Iđêan đơn thức và sự phân tích của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM AMMONE PHOMPHIBAN IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM AMMONE PHOMPHIBAN IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Iđêan đơn thức 1.1 Phép toán iđêan 1.2 Vành đa thức nhiều biến 1.3 Iđêan đơn thức 1.4 Tập sinh phép toán iđêan đơn thức 14 1.5 Iđêan đơn thức m-bất khả quy phân tích 32 Chương Phân tích đơn thức bất khả quy iđêan khơng chứa bình phương 39 2.1 Iđêan đơn thức khơng chứa bình phương 39 2.2 Đồ thị iđêan cạnh 40 2.3 Phân tích iđêan cạnh 43 2.4 Phức đơn hình iđêan mặt 46 2.5 Phân tích iđêan mặt 48 KẾT LUẬN 51 Tài liệu tham khảo 51 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Tác giả luận văn AMMONE PHOMPHIBAN Xác nhận khoa Toán Xác nhận cán hướng dẫn ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn học Đại học Thái Ngun người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn AMMONE PHOMPHIBAN iii MỞ ĐẦU Định lý Cơ Số học số nguyên n ln phân tích thành tích số ngun tố phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Trong Đại số có nhiều kết tương tự nảy sinh, chẳng hạn: đa thức khác trường phân tích thành tích đa thức bất khả quy phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Các ví dụ có đối tượng chung phân tích thành nhân tử "bất khả quy", tức phần tử khơng phân tích thành nhân tử "không tầm thường" Một cách tổng quát, vành giao hốn có đơn vị R liệu phần tử R phân tích thành tích phần tử bất khả quy Một ví dụ điều √ √ không vành Z[ −5] = {a + b −5 | a, b ∈ Z} Trong vành ta có √ √ = 2.3 = (1 + −5)(1 − −5) Vào đầu năm 1800 Ernst Kummer Julius Wilhelm Richard Dedekind nhận tốn chỉnh sửa Thay cho việc phân tích phần tử r ∈ R ta phân tích tập rR thành tích rR = I1.I2 In, Ii tập tương tự Các tập √ "tương tự" gọi iđêan Khi vành Z[ −5] ta có 6R = I1 I2 = J1 J2 sai khác thứ tự nhân tử Trong nghiên cứu người ta phân tích thành tích iđêan khơng có ý nghĩa Vào năm 1900 Emanuel Lasker Emmy Noether nhận tốt ta xét giao thay cho tích Ý tưởng tương tự ngoại trừ iđêan I bất khả quy khơng phân tích thành giao iđêan thực chứa I Họ phân tích tồn lớp vành đủ rộng Mục đích luận văn nghiên cứu iđêan đơn thức vành R = A[X1, · · · , Xd ] với hệ tử vành giao hoán A biến X1 , · · · , Xd , tức iđêan sinh đơn thức X1n1 · · · Xdnd Luận văn tìm hiểu kết iđêan đơn thức R viết thành giao iđêan đơn thức "m-bất khả quy", tức iđêan đơn thức viết thành giao iđêan đơn thức thực chứa Một phân tích gọi phân tích m-bất khả quy Cũng phải nói thêm iđêan đơn thức đơn giản vành đa thức Nhiều kết cho thấy việc nghiên cứu iđêan chuyển nghiên cứu iđêan đơn thức Hơn ta dùng iđêan đơn thức để nghiên cứu số đối tượng Tổ hợp, Hình học, Lý thuyết đồ thị, Tơpơ ngược lại Luận văn bao gồm chương Chương tìm hiểu số vấn đề iđêan đơn thức: tập sinh iđêan đơn thức, phép toán tập iđêan đơn thức, iđêan đơn thức m-bất khả quy phân tích iđêan đơn thức thành giao iđêan đơn thức bất khả quy Chương tìm hiểu phân tích bất khả quy lớp iđêan đặc biệt iđêan đơn thức không chứa bình phương Một ví dụ lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương iđêan cạnh iđêan mặt, hai đối tượng quan trọng Hình học Đại số Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Trần Ngun An Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tơi xin cảm ơn thầy Viện Tốn học, Khoa Toán Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Cuối xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên để tơi hồn thành luận văn khóa học Thái Ngun, tháng năm 2015 Tác giả luận văn AMMONE PHOMPHIBAN Chương Iđêan đơn thức Trong tồn luận văn ta ln quy ước vành vành giao hốn có đơn vị thường ký hiệu A Để dễ theo dõi ta nhắc lại số phép toán iđêan vành đa thức 1.1 Phép toán iđêan Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I, J iđêan vành A (i) Giao I J I ∩ J = {x ∈ A | x ∈ I x ∈ J} (ii) Tổng I J I + J = {x + y | x ∈ I y ∈ J} (iii) Tích I J I J = { n i=1 xi yi | n ∈ N, xi ∈ I yi ∈ J} Đặc biệt I = x I.J = {xy | y ∈ J}, ký hiệu xJ (iv) Thương I J I : J = {x ∈ A | xJ ⊆ I} (v) Căn I rad(I) = {x ∈ A | ∃n ∈ N, xn ∈ I} Mệnh đề 1.1.2 Giả sử I, J, K iđêan vành A Khi (i) I ∩ J, I + J, I J, I : J, rad I iđêan A, I + J sinh I ∪ J, I J sinh X = {xy | x ∈ I, y ∈ J} (ii) Phép lấy giao, tổng tích iđêan có tính chất giao hốn, kết hợp (iii) I(J + K) = I J + IK Ví dụ Trong Z, cho I = mZ, J = nZ Ta có I ∩ J = BCNN(m, n)Z ; I + J = UCLN(m, n)Z ; I J = m.nZ ; I : J = m Z UCLN(m,n) Giả sử m = pα1 pαn n , αi ∈ N \ {0}, p1 pn số nguyên tố phân biệt rad(mZ) = p1 pn Z Ta định nghĩa giao tổng họ iđêan Định nghĩa 1.1.3 Cho (Iα )α∈Γ họ iđêan A Giao họ iđêan A xác định α∈Γ Iα = {x ∈ A | x ∈ Iα , ∀α ∈ Γ} Tổng họ iđêan, ký hiệu α∈Γ Iα iđêan A sinh α∈Γ Iα có α∈Γ Iα = { α∈Ω xα | xα ∈ Iα , Ω ⊆ Γ, |Ω| < ∞} Lũy thừa iđêan I A xác định I I n > I = A n lần Ta dễ thấy I iđêan sinh tập {x1 , , xt } I n sinh tập t {xk11 xkt t | ki = n} i=1 Mệnh đề 1.1.4 Giả sử I, J, K, (Ii)i∈Λ, (J j ) j∈Γ iđêan vành A Khi (i) I ⊆ I : J (ii) (I : J)J ⊆ I (iii) (I : J) : K = I : JK = (I : K) : J (iv) i∈Λ Ii (v) I : ( :J= j∈Γ J j) = i∈Λ (Ii j∈Γ (I : J) : J j ) Ta Mệnh đề 1.1.5 Giả sử I, J, K iđêan A Khi (i) I ⊆ rad(I) Nếu I ⊆ J rad(I) ⊆ rad(J) (ii) rad(rad(I)) = rad(I) (iii) rad(I J) = rad(I ∩ J) = rad(I) ∩ rad(J) (iv) rad(I) = R chi ∈ I (v) rad(I + J) = rad(rad(I) + rad(J)) 1.2 Vành đa thức nhiều biến Trước hết ta có vài quy ước ký hiệu Cho d số nguyên dương, X1 , , Xd phần tử A Phần tử có dạng X1n1 Xdnd ∈ A, n1 , , nd ∈ N gọi đơn thức phần tử X1 , , Xd Để đơn giản ta ký hiệu n = (n1 , , nd ) ∈ Nd X n = X1n1 · · · Xdnd Phép cộng phép nhân với vô hướng Nd xác định bởi: với m = (m1 , , md ) , p ∈ N n + m = (n1 + m1 , , nd + md ), pn = (pn1, , pnd ) Với ký hiệu ta có X m X n = X m+n , (X m ) p = X pm Cho d số nguyên dương xét quan hệ (b1 , , bd ) Nd sau: (a1, , ad ) bi theo thứ tự thông thường N, với i = 1, , d Ta có quan hệ thứ tự N Ví dụ Khi d = 2, ta có đồ thị tập hợp {n ∈ N2 | n (1, 2)} Hình 1.1 Định nghĩa 1.2.1 Cho d số nguyên dương Với n ∈ Nd , ta định nghĩa [n] = {m ∈ Nd | m n} = n + Nd Ví dụ Khi d = 2, đồ thị [(1, 2)] ∪ [(3, 1)] có dạng Hình 1.2 Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử phân tích J = ∩ni=1 Ji thừa Điều có nghĩa tồn số j j′ cho Ji ⊆ J j′ , suy J = ∩i j′ Ji (ii) ⇒ (i) Giả sử có số j cho J = ∩i j Ji Khi ta có ∩i j Ji = J = ∩ni=1 Ji ⊆ J j Theo Bổ đề 1.5.3 suy có số j′ cho J j′ ⊆ J j Vì J = ∩ni=1 Ji thừa Định lý 1.5.11 Đặt R = A[X1 , , Xd ] Cho J iđêan đơn thức R có phân tích m-bất khả quy rút gọn J = ∩ni=1 Ji = ∩m h=1 Ih Khi m = n có phép hốn vị σ ∈ S n cho Jt = Iσ(t) với t = 1, , n Chứng minh Trước hết ta chứng minh với t = 1, , n có số u cho n Iu = Jt Để chứng minh điều này, ta có: ∩m h=1 Ih = J = ∩i=1 Ji ⊆ Jt Từ Bổ đề 1.5.3 suy có số u cho Iu ⊆ Jt Tương tự, ta có ∩ni=1 Ji = J = ∩m h=1 Ih ⊆ Iu theo Bổ đề 1.5.3 suy có số v cho Jv ⊆ Iu ⊆ Jt Vì phân tích ∩ni=1 Ji rút gọn, nên từ bao hàm thức Jv ⊆ Jt suy v = t, ta có Jt ⊆ Iu ⊆ Jt , nghĩa Iu = Jt Với t = 1, , n có số u cho Iu = Jt Thật vậy, Iu = Jt = ′ Iu′ từ ∩m h=1 Ih rút gọn nên suy u = u Định nghĩa hàm σ : {1, , n} → {1, , m} cách cho σ(t) số u cho Iu = Jt Lập luận tương tự để ra: Với u = 1, , m có số t cho Iu = Jt Định nghĩa hàm ω : {1, , m} → {1, , n} cách cho ω(u) số t cho Iu = Jt Bằng cách xây dựng, hàm ω hàm nghịch đảo hai chiều σ, ta có điều phải chứng minh 38 Chương Phân tích đơn thức bất khả quy iđêan khơng chứa bình phương 2.1 Iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Định nghĩa 2.1.1 Đặt R = A[X1 , · · · , Xd ] Đơn thức X n ∈ [[R]] gọi khơng chứa bình phương với i = 1, · · · , d , ta có ni ∈ {0, 1} Iđêan đơn thức J ⊆ R gọi khơng chứa bình phương sinh đơn thức khơng chứa bình phương Ví dụ 22 Đặt R = A[X, Y, Z] Các đơn thức khơng chứa bình phương R 1, X, Y, Z, XY, XZ, YZ, XYZ Iđêan (XY, YZ)R khơng chứa bình phương Iđêan (X 2Y, YZ 2)R khơng khơng chứa bình phương Nhận xét (i) Đặt R = A[X1 , · · · , Xd ] Đơn thức f ∈ [[R]] khơng chứa bình phương khơng chứa Xi2 , tức f = red( f ) (đặc biệt đơn thức red( f ) không chứa bình phương) (ii) Đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Iđêan đơn thức R khơng chứa bình phương đơn thức dãy sinh đơn thức rút gọn khơng chứa bình 39 phương Mệnh đề 2.1.2 Đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Iđêan đơn thức J ⊆ R khơng chứa bình phương m-rad(J) = J Đặt biệt m-rad(J) khơng chứa bình phương Chứng minh Cho f1 , · · · , fn ∈ [[J]] dãy sinh đơn thức rút gọn J Giả sử cho J khơng chứa bình phương Theo nhận xét fi khơng chứa bình phương Do fi = red( fi ) với i = 1, , n Theo Mệnh đề 1.4.21, suy m-rad(J) = (red( f1 ), · · · , red( fn ))R = ( f1 , · · · , fn )R = J Giả sử m-rad(J) = J Để chứng minh J không chứa bình phương, ta cần phải chứng minh fi khơng chứa bình phương, nghĩa fi = red( fi ) với i = 1, · · · , n Theo Mệnh đề 1.4.21 suy J = m-rad(J) = (red( f1 ), · · · , red( fn ))R Do đó, dãy sinh đơn thức rút gọn J dãy red( fi1 ), · · · , red( fik ) Từ tính dãy sinh đơn thức rút gọn suy k = n Vì dãy sinh đơn thức rút gọn J red( f1 ), · · · , red( fn ), { f1 , · · · , fn } = {red( f1 ), · · · , red( fn )} Vậy, với i = 1, · · · , n tồn ji cho fi = red( f ji ) Theo Bổ đề ?? suy red( f ji ) | f ji Vậy ta có fi | f ji Theo dãy sinh rút gọn f1 , · · · , fn ta có ji = i Vậy fi = red( fi ) Cuối J iđêan đơn thức tùy ý, ta có m-rad(m-rad(J)) = m-rad(J) Theo Mệnh đề 1.4.17 (iii) Do m-rad(J) khơng chứa bình phương 2.2 Đồ thị iđêan cạnh Định nghĩa 2.2.1 Cho V = {v1, · · · , vd } tập hữu hạn Một đồ thị với tập đỉnh V cặp G = (V, E) E tập hợp cặp không thứ tự viv j với vi v j, ( không thứ tự viv j = v j vi ) Phần tử vi ∈ V gọi đỉnh G Tập E gọi tập cạnh G Với cạnh e = vi v j điểm cuối e đỉnh vi v j 40 Chú ý đồ thị hữu hạn đồ thị có số đỉnh hữu hạn, đồ thị đơn khơng có cạnh bội Ví dụ 23 Với n 3, d-chu trình đồ thị Cd với tập đỉnh {v1, v2 , · · · , vd } cạnh {v1 v2, v2 v3 , · · · , vd−1vd , vd v1} Hình học C3 , C4 C5 Hình 2.1: Hình 2.1: Ví dụ 24 Với d 2, đồ thị đầy đủ tập d đỉnh đồ thị Kd với tập đỉnh {v1, · · · , vd } tập cạnh {viv j | d} Hình học K2 , K3, K4 K5 i< j Hình 2.2: Hình 2.2: Ví dụ 25 Với m, n > 1, đồ thị hai phần Bm,n đồ thị với tập đỉnh {u1 , · · · , um , v1, · · · , vd } cạnh {ui v j | i m, j n} Hình học B1,1, B1,2, B1,3, B2,2, B2,3 B3,3 Hình 2.3: Hình 2.3: Định nghĩa sau cho ta thấy cách sử dụng đồ thị để xây dựng iđêan đơn thức 41 Định nghĩa 2.2.2 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1, · · · , vd } Các iđêan cạnh liên kết với G iđêan IG ⊆ R = A[X1, · · · , Xd ], cho IG = ({Xi X j | viv j | cạnh G})R Ví dụ 26 Các iđêan cạnh liên kết với C3 , C4 C5 IC3 = (X1 X2 , X2 X3, X1 X3) ⊆ A[X1, X2 , X3 ] IC4 = (X1 X2 , X2 X3, X3 X4, X1 X4) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] IC5 = (X1 X2 , X2 X3, X3 X4, X4 X5, X1 X5) ⊆ A[X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ] Các iđêan cạnh liên kết với K2 , K3 K4 IK2 = (X1 X2 ) ⊆ A[X1 , X2 ] IK3 = (X1 X2 , X1 X3 , X2 X3 ) ⊆ A[X1 , X2 , X3 ] IK4 = (X1 X2 , X1 X3 , X1 X4 , X2 X3 , X2 X4 , X3 X4 ) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] Các iđêan cạnh liên kết với đồ thị hai phần IB1,1 = (X1Y1 ) ⊆ A[X1, Y1 ] IB1,2 = (X1Y1 , X1 Y2) ⊆ A[X1 , Y1 , Y2 ] IB1,3 = (X1Y1 , X1 Y2, X1 Y3 ) ⊆ A[X1, Y1 , Y2 , Y3 ] IB2,2 = (X1Y1 , X1 Y2, X2 Y1 , X2 Y2 ) ⊆ A[X1, X2 , Y1 , Y2 ] IB2,3 = (X1Y1 , X1 Y2, X1 Y3 , X2 Y1 , X2 Y2, X2 Y3 ) ⊆ A[X1, X2 , Y1, Y2 , Y3 ] Các iđêan cạnh đồ thị (X1 X2 , X1 X3 , X1 X4 , X2 X3, X3 X4) ⊆ A[X1, X2 , X3 , X4 ] v1 v2 v4 v3 Hình 2.4: Nhận xét Cho G đồ thị với cạnh Các iđêan cạnh IG iđêan đơn thức khơng chứa bình phương 42 2.3 Phân tích iđêan cạnh Định nghĩa 2.3.1 Cho V = {v1 , · · · , vd } , đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Với tập V ′ ⊆ V, định nghĩa PV ′ ⊆ R iđêan: PV ′ = ({Xi | vi ∈ V ′ })R Ví dụ 27 Với V = {v1 , · · · , vd } R = A[X1, · · · , Xd ], ta có P∅ = P{v1 ,v3 } = (X1 , X3 )R PV = (X1, · · · , Xd )R Bổ đề 2.3.2 Cho V = {v1 , · · · , vd } tập hữu hạn, đặt R = A[X1, · · · , Xd ] (i) Với tập V ′ , V ′′ ⊆ V, ta có PV ′ ⊆ PV ′′ V ′ ⊆ V ′′ (ii) Iđêan đơn thức J ⊆ R khơng chứa bình phương m-bất khả quy tồn tập V ′ ⊆ V cho J = PV ′ Mệnh đề 2.3.3 Cho V = {v1, · · · , vd }, đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Iđêan đơn thức J J= R khơng chứa bình phương có tập V1 , · · · , Vn ⊆ V cho n i=1 PVi Chứng minh Giả sử J khơng chứa bình phương Theo Định lý 1.5.5 tồn phân tính m-bất khả quy rút gọn J = n i=1 Ji Dễ thấy Ji khơng chứa bình phương Theo Bổ đề 2.3.2 (ii) tồn tập V1 , · · · , Vn ⊆ V , i = 1, · · · , n cho Ji = PVi Vậy J = n i=1 PVi Ngược lại , J = n i=1 PVi với V1 , · · · , Vn ⊆ V Theo Bổ đề 2.3.2 (ii) ta có PVi khơng chứa bình phương Vậy J khơng chứa bình phương Định nghĩa 2.3.4 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , · · · , vd } Một phủ đỉnh G tập V ′ ⊆ V cho cạnh viv j G vi ∈ V ′ v j ∈ V ′ Phủ đỉnh V ′ cực tiểu khơng thực chứa phủ đỉnh khác G Bổ đề 2.3.5 Cho G đồ thị với tập đỉnh V (i) G có phủ đỉnh V 43 (ii) Nếu V ′ ⊆ V phủ đỉnh G V ′ ⊆ V ′′ ⊆ V, V ′′ phủ đỉnh G (iii) Phủ đỉnh G chứa phủ đỉnh cực tiểu G (iv) Cho ký hiệu phủ đỉnh G Một phủ đỉnh G cực tiểu phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) Ví dụ 28 Tìm phủ đỉnh đồ thị v1 v2 v4 v3 Hình 2.5: Theo Bổ đề 2.3.5 (ii) (iii), ta cần tìm phủ đỉnh cực tiểu G Trước hết, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu chứa v1 Nếu v1 ∈ V ′ , cạnh v1 v2, v1 v3 v1v4 "cạnh phủ " Các cạnh lại v2v3 v3 v4 "khơng cạnh phủ" Các cạnh cạnh phủ ta thêm đỉnh v3 v2 , v4 Vậy phủ đỉnh cực tiểu chứa v1 {v1, v3 } {v1, v2 , v4 } Tiếp theo, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu khơng chứa v1 Nếu v1 V ′ , ta phải có v2 , v3 , v4 ∈ V ′ để phủ cạnh v1v2 , v1 v3 v1v4 Dễ thấy {v2, v3 , v4 } phủ đỉnh cực tiểu G Bổ đề sau quan hệ phủ đỉnh phân tích m-bất khả quy Bổ đề 2.3.6 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , · · · , vd } , cho V ′ ⊆ V Đặt R = A[X1 , · · · , Xd ] IG ⊆ PV ′ V ′ phủ đỉnh G Chứng minh Ta viết V ′ = {vi1 , · · · , vin } , PV ′ = (Xi1 , · · · , Xin )R Giả sử IG ⊆ PV ′ , ta thấy V ′ phủ đỉnh G Gọi v jvk cạnh G Với X j Xk ∈ IG ⊆ PV ′ = (Xi1 , · · · , Xin )R Ta có tồn m X j Xk ∈ (Xim )R với m Từ suy j = im k = im Do v j = vim ∈ V ′ vk = vim ∈ V ′ Vậy V ′ phủ đỉnh G 44 Giả sử V ′ phủ đỉnh G Giả sử phần tử Xi X j ∈ IG , tương ứng viv j G Vì V ′ phủ đỉnh G nên vi ∈ V ′ v j ∈ V ′ Từ suy Xi ∈ PV ′ X j ∈ PV ′ , Xi X j ∈ PV ′ Tiếp theo định lý phân tích iđêan cạnh Định lý 2.3.7 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {v1, · · · , vd }, R = A[X1, · · · , Xd ] Khi iđêan cạnh IG ⊆ R có phân tích m - bất khả quy sau : PV ′ PV ′ = IG = V′ V′ E Trong giao đầu lấy tất phủ đỉnh giao sau lấy phủ đỉnh cực tiểu G Hơn giao sau rút gọn Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.2 (i) ta thấy giao sau rút gọn Hiểu nhiên V′ PV ′ ⊆ PV ′ V′ E V′ PV ′ ⊆ PV ′ V′ E Một phủ đỉnh V ′ chứa phủ đỉnh cực tiểu V ′′ Ta có IG ⊆ V′ PV ′ theo Bổ đề 2.3.6 Do để chứng minh ngược lại, ýIG không chứa bình phương Theo Mệnh đề 2.3.3 tồn tập V1 , · · · , Vn V cho IG = IG = n j=1 n j=1 PV j ⊇ PV j , ta có IG ⊆ PV j Theo Bổ đề 2.3.6 V j phủ đỉnh G nghĩa V′ PV ′ Ví dụ 29 Phân tích m-bất khả quy rút gọn iđêan IG , G đồ thị theo Ví dụ 28: IG = (X1 , X3 )R ∩ (X1 , X2 , X4 )R ∩ (X2, X3 , X4 )R Ví dụ 30 Đặt R = A[X1, X2 , X3 , X4 ] Tìm phân tích m-bất khả quy rút gọn iđêan J = (X1 X2 , X2 X3 , X2 X4 , X3 X4 )R Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2, v3 , v4 } thỏa mãn J = IG 45 v1 v2 v4 v3 Hình 2.6: Tiếp theo, ta tìm phủ đỉnh cực tiểu G: {v1 , v3, v4 } {v2, v3 } {v2 , v4} Cuối , theo Định lý 2.3.7; ta có J = IG = (X1 , X3 , X4 )R ∩ (X2 , X3 )R ∩ (X2 , X4 )R 2.4 Phức đơn hình iđêan mặt Định nghĩa 2.4.1 Cho V = {v1 , · · · , vd } tập hữu hạn Phức đơn hình V tập khác rỗng ∆ tập V thỏa mãn, với F, G ⊆ V, F ⊆ G G ∈ ∆ , F ∈ ∆ Một phần tử ∆ gọi mặt ∆ Một mặt có dạng {vi} gọi đỉnh ∆ Một mặt có dạng {v j , vk } gọi cạnh ∆ Một phần tử cực đại ∆ theo quan hệ bao hàm gọi mặt cực đại (hay siêu mặt) ∆ Nhận xét (i) Cho ∆ phức đơn hình V = {v1, · · · , vd } Theo Định nghĩa ∆ ta không yêu cầu {vi } ⊆ ∆ Vì V hữu hạn mặt ∆ chứa mặt cực đại ∆ Đặc biệt, ∆ khác rỗng có mặt cực đại Từ ta có ∅ ∈ ∆, mặt ∆ gọi mặt tầm thường ∆ (ii) Mọi đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , · · · , vd } cho ta phức đơn hình phức đơn hình chứa ∅, {vi } cặp {v j , vk } cho v jvk cạnh G (iii) Ta mơ tả "hình học" phức đơn hình: Mọi đỉnh tương ứng với điểm; cạnh tương ứng với hai đỉnh; mặt {v1 , v2 , v3} tương ứng với tam giác có v1, v2 v3 ; mặt {v1, v2 , v3 , v4 } tương ứng với tứ diện đỉnh v1 , v2 , v3 v4 Ví dụ 31 Đây hình học phức đơn hình: Phức đơn hình thứ bao gồm đường thẳng tam giác Khi 46 v1 v2 v1 v3 v2 v3 v5 v4 v5 v4 Hình 2.7: phức đơn hình có mặt sau Tầm thường : ∅ Đỉnh : {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 } Cạnh : {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v2 , v5 }, {v3 , v4}, {v4 , v5} Tam giác : Mặt cực đại : {v2 , v4 , v5} {v1 , v2 }, {v2 , v3 }, {v3 , v4 }, {v2 , v4 , v5} Phức đơn hình thứ hai bao gồm tứ diện tam giác Khi ta có mặt: Tầm thường : ∅ Đỉnh : {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v5 } Cạnh : {v1 , v2 }, {v1 , v4 }, {v1 , v5 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v2 , v5}, {v3 , v4}, {v4 , v5} Tam giác : Tứ diện : Mặt cực đại : {v1 , v2 , v4}, {v1 , v2, v5 }, {v1 , v4 , v5 }, {v2 , v3 , v4 }, {v2 , v4 , v5 } {v1 , v2 , v4, v5 } {v2 , v3 , v4}, {v1 , v2, v4 , v5 } Định nghĩa 2.4.2 Cho ∆ phức đơn hình V = {v1, · · · , vd }, đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Các iđêan mặt (hay iđêan Stanley-Reisner) R liên kết với ∆ iđêan J∆ = (Xi1 · · · Xis | i1 < · · · < i s d {vi1 · · · vin } ∆)R Chú ý: J∆ iđêan sinh đơn thức khơng chứa bình phương tương ứng với khơng mặt ∆ Ví dụ 32 Cho ∆ phức đơn hình thứ Ví dụ 31 "Khơng mặt" ∆ 47 {v1, v3 } {v1 , v4 } {v1 , v5 } {v3 , v5 } {v1 , v2, v3 } {v1, v2 , v4 } {v1 , v2 , v5 } {v1, v3 , v4 } {v1 , v3 , v5 } {v1 , v4, v5 } {v2, v3 , v4 } {v2 , v3 , v5 } {v3 , v4 , v5} {v1, v2 , v3 , v4 } {v1, v2 , v3 , v5 } {v1 , v2 , v4 , v5} {v1, v3 , v4 , v5 } {v2 , v3 , v4 , v5 } {v1 , v2, v3 , v4 , v5 } Các phần tử sinh J∆ X1 X3 X1 X4 X1 X3 X5 X1 X2 X4 X5 X1 X5 X1 X4 X5 X3 X5 X1 X2 X3 X1 X2 X4 X1 X2 X5 X2 X3 X4 X2 X3 X5 X3 X4 X5 X1 X2 X3 X4 X1 X3 X4 X5 X2 X3 X4 X5 X1 X3 X4 X1 X2 X3 X5 X1 X2 X3 X4 X5 Rút gọn, ta có J∆ = (X1 X3, X1 X4, X1 X5, X3 X5 , X2 X3 X4 )R Tương tự ∆′ phức đơn hình thứ hai Ví dụ 31, J∆′ = (X1 X3 , X3 X5 )R = (X3 )R ∩ (X1, X5 )R Bổ đề 2.4.3 Cho ∆ V = {v1 , · · · , vd } Các iđêan mặt J∆ khơng chứa bình phương 2.5 Phân tích iđêan mặt Định nghĩa 2.5.1 Cho V = {v1, · · · , vd } , đặt R = A[X1, · · · , Xd ] Với tập F ⊆ V, QF ⊆ R iđêan: QF = ({Xi | vi F})R Ví dụ 33 Trong vành R = A[X1, · · · , X5 ] với V = {v1, · · · , v5} , ta có Q∅ = (X1, · · · , X5 )R Q{v1 ,v3 } = (X2, X4 , X5 )R QV = Nhận xét Cho V = {v1 , · · · , vd } tập hữu hạn, đặt R = A[X1, · · · , Xd ] (i) Cho F ⊆ V Khi QF = PV F (ii) Cho F, G ⊆ V , có QF ⊆ QG G ⊆ F 48 (iii) Iđêan đơn thức J ⊆ R không chứa bình phương m-bất khả quy tồn tập F ⊆ V cho J = QF , xem Định lý 1.5.2 (iv) Iđêan đơn thức J R khơng chứa bình phương tồn tập F1, · · · , Fn ⊆ V cho J = n i=1 QFi ; theo Mệnh đề 2.3.3 Bổ đề sau liên hệ phân tích bất khả quy iđêan mặt Bổ đề 2.5.2 Cho ∆ phức đơn hình V = {v1, · · · , vd }, cho F ⊆ V Đặt R = A[X1 , · · · , Xd ] Khi J∆ ⊆ QF F mặt ∆ Chứng minh Viết F = {vi1 , · · · , vin } V F = {v j1 , · · · , v j p }, QF = (X j1 , · · · , X j p )R Giả sử J∆ ⊆ QF Ta giả sử F mặt ∆, tức F ∆ Theo Định nghĩa ta suy Xi1 , · · · , Xin ∈ J∆ ⊆ QF Do tồn k cho Xi1 , · · · , Xin ∈ (X jk )R Vì l cho jk = il Kéo theo F ∩ (V F) ∅ Điều vô lý, chứng tỏ F ∈ ∆ Ngược lại, giả sử F ∈ ∆ Để chứng minh J∆ ⊆ QF , ta chứng minh phần tử sinh củaJ∆ thuộc QF Giả sử Xr1 · · · Xrq ∈ J∆ , tương ứng với "không mặt " V ′ = {vr1 , · · · , vrq } ∆ Vì F ∈ ∆, theo định nghĩa phức đơn hình ta có V ′ F Do tồn s cho vrs ∈ V ′ F Kéo theo Xrs ∈ QF Vì Xr1 · · · Xrq ∈ (Xrs )R ⊆ QF Vậy J∆ ⊆ QF Định lý sau cho phân tích iđêan mặt Định lý 2.5.3 Cho ∆ phức đơn hình V = {v1 , · · · , vd }, đặt R = A[X1 , · · · , Xd ] Khi iđêan J∆ ⊆ R có phân tích J∆ = QF = F∈∆ QF F mặt cực đại Giao đầu lấy tất mặt ∆, giao thứ hai lấy tất mặt cực đại ∆ Giao thứ hai rút gọn Chứng minh Nhận xét 2.5 suy giao thứ hai rút gọn 49 F∈∆ QF ⊆ Fmặt cực đại QF hiển nhiên Bao hàm thức ngược lại V′ PV ′ ⊇ V ′ PV ′ điều theo Bổ đề 2.5.2 suy từ kết mặt ∆ chứa mặt cực đại theo Bổ đề 2.5.2 Nhận xét 2.5 (ii) Theo Bổ đề 2.5.2 J∆ ⊆ Với J∆ ⊆ F∈∆ F∈∆ QF QF gọi J∆ không chứa bình phương Do đó, Nhận xét 2.5 (iv) ta có tập F1 , · · · , Fn J∆ = n j=1 QF j Với j , ta có J∆ ⊆ QF Vậy từ Bổ đề 2.5.2 suy F j mặt ∆ Nó nghĩa J∆ = n j=1 QF j ⊇ F∈∆ QF Ví dụ 34 Tính phân tích m-bất khả quy iđêan J∆ J∆′ theo Ví dụ 31 Sử dụng Định lý 1.4.16 ta có: J∆ = (X2 , X4 , X5 )R ∩ (X2 , X3 , X5 )R ∩ (X2, X3 , X4 )R ∩ (X1, X2 , X4 )R ∩ (X1, X5 )R J∆′ = (X1 , X5 )R ∩ (X3 )R Ví dụ 35 Ta tính phân tích m-bất khả quy iđêan J = (X1 X2 , X2 X3 X4 , X1 X4 )R ⊆ R = A[X1 , X2 , X3 , X4 ] Trước hết, ta tìm phức đơn hình ∆ V = {v1, v2 , v3 , v4 } thỏa mãn J∆ = J Sau ta phải thêm mặt ∆ = {∅, {v1 }, {v2 }, {v3 }, {v4 }, {v1 , v3 }, {v2 , v3 }, {v2 , v4 }, {v3 , v4 }} Đồ thị ∆: Các mặt cực đại ∆ : v1 v2 v4 v3 Hình 2.8: {v1, v3 } {v2 , v3 } {v2, v4 } {v3 , v4 } Cuối cùng, theo Định lý2.5.3, ta có J = J∆ = (X2, X4 )R ∩ (X1, X4 )R ∩ (X1, X3 )R ∩ (X1, X2 )R 50 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau - Trình bày hệ thống số vấn đề iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức - Tìm hiểu tập sinh phép toán iđêan đơn thức liên hệ với đồ thị - Tìm hiểu iđêan đơn thức bất khả quy mơ tả chúng đồng thời trình bày kết iđêan đơn thức khác vành phân tích thành giao iđêan đơn thức bất khả quy phân tích khơng thứ tự nhân tử - Tìm hiểu phức đơn hình, iđêan cạnh iđêan mặt Đây lớp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, đóng vai trị quan trọng Hình học đại số Sự phân tích đơn thức bất khả quy lớp iđêan trình bày luận văn Tài liệu tham khảo [1] W Bruns, J Herzog (1996), Cohen Macaulay Rings, Revised sdition Cambridge: Cambridge University Press [2] J Herzog and T Hibi, Monomial ideals, Springer [3] M Rogers and S Sather-Wagstaff (2011), Monomial ideals and their decomposition, http://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/DOCS/monomial.pdf [4] R H Villarreal (2001), Monomial Algebras, New York: Marcel Dekker Inc 52 ... đề iđêan đơn thức: tập sinh iđêan đơn thức, phép toán tập iđêan đơn thức, iđêan đơn thức m-bất khả quy phân tích iđêan đơn thức thành giao iđêan đơn thức bất khả quy Chương tìm hiểu phân tích. .. đơn thức X1n1 · · · Xdnd Luận văn tìm hiểu kết iđêan đơn thức R viết thành giao iđêan đơn thức "m-bất khả quy", tức iđêan đơn thức viết thành giao iđêan đơn thức thực chứa Một phân tích gọi phân. .. tích gọi phân tích m-bất khả quy Cũng phải nói thêm iđêan đơn thức đơn giản vành đa thức Nhiều kết cho thấy việc nghiên cứu iđêan chuyển nghiên cứu iđêan đơn thức Hơn ta dùng iđêan đơn thức để nghiên