu php nhƠn . cõ tẵnh chĐt giao hoĂn thẳ (R, +, ) gồi l vnh giao hoĂn a.(b.c) = (a.b).c Vẵ dử 1.1.1 i) Têp số nguyản Z, số thỹc R, số phực C vợi cĂc php cởng v php nhƠn thổng thữớng lêp thnh cĂc vnh Tuy nhiản têp N khổng phÊi l vnh ii) Cho n ≥ l  sè tü nhi¶n Ta biát rơng mởt lợp thng theo modun n l têp cĂc số nguyản chia cho n cõ số Náu a Z thẳ ta kỵ hiằu a l lợp thng chựa số a Têp cĂc lợp thng ny ữủc kẵ hiằu l Zn Ta cõ th nh nghắa tờng v tẵch cừa a v b t÷ìng ùng l  a + b v  ab Khi õ Zn lêp thnh mởt vnh giao hoĂn vợi ỡn ành ngh¾a 1.1.2 Cho A l  mët têp ờn nh ối vợi php cởng v php nhƠn cừa vnh R Náu A vợi cĂc php toĂn cÊm sinh l mởt vnh thẳ A ữủc gồi l  mët v nh cõa v nh R M»nh · 1.1.1 Cho R l  v nh Tªp A cịa v nh R l  v nh v  ch¿ A thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: i) ∈ A ii) N¸u a, b ∈ A th¼ a − b ∈ A v  ab ∈ A Chùng minh Thªt vªy, tªp A cõa v nh R l  ên ành èi vỵi ph²p to¡n nh¥n v  ch¿ a, b ∈ A ko theo ab A ỗng thới têp A èi vỵi nhâm theo ph²p to¡n cëng v  ch nõ thọa mÂn i) v phƯn cỏn lÔi cừa ii) Luêt phƠn phối A suy luêt phƠn phối R 1.2 Iảan nh nghắa 1.2.1 Vnh I cừa vnh R ữủc gồi l iảan trĂi (phÊi) náu xa vợi mồi a I, x R Náu I vứa l iảan trĂi v vứa l iảan phÊi thẳ I ữủc gồi l mởt iảan cõa R I(ax ∈ I) V½ dư 1.2.1 i) Måi vnh R Ãu chựa iảan tƯm thữớng I 6= v chẵnh nõ I = R ii) Têp cĂc hm liản tửc trản [a, b] v triằt tiảu tÔi x0, a ≤ x0 ≤ b, l  i¶an cõa v nh C[a, b] M»nh · 1.2.1 Cho R l  mët v nh Tªp I 6= ∅ cõa R Khi â c¡c iÃu kiằn sau l tữỡng ữỡng i) I l iảan cõa R ii) Vỵi måi a ∈ I v  x ∈ R th¼ a − b ∈ I v  xa I(ax I) Chựng minh Trữợc hát ta thĐy rơng iÃu kiằn a b I vợi mồi a, b I tữỡng ữỡng vợi khng nh rơng I l  mët nhâm èi vỵi ph²p cëng Tø õ, hin nhiản i) ii) Ngữủc lÔi náu xa ∈ I(ax ∈ I) vỵi måi a ∈ I, x R thẳ ta suy I õng kẵn ối vợi php nhƠn ta lĐy x I , â I l  v nh cõa R v  â ii) ⇒ i) ành ngh¾a 1.2.2 Cho A l  mởt têp hủp cừa vnh R Giao cừa hồ tĐt c£ c¡c i¶an cõa R chùa A l  mët i¶an cừa R chựa A Iảan ny ữủc gồi l iảan sinh bi têp A (kỵ hiằu l < A >) A ữủc gồi l têp sinh tối tiu (cỏn gồi l  h» sinh tèi tiºu, cì sð tèi tiºu) cõa I náu A l têp sinh cừa I v khổng chùa thüc sü mët tªp sinh kh¡c cõa I Ta nõi iảan l hỳu hÔn sinh náu nõ cõ mởt hằ sinh hỳu hÔn Vẵ dử 1.2.2 i) Mồi iảan vnh Z Ãu sinh bi mởt phƯn tỷ ii) Mởt iảan cõ th cõ nhiÃu têp sinh tối tiu khĂc Chng hÔn {1}, {2, 3}, {6, 10, 15} l cĂc têp sinh tối tiu cừa iảan Z v nh Z Bê · 1.2.1 Cho R l  mët v nh v  A 6= ∅ Khi â, tªp hđp {r1 a1 + + rn an |n ∈ N ; r1 , , rn ∈ R; a1 , , an A} (1.4) l iảan b nhĐt chựa A nh nghắa 1.2.3 (Iảan bĐt khÊ quy) Cho I l mët i¶an cõa v nh giao ho¡n R v  I khêng th biu th bi giao cĂc iảan lợn hỡn R, iảan I õ ữủc gồi l khổng khÊ quy Nghắa l, I l bĐt khÊ quy v ch náu I ⊂ R v  I = I1 ∩ I2 vỵi I1, I2 l iảan cừa R thẳ I = I1 ho°c I = I2 ành ngh¾a 1.2.4 (V nh Noether) V nh giao ho¡n câ ìn ÷đc gåi l  V nh Noether náu mồi iảan cừa nõ Ãu l hỳu hÔn sinh, tực l tỗn tÔi mởt têp sinh hỳu hÔn phƯn tû M»nh · 1.2.2 Cho R l  v nh Noether giao ho¡n Méi i¶an thüc sü cõa R câ thº biºu th bi giao cừa cĂc iảan hỳu hÔn bĐt khÊ quy cừa R P Chựng minh Kẵ hiằu l têp hủp tĐt cÊ cĂc iảan thỹc sỹ cừa RP , biu th ữủc bi giao hỳu hÔn nhiÃu iảan khổng khÊ quy cừa R CƯn chựng minh = Thêt vªy, P ta câ R l  v nh Noether l  mët phƯn tỷ cỹc Ôi Do I khổng bĐt khÊ quy n¶n P I = I1 ∩ I2 v  I ∈ / I l  i¶an P thüc sü, I = I1 I2 vợi I1 , I2 l iảan cừa R Bði vªy I ⊂ I1 v  I ⊂ I2 Chån Ii ∈ vỵi i = 1, Do hai i¶anI1, I2 l  i¶an thüc sü biºu bði giao hỳu hÔn nhiÃu iảan bĐt khÊ quy cừa R nản I = I1 I2 (mƠu thuăn) Vêy P = nh nghắa 1.2.5 (Iảan cỹc Ôi) Iảan thỹc sỹ cừa vnh R ữủc gồi l cỹc Ôi(tối Ôi) náu nõ khổng thỹc sỹ chựa mởt iảan thỹc sỹ khĂc cừa R Vẵ dử 1.2.3 5Z l mởt iảan cỹc Ôi cừa Z Bờ à 1.2.2 Cho I l i¶an thüc sü cõa R Khi â I l  i¶an cỹc Ôi v ch R/I l trữớng Chựng minh GiÊ sỷ I l iảan cỹc Ôi vnh R, gi£ sû u ∈ R/I, u 6= Th¸ thẳ tỗn tÔi r R/I cho (1.5) u=r =R+I Khi â I + rR = R, â: = y + rx, y ∈ I, x ∈ R (1.6) Tø â = + rx (1.7) nghắa l r cõ nghch Êo.Vêy R/I l mởt trữớng Ngữủc lÔi, giÊ sỷ R/I l mởt trữớng Thá thẳ R/I khổng cõ iảan thỹc sỹ Khi õ náu B l mởt iảan cừa R cho IBR (1.8) thẳ B/I l  i¶an cõa R/I Do R/I l  khỉng câ i¶an thüc sü n¶n B/I = ho°c B/I = R/I , ngh¾a l  B = I ho°c B = R i·u n y chùng tä I l  i¶an tối Ôi R Bờ à 1.2.3 (Bờ à Zorn) Mët tªp s­p thù tü c¡c bë phªn kh¡c rộng V cõ tẵnh chĐt "mồi têp ữủc sưp thự tỹ ton phƯn Ãu cõ chn trản thuởc V " thẳ V cõ ẵt nhĐt mởt phƯn tỷ cỹc Ôi Mằnh à 1.2.3 Mởt vnh khổng tƯm thữớng Ãu chựa ẵt nhĐt mởt iảan cỹc Ôi Chựng minh Vẳ R 6= n¶n l  i¶an thüc sü cõa R v têp cĂc iảan thỹc sỹ cừa R kh¡c réng Quan h» bao h m thùc ⊆ l  mët thự tỹ cĂc bở phên trản Iảan cỹc Ôi cừa R chẵnh l phƯn tỷ cỹc Ôi cừa theo quan l  S h» thù tü n y Gi£ sỷ = mởt têp cừa ữủc sưp ho n to n °t J = I∈4 I Ta câ J l mởt iảan Náu J = R thẳ J v tỗn tÔi I  I Suy I = R,vổ lẵ Vêy J ∈ Ω i·u â chùng tä tªp bà ch°n tr¶n bði J Theo bê · Zorn, Ω phÊi cõ phƯn tỷ cỹc Ôi Mằnh à 1.2.4 Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa v nh R Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt iảan cỹc Ôi cừa R chùa I H» qu£ 1.2.1 Ph¦n tû a ∈ R l  ph¦n tû ìn v  ch¿ nõ khổng nơm mởt iảan cỹc Ôi cừa R nh nghắa 1.2.6 (Iảan nguyản tố) Iảan P cừa R ữủc gồi l iảan nguyản tố náu P 6= R v  tø ab ∈ R suy a ∈ P ho°c b ∈ P vỵi måi a, b ∈ R Vẵ dử 1.2.4 Cho q l số nguyản tố cõa Z Khi â qZ l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh (Z, +, ) Chùng minh Gi£ sû xy ∈ Zq Khi õ xy q Vẳ q l số nguyản tè n¶n suy x q ho°c y q Hay x ∈ Zq ho°c y ∈ qZ Vªy qZ l  i¶an nguy¶n tè M»nh · 1.2.5 Cho I l  i¶an thüc sü cõa R Khi â I l  i¶an nguy¶n tè v  ch¿ R/I l  mi·n nguy¶n Chùng minh ” ⇒ ” Gi£ sû I l  i¶an nguy¶n tè cõa R Khi â, R/I = {x+I|x R} l vnh thữỡng cừa R trản I Vẳ I l iảan nguyản tố nản I 6= R v  R/I câ nhi·u hìn mët ph¦n tû Ph¦n tû ìn cõa R/I l  + I Do R/I l  v nh giao ho¡n n¶n R/I l  v nh giao ho¡n Gi£ sû x + I, y + I ∈ R/I m  (x + I)(y + I) = + I , â xy + I = + I , suy xy ∈ I Do I nguy¶n tè n¶n x ∈ I ho°c y ∈ I Suy x + I = I, y + I = I Vẳ vêy, R/I l vnh giao hoĂn khổng cõ ữợc cừa hay R/I l miÃn nguy¶n ” ⇐ ” Gi£ sû R/I l  mi·n nguy¶n, â R/I câ nhi·u hìn mët ph¦n tû suy R 6= I Gi£ sû x, y ∈ R v  xy ∈ I suy xy + I = I hay (x + I)(y + I) = I = + I Vẳ R/I khổng cõ ữợc cừa n¶n x + I = I ho°c y + I = I , â x ∈ I ho°c y I Vêy I l iảan nguyản tố Chú ỵ 1.2.1 i) Mội trữớng l miÃn nguyản nản mội iảan cỹc Ôi l iảan nguyản tố ii) Iảan nguyản tố chữa hn l cỹc Ôi Xt vnh Z, ta cõ iảan cừa Z nguyản tố vẳ ⊆ 2Z ⊆ Z ành ngh¾a 1.2.7 (V nh a thùc) Cho R l  mët v nh v  x , , x (n ≥ 1) l  c¡c n bi¸n Ta gồi ỡn thực l mởt biu thực cõ dÔng xa1 xan , â (a1, , an) ∈ N∗ ữủc gồi l bở số mụ cừa ỡn thực Náu a1 = = an = 0, th¼ ìn thùc ữủc kẵ hiằu l Php nhƠn trản têp cĂc ỡn thực ữủc nh nghắa nhữ sau a +b (1.9) xan +b (xa1 xan )(xb1 xba n ) = x1 Tứ l biu thực cõ dÔng xa1 xan , â α ∈ R ÷đc gåi l  h» sè cõa tø a K½ hi»u x = (x1, , xn), a = (a1, , an) ∈ Nn v  xa = xa1 x Xn a thùc n bi¸n x1 , , xn trản vnh R l mởt tờng hẳnh thực cõa c¡c tø f (x) = αa xa , â ch¿ 1 n n n n n n n a∈Nn câ mët sè húu han h» sè αa 6= Tø αax vỵi αa 6= ÷đc gåi l  tø cõa a thùc f (x) vỵi xa l  ìn thùc cõa fX (x) X Hai a thùc f (x) = αaxa, g(x) = axa ữủc xem l bơng náu a = a a a∈Nn a∈Nn vỵi måi a ∈ Nn Ph²p cëng a thực ữủc nh nghắa nhữ sau ( X a xa ) + ( a∈Nn X βa xa ) = a∈Nn â γa = X X γa xa , (1.10) a∈Nn αb βc (1.11) b,c∈Nn ,b+c=a Nhªn xt rơng a 6= ch tỗn tÔi b v  c vỵi αb 6= 0, βc 6= º a = b + c Do vªy ch¿ câ mët số hỳu hÔn hằ số a 6= v php nhƠn a thực trản l hon ton xĂc nh Vợi hai php toĂn cởng a thực v nhƠn a thực nảu trản, cõ th kim tra tĐt cÊ cĂc a thực lêp thnh vnh giao hoĂn vợi phƯn tỷ ỡn v l ỡn thực Têp ny kẵ hiằu l  R[x1 , , xn ] hay R[x] V nh R[x1, , xn] ữủc xƠy dỹng nhữ trản ữủc gồi l vnh a thực n bián trản vnh R Chữỡng PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan tờng quĂt Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by và phƠn tẵch iảan v nh Noether v  kh¡i ni»m i¶an nguy¶n tè li¶n kát dỹa trản ti liằu [1] v [4, Chapter 4] 2.1 PhƠn tẵch nguyản sỡ 2.1.1 Iảan nguyản sỡ nh nghắa 2.1.1 Cho Q l iảan vnh giao hoĂn R Chóng ta gåi Q l  i¶an nguy¶n cõa R náu: i) Q l iảan thỹc sỹ cừa R ii) Vỵi måi a, b ∈ R cho ab Q, a / Q thẳ tỗn tÔi n N bn Q Nhên xt 2.1.1 Mồi iảan nguy¶n tè ·u l  i¶an nguy¶n Chùng minh Gi£ sû P l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh R Khi â vỵi a, b ∈ R v  ab ∈ P, a ∈ / P suy b ∈ P Nghắa l tỗn tÔi n =  b1 P Vêy P l iảan nguyản sỡ Bờ à 2.1.1 Cho Q l  i¶an v nh giao ho¡n R Q l nguyản sỡ náu v ch náu vnh R/Q l vnh khổng tƯm thữớng v cõ tẵnh chĐt: mồi ữợc cừa l phƯn tỷ lụy linh Chựng minh Vẳ Q l iảan nguyản sỡ nản Q 6= R, â R/Q l  v nh khỉng t¦m thữớng GiÊ sỷ x R/Q l ữợc cừa cừa vnh R/Q Khi õ x 6= v tỗn tÔi y R/Q, y 6= cho xy = Ta câ x = a + Q, y = b + Q vỵi a, b ∈ R; a, b ∈/ Q v  (a + Q)(b + Q) = suy ab + Q = Do â, ab Q Do b / Q nản tỗn tÔi n ∈ N ∗ cho an ∈ Q suy (a + Q)n = Do â, xn = Vêy x lụy linh Nhữ vêy mồi ữợc cừa khỉng cõa v nh R/Q ·u lơy linh ” ⇐ ” Vẳ R/Q l vnh khổng tƯm thữớng nản Q 6= R Vỵi måi a, b ∈ R m  ab ∈ Q, a / Q Náu b Q thẳ n = º b1 ∈ Q 10 ii) I= r \ Qi i=1 p √ √ ” ⇒ ” Ta c¦n chùng minh (Q; a) = Q = P Ta câ vỵi x ∈ Q; a suy ∃n ∈ N∗ º xn ∈ (Q : a) Do â axn Q Vẳ a / Q m Q liảan nguyản sỡ nản tỗn tÔi m N  (xn)m Q suy x Q Ngữủc lÔi, vợi x Q, tỗn tÔi n N  xn ∈ Q, suy p axn ∈ Q ⇒ xn ∈ (Q : a) ⇒ x ∈ Q : a (2.4) √ √ √ √ Vªy Q ⊂ Q : a Do â Q : a = Q = P hay (Q : a) l  P -nguy¶n ” ⇐ Náu (Q : a) l P -nguyản sỡ thẳ (Q : a) 6= R â theo i) ta câ a ∈ / Q √ iii) ” ⇒ ” Vợi x (Q : a) thẳ ax Q V¼ a ∈/ P = Q suy ∀n ∈ N∗ : an ∈/ Q Do â tø ax ∈ Q suy x Q (vẳ náu x / Q thẳ phÊi tỗn tÔi n N  an Q, mƠu thuăn vợi a Q) Vêy (Q : a) Q Ngữủc lÔi, vợi mồi x Q suy ax ∈ Q Do â x ∈ (Q : a), tø â Q ⊂ (Q : a) Vªy Q = (Q : a) √ ” ⇐ ” GiÊ sỷ a P = Q thẳ tỗn tÔi n ∈ N∗ : an ∈ Q Ta câ (2.5) a.an−2 ∈ Q ⇒ an−2 ∈ (Q : a) = Q (2.6) (2.7) Lp lÔi quĂ trẳnh trản cuối cịng ta ÷đc a ∈ (Q : a) = Q Tø â theo i) ta câ Q = (Q : a) = R, mƠu thuăn Vêy náu cõ Q = (Q : a) th¼ a ∈ / P a.an−1 ∈ Q ⇒ an−1 ∈ (Q : a) = Q 2.1.2 PhƠn tẵch nguyản sỡ nh nghắa 2.1.2 Cho I l i¶an thüc sü cõa v nh R Ta nâi √ i) I l phƠn tẵch nguyản sỡ náu I viát ữủc dữợi dÔng I = Q1 Qn vợi Qi = Pi , ∀i = 1, n ii) Ph¥n tẵch nguyản sỡ cừa I tối giÊn (khổng rút gồn ữủc) náu I 6= Q1 Qcj Qn, vỵi måi j = 1, n, â Qcj l  kẵ hiằu bọ iảan ny khọi giao iii) PhƠn tẵch nguyản sỡ I ữủc gồi l cỹc tiu a) P1, , Pn l  n i¶an nguy¶n tè kh¡c cõa R b) ∀j = 1, n ta câ n \ Qj + Qi (2.8) i=1,i6=j V½ dư 2.1.1 a) 12Z = 3Z ∩ 22Z b) X²t v nh a thùc K[x, y] Ta câ (x2, xy2) = (x) ∩ (x2, y2) = (x) ∩ (x2, xny, y2) dõ n > tũy ỵ Ơy l phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiu Nhữ vêy trữớng hủp ny cõ vổ số phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiu 12 nh lỵ 2.1.1 Cho I l iảan thỹc sỹ cừa vnh giao hoĂn R v I l phƠn tẵch nguy¶n tèi gi£n cõa I, P Qi = Pi , ∀i = 1, n vỵi ∈ Spec R C¡c m»nh · = Tn i=1 Qi sau t÷ìng ÷ìng i) Tỗn tÔi i n  P = Pi ii) Tỗn tÔi a R cho I: a = P -nguyản sỡ iii) Tỗn tÔi a R cho I : a = P Chùng minh √ • ”i) ⇒ ii)” Gi£ sû P = Pi Tø Q1 ∩ ∩ Qn ⊆ Qi vỵi Qi = Pi , i = 1, n l phƠn tẵch nguy¶n tèi gi£n cõa I Do â, ta câ{P1, , Pn} = {P10 , , Pn0 } L§y a ∈ Q2 ∩ ∩ Qn Q1 Khi â I : a = (Q1 : a) ∩ (Q2 ∩ ∩ Qn : a) = Q1 : a (2.9) Vẳ a / Q1 nản theo mằnh à 2.2.ii), ta câ (Qj : a) = R vỵi i 6= j(1 ≤ j ≤ n) Suy (Qi : a) l  Pi - nguy¶n Do P = P1 n¶n (Q : a) l  P-nguy¶n n¶n I : a l  P-nguyản sỡ ã ii) iii) Theo nh nghắa iảan nguy¶n sì, ta câ I : a l  i¶an nguy¶n n¶n P = I : a cơng l  nguy¶n sỡ ã iii) ii) GiÊ sỷ tỗn tÔi a ∈ R cho P = I : a, ta câ I:a=( n \ Qi : a) = i=1 Suy n \ (2.10) (Qi : a) i=1 v v u n un n \ \ p √ u u\ t t P = I : a = ( Qi : a) = (Qi : a) = ( (Qi : a) i=1 i=1 i=1 p döng M»nh · 2.2, lĐy a / Q, Q : a l nguyản sỡ Suy Tø â n n √ I:a= √ Q:a=P l  nguy¶n tè (2.12) \p \ ( (Qi : a) = (Pi ) = P i=1 (2.11) i=1 Do P l  i¶an thüc sü cõa R n¶n P = Pj nh lỵ 2.1.2 (Tẵnh nhĐt thự nhĐt cừa phƠn tẵch nguyản sỡ) Cho I l iảan thỹc sü cõa v nh giaopho¡n R, tªp I = Q1 ∩ ∩ Qn vỵi Qi = Pi, ∀i = 1, n v  I = Q01 ∩ ∩ Q0n vỵi Q0i = Pi0 , ∀i = 1, n0 l  hai phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn I p cừa 0 0 N¸u n = n ta câ {P1, , Pn} = {P1, , Pn} Sau êi ch số thẳ Qi = Qi vợi i = 1, n Chùng minh Do√I = Q1 ∩ ∩ Qn l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn cừa I nản tỗn tÔi 0 a R cho I : a = Pi v 0 I = Q1 ∩ Qn l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn kh¡c vỵi Qi = Pi , ∀i = 1, n Theo ành l½ 2.1.1 suy Pi = Pi Tø â, ta câ {P1 , , Pn } = {P10 , , Pn0 } V¼ khỉng câ hai iảan nguyản tố no mội têp hủp trũng n¶n n = n0 0 13 2.2 I¶an nguyản tố liản kát nh nghắa 2.2.1 Cho I l i¶an nguy¶n tè cõa R v  I = Q √ ∩ ∩ Qn vỵi Qi = Pi , ∀i = 1, n l phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn cừa I Têp n phƯn tỷ {P1 , , Pn } l  ỉi mët kh¡c Ta gåi Pi vỵi i = 1, n l  c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n kát cừa I v kẵ hiằu l Ass(I) hoc AssR (I) AssR (I) = {P1 , , Pn } (2.13) Iảan Qi ữủc gồi l thnh phƯn nguyản sỡ tữỡng ựng vợi Pi Trong trữớng hủp cho trữợc vnh R, º cho ìn gi£n ta vi¸t AssR (I) := Ass(IQ) Chú ỵ 2.2.1 i) I l iảan thỹc sỹ cõa v nh giao ho¡n R, P ∈ Spec(R) P ∈ AssR (I) v ch tỗn tÔi a R cho I : a = P -nguy¶n v ch tỗn tÔi b R cho √ I : b = P ii) Cho I l iảan thỹc sỹ cừa R Tỗn tÔi J l i¶an thüc sü cõa R cho J ⊇ I v  ch¿ J/I l  i¶an thüc sü cõa R/I Khi â AssR (J/I) = {P/I : P ∈ AssR (J)} (2.14) M»nh · 2.2.1 Cho I l  iảan thỹc sỹ cừa vnh giao hoĂn R v têp P ∈ Spec(R) P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa têp Var(I) cừa tĐt cÊ cĂc iảan nguyản tố cừa R chùa I v  ch¿ P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I) °c bi»t, i¶an nguy¶n tè cỹc tiu cừa I Ass(I) vợi I l têp hỳu hÔn cĂc iảan nguyản tố cỹc tiu v náu Pi Spec(R) vợi Pi I thẳ tỗn tÔi P2 ∈ Ass(I) vỵi Pi ⊇ P2 √ Chùng minh ” ⇒ ”I = Q1 ∩ ∩ Qn vỵi Qi = Pi, i = 1, n l phƠn tẵch nguy¶n tèi gi£n cõa I Ta câ p √ Pi ⊇ I ⇔ P1 = Pi ⊇ I (2.15) M  n n \ \ p √ I = ( Qi = (Pi ) (2.16) i=1 i=1 Do â Pi ⊇ Pj vỵi mët sè j n o â n j M°t kh¡c {P1, , Pn} ∈ AssR (I) Nản P1 P2 vợi P2 Ass(I) Theo giÊ thiát, P l iảan nguyản tố cỹc tiu cõa I Do P ⊇ P vỵi P ∈ Ass(I) M  Ass I ∈ Var(I).Suy P = P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I) ” ⇐ ” Gi£ sû P l  ph¦n tû cüc tiu cừa Ass(I) Theo õ P I v tỗn tÔi iảan nguyản tố nhọ nhĐt P cừa I cho P ⊇ P Suy ∃!P ” ∈ Ass(I) : P ⊇ P ” Do â P ⊇ P ⊇ P ” M  P l  phƯn tỷ nhọ nhĐt cừa Ass(I) nản P = P = P ” Bði vªy P = P l  i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I ành nghắa 2.2.2 Cho I l iảan thỹc sỹ cừa vnh R i) Ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I) x¡c ành mët i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I I¶an nguyản tố õ ữủc gồi l cỹc tiu hoc nguyản tố cổ lêp cừa I ii) Iảan nguyản tố liản kát cừa I m khổng phÊi cỹc tiu ữủc gåi l  i¶an nguy¶n tè nhóng cõa I 14 Vẵ dử 2.2.1 Cho K l mởt trữớng v R = K[X, Y ] l  v nh a thùc tr¶n K vợi X, Y bĐt ký trản R Têp M = (X, Y ); P = (Y ); Q = (X, Y 2) v I = (XY, Y 2) (Chú ỵ: M l iảan cỹc Ôi cừa R; P l iảan nguy¶n tè cõa R; Q l  M -i¶an nguy¶n cõa R v  Q 6= M 2) Ta câ I = Q ∩ P v  I = M = P l hai phƠn tẵch nguyản sỡ cừa I vợi i·u ki»n M -nguy¶n Chùng minh Ta câ I ⊆ P v  I ⊆ M ⊆ Q Bði vªy I ⊆ M ∩ P ⊆ Q ∩ P L§y f ∈ Q ∩ P ⇒ f ∈ P (vỵi f l  ìn thùc) Suy f Y Cởng tĐt cÊ cĂc ỡn thực lÔi, ta ữủc a thực dÔng g(cõ bêc nhọ nhĐt), g ∈ I Sao cho f − g = cY vỵi c ∈ K[X, Y ] Gi£ sû c 6= Ta câ Y = c−1 cY (Q ∩ P ) + I = Q ∩ P ⊆ Q vỵi Y = hX + eY vỵi h, e ∈ R (Vỉ l½) Suy f = g ∈ I v  I = M ∩ P = Q ∩ P l hai phƠn tẵch nguyản sỡ cừa I Vẳ P Spec(R), M l M -nguyản sỡ M  X ∈ M \ P, X ∈ Q \ P, Y ∈ P \ Q, Y P \ M Vêy hai phƠn tẵch nguyản sỡ l cỹc tiu nh lỵ 2.2.1 (Tẵnh nhĐt thự hai cừa phƠn tẵch nguyản sỡ).Cho I l mởt iảan phƠntẵch ữủc cừa vnh giao hoĂn R v têp p Ass(I) = {P1 , , Pn } Cho I = Q1 ∩ ∩Qn vỵi Qi, ∀i = 1, n v  I = Q01 ∩ ∩ Q0n vỵi Q0i, i = 1, n0 l hai phƠn tẵch nguyản sỡ cüc tiºu thc I Sau â vỵi méi i, i n Ta câ Qi = Q0i Chùng minh N¸u n = (ln óng) X²t n > LĐy Pi l iảan nguyản tố nhọ nhĐt thuởc I Suy tỗn tÔi a cho a∈ n \ Pj \ P i (2.17) i=1 Nâi c¡ch kh¡c, Pj ⊂ Pi vỵi i ∈ N, j n, j 6= i Ngữủc lÔi, Pi l iảan thuởc I vợi j = 1, n, j 6= i thẳ tỗn tÔi hi N cho ahj ∈ Qj L§y t ∈ N cho t ≥ max{hi, , hi−1, hi+1, , hn v  at ∈/ Pi, theo â (I : a) = ( n \ t Qj : a ) = j=1 n \ (Qj : at ) = Qi j=1 M  Qi l Pi-nguyản sỡ Do õ, ta thĐy Q0i = (I : a) Tø â suy Qi = Q0i 15 (2.18) Chữỡng PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ìn thùc v  i¶an v nh Z 3.1 I¶an ìn thực CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt mửc ny ữủc trẳnh by trong [3, Chapter 1] v [1, Chữỡng 3] nh nghắa 3.1.1 Iảan I K[x] ữủc gồi l iảan ỡn thực náu nõ sinh bi cĂc ỡn thực Nhữ vêy mởt iảan ỡn thực cõ dÔng I = (xa | a ∈A), â A ⊆ Nn V½ dư 3.1.1 Cho I1, I2, I3 l  c¡c iảan cừa vnh K[x1, x2] vợi I1 = (x1 , x2 ) = {x1 f + x2 g|f, g ∈ K[x]}, I2 = (x21 , x2 ) = {x21 f + x2 g|f, g ∈ K[x]}, I3 = (x1 , x22 ) = {x1 f + x22 g|f, g ∈ K[x]} l  c¡c i¶an ìn thùc v  I2 ⊆ I1, I3 I1 vẳ mồi phƯn tỷ sinh cừa I2, I3 ·u thuëc I1 Bêb · 3.1.1 Cho I = (xa|a ∈a A) l  i¶an ìn thùc ìn thùc xb ∈ I v  ch¿ x chia h¸t cho mët ìn thùc x vỵi a ∈ A n o â Chùng minh ” ⇐ ” N¸u xb chia h¸t cho mởt ỡn thực xa vợi a A) nghắa l xb = f.na Do â, ta câ xb ∈ I s X ” ⇒ ” N¸u xb ∈ I thẳ tỗn tÔi h1 K[x] v a(i) A, i=1, ,s cho xb = (hi xa(i) ) i=1 Xem h1 nhữ tờng hỳu hÔn cừa cĂc tứ v khai trin vá phÊi cừa ng thực trản ta thĐy mội tứ cừa nõ phÊi chia hát cho xa(i) no õ Sau giÊn ữợc, mởt số tứ õ cỏn lÔi v phÊi bơng xb Vêy xb phai cõ tẵnh chĐt cừa nhỳng tứ õ, tực l chia hát chia hát cho xa(i) no õ Ta nhên ữủc i·u ph£i chùng minh Bê · 3.1.2 Cho I l  i¶an ìn thùc v  f ∈ K[x] C¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng i) f ∈ I 16 ii) Måi tø cõa f thuëc I iii) f l  tờ hủp tuyán tẵnh trản K cừa cĂc ỡn thực thuëc I Chùng minh ”i) ⇒ ii)” V¼ f ∈ I nản tỗn tÔi h1 K[x] v a(i) A, i = 1, , s cho s X X b ab x = f = hi xa(i) (3.1) i=1 Xem hi nhữ tờng hỳu hÔn cừa cĂc tứ v khai trin vá phÊi cừa ng thực trản ta thĐy mói tứ cừa nõ phÊiPchia hát cho xa(i) no õ Sau giÊn ữợc, mởt P số tứ õ cỏn lÔi v phÊi bơng abxb ỗng nhĐt thực hai vá thẳ cĂc tứ cừa abxb phÊi chia h¸t cho xa(i) n o â Theo bê · 3.1.2, ta câ måi tø cõa f ·u thuëc I Ta nhªn ữủc iÃu phÊi chựng minh ii) iii) Hin nhiản ”iii) ⇒ i)” Theo bê · 1.2.1, ta câ i·u ph£i chùng minh H» qu£ 3.1.1 Hai i¶an ìn thùc mởt vnh a thực bơng náu chúng chựa cịng mët tªp ìn thùc Bê · 3.1.3 Gi£ sû m, n l  hai ìn thùc khỉng chùa bi¸n chung v  m1, mr l  c¡c ìn thùc Khi â (m1 , , mr , mn) = (m1 , , mr , m) ∩ (m1 , , mr , n) (3.2) Chùng minh Ch¿ c¦n chùng minh (m1, , mr , mn) ⊇ (m1, , mr , m) ∩ (m1, , mr , n) N¸u ìn thùc u ∈ (m1, , mr , m) ∩ (m1, , mr , n) chia hát cho mi no õ, i r thẳ u ∈ (m1 , , mr , mn) Trong tr÷íng hđp ngữủc lÔi, vẳ u (m1 , , mr , mn), nản theo Bờ à 3.1.2, phÊi cõ m|u Tữỡng tỹ n|u Vẳ m, n khổng chựa bián chung nản mn|u Do â u ∈ (m1 , , mr , mn) V½ dư 3.1.2 I = (x31 x42 , x1 x43 , x2 x23 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 x23 ) ∩ (x33 , x31 x42 , x2 x23 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x33 , x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 ) ∩ (x23 , x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ [(x21 , x23 ) ∩ (x31 , x3 )] ∩ [(x2 , x33 ) ∩ (x22 , x23 ) ∩ (x42 , x3 )] nh lỵ 3.1.1 T [3, Chapter 1, Theorem 1.3.1] Cho I ⊂ S = K[x , , x ] l iảan ỡn thực, vợi I = n i=1 Qi , n â Qi = (xal , , xal ) Hìn núa, biºu di¹n n y l  nh§t 1 k k 17 Chùng minh Cho G(I) = (u1, , ur ) v  gi£ sû tỗn tÔi ui l thnh phƯn khổng thuƯn túy Khi â u1 = vw vỵi U CLN (u, v) = 1, v 6= 1, w 6= (vw, u2 , , ur ) = (v, u2 , , ur ) ∩ (w, u2 , , ur ) (3.3) Hay I = I1 ∩ I2 Suy I ⊂ I1, I ⊂ I2, â I ⊂ I1 ∩ I2 I1 ∩ I2 = (a1 |a2 = BCN N (bi , cj ), i 6= j, bi ∈ G(I1 ), cj ∈ G(I2 ), j = 2, r (3.4) X²t b1 = v, suy BCN N (v, cj ) = vw, BCN N (v, uj ) = vuj , j = 2, r b2 = u2 , suy BCN N (u2 , w) = u2 w, BCN N (u2 , uj ) = u2 uj , j = 2, r br = ur , suy BCN N (ur , w) = ur w, BCN N (ur , uj ) = ur uj , j = 2, r Suy U CLN (ui, ui) = ui N¸u b = U CLN (ui, uj ) = ui m chia hát cho uj thẳ vợi mồi j ta bä U CLN (ui, uj ) Do â h» sinh < I1 ∩ I2 >=< vw, u2, , ur > Cho Q1 ∩ ∩ Qr = Q01 ∩ Q0r , vợi i1, r tỗn tÔi j ∈ 1, s cho Q1 ⊂ Q0k Câ ngh¾a l  r = s v  {Q1 ∩ ∩ Qr } = {Q01 ∩ ∩ Q0r } Thªt vªy i ∈ 1, r Gi£ sû b Qi = (xai , , xai ), Qj 6= Q0j , vỵi måi j ∈ 1, s Khi â vỵi méi j tỗn tÔi xl Q0j /Qi T Khi õ li * 1, k ho°c bj ⊂ al Cho u = U CLN {xbl , , xbl },ta câ u sj=1 Q0j Qj Do õ tỗn tÔi i 1, k cho xal |u m i·u n y l  khæng thº 1 j k k j 1 j s s i H» qu£ 3.1.2 i) Iảan ỡn thực bĐt khÊ quy v ch nõ sinh bi lụy thứa cĂc bián ii) Iảan ỡn thực bĐt khÊ quy l iảan nguyản sỡ Chựng minh i) Cho Q = (xal , , xal ) = IT∩ J , âTQ ⊂ I, J Theo nh lỵ 3.1.1,TI = ri=1 Qi, J = sj=1 Q0j , â Qi, Q0j l  c¡c lôy thøa thuƯn túy cừa cĂc bián,Q = ri=1 Qi Qj Bơng cĂch bọ qua cĂc iảan phũ hủp giao vá phÊi ta cõ biu diạn rút gồn cừa Q Theo tẵnh chĐt nhĐt cừa nh lỵ 3.1.1, ngh¾a l  Q = Qi ho°c Q = Qj iÃu ny l mƠu thuăn Ngữủc lÔi G(Q) chựa mởt ìn thùc u = vw vỵi U CLN (u, w), u 6= 1, w 6= Khi â theo ành lỵ 3.1.1 ta cõ iÃu phÊi chựng minh ii) Tứ i) ta câ i¶an sinh bði lơy thøa cõa c¡c bián l iảan bĐt khÊ quy Kát hủp vợi Mằnh à 1.2.2, ta nhên ữủc cõ iảan sinh bi lụy thứa cừa cĂc bián l iảan nguyản sỡ nh lỵ 3.1.2 Mồi iảan ỡn thực Ãu phƠn tẵch ữủc thnh giao cừa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy Chựng minh Tứ nh lỵ 3.1.1 kát hủp vợi Hằ quÊ 3.1.2.ii), ta thĐy mồi iảan ỡn thực Ãu phƠn tẵch ữủc thnh giao cừa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy 1 k k 18 3.2 B i tªp B i 3.2.1 Cho v nh a thùc K[x, y, z], â K l  mởt trữớng PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ.Tứ õ tẳm têp Ass(I) v tẳm cĂc iảan nguyản tố cổ lêp, iảan nguyản tố nhúng i) I = (zx3, zxy2, zy3) ii) I = (x2y2, xy2, x2y) B i l m i) Cho I = (zx3, zxy2, zy3) Ta câ I = (zx3 , zxy , zy ) = (z) ∩ (x3 , xy , y ) = (z) ∩ (x3 , y ) ∩ (x, y ) = (z) ∩ (x3 , y ) ∩ (x, y ) ∩ (x3 , xy, y ) Trong b i to¡n n y, ð dáng cuối ta cõ phƠn tẵch nguyản sỡ khổng tối gian, v¼ (x3 , y ) ∩ (x, y ) (x3 , xy, y ) TÔi dỏng thự 2, ta cõ phƠn tẵch nguyản sỡ tối giÊn chữa tối tiu V dỏng Ưu tiản, l mởt phƠn tẵch nguyản sỡ tối tiu Mt khĂc, ta (z), Q2 = (x3 ,√ y ), Q3 = (x, y ) l cĂc thnh phƯn nguyản √ °t Q1 =√ cõa I Ta th§y Q1 = (z), Q2 = (x, y), Q3 = (x, y) Do â Ass(I) = {(z), (x, y)}, (z) l  i¶an nguyản tố cổ lêp v (x, y) l iảan nguyản tè nhóng ii) Cho I = (x2y2, xy2, x2y) Ta câ I = (x2 y , xy , x2 y) = (x2 , xy , x2 y) ∩ (y , xy , x2 y) = [(x, x2 y) ∩ (x2 , y , x2 y)] ∩ [(y , x2 y) ∩ (y , x, x2 y)] = [(x) ∩ (x, y) ∩ (y , x2 ) ∩ (x2 , y)] ∩ [(y) ∩ (y , x2 ) ∩ (y , x) ∩ (x, y)] = (x) ∩ (y) ∩ (x, y) ∩ (x2 , y) ∩ (x, y ) °t Q1 = (x), Q2 = (y), √Q3 = (x, y),√Q4 = (x2,√y), Q5 =√ (x, y2)√l  c¡c th nh phƯn nguyản sỡ cừa I Ta thĐy Q1 = (x), Q2 = (y), Q3 = Q4 = Q5 = (x, y) Ta câ Ass(I) = {(x), (y), (x, y)} Do õ, (x), (y) l cĂc iảan nguyản tố cổ lêp, (x, y) l  i¶an nguy¶n tè nhóng B i 3.2.2 Cho v nh a thùc K[x, y, z], â K l  mởt trữớng PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ tẳm têp Ass(I), cĂc iảan nguyản tố cổ lêp v cĂc iảan nguyản tố nhúng i) I = (x21, x22, x1x2x3) ii) I = (x21, x1x2, x1x3, x22) B i l m i) Cho I = (x21, x22, x1x2x3) Ta câ I = (x21 , x22 , x1 x2 x3 ) = (x21 , x22 , x1 ) ∩ (x21 , x22 , x2 ) ∩ (x21 , x22 , x3 ) (3.5) 19 2 M°t kh¡c ta °t Q1√= (x1, x22), Q2 =√(x21, x2), Q3 = (x √ , x2 , x3 ) l  c¡c th nh phƯn nguyản sỡ cừa I Ta thĐy Q1 = (x1, x2), Q2 = (x1, x2), Q3 = (x1, x2, x3) Khi â Ass(I) = {(x1, x2); ((x1, x2, x3)} Do õ (x1, x2) l iảan nguyản tố cổ lêp v (x1, x2, x3) l  i¶an nguy¶n tè nhóng ii) I = (x21, x1x2, x1x3, x22) Ta câ I = (x21 , x1 x2 , x1 x3 , x22 ) = (x1 , x22 ) ∩ (x21 , x2 , x3 ) Ta °t Q1 √ = (x1 , x22 ), Q2 = (x21 , x2 , x3 ) l  c¡c thnh phƯn nguyản sỡ cừa I Ta Q1 = (x1 , x2 ), Q2 = (x1 , x2 , x3 ) Khi â, Ass(I) = {(x1 , x2 ), (x1 , x2 , x3 )} Ð (x1 , x2 ) l iảan nguyản tố cổ lêp, cỏn (x1 , x2 , x3 ) l iảan nguyản tố nhúng thĐy ¥y, B i 3.2.3 Cho v nh a thùc K[x, y, z, t], õ K l mởt trữớng PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ, tẳm têp Ass(I) XĂc nh nguyản tố cổ lêp v nguyản tố nhóng i) I = (x2, y2, z2, xyzt) ii) I = (x3, y2, z, xyzt) B i l m i) Ta câ I = (x2 , y , z , xyzt) = ((x2 , y , z , x) ∩ (x2 , y , z , y) ∩ (x2 , y , z , z) ∩ (x2 , y , z , t) M°t kh¡c, ta °t Q1 = (x, y2, z2), Q2 = (x2, y,√z 2), Q3 = (x2, y√2, z), Q4 = (x2, y√2, z2, t) l  c¡c th nh √ phƯn nguyản sỡ cừa I Ta thĐy Q1 = (x, y, z), Q2 = (x, y, z), Q3 = (x, y, z), Q4 = (x, y, z, t) Khi â Ass(I) = {(x, y, z), (x, y, z, t)} Trong õ (x, y, z) l nguyản tố cổ lêp v  (x, y, z, t) l  nguy¶n tè nhóng ii) Ta câ: I = (x3 , y , z, xyzt) = (x3 , y , z, x) ∩ (x3 , y , z, y) ∩ (x3 , y , z, z) ∩ (x3 , y , z, t) = (x, y , z) ∩ (x3 , y, z) ∩ (x3 , y , z) ∩ (x3 , y , z, t) Tªp Ass(I) = {(x, y, z), (x, y, z, t)} Trong õ, (x, y, z) l nguyản tố cổ lêp v (x, y, z, t) l  nguy¶n tè nhóng B i 3.2.4 Cho v nh a thùc K[x, y, z], â K l mởt trữớng PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ, tẳm têp Ass(I) XĂc nh cĂc nguyản tố cổ lêp v nguyản tố nhúng i) I = (x3y, xyz2, x) ii) I = (x2, xy, y9) B i l m 20 i) Ta câ I = (x3 y, xyz , x) = (xyz , x) ∩ (y, xyz , x) = (x) ∩ (x, y) ∩ (x, z ) ∩ (y, x) ∩ (z , x) = (x) ∩ (x, y) ∩ (x, z ) Ta °t√ Q1 = (x),√Q2 = (x, y), Q3 = (x, z2) l cĂc thnh phƯn nguyản cõa I Ta th§y Q1 = (x), Q2 = (x, y), Q3 = (x, z) Khi â tªp Ass(I) = {(x), (x, y), (x, z)} Trong â, (x) l nguyản tố cổ lêp, cỏn (x, y), (x, z) l  c¡c nguy¶n tè nhóng ii) Ta câ I = (x2 , xy, y ) = (x, y ) ∩ (x2 , y) Tªp Ass(I) = {(x, y)} B i 3.2.5 Cho v nh a thùc K[x, y, z], õ K l mởt trữớng.PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ, tẳm têp Ass(I) i) I = (xyz, y2z, xz3) ii) I = (x4y3z2, xyz2, xy3) B i l m i) Ta câ I = (xyz, y z, xz ) = (xyz, y z, x) ∩ (xyz, y z, z ) = [(xyz, y , x) ∩ (xyz, z, x)] ∩ [((xyz, y , z ) ∩ (xyz, z)] = [(x, y ) ∩ (x, y) ∩ (x, y , z) ∩ (x, z) ∩ (x, y, z)] ∩ [(x, y , z ) ∩ (x, z ) ∩ (z, y ) ∩ (z) ∩ (z, y)] = (z) ∩ (x, y) ∩ (x, z) ∩ (y, z) ∩ (x, y ) ∩ (z, y ) ∩ (y, z ) ∩ (x, y , z ) ∩ (x, y, z) Tªp Ass(I) = {(z), (x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)} ii) Ta câ I = (x4 y z , xyz , xy ) = ((x4 y z , xyz , x) ∩ (x4 y z , xyz , y ) = [(x, xyz ) ∩ (y , xyz , x) ∩ (z , xyz , x)] ∩ [(x4 , xyz , y ) ∩ (y , xyz ) ∩ (z , xyz , y )] = [(x) ∩ (y , x) ∩ (x, y) ∩ (y , z , x) ∩ (z , x) ∩ (z , y, x)] ∩ [(x4 , y) ∩ (x4 , z , y ) ∩ (y) ∩ (y , z ) ∩ (z , y)] = (x) ∩ (y) ∩ (x, y) ∩ (x, z ) ∩ (x, y ) ∩ (x4 , y) ∩ (y, z ) ∩ (y , z ) ∩ (x, y , z ) ∩ (x4 , y , z ) Tªp Ass(I) = {(x), (y), (x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)} B i 3.2.6 Cho v nh a thùc K , õ K l mởt trữớng.PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ, tẳm têp Ass(I) i) I = (x21x52x73, x43x54, x2x93) 21 ii) I = (x31 x52 x53 , x21 x63 , x32 x73 ) B i l m i) Ta câ I = (x21 x52 x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = (x21 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = [(x21 , x43 , x2 x93 ) ∩ (x21 , x54 , x2 x93 )] ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = [(x21 , x43 , x2 ) ∩ (x21 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 )] ∩ (x52 , x43 x54 , x2 x93 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = [(x21 , x43 , x2 ) ∩ (x21 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 )] ∩ [, x43 , x2 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 )] ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = (x21 , x43 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 ) ∩ (x73 , x43 x54 , x2 x93 ) = (x21 , x43 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x43 ) ∩ (x21 , x2 , x54 ) ∩ (x21 , x93 , x54 ) ∩ (x52 , x43 , x54 ) ∩ [(x33 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x33 , x54 ) ∩ (x2 , x73 , x54 )] Tªp Ass(I) = {(x3), (x1, x3), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x1, x3, x4), (x2, x3, x4 ii) Ta câ I = (x31 x52 x53 , x21 x63 , x32 x73 ) = (x31 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 ) = [(x21 , x32 x73 ) ∩ (x31 , x63 , x32 x73 )] ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 ) = [(x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 )] ∩ (x52 , x21 x63 , x32 x73 ) ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 ) = [(x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 )] ∩ [(x21 , x32 ) ∩ (x52 , x63 ) ∩ (x32 , x63 ) ∩ (x21 , x52 , x73 )] ∩ (x53 , x21 x63 , x32 x73 ) = (x21 , x32 ) ∩ (x21 , x73 ∩ (x31 , x63 ) ∩ (x31 , x63 , x32 ) ∩ (x52 , x63 ) ∩ (x32 , x63 ) ∩ (x21 , x52 , x73 ) ∩ [(x53 ) ∩ (x21 , x53 ) ∩ (x53 , x32 ) ∩ (x53 , x21 , x32 )] T¥p Ass(I) = {(x3), (x1, x2), (x1, x3), (x2, x3), (x1, x2, x3)} B i 3.2.7 Cho v nh a thùc K[x1, x2, x3, x4], õ K l mởt trữớng PhƠn tẵch I thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ.Tứ õ tẳm têp Ass(I) i) I = (x31x2x43, x32x53x24, x33x64) ii) I = (x21x43x54, x22x73x44, x71x2) B i l m i) Ta câ I = (x31 x2 x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) = (x31 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) °t I1 = (x31, x32x53x24, x33x64), I2 = (x2, x32x53x24, x33x64), I3 = (x43, x32x53x24, x33x64) Ta câ I1 = (x31 , x32 , x33 x64 ) ∩ (x31 , x53 , x33 x64 ) ∩ (x31 , x24 , x33 x64 ) = (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x31 , x33 , x24 ) ∩ (x31 , x24 ) = (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x31 , x64 ) 22 I2 = (x2 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) = (x2 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x53 , x33 x64 ) ∩ (x2 , x24 , x33 x64 ) = (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x53 , x64 ) ∩ (x2 , x24 , x33 ) ∩ (x2 , x24 ) = (x2 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x2 , x53 , x64 ) I3 = (x43 , x32 x53 x24 , x33 x64 ) = (x43 , x32 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x33 x64 ) ∩ (x43 , x24 , x33 x64 ) = (x32 , x33 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ) ∩ (x33 ) ∩ (x43 , x64 ) ∩ (x33 , x24 ) ∩ (x43 , x24 ) = (x32 , x33 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ) ∩ (x33 ) ∩ (x43 , x64 ) Ta câ I = I1 ∩ I2 ∩ I3 = (x3 )3 ∩ (x31 , x53 ) ∩ (x31 , x64 ) ∩ (x32 , x33 ) ∩ (x2 , x64 ) ∩ (x43 , x64 ) ∩ (x31 , x32 , x33 ) ∩ (x31 , x32 , x64 ) ∩ (x31 , x53 , x24 ) ∩ (x32 , x43 , x64 ) Tªp Ass(I) = {(x3), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x2, x4), (x3, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x1, x3, x4)} ii) Ta câ I = (x21 x43 x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) = (x21 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) ∩ (x43 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) °t I1 = (x21, x22x73x44, x71x2), I2 = (x43, x22x73x44, x71x2), I3 = (x54, x22x73x44, x71x2) Ta câ I1 = (x21 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) = (x21 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x21 , x73 , x71 x2 ) ∩ (x21 , x44 , x71 x2 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x2 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x21 , x2 , x73 ) ∩ (x21 , x44 ) ∩ (x21 , x2 , x44 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x21 , x2 , x73 ) ∩ (x21 , x44 ) ∩ (x21 , x2 , x44 ) I2 = (x43 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) = (x43 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x43 , x1 x2 ) ∩ (x43 , x44 , x71 x2 ) = (x71 , x22 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x71 , x43 , x44 ) ∩ (x2 , x43 , x44 ) = (x71 , x22 , x43 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x43 )) ∩ (x71 , x43 , x44 ) ∩ (x2 , x43 , x44 ) I3 = (x54 , x22 x73 x44 , x71 x2 ) = (x54 , x22 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 x2 ) ∩ (x54 , x44 , x71 x2 ) = (x54 , x22 , x71 ) ∩ (x54 , x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 ) ∩ (x54 , x73 , x2 ) ∩ (x44 , x71 ) ∩ (x44 , x2 ) = (x54 , x22 , x71 ) ∩ (x54 , x2 ) ∩ (x54 , x73 , x71 ) ∩ (x54 , x73 , x2 ) ∩ (x44 , x71 ) Ta câ I = I1 ∩ I2 ∩ I3 = (x21 , x22 ) ∩ (x21 , x73 ) ∩ (x71 , x44 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x2 , x54 ) ∩ [(x21 , x2 , x73 ) ∩ (x71 , x22 , x43 )] ∩ (x71 , x22 , x54 ) ∩ (x71 , x73 , x54 ) ∩ (x2 , x73 , x54 ) Tªp Ass I = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x2, x4), (x1, x2, x3), (x1, x2, x4), (x2, x3, x4)} 23 Bi 3.2.8 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ tẳm têp Ass(I) i) I = 30Z ii) I = 55Z B i l m i) Ta câ I = 30Z = 2Z ∩ 3Z ∩ 5Z Tªp Ass(I) = {2Z, 3Z, 5Z} ii) Ta câ I = 55Z = 5Z ∩ 11Z Tªp Ass(I) = {5Z, 11Z} Bi 3.2.9 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ tẳm têp Ass(I) i) I = 2018Z ii) I = 2020Z B i l m i) Ta câ I = 2018Z = 2Z ∩ 1009Z Tªp Ass(I) = {2Z, 1009Z} ii) Ta câ I = 2020Z = 22Z ∩ 5Z ∩ 101Z Tªp Ass(I) = {2Z, 5Z, 101Z} B i 3.2.10 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn nguyản sỡ Tứ õ tẳm têp Ass(I) i) I = 10000Z ii) I = 22500Z B i l m i) Ta câ I = 10000Z = 24.54Z = 24Z ∩ 54Z Tªp Ass(I) = {2Z, 5Z} ii) Ta câ I = 22500Z = 22Z ∩ 32Z ∩ 54Z Tªp Ass(I) = {2Z, 3Z, 5Z} 24 Kát luên sau à ti "PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan ỡn thực"  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ Giợi thiằu lÔi phƠn tẵch nguyản sỡ cừa iảan Giợi thiằu khĂi niằm têp iảan nguyản tố liản kát Tẵnh toĂn cử th trản vnh a thực v  v nh Z 25 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t [1] Lả TuĐn Hoa, Ôi số mĂy tẵnh, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc Quốc gia H Nởi, 2003 [2] Hong XuƠn Sẵnh, Ôi số Ôi cữỡng, Nh xuĐt bÊn GiĂo dưc Vi»t Nam, 1972 Ti¸ng Anh [3] J.Herzog and T.Hibi, Monomical ideals, Springer Press, 2011 [4] R.Y.Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 2000 26