Về một điều kiện để iđêan i trong vành r có sự phân tích nguyên sơ

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG PAI HOC SU PHAM TP HO CHI MINH KHOA TOAN - TIN HOC

Pop lop Pe Ped UCL

LUAN VAN TOT NGHIEP DAI HOC

Đề Tài:

_ VEMOT DIEU KIEN

DE IBEAN I TRONG VANH R

Trang 2

| wan vẫn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bu Tưởng Trị

LOI CAM ON

Trước tiên tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thây hướng dẫn luận văn

PGS TS Bai Twong Tri vi sự động viên tình thân trong suốt quá trình nghiên cứu, cũng như những trị thức mới mẻ trong nhiều lĩnh vực

Kẻ tiếp tơi vơ cùng biết các thay PGS.TS My Vinh Quang, TS Tran Huyén, TS Nguyễn Định Lân vi đã trang bị cho tơi những kiên thức vơ cùng quý báu, lỗi tư

duy đốc đảo, sắc sảo giúp tơi cĩ đú kiến thức để hồn thành luận văn nảy

Cuỗi cùng tơi xin chân thành cảm ơn tất cá các thành viên của lớp tốn 4H, cám

ơn gia định tơi, vì sự động viên tinh thân, cũng như những nhân xét sâu sắc về một

số vấn đẻ liên quan đến đẻ tài

Tác giả luân van

Lam Thị Ánh Tuyết

Trang 3

| uẫn văn tơt nghiếp GVHD PGS TS Bui Tueng Tri

LOI MO DAU

Trước tiên đề tránh nhăm lẫn, tơi xin lưu ý tất cả các bạn khải niệm vành mà tơi sử dụng ơ đây là vành giao hốn cĩ đơn vị mà chúng ta đã biết trong đại sơ đại

cương

Vành cơ bản nhất là vành Z và vành đa thức trên trường số thực vành Z là một vành chính và nĩ quá đơn gián để tạo nên một lý thuyết vành thú vị, tuy nhiên chính sư đơn giản của nĩ chính lả khởi nguơn của sự nghiên cửu vẻ lý thuyết vành

giao hốn Dedekind là người đâu tiên giới thiệu về tđêan vả năm 1870, và từ đĩ ly

thuyét vành giao hốn ngày cảng được phát triển mạnh mẽ

Một trong nhừng phân nhánh nhỏ của vành giao hốn là sự phân tích nguyên sơ, và Emmy Noether đã tim ra sự phân tích nguyên sơ là hệ quả của điều kiện đầy

chuyên (1921), vả đưa ra định nghĩa vành Noether, đỏ là vành thoả mãn điêu kiên

dây chuyển tăng hoặc điều kiện tối đại, hoặc mọi idéan déu hữu hạn sinh Đỏ là

vành ma trong đỏ mọi iđêan đều cĩ sự phân tích nguyên sơ Sau đĩ vào thập niên AO cua thê kí 20, L§ Cohen đã chỉ ra được điêu kiện để một vánh là Nơte như đã

nêu ở trên là thừa Chính điêu này đã gợi cho tơi suy nghĩ đi từìm một điều kiện đơn

gián hơn để một tđêan của vành cĩ su phân tích nguyên sơ

Luận văn này gồm hai chương

Chương [- trình bày các kiến thức cơ bản của vảnh giao hốn, mơđun, vành các

thương sự phân tích nguyên sơ điều kiện đây chuyển, vành Nơte vả vành Artin

Chương II: tơi trình bảy hệ thống các mệnh đẻ để chứng minh một điều kiện để

mơi tđêan trong vành R cĩ sự phân tích nguyên sơ

Dù được thực hiện rắt nghiêm túc và kỹ lưỡng nhưng chắc chăn luận vẫn này khơng tránh khỏi những thiểu sĩt, Vị vậy tơi rất mong nhân được sự gĩp ý phê

Trang 4

| uẫn văn tơt nghiệp GVHD PGS TS Bùi Tường [ri MỤC LUC DI GA CÀ cáo eatccecitecco1tee1xs6)G6x44602424164G)00/609946060 54668 L LÊN MƠ: ĐÃ ¡0222560000100 10A04600G2X18086ã00030100ãQ03A060Á4G:00160a22 MỤC LỤC .ƠƠƠỎ 3 Chu: KIEN THỨC CHUẨN BE isi siscstescaciesesssesonicenmceemmnsrantmarnucsexs 4 I VÀNH VÀ IĐÊAN djưN(2iầ5 niatiiiilltsiiosec0s4icatoisGisyusiii 4 to yo Dn wo &

Ww VARI CAG TRICO sssoresccicass commannannmnsanmamaunant 18 SU PHAN TICH NGUYEN SO6 ssiscteeiowi cnn 23 ĐIÊU KIỆN DÂY CHUYÊN 2 2S 2921221212111 11 1202121002122 eg 27 WA EE II aecccccieebol80464)54G0344/6646690184/4601 50) 30 VÀNH AE TH: ¿22G02G252CG000101001AGiAG4G(2L0xGG166G02/4206A000005084 32 Chương II PHÁT TRIÊN DINH LY CUA COHEN TIM MOT DIEU KIEN DE

Trang 5

|.uân vân tơi nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tn

Chuong I: KIEN THUC CHUAN BI 1 VANH VAIDEAN

1.1 Vanh:

Một vành là một bé ba thir tu (RX, ~ ), (°+" gor la phép céng va ~" Gor la

phép nhan) tong do + va la hai phép toan trên mơi! tập hợp R, thỏa mãn các điều kiện sau

¡ #®, +) là nhĩm aben với phân tử trung hịa là 0 (gọi là phần tử khơng)

" Va,beR ab = ba (ta ki hiéu ab thay cho a.4) i VahbceR — a(bc)={ab)c IV WeRVaeR al=a(1 được gọi là phần tử đơn vi) v VabceR a(h+c)=ab+dức Ta thường gọi tắt “vành /È” thay cho “vành + -, J” Nhân xét:

« Khái niệm vành mà chúng ta đừng ở đây là khái niệm “vành giao hốn cĩ

đơn vị” mà chúng ta đã được học trong đại số đại cương trong đại số đại cương e© Dễ dàng thấy rằng điều kiện aben của nhĩm (#, +) là thừa, vì cĩ thẻ được

suy ra từ các diéu kiện cịn lại

1.1.1 Định nghĩa:

e© Nếu trong vành / co | = 0 thì vành #2 chỉ cĩ một phân tử duy nhất ta gọi đĩ

la vanh khơng, kí hiệu 0

tử h như vậy là duy nhất và được gọi là phân tử dao cia a và kí hiệu là a `

e Vành khác 0 mà mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là một trường,

®- Mơi phản tử ø thuộc vành được goi là ước của khơng nếu trong # cĩ phần

tử b z 0 sao cho œh =0 Nếu ø là ước của khơng vả ø # Ư thi ta nĩi ở là ước thật

sư của khơng

e Vành khác khơng và khơng cĩ ước thất sự của khơng được gọi là miễn

nguyên

Trang 6

|.uận văn tốt nghiệp GVHD PGS E5 Hui Tưởng [ri

« - Mội phản tử ¿ thuộc vành /#‡ được goi là lũy lình nêu cĩ mơt số nguyên

đương ? sao cho œứ” = 0L 1.2 Vành con 1.2.1 Định nghĩa: Cho vành #, một tập hợp con 4C + được goi là vành con của vành / nếu: ' le A l Vrye4 x-vea Th Vrywe4 xwea Nhận xét: giao mơt ho vành con của vành /È là một vành con của £€ I.2.2 Định nghĩa:

Cho 7 là một tập hợp con của vành /‡ Vành con nhỏ nhật của # mà chứa 7

được gọt lả vành con sinh bởi 7, đĩ chính lá giao của tắt cá các vành con của R ma chứa 7” 1.3 Đồng cấu vành: 13.1.1 Định nghĩa: Cho hai vành # và S Một ánh xạ / :#——>Š được gọi là một đồng cấu vành nêu Wxye# /(x+y)=/(x)+/f(w) £(w)= f(x)/() nu /(1=l1 1.3.2 Định nghĩa:

Đơng cấu vành / được gọi la don cầu (tồn cấu, đăng cấu), nêu ƒ là đơn ảnh

(toan anh, song anh)

Néu cé mét dang cau vanh tir vanh R dén vanh S thi ta noi hai vanh 2 va S đảng cầu nhau, ký hiệu: # > S

Tập hợp: Im / = /(Đ} được gọt là ảnh của đơng câu vanh /

Trang 7

Luan van tot nghiep GVHD PGS TS Bur Tuong Tn Tap hop: ker f = {xe R/ f(x) = 0} duoc gọi là hạt nhân của đồng cấu vành / 1.4 Idéan 1.4.1 Định nghĩa; một lđêan / của vành /# là một tập hợp con của /‡, thoa mãn: (1) /#ŒØ (H VA,y€j x+yeÍ (tt) Vxe/ Vae# œrec/f Nhận xét

e Theo đại số đại cương, thi điều kiện (ii) thật ra là Vx,ve/ x-ye1 Tuy nhiên ta để dàng suy ra điều này từ ba điêu kiện trên Nhờ vậy việc kiểm tra

mot tap hop la mot idéan trở nên đơn gián hơn e Hat nhan cua mét déng cau vảnh lá mơt idéan

e Iđêan nhỏ nhất của vành # cịn chửa tập con 7 của vành #, được gọi là

idéan sinh bởi tập con T, ký hiệu: (7)

e lđêan được gọi là hữu hạn sinh nêu nĩ được sinh bởi một tập hữu hạn

T={x,x, x„} Ki hiệu (x,,x; x„)

1.4.2 Dinh nghia:

¢ lđêan sinh bởi một phản tử được gọi là iđêan chính

s® Một miên nguyên ma mot iđêan đều chính gọi là vành chính

1.5 Vành thương

1.S.I Định nghĩa:

Cho 7 là một ¡đêan cua vanh R

Quan hệ hai ngơi — xác định trên / Va,be R a-boa-be/, lamét quan hẻ tương đương Tập thương của /‡ trên quan hệ trên quan hệ tương đương — được

phì là Ry lớp tương đương với đại điện là ¿ c /‡ được ghi là ¿ -/

Khi đĩ tập thương Ky cỏ cầu trúc vành với hai phép tốn:

Trang 8

Luan văn tơi nghiệp GVHD PGS TS Bu Tường Trì

Phép cộng Vư+/.h+/e# (a+f)+(h+(f)=(a+bh)+!

Phép nhân: Vø+/,b+/e##— (ơ+!)(b+1!)=(ab)+!

Ta gọi đĩ là vành thương của vành /# trên tđêan 7

Nếu khơng cĩ gì nhằm lẫn, chúng ta sẽ ki hiệu các lớp ø - / là ø

1.6 lđêan nguyên tơ, iđêan tơi đại

Một iđêan /? của vành # được gọi là iđêan nguyên tổ nêu ? # /# vả

ae? bel

Mot idéan M⁄ của vành /‡ được gọi là tđêan tối dai néu M + R va khong cd

idéan thực sự nảo của # mả R c /

Tap tat ca các ¡đêan nguyên tơ của vành /#‡ được ký hiệu là S»ec(Â)

Tap tat ca cdc idéan tốt dai cba vanh R duoc ky hiéu la Max/R)

1.6.2 Ménh dé: ({3| trang 3)

' Cho idéan I cla vanh R, khi đĩ

VaheR abe P|

1.6.3 Hệ quả:

&- Jđêan ( của vành R là nguyên tổ kh và chỉ khi R là miễn nguyên

1.6.4 Bé dé Zorn

Cho (.X.<} là một tập sắp thử tư, khi đĩ ta định nghĩa

se Cân trên của một tập con 7 c Ý lả một phân tử ø ÀX thỏa x < a,Vx€ 7

se _ Một dây chuyên trong ÄÝ là một tập con 7 c X thỏa

Vxwe7/ x<yhayy<x

Trang 9

| uắn văn tỏt nghiên GVHD PGS TS Bùi Tường [ri

WreN asx>a=x

Bé dé Zorn: néu mdi dây chuyển cua một tap sap thir tu kde réng X déu od cân trên trong X thi Ý cĩ chứa phân tư tơi đạt

1.6.5 Ménh dé: ({3] dinh lý 1.3)

Mor idéan thee su déu chita trong mốt tđ¿an tất đại nào đỏ

1.6.6 HE qua:

®_ Mỗi phản tư khơng tha nghịch cua vành luơn thuộc vẻ mới tđêan tơi dai

nào đĩ

1.6.7 Định nghĩa;

Vành chỉ cĩ một idéan 16: dai duy nhất gọi là vành đ)ø phương

1.6.8 Mệnh đề: (|3| mệnh đề 1.6)

cho vành lè và À4 là tđêan thực sự cua vanh R Thi:

() Nếu Vx e l\M x kha nghịch trong R thì Ít là vành địa phương và Mí là

tắêan tối đại cua vành

(ti) Nếu A4 là tđêan tốt đại cua vành R và Vxc A{ 1+ x kha nghịch trong R thi

vành !È là vành địa phương

1.6.9 Mệnh đề:

(i) Cho idéan I và các tđêan nguyên tơ Pị, P„ ,P„ cua vành R Nếu: I c LJ»

thì 3: e {I, n} f c P,

(I1) Cho các sđêun lạ, ly l„ và tđêan nguyên tổ P' cưa một vành là Nếu P 5{ÌI, thì 3 e {I n) P1, và nêu P =[ H, thi dre {ln} P=,

rel teal

Trang 10

| uân văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri 1.7 Phép tốn trên các idéan 1.7.1 Mệnh đề; ([3] trang 6) (rao f1 {, cua mét ho idéan (¡ / Pi cua vành R la mét idéan cua R ped Do 46, idéan sinh béi tap con T la giao của tat cả các iđêan chứa T 1.7.2 Ménh dé: (13| trang 6)

cho | va J la hai tđêan của vảnh R Khi đỏ:

° Tap u-{ » xy, [ely,ed| la mot idéan cua R ate he

e Tập rad (1)={xe R/3n>0 x"el} la mat idéan cua R 1.7.3 Định nghĩa:

tơng của n iđêan

e lđêan // được gọi là (ích của hai iđêan / và / Dựa vào đây ta cĩ định nghĩa

lũy thừa của một iđêan: /"=// /

» bo

* lđêan / : / được gọi lả thương cia hat idéan / va/

Trang 11

Í uận ván tốt nghiệp GVHD PGS TS But Tuong Tri (ww) [n:.:]=nu.:n Lực $ 4e 4 (vy) lcCrad(I) (vi) rad(rad(1))=rad{/)

(vu) rad (1J)=rad(1 AJ) =rad(1)arad(J) 1.8 Căn lũy linh, cin Jacobson

1.8.1 Dinh nghĩa:

Idéan rađ/f)) của vành # được gọi là cđn (ữy: inh cla vành /È Ký hiệu: X„ hay

Dễ thấy rằng căn lũy linh của một vành # là tập tắt cả các phân tử lũy linh của vành /2 Vành thương BI khơng cĩ phân tử lũy linh khác 0 1.8.2 Mệnh đề: (ấn lũy linh cua vành #‡ là giao cua tắt ca các tđêan nguyễn tổ của vành R 1.8.3 Hệ quá:

Cân radff) là giao cua tắt ca cde idéan nguyên tổ chứa Ï

Định nghĩa: Iđêan giao của tất cả các idéan tơi dai duge goi la can Jacobson

của vành # Kỷ hiệu: Ry hay Rk 1.9 Vành Tích 1.9.1 Mệnh đề: Cho mot ho vành (Đ_\, Khi do tap tich Descartes R = I] R, cling vii aed hat phép todn thénh phan : ® (1X )+(Y })=(1,+y,)

® (X,)(Y,)=(%X, y,) là mỏi vành

e Vanh /# gọi là vánh tích của họ (® ).,

Trang 12

|.uän văn tơt nghiệp GVHD PGS T5 Húi Tương Tri s« Nếu 4={œ,.ơ, z,} là tập hợp hữu hạn thi ta ghi vào vành tích R=R, «RK,» «R, thaycho R=[]R, acé « Các ánh xạ r, [[R,; —R, 2, ((%,)) = x, la ho dong edu chính tắc P

(phép chiếu) từ tìch lên cac R,

Ho déng cau (7, ),, ,nay thật sự đặc trưng cho vành tích , diéu nay thé hién qua

mệnh đẻ sau

1.9.2 Mệnh đề 1.3 :

( ho mội họ vành (Đ, ) „.,

° Grasư(R.(g„)„.,) là một vành với một họ đẳng cấu g, : S———>k, khu đĩ

tấn tại dụy nhất đổngcẩu q@- Ss— []R, ‘sao chon op=g,.Vae A

wat

f,: R——>R, cĩ tính chất: với mọi vành S và họ đẳng cẩu g: S——>R,.œ € A

- luơn tấn tại duy nhdt một đồng cẩu @: S——>R sao cho ƒ,

Đ là vành tích cua ho (R,),,, (sat khác một đăng cầu) Chứng mình (sơ hee) ° Chon os) =(2,(s))a € A Dé thay ø thoả sự tơn tại Nếu cĩ op=g,,.Vae Athi VY: S— +][]R, thoả Vưc{ T.2Ø= g„(s))œ e 4A,.Vơ e Athi VseS W(x)=(v„)„,c€ I2 => #„(U„))= #„ s(s) = g„(s),Vư = W,„ =#„(s).Vư =W(+)=(y„)„ =(g„(*)), = @(*)

, Tir gia thiết và từ phân thuận đã chứng minh trên , để thấy cĩ biểu để

giao hoản đơng cầu sau - [Í&,—#>#—*=>[ [&,—=—>R

Trang 13

| uẫn vận tơi nghiếp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri

1,°@ =4,.4,°Q9=1, VaeA

Suvra Z„e(@s@)=, f,„s(@ s0@)= J, Vưe 4 nhưng hiên nhiên

8„ 9 đt, =a,vaf,cld,=f, VaeA,

nên đo tính duy nhất ta cĩ @s¿ = ld va@ om =Id,

Vay R=[]R,

I.9.3 Định lý; (định lý trung hoa về dư)

( ho Í, 1,„ là những tđêancua một vành l thoal, +1, = R(Vì# J) Khi

đĩ l, m cx1„ = lị L, và By only = «a

1.10 Sự mở rộng và thu hẹp các iđêan

_ 1.10.1 Định nghĩa:

Cho /: 4-> Ø là một đồng cấu vành Nếu / là một tđêan của vành 4, thì tập hợp /{/) chưa chắc là iđêan của vành Ø Vì vậy người ta đã đưa ra định nghĩa mở

rong /* cua / la idéan Bf(]) sinh bởi /(/) trong ?

Nếu / là iđêan của # thì / Í(J) là iđêan của vành 4, và được goi là thu hẹp của

J, ki hiệu: ,Ƒ_ Mễu / là tđêmn nguyên tế thì Ƒ là iđêmn nguyên tổ Tuy nhiên, nếu /

Trang 14

|.uân vân tỏi nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri

2 MODUN

2.1 Định nghĩa mơđun

Cho 4 lả một vành Mơi mỏđưn trên vành 4 là một bộ ba thứ tự

(M.+,.), trong đĩ +: Äƒ x ÁAƒ -> Aƒ là phép nơi xạ trên M và : 4z Äƒ —> Aƒ là

phép ngoại tốn trên M, thoa các điều kiến sau:

(i) (M, +) là một nhĩm ahen với phân tử trung hồ là 0 (gọi là phản tử

khơng)

(it) Vae A4 Wx veM alx+ y)=ax+ay (taki hiéu ax thay cho ax)

(11) Vahe 4AVxeXMf (da+h)x=ax + bx (iv) VaheA WxreM athx)=(ahb)x

(Vì VxeM Ix=x ( ! là phản tử đơn vi của vành A )

Khi đĩ vành A gọi là vành hệ tử của mơđun

Ta thường gọi tắt là *4-mĩđun À#” (hoặc thậm chí đơn giản hơn nữa “médun

\⁄” thay cho “mơđun (Áƒ,+, ) trên vành 4”)

— NếuR - Klà một trường, thị / mơđun là thong gian vecto trên trưởng K

2.2 Đồng cấu mơđun

Cho A#và ý là hai 4-mơdun Một ánh xạ /: ÀZ -> V được gọi là đẳng cấu

A-mơđun (cịn gọi là ảnh xạ A- tuyến tính hoặc đơn giản hơn A-đẳng cấu) nêu:

(i) Vx,ve€A4 /(x+y)= /(x)+ /(wv} (H) Vưc 4.Vxe Xí f(ax) = aƒ(x)

e©_ Đơng cấu 4-mỏđun dựoc gọi là đơn cấu [đồng cầu , đăng cấu] nêu nĩ là

dom anh |todn anh song ánh|

«Tích (ánh xa hơp) của hai ánh xa A-fuyeén tinh 1a mot anh xa A-thuyén tinh

e Anh xa nguge (néu c6) cua mét anh xa A-fuyen tính là một ảnh xạ A-tuyén

tính

Trang 15

Luan van tot nghiep GVHD PGS TS Bur Tuong Ini

e©_ Nếu cỏ một dang cau A-mddun tir M den N thi ta noi M va N dang cau nhau,

kihiéu Af =N

e Tap hop tat ca dong cau A-mddun tir Mdén Ý được kí hiệu là

Hom (M,N), hoac gon hon nda Hom( M,N) (nêu khơng cĩ gi nhâm lẫn về vành hệ tử) 2.3 Mơđun con- mơđun thương 2.3.1 Định nghĩa: Cho 4-mơđun Aý và tập tin con N cM, N dwoc got là mơẩđun con cua À£ nêu: ) N#z@

li) VxyeN x-yveN

it) VaeA VxeN axe N

Tat nhién médun con ciing la mot A-mddun

ro

‘A-mddun voi phép nhan ngoai a(x+N)=ax+N (ae A,xe M).A-médun

(MA, +,.) ny duge goi la médun thuong cia médun M trén médun con N

e© Ảnh xạ ø:Àf MÀ với #(x)= x+ ý =: # là một tồn cấu 4-mơđun

goi lả tồn cầu chính tắc

Cho f € Hom(A,N) , khi đỏ -

4 Nếu A/ là mơđun con của Aƒ thì /(A⁄) la mơđun con của V

2 Tâp hợp Im ƒ = /(A⁄) được gọi là ảnh của đồng cấu / Đồng cấu £ là tồn cấu khi và chỉ khi f = N

Néu N la médun con cua N thi f~'(N ) la médun cua M

° Tap hop Kerf = f"'{O0}=txe M/ f(x)=0} duoc goi la hat nhan

của đồng cấu f Déng cau f 1a don cdu khi va chi khi Kerf =0

Trang 16

Luận van tot nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri ———— _ _ — —— Médun thuong TM „ được gọi là đổi hạt nhân của đơng cấu / Kí hiệu la ‘Coker /

, Néu M © Kerf là mơt mơđun con của M thi đơng cấu / cảm sinh

một đồng cấu 4-mơđun 7 Mi +> N xae định bởi ƒ(X)= /(x) Nĩi riêng, với

Àf{ = Kcœr† , ta cơ:

2.3.2 Mệnh để :

Cho ƒ ¢ Hom,(M.N) , khi do ee „ø =lImf 2.4 Phép tốn trên các mơđun con

Các phép tốn đã định nghĩa cho tđêan cũng cĩ thể định nghĩa cho mơđun con s Cớo [1A, của họ mơdun con (À/,)„„ của 4-mưđun A/ lá Ì mưđun con

vel

của M mà chứa tắt cả médun con M,, ki higu: 5° M4, Dé thay:

wal

5M, = 3 ˆx,/x,e Mí, và x,=0 hậu hết trừ một số hữu hạn)

tel tel

2.4.1 Ménh dé:

Nếu N c Af c L là cdc A-médun con thì M/ la médun con cua

(ii) Niéu M,.M, la hat médun con cua M thi

M,+M,/ _M,

M,= /M.nM,

e Ta khơng dùng định nghĩa tích của hai mơđun , nhưng cĩ thẻ định nghĩa tích /A⁄Z piữa một iđẻan / của vành 4 vả một 4-mơđun A⁄ như là tập tất các tơ hợp

Trang 17

L.uân văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuéng Tri

tuyén tinh } a,x c6 thể cỏ giữa các phản tử trong AM vor hé tu thude | Do là mot

reM

médun con cua Mf

se Thương (W7) của hai mơđun con N va ? cua A-médun M la tap nhing

phan tr ae 44 sao cho a? < N Dé la mét idéan cua A

® Đặc biết thương(0 ý) được goi la linh hố tử của 4-mơđun 4ƒ và được

ki hiéu la Ann(M) Ann(M)= {ae A/ax=O0Vxe M}

= Néu idéan / C Ann(M) thi A-médun M sẽ cĩ cầu trúc 4, -médun

nhờ phép nhdn ngoai @t = ax(a e A,xe M)

= Néu Ann(M) = 0 thi 4-mơđun được goi la trung thanh Mét A-médun M

luơn là médun Man m(x¡) trang thành

© Médun con sinh boi tap X cM \amédun con nhé nhat cia M ma chira X Kí hiệu: (X) 1.4.2 Mệnh đề: Cho 4 -mơđun À⁄ 1) VxreM Ax = {ax/ae A} la médun con cua M sinh bot x li) Với ỞcM, (X)=3 4x vet 2.5 Tích và tống trực tiếp các mơđun 2.5.1 Định nghĩa; Tích Descates J [M, cùng với hai phép tốn theo thánh phản sel

(x), +(y), =(4 +»), va a(x), =(a@,), (yy, © M,va ae A), lamét A-

mơđun và được gọi là tích trực tiếp ca ho médun (M_)

Trang 18

Luan văn tơt nghiên GVHD PGS TS Bui Tuong Tri 2.5.2 Mệnh đề: Tap con M = (s )„,£ []A4, \ x, =0 haau heat troo moat soa hodu han} của tel tích trực tiếp [ [A#, là một mơđun con của | [A, sel ve 2.5.3 Dinh nghia: A-mơdun M gồm những phản tử (x,),, < [ ]A⁄, ma hâu hết các x, = 0 mé tao 1)

trên được gọi lả tơng trực tiếp của họ 4-mơđun (Ä,),„.„ Kỷ hiệu: ® A⁄,

Nhân xét: khi tập chí số Í là hữu han thì hiển nhiên tơng trực tiếp vả tích trực tiếp là trùng nhau Cịn nếu [ là tập vơ hạn thi tổng trực tiếp vả tích trực tiếp lả

hoản toản khác nhau 2.5.4 Mệnh đề: Cho M, va M; la hai médun con cua M vin M ~ M, > My Néu M, 0M, = @ thì Mí = kí, ® M; — Ảnh xạ: £'ÀA4@®M,——> kí (x,.x;) F——>x,+z; là một tồn cấu xét: (x,,x,)€ ker / (x,c€M,,x; 6 A⁄;), ta cĩ /((x,.x;))= 0 = x, +4, =0 xạ =—x, € Äf/(ÌM, =x, =x,=0=>(x,2,)=0

Vậy / là đơn cấu Suy ra M z Ä⁄, ® M,

Trang 19

Luan vẫn tơi nghiếp GVHD PGS TS Bur fuong Tn — — — ee 2.6 Mơđun hữu hạn sinh 2.6.1 Định nghĩa; Cho A-médun Af ¢ Mot ho phan tr (x, )

M diéu 1a t6 hgp tuyén tinh cua ho (x)

cM duoc goi la Aé sinh cha Äƒ nêu mọi phân tử của

vet

„;- Khi đỏ A# chính là mơđun con sinh bởi

Ä =|x/:¡e€Ï]

® M được gọi là hữu hạn sinh nêu cĩ một hệ sinh hữu hạn Nĩi cách khác

Âfƒ =< x, x, > Vậy mọi 4-mơđun hừu hạn sinh M diéu cé dang M = y Ax von *, 1„ € À/

2.7 Dãy khớp

Một dãy các 4- mơđun và 4- đồng cấu

YM, , So M, +» M,.—®S+—> được gọi là khớp tại M, néu Im/, =

'Ker/,

Dãy được gọi lả khớp nếu nĩ khớp tại mỗi À⁄, trong dãy

Trang 20

Luận văn tốt nghiệp GVHID PGS.TS Bủi Tường Tri Tl VaheS aheS 3.2 Vành các thương Cho tập con nhân S cua vanh & Trên tập #xX ta định nghĩa quan hệ hai ngơi + như sau:

V¥(a.s) fas }eRxS (a,s)=(as")oareS (as'-a's)r=0

Dé thay = la mot quan hé wong duong trén Rx S

Ta kí hiệu tập thương của #xX trên quan hệ tương đương = là S”'R vả lớp

Trang 21

Luan văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Búi Tường Tri asx'u =a'su => abs't'uy = a'h' stv = (abs't'—a'b'st)uv = 0 bự 'v =h' ab ah ab ee =———-.—= r- F a’ h' st sr _ age © S'R là vành: i Dé dang kiểm tra( Sˆ'⁄, +) là nhĩm aben với phản tử trung hịa là 7 i we te sR @ 4 @ aidn ohien) x 7 xí 7 in y2 8 Ccơng “(2.£}-(2.2)s few x\/ H s t{jJu iv we fester alervlestr 21,2 x Lư I s “31-4 vị về,ở “eụng ch aetna rate aaa nara cK 8-8 vir ow x tu fu s1 vu sf un

3.3 Địa phương hĩa

Cho iđêan nguyên tổ /? của vành R_ Tập Š = /‡\ /? là tập con nhân của R Trong

Trang 22

Luan vận tơi nghiệp GVHD PGS TS Bui Tudng Tri © teS'P vindu testpaoi-Ff ‘ pel—>(ls-p)r=0> = preP (vb ly) Ngồi ra Vi eS*RIS"P agP=aeS=> = kha nghịch * Xs Vậy vanh R,,la vanh dia phuong voi idéan t6i dai duy nhat la tap hợp S"P = H peP.se s} * Sau này chúng ta sẽ dùng kí hiệu /„ thay cho ŠS”!/ với 7 là một tđêan nảo đĩ của vanh /C 3.4 Mơđun các thương

Cho tập con nhân S của một vành 4 Và một 4-mơđun A4ƒ Trên tập A/ x ŠS ta định nghĩa quan hệ hai ngơi = như sau:

V(m,x).(m:s')e MxS — (m,x)=(m:s') © 3 e S(ms'— m'š)t =0 Dễ thấy = là một quan hệ tương đương trên AZ x Š

Ta ký hiệu tập thương Mx ve là S”!A và lớp tương đương của phản tử (m.x) là = 3.4.1 Mệnh dé: Tập S”`M cùng với hai qui tắc: o Cộng: v=.Te'M ve 8 x f ar ` as am am o Nhdn: ¥—eS'AW—eES'M ——=— x Í sf sf la mét S”' A-mddun

Đề chứng mình mệnh đẻ nảy ta cần chứng mình hai qui tắc trên là phép tốn,

vả thỏa mãn các tiên để của định nghĩa mơđun Ở đây tơi sẽ khơng trình bảy chứng

mình nảy mà đê cho các bạn tự kiểm tra

Trang 23

Luan van t6t nghiép GVHD PGS TS Bur Tuong Tn 3.4.2 Định nghĩa: ®''4-mơđun S"'A# được goi là mơđun các thương của -mơđun Aƒ theo tập con nhắn Š Néu S = A\P voi P la mot idéan nguyén 6 cla vanh A Thi S7'M sé duoc ghi la M,

Nếu wu: Mf——+N la mét dong cau A-médun thi ŠS-Ì: S 'ÁA#—>Š ÌN xác

định bởi vu] ate la mot déng cau S™'A-médun * * 3.4.3 Mệnh đề: (|3 3 Nếu dây M'—>—» M ——y M“ khớp tại Mí thì dầy S'M’—+S"'M —+S'M" khớp tại S"`M 3.4.4 Hệ quả: Nếu N, P là các mơdụn con cua A-médun M va S la tập con nhân cua A thi: () S'(N+P)=Ss 'N+đS"'P (u) Đ'(NP)=Đ'N 8P a ont M = S'M (ti) NS ( %2) 5, ẤN"

3.Š Mớ rộng và thu hẹp iđêan trong vành các thương

Cho 4 là vảnh và S là tập con nhân của 4 Đơng cấu tự nhiên ƒ : 4——>S"'4 được xác định bai f(a) = T Gọi C là tập tắt cả các ¡đêan thu hep trong 4, gọi E là tập hợp tắt cả các idéan mo rộng trong S4, khi đĩ nếu / là iđêan của /# thì mở

Trang 24

| uân văn tốt nghiện GVHD PGS TS Bủi Tương Trí

(t) — Nếu f là một tđêun cua A thi 1% = Wu :8)

ves

(tu) † eC' c> khơng cĩ phản tư nào của Š là ước cua () trong 4,

(iv) Các iđêan nguyên tổ cua S”`'Á tương ứng !-l với cúc tđêan nguyên tổ của A mà khơng cĩ phản tư chung với S

(vy) (Indy =I ad", (rad(1)) =rad(I*)

3.5.2 Hệ quả;

Nếu N là căn lũy linh cua A4 thì căn lity linh cua SA la SN

3.5.3 Hệ quả:

Néu P la idéan nguyén tổ cua A, tđêan nguyên tổ cua vành địa phương Áp là tương ứng ! - Ì với các tđêan nguyên tơ cua 4 được chứa trong P,

4 SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ:

4.1 lđêan nguyên sơ: 4.1.1 Định nghĩa:

Mot idéan thực sự (2 của vành /# được gọi là nguyên sơ nếu:

Vx,yeJ xve(Q và xe(ĨQ =3n yˆe<Q

Hay VxveR xve(Q và xeQ = yerad(Q)

Một cách tương đương ta cĩ thể nĩi tđêan @ của vành /‡ là nguyên sơ khi và chỉ

khi M) z 0 và mọi ước của 0 trong vành Ky là lũy linh 4.1.2 3 h đề 4

Nếu Q là mội tắêan nguyên sơ cua vành R thì rad(Q) là tđêam nguyên tỐ của vành

là, đĩ là tđêan nguyên tơ nho nhất cua vành l mà chứu ()

Trang 25

Luận văn tơt nghiệp GVHD PGS TS Bủi Tường Trí

Nếu ( là tđêan nguyên sơ vả ? = rad/Q) thì ta gọi iđêan Q là /-nguyễn xơ

4.1.4 Mệnh đẻ:

Nếu rad(Q) là idéan tối đạt thì () là nguyên sơ Đặc hiệt lũy thừa cua một tđêan tơi

dai M la M-nguyén so

Chứng minh:

Pat: racd(Q) = M Ảnh của M trong Mm là căn lũy linh của R/, i thé RY chỉ cĩ Q một ¡đêan nguyêu (ơ Du đĩ, mọi phân tử cúa „2 hoặc khả nghịch, hoặc lũy linh

Tức là mọi ước của 0 trong M là lũy linh

Vay () là tđêan nguyên sơ cua /#

4.1.5 Mệnh đề:

Nếu Ĩ (I<isn) la P-nguyén so, thi O= 2, là P-nguyén so

4.1.6 Ménh dé:

Cho Q la idéan P-nguyén so, x la mét phdn tư của vành R Thì L Nếu xeQ thì (Q:(x)) - &

i, Nếu x£Q thì (O-(x)) là P-nguyên sơ và do đĩ: rad(Q:(x)) - ?: iii, NéuxeP thi (O:{x))-Q

Chimg minh:

| Déthay: vaeR aveQ = ae(O:{x)), Dodd (O:(x))=R

ii Neu ae(Q:(x)) thi aweQ>aeP

Vậy: Oc(O:(3))<? => Porad(Q:{x))\cP =7 rad(Q:{x))=P

Trang 26

| uẫn văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bu Tuong Tr

Cho abe(O: (x)) va a€(O:(x)) thi ghee (VU (x))

Do dé Are P =heP

it Lay øe(O:{x)} thi ace O

Néu a¢Q thi xe P(mau thudn gia thiét) Nén aeV Vay: (Q:(x))=Q 4.1.7 Định nghĩa; Một iđẻan 7 được gọi là cĩ sự phân tích nguyễn sơ nêu cĩ hữu hạn tđẻan Ĩ,.Ĩ,.Ĩ, (,, sao cho LỊ Q@.Q,,O, .@ là các tđẻan nguyên sơ LÍ !=[Ào rel

‘Néu cac rad(Q) (1) la phan bist, va YO, ¢ Q,.(1<1<n)(2) thì sự phân tích nguyên sơ ở trên được goi là tơi tiêu Lay giao tat ca cdc phan ty 6 1 c6 rad(Q,) giéng nhau dé duge (1), chúng ta cĩ thé loại trừ những phản tử khơng cắn thiết 6 11 dé 06 (2) Như vậy mọi phân tích nguyên sơ đều cĩ thể giản lược để đưa về phân tích nguyên sơ tơi tiểu Ta gọi idéan / là phân ¿ích được nêu nĩ cĩ một phân tích nguyên sơ

4.1.8 Mệnh đề:

[ là tđêan của l khi đỏ tđêan 0 cĩ phản sự tích nguyên sơ (rong Ry, khi va chi khi

Trang 27

|.uän văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri

4.1.9 Dinh lý;

(ho I la idéan phan tích được và cho | = Ne là xự phân tích nguyễn sơ tối trêu

cual Cho P =rad(Q,) (L<¡<n) Thì P, là các tđẻan nguyễn tổ xuất hiện trong

tập hợp cua cúc tan rad(Í :(x)) (x< R), và do đĩ khơng phụ thước vào sự phân fich riéng cua 1

Chứng minh:

Lay (ce #) ta cỏ (¡ œ))=|o ()]=Äte (x))

rel

Do do: rat :(=))= nad (YL, -(2))}=FYras(o 48)) =)

Gia st rad(/:(x)) là một tđêan nguyên tổ, thỉ 3: < {I n} rad(f :(x)}= ?,

Vậy mọi iđêan nguyên tổ cĩ dạng rư¿(/ -{x)} là một iđêan nguyên tổ ?, Ngược

lại, với mỗi ¡ ÍI, n} tổn tại x, # P.,x, e( P, sao cho rad( :(x)) = P,

Idéan ?, 6 trên được gọi là thude vé | hode được liên kết với 1, (Ilđêan ï là nguyên

sơ kh: và chỉ khi nĩ liên kết với một tđêan nguyên tổ)

Những idéan t6i tiéu trong tap hop {/., ,P.} duoc goi la (di tiéu hoặc by cơ lập

thuộc vẻ / Các phân tử khác duge goi la cae idéan nguyén tơ được nhúng

4.1.11 Mệnh đề:

(ho † là một tđêan phân tích được thì bất kỳ tđêan nguyên tơ P > ! chứa mét tđêan nguyên tổ tối tiêu thuộc về Ì, và do dé cae idéan nguyén 16 tối tiêu thuộc vé | là các phản tư tốt tiêu trong tận hợp tắt ca các tđêun nguyên tỏ chứa |

Trang 28

Luan van tốt nghiếp GVHD PGS TS Bui Tuong Tn

Chứng minh: goi / =( ÌO là sự phân tích nguyên sơ tối tiêu của /

Nếu P23! -Àò , thi P 2rad{ (Jo, |=(rad( )=(Àn Do dé 3) PoP

Suy ra chửa một tđêan nguyên tơ tơi tiêu thộc vẻ /

4.1.12 Mệnh đề:(13 4

Cho Š lá tập con nhân dong cua #, ( 1a idéan P-nguyén sơ

1) Néu SAP#@, thi S'O=S'R

u) SaP=2, thi S’Q la S'P- nguyén so va thu hep cda no trong # la V Do

đĩ, một idéan nguyén so bién thanh mét idéan nguyén so trong phép tương

ứng giữa các idéan trong vanh S’R va cac idéan bi thu hep trong vanh R 4.1.13 Ménh dé: (13) ménh dé 4.9)

Cho S la mét tp con nhan cia R, vả / là một iđêan Cho / =( ÌO, là phân tích rei

nguyên so ti tiéu cla J Cho rad(O,) + P va gia oF P, duroc sap xép sao cho: S giao

với ?„., .P„, khác rỗng nhưng giao với ?,, P„ băng tập hợp rỗng Thì

S* =[S'0,, S(!)=(ÌO Và đĩ là sự phân tích nguyên sơ tối tiểu

5 DIEU KIEN DAY CHUYEN

5.1 Điều kiện dây chuyền:

Trang 29

|.uẫn văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tr (i) Mor day tăng x, < x, < trong 3 là dừng (tức là tấn tại n xao cho My = Xu = od (n) ÄMfo! tập con khơng rồng cua ® cĩ mội phản tư tối đại Chứng minh:

(1) = (i): Phan chimg

Giả sử cĩ một tập hợp con khơng rỗng 2 của Y sao cho / khéng co phản tử tơi

dai, Nên ta cĩ thể xây dựng một dãy vơ hạn tăng nghiêm ngặt x, < x, < tức là cĩ

một đây tăng khơng đừng (trải giả thiết)

(uv) => (4):

Moi day x, < x, < déu cĩ phân tử x tơi dai, tic la c6 théa man:

SEX SX =

Nếu ® là tập hợp các mưđun con của một mơđun MV, duge trang bi quan hé c, thi (i) được gọi là điều kiện dây chuyên tăng, (01) được gọi là điêu kiện tối đại Một

mơđun Aƒ thỏa điều kiện tối đại hoặc điều kiện dây chuyên tăng được gọi là note

thì (¡) được gọi là điều kiện dây chuyển giảm, (¡¡) được gọi là điều kiên tồi tiểu

Một mơđun A⁄ thỏa mãn điểu kiện đây chuyển giảm hoặc điểu kiên tơi tiểu được goi la Artin 5.2 Médun Note, médun Artin 5.2.1 Mệnh dé: M la A-médun note <> mot médun con cua M la hitu hạn sinh Chứng minh:

=)lấy N là một mơđun con của AM, gọi È là tập hợp tất cả các mơđun con hữu

hạn sinh của M Thi Ÿ là tập khơng rỗng (vi Øe Š`) do đĩ nĩ cĩ một phản tủ tơi dai Ny

Nếu NV # NV, xét médun con N, + Ax trong do xe N va x¢N,, dé la mot

mơđun hữu hạn sinh của N, va chứa N, thực sự (mâu thuẫn với giả thiết Nụ là tối dai), Vi vay N = Ny, tire N hữu hạn sinh

Trang 30

|.uận văn tỏt nghiệp GVHD_ PGS TS Bùi Tường Tri

<=) Cho M,c M, c la mét chudi tang cdc médun con cia M Thi

w={| ]M, là mơđun con của MZ Do đĩ hữu hạn sinh, goi {x,.,, 4,} la hé sinh

của N, von x,,4,, ,.4, € Jm, - Đo đỏ tơn tai n sao cho: x,,x,, x,€M, va vi vay

M,=M.,,, =

Suy ra day Mc M, c dmg

Cho O— > M'—“-+ M —*+-+ M"—0 [a day khop trén A-médun Thi:

() Mlamoddun note = M' va M"' la médun note

Trang 31

| uận vân tỏi nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri

mơđun note (artin) Do do MM note (artin) 5.2.7 Hé qua:

Néu A la một vành von cua vanh B, A note (artin) va B la A-médun hitu han

sinh thi B la vanh note (artin)

5.2.8 Dinh nghia:

Một mơđụn thỏa mắn cá điều kiện đây chuyền tăng vả điều kiên dây chuyên giảm được gọi là mơđun cỏ chiêu đài hữu hạn

5.2.9 Mệnh đề: (13] mênh đề 6.10)

( ho V là khơng gian vectơ trên trưởng K Khi đĩ các mệnh đề sau là tương đương

() hữu hạn chiều

tu) — V cĩ chiều dài hữu hạn

(uit) Ư thoa mãn điều kiện dây chuyển tăng

(iv) V thoa mãn điều kiện dây chuyển giam 5.2.10 Hé qua: (3) hệ quả 6.11)

Cho A la mét vanh thoa man idéan 0 la tich M,.M, M, cus etic déan tr dai

cua A Thi A la note khi va chi khi A la artin

6 VANH NOTE

6.1 Dinh nghia:

Một vánh # là vành Nơte khi vả chỉ khi 7 thỏa một trong các điều kiện sau: (i) Moi day tang nhitng idéan cua R đều dừng

(i) Moi ho khac rang nhitng idéan ctta /#‡ đều cĩ phân tir toi dai

(iii) Moi idéan cba & déu hitu han sinh

Trang 32

|.uăn vấn tốt nghiện GVHD PGS TS Bu Tường Tri

6.1.1 Định lý;

Lành các thương cua mỖi vành nơte là mội vành Hơic Chứng mình

Cho 4 là một vành nơte vả Š là mơt tập con nhân của A Xét vành các thương Sˆ'4 Giả sử ! là một tđêan của ®”'A Đặt / = /“ là tđêan của A Vi 4 là vành nơte nên / hữu hạn sinh: / = Ax, + Ax, + + Áx, VỚI x,, x„ €/ mm ad % Ta cĩ V—e./! TU =aecl Đu=tx,+l.x.+ +t X (6A 8 4 2 SS, S55 cần s2„5) 5 c5 vá l $1 1d ` s sl os] w@ 1 Vậy / là tđêan hữu hạn sinh của Š "`4 Suy ra S7'4 là vành nơte

Định nghĩa: một đây chuyên các mơđun con của À⁄ là dãy (M,), „ „ các mơđun

con của M sao cho) M = M, > M, > > M, = 0 (bao ham nghiém ngat)

Chiéu dai cla day la m Mét chudi hop thanh cua M la mot day chuyén té: dai,

tức là khơng cĩ mơđun con nảo cỏ thê bơ sung được vảo dãy các mơđun con ở

trên

Một iđêan của vành /‡ được gọi là bắt khá qui nêu nĩ khơng phải là giao của hai

tđêan chứa nĩ thực sư 6.1.3 Ménh dé: Mé idéan cua vanh Note la giao cua mot 86 hitu han idéan bdt kha quy Chung minh: Phản chứng: gia sử tập hợp Ð tắt cả các tđêan khơng phải là giao của một số tđêan bất khả qui là khác rỗng

Vĩ / là vành Nơte nên trong Š cĩ phẩn tử tơi dai / Di nhién / khOng bat kha

quy, do đĩ cĩ hai tđêan /, Áˆ chứa / thực sự 7 =./ Ấ Do tỉnh tơi đại của / nên

Trang 33

|.uân văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bủi Tường Tri

J,K £3-, nghĩa là /, & là giao của hữu hạn idéan bat khả quy do đĩ / cũng là giao

của hữu han iđêan bất khả qui (vơ ly)!

6.1.4 Mệnh đề:

(i) Néw idéan 0 cua vanh Note là bất kha qui thì nĩ là iđêan nguyễn sơ (it) Mot idéan bat kha qui trong vanh note la nguyén sơ

Chứng minh:

(i) Gia sir idéan 0 cia vanh note là bắt khả qui Nếu xy = 0,x # Ota can chimg minh y liy lính

Xét dây cac idéan trong R (0: y)c (0 y'}c c (0:2)

Vì #8 là vành Nơte nên dãy trên dửng, nghĩa lả tơn tại m sao cho (0:y")=(0:y"")=

Ta sẽ chứng minh z e (x}a(y")

That vay: lay (x)n{y") = 0 thi z = ax=by",(a,be R)

= by" =axy =0=>>be(0:y"")=(0:y") > ==

Do đĩ (x)z+(y")= 0 mà 0 là iđêan bắt kha qui nén (y")=0 => y" =0

Vay 0 ia idéan nguyén sơ

(ii) Xét một iđêan bất khả qui / bắt kỷ của vành # khi đỏ f⁄ 1a vanh Note, idéan 0 = ⁄⁄ là bắt khả qui trong ?⁄⁄ nền nguyên sơ, và do đĩ / là nguyên sơ

trong vành /‡

7 VÀNH ARTIN

7.1 Định nghĩa vành Artin:

Một vành # được gọi là vành Artin néu no thoa mét trong hai điêu kiện sau:

(i) Mọi đãy giảm các iđêan của /¿ đều đừng

(H) _ Mọi họ khác rỗng những tđêam của # đều cĩ phần tử tối tiểu

Trang 34

| uän vẫn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tuong Tri | " Miệnh đè: [rong mơi vành Art R, moi idéan nguvén tả đều tối dat Chưng minh Gọi /? la iđêan nguyên tổ của vành # Thì § = fs là một miễn nguyên Artin Lay xeS, x#0

Theo điều kiện đây chuyển giám: 3ø (x*) = (x*"') tức là 3ye S x” =x”"'y

= x"(I—xy}=0 = y =l (vi S là miễn nguyên và xe Ÿ, x z0) Vây: x khá nghịch Suy ra S la ưừng Do do: P la idéan t6i dai cia 2 7.1.2 Hé qua: frong mot vanh Artin, N = R 7.1.3 Mệnh đè: Một vành Artin l cĩ hữu hạn (đèan tối đại Chứng minh Xét tập hợp các giao hữu han {As trong đĩ AZ, là các idéan ti dai

Tap hop nay co mot phan ni tdi tiêu ( ÌM,

Vi voi moi idéan t6i dai M ta luén co: M (Am) = Aae rel rt Suy ra: (M4, cM vet Do do: dre {I, n} M=MM_, vi M, la idéan i dai, Dinh nghia

Cho một dãy tăng nghiêm ngặt cac idéan nguyén t6 cua vanh R

lọ cÐC cP, Đơ đài của chuỗi là n Ta định nghĩa số chiều của vành # là cân

Trang 35

Luan van tot nghiép GVHD PGS.TS Bur Tuong Tr

trên đúng của độ dải tat ca cac chudi idéan nguyén t6 trong RX Ky hiéu: dim # hoặc

dim (8), dé la mét số nguyên dương hoặc +z

Đình lý: vành RB la Artin <= RK ld vénh note va dim R ~ U Chimg minh:

(=>) vi moi idéan nguyén t6 của # là tơi đại, nên dim # = 0 Gọi {M,} „là tập tất cả các iđêan tơi đại cúa # Thi: I⁄: c (Am =N! =0

c=l vl

Do do R la note

(<=) vi idéan 0 cé su phan tich nguyén so, nén ?# chỉ cĩ hữu hạn idéan nguyén

Trang 36

Luan van tot nghiếp GVHD PGS TS Bui Tuong In

Chương II: PHAT TRIEN BINH LY CUA COHEN TIM MOT

DIEU KIEN DE IDEAN TRONG VANH GIAO HOAN CO SU PHAN TICH NGUYEN SG

Như vậy, chúng ta đã được cung cấp một số kiên thức cơ bản của vành giao hồn, vá sự phân tích nguyên sơ trong vành giao hồn Ư chương trước chúng ta đã

được biết một vành là Nơte khi vả chí khi mọi iđêan của vành đều hữu hạn sinh

Tuy nhiên điểu kiến để một vành là Nơte như trên là thừa, và Cohen đã chi ra ring

nêu mọi iđêan nguyên tơ của vành là hữu hạn sinh thì vành đĩ là vành nơte Việc nảy đẫn chúng đến câu hỏi, muơn chứng mình một tđêan là cĩ sự phân tích nguyên sơ, chủng ta cĩ nhất thiết chỉ ra một phân tích nguyễn sơ của nĩ, hay phải chứng

minh vành chứa nĩ là vành Nơte khơng? Và điều kiện đề một tđêan cĩ sự phân tích

nguyên sơ là gi? Trong bái viết này tơi khơng giải quyết hết cá hai câu hoi trén ma chỉ đưa ra một điều kiện để một iđêan của một vành giao hốn bắt kỷ cĩ sự phân tích nguyên sơ Trước tiên chúng ta hãy xem lại định lý Cohen Định lý Cohen: Lành R là vành Note khu và chỉ khi mỗi tđêan nguyên tổ P © Spec( R)la hitu han xinh Chứng minh: Ta chỉ cản chứng mính “nếu mọi iđêan nguyên tổ của R hữu hạn sinh thì R hữu han sinh” là đủ

Phản chứng, giá sử tập Š gồm tất cả các tđẻan hữu hạn sinh của /‡ là khác

Trang 37

| uận văn tơi nghiếp ŒGŒVHID PGS TS Bùi Tường Trí

_

Khi đĩ, tđêan /2#/@c | nên khơng t huộc }_ vả do đĩ hữu han sinh:

Í + lv =Ít, +t,X,d,*+f;Y, d, +f,x), VỚI @ € I, LeR

Dat J = /: Ax, tacdo/ >/ Ry |, va vi vay J fa hitu han sinh

J={h.h, h_) (h,£J]}

Khi đỏ, / =(a,,d, d„,hịx,h.X, .b„x) That vay, neu we/ thi we/+Rx,nén

tứ = Vela +hx)= S ra (Sa \s =(Šz }s =u~ ra el

el} ve | sal sat => S ra, eJ = ¥ ra, => 5,4, if rot t-l Do do: u= > ra, LƠ, (h,x)c (d,.a; 4„„,b,x,b.x, bx) tk vet

Suy ra / hữu hạn sinh, vd ly vi eX! Vay / la idéan nguyén t6, nhung diéu nay lai trai gia thiét / © S vi moi idéan nguyén 6 déu hau han sinh

Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng mình một điều kiện để một tđêan / cha vanh R 06 sự phân tích nguyên sơ Đĩ là mệnh để

I la tđêan của Í cĩ hữu hạn tđêan nguyên tổ liên kết và mỗi tắêan liên kết déu

Trang 38

| uận văn tốt nghiệp GVHD PGS TS Bui Tường Tri ngược lai, lấy reUU:©)) =^=39 re(!:(s)) =xse! =3øel xs=a = (xx-a) 120 > =e SU (=/")=> xe I : vây /“ =(J(1:(s)) Mệnh đề 2: Cho I là iđềan cua vành R cĩ hữu hạn các tđêan nguyên tổ liên kết {h.1 1>} Khi đỏ: () Ue R\(\e là tận con nhân cua R = nguyên tổ cua vành ("` Chứng minh: - 1= #\( U, là tập con nhân của R al

Hiện nhiên (/ - # và le(!

it

=> ty ?,Vi=l, n = xyre| |? =xyel/

et

Vậy LÍ là tập con nhân của R

(ii) Nếu Ø„# P là tối tiểu của l thì ta cĩ dim(t°8/,_,„Ì=0 và số iđêan

nguyên tổ của vành ÈÝ uy là hữu hạn

P,là iđêan nguyên tổ tơi tiểu chửa | cha R, Suy ra: UP là iđêan nguyên tổ

của /'# chứa t*'7

Trang 39

Luan van tot nghiép GVHD PGS TS Bui Tung Tri

Goi UP lả ảnh của (/ˆ'/' trong "Rf Dé thay (7? idéan nguyén 06 tye

cua OR ay Tuc la fr" UP, & Spee(' |

Ta sẽ chứng minh: Spec(""R/’, Jc {Un, 0,) Thật vậy:

Lấy P« Set '/, ,Ì, gọi P =[xet””!-v+1/7°/ e PỆ khi đĩ P là vđêan

nguyên tơ của (/"'R chira (7's

Suy ra /“ là iđêan nguyên tơ của R chửa I

Do đĩ 3/(£{I, n} P=P SUP P* =P (vì P7 là iđêan nguyên tơ của UR) Suy ra UP, =P Vay: Spec( KY )={U Rot P, Đề chứng minh oo a |=° ta chỉ cản chứng minh: Mar) 90%) (OFA

Gia sir: Fi, ye {ln} UP, CUP

Suy ra (*'P c1/*'P = => Pc P(!) (vì các P¿ là tơi tiểu chứa I)

Mệnh đề 3:

P Ola idéan cua R, 1c O.P

Trang 40

l.uân văn tốt nuhiếp GVHD PGS TS Bùi Tường [ri

Dé thay fla déng cau va:

imf ={r+Q\x+le #⁄4Ì={v+Q\xe R}= %4 ker f= {r+ fe R/\x+0=0+0}=[r+ Bf \xe Qa Y/ Ry R⁄/ _ 1 Pe Fon /0/ fl Mệnh đề 4: Cho R là vành cĩ số tđêan nguyên tổ hữu hạn Kiu đĩ hat điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành con cưa vành S, với đim(S) ~ 0, và S cĩ số iđêan nguyên tổ hữu han (1) ] déan 0 cua vành lệ cĩ sự phân tích nguyên sơ Chứng minh: ()=(⁄)

Goi {M,,M,, M,} la tap tét cả các iđêan nguyên tơ của S

Xét đồng cấu vành: /,:S——>.S„, xác định bởi /{(s)= 7 Vành S,, la vanh

địa phương với iđêan tối đại duy nhdt la tap hop M,,_ ={ Ƒf\meM,xes\M,}

Gọi P là iđêan nguyên tổ của S,, thi P* la idéan nguyên tổ của S

=>“ =M, vì nêu /“ #1, thì 7 s5(S\ M), e8, =P%„=P”“c?P (vơ lý)

Do do PSP, = À, Suy ta P=M

Vậy AM, là tđêan nguyên tơ duy nhất cia vanh S,,

= rad(0)= M,, = idéan 0 cia vanh S,, languyén so

Dat K, =ker f, khi do X, la idéan nguyén so cua vanh S