Iđêan đơn thức và sự phân tích của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ AMMONE IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN THÁI NGUYÊN -... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ AMMONE IĐÊAN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

AMMONE

IĐÊAN ĐƠN THỨC

VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

THÁI NGUYÊN -

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

AMMONE

IĐÊAN ĐƠN THỨC

VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết

số Mã số: 62.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

Người hướng dẫn khoa

TS TRẦN NGUYÊN THÁI NGUYÊN -

Mục

MỞ ĐẦU

Chương 1 Iđêan đơn thức

1.1 Phép toán iđêan

1.2 Vành đa thức nhiều biến

1.3 Iđêan đơn thức

1.4 Tập sinh và phép toán của iđêan đơn thức

1.5 Iđêan đơn thức m-bất khả quy và sự phân tích

Chương 2 Phân tích đơn thức bất khả quy của iđêan không chứa bình phương 39 2.1 Iđêan đơn thức không chứa bình phương

2.2 Đồ thị và iđêan cạnh

2.3 Phân tích của iđêan cạnh

2.4 Phức đơn hình và iđêan mặt

2.5 Phân tích của iđêan mặt

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

Lời cam

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.

Tác giả luận

AMMONE

Lời cảm

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên

An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc

và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập.

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình.

Thái Nguyên, tháng 5 năm

Tác giả luận

AMMONE

MỞ

√

√

Định lý Cơ bản của Số học chỉ ra rằng mọi số nguyên n > 2 luôn phân tích

được thành tích các số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử Trong Đại số có rất nhiều kết quả tương tự nảy sinh, chẳng hạn: mọi đa thức khác hằng trên một trường phân tích được thành tích các đa thức bất khả quy và sự phân tích đó cũng là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử Các ví dụ trên đều có một đối tượng chung là phân tích thành nhân tử "bất khả quy", tức là các phần tử không phân tích được thành các nhân tử "không tầm thường" Một cách tổng quát, trong một vành giao

hoán có đơn vị R liệu các phần tử của R có thể phân tích được thành tích các

phần tử bất khả quy Một ví dụ chỉ ra điều này không đúng là vành Z[ −5] =

6R = I1I2 =

là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử Trong nghiên cứu người ta đã chỉ ra phân tích thành tích các iđêan không có ý nghĩa.

Vào những năm 1900 Emanuel Lasker và Emmy Noether đã nhận ra rằng tốt

hơn là ta xét giao thay cho tích Ý tưởng là tương tự ngoại trừ một iđêan I là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành giao của 2 iđêan thực sự chứa I Họ

cũng chỉ ra sự phân tích như vậy tồn tại trong một lớp vành đủ rộng.

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các iđêan đơn thức trong vành R

thức trong R có thể viết thành giao của các iđêan đơn thức "m-bất khả quy", tức

các iđêan đơn thức không thể viết thành giao của các iđêan đơn thức thực sự chứa nó Một phân tích như vậy gọi là phân tích m-bất khả quy Cũng phải nói thêm rằng iđêan đơn thức là đơn giản nhất trong vành đa thức Nhiều kết quả cho thấy việc nghiên cứu một iđêan bất kỳ có thể chuyển về nghiên cứu iđêan đơn thức Hơn nữa ta có thể dùng iđêan đơn thức để nghiên cứu một số đối tượng trong Tổ hợp, Hình học, Lý thuyết đồ thị, Tôpô và ngược lại.

hiểu một số vấn đề về iđêan đơn thức: tập sinh của iđêan đơn thức, phép toán trên tập iđêan đơn thức, iđêan đơn thức m-bất khả quy và sự phân tích một iđêan đơn thức thành giao của các iđêan đơn thức bất khả quy.

Chương 2 tìm hiểu về phân tích bất khả quy của một lớp iđêan đặc biệt là iđêan đơn thức không chứa bình phương Một ví dụ của lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương là iđêan cạnh và iđêan mặt, hai đối tượng quan trọng trong Hình học Đại số.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Nguyên

An Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn các thầy cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học

Sư phạm -Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.

Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động viên tôi để tôi

có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình.

Thái Nguyên, tháng 5 năm

Tác giả luận

AMMONE

Chương

Iđêan đơn

Trong toàn bộ luận văn ta luôn quy ước vành là vành giao hoán có đơn vị

và thường được ký hiệu là A Để dễ theo dõi ta nhắc lại một số phép toán trên

iđêan và vành đa thức.

1.1 Phép toán

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I, J là các iđêan của vành

(i) Giao của I và J là I ∩ J = {x ∈ A | x ∈ I và x ∈

Đặc biệt nếu I = hxi thì I.J = {xy | y ∈ J}, còn được ký hiệu là

(iv) Thương của I và J là I : J = {x ∈ A | xJ ⊆

(v) Căn của I là rad(I) = {x ∈ A | ∃n ∈ N, xn ∈ I}

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử I, J, K là các iđêan của vành A Khi

(i) I ∩ J, I + J, IJ, I : J, rad I là các iđêan của A, I + J sinh bởi I ∪ J, IJ sinh bởi X = {xy | x ∈ I, y ∈ J}.

(ii) Phép lấy giao, tổng và tích các iđêan có tính chất giao hoán, kết (iii) I(J + K) = IJ +

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử I, J, K là các iđêan của A Khi

(i) I ⊆ rad(I) Nếu I ⊆ J thì rad(I) ⊆

(ii) rad(rad(I)) =

(iii) rad(IJ) = rad(I ∩ J) = rad(I) ∩

(iv) rad(I) = R khi và chi khi 1 ∈

Với các ký hiệu trên ta cũng có Xm X n = X m+n , (X m)p = X pm

Cho d là một số nguyên dương và xét quan hệ < trên Nd như sau: (a

(i) Vành A là vành con của

(ii) Có một phần tử X ∈ A[X] \ A sao cho ∀ f ∈ A[X], ∃n ∈ N và a0, a

cao nhất của f Nếu hệ số của số hạng cao nhất của f bằng 1 thì f được gọi là monic Hệ số

kí hiệu f =

i∈Λ a

Chú ý: Đa thức hằng 0 ∈ A[X] không định nghĩa

Định nghĩa 1.2.4 (i) Quy nạp, với d > 2, vành đa thức d biến X1, , X

(i) Vành A là một vành con của

(ii) Với mọi f ∈ A[X1, , X

1.3 Iđêan đơn

Định nghĩa 1.3.1 Cho R = A[X1, , X

A Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R sinh bởi các đơn thức.

Ví dụ 4 Đặt R =

(i) Iđêan I = (X2, Y3)R là một iđêan đơn thức Lưu ý rằng I chứa đa thức X2 − Y3

(ii) Iđêan J = (Y2 − X3, X3)R là một iđêan đơn thức vì J = (Y2, X3)R.

(iii) Iđêan tầm thường 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (∅)R và R = 1R

= X0 X0R.

Định nghĩa 1.3.2 Đặt R = A[X1, , X

ký hiệu tập hợp tất cả các đơn thức trong I.

Nhận xét Đặt R = A[X1, , X

hợp [[I]] ⊂ R là một tập vô hạn nhưng không là iđêan Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩ [[R]].

Bổ đề 1.3.3 Đặt R = A[X1, , X

([[I]])R.

Chứng minh Cho S là một tập hợp các đơn thức sinh ra I Suy ra ⊆ [[I]] ⊆ I,

vậy I = (S )R ⊆ ([[I]])R ⊆ I Ta có điều phải chứng

Mệnh đề 1.3.4 Đặt R = A[X1, , X

(i) I ⊆ J nếu và chỉ nếu [[I]] ⊆

(ii) I = J nếu và chỉ nếu [[I]] =

Chứng minh (i) Nếu I ⊆ J thì [[I]] = I ∩ [[R]] ⊆ J ∩ [[R]] = [[J]] Ngược lại,

nếu [[I]] ⊆ [[J]] thì theo Bổ đề 1.3.3 ta có I = ([[I]])R ⊆ ([[J]])R = J.

(ii) Suy ra từ ý (i).

Định nghĩa 1.3.5 Đặt R =

(i) Cho f và g là các đơn thức trong R Khi đó f gọi là một bội đơn thức của

g nếu có một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.

(ii) Cho một đơn thức f = Xn ∈ R, bộ gồm d số tự nhiên n ∈ Nd gọi là véctơ lũy thừa của f.

Bổ đề 1.3.6 Đặt R = A[X1, , X

Nếu h là một đa thức trong R sao cho f = gh thì m

Ví dụ 5 Đặt R = A[X, Y] Khi đó XY7 không là bội của X2Y, nhưng X2Y7 là một bội

của X2Y.

Bổ đề 1.3.7 Đặt R = A[X1, , X

Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈

(ii) f là một bội của

(iii) f là một bội đơn thức của

(iv) m <

(v) m ∈

Chứng minh (i) ⇔ (ii) Từ định nghĩa, ta có f ∈ gR khi và chỉ khi f là một bội

của g.

(ii) ⇒ (iii) : Suy ra từ Bổ

(iii) ⇒ (ii) : Suy ra từ định nghĩa, f là một bội đơn thức của g thì f là một bội của g.

(iii) ⇒ (iv) : Giả sử f = gh trong đó h = Xp Suy ra

i với mỗi i, vì vậy m < n.

(iv) ⇒ (iii) : Giả sử m < n Từ định nghĩa, ta có m

là thứ tự sau đây: X m < X n khi X m là một bội của X n

Bổ đề 1.3.9 Đặt R = A[X1, , X

Chứng minh Vì thứ tự < trên Nd là một quan hệ thứ tự

Ta có điều phải chứng minh.

Xm ∈ Xn i R ⊆ (X n1, , X n m )R = I.

Từ định nghĩa suy ra m ∈

Ngược lại giả sử rằng p ∈ Γ(I) Khi đó Xp ∈ I = (Xn1, , X n m )R Theo Định lí

1.3.10 suy ra tồn j sao cho Xp ∈ Xn j R Từ Bổ đề 1.3.7 ta kết luận p ∈ [n

Ví dụ 6 (i) Đặt R = A[X, Y] Đồ thị của iđêan I = (X4, X3Y, Y2)R là tập hợp Γ(I) =

0

Mệnh đề 1.3.13 Đặt R = A[X1, , X

kiện sau là tương đương:

(i) I là iđêan đơn

(ii) Với mọi f ∈ R, f ∈ I khi và chỉ khi supp( f ) ⊆

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f ∈ I Khi đó tồn tại các iđêan đơn thức u1, , u

m ∈ I

0

i ) i=1

Với mỗi v ∈ supp( fi u

(ii) ⇒ (i) Theo (ii) ta có I = ([[I]])R Do đó I là iđêan đơn thức.

1.4 Tập sinh và phép toán của iđêan đơn

Định lý 1.4.1 (Bổ đề Dickson) Đặt R = A[X1, , X

của R là hữu hạn sinh Hơn nữa, nó sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức.

Chứng minh Cho I ⊆ R là một iđêan đơn thức Không mất tính tổng quát ta có

thể giả sử I , 0 Ta chứng minh quy nạp theo d.

Với d = 1 : Trong trường hợp này, ta viết R = A[X]

r = min{e > 0 | Xe ∈

Khi đó Xr ∈ I và vì vậy (Xr )R ⊆ I Ta sẽ chứng minh (X r )R ⊇ I Vì I được sinh bởi các

Giả sử d > 2 và mọi iđêan đơn thức của vành R′ = A[X

và J = (S )R′ Theo định nghĩa J là một iđêan đơn thức của R′ Giả thiết quy nạp suy ra J

thiết quy nạp nó là hữu hạn sinh, J

Ta chứng minh I′ = I Ta chỉ cần chứng minh I′ ⊇ I Vì I được sinh bởi các đơn thức của

(i) Cho một chuỗi I1 ⊆ I

Trong trường hợp đặc biệt, K không là một

, có một phần tử I

1 ∈ P

sao cho K ( I

1 Từ giả

thiết K không được chứa trong một phần tử tối đại của P, suy ra I không là phần tử

chuỗi mâu thuẫn với (i) Điều giả sử là sai Vậy K phải được chứa trong một

phần tử tối đại của P

đối với I nếu z

j , i , j.

Ví dụ 7 Đặt R = A[X, Y] Vì X2Y | X2Y2 nên X3, X2Y, X2Y2, Y5 là một dãy sinh

không rút gọn đối với iđêan (X3, X2Y, X2Y2, Y5)R Dãy X3, X2Y, XY2, Y3 là một dãy sinh đơn

X3, X2Y, XY2, Y3 là bội của đơn thức còn lại

(i) Dãy sinh z1, , z

i Từ Bổ đề 1.3.7 suy ra z i là một bội đơn thức của z

(ii) ⇒ (iii) : Nếu zi < (z

1, , z

(i) Mọi tập sinh đơn thức trong I đều chứa một dãy sinh đơn thức rút gọn

(ii) Iđêan I có một dãy sinh đơn thức rút

(iii) Dãy sinh đơn thức rút gọn là duy

Chứng minh (i) Giả sử I = (S )R, không mất tính tổng quát ta giả sử S , ∅

Theo Hệ quả 1.4.2, I có thể được sinh bởi một dãy hữu hạn các đơn thức

dãy cho đến khi còn lại các phần tử tạo thành một dãy sinh đơn thức rút gọn đối với I Quá

trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước vì dãy ban đầu là hữu hạn

(ii) Theo định nghĩa, iđêan I có một tập sinh đơn thức, vì vậy kết luận được

rút gọn Trong trường hợp này, thuật toán dừng lại.

Bước 1b Nếu tồn tại chỉ số i và j sao cho i , j và zj ∈ (z

rút gọn; ta thực hiện tiếp Bước 2

Bước 2 Giảm dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử sinh làm cho dãy không

rút gọn trong dãy sinh đó Theo giả thiết, tồn tại chỉ số i và j sao cho i , j và zj ∈

1 cho một dãy các đơn thức mới z

1, , z

m−1

Thuật toán sẽ dừng lại sau m − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất m − 1

đơn thức từ dãy và còn lại một iđêan khác 0.

Ví dụ 8 Đặt R = A[X, Y] Dùng Thuật toán 1.4.7, ta thấy dãy X3, X2Y, Y5 là một

dãy sinh đơn thức rút gọn trong iđêan (X3, X2Y, X2Y2, Y5)R.

Theo Định lí 1.4.6 (i), S′ chứa một dãy sinh đơn thức rút gọn s

i ∈ {s

1, , s

(ii) Tập hợp Δ′ tương ứng 1- 1 với S′ Do đó là tập hữu hạn

Tiếp theo ta xét một số phép toán trên iđêan đơn

Ví dụ 9 Đặt R = A[X, Y, Z] Ta tính bội chung nhỏ nhất của f = XY4Z8 và g = X3Z5

Ký hiệu như nhận xét trên, ta có m = (1, 4, 8) và n = (3, 0, 5), và do đó p = (3, 4, 8) Vậy lcm(XY4Z8, X3Z5) = X3Y4Z8

Ví dụ 10 Đặt R = A[X, Y] Ta tính giao (X, Y2)R ∩ (X2Y)R Theo Định lí 1.4.9 ta có

Từ điều này, ta thấy rằng (X, Y2)R ∩ (X2, Y)R = (X2, Y2)R = (lcm(XY2, X2Y))R Nói

◦ 4

.

0

Sử dụng Mệnh đề 1.4.8 và kiểm tra trực quan bằng đồ thị, ta xác định được

một dãy sinh đơn thức rút gọn trong I là Y3, X2Y, X3

Ta sử dụng Mệnh đề 1.4.12 và Thuật toán 1.4.7 để tìm một dãy sinh đơn thức rút

gọn trong I Kí hiệu như Mệnh đề 1.4.12, ta có f1 = X2, f

2 = Y3, g

1 = X3, g

Theo Mệnh đề 1.4.12 suy ra dãy X3, X3Y3, X2Y, Y3 là dãy sinh trong I.

Ta sử dụng Thuật toán 1.4.7 để tìm dãy sinh đơn thức rút gọn trong iđêan

Đơn thức X3Y3 là một bội của X3, vì vậy ta loại X3Y3 ra khỏi dãy Ta được một dãy

mới dùng để xét là X3, X2Y, Y3 Không có đơn thức nào trong dãy là một bội của các đơn thức còn lại vì các véctơ lũy thừa (3, 0), (2, 1) và (0, 3) không thể bằng nhau Do đó, dãy

Ví dụ 12 Đặt R = A[X, Y] và I = (X3, X2Y, Y3)R Đồ thị Γ(I) có dạng (Hình 1.9)

0

Góc dạng q (Hình 1.10) gợi ý chia đồ thị thành hai phần và cho thấy sự phân

tích của Γ(I) : và cuối cùng ta có sự phân tích (Hình 1.11).

Định lý 1.4.13 Đặt R = A[X1, , X

(J :

R I) là một iđêan đơn thức của R.

hợp các đơn thức trong (J :

R I) = (J :

R zR) và đặt K = (S )R Bằng cách xây dựng

0

Ví dụ 13 Đặt R = A[X, Y] Cho I là một iđêan đơn thức của R và đặt X =

(X, Y)R Một đơn thức f ∈ R nằm trong (I :R X) nếu và chỉ nếu f X, f Y ∈ I (xem Mệnh đề 1.3.13(ii)) Mối quan hệ giữa các phần tử f, f X, f Y được thể hiện qua đồ thị Hình

1.12:

f f

tự (a + 1, b) và (a, b + 1) đều nằm trong đồ thị Γ(I).

Sau đây ta tìm hiểu phép toán căn trên tập iđêan đơn thức Nếu vành cơ sở là một trường thì ta có kết quả sau (xem [2], Mệnh đề.1.2.3).

Mệnh đề 1.4.14 Cho K là một trường, và cho I là một iđêan đơn thức trong

vành đa thức d biến R = K[X1, , X

Trên vành bất kỳ điều đó không còn đúng

Ví dụ 14 Cho R = Z4[X] là vành đa thức một biến, iđêan J = (X)R là một iđêan đơn thức Tuy nhiên, iđêan rad(J) = (2, X)R không phải là một iđêan đơn thức.

Định nghĩa 1.4.15 Đặt R = A[X1, , X

đơn thức của J là iđêan đơn thức m-rad(J) = (S )R, trong đó

S = {z ∈ [[R]] | zn ∈ J với n > 1}

Nhận xét Kí hiệu như Định nghĩa 1.4.15, ta có S = rad(J) ∩

Ví dụ 15 Đặt R = A[X, Y] Ta có m-rad((X3, Y2)R) = (X, Y)R và m-rad((X3Y2)R) = (XY)R.

Kết quả sau cho mối quan hệ giữa rad(J) và

m-Mệnh đề 1.4.16 Đặt R = A[X1, , X

(i) m-rad(J) ⊆

(ii) m-rad(J) = rad(J) nếu và chỉ nếu rad(J) là một iđêan đơn

(iii) Nếu A là một trường thì m-rad(J) = rad(J) là iđêan đơn

Chứng minh (i) Iđêan m-rad(J) được sinh bởi tập S = rad(J) ∩ [[R]] ⊆ rad(J),

vì vậy ta có m-rad(J) ⊆ rad(J).

(ii) Nếu rad(J) là một iđêan đơn thức,