Iđêan đơn thức và sự phân tích của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM AMMONE PHOMPHIBAN IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

AMMONE PHOMPHIBAN

IĐÊAN ĐƠN THỨC

VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

AMMONE PHOMPHIBAN

IĐÊAN ĐƠN THỨC

VÀ SỰ PHÂN TÍCH CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Iđêan đơn thức 3

1.1 Phép toán iđêan 3

1.2 Vành đa thức nhiều biến 5

1.3 Iđêan đơn thức 8

1.4 Tập sinh và phép toán của iđêan đơn thức 14

1.5 Iđêan đơn thức m-bất khả quy và sự phân tích 32

Chương 2 Phân tích đơn thức bất khả quy của iđêan không chứa bình phương 39 2.1 Iđêan đơn thức không chứa bình phương 39

2.2 Đồ thị và iđêan cạnh 40

2.3 Phân tích của iđêan cạnh 43

2.4 Phức đơn hình và iđêan mặt 46

2.5 Phân tích của iđêan mặt 48

KẾT LUẬN 51

Tài liệu tham khảo 51

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùnglặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn

là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõnguồn gốc

Tác giả luận văn

AMMONE PHOMPHIBAN

Xác nhận của khoa Toán Xác nhận của cán bộ hướng dẫn

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên An

- giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịpnày tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tàiliệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiềuthời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học

và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viêntôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi họctập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi

để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

AMMONE PHOMPHIBAN

MỞ ĐẦU

Định lý Cơ bản của Số học chỉ ra rằng mọi số nguyên n > 2 luôn phân tích được

thành tích các số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tựcác nhân tử Trong Đại số có rất nhiều kết quả tương tự nảy sinh, chẳng hạn: mọi

đa thức khác hằng trên một trường phân tích được thành tích các đa thức bất khảquy và sự phân tích đó cũng là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử Các

ví dụ trên đều có một đối tượng chung là phân tích thành nhân tử "bất khả quy",tức là các phần tử không phân tích được thành các nhân tử "không tầm thường"

Một cách tổng quát, trong một vành giao hoán có đơn vị R liệu các phần tử của

R có thể phân tích được thành tích các phần tử bất khả quy Một ví dụ chỉ ra điềunày không đúng là vành Z[√−5] = {a + b√−5 | a, b ∈ Z} Trong vành này ta có

6 = 2.3 = (1 + √

−5)(1 − √−5)

Vào đầu những năm 1800 Ernst Kummer và Julius Wilhelm Richard Dedekind

đã nhận ra rằng bài toán có thể được chỉnh sửa Thay cho việc phân tích một phần

Vào những năm 1900 Emanuel Lasker và Emmy Noether đã nhận ra rằng tốt hơn

là ta xét giao thay cho tích Ý tưởng là tương tự ngoại trừ một iđêan I là bất khả quy nếu nó không phân tích được thành giao của 2 iđêan thực sự chứa I Họ cũng chỉ ra

sự phân tích như vậy tồn tại trong một lớp vành đủ rộng

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các iđêan đơn thức trong vành R =

A[X1,· · · , X d]với hệ tử trên một vành giao hoán A và các biến X1,· · · , X d, tức là các

iđêan sinh bởi các đơn thức X n1

1 · · · X nd d Luận văn tìm hiểu kết quả mọi iđêan đơnthức trong R có thể viết thành giao của các iđêan đơn thức "m-bất khả quy", tức là

các iđêan đơn thức không thể viết thành giao của các iđêan đơn thức thực sự chứa

nó Một phân tích như vậy gọi là phân tích m-bất khả quy Cũng phải nói thêm rằngiđêan đơn thức là đơn giản nhất trong vành đa thức Nhiều kết quả cho thấy việcnghiên cứu một iđêan bất kỳ có thể chuyển về nghiên cứu iđêan đơn thức Hơn nữa

ta có thể dùng iđêan đơn thức để nghiên cứu một số đối tượng trong Tổ hợp, Hìnhhọc, Lý thuyết đồ thị, Tôpô và ngược lại

Luận văn bao gồm 2 chương Chương 1 tìm hiểu một số vấn đề về iđêan đơn thức:tập sinh của iđêan đơn thức, phép toán trên tập iđêan đơn thức, iđêan đơn thức m-bấtkhả quy và sự phân tích một iđêan đơn thức thành giao của các iđêan đơn thức bấtkhả quy

Chương 2 tìm hiểu về phân tích bất khả quy của một lớp iđêan đặc biệt là iđêanđơn thức không chứa bình phương Một ví dụ của lớp iđêan đơn thức không chứabình phương là iđêan cạnh và iđêan mặt, hai đối tượng quan trọng trong Hình họcĐại số

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Nguyên An.Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn các thầy

cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tạitrường

-Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động viên tôi để tôi cóthể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015

Tác giả luận văn

AMMONE PHOMPHIBAN

Chương 1

Iđêan đơn thức

Trong toàn bộ luận văn ta luôn quy ước vành là vành giao hoán có đơn vị và

thường được ký hiệu là A Để dễ theo dõi ta nhắc lại một số phép toán trên iđêan và

vành đa thức

1.1 Phép toán iđêan

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I, J là các iđêan của vành A.

(i) Giao của I và J là I ∩ J = {x ∈ A | x ∈ I và x ∈ J}.

(ii) Tổng của I và J là I + J = {x + y | x ∈ I và y ∈ J}.

(iii) Tích của I và J là IJ = {Pn

i=1 x i y i | n ∈ N, x i ∈ I và y i ∈ J}.

Đặc biệt nếu I = hxi thì I.J = {xy | y ∈ J}, còn được ký hiệu là xJ

(iv) Thương của I và J là I : J = {x ∈ A | xJ ⊆ I}.

(v) Căn của I là rad(I) = {x ∈ A | ∃n ∈ N, x n

∈ I}.

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử I, J, K là các iđêan của vành A Khi đó

(i) I ∩ J, I + J, IJ, I : J, rad I là các iđêan của A, I + J sinh bởi I ∪ J, IJ sinh bởi

X = {xy | x ∈ I, y ∈ J}.

(ii) Phép lấy giao, tổng và tích các iđêan có tính chất giao hoán, kết hợp.

(iii) I(J + K) = IJ + IK.

Ví dụ 1 Trong Z, cho I = mZ, J = nZ Ta có I ∩ J = BCNN(m, n)Z ; I + J =

UCLN(m, n)Z ; I J = m.nZ ; I : J = UCLN(m,n) m Z Giả sử m = pα 1

1 pαn

n , αi ∈ N \

{0}, p1 .p n là các số nguyên tố phân biệt thì rad(mZ) = p1 .p nZ

Ta có thể định nghĩa giao và tổng của một họ bất kỳ các iđêan

Định nghĩa 1.1.3 Cho (Iα)α∈Γ là họ các iđêan của A Giao của họ là iđêan của A

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử I, J, K là các iđêan của A Khi đó

(i) I ⊆ rad(I) Nếu I ⊆ J thì rad(I) ⊆ rad(J).

(ii) rad(rad(I)) = rad(I).

(iii) rad(I J) = rad(I ∩ J) = rad(I) ∩ rad(J).

(iv) rad(I) = R khi và chi khi 1 ∈ I.

(v) rad(I + J) = rad(rad(I) + rad(J)).

1.2 Vành đa thức nhiều biến

Trước hết ta có một vài quy ước và ký hiệu Cho d là một số nguyên dương,

Với các ký hiệu trên ta cũng có X m X n = X m+n,(X m)p = X pm

Cho d là một số nguyên dương và xét quan hệ < trên N d như sau: (a1, ,a d) <

(b1, ,b d) khi a i > b i theo thứ tự thông thường trên N, với i = 1, , d Ta có < là

1 2 3 4

.

.

(i) Vành A là vành con của A[X].

(ii) Có một phần tử X ∈ A[X] \ A sao cho ∀ f ∈ A[X], ∃n ∈ N và a0,a1, ,a n ∈ A sao cho f = a0 + a1X + · · · + a n X n

(iii) Các phần tử 1 A,X, X2,X3, độc lập tuyến tính trong A, nghĩa là a0 + a1X +

· · · + a n X n = 0A nếu và chỉ nếu a0 = a1 = · · · = a n = 0A

Định nghĩa 1.2.3 Một phần tử f ∈ A[X] gọi là một đa thức một ẩn với hệ số thuộc

A Khi đó, mỗi phần tử khác không trong A[X] được biểu diễn duy nhất dưới dạng

f = a0 + a1X + · · · + a n X n, trong đó a0,a1, ,a n ∈ A, a n , 0.Phần tử X ∈ A[X] được gọi là ẩn Nếu 0 , f ∈ A[X], thì có số tự nhiên nhỏ nhất n ∈ N sao cho f có thể được viết dưới dạng f = a0+ a1X + · · · + a n X n (với a n , 0) được gọi là bậc của

f , hệ số a n gọi là hệ tử cao nhất của f Nếu hệ số của số hạng cao nhất của f bằng 1 thì f được gọi là monic Hệ số a0 là số hạng tự do của f Các phần tử của A đôi khi được gọi là các đa thức hằng Ta thường kí hiệu f = P

i∈Λa i X i,Λ là một tập hữu hạn

với f ∈ A[X].

Chú ý: Đa thức hằng 0 ∈ A[X] không định nghĩa bậc.

Định nghĩa 1.2.4 (i) Quy nạp, với d > 2, vành đa thức d biến X1, ,X d có hệ số

trong A là A[X1, ,X d ] = A[X1, ,X d−1][X d] Với d = 2 hoặc d = 3, ta thường viết A[X, Y] và A[X, Y, Z].

(ii) Vành đa thức vô hạn biến X1,X2,X3, có hệ số trong A là A[X1,X2,X3, ] =

(i) Vành A là một vành con của A[X1, ,X d]

(ii) Với mọi f ∈ A[X1, ,X d ], có một tập hữu hạn các chỉ số n ∈ Nd và các phần

− X3,X3)R là một iđêan đơn thức vì J = (Y2,X3)R.

(iii) Iđêan tầm thường 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (∅)R và R = 1R =

X10· · · X d0R.

Định nghĩa 1.3.2 Đặt R = A[X1, ,X d] Với mỗi iđêan đơn thức I ⊆ R, tập hợp

[[I]] ký hiệu tập hợp tất cả các đơn thức trong I.

Nhận xét Đặt R = A[X1, ,X d] Với mỗi iđêan đơn thức, khác không I ⊆ R, tập hợp [[I]] ⊂ R là một tập vô hạn nhưng không là iđêan Theo định nghĩa, ta có

Mệnh đề 1.3.4 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho I và J là hai iđêan đơn thức của R.

(i) I ⊆ J nếu và chỉ nếu [[I]] ⊆ [[J]].

(ii) I = J nếu và chỉ nếu [[I]] = [[J]].

Chứng minh (i) Nếu I ⊆ J thì [[I]] = I ∩ [[R]] ⊆ J ∩ [[R]] = [[J]] Ngược lại, nếu

[[I]] ⊆ [[J]] thì theo Bổ đề 1.3.3 ta có I = ([[I]])R ⊆ ([[J]])R = J.

(ii) Suy ra từ ý (i) 

Định nghĩa 1.3.5 Đặt R = A[X1, ,X d]

(i) Cho f và g là các đơn thức trong R Khi đó f gọi là một bội đơn thức của g nếu có một đơn thức h ∈ R sao cho f = gh.

(ii) Cho một đơn thức f = X n

∈ R, bộ gồm d số tự nhiên n ∈ N d gọi là véctơ lũy thừa của f.

Bổ đề 1.3.6 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong

R Nếu h là một đa thức trong R sao cho f = gh thì m i > n i,i = 1, , d và h là đơn

thức h = X p

, trong đó p i = m i − n i

Chứng minh Giả sử f = gh trong đó h = P

p∈Λa p X p ∈ R và Λ ⊂ N d là một tập conhữu hạn sao cho a p , 0 với p ∈ Λ Đẳng thức f = gh có nghĩa là

Vì ta đã giả sử rằng a p , 0nên chỉ có thể xảy ra khả năng số hạng khác không trong

h là a p X p khi n + p = m Nói cách khác, tập Λ chỉ gồm một phần tử Λ = {p} Khi đó

a p = 1, nghĩa là h = X p, vì vậy f = gh, hay h là một bội đơn thức của g. 

Ví dụ 5 Đặt R = A[X, Y] Khi đó XY7 không là bội của X2Y, nhưng X2Y7 là một bội

của X2Y.

Bổ đề 1.3.7 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong

R Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ gR;

(ii) f là một bội của g;

(iii) f là một bội đơn thức của g;

(iv) m < n;

(v) m ∈ [n].

Chứng minh (i) ⇔ (ii) Từ định nghĩa, ta có f ∈ gR khi và chỉ khi f là một bội của

g.

(ii) ⇒ (iii) : Suy ra từ Bổ đề1.3.7

(iii) ⇒ (ii) : Suy ra từ định nghĩa, f là một bội đơn thức của g thì f là một bội của g.

(iii) ⇒ (iv) : Giả sử f = gh trong đó h = X p.Suy ra

X m = X n X p = X n+p

Từ định nghĩa của véctơ lũy thừa đối với một đơn thức, suy ra m = n + p, m i =

n i + p i,i = 1, , d Vì mỗi p i > 0,suy ra m i = n i + p i > n i với mỗi i, vì vậy m < n.

(iv) ⇒ (iii) : Giả sử m < n Từ định nghĩa, ta có m i − n i > 0 với mỗi i Đặt

p i = m i − n i, ta có p ∈ N d và như trên suy ra f = gh trong đó h = X p

Điều này có

nghĩa là f là một bội đơn thức của g.

Định nghĩa 1.3.8 Đặt R = A[X1, ,X d ] Thứ tự chia hết trên tập hợp đơn thức

[[R]] là thứ tự sau đây: X m < X n khi X m là một bội của X n

Định lý 1.3.10 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho f , f1, , f m là các đơn thức trong R Khi đó f ∈ ( f1, , f m )R nếu và chỉ nếu tồn tại i sao cho f ∈ ( f i )R.

Chú ý Định lí 1.3.10 không còn đúng nữa nếu các f i không là đơn thức

Định nghĩa 1.3.11 Đặt R = A[X1, ,X d ] Đồ thị của một iđêan đơn thức I là tập

Ngược lại giả sử rằng p ∈ Γ(I) Khi đó X p

∈ I = (X n1, ,X n m )R. Theo Định lí

1.3.10 suy ra tồn tại j sao cho X p

∈ X n j R Từ Bổ đề 1.3.7 ta kết luận p ∈ [n j] ⊆

Ví dụ 6 (i) Đặt R = A[X, Y] Đồ thị của iđêan I = (X4,X3Y, Y2)R là tập hợp Γ(I) =

[(4, 0)]∪ [(3, 1)] ∪ [(0, 2)] ⊆ N2,được biểu diễn bởi sơ đồ Hình 1.3

0 1 2 3 4

.

Nhận xét Một tập con khác rỗng Γ ⊆ Nd có dạng γ = Γ(I) với iđêan đơn thức

I ⊆ A[X1, ,X d] nếu và chỉ nếu với mỗi m ∈ Γ và n ∈ N d ta có m + n ∈ Γ Chẳng hạn, đồ thị Hình 1.5 không có dạng γ = Γ(I).

1 2 3 4

.

.

.

.

Mệnh đề 1.3.13 Đặt R = A[X1, ,X d ] Giả sử I là một iđêan của R Khi đó các

điều kiện sau là tương đương:

(i) I là iđêan đơn thức;

(ii) Với mọi f ∈ R, f ∈ I khi và chỉ khi supp( f ) ⊆ I.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử f ∈ I Khi đó tồn tại các iđêan đơn thức u1, ,u m ∈ I

1 2 3 4 0

1 2 3 4

.

Với mỗi v ∈ supp( f i u i) có dạng wu i với w ∈ [[R]] nên v ∈ I Vậy supp( f ) ⊆ I.

(ii) ⇒ (i) Theo (ii) ta có I = ([[I]])R Do đó I là iđêan đơn thức. 

1.4 Tập sinh và phép toán của iđêan đơn thức

Định lý 1.4.1 (Bổ đề Dickson) Đặt R = A[X1, ,X d ] Khi đó, mọi iđêan đơn thức

của R là hữu hạn sinh Hơn nữa, nó sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức.

Chứng minh Cho I ⊆ R là một iđêan đơn thức Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử I , 0 Ta chứng minh quy nạp theo d.

Với d = 1 : Trong trường hợp này, ta viết R = A[X] Cho

Giả sử d > 2 và mọi iđêan đơn thức của vành R′ = A[X1, ,X d−1] là hữu hạn

sinh Cho một iđêan đơn thức I của R , đặt

S = { đơn thức z ∈ R′ | zX d e ∈ I với một số e > 0}

và J = (S )R′ Theo định nghĩa J là một iđêan đơn thức của R′ Giả thiết quy nạp

suy ra J là hữu hạn sinh, tức là J = (z1, ,z n )R′ trong đó z1, ,z n ∈ S là các đơn thức Với i = 1, , n tồn tại một số nguyên e i > 0 sao cho z i X d ei ∈ I Với

e = max {e1, ,e n }, suy ra z i X d e ∈ I với i = 1, , n.

Với m = 0, , e − 1 ta đặt

S m = { đơn thức ω ∈ R′ | ωX d m ∈ I}

và J m = (S m )R′ Theo định nghĩa J m là một iđêan đơn thức trong R′, vì vậy từ giả

thiết quy nạp nó là hữu hạn sinh, J m = (ωm,1, , ωm,nm )R′ trong đó ωm,1, , ωm,nm ∈

mỗi ω ∈ R′,ta có

X p = X p1

1 · · · X pd−1

d−1X d pd = ωpd,ωX d pd = (ωpd,X d pd)(ω) ∈ (ωpd,X d pd )R ⊆ I′

Vậy I′ ⊆ I và kéo theo I = I′ hữu hạn sinh và được sinh bởi các đơn thức. 

Hệ quả 1.4.2 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho S ⊆ [[R]] và đặt I = (S )R Khi đó tồn tại hữu hạn đơn thức s1, ,s n ∈ S sao cho I = (s1, ,s n )R.

Ý (i) của kết quả sau đây nói rằng vành đa thức R = A[X1, ,X d]thỏa mãn điềukiện chuỗi tăng dần đối với các iđêan đơn thức Ý (ii) nói rằng mọi tập khác rỗng

P của các iđêan đơn thức trong R có một phần tử tối đại, và mọi phần tử của P đều

được chứa trong phần tử tối đại của P

Do đó, ta có điều phải chứng minh

(ii) Cho P là một tập khác rỗng các iđêan đơn thức trong R và cho K ∈ P Giả

sử K không được chứa trong một phần tử tối đại của P Trong trường hợp đặc biệt,

K không là một phần tử tối đại của P, có một phần tử I1 ∈ P sao cho K ( I1.Từ giả

thiết K không được chứa trong một phần tử tối đại của P, suy ra I1 không là phần tử

tối đại của P Do đó, có một phần tử I2 ∈ P sao cho K ( I1 ( I2 Tiếp tục quá trình

như vậy ta được một chuỗi K ( I1 ( I2 ( I3 ( · · · các phần tử của P Tồn tại một

chuỗi mâu thuẫn với (i) Điều giả sử là sai Vậy K phải được chứa trong một phần tử

Định nghĩa 1.4.4 Đặt R = A[X1, ,X d] Cho I là một iđêan đơn thức của R Cho

z1, ,z m ∈ [[I]] sao cho I = (z1, ,z m )R Dãy z1, ,z m là một dãy sinh đơn thức

rút gọn đối với I nếu z i không là một bội đơn thức của z j,i , j.

Ví dụ 7 Đặt R = A[X, Y] Vì X2Y | X2Y2 nên X3,X2Y, X2Y2,Y5 là một dãy sinh

không rút gọn đối với iđêan (X3,X2Y, X2Y2,Y5)R Dãy X3,X2Y, XY2,Y3 là một dãy

sinh đơn thức rút gọn đối với (X3,X2Y, XY2,Y3)R vì không có một đơn thức nào

trong X3,X2Y, XY2,Y3 là bội của đơn thức còn lại

Mệnh đề 1.4.5 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho I là một iđêan đơn thức của R và cho

z1, ,z m ∈ [[I]] sao cho I = (z1, ,z m )R Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Dãy sinh z1, ,z m là rút gọn;

(ii) Với i = 1, , m ta có z i < (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R;

(iii) Với i = 1, , m ta có (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R ( I.

Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Giả sử dãy sinh z1, ,z m là rút gọn

Nếu z i ∈ (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R thì theo Định lí 1.3.10 suy ra z i ∈ (z j )R với

mỗi j , i Từ Bổ đề 1.3.7 suy ra z i là một bội đơn thức của z j, điều này mâu thuẫnvới giả thiết

(ii) ⇒ (iii) : Nếu z i < (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R thì z i nằm trong I và z i không

nằm trong (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R Vì vậy, (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R ( I.

(iii) ⇒ (i) : Giả sử (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R ( I, i = 1, , m Giả sử dãy

z1, ,z m không rút gọn và có chỉ số i, j sao cho i , j, z i là một bội đơn thức của z j.

Khi đó z i ∈ z j R ⊆ (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R.Suy ra

I = (z1, ,z i−1,z i,z i+1, ,z m )R ⊆ (z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R

Định lý 1.4.6 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho I là một iđêan đơn thức của R.

(i) Mọi tập sinh đơn thức trong I đều chứa một dãy sinh đơn thức rút gọn trong I (ii) Iđêan I có một dãy sinh đơn thức rút gọn.

(iii) Dãy sinh đơn thức rút gọn là duy nhất.

Chứng minh (i) Giả sử I = (S )R, không mất tính tổng quát ta giả sử S , ∅ Theo

Hệ quả 1.4.2, I có thể được sinh bởi một dãy hữu hạn các đơn thức z1, ,z m ∈

S Nếu dãy đó không rút gọn thì theo Mệnh đề 1.4.5, có một chỉ số i sao cho

(z1, ,z i−1,z i+1, ,z m )R = I Lặp lại quá trình này với dãy mới, loại bỏ các phần

tử từ dãy cho đến khi còn lại các phần tử tạo thành một dãy sinh đơn thức rút gọn

đối với I Quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước vì dãy ban đầu là hữu hạn (ii) Theo định nghĩa, iđêan I có một tập sinh đơn thức, vì vậy kết luận được suy

ra từ ý (i)

(iii) Giả sử z1, ,z m và ω1, , ωn là hai dãy sinh đơn thức rút gọn Ta chỉ ra

rằng m = n và có một phép hoán vị σ ∈ S n sao cho z i = ωσ(i),i = 1, , n.

Cho một chỉ số i Vì z i nằm trong I = (ω1, , ωn )R nên theo Định lí 1.3.10 z i

là một bội đơn thức của ωj với mỗi chỉ số j Tương tự, ta có chỉ số k sao cho ω j là

một bội đơn thức của z k Theo tính chất bắc cầu z i là một bội của z k Vì dãy sinh

z1, ,z m là rút gọn nên i = k Suy ra z i|ωj và ωj |z i Ta có, thứ tự chia hết trên [[R]]

là phản đối xứng nên z i = ωj

Như vậy, với mỗi chỉ số i = 1, , m, tồn tại một chỉ số j = σ(i) sao cho z i = ωj =

ωσ(i) Vì z i phân biệt và ωj phân biệt nên có đơn ánh σ : {1, , m} → {1, , n} Theo tính chất đối xứng, có một đơn ánh δ : {1, , n} → {1, , m} sao cho ω i =

zδ(i),i = 1, , n Suy ra m 6 n 6 m và vì vậy m = n Hơn nữa, vì σ là đơn ánh và

Thuật toán 1.4.7 Đặt R = A[X1, ,X d] Cho các đơn thức z1, ,z m ∈ [[R]] và đặt J = (z1, ,z m )R Ta giả sử rằng m > 1.

Bước 1 Kiểm tra xem dãy sinh z1, ,z mlà rút gọn bằng cách sử dụng định nghĩa

Bước 1a Nếu mọi chỉ số i và j sao cho i , j, ta có z j < (z i )R, thì dãy sinh đó làrút gọn Trong trường hợp này, thuật toán dừng lại

Bước 1b Nếu tồn tại chỉ số i và j sao cho i , j và z j ∈ (z i )R, thì dãy sinh khôngrút gọn; ta thực hiện tiếp Bước 2

Bước 2 Giảm dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử sinh làm cho dãy không rút

gọn trong dãy sinh đó Theo giả thiết, tồn tại chỉ số i và j sao cho i , j và z j ∈ (z i )R.

Không mất tính tổng quát, ta sắp xếp lại các chỉ số ở giả thiết sao cho j = m Do đó,

ta có i < m và z m ∈ (z i )R Suy ra J = (z1, ,z m )R = (z1, ,z m−1)R. Bây giờ ta áp

dụng Bước 1 cho một dãy các đơn thức mới z1, ,z m−1

Thuật toán sẽ dừng lại sau m − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất m − 1 đơn

thức từ dãy và còn lại một iđêan khác 0

Ví dụ 8 Đặt R = A[X, Y] Dùng Thuật toán 1.4.7, ta thấy dãy X3,X2Y, Y5là một dãy

sinh đơn thức rút gọn trong iđêan (X3,X2Y, X2Y2,Y5)R.

Mệnh đề 1.4.8 Đặt R = A[X1, ,X d ] Cho một tập hợp các đơn thức khác rỗng

S ⊆ [[R]] và đặt J = (S )R Với mỗi z ∈ S , ta viết z = X n z với n z ∈ Nd Đặt

∆ = {n z | z ∈ S } ⊆ N d và xét thứ tự < trên N d Kí hiệu ∆′ là tập hợp các phần tử tối thiểu của ∆ theo thứ tự trên.

(i) S′ = {z | n z ∈ ∆′} là một tập sinh đơn thức rút gọn của J.

(ii) Tập hợp ∆′ là hữu hạn.

Chứng minh (i) Với mỗi phần tử n z ∈ ∆ tồn tại nω ∈ ∆′ sao cho n z < nω.Từ đó suy

ra z ∈ (ω)R Điều này kéo theo

Vì vậy J = ({ω ∈ S | nω ∈ ∆′)R = (S′)R.

Cho các phần tử phân biệt ω, z ∈ S′ ta có nω % n z Vì nω và n z đều là các phần tử

tối thiểu trong ∆ và nω và n z là phân biệt Từ đó suy ra ω < (z)R.

Theo Định lí 1.4.6 (i), S′ chứa một dãy sinh đơn thức rút gọn s1, ,s n ∈ S′trong J Ta chứng minh S′ = {s1, ,s n } Ta biết rằng {s1, ,s n } ⊆ S′ Giả sử

{s1, ,s n } ( S′ Do đó tồn tại s ∈ S′ \ {s1, ,s n} Theo Định lí 1.3.10, ta có

s ∈ J = (s1, ,s n )R Kéo theo tồn tại s ∈ (s i )R Do đó s = s i ∈ {s1, ,s n}, điều

này mâu thuẫn Vậy S′ là tập sinh đơn thức rút gọn của J

(ii) Tập hợp ∆′ tương ứng 1- 1 với S′.Do đó là tập hữu hạn Tiếp theo ta xét một số phép toán trên iđêan đơn thức

Định lý 1.4.9 Đặt R = A[X1, ,X d ] Nếu I1, ,I n là các iđêan đơn thức của R thì I1 ∩ · · · ∩ I n là iđêan đơn thức sinh bởi tập các đơn thức trong I1 ∩ · · · ∩ I n và

[[I1∩ · · · ∩ I n ]] = [[I1]]∩ · · · ∩ [[I n]]

X n ∈ [[I j]] với mỗi j, nghĩa là nếu a n , 0 thì X n

∈ ∩n j=1 [[I j ]] = S Do đó, ta có

f ∈ (S )R = J Như vậy I1 ∩ · · · ∩ I n là một iđêan đơn thức của R và được sinh bởi

(i) I1 +· · · + I n là iđêan đơn thức.

(ii) [[I1+· · · + I n ]] = [[I1]]∪ · · · ∪ [[I n ]].

(iii) Γ(I1 +· · · + I n ) = Γ(I1)∪ · · · ∪ Γ(I n)

Nhận xét Đặt R = A[X1, ,X d] Cho f = X m và g = X n với m, n ∈ N d Với

i = 1, , d đặt p i = max{m i,n i } Khi đó bội chung nhỏ nhất lcm( f, g) = X p

Ví dụ 9 Đặt R = A[X, Y, Z] Ta tính bội chung nhỏ nhất của f = XY4Z8và g = X3Z5

Ký hiệu như nhận xét trên, ta có m = (1, 4, 8) và n = (3, 0, 5), và do đó p = (3, 4, 8) Vậy lcm(XY4Z8,X3Z5) = X3Y4Z8

Ví dụ 10 Đặt R = A[X, Y] Ta tính giao (X, Y2)R ∩ (X2Y)R.Theo Định lí 1.4.9 ta có

Γ((X, Y2)R ∩ (X2Y)R) = Γ((X, Y2)R) ∩ Γ((X2Y)R).

Từ điều này, ta thấy rằng (X, Y2)R ∩ (X2,Y)R = (X2,Y2)R = (lcm(XY2,X2Y))R.

Nói cách khác, giao của các iđêan chính sinh bởi XY2 và X2Y là một iđêan chính và

được sinh bởi lcm(XY2,X2Y).Kết quả sau đây cho thấy điều này là đúng với bất kìhai iđêan đơn thức chính

Bổ đề 1.4.11 Đặt R = A[X1, ,X d ] Với các đơn thức f , g ∈ [[R]], ta có ( f )R ∩

(g)R = (lcm( f, g))R.

Mệnh đề 1.4.12 Đặt R = A[X1, ,X d ] Giả sử I được sinh bởi tập hợp các đơn

thức { f1, , f m } và J được sinh bởi tập hợp các đơn thức {g1, ,g n } Khi đó I ∩ J

Γ((X, Y2)R) Γ((X2Y)R)

1.3.10 suy ra z ∈ ( f i )R với mỗi chỉ số i Tương tự, từ điều kiện z ∈ J = (g1, ,g n )R

suy ra z ∈ (g j )R với mỗi chỉ số j Do đó, theo Bổ đề 1.4.11 suy ra z ∈ ( f i )R ∩ (g j )R = (lcm( f i,g j ))R ⊆ K.

Đối với bao hàm thức I ∩ J ⊇ K, cho thấy rằng mỗi phần tử sinh đơn thức

lcm( f i,g j) của K đều nằm trong I ∩ J Định lí 1.3.10 suy ra dấu " = " trong dãy sau

lcm( f i,g j) ∈ (lcm( f i,g j ))R = ( f i )R ∩ (g j )R ⊆ I ∩ J.

Ví dụ 11 Đặt R = A[X, Y] Ta xác định một dãy sinh trong iđêan I = (X2,Y3)R∩

.

.

.

Sử dụng Mệnh đề 1.4.8 và kiểm tra trực quan bằng đồ thị, ta xác định được một

dãy sinh đơn thức rút gọn trong I là Y3,X2Y, X3

Ta sử dụng Mệnh đề 1.4.12 và Thuật toán 1.4.7 để tìm một dãy sinh đơn thức rút

gọn trong I Kí hiệu như Mệnh đề 1.4.12, ta có f1 = X2, f2 = Y3, g1 = X3, g2 = Y.