Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính nhóm ngành kỹ thuật
Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Nghệ An - 2021 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính chương 1: Ma trận - định thức Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghƯ TiÕp cËn cido Tµi liƯu lu hµnh néi bé NghƯ An - 2021 Ngun Qc Th¬ Híng dÉn tù học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN I Tóm tắt lý thuyết 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa ma trận, số ma trận đặc biệt (ma trận không, ma trận dơn vị, ma trận tam giác, ma trận đường chéo, ma trận đối xứng,ma trận phản đối xứng) Nhận biết số ma trận đặc biệt tính chất ma trận đặc biệt 1.1.2 Các phép toán ma trận +) Định nghĩa phép toán ma trận (céng hai ma trËn, nh©n mét sè víi ma trËn, nh©n hai ma trËn, lịy thõa ma trËn) +) TÝnh chÊt cđa c¸c phÐp to¸n ma trËn +) VËn dơng định nghĩa tính chất phép toán để tìm phần tử ma trận tổng, tích, 1.1.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa ma trận chuyển vị tính chất chuyển vị 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận - Ma trận bậc thang +) Ba phép biến đổi sơ cấp ma trận +) Ma trận bậc thang biến đổi sơ cấp đưa ma trận ma trận bậc thang 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa +) Định nghĩa định thức số tính chất định thức +) Tính nhanh định thức cấp 2, số định thức đặc biệt 1.2.2 Một số phương pháp tính định thức +) Dùng công thức khai triển +) Sử dụng phép biến đổi ma trận Mối liên hệ tính chất định thức phép toán ma trận 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Định lý Định nghĩa ma trận nghịch đảo ma trận không suy biến Định lý điều kiện cần đủ để tồn ma trận nghịch đảo 1.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo +) Dùng phần phụ đại số: số A−1 = PA , víi PA lµ ma trËn phần phụ đại det A Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN +) Dùng phép biến đổi sơ cấp: Lập ma trận khối [A|In ]nì2n Dùng ba phép biến đổi sơ cấp hàng, đưa ma trận khối ma trận khối dạng [In |B]nì2n ba phép biến đổi sơ cấp hàng [A|In ] −−−−−−−−−−−−−−→ [In |B] Khi ®ã B = A−1 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa hạng ma trận hiểu khái niệm hạng 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận +) Dùng định thức +) Dùng phép biến đổi sơ cấp: ã Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trËn A vÒ ma trËn bËc thang T ba phép biến đổi sơ cấp A T ã Giả sử T có r hàng khác không Khi rank(T ) = r ⇒ rank(A) = r II C©u hái ôn tập Câu Định nghĩa ma trận Các phép toán trân ma trận Ma trận chuyển vị, số ma trận đặc biệt Các phép biến đổi sơ cấp ma trận, ma trận dạng bậc thang Câu Định nghĩa định thức, tính chất định thức, số định thức đặc biệt Câu Các phương pháp tính định thức Định thức con, định thức bù phần phụ đại số Định lý Laplace công thức khai triển định thức Câu Định nghĩa ma trận nghịch đảo Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Phương trình ma trận Câu AX = B, XA = B AXB = C Định nghĩa hạng ma trận Các phương pháp tìm hạng ma trận III kỹ cần rèn luyện Cần ý rèn luyện kỹ năng: Nhân hai ma trận, tính định thức ma trận vuông, tìm ma trận nghịch đảo tìm hạng ma trận IV vận dụng Vận dụng kỹ phương pháp tính toán ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo hạng ma trận vào giải toán cụ thể Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN V tập ôn tập 5.1 Ma trËn - C¸c phÐp to¸n vỊ ma trËn TÝnh AB vµ BA Bµi 1.1 Cho A = vµ B = −1 −1 Cho P = vµ Q = −1 TÝnh P Q vµ QP −1 " # " # a b c a c c b a vµ K = b b TÝnh HK − KH Cho H = 1 1 c a −1 2 Cho A = TÝnh P = (2A − 4A + 3I2 ) 2 T Cho H = −1 vµ H ma trận chuyển vị H T T TÝnh H.H vµ H H Bµi 2.1 Cho " # n N ma trận 1 −1 1 A = , B = C = −1 D = , E = 0 TÝnh An , B n , C n , Dn , E n a a n Cho n ∈ N , a R ma trận A = , B = a TÝnh A λ1 λ2 k Cho A = vµ k ∈ N TÝnh A ∗ 0 n dạng Cho cấp A2 B2 P n để cho A B gọi đồng dạng tồn A = P −1 BP Chøng minh r»ng nÕu A B đồng đồng dạng k N, A = [aij ]n cho A2 = θ (ma trËn kh«ng) In ma trận đơn vị n Chứng minh r»ng (In − A)−1 = In + A + A2 + Ak−1 B n Bài 3.1 Hai ma trận vuông cấp ma trận khả nghịch 17 Bài Cho A = 35 −12 = " # " −3 −2 = 2 Cho B = 4 −3 #" 1 0 −7 n −2 TÝnh A , ∀n ∈ N #" # 0 −1 1 −1 TÝnh B n −2 −5 Ngun Qc Th¬ Híng dÉn tù häc - Ch¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 5.1 Cho đa thức f (x) = x − 2x + vµ ma trËn A = TÝnh f (A) 2 Cho ®a thøc f (x) = 3x − x + vµ ma trËn B = −1 TÝnh f (B) a b 0 Cho ma trËn A = vµ θ = c d 0 lµ ma trËn không Tìm ma trận X cho A2 (a + d)A + X = Bài Tìm tất ma trận giao hoán với ma trận 1 A = ; Bµi Cho 0 A = 2 A = −1 −4 A = vµ A " # B = Tìm tất giá trị để cho AB = BA Bài Tìm tất ma trận vuông cấp hai cho bình phương ma trận không Tìm tất ma trận vuông cấp hai cho bình phương ma trận đơn vị Bài Cho A, B hai ma trận vuông cấp A B Tìm ®iỊu kiƯn cđa Chøng minh r»ng nÕu ®Ĩ cho AB 6= BA th× A2 − B 6= (A + B)(A − B) Bµi 10 TÝch cđa hai ma trận Đổi chổ dòng thứ Đổi chổ cột thứ Nhân dòng thứ Nhân cột thứ j AB cña ma trËn cña ma trËn cña ma trËn cña ma trËn B A cho cho A với số cộng vào dòng thứ i cđa nã B Bµi 11 VÕt cđa ma trËn vuông ký hiệu thay đổi nào, i dòng thứ j i cột thứ j j (A + B)2 = A2 + 2AB + B víi mét sè α råi céng vµo cột thứ i A tổng phần tử đường chéo A T r(A) Cho A, B hai ma trận vuông cấp trêng c¸c sè thùc T r(A + B) = T r(A) + T r(B) vµ T r(AB) = T r(BA) Chứng minh Chứng minh không tồn hai ma trận vuông In ma trận vuông cấp n A B cho AB BA = In , Ngun Qc Th¬ Híng dÉn tù học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN Cho hai ma trËn A, B cho AB = Bµi 12.1 Chøng minh ma trËn a A= c 11 x 14 11 25 , BA = 14 y HÃy tìm x, y b d nghiệm cđa ®a thøc f (x) = x2 − (a + d)x + (ad bc) Giả sử A ma trận vuông cấp k số nguyên d¬ng lín h¬n Chøng minh Ak = θ (ma trận không) A2 = Gi¶ sư An = θ Chøng minh (E − A)−1 = E + A + A2 + + An−1 5.2 Định thức Bài 13 Tính định thức sin α cos α − sin x cos x , sin β cos β , sin x sin γ cos γ a b c d e f g 0 a b c c a , b g h k 0 l m n u c a b v 0 0 " # " # 0 −1 −3 vµ B = Bài 14.1 Cho ma trận A = 1 0 TÝnh det(2AB), det(2BA), det(PAB ), det(P2A ) vµ det(P2B ) " # 0 −3 Ký hiƯu A−1 lµ ma trận nghịch đảo A Cho ma trận A = 1 T A lµ ma trËn chuyển vị A Đặt B = 2AT , C = (3A)T , D = (2A)−1 1 a a −a , b −b b cos x sin x 1 − cos x a b c , d 0 E = ((3A)−1 )T TÝnh det(B), det(C), det(D) vµ det(E)? " # 2 2m Tìm m để det(A) < Cho ma trËn A = m " # " # 6 TÝnh det(A) Cho ma trËn A = 0 0 −2 T Cho A = 2 A ma trận chuyển vị A T T TÝnh det(A.A ) vµ det(A + A ) " # " # 2 −1 −1 vµ B = Cho hai ma trËn A = 0 0 −1 TÝnh det(A + B) vµ Nguyễn Quốc Thơ Cho A B Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến TÝnh - KT vµ CN n, lµ hai ma trËn vuông cấp phần tử thực, thỏa mÃn điều kiện det(A) = a vµ det(B) = b TÝnh det(2AB), det(3AT B), det(2B T A), det(A−1 ), det(B −1 ), det((AB)−1 ) Bài 15 Giải phương trình x −2 2 = −2 x −1 x = 0, −1 10 −6 Bµi 16.1 Cho a, b ∈ R, thoả mÃn điều kiện a x x b x a b x x b a x a2 6= b2 T×m x cho b x x = a Giải phương trình sau 1 4 −1 − x2 5 = 0, −7 −7 x2 − −2 − x2 + x 12 = −4 x − 14 Bài 17 Tính định thức a b b b a b , b b a + a1 n x 1 + a2 x + n a2 , , x + 1 + an x cos A cos2 A Bài 18.1 Tam giác ABC, thoả mÃn điều kiện cos B cos B = cos C cos2 C 1 1 a1 x x 1 1 1 1 1 , 1 x x , an 1 1 1 1 1 −1 1 −1 , 1 Tam giác có tính chất gì? Tính định thức x3 + px + q = a b c b c a , c a b a, b, c ba nghiệm phương trình: Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 19 Không khai triển, hÃy tính định thức sin cos2 α sin β cos2 β , sin γ cos2 γ a + b c b + c a , c + a b a b c b c a a b c b + c a + c b + a 2 1 Bài 20 Không khai triển định thức, chứng minh a1 b1 a1 x + b1 y + c1 a1 b1 c1 b2 a2 x + b2 y + c2 = a2 b2 c2 a2 a b a x + b y + c a b c 3 3 3 3 a11 a12 a13 λa11 λa12 λa13 a22 a23 = λa21 λa22 λa23 λ a21 a a a λa λa λa 31 32 31 32 33 33 a1 + αb1 + βc1 b1 + γc1 c1 a1 b1 c1 b2 + γc2 c2 = a2 b2 c2 a2 + αb2 + βc2 a + αb + βc b + γc c a b c 3 3 3 3 a1 b1 c1 a1 + b1 x a1 x + b1 c1 b2 c2 = a2 + b2 x a2 x + b2 c2 (1 − x ) a2 a b c a + b x a x + b c 3 3 3 3 −3 2a 2b −2c 2d a b −c d −3 = −4 −8 12 −16 8 −12 17 −12 17 115, 184, 253 chia hÕt 1 thøc, chøng minh r»ng chia hÕt cho 23 Bài 21.1 Biết số cho 23 Không khai triển định 1020, 544 chia hết cho 17 Không khai triển định 1054, 255, thøc, chøng minh r»ng chia hÕt cho 17 5 4 BiÕt r»ng c¸c sè 2006, 6103, 5525 chia hÕt cho 17 vµ a ∈ N, ≤ a ≤ Víi gi¸ 0 trị a chia hÕt cho 17 a 5 " # " # −1 a 1 −2 vµ B = a Bài 22.1 Cho ma trận A = 1 a Tìm điều kiện a ®Ó cho det(AB) = " # " # −3 1 a 0 −6 vµ B = a Cho c¸c ma trËn A = a 1 Tìm điều kiƯn cđa a ®Ĩ cho det(AB) = Biết số Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN cos ϕ − sin ϕ 1 −1 Cho c¸c ma trËn A = sin ϕ cos ϕ vµ B = X = n n n n n n TÝnh A , B , X vµ det(A ), det(B ), det(X ) 5.3 Ma trận nghịch đảo Bài 23 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau A= 0 N = 0 1 0 −1 ,B = −3 −3 , 1 , (a 6= 0) = a 0 0 0 Q = −3 0 4 " # " # 1 2 −2 −2 −2 −1 Bài 24.1 Tìm ma trận nghịch đảo ma trËn A = 0 −1 −1 " #" # 1 −2 2 m Cho ma trËn A = Tìm m để A khả nghịch m + "1 # 1 T×m ma trËn nghịch đảo ma trận A = 0 " # cos α − sin α sin cos tồn nghịch đảo vµ Chøng minh r»ng ma trËn A = 0 " # " −1 , M 2 3 P = 1 −2 # a a 0 0 4 , " # tìm ma trận nghịch đảo # X Bài 25 Tìm ma trận 1 A = " A = −2 −1 # −3 −5 −7 cho "XA = B, # ®ã: vµ B = −2 −1 −1 " # vµ B= 1 1 Bài 26 Tìm ma trËn X cho AX = B, ®ã " # " # −3 −3 −4 vµ B = 10 A = −1 −1 " # " # 1 −1 −1 2 A = vµ B= 1 1 Bài 27 Tìm ma trËn X cho AXB = C, ®ã " # " # " # −1 −2 3 0 A = , B = −2 vµ C = −1 0 " Ngun Qc Th¬ Híng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN 5.4 Hạng ma trận a b để hạng cho ma trận sau đâycó a b b b 1 1 1 b a b b a 10 1 2 , D = , B = A = 3 b b a b 17 6 b b b a 2 4 a+4 a+7 Cho A ma trận vuông cấp n khả nghịch Nếu nhân hàng(cột) Bài 28.1 Tìm A với k 6= hạng A sẻ thay đổi nào? Bài 29 Tìm hạng c¸c ma trËn sau 1 1 −1 −1 −2 0 1 0 2 −1 −3 A = −2 , B = 5 −1 , C = 2 1 −1 0 7 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 G = 0 1 0 , H = 1 1 5 , K = 1 1 1 1 1 0 1 0 1 4 1 5 1 1 1 Bài 30.1 Tìm hạng c¸c ma trËn sau theo tham sè a 0 −1 1 −1 1 1 1 a −1 −1 4 , E = A = −1 2 , B = −2 1 −1 a −1 −1 2 a −1 a + a2 + " # 2 Tìm a để hạng cña ma trËn M = a " # 1 b b b»ng 3 T×m b để hạng ma trận N = b 1 # " VI Câu hỏi thảo luận Kiểm tra, giải thích phản biện lai khẳng định sau đây: Câu Phép cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, kết hợp Câu Nếu phép nhân ma trận thực có tính chất giao hoán Câu Phép nhân ma trận thực có tính chất kết hợp Câu Cho Câu Phép nhân hai ma trận vuông cấp luôn thực Câu Phép céng hai ma trËn vu«ng cïng cÊp lu«n lu«n thùc A, B hai ma trận luôn tồn A + B Nguyễn Quốc Thơ Câu Cho Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN A, B, C n 2, phần tử thùc vµ k ∈ R Khi lµ ba ma trËn vuông cấp A(BC) = (AB)C A(kB) = (kA)B = k(AB) C©u (AB)2 = A2 B víi mäi ma trận vuông Câu (AB)2 = A2 B với ma trận Câu 10 kiện A B cïng cÊp A vµ B (AB)2 = A2 B với ma trận vuông A B cấp thỏa mÃn điều BA = AB Câu 11 (A − B)2 = A2 − 2AB + B C©u 12 (A − B)2 = A2 − 2BA + B với ma trận vuông A B A, B NÕu A, B NÕu cïng cÊp cïng cÊp hai ma trận vuông cấp n, không suy biến A+B A.B n, không suy biến ma trận vuông cấp Câu 14 A B BA = AB thỏa mÃn điều kiện Câu 13 với ma trận vuông hai ma trận vuông cấp, không suy biến ma trận vuông không suy biÕn C©u 15 NÕu A, B C©u 16 NÕu A, B hai ma trận vuông cấp n không suy biến rank(AB) = n hai ma trận vuông cấp n rank(A) = rank(B) = n rank(AB) = n2 Câu 17 Nếu A, B hai ma trận vuông cấp khả nghịch Câu 18 Nếu A, B hai ma trận vuông cấp cấp n) A B Câu 19 vị cấp AB n ≥ vµ AB = In suy biÕn (ma trận đơn vị không khả nghịch A, B hai ma trËn vu«ng tïy ý cÊp n ≥ AB = In (ma trận đơn Nếu n) det(A) = det(B) = Câu 20 Nếu A ma trận vuông, phần tử thực không suy biến với kR kA không suy biến Câu 21 Nếu A ma trận vuông cấp n 2, không suy biến ma trận A1 , AT nA không khả nghịch Câu 22 Cho mÃn điều kiện Câu 23 Cho A B ma trận vuông cấp n 2, khác ma trận không, thỏa AB = O ( ma trận không) Khi B A2 = O vµ det(AB) = A tùy ý Nhân hàng thứ hai A cho ta thu ma trận B Khi det(A) = det(B) ma trận vuông cấp nhân cột thức A cho Nguyễn Quốc Thơ Câu 24 Cho 10 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN A ma trận vuông cấp tùy ý Nếu A ma trận đối xứng det(A+ AT ) =6 det(A) 7 Câu 25 Cho ma trận A = 3 3 vµ B = 1 1 det(A) = vµ det(B) 6= # " " 0 1 0 , A2 = C©u 26 Cho c¸c ma trËn A1 = −9 1 " −3 −2 −9 # Khi ®ã −3 , A3 = −5 # Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: A A3 ma trận phản đối xứng B A1 ma trận đối xứng C A2 ma trận phản đối xứng D Cả ba ma trận A1 , A2 , A3 ma trận phản đối xøng F C¶ ba ma trËn A1 , A2 , A3 ma trận đối xứng Câu 27 A ma trận vuông cấp det(A) = a Khi ®ã det(3AAT ) = 9a2 det(3AAT ) = 81a2 Câu 28 Giả sử Cho A B hai ma trân vuông cấp det(3AB) = 32 [det(A)]2 C©u 29 Cho Cho det(3AB) = 34 [det(A)]2 A ma trận vuông cấp n rank(A) = Khi A tồn định thức cấp Câu 30 Giả sử det(A) = det(B) Khi A khác không ma trận vuông cấp tùy ý Nếu A ma trận khả nghịch rank(AT ) = HÕt!