Iđêan đơn thức và sự phân tích của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ AMMONE IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN THÁI NGUYÊN - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ AMMONE IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN Người hướng dẫn khoa TS TRẦN NGUYÊN THÁI NGUYÊN - Mục MỞ ĐẦU Chương Iđêan đơn thức 1.1 Phép toán iđêan 1.2 Vành đa thức nhiều biến 1.3 Iđêan đơn thức 1.4 Tập sinh phép toán iđêan đơn thức 1.5 Iđêan đơn thức m-bất khả quy phân tích Chương Phân tích đơn thức bất khả quy iđêan không chứa bình phương 39 2.1 Iđêan đơn thức không chứa bình phương 2.2 Đồ thị iđêan cạnh 2.3 Phân tích iđêan cạnh 2.4 Phức đơn hình iđêan mặt 2.5 Phân tích iđêan mặt KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo Lời cam Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Tác giả luận AMMONE Xác nhận khoa Toán Xác nhận cán hướng Lời cảm Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để hoàn thành tốt luận văn khóa học Thái Nguyên, tháng năm Tác giả luận AMMONE MỞ Định lý Cơ Số học số nguyên n > phân tích thành tích số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Trong Đại số có nhiều kết tương tự nảy sinh, chẳng hạn: đa thức khác trường phân tích thành tích đa thức bất khả quy phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Các ví dụ có đối tượng chung phân tích thành nhân tử "bất khả quy", tức phần tử không phân tích thành nhân tử "không tầm thường" Một cách tổng quát, vành giao hoán có đơn vị R liệu phần tử R phân tích thành tích √ phần tử bất khả quy Một ví dụ điều không vành Z[ −5] = √ {a + b −5 | a, b ∈ Z} Trong vành ta có = 2.3 = (1 + −5)(1 − −5) Vào đầu năm 1800 Ernst Kummer Julius Wilhelm Richard Dedekind nhận toán chỉnh sửa Thay cho việc phân tích phần tử r ∈ R ta phân tích tập rR thành tích rR = I1.I2 In, Ii tập √ tương tự Các tập "tương tự" gọi iđêan Khi vành Z[ −5] ta có 6R = I1 I2 = sai khác thứ tự nhân tử Trong nghiên cứu người ta phân tích thành tích iđêan ý nghĩa Vào năm 1900 Emanuel Lasker Emmy Noether nhận tốt ta xét giao thay cho tích Ý tưởng tương tự ngoại trừ iđêan I bất khả quy không phân tích thành giao iđêan thực chứa I Họ phân tích tồn lớp vành đủ rộng Mục đích luận văn nghiên cứu iđêan đơn thức vành R A[X1, , Xd ] với hệ tử vành giao hoán A biến X1, , Xd , tức iđêan sinh n n đơn thức X1 X d Luận văn tìm hiểu kết iđêan đơn d thức R viết thành giao iđêan đơn thức "m-bất khả quy", tức iđêan đơn thức viết thành giao iđêan đơn thức thực chứa Một phân tích gọi phân tích m-bất khả quy Cũng phải nói thêm iđêan đơn thức đơn giản vành đa thức Nhiều kết cho thấy việc nghiên cứu iđêan chuyển nghiên cứu iđêan đơn thức Hơn ta dùng iđêan đơn thức để nghiên cứu số đối tượng Tổ hợp, Hình học, Lý thuyết đồ thị, Tôpô ngược lại Luận văn bao gồm chương Chương tìm hiểu số vấn đề iđêan đơn thức: tập sinh iđêan đơn thức, phép toán tập iđêan đơn thức, iđêan đơn thức m-bất khả quy phân tích iđêan đơn thức thành giao iđêan đơn thức bất khả quy Chương tìm hiểu phân tích bất khả quy lớp iđêan đặc biệt iđêan đơn thức không chứa bình phương Một ví dụ lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương iđêan cạnh iđêan mặt, hai đối tượng quan trọng Hình học Đại số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Trần Nguyên An Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn thầy cô Viện Toán học, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm -Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập trường Cuối xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên để hoàn thành luận văn khóa học Thái Nguyên, tháng năm Tác giả luận AMMONE Chương Iđêan đơn Trong toàn luận văn ta quy ước vành vành giao hoán có đơn vị thường ký hiệu A Để dễ theo dõi ta nhắc lại số phép toán iđêan vành đa thức 1.1 Phép toán Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I, J iđêan vành (i) Giao I J I ∩ J = {x ∈ A | x ∈ I x ∈ (ii) Tổng I J I + J = {x + y | x ∈ I y ∈ (iii) Tích I J IJ = { Pn x y | n ∈ N, x ∈ I y ∈ J} i=1 i i i i Đặc biệt I = hxi I.J = {xy | y ∈ J}, ký hiệu (iv) Thương I J I : J = {x ∈ A | xJ ⊆ (v) Căn I rad(I) = {x ∈ A | ∃n ∈ N, xn ∈ I} Mệnh đề 1.1.2 Giả sử I, J, K iđêan vành A Khi (i) I ∩ J, I + J, I J, I : J, rad I iđêan A, I + J sinh I ∪ J, IJ sinh X = {xy | x ∈ I, y ∈ J} (ii) Phép lấy giao, tổng tích iđêan có tính chất giao hoán, kết (iii) I(J + K) = I J + Ví dụ Trong Z, cho I = mZ, J = nZ Ta có I ∩ J = BCNN(m, n)Z ; I + J = UCLN(m, n)Z ; I J = m.nZ ; I : J = α1 m UCLN(m,n) Z Giả sử m = p α p n1, α ∈ Nn \ i {0}, p p số nguyên tố phân biệt rad(mZ) = p p Z n n Ta định nghĩa giao tổng họ Định nghĩa 1.1.3 Cho (Iα )α∈Γ họ iđêan A Giao họ iđêan A xác định \ I = {x ∈ A | x ∈ I , ∀α ∈ Γ} α α Tổng họ iđêan, ký hiệu có X α P I ={ α∈Γ α X α α∈Γ I iđêan A sinh S I Ta α∈Γ α x | x ∈ I , Ω ⊆ Γ, |Ω| < ∞} α α α Lũy thừa iđêan I A xác định I I | n > I = A n lần Ta dễ thấy I iđêan sinh tập {x1 , , xt } I n sinh tập t X k1 kt {x1 x t | k = i i Mệnh đề 1.1.4 Giả sử I, J, K, (Ii )i∈Λ, (J j ) j∈Γ iđêan vành A Khi (i) I ⊆ I : (ii) (I : J)J ⊆ (iii) (I : J) : K = I : JK = (I : K) : J (iv) (v) I : ( T I :J= i∈Λ i P j∈Γ J )= j T (I : J) i∈Λ i T j∈Γ (I : J ) j Mệnh đề 1.1.5 Giả sử I, J, K iđêan A Khi (i) I ⊆ rad(I) Nếu I ⊆ J rad(I) ⊆ (ii) rad(rad(I)) = (iii) rad(I J) = rad(I ∩ J) = rad(I) ∩ (iv) rad(I) = R chi ∈ (v) rad(I + J) = rad(rad(I) + 1.2 Vành đa thức nhiều Trước hết ta có vài quy ước ký hiệu Cho d số nguyên dương, X1 , , Xd phần tử A Phần tử có dạng X n1 X n1d ∈ A, dtrong n1, , nd ∈ N gọi đơn thức phần tử X , , X Để đơn giản ta ký hiệu n = (n , , n ) d n ∈ N X = X n1 n d d d X d Phép cộng phép nhând với vô hướng N xác định bởi: với m = (m , , m ) , p ∈ N d n + m = (n1 + m1 , , nd + md ), pn = (pn1, , pnd ) Với ký hiệu ta có X m X n = X m+n , (X m ) p = X pm Cho d số nguyên dương xét quan hệ < Nd sau: (a1, , ad ) < (b , , b ) a > b theo thứ tự thông thường N, với i = 1, , d Ta có < quan hệ d i i thứ tự N Ví dụ Khi d = 2, ta có đồ thị tập hợp {n ∈ N2 | n < (1, 2)} Hình 1.1 Định nghĩa 1.2.1 Cho d số nguyên dương Với n ∈ Nd , ta định nghĩa [n] = {m ∈ Nd | m < n} = n + Nd Ví dụ Khi d = 2, đồ thị [(1, 2)] ∪ [(3, 1)] có dạng Hình n Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử phân tích J = ∩i=1 Ji thừa Điều có ′ nghĩa tồn số j , j cho J ⊆ J ′ , suy J = ∩ i j ′ i, j J i (ii) ⇒ (i) Giả sử có số j cho J = ∩i, j Ji Khi ta có ∩i, j Ji = J = ∩ ∩ n ′ J ⊆ J Theo Bổ đề 1.5.3 suy có số j cho J i=1 i j n J thừa ′ j ⊆ J Vì J = j i=1 i Định lý 1.5.11 Đặt R = A[X1 , , Xd ] Cho J iđêan đơn thức R có phân tích m-bất khả quy rút gọn J = ∩i=1 Ji = ∩nh=1 Ih Khi m = n có phép hoán vị σ ∈ S cho J = I n t σ(t) với t = 1, , n Chứng minh Trước hết ta chứng minh với t = 1, , n có số u m Iu = Jt Để chứng minh điều này, ta có: ∩h=1 Ih = J = ∩i=1 J ⊆ J Từ Bổ đề 1.5.3 suy có i t số u cho I ⊆ J Tương tự, ta có u t n m ∩i=1 J =J=∩ I ⊆I i h=1 h u theo Bổ đề 1.5.3 suy có số v cho Jv ⊆ Iu ⊆ Jt Vì phân tích n ∩i=1 Ji rút gọn, nên từ bao hàm thức J ⊆ J suy v = t, ta có J ⊆ I ⊆ J , nghĩa v t t u t I =J u t Với t = 1, , n có số u cho Iu = Jt Thật vậy, Iu = Jt = I ′ từ ∩ u m ′ I rút gọn nên suy u = u h=1 h Định nghĩa hàm σ : {1, , n} → {1, , m} cách cho σ(t) số u cho Iu = Jt Lập luận tương tự để ra: Với u = 1, , m có số t cho Iu = Jt Định nghĩa hàm ω : {1, , m} → {1, , n} cách cho ω(u) số t cho I = J Bằng cách xây dựng, hàm ω hàm nghịch đảo hai chiều u t σ, ta có điều phải chứng minh Chương Phân tích đơn thức bất khả quy iđêan không chứa bình phương 2.1 Iđêan đơn thức không chứa bình Định nghĩa 2.1.1 Đặt R = A[X1 , , Xd ] Đơn thức X n ∈ [[R]] gọi không chứa bình phương với i = 1, , d , ta có n ∈ {0, 1} Iđêan đơn thức J ⊆ R gọi không i chứa bình phương sinh đơn thức không chứa bình phương Ví dụ 22 Đặt R = A[X, Y, Z] Các đơn thức không chứa bình phương 1, X, Y, Z, XY, XZ, YZ, XY Iđêan (XY, YZ)R không chứa bình phương Iđêan (X 2Y, YZ )R không không chứa bình phương Nhận xét (i) Đặt R = A[X1, , Xd ] Đơn thức f ∈ [[R]] không chứa bình phương i f = red( f ) (đặc biệt đơn thức red( f ) không không chứa X , tức chứa bình phương) (ii) Đặt R = A[X1, , Xd ] Iđêan đơn thức R không chứa bình phương đơn thức dãy sinh đơn thức rút gọn không chứa bình phươn Mệnh đề 2.1.2 Đặt R = A[X1, , Xd ] Iđêan đơn thức J ⊆ R không chứa bình phương m-rad(J) = J Đặt biệt m-rad(J) không chứa bình phương Chứng minh Cho f1 , , fn ∈ [[J]] dãy sinh đơn thức rút gọn J Giả sử cho J không chứa bình phương Theo nhận xét fi không chứa bình phương Do f = red( f ) với i = 1, , n Theo Mệnh đề 1.4.21, suy i i m-rad(J) = (red( f1), , red( fn ))R = ( f1 , , fn )R = J Giả sử m-rad(J) = J Để chứng minh J không chứa bình phương, ta cần phải chứng minh fi không chứa bình phương, nghĩa fi = red( fi ) với i = 1, , n Theo Mệnh đề 1.4.21 suy J = m-rad(J) = (red( f1 ), , red( fn ))R Do đó, dãy sinh đơn thức rút gọn J dãy red( fi1 ), , red( fik ) Từ tính dãy sinh đơn thức rút gọn suy k = n Vì dãy sinh đơn thức rút gọn J red( f ), , red( f ), { f , , f } = {red( f ), , red( f )} Vậy, với i = 1, , n tồn j n n n i cho f = red( f i ) Theo Bổ đề ?? suy red( f i ) | f i Vậy ta có f | f i Theo dãy sinh rút gọn i j j j i j f , , f ta có j = i Vậy f = red( f ) n i i i Cuối J iđêan đơn thức tùy ý, ta có m-rad(m-rad(J)) = m-rad(J) Theo Mệnh đề 1.4.17 (iii) Do m-rad(J) không chứa bình phương 2.2 Đồ thị iđêan Định nghĩa 2.2.1 Cho V = {v1, , vd } tập hữu hạn Một đồ thị với tập đỉnh V cặp G = (V, E) E tập hợp cặp không thứ tự v v với v , v , ( không thứ tự i j i j v v = v v ) Phần tử v ∈ V gọi đỉnh G Tập E gọi tập cạnh G Với i j j i i cạnh e = v v điểm cuối e đỉnh v v i j i j Chú ý đồ thị hữu hạn đồ thị có số đỉnh hữu hạn, đồ thị đơn cạnh bội Ví dụ 23 Với n > 3, d-chu trình đồ thị Cd với tập đỉnh {v1, v2 , , vd } cạnh {v v , v v , , v 2 v , v v } Hình học C , C C Hình 2.1: d−1 d d Hình Ví dụ 24 Với d > 2, đồ thị đầy đủ tập d đỉnh đồ thị Kd với tập đỉnh {v , , v } tập cạnh {v v | i < j d} Hình học K , K , K K Hình 2.2: d i j Hình Ví dụ 25 Với m, n > 1, đồ thị hai phần Bm,n đồ thị với tập đỉnh {u , , u , v , , v } cạnh {u v B 1,1 m ,B 1,2 ,B 1,3 d ,B 2,2 i j ,B 2,3 B 3,3 | i m, j n} Hình học Hình 2.3: Hình Định nghĩa sau cho ta thấy cách sử dụng đồ thị để xây dựng iđêan đơn Định nghĩa 2.2.2 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1, , vd } Các iđêan cạnh liên kết với G iđêan I ⊆ R = A[X , , X ], cho G d IG = ({Xi X j | vi v j | cạnh G})R Ví dụ 26 Các iđêan cạnh liên kết với C3 , C4 C5 IC3 = (X1 X2 , X2 X3, X1 X3) ⊆ A[X1, X2 , X3 ] IC4 = (X1 X2 , X2 X3, X3 X4, X1 X4 ) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] IC5 = (X1 X2 , X2 X3, X3 X4, X4 X5 , X1 X5) ⊆ A[X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ] Các iđêan cạnh liên kết với K , K K IK3 = (X1 X2 , X1 X3 , X2 X3 ) ⊆ A[X1 , X2 , X3 ] IK4 = (X1 X2 , X1 X3 , X1 X4 , X2 X3 , X2 X4 , X3 X4 ) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] Các iđêan cạnh liên kết với đồ thị hai phần I B1,1 = (X Y ) ⊆ A[X , Y ] 1 1 IB1,2 = (X1Y1 , X1 Y2) ⊆ A[X1 , Y1 , Y2 ] IB1,3 = (X1Y1 , X1 Y2, X1Y3 ) ⊆ A[X1, Y1 , Y2 , Y3 ] IB2,2 = (X1Y1 , X1 Y2, X2 Y1 , X2 Y2 ) ⊆ A[X1, X2 , Y1 , Y2 ] IB2,3 = (X1Y1 , X1 Y2, X1Y3 , X2 Y1 , X2 Y2 , X2 Y3 ) ⊆ A[X1, X2 , Y1, Y2 , Y3 ] Các iđêan cạnh đồ thị (X1 X2 , X1 X3 , X1 X4 , X2 X3, X3 X4 ) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] v1 v v4 Hình Nhận xét Cho G đồ thị với cạnh Các iđêan cạnh IG iđêan đơn thức không chứa bình phương 2.3 Phân tích iđêan Định nghĩa 2.3.1 Cho V = {v1 , , vd } , đặt R = A[X1, , Xd ] Với tập V ′ ⊆ V, định nghĩa P ′ V ⊆ R iđêan: P ′ V ′ = ({X | v ∈ V })R i i Ví dụ 27 Với V = {v1 , , vd } R = A[X1, , Xd ], ta có P∅ = P {v1 ,v3 } = (X , X )R P = (X , , X )R V d Bổ đề 2.3.2 Cho V = {v1 , , vd } tập hữu hạn, đặt R = A[X1, , Xd ] (i) Với tập V ′ , V ′′ ⊆ V, ta có PV ′ ⊆ PV ′′ V ′ ⊆ V ′′ (ii) Iđêan đơn thức J ⊆ R không chứa bình phương m-bất khả quy tồn tập V ′ ⊆ V cho J = PV ′ Mệnh đề 2.3.3 Cho V = {v1, , vd }, đặt R = A[X1, , Xd ] Iđêan đơn thức J ( R không chứa bình phương có tập V , , V ⊆ V cho J = Tn n i=1 P i V Chứng minh Giả sử J không chứa bình T phương Theo Định lý 1.5.5 tồn phân tính m-bất khả quy rút gọn J = n i=1 Ji Dễ thấy Ji không chứa bình phương Theo Bổ đề 2.3.2 (ii) tồn tập V1 , , Vn ⊆ V , i = 1, , n cho Ji = PVi Vậy J = Tn i=1 P i V Ngược lại , J = T n i=1 P Vi với V , , V ⊆ V Theo Bổ đề 2.3.2 (ii) ta có P n Vi không chứa bình phương Vậy J không chứa bình phương Định nghĩa 2.3.4 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , , vd } Một phủ đỉnh G ′ ′ ′ ′ tập V ⊆ V cho cạnh v v G v ∈ V v ∈ V Phủ đỉnh V i j i cực tiểu không thực chứa phủ đỉnh khác G Bổ đề 2.3.5 Cho G đồ thị với tập đỉnh (i) G có phủ đỉnh j (ii) Nếu V ′ ⊆ V phủ đỉnh G V ′ ⊆ V ′′ ⊆ V, V ′′ phủ đỉnh G (iii) Phủ đỉnh G chứa phủ đỉnh cực tiểu P (iv) Cho ký hiệu phủ đỉnh G Một phủ đỉnh G cực tiểu P phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) Ví dụ 28 Tìm phủ đỉnh đồ v1 v4 Hình Theo Bổ đề 2.3.5 (ii) (iii), ta cần tìm phủ đỉnh cực tiểu Trước hết, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu chứa v1 Nếu v1 ∈ V ′ , cạnh v1 v2, v1 v3 v v "cạnh phủ " Các cạnh lại v v v v "không cạnh phủ" Các cạnh cạnh 3 phủ ta thêm đỉnh v v , v Vậy phủ đỉnh cực tiểu chứa v {v , v } 1 ′ {v , v , v } Tiếp theo, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu không chứa v Nếu v < V , ta phải 1 ′ có v , v , v ∈ V để phủ cạnh v v , v v v v Dễ thấy {v , v , v } phủ đỉnh cực 4 Bổ đề sau quan hệ phủ đỉnh phân tích m-bất khả Bổ đề 2.3.6 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , , vd } , cho V ′ ⊆ V Đặt R = A[X , , X ] I ⊆ P d G ′ V ′ V phủ đỉnh G Chứng minh Ta viết V ′ = {vi1 , , vin } , PV ′ = (Xi1 , , Xin )R Giả sử IG ⊆ PV ′ , ta thấy V ′ phủ đỉnh G Gọi v j vk cạnh G Với X X ∈I j k G ⊆ P ′ V = (X , , X n )R Ta có tồn m X X ∈ (X m )R với m Từ suy j = i i j k ′ ′ i ′ i k = i Do v = v m ∈ V v = v m ∈ V Vậy V phủ đỉnh G m m j i k i Giả sử V ′ phủ đỉnh G Giả sử phần tử Xi X j ∈ IG , tương ứng vi v j G Vì V ′ ′ ′ phủ đỉnh G nên v ∈ V v ∈ V Từ suy X ∈ P i j i ′ X ∈ P V j ′ V , X X i j ′ ∈P V Tiếp theo định lý phân tích iđêan Định lý 2.3.7 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1, , vd }, R = A[X1, , Xd ] Khi iđêan cạnh IG ⊆ R có phân tích m - bất khả quy sau : \ I = G \ P V′ V ′ = P V ′ V Trong giao đầu lấy tất phủ đỉnh giao sau lấy phủ đỉnh cực tiểu G Hơn giao sau rút gọn Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.2 (i) ta thấy giao sau rút gọn Hiểu \ \ \ \ ′ ′ ′ PV ⊆ P P ⊆ P V V V V′ ′ V′ E V′ V ′′ Một phủ đỉnh T V chứa phủ đỉnh cực tiểu V Ta có I G ⊆ V ′ P V ′ theo Bổ đề 2.3.6 Do để chứng minh ngược lại, ýI G không chứa bình phương Theo Mệnh đề 2.3.3 tồn tập V1 , , Vn V Tn cho I = P , ta có I G = j=1 P j=1 Tn V j Vj ⊇ V TG ′ P ′ V ⊆ P j Theo Bổ đề 2.3.6 V phủ đỉnh G nghĩa I V j G Ví Phân dụ tích m-bất khả quy rút gọn iđêan IG , G đồ thị theo Ví 29 dụ IG = (X1 , X3 )R ∩ (X1 , X2 , X4 )R ∩ (X2, X3 , X4 )R Ví Đặt dụ R = A[X1, X2 , X3 , X4 ] Tìm phân tích m-bất khả quy rút gọn iđê J = (X1 X2 , X2 X3 , X2 X4 , X3 X4 )R Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } thỏa mãn J = IG v1 v4 Hình Tiếp theo, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu G: {v1 , v3 , v4 } {v , v } {v , v } Cuối , theo Định lý 2.3.7; ta có J = I = (X , X , X )R ∩ (X , X )R ∩ (X , X )R G 4 2.4 Phức đơn hình iđêan Định nghĩa 2.4.1 Cho V = {v1 , , vd } tập hữu hạn Phức đơn hình V tập khác rỗng Δ tập V thỏa mãn, với F, G ⊆ V, F ⊆ G G ∈ Δ , F ∈ Δ Một phần tử Δ gọi mặt Δ Một mặt có dạng {v } gọi đỉnh Δ Một mặt có dạng i {v , v } gọi cạnh Δ Một phần tử cực đại Δ theo quan hệ bao hàm gọi mặt cực đại j k (hay siêu mặt) Δ Nhận xét (i) Cho Δ phức đơn hình V = {v1, , vd } Theo Định nghĩa Δ ta không yêu cầu {v } ⊆ Δ Vì V hữu hạn mặt Δ chứa mặt cực đại Δ i Đặc biệt, Δ khác rỗng có mặt cực đại Từ ta có ∅ ∈ Δ, mặt Δ gọi mặt tầm thường Δ (ii) Mọi đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , , vd } cho ta phức đơn hình phức đơn hình chứa ∅, {v } cặp {v , v } cho v v cạnh G i j k j k (iii) Ta mô tả "hình học" phức đơn hình: Mọi đỉnh tương ứng với điểm; cạnh tương ứng với hai đỉnh; mặt {v1 , v2 , v3} tương ứng với tam giác có v , v v ; mặt {v , v , v , v } tương ứng với tứ diện đỉnh v , v , v 3 v Ví dụ 31 Đây hình học phức đơn Phức đơn hình thứ bao gồm đường thẳng tam giác Khi v2 v1 v3 v v v5 v4 v5 v4 Hình 2.7: phức đơn hình có mặt Tầm ∅ Đỉnh {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 } Cạnh {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v2 , v5 }, {v3 , v4}, {v4 , v5 } Tam {v2 , v4 , v5 Mặt cực {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 , v4 }, {v2 , v4 , v5} Phức đơn hình thứ hai bao gồm tứ diện tam giác Khi ta có Tầm ∅ Đỉnh {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 } Cạnh{v1 , v2 }, {v1 , v4 }, {v1 , v5 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v2 , v5}, {v3 , v4}, {v4 , v5} Tam {v1 , v2 , v4}, {v1 , v2, v5 }, {v1 , v4 , v5 }, {v2 , v3 , v4 }, {v2 , v4 , v5 } Tứ {v1 , v2 , v4, v5 Mặt cực {v2 , v3 , v4 }, {v1 , v2 , v4 , v5 } Định nghĩa 2.4.2 Cho Δ phức đơn hình V = {v1, , vd }, đặt R = A[X , , X ] Các iđêan mặt (hay iđêan Stanley-Reisner) R liên kết với Δ iđêan d J = (X X s | i < < i d Δ i i s {v v n } < Δ)R i i Chú ý: JΔ iđêan sinh đơn thức không chứa bình phương tương ứng với không mặt Δ Ví dụ 32 Cho Δ phức đơn hình thứ Ví dụ 31 "Không mặt" l {v1, v3 } {v1 , v4 } {v1 , v5 } {v3 , v5 } {v1 , v2, v3 } {v1, v2 , v4 } {v1 , v2 , v5 } {v1, v3 , v4 } {v1 , v3 , v5 } {v1 , v4, v5 } {v2 , v3 , v4 } {v2 , v3 , v5 } {v3 , v4 , v5} {v1, v2 , v3 , v4 } {v1, v2 , v3 , v5 } {v1 , v2 , v4 , v5} {v1, v3 , v4 , v5 } {v2 , v3 , v4 , v5 } {v1 , v2, v3 , v4 , v5 } Các phần tử sinh JΔ X1 X3 X X X X X X X X X X X X X X X X 5 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 5 X X X 4 X X X X X X X X X 5 JΔ = (X1 X3 , X1 X4, X1 X5, X3 X5 , X2 X3 X4 )R Tương tự Δ′ phức đơn hình thứ hai Ví dụ 31, JΔ′ = (X1 X3 , X3 X5 )R = (X3 )R ∩ (X1, X5 )R Bổ đề 2.4.3 Cho Δ V = {v1 , , vd } Các iđêan mặt JΔ không chứa bình phương 2.5 Phân tích iđêan Định nghĩa 2.5.1 Cho V = {v1, , vd } , đặt R = A[X1, , Xd ] Với tập F ⊆ V, Q ⊆ R iđêan: F QF = ({Xi | vi < F})R Ví dụ 33 Trong vành R = A[X1, , X5 ] với V = {v1, , v5 } , ta có Q∅ = (X1, , X5 )R Q {v1 ,v3 } = (X , X , X )R Nhận xét Cho V = {v1 , , vd } tập hữu hạn, đặt R = A[X1, , Xd ] (i) Cho F ⊆ V Khi QF = (ii) Cho F, G ⊆ V , có QF ⊆ QG G ⊆ F Q = V (iii) Iđêan đơn thức J ⊆ R không chứa bình phương m-bất khả quy tồn tập F ⊆ V cho J = QF , xem Định lý 1.5.2 (iv) Iđêan đơn thức J ( R làTkhông chứa bình phương tồn tập F1, , Fn ⊆ V cho J = i=1 QFi ; theon Mệnh đề 2.3.3 Bổ đề sau liên hệ phân tích bất khả quy iđêan Bổ đề 2.5.2 Cho Δ phức đơn hình V = {v1, , vd }, cho F ⊆ V Đặt R = A[X , , X ] Khi J ⊆ Q F mặt Δ Δ d F Chứng minh Viết F = {vi1 , , vin } VrF = {v j1 , , v j p }, QF = (X j1 , , X j p )R Giả sử JΔ ⊆ QF Ta giả sử F mặt Δ, tức F < Δ Theo Định nghĩa ta suy X , , X n ∈ J ⊆ Q Do tồn k cho X , , X n ∈ (X k )R Vì l cho j = i Δ i F i i j k i Kéo theo F ∩ (V r F) , ∅ Điều vô lý, chứng tỏ F ∈ Δ l Ngược lại, giả sử F ∈ Δ Để chứng minh JΔ ⊆ QF , ta chứng minh phần tử ′ sinh củaJ thuộc Q Giả sử X X Δ F r ∈ J , tương ứng với "không mặt " V = {v , , v q } < Δ rq r r ′ Δ Vì F ∈ Δ, theo định nghĩa phức đơn hình ta có V * F Do tồn s cho v ′ V rF Kéo theo X s ∈ Q Vì X X r F r rs ∈ (X s )R ⊆ Q Vậy J ⊆ Q rq r F Δ F Định lý sau cho phân tích iđêan Định lý 2.5.3 Cho Δ phức đơn hình V = {v1 , , vd }, đặt R = A[X1 , , Xd ] Khi iđêan JΔ ⊆ R có phân tích \ J = Δ \ Q = F∈Δ F F mặt cực Giao đầu lấy tất mặt Δ, giao thứ hai lấy tất mặt cực đại Δ Giao thứ hai rút gọn Chứng minh Nhận xét 2.5 suy giao thứ hai rút gọn T F∈Δ Q ⊆ F T Fmặt cực đại ∈ T T hiển nhiên Bao hàm thức ngược lại V ′ PV ′ ⊇ V ′ PV ′ điều theo Bổ đề 2.5.2 suy từ kết mặt Δ chứa T mặt cực đại theo Bổ đề 2.5.2 Nhận xét 2.5 (ii) Theo Bổ đề 2.5.2 JΔ ⊆ F∈Δ QF Với JΔ ⊆ T F∈Δ Q gọi J không chứa bình phương Do đó, Nhận xét 2.5 (iv) ta có tập F Δ F , , F J = Δ n Tn j=1 Q j Với j , ta có J ⊆ Q Vậy từ Bổ đề 2.5.2 suy F mặt Δ Nó nghĩa J = Δ j TnΔ F j=1 Q Fj ⊇ F F∈Δ Q F Ví dụ 34 Tính phân tích m-bất khả quy iđêan JΔ JΔ′ theo Ví dụ 31 Sử dụng Định lý 1.4.16 ta có: JΔ = (X2 , X4 , X5 )R ∩ (X2 , X3 , X5 )R ∩ (X2, X3 , X4 )R ∩ (X1, X2 , X4 )R ∩ (X1, X5 )R JΔ′ = (X1, X5 )R ∩ (X3 )R Ví dụ 35 Ta tính phân tích m-bất khả quy J = (X1 X2 , X2 X3 X4 , X1 X4 )R ⊆ R = A[X1 , X2 , X3 , X4 ] Trước hết, ta tìm phức đơn hình Δ V = {v1, v2 , v3 , v4 } thỏa mãn JΔ = J Sau ta phải thêm mặt Δ = {∅, {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v1 , v3 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v3 , v4 }} Đồ thị Δ: Các mặt cực đại v1 v4 Hình {v1, v3 } {v , v } {v , v } Cuối cùng, theo Định lý2.5.3, ta J = JΔ = (X2, X4 )R ∩ (X1, X4 )R ∩ (X1, X3 )R ∩ (X1, X2 )R KẾT Trong luận văn thu kết - Trình bày hệ thống số vấn đề iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức - Tìm hiểu tập sinh phép toán iđêan đơn thức liên hệ với đồ thị - Tìm hiểu iđêan đơn thức bất khả quy mô tả chúng đồng thời trình bày kết iđêan đơn thức khác vành phân tích thành giao iđêan đơn thức bất khả quy phân tích không thứ - Tìm hiểu phức đơn hình, iđêan cạnh iđêan mặt Đây lớp iđêan đơn thức không chứa bình phương, đóng vai trò quan trọng Hình học đại số Sự phân tích đơn thức bất khả quy lớp iđêan trình bày luận văn Tài liệu tham [1] W Bruns, J Herzog (1996), Cohen Macaulay Rings, Revised sdition Cam-bridge: Cambridge University Press [2] J Herzog and T Hibi, Monomial ideals, [3] M Rogers and S Sather-Wagstaff (2011), Monomial ideals and their decom-position, http://www.ndsu.edu/pubweb/ [4] R H Villarreal (2001), Monomial Algebras, New York: Marcel Dekker [...]... 1.10) gợi ý chia đồ thị thành hai phần và cho thấy sự phân tích của Γ(I) : và cuối cùng ta có sự phân tích (Hình 1.11) Định lý 1.4.13 Đặt R = A[X1, , Xd ] Nếu I và J là các iđêan đơn thức của R thì iđêan (J : I) là một iđêan đơn thức của R R Chứng minh Trường hợp 1: I = (z)R với mỗi đơn thức z = X m ∈ R Cho S là tập hợp các đơn thức trong (J : I) = (J : zR) và đặt K = (S )R Bằng cách xây dựng R R... căn trên tập iđêan đơn thức Nếu vành cơ sở là một trường thì ta có kết quả sau (xem [2], Mệnh đề.1.2.3) Mệnh đề 1.4.14 Cho K là một trường, và cho I là một iđêan đơn thức trong vành đa thức d biến R = K[X1, , Xd ] Khi đó rad(I) là một iđêan đơn thức Trên vành bất kỳ điều đó không còn đúng Ví dụ 14 Cho R = Z4 [X] là vành đa thức một biến, iđêan J = (X)R là một iđêan đơn thức Tuy nhiên, iđêan rad(J)... iđêan đơn thức Lưu ý rằng I chứa đa thức X 2 − Y 3 (ii) Iđêan J = (Y 2 − X 3 , X 3 )R là một iđêan đơn thức vì J = (Y 2 , X 3 )R (iii) Iđêan tầm thường 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (∅)R và R = 1R = X 0 X 0 R 1 d Định nghĩa 1.3.2 Đặt R = A[X1, , Xd ] Với mỗi iđêan đơn thức I ⊆ R, tập hợp [[I]] ký hiệu tập hợp tất cả các đơn thức trong I Nhận xét Đặt R = A[X1, , Xd ] Với mỗi iđêan đơn thức, ... thức nên ta chỉ cần chứng minh (X )R ⊇ [[I]] Thật vậy lấy đơn thức X ∈ I thì s > r, và s r theo Bổ đề 1.3.7 suy ra X ∈ X R Giả sử d > 2 và mọi iđêan đơn thức của vành R′ = A[X1, , Xd−1 ] là hữu hạn sinh Cho một iđêan đơn thức I của R , đặt S = { đơn thức z ∈ R′ | zX ed∈ I với một số e > 0} và J = (S )R′ Theo định nghĩa J là một iđêan đơn thức của R′ Giả thiết quy nạp suy ra J ′ là hữu hạn sinh, tức... Đặt R = (i) Cho f và g là các đơn thức trong R Khi đó f gọi là một bội đơn thức của g nếu có một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh (ii) Cho một đơn thức f = X n ∈ R, bộ gồm d số tự nhiên n ∈ Nd gọi là véctơ lũy thừa của f Bổ đề 1.3.6 Đặt R = A[X1, , Xd ] Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong R Nếu h là một đa thức trong R sao cho f = gh thì m > n , i = 1, , d và h là đơn thức h = i i p X ,... Nd và các phần tử an ∈ A sao cho f = X n a X = n X a n1 , ,nd X n1 1X nd d , Λ ⊆d N , |Λ| < ∞ n∈Λ n∈Λ (iii) Tập hợp các đơn thức {X n | n ∈ Nd } là độc lập tuyến tính trong A 1.3 Iđêan đơn Định nghĩa 1.3.1 Cho R = A[X1, , Xd ] là vành đa thức d biến trên vành giao hoán A Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R sinh bởi các đơn thức Ví dụ 4 Đặt R = (i) Iđêan I = (X 2, Y 3 )R là một iđêan đơn. .. trên iđêan đơn Định lý 1.4.9 Đặt R = A[X1 , , Xd ] Nếu I1, , In là các iđêan đơn thức của R thì I1 ∩ ∩ I là iđêan đơn thức sinh bởi tập các đơn thức trong I ∩ ∩ I và [[I ∩ ∩ I ]] = [[I ]] n 1 n 1 n 1 ∩ ∩ [[I ]] n Chứng minh Đặt S = ∩ j=1[[I j n]] và J = (S )R Bằng cách xây dựng J là một iđêan đơn thức sao cho J ⊆ ∩ phần tử f ∈ ∩ n I Ta cần j=1 j n n a X , Γ là n∈Γ n I , vì S ⊆ ∩ j=1 j I và viết... Cho S ⊆ [[R]] và đặt I = (S )R Khi đó tồn tại hữu hạn đơn thức s , , s ∈ S sao cho I = (s , , s )R 1 n 1 n Ý (i) của kết quả sau đây nói rằng vành đa thức R = A[X1, , Xd ] thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng dần đối với các iđêan đơn thức Ý (ii) nói rằng mọi tậpPkhác P rỗng của các iđêan đơn thức trong P R có một phần tử tối đại, và mọi phần tử của đều được chứa trong phần tử tối đại của Định lý... = A[X , , X ] Giá của một đơn thức f = X n ∈ [[R]] 1 d là tập Supp( f ) = {i ∈ N | 1 6 i 6 d và ni , Sự rút gọn f là một đơn thức Y red( f ) = Nhận xét (i) Đặt R = A[X1, , Xd ] Giá của một đơn thức f ∈ [[R]] là tập hợp các chỉ số i sao cho X | f Sự rút gọn f là tích của các biến chia hết f : i red( f ) = Y (ii) Đặt R = A[X1, , Xd ] Với mỗi số nguyên n > 1 và mỗi đơn thức f ∈ [[R]], ta có... dãy sinh đơn thức rút gọn trong iđêan Đơn thức X 3 Y 3 là một bội của X 3 , vì vậy ta loại X 3 Y 3 ra khỏi dãy Ta được một dãy 3 2 3 mới dùng để xét là X , X Y, Y Không có đơn thức nào trong dãy là một bội của các đơn thức còn lại vì các véctơ lũy thừa (3, 0), (2, 1) và (0, 3) không thể bằng nhau Do đó, dãy 3 2 3 X , X Y, Y là một dãy sinh đơn thức rút gọn trong I Ví dụ 12 Đặt R = A[X, Y] và I = (X