Các cơ sở toán học cho phân tích tín hiệu
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 17 2.3. CÁC CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO PHÂN TÍCH TÍN HIỆU: 2.3.1. Định nghĩa các không gian vector và tích trong: 2.3.1.1. Không gian vector: Một không gian vector E qua trường số thực R hoặc phức C, là một tập vector E, tương ứng với phép cộng và phép nhân vô hướng. x, y ∈ E là một tập hợp hoặc chuỗi gồm n phần tử ( ) ( ) ( ) KKK ,,,,,, 22112121 yxyxyyxxyx ++=+=+ ( ) ( ) KK ,,,, 1121 xxxxx αααα == 2.3.1.2. Vector trực chuẩn: Vector trong không gian V được gán thêm độ dài v . Tính chất: - v thực và dương . - v =0 chỉ khi v =0. - vv αα = với ∈α R. - vuvu .≤+ . Phân tích rời rạc: p j p j p /1 = ∑ vv (2.1) Phân tích liên tục: p b a p p dxxff 1 )( = ∫ (2.2) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com www.bme.vn LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 18 2.3.1.3. Không gian con và tập sinh: Một tập M được gọi là không gian con của E nếu: . Myx ∈∀ , thì Myx ∈+ . . CMx ∈∈∀ α, hoặc R thì Mx ∈α . Cho ES ∈ , tập sinh của S là một không gian con của E bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong S. Các không gian hữu hướng: {} ∈∈= ∑ = SxRCxSSpan i i ii ,/ 1 1 αα 2.3.1.4. Tích trong: Một tích trong trên không gian vector E ( qua C hoặc R ) là một giá trị phức ⋅⋅, , định nghĩa trên ExE với các tính chất sau: - zyzxzyx ,,, +=+ . - yxyx ,, αα = . - xyyx ,, = ∗ . - 0, ≥xx và 00, =⇔= xxx . Tích trong là tuyến tính. Chuẩn của vector được định nghĩa từ tích trong: xxx ,= Khoảng cách giữa hai vector x và y là hiệu chuẩn của chúng: yx − . Trong phân tích rời rạc ∑ == j T jj vwwvwv * , . (2.3) PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 19 Trong phân tích liên tục: ∫ >=< b a dxxgxfgf *)()(, (2.4) 2.3.2. Trực giao và trực chuẩn: - Cho x, y ∈ E, chúng được gọi là trực giao nếu và chỉ nếu 0, =yx . - Chúng thỏa mãn định lý Pythagor: 222 yxyx +=+ . - Một vector x được gọi là trực giao với tập vector { } i yS = nếu yyx i ∀= ,0, . - Hai không gian con S 1 ,S 2 ,chúng được gọi là trực giao, nếu tất cả các vector của S 1 là trực giao với tất cả các vector của S 2. - Một tập vector { } K,, 21 xx được gọi là trực giao nếu xi ⊥ xj , khi i ≠ j . - Nếu các vector được chuẩn hóa để có chuẩn là L, thì chúng ta có hệ thống trực chuẩn, và chúng thỏa mãn điều kiện ( ) jixx ji −= δ, . 2.3.3. Không gian Hilbert: - Không gian vector được trang bị một tích trong được gọi là không gian tích trong đầy đủ. Một không gian tích trong đầy đủ gọi là không gian Hilbert. - Chúng ta quan tâm đến không gian Hilbert có thể chia được, bởi vì một không gian Hilbert chứa một cơ sở trực chuẩn đếm được nếu và chỉ nếu nó là chia được. - Cho một không gian Hilbert E và một không gian con S, bù trực giao của S kí hiệu S ⊥ là { } SxEx ⊥∈ . Giả sử S là một tập hợp đóng, như vậy nó chứa tất cả các chuỗi vector giới hạn. - Cho các vector Ey ∈ , tồn tại duy nhất Sv∈ , và cũng tồn tại duy nhất ⊥ ⊥Sw sao cho wvy += . Chúng ta có thể viết: ⊥ ⊕= SSE E là tổng trực tiếp của không gian con và bù trực giao của nó. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 20 2.3.4.Cơ sở trực chuẩn: 2.3.4.1. Phương pháp trực giao hóa Grand – Smchidt: Cho một tập các veetor độc lập tuyến tính { } Ex i ∈ , chúng ta có thể xây dựng một tập trực chuẩn { } i y với cùng tập sinh như sau: Đặt 1 1 1 x x y = Tập đệ qui: kk kk k vx vx y − − = (2.5) k = 2,3, … Trong đó i k i iik yxyv ∑ − = = 1 1 , Lúc đó { } i y là một cơ sở trực chuẩn của E. 2.3.4.2. Bất đẳng thức Bessel: Nếu chúng ta có một hệ thống vector trực chuẩn { } Ex i ∈ thì Ey ∈∀ đều thỏa mãn bất đẳng thức Bessel: ∑ ≥ k k yxy 2 2 (2.6) Nếu ta có một hệ thống trực chuẩn đầy đủ trong E, thì ta có một cơ sở trực chuẩn trong E, và quan hệ Bessel trở thành đẳng thức, được gọi là đẳng thức Parseval. 2.3.4.3. Cơ sở trực chuẩn: Một tập vector { } i xS = được gọi là cơ sở trực chuẩn khi có hai điều kiện sau: - Tất cả các vector trong S là trực chuẩn. - Nó là đầy đủ. Nghĩa là mỗi vector bất kỳ của không gian đều có thể biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUN VN TT NGHIP TRNG HBK TP.HCM-nm 2007 21 Mt h thng trc chun { } i x c gi l mt c s trc chun ca E nu vi mi y E thỡ = k kk xy . nh lý: Cho mt h thng trc chun { } Exxx n K,, 21 , cỏc iu kin sau l tng ng: - Tp cỏc vector { } n xxx K,, 21 l mt tp c s. - Nu 0, =yx i vi i = 1, thỡ y = 0. - Tp sinh { }( ) i x l trự mt trong E, ú l mi vector trong E l mt gii hn ca chui vector trong tp sinh { }( ) i x . - Vi Eyy 21 , thỡ = i iiyứyự yxyxyy 21 ,, phng trỡnh Parseval tng quỏt. 2.3.5. C s tng quỏt: Mt h thng { } ii xx ~ , to nờn mt cp c s ng trc giao ca khụng gian Hilbert E nu v ch nu : - ( ) jixxZji ji = ~ ,:, - Tn ti cỏc hng s dng A,B, BA ~ , ~ sao cho Ey thỡ 2 2 2 , yByxyA k k 2 2 2 ~ , ~ ~ yByxyA k k 2.3.6. i s tuyn tớnh: a) Giỏ tr riờng v vector riờng: a thc c tớnh ca ma trn A l D(x) =det(xI A) nghim ca a thc ny gi l giỏ tr riờng i . PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 22 Vector p ≠ 0 thỏa Ap = λ được gọi là vector riêng tương ứng với các giá trị riêng λ. Nếu một ma trận có kích thước n x n, có n vector độc lập tuyến tính, thì nó có thể được chéo hóa và được viết: A = TΛT -1 Λ: ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng của A dọc theo đường chéo T : ma trận có các vector riêng là cột. Vector riêng là quan trọng trong việc nghiên cứu các toán tử tuyến tính. Giả sử rằng ma trận A có tập các vector riêng độc lập tuyến tính, vector x có thể được viết bằng một tổ hợp tuyến tính của các vector riêng ∑ = i ii vx α thì: ( ) ∑∑∑ == = i iii i ii i ii vAvvAAx λααα . b) Biến đổi tuyến tính: Phép biến đổi X từ không gian V thành vector Y trong không gian W Nếu V=W thì T là toán tử tuyến tính. Và T phải thỏa: - T(x+y)=T(x)+T(y). - T(cx)=cT(x). c) Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính: - Các vector x 1 , x 2 …xn được gọi là độc lập tuyến tính 0 1 = ∑ = n i ii xα ( i i ∀= ,0α ) - Ngược lại, các vector là phụ thuộc tuyến tính. - Nếu có vô hạn các vector x 1 , x 2 … chúng là độc lập tuyến tính nếu với k ∈ Z, thì x 1 , x 2 …xk là độc lập tuyến tính. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 23 - Một tập hợp con { } n xx K, 1 của không gian vector E được gọi là cơ sở của E khi { } n xxSpanE K, 1 = và x 1 , x 2 , …x n là độc lập tuyến tính. Lúc đó chúng ta gọi E có n chiều. 2.3.7. Xử lý tín hiệu : 2.3.6.1. Định nghĩa hàm Dirac: Hàm Dirac δ(t) được định nghĩa: 1)( = ∫ ∞ ∞− dttδ hay )()()()()( 000 tfdttttfdttttf =−=− ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− δδ (2.7) 2.3.6.2. Quá trình lấy mẫu: a) Quá trình lấy mẫu: Quá trình lấy mẫu là hết sức quan trọng trong xử lý tín hiệu rời rạc thời gian. Gọi fT(t) là phiên bản mẫu của f(t), ta có: ∑ ∞ −∞= −== n TT nTtnTftStftf )().()().()( δ (2.8) b) Định lý lấy mẫu: Nếu F(t) là liên tục và băng thông hữu hạn đến ω m , thì nó có thể được định nghĩa duy nhất bởi mẫu lấy tại 2ω m . Tần số lấy mẫu nhỏ nhất để có thể khôi phục lại F(t) là ω S = 2ω m . Khi đó: () ( ) ( ) ∑ ∞ −∞= −= n T nTtcnTftf sin (2.9) Trong đó: () ( ) T t T t tc T π π sin sin = . 2.3.6.3. Xử lí tín hiệu liên tục: a) Biến đổi Laplace: PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 24 Biến đổi Laplace: () () ∫ ∞ ∞− − = dtetfsF st (2.10) Biến đổi Laplace ngược: () () ∫ ∞+ ∞− = j j st dtesF j tf σ σ π2 1 (2.11) Kí hiệu của cặp biến đổi Laplace: ( ) ( ) sFtf ↔ Biến đổi Laplace với các ROC khác nhau thì tương ứng với các tín hiệu trong miền thời gian khác nhau. b) Hệ thống bất biến thời gian tuyến tính: Tích chập: cho f(t) và g(t) có biến đổi Laplace ngược tương ứng là F(s) và G(s) thì: f(t)*g(t) ↔ F(s)G(s) Với ROC chứa ROC của F(s) và G(s). Sau khi lấy biến đổi Laplace, ta có: () () () ∑ ∑ = = == M k k k N k k k sa sb sX sY sH 0 0 (2.12) Chúng ta có thể xem đầu vào và đầu ra có quan hệ với nhau qua một bộ lọc có đáp ứng xung là h(n), với h(n) là biến đổi Laplace ngược của H(s). 2.3.6.4. Xử lý tín hiệu rời rạc: a) Biến đổi Z:. Biến đổi Z của một hàm F(n) được định nghĩa : () () ∑ ∞ −∞= − = n n znfzF Với Z ∈ C. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM-năm 2007 25 Biến đổi Z có các ROC khác nhau sẽ cho các tín hiệu khác nhau trong miền thời gian. Trong ROC, cặp biến đổi tương ứng là f(n) ↔ F(Z), Z ∈ ROC b) Tích chập - bộ lọc rời rạc: Tích chập: cho f(n) và g(n) có biến đổi Z tươngứng là F(Z) và G(Z) thì: f(n)*g(n) ↔ F(Z)G(Z) Với ROC chứa ROC của F(Z) và G(Z). Lấy biến đổi Z hai vế và dùng tính chất trễ, ta có hàm truyền là tỷ số của đầu vào và đầu ra (ở dạng biến đổi Z): () () () ∑ ∑ = − = − == N k k k M k k k za zb zX zY zH 0 0 (2.13) Như vậy, đầu ra và đầu vào có quan hệ bởi tích chập với bộ lọc thời gian rời rạc có đáp ứng xung là h(n), với h(n) là biến đổi Z ngược của H(Z). ROC phụ thuộc vào chúng ta muốn lấy nghiệm là nhân quả hay không nhân quả. Một chuỗi gọi là nhân quả khi x(n) = 0, với n < 0. Hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu ROC chứa vòng tròn đơn vị. Một hệ thống có hàm truyền là phân số ổn định nếu và chỉ nếu các cực ở trong đường tròn đơn vị. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com www.bme.vn . TP.HCM-năm 2007 17 2.3. CÁC CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO PHÂN TÍCH TÍN HIỆU: 2.3.1. Định nghĩa các không gian vector và tích trong: 2.3.1.1. Không gian. thì Mx ∈α . Cho ES ∈ , tập sinh của S là một không gian con của E bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vector trong S. Các không gian