Thuật toán slice cho phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TỐN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ÁNH LY THUẬT TỐN SLICE CHO PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2016 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ ÁNH LY i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên Đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Trong suốt q trình làm luận văn, cô dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn học Đại học Thái Ngun, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2016 Học viên NGUYỄN THỊ ÁNH LY ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Iđêan đơn thức 1.1 Iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức 1.2 Các phép toán iđêan đơn thức 1.2.1 Giao iđêan đơn thức 1.2.2 Căn iđêan đơn thức 1.2.3 Phép chia iđêan đơn thức 10 1.3 Iđêan đơn thức bất khả quy phân tích 12 1.4 Phân tích tham số iđêan đơn thức 15 1.4.1 Iđêan tham số 15 1.4.2 Phần tử góc 16 Thuật toán Slice 18 2.1 Đơn thức chuẩn cực đại, đế phân tích 18 2.2 Nhãn 22 2.3 Thuật toán Slice 22 2.4 Slice sở 29 2.5 Sự kết thúc lựa chọn then chốt 30 2.6 Giả mã 31 iii 2.7 Cải tiến thuật toán sở 33 2.7.1 Đơn thức chặn chứa slice 33 2.7.2 Tách độc lập 38 Tài liệu tham khảo 41 iv Mở đầu Một kết Đại số giao hốn định lý phân tích bất khả quy chứng minh Emmy Noether năm 1921 Trong báo Emmy Noether chứng minh iđêan vành Noether viết thành giao hữu hạn iđêan bất khả quy Cho A vành giao hốn có đơn vị đặt R = A[X1 , , Xd ] vành đa thức d biến A Một iđêan đơn thức m-bất khả quy theo nghĩa iđêan đơn thức nhỏ nhất, tức khơng thể viết thành giao không tầm thường iđêan đơn thức Cho J iđêan đơn thức R, phân tích m-bất khả quy J biểu diễn J = ∩ni=1 Ji thành giao iđêan m-bất khả quy, phân tích gọi rút gọn Ji Ji′ với i = i′ phân tích m-bất khả quy rút gọn không kể đến thứ tự iđêan đơn thức phân tích Chú ý J R iđêan đơn thức bất khả quy ln iđêan m-bất khả quy điều ngược lại A miền nguyên Gần phân tích bất khả quy iđêan đơn thức trở thành vấn đề tính tốn áp dụng nhiều lĩnh vực từ túy toán học đến toán học ứng dụng lĩnh vực sinh học, Một vài ví dụ áp dụng phân tích bất khả quy iđêan đơn thức cát tuyến iđêan đơn thức lũy thừa hình thức iđêan đơn thức đưa B Sturmfels and S Sullivant [8], vấn đề Frobenius đưa B.H Roune [7], kỹ thuật nghịch đảo mạng sinh học đưa A.S Jarrah [3] Mục đích luận văn giới thiệu thuật tốn Slice, thuật tốn dùng để tính phân tích bất khả quy iđêan đơn thức, nghĩa viết iđêan đơn thức thành giao rút gọn iđêan đơn thức bất khả quy Các kết trình bày lại chứng minh chi tiết phần báo "The slice Algorithm for Irreducible Decomposition of Monomial ideals" tác giả B Roune [6] Cho k trường đặt R = k[x1, , xn ], với n vành đa thức n biến lấy hệ số k, I iđêan đơn thức R Một đơn thức m ∈ R gọi đơn thức chuẩn cực đại I m ∈ / I mxi ∈ I, với i = 1, , n Tập tất đơn thức chuẩn cực đại I ký hiệu msm(I) Nếu biểu diễn I đồ thị đơn thức chuẩn cực đại I ứng với điểm nằm I nằm góc "gần nhất" so với phần đồ thị thuộc I Tập đơn thức chuẩn cực đại msm(I) đóng vai trị quan trọng thuật tốn Slice ý tưởng thuật toán bắt nguồn từ kết sau Miller Sturmfels [4]: Chọn số nguyên t cho t lớn bậc đơn thức tập đơn thức sinh rút gọn min(I) định nghĩa φ (xm ) = (ximi +1 | mi + < t) Khi đó, ánh xạ φ song ánh từ tập chuẩn cực đại msm(I + (xt1 , , xtn )) vào tập iđêan đơn thức bất khả quy irr(I) I Vì thế, tốn tìm phân tích bất khả quy quy tốn tìm tập đơn thức chuẩn cực đại Thuật toán Slice cung cấp cơng cụ để tính msm(I) cách tách thành hai tập gọi slice slice Cả hai slice phụ thuộc vào cách chọn đơn thức gọi then chốt Các đơn thức slice lại coi tập chuẩn cực đại iđêan Tiếp theo slice lại tách thành slice đơn giản trình tiếp tục tách thành slice đủ đơn giản để tính tập đơn thức chuẩn cực đại chúng Cấu trúc luận văn gồm hai chương Chương luận văn dành để nhắc lại số kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị, phép tốn giao, căn, chia phân tích bất khả quy, phân tích tham số iđêan đơn thức Chương giới thiệu thuật tốn slice: mơ tả thuật tốn thơng qua tập đơn thức chuẩn cực đại; chứng minh thuật toán dừng đoạn giả mã để thực thuật toán; mục chương giới thiệu số cải tiến cho phiên sở thuật toán Phần kết luận luận văn tổng kết số công việc thực Chương Iđêan đơn thức Ký hiệu A vành giao hốn có đơn vị đặt R = A[X1 , , Xd ] Chương dành để nhắc lại số kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị, phép tốn, phân tích tham số iđêan đơn thức Các kết chương viết dựa theo [5] 1.1 Iđêan đơn thức đồ thị iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan đơn thức R iđêan R sinh đơn thức theo biến X1 , , Xd Ví dụ 1.1.2 Đặt R = A[X,Y ] (i) Iđêan I = (X , X 3Y,Y )R iđêan đơn thức (ii) Iđêan J = (X −Y , X ) iđêan đơn thức J = (X ,Y ) (iii) Iđêan R iđêan đơn thức = (0)R / R = 1R R = X10 · · · Xd0 R Với iđêan đơn thức khác không I ⊆ R, ta ký hiệu [[I]] tập hợp tất đơn thức chứa I Khi tập hợp [[I]] ⊂ R tập vô hạn khơng iđêan Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩ [[R]] Hơn nữa, với iđêan đơn thức I ⊆ R, ta có I = ([[I]])R Mệnh đề 1.1.3 Cho I J hai iđêan đơn thức R (i) I ⊆ J [[I]] ⊆ [[J]] (ii) I = J [[I]] = [[J]] Định nghĩa 1.1.4 (i) Cho f g đơn thức R Khi f gọi bội đơn thức g tồn đơn thức h ∈ R cho f = gh n (ii) Với đơn thức f = X n = X1n1 Xd d ∈ R, ta có d-số tự nhiên n = (n1 , , nd ) ∈ Nd gọi véc tơ lũy thừa f Vì thế, có tương ứng − đơn thức R với véc tơ Nd đơn thức R = A[X1 , , Xd ] độc lập tuyến tính A nên véctơ lũy thừa đơn thức f ∈ R hoàn toàn xác định Cho d số nguyên dương Giả sử Nd ta định nghĩa quan hệ sau: m = (m1 , , md ) (n1 , , nd ) với i = 1, , d ta có mi ≥ ni theo thứ tự thơng thường N Khi nhờ vào tính độc lập tuyến tính đơn thức R, kết sau nói tích đơn thức đa thức khơng đơn thức (xem [5, Bổ đề 2.1.9]) Bổ đề 1.1.5 Cho f = X m g = X n đơn thức R Nếu h đa thức R cho f = gh m n h = X p đơn thức, pi = mi − ni Ví dụ 1.1.6 Đặt R = A[X,Y ] Cho f = X 2Y g = X 3Y, m1 = < n1 = nên theo Bổ đề 1.1.5 f không bội g ngược lại g bội f Cho d số nguyên dương, với n ∈ Nd , đặt [n] = {m ∈ Nd | m n} = n + Nd Kết cho ta tiêu chuẩn để kiểm tra xem đơn thức f thuộc iđêan sinh đơn thức g Đặc biệt điều kiện tương đương (i) (iv) cho phép ta kiểm tra cách làm việc véc tơ lũy thừa Bổ đề 1.1.7 Cho f = X m g = X n đơn thức R Khi điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ gR (ii) f bội g (iii) f bội đơn thức g (iv) m n (v) m ∈ [n] Vì ta có song ánh đơn thức [[R]] số thuộc Nd , nên theo Bổ đề 1.1.7 (iii) ⇔ (iv), ta xây dựng quan hệ tập hợp Ngược lại, lấy đơn thức M ′ thuộc vế phải Ta có M ′ = qpN ′ suy ta có N ′ ∈ msm(I : p) \ (S : p) Khi N ′ ∈ msm(I : p) N ′ ∈ / S : p, suy pN ′ ∈ msm(I : p)p pN ′ ∈ / S Mà từ Mệnh đề 2.3.2, ta suy pN ′ ∈ msm(I) ∩ p pN ′ ∈ / S, hay M ′ ∈ (msm(I) \ S)q ∩ (qp) Suy vế phải nằm vế trái Đẳng thức 2.3.4 công cụ thuật tốn slice q trình áp dụng gọi trình tách then chốt Đẳng thức 2.3.4 đề cập đến ba slice: slice (I, S, q) gọi slice slice cần tách; slice (I : p, S : p, qp) gọi slice chứa nằm bên (qp); slice (I, S + (p), q) gọi slice ngồi chứa nằm ngồi (qp) Khơng phải hiển nhiên mà thấy việc tính chứa slice ngồi lại dễ việc tính chứa slice Vấn đề mấu chốt điều đẳng thức chứng minh Bổ đề 2.3.1 sau: msm(I) \ S = msm(I ′) \ S, I ′ = (m ∈ min(I)|π (m) ∈ / S) (2.3.7) Đẳng thức 2.3.7 kéo theo con(I, S, q) = con(I ′, S, q) Nói cách khác ta loại bỏ đơn thức m ∈ min(I) mà π (m) ∈ / S (những đơn thức nằm phần màu trắng Hình 2.2) Đẳng thức 2.3.7 tiếp tục áp dụng π (min(I)) ∩ S = / Áp dụng kết việc mơ tả bước thuật tốn, ta tính ví dụ sau Ví dụ 2.3.9 Cho I = (x4 , x3 y2, y5 ) Chọn đơn thức then chốt p = x Khi theo Đẳng thức 2.3.4, ta có: msm(I) = con(I, (0), 1) = con(I : x, : x, x) ∪ con(I, (0) + (x), 1) Trước hết ta tính con(I : x, : x, x) Vì ta có I : x = (x3 , x2 y2, y5 ), nên suy msm(I : x) = {x2 y, xy4} Vậy con(I : x, : x, x) = (msm(I : x) \ 0)x = msm(I : x)x = {x3 y, x2y4 } Tiếp theo ta tính con(I, (0) + (x), 1) Đặt I ′ = (m ∈ min(I)|π (m) ∈ / (x)) Khi I ′ = (y5 ) Theo Đẳng thức 2.3.7 ta có msm(I) \ (x) = msm(I ′ ) \ (x) = / Suy con(I, (x), 1) = (msm(I) \ (x))1 = msm(I) \ (x) = / Vậy msm(I) = {x3 y, x2y4 } 28 2.4 Slice sở Trước hết, ta nhắc lại số khái niệm sau Định nghĩa 2.4.1 Đặt R = A[X1 , , Xn ], A vành giao hoán (i) Đơn thức X n ∈ [[R]] gọi khơng chứa bình phương với i = 1, , d ta có ni ∈ {0, 1} Iđêan đơn thức J ⊆ R gọi khơng chứa bình phương sinh đơn thức khơng chứa bình phương (ii) Sự rút gọn đơn thức f = X n ∈ [[R]] đơn thức ∏ red( f ) = Xi i∈Supp( f ) Rõ ràng red( f ) tích biến chia hết f : red( f ) = ∏ Xi Xi | f Ví dụ 2.4.2 (i) Đặt R = A[X,Y, Z] Các đơn thức khơng chứa bình phương R {1, X,Y, Z, XY, XZ,Y Z, XY Z} (ii) Cho R = A[X,Y, Z] f = (X Z ) Khi red( f ) = XZ Chú ý 2.4.3 (i) Đơn thức f ∈ [[R]] khơng chứa bình phương không chứa Xi2 , tức f = red( f ) (ii) Iđêan đơn thức R khơng chứa bình phương đơn thức dãy sinh đơn thức rút gọn khơng chứa bình phương Định nghĩa 2.4.4 Một slice (I, S, q) slice sở I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương x1 xn ∤ lcm(min(I)) Mệnh đề 2.4.5 Nếu x1 xn ∤ lcm(min(I)) msm(I) = / Chứng minh Giả sử msm(I) = 0/ suy tồn d ∈ msm(I) Khi với i tồn m ∈ min(I) cho m xi -nhãn d suy m | dxi | lcm(min(I)) Mặt khác degxi (m) = degxi (d)+1 suy xi | m Từ ta có xi | m | lcm(min(I)) Vậy điều giả sử sai Mệnh đề 2.4.6 Nếu I iđêan khơng chứa bình phương I = (x1 , , xn ) ta có msm(I) = / 29 Chứng minh Giả sử msm(I) = 0/ suy tồn d ∈ msm(I) Khi với i tồn mi ∈ min(I) cho mi xi-nhãn d, suy m | dxi Mặt khác, ta lại có degxi (m) = degxi (d) + 1, suy xi | m Mà I iđêan khơng chứa bình phương nên degxi (m) = suy mi = xi Vậy I = (x1 , , xn ) mâu thuẫn với giả thiết 2.5 Sự kết thúc lựa chọn then chốt Trong mục ta số ràng buộc việc lựa chọn đơn thức then chốt tác động cách hiệu đến việc đảm bảo cho thuật tốn dừng Có bốn điều kiện để lựa chọn đơn thức then chốt p, hai điều kiện đầu đảm bảo cho thuật tốn dừng, cịn hai điều kiện cuối dùng để mở rộng thuật toán sở • p∈ / S: Nếu p ∈ S slice ngồi slice • p = 1: Nếu p = slice slice • p∈ /I • p | π (lcm(min(I))) Một đơn thức then chốt thỏa mãn bốn điều kiện gọi đơn thức then chốt hiệu lực Mệnh đề sau cho thấy slice slice sở ln có đơn thức then chốt hiệu lực Mệnh đề 2.5.1 Cho (I, S, q) slice chuẩn tắc không tồn đơn thức then chốt hiệu lực Khi I iđêan khơng chứa bình phương Chứng minh Giả sử I iđêan đơn thức chứa bình phương Khi tồn xi m ∈ min(I) cho x2i | m Điều suy xi ∈ / I Mặt khác, (I, S, q) slice / xi | π (m) nên suy chuẩn tắc nên theo định nghĩa ta có π (min(I)) ∩ S = 0, xi ∈ / S Vì xi thỏa mãn bốn điều kiện đơn thức then chốt hiệu lực, mâu thuẫn với giả thiết mệnh đề Vì thế, I iđêan khơng chứa bình phương Mệnh đề 2.5.2 Việc lựa chọn đơn thức then chốt hiệu lực đảm bảo cho thuật toán dừng Chứng minh Ta chứng minh thuật toán dừng cách sử dụng tính chất dãy tăng chặt iđêan dừng vành Noether R = k[x1 , , xn ] Thật vậy, 30 cho A = (I, S, q) không slice sở p đơn thức then chốt hiệu lực Ta tách A thành hai slice A1 = (I : p, S : p, qp) slice A2 = (I, S + (p), q) slice Cho f g ánh xạ từ tập slice vào tập iđêan định nghĩa sau: f (I, S, q) = S g(I, S, q) = (lcm(min(I))) Ta chứng minh khẳng định sau: (i) f (A) ⊆ f (A1 ); f (A) (ii) g(A) f (A2 ) g(A1 ); g(A) = g(A2 ) Thật vậy, ta có f (A) = S ⊆ S : p = f (A1 ) Mặt khác p đơn thức then chốt hiệu lực nên p ∈ / S Do f (A) = S S + (p) = f (A2 ) Tương tự, ta có I ⊆ I : p, suy lcm(min(I)) ⊆ lcm(min(I : p)) Mặt khác A = (I, S, q) khơng slice sở nên theo Mệnh đề 2.4.5 ta có msm(I) = / Do tồn d ∈ msm(I) suy dxi ∈ I với i Vì p đơn thức then chốt hiệu lực nên p = 1, pd ∈ I Vậy d ∈ I : p mà d ∈ / I nên suy I lcm(min(I)) lcm(min(I : p) suy g(A) I : p Vì g(A1 ) Tiếp theo, từ định nghĩa ánh xạ g ta có g(A) = lcm(min(I)) = g(A2 ) Từ khẳng định trên, cho A slice tùy ý A′ slice chuẩn tắc tương ứng f (A) ⊆ f (A′ ), g(A) ⊆ g(A′ ) Do f g không giảm, f dãy tăng chặt slice ngồi g dãy tăng chặt slice Do theo tính chất vành Noether dãy phải dừng Điều có nghĩa cho slice khơng phải slice sở sau số hữu hạn bước áp dụng Đẳng thức 2.3.4 2.3.4 ta thu slice sở, hay thuật toán dừng 2.6 Giả mã Mục cung cấp câu lệnh lập trình máy tính để thực hiên thuật toán Slice Nội dung mục thực giả mã thuật toán thuật toán slice Ý tưởng theo Mệnh đề 2.5.1 kiểm tra xem biến x1 , , xn có đơn thức then chốt hiệu lực hay khơng Nếu khơng có biến đơn thức 31 then chốt hiệu lực I ′ thu đoạn câu lệnh khơng chứa bình phương function con(I, S, q) / S) let I ′ := (m ∈ min(I)|π (m) ∈ if x1 xn ∤ lcm(min(I ′)) then return 0/ if I ′ is square free and I ′ = (x1 , , xn ) then return 0/ if I ′ is square free and I ′ = (x1 , , xn ) then return {q} let p := selectPivot(I ′, S) return con(I ′ : p, S : p, qp) ∪ con(I ′, S + (p), q) Bây ta giải thích câu lệnh thuật tốn: Bước 1: Đặt I ′ := (m ∈ min(I)|π (m) ∈ / S) Vì theo Đẳng thức 2.3.4 2.3.7 thay tính con(I, S, q) ta tính con(I ′ , S, q) Nói cách khác loại bỏ đơn thức m ∈ min(I) mà π (m) ∈ / S, π (min(I)) ∩ S = / Khi xảy ba trường hợp Trường hợp 1: x1 xn ∤ lcm(min(I ′ )) theo Mệnh đề 2.4.5 ta có msm(I ′ ) = / Trường hợp 2: I ′ không chứa bình phương I ′ = (x1 , , xn), theo Mệnh đề 2.4.6 ta có msm(I ′ ) = / Trường hợp 3: I ′ khơng chứa bình phương I ′ = (x1 , , xn ), quay trở lại {q} Bước 2: Nếu không xảy trường hợp đặc biệt ta chọn đơn thức then chốt hiệu lực p = selectPivot(I ′ , S) dùng công thức 2.3.4 để tách slice thành hai slice đơn giản con(I ′ : p, S : p, qp) ∪ con(I ′, S + (p), q) Để thuật tốn dừng nhanh chiến thuật chọn đơn thức then chốt hiệu lực p quan trọng Dựa vào Đẳng thức 2.3.7 ta nên lựa chọn p cho / S) loại bỏ nhiều đơn thức iđêan I ′ = (m ∈ min(I)|π (m) ∈ min(I) tốt Ta làm lại Ví dụ 2.3.7 thay chọn p = xy3 ta chọn p = x Ví dụ 2.6.1 Cho iđêan đơn thức I = (x6 , x5 y2 , x2 y4 , y6 ), đơn thức then chốt 32 p = x Khi theo Đẳng thức 2.3.4 ta có: msm(I) = con(I, (0), 1) = con(I : x, : x, x) ∪ con(I, (0) + (x), 1) Trước hết ta tính con(I : x, : x, x) Vì ta có I : x = (x5 , xy4, x4 y2, y6 ), nên suy msm(I : x) = {x4 y, x3y3 , y5 } Vậy con(I : x, : x, x) = (msm(I : x) \ 0)x = msm(I : x)x = {x5 y, x4y3 , xy5 } Tiếp theo ta tính con(I, (0) + (x), 1) Đặt I ′ = (m ∈ min(I)|π (m) ∈ / (x)) Khi I ′ = (y6 ) Theo Đẳng thức 2.3.7 ta có msm(I) \ (x) = msm(I ′) \ (x) = / Suy con(I, (x), 1) = (msm(I) \ (x))1 = msm(I) \ (x) = / Vậy msm(I) = {x5 y, x4y3 , xy5 } 2.7 Cải tiến thuật tốn sở Mục dành để trình bày số cải tiến cho phiên sở thuật tốn Slice trình bày đầu chương 2.7.1 Đơn thức chặn chứa slice Đơn thức ql gọi là đơn thức chặn slice (I, S, q) ql | d, với d ∈ con(I, S, q), nghĩa l | d, với d ∈ msm(I) Theo định nghĩa ta có con(I, S + (l), q) = (msm(I) \ S + (l))q = 0/ phần tử thuộc msm(I) thuộc S + (l) Vì ta thực tách l cho l | d, với d ∈ msm(I) slice ngồi rỗng theo đẳng thức 2.3.4 ta có con(I, S, q) = con(I : l, S : l, ql) ∪ con(I, S + (l), q) = con(I : l, S : l, ql) (2.7.8) Đẳng thức 2.7.8 cho phép ta chuyển từ việc tách con(I, S, q) việc tách con(I : l, S : l, ql) Điều rõ ràng hiệu để tính con(I, S, q), thay ta phải làm việc con(I : l, S : l, ql) con(I, S + (l), q) ta cần làm việc con(I : l, S : l, ql) 33 Trong Mệnh đề 2.3.2 cho ta đơn thức chặn đơn giản gcd(min(I)) mệnh đề sau cung cấp cho ta chặn tổng quát Mệnh đề 2.7.1 Cho (I, S, q) slice đặt l(I) = lcmni=1 li , li = gcd(min(I) ∩ (xi )) xi Khi ql(I) đơn thức chặn (I, S, q) Chứng minh Theo định nghĩa ta cần chứng minh l(I) | d, với d ∈ msm(I) Thật vậy, lấy d ∈ msm(I) cho m xi-nhãn d Khi ta có xi | m, li xi | m | dxi Suy li | d ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.7.2 Cho I := (x2 y, xy2, yz, z2 ) Chứng minh tập đơn thức chuẩn cực đại msm(I) = {xy} Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.7.1 ta có gcd(min(I) ∩ (x)) = y; x l2 = gcd(min(I) ∩ (y)) = 1; y l3 = gcd(min(I) ∩ (z)) = z Suy l(I) = lcm3i=1 li = y Vì msm(I) = con(I, (0), 1) nên áp dụng Đẳng thức l1 = 2.7.8 với S = (0) q = 1, ta thực tách đơn thức chặn ql(I) = y, ta có msm(I) = con(I, (0), 1) = con(I : y, (0), y), I : y = (x2 , xy, z) Tiếp tục, gcd(min(I : y) ∩ (x)) = 1; x l2 = gcd(min(I : y) ∩ (y)) = x; y l3 = gcd(min(I : y) ∩ (z)) = z l1 = nên ta có l(I : y) = lcm3i=1 li = x Vì thế, áp dụng Đẳng thức 2.7.8 lần với 34 q = y, S = (0) thực tách đơn thức chặn ql(I : y) = xy, ta có con(I : y, (0), y) = con((I : y) : x, (0) : x, xy) = con((x2 , xy, z) : x, (0) : x, xy) = con((x, y, z), (0), xy) = (msm(x, y, z) \ (0))xy = (1 \ (0))xy = {xy} Chúng ta cải tiến chặn khái niệm xi-cực đại sử dụng kết sau Định nghĩa 2.7.3 Một đơn thức m ∈ msm(I) gọi xi -cực đại < degxi (m) = degxi (lcm(min(I))) Ví dụ 2.7.4 Cho I := (x2 y, xy2, yz) Khi lcm(min(I)) = x2 y2 z Theo định nghĩa, ta có x2 y x-cực đại < degx (x2 y) = degx (x2 y2 z), xy2 y-cực đại có < degy (xy2 ) = degy (x2 y2 z) yz z−cực đại < degz (yz) = degy (x2 y2 z) Bổ đề 2.7.5 Cho d ∈ msm(I) m xi -nhãn d Nếu m x j -cực đại với biến x j xi = x j Chứng minh Giả sử ngược lại xi = x j cho l x j -nhãn d Khi dẫn đến điều vô lý degx j (m) degx j (lcm(min(I))) = degx j (m), degx j (d) < degx j (l) bất đẳng thức giải thích sau: Bất đẳng thức thứ giả thiết m xi -nhãn d nên m | dxi , suy tồn h cho dxi = mh Do ta giả sử xi = x j nên lũy thừa lớn x j m phải nhỏ lũy thừa lớn x j d, hay ta có degx j (m) degx j (d) Bất đẳng thức thứ hai có l x j -nhãn d nên theo định nghĩa, degx j (l) = degx j (d) + Mặt khác, l ∈ min(I) nên bất đẳng thức thứ ba thỏa mãn Đẳng thức cuối định nghĩa x j -cực đại Bổ đề 2.7.5 cho phép ta chuyển từ việc tính tập chuẩn cực đại iđêan đơn thức I việc tính tập chuẩn cực đại iđêan đơn thức I sau loại bỏ bớt đơn thức xi-cực đại theo hai biến phân biệt tập phần tử sinh rút gọn min(I) 35 Hệ 2.7.6 Nếu m ∈ min(I) xi -cực đại theo hai biến phân biệt ta có msm(I) = msm(I ′), I ′ = (min(I) \ {m}) Chứng minh Dễ thấy msm(I ′ ) ⊆ msm(I) Ta chứng minh msm(I) ⊆ msm(I ′ ) Thật vậy, lấy d ∈ msm(I) Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp Nếu tồn hi cho dxi = mi hi , với i thỏa mãn mi = m I ′ = (min(I) \ {m}) nên d ∈ msm(I ′ ) hay msm(I) ⊆ msm(I ′ ) - Trường hợp Nếu tồn h cho dxi = mh m xi -nhãn d Theo giả thiết tồn j = i cho m x j -cực đại Suy xi = x j theo Bổ đề 2.7.5, điều mâu thuẫn Vậy trường hợp xảy Hệ sau cho ta cải tiến việc giảm bớt bước thuật tốn tìm đơn thức chặn ql Hệ 2.7.7 Cho (I, S, q) slice đặt li := gcd(Mi ), xi Mi := {m ∈ min(I) | xi ước m m không x j − cực đại với xi = x j } Khi q(lcmni=1 li ) đơn thức chặn (I, S, q) Chứng minh Theo định nghĩa, ta cần chứng minh li | d, với i Thật vậy, d ∈ msm(I) nên dxi ∈ I, với i Do tồn đơn thức hi cho mi dxi = mi hi , suy d = ( )hi , với mi ∈ min(I) Vì xi mi dx j = m j h j = ( hi )x j xi nên mi có lũy thừa lớn theo biến x j degx j (m j ) = degx j (mi ) + 1, điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy mi không x j -cực đại với x j = xi hay ta có mi mi ∈ Mi Do cách đặt li := gcd(Mi ), nên ( ) | d, hay ta có điều cần chứng xi xi minh li | d Ví dụ 2.7.8 (i) Cho I := (xy, x2, y2 ) Khi Mx = xy, x2 ; My = xy, y2 36 (ii) Áp dụng Hệ 2.7.7 cho Ví dụ 2.7.2 với I := (x2 y, xy2, yz, z2 ), ta có gcd(x2 y) = xy x My = xy2 , yz → ly = gcd(xy2 , yz) = y Mz = yz, → lx = gcd(yz) = y z Khi đơn thức chặn Slice (I, (0), 1) là: Mx = x2 y → lx = q(lcm(lx , ly , lz )) = 1(lcm(xy, 1, y)) = {xy} Rõ ràng Ví dụ 2.7.2, ta phải qua hai bước tìm đơn thức chặn {xy}, áp dụng Hệ 2.7.7, ta cần bước Ta tính tốn đơn thức chặn cách xác cách định nghĩa M(i, j) tính ước chung lớn cặp đơn thức sinh rút gọn cho chúng đồng thời tương ứng xi -nhãn x j -nhãn Tuy nhiên, việc mở rộng làm tăng độ xác đồng thời làm tăng độ phức tạp thuật toán Hơn nữa, ta mở rộng từ hai biến thành n biến ta tìm chặn xác, độ phức tạp việc tính tốn lại ngang với việc ta phải tính tập msm(I) Hệ 2.7.6 Hệ 2.7.7 cho phép ta làm cho slice đơn giản mà không cần phải thay đổi chứa nó, q trình lặp lại đạt đến điểm cố định Ta gọi q trình đơn giản hóa (simplification) slice gọi đơn giản hết mức (fully simplified) đạt đến điểm cố định q trình Mệnh đề sau ví dụ q trình đơn giản hóa mở rộng để đạt slice sở Mệnh đề 2.7.9 Cho A := (I, S, q) slice đơn giản hết mức Nếu | min(I) | n A slice sở Chứng minh Theo Hệ 2.7.6, đơn thức m xi-cực đại hai biến ta xóa bỏ khỏi min(I) Điều có nghĩa đơn thức thuộc min(I) xi-cực đại nhiều biến xi Vì biến xuất lũy thừa cực đại đơn thức sinh nên với số i, tồn đơn thức mi ∈ min(I) cho mi xi -cực đại Do tất đơn thức 37 mi , , mn phân biệt Vì theo giả thiết | min(I) | n nên min(I) = {m1 , , mn } Do Mi = {mi }, Mi định nghĩa Hệ 2.7.7 Hơn nữa, theo giả thiết A slice đơn giản hết mức nên gcd(Mi ) = 1, mi = xi , xi ta có điều phải chứng minh Với lập luận giống lập luận chứng minh Mệnh đề 2.7.9, ta (I, S, q) slice sở tất phần tử min(I) cực đại Nếu có phần tử m ∈ min(I) khơng cực đại ta xây dựng slice sở cho thuật toán cách tìm khả phần tử sinh xi -nhãn với xi | m Ta làm tương tự cho trường hợp có k phần tử thuộc min(I) khơng cực đại, với k ∈ N Tuy nhiên độ phức tạp việc tính tốn tăng theo hàm mũ theo k, thời gian tính tốn chậm k đủ lớn 2.7.2 Tách độc lập Trong mục ta định nghĩa khái niệm I-độc lập khái niệm cho phép ta thực việc tách hiệu Nội dung mục xây dựng dựa kỹ thuật tương tự việc tính chuỗi Hilbert-Poincaré giới thiệu Bayer Stillman (1992) mô tả chi tiết Bigatti (1993) Định nghĩa 2.7.10 Cho A, B tập khác rỗng rời cho ta có A ∪B = {x1, , xn } Vậy A B gọi I-độc lập min(I) ∩(A) ∩(B) = / Nói cách khác, A B I-độc lập khơng có phần tử thuộc min(I) ước biến A lẫn biến B Mệnh đề sau cho ta cách tính tập msm(I) Quá trình áp dụng Mệnh đề 2.7.11 gọi tách độc lập Mệnh đề 2.7.11 Nếu A, B I-độc lập msm(I) = msm(I ∩ k[A]) msm(I ∩ k[B]) Chứng minh Đặt A′ = msm(I ∩k[A]) B′ = msm(I ∩k[B]) Khi A′ = (0) msm(I) = 0/ theo Mệnh đề 2.4.5 Vì ta giả sử A′ = 0/ B′ = / 38 Ta có đẳng thức min(I) = min(A′ ) ∪ min(B′) nên với đơn thức a ∈ k[A] b ∈ k[B] ta có ab ∈ I a ∈ A′ b ∈ B′ ab ∈ / I a ∈ / A′ b ∈ / B′ Điều suy ab ∈ msm(I) ⇔ ab ∈ / I abxi ∈ I với xi ∈ A ∪ B ⇔a∈ / A′ axi ∈ A′ với xi ∈ A b ∈ / B′ bxi ∈ B′ với xi ∈ B ⇔ a ∈ msm(A′ ) b ∈ msm(B′ ) Ví dụ 2.7.12 Cho I = (x4 , x2 y2 , y3 , z2 , zt,t ) Khi {x, y} {z,t} I-độc lập Điều có nghĩa ta tính msm(I) cách độc lập với {x, y} {z,t} Áp dụng Mệnh đề 2.7.11, ta có msm(I) = msm(I ∩ k[x, y]) msm(I ∩ k[z,t]) = {x3 y, xy2}.{z,t} = {x3 yz, x3 yt, xy2z, xy2t} Cho slice (I, S, q), vấn đề đặt ta làm với S A, B I-độc lập không S-độc lập Có hai cách để vượt qua vấn đề Cách thứ dùng đơn thức then chốt lũy thừa túy, S sinh lũy thừa túy, hai tập biến S-độc lập Cách thứ hai thực tách độc lập hai tập vừa I-độc lập, vừa S-độc lập Mệnh đề 2.7.11 cho ta cách tách slice (I, S, q) trường hợp S = (0) q = Bây ta quan tâm đến việc tính con(I, S, q) trường hợp tổng qt Ta thực với tập khơng S-độc lập theo cách trực tiếp Đầu tiên ta bỏ phần tử tập min(S) ∩ (A) ∩ (B) từ min(S) thực tách độc lập Tiếp ta lại bỏ đơn thức chuẩn cực đại tính tốn mà nằm tập (min(S) ∩ (A) ∩ (B)) 39 Ví dụ 2.7.13 Cho iđêan I = (x4 , x2 y2, y3 , z2 , zt,t ) Ví dụ 2.7.12 cho S = (x3 y, y2z) Ta tính con(I, S, 1) Đặt A = {x, y} B = {z,t} Theo định nghĩa, ta có min(I) ∩ (A) ∩ (B) = 0/ min(S) ∩ (x, y) ∩ (z,t) = y2 z = 0/ nên A, B I-độc lập không S-độc lập Tuy nhiên ta bỏ đơn thức y2 z khỏi S đặt S′ = (x3 y) A, B lại S′ -độc lập Vì ta tách độc lập slice (I, (x3 y), 1) tính con(I, S′, q) = con(I, (x3 y), 1) = (msm(I) \ (x3y))1 = {xy2 }.{z,t} = {xy2 z, xy2t} Sau cách bỏ (y2 z) khỏi tập ta tính con(I, S, q) = con(I, (x3 y, y2 z), 1) = {xy2t} 40 KẾT LUẬN Tóm lại, luận văn trình bày chứng minh chi tiết phần kết báo "The Slice Algorithm for irreducible decomposition of monomial ideals" cuả B H Roune đăng tạp chí Journal of Symbolic Computation năm 2009 Kết luận văn trình bày nội dung sau: - Nhắc lại số kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị iđêan đơn thức; phép toán iđêan đơn thức phép toán giao, chia, căn, ; iđêan đơn thức bất khả quy phân tích bất khả quy; phân tích tham số iđêan đơn thức, - Trình bày khái niệm: tập đơn thức chuẩn cực đại , nhãn, slice chứa nó, đơn thức then chốt, - Phân tích bước để xây dựng thuật tốn Slice dùng để tính tập đơn thức chuẩn cực đại - Một số mở rộng thuật toán sở như: đơn thức chặn dưới, tách độc lập 41 Tài liệu tham khảo [1] Bayes D., Peeva I., Sturmfels B, (1998), "Monomial resolution", Mathematical research Letters, (1-2), 31-46 [2] Gao, S., monomial Zhu, ideals", M., (2005), SIGSAM "Irreducible Bulletin 39 decomposition (3), 99-99 of URL: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1113458 [3] Jarrah, A.S., Laubenbacher, R., Stigler, B.,Stillman, M., (2006), "Reverseengineering of polynomial dynamial systems" , Advances in Applied Mathematics [4] Miller, E., Sturmfels, B., (2005), "Combinatorial Commutative Algebra", Graduate Texts in Mathematic , vol 227, Springer [5] Rogers M., (2013), "Monomial ideals and their decompositions", URL: http://math.misouristate.edu/43628.htm [6] Roune B H., (2009), "The Slice Algorithm for irreducible decomposition of monomial ideals", Journal of Symbolic Computation, 44, 358-381 [7] Roune B H., (2008), "Solving thousand digrit Frobenius problems using Grobner bases", Journal of Symbolic Computation, 43,(1), 1-7 URL:http: www.broune.com [8] Sturmfels B., Sullivant S., (2006), "Combinatorial secant varieties", Pure and Applied Mathematics Quarterly, 2(3) 42 ... kiến thức iđêan đơn thức: đồ thị iđêan đơn thức; phép toán iđêan đơn thức phép toán giao, chia, căn, ; iđêan đơn thức bất khả quy phân tích bất khả quy; phân tích tham số iđêan đơn thức, - Trình... iđêan m -bất khả quy, phân tích gọi rút gọn Ji Ji′ với i = i′ phân tích m -bất khả quy rút gọn không kể đến thứ tự iđêan đơn thức phân tích Chú ý J R iđêan đơn thức bất khả quy ln iđêan m -bất khả. .. đa thức d biến A Một iđêan đơn thức m -bất khả quy theo nghĩa iđêan đơn thức nhỏ nhất, tức khơng thể viết thành giao khơng tầm thường iđêan đơn thức Cho J iđêan đơn thức R, phân tích m -bất khả quy