Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 4

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Nghệ An - 2021 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Chương 4: anh xạ tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ TiÕp cËn cido Tµi liƯu l­u hµnh néi bé NghƯ An - 2021 Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN I Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm ánh xạ 1.1.1.Định nghĩa Định nghĩa ánh xạ, cách nhận biết tương ứng ánh xạ 1.1.2 Khái niệm ảnh tạo ảnh toàn phần ã Với x ∈ X, phÇn tư y = f (x) ∈ Y Cho ánh xạ f : X Y gọi ảnh x qua ánh xạ f ã Với A X, tập hợp f (A) = {f (a) | a ∈ A} ⊆ Y cña A qua ánh xạ f Nếu A = X tập hợp gọi ảnh Imf = f (X) gọi ảnh f ã Với b Y, tập hợp f (b) = {k ∈ X | f (k) = b} ⊆ X t¹o ảnh toàn phần phần tử gọi b qua ánh xạ f ã Với B Y, ®ã tËp hỵp f −1 (B) = {f −1 (b) | b ∈ B} = {x ∈ X | f (x) B} X gọi tạo ảnh toàn phần tập B qua ánh xạ f 1.1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh ã Một ánh xạ f : X Y tạo ảnh Do f đơn ánh phần tử Y có không đơn án thỏa mÃn điều kiện tương đương sau: +) ∀x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ); +) ∀x1 , x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) x1 = x2 ; +) Với y Y, phương trình f (x) = y (ẩn x) có không nghiệm X ã Một ánh xạ f : X Y Do f toàn ánh phần tử Y có tạo ảnh toàn án thỏa mÃn điều kiện tương đương sau: +) ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y; +) Imf = Y +) Víi mäi y ∈ Y, phương trình f (x) = y ã Một ánh xạ f : X Y tạo ảnh Do tương đương sau: f (ẩn x) có nghiệm X song ánh phần tử Y có song ánh thỏa mÃn điều kiện Nguyễn Quốc Th¬ +) ∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, f (x) = y; +) f 1.1.4 vừa đơn ánh vừa song ¸nh; +) Víi mäi øng H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN y Y, phương trình f (x) = y (Èn x) cã nghiƯm nhÊt X • Tích ánh xạ Cho ánh xạ f : X −→ Y g : Y −→ Z vµ ϕ : X Z, xác định (x) = g(f (x)), x X gọi tích f cho Tương ánh xạ g ( gọi ánh xạ hợp thành f g ) Ký hiƯu ϕ = g◦f cịng lµ vµ ϕ = g f ã Nếu f g đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ánh xạ tích đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ã Nếu ánh xạ tích = g f đơn ánh ã Nếu ánh xạ tích = g f toàn ánh 1.1.5 Khái niệm ánh xạ ngược ã Một ánh xạ f f f g đơn ánh toàn ánh Định nhĩa điều kiện tồn ánh xạ ngược f có ánh xạ ngược f song ánh Khi song ánh 1.2 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Cho V, W không gian vectơ Một ánh xạ f : V W hai K gọi ánh xạ tuyến tính, thỏa mÃn hai điều kiÖn sau: i) f (a + b) = f (a) + f (b), ∀a, b ∈ V ii) f (αa) = αf (a), ∀α ∈ K, ∀a ∈ V Tõ định nghĩa ta có: +) Điều kiên i) ii) tương đương với điều kiện sau: iii) f (a + βb) = αf (a) + βf (b), ∀αβ ∈ K; ∀a, b ∈ V +) Anh x¹ tuyÕn tÝnh +) Nếu ánh xạ tính f : V W f : V −→ W +) Cho V, W f : V V V đơn ánh (toàn ánh, song ánh) ánh xạ tuyến đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) hai K tồn ánh xạ đẳng cấu không gian vectơ Khi ta nói V ®¼ng cÊu víi W nÕu f : V −→ W Ký hiÖu V ∼ = W f : V −→ W V ∼ =W ⇔W ∼ = V +) NÕu gọi phép biến đổi tuyến tính đẳng cấu f : W V đẳng cấu Do Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN 1.2.2 Một số tính chất đơn giản ánh xạ tuyến tính ã Cho V, W K không gian vectơ (ký hiệu vectơ không tương øng lµ θV , θW lµ hai f : V W ánh xạ tuyến tính +) f (V ) = θW +) f (−b) = −f (b), ∀b ∈ V Do ®ã f (a − b) = f (a) − f (b), ∀a, b ∈ V +) f P m  m P αi f (vi ), ∀αi ∈ K, ∀vi ∈ V i=1 V2 vµ g : V2 V3 ánh xạ tuyến tính ánh xạ hợp thành i vi = i=1 ã Cho f : V1 −→ ϕ = gf : V1 V3 Khi đó: +) ánh xạ tuyến tính +) Nếu f, g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) đơn cấu (toàn cấu, đẳng cÊu) • Cho f : V1 −→ V2 , g : V2 −→ V3 ϕ = gf : V1 −→ V3 ánh xạ tuyến tính Khi đó: +) Nếu đơn cấu f đơn cấu +) Nếu toàn cấu g toàn cấu 1.2.3 Định lý xác định ánh xạ tuyến tÝnh n− W chiỊu vµ lµ K− V vµ lµ sở ý W Cho không gian vect¬ tïy ý A = {a1 , a2 , , an } V Giả sử K không gian vectơ E = {e1 , e2 , , en } lµ mét hƯ gåm cã Khi tồn ánh xạ tuyến tính n− vect¬ tïy f : V −→ W, cho f (ei ) = , ∀i = 1, 2, , n Từ định lý ta cã: f P n ∀x ∈ V, x =  αi ei = i=1 n P n P αi ei Khi ®ã i=1 αi f (ei ) = i=1 n P αi , ∀αi ∈ K, ∀ai ∈ A i=1 1.3 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 1.3.1 Định nghĩa +) Tập hợp nhân Cho ánh xạ tuyến tính f : V W Khi ®ã: Ker(f ) := f −1 (θW ) = {x ∈ V ∈ V | f (x) = θW } gọi hạt f +) Tập hợp Im(f ) := f (V ) = {f (x) | ∀x V } gọi ảnh f Vậy, từ định nghĩa ta có: +) a Ker(f ) ⇔ f (a) = θW +) y ∈ Im(f ) ⇔ ∃x0 ∈ V cho y = f (x0 ) Nguyễn Quốc Thơ 1.3.2 Định lý V, B i) ánh xạ tuyến tính A không gian W Khi đó: f (B) không gian V Cho f : V W ánh xạ tuyến tính Khi Im(f ) không gian W Ker(f ) không gian V ii) 1.3.4 Định lý f Cho f : V −→ W toµn cÊu vµ f ii) đơn cấu 1.3.5 Định nghĩa i) f : V W không gian 1.3.3 Hệ i) Cho f (A) không gian W ii) i) Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Cho ánh xạ tuyÕn tÝnh Khi ®ã: Im(f ) = W Ker(f ) = {V } f : V W ánh xạ tuyến tính Khi đó: dim(Im(f )) gọi hạng ánh xạ tuyến tính f Ký hiệu hạng f rank(f ) dim(Ker(f )) gọi số khuyết ánh xạ tuyến tính f ii) 1.3.6 Định lý Cho f : V W ánh xạ tuyến tính Khi đó: dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ) 1.3.7 Hệ i) f đơn cấu vµ chØ rank(f ) = dim(V ) Cho f : V −→ W i) f ii) iii) lµ ánh xạ tuyến tính Khi rank(f ) = dim(W ) 1.3.8 Hệ f : V W toµn cÊu vµ chØ f ii) Cho V, W hai K không gian vectơ, dim(V ) = dim(W ) = n ánh xạ tuyến tính Khi phát biểu sau tương đương đơn cấu f toàn cấu f đẳng cấu 1.3.9 Định lý Cho V W hai K không gian vectơ hữu hạn chiều Khi đó: V = W dim(V ) = dim(W ) Từ định lý ta thấy: Mọi K không gian vectơ n chiều đẳng cấu với K không gian vectơ Kn Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến TÝnh - KT vµ CN 1.4 Ma trËn - Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính 1.4.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính dim(V ) = n, dim(W ) = m Gi¶ sư Cho V, W lµ hai K− E = {e1 , e2 , , en } không gian vectơ, c¬ së cđa V, U = {u1 , u2 , , um } sở W f : V W ánh x¹ tuyÕn tÝnh  f (e1 ) = a11 u1 + a21 u2 + · · · + am1 um    f (e2 ) = a12 u1 + a22 u2 + · · · + am2 um Gi¶ sö  ··· ··· ··· ··· ··· ···   f (e ) = a u + a u + · · · + a u n 1n 2n mn m   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  Khi ®ã ma trËn A =  · · · · à à à à à à à à gọi ma trận ánh xạ tuyến an1 an2 à à à ann tính f cặp sở E U +) Nếu sở V +) Cho V f : V V ma trận V W tương ứng ma trận cặp sở f gọi ma trận không gian vectơ, g : V W E ánh xạ tuyến tính Giả sử g : V2 V3 cặp sở sở E tương ứng sở A B A ma trận cđa f E vµ E2 ; B lµ ma trËn đẳng cấu Giả sử g đối với cặp sở A ma trận f ma trận A cặp sở E1 E3 cặp së f −1 : W −→ V ®èi víi E Cho V, W hai K không gian E = {e1 , e2 , , en } sở V, U = {u1 , u2 , , um } lµ mét W f : V W ánh xạ tuyến tính Giả sử x V Đặt: x1 x  [x] = · ·2· lµ ma trËn tọa độ x sở E xn sở ánh xạ tuyến tính Giả sử 1.4.2 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính vectơ, E U Khi rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A.) f : V −→ W U g cặp sở E U Khi ®ã f = g ⇔ A = B U Khi A không suy biến A1 cặp sở U f V ánh xạ tuyến tính Giả sử E3 Khi BA ma trận ánh xạ tích g f +) Cho E f f : V1 −→ V2 ma trËn cña E2 vµ K− vµ f : V −→ W E +) Cho A = [aij ]n lµ hai W, f : V W +) Cho phép biến đổi tuyến tính không gian Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN y1 y  [f (x)] = à Ã2à ma trận tọa độ f (x) sở U ym A = [aij ]mìn ma trận f cặp sở E U Khi [f (x)] = A[x] 1.5 Vectơ riêng - Giá trị riêng 1.5.1 Không gian bất biến V Không gian M cđa Cho V f : V −→ V lµ phép biến đổi tuyến tính gọi không gian bÊt biÕn ®èi víi f nÕu f (M ) M 1.5.2 Định nghĩa Cho V K không gian vec tơ, hữu hạn chiều f : V V phép biến đổi tuyến tính i) Số cho V K gọi giá trị riêng f tồn vectơ x ∈ V, x 6= θV f (x) = λx i) Vect¬ x ∈ V, x 6= θV t­¬ng ứng với giá trị riêng cho f (x) = x x gọi vectơ riêng f Từ định nghĩa ta có: +) Nếu vectơ x vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng y = x vectơ riêng f +) Giả sử vectơ 1.5.3 tương ứng với giá trị riêng x+y vectơ riêng Không gian riêng Giả sử f tương ứng với giá trị riêng không gian bất biến 1.5.4 Định lý i) Số trưng Cho V f Rõ ràng V phép biến đổi tuyến tính f E = {e1 , e2 , , en } sở K không gian vectơ V K giá trị riêng cđa f |A − λIn | = 0, ®ã In x vectơ riêng f hệ pttt không gian tương ứng với giá trị riêng A ma trận phép biến đổi tuyến tính f ii) Vectơ giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính gọi không gian riêng Giả sử x, y vectơ riêng f tương ứng với giá trị riªng λ NÕu x+y 6= θV f : V −→ V Đặt V = {x V | f (x) = x} Khi V V , K, 6= c¬ së [A − λIn ][x] = [0] cđa V Khi nghiệm phương trình đặc ma trận đơn vị cấp E n x nghiệm không tầm thường Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Sè TuyÕn TÝnh - KT vµ CN 1.5.5 ChÐo hãa ma trËn trËn vu«ng B cÊp n i) Ma trËn A vuông cấp n goi đồng dạng với ma tồn ma trận vuông P không suy biến để cho B = P AP ii) Ma trận A vuông cấp n goi chéo hóa trận đường chéo, nghĩa tồn ma trận vuông P AP +) Nếu P A đồng dạng với ma không suy biến để cho ma trận đường chéo Từ định nghĩa ta có: A đồng dạng với B det(A) = det(B) +) Ma trËn cđa phÐp biÕn ®ỉi tuyến tính f : V V sở khác khác chúng đồng dạng với 1.5.6 Định lý Ma trận vuông A cấp n chéo hóa A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính II Câu hỏi ôn tập Câu Định nghĩa ánh xạ, ánh xạ ánh xạ tích Xác định ảnh tạo ảnh phần tử, tập qua ánh xạ Câu Định nghĩa đơn ánh, toàn ánh, song ánh Các tính chất đơn ánh, toàn ánh song ánh Định nghĩa ánh xạ ngược, tìm ánh xạ ngược ánh xạ Câu Định nghĩa ánh xạ tuyến tính số tính chất đơn giản Định nghĩa đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu Định lý xác định ánh xạ tuyến tính Câu Khái niệm ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính Điều kiện cần đủ đơn cấu toàn cấu Mối liên hệ số chiều ảnh số chiều hạt nhân Mối liên hệ hạng số khuyết Sự đẳng cấu không gian hữu hạn chiều Câu Câu Ma trận ánh xạ tuyến tính biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Định nghĩa giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính, cách tìm giá trị riêng vectơ riêng Bài toán chéo hóa ma trận III Các kỹ cần rèn luyện 3.1 Chứng minh ánh xạ ánh xạ tuyến tính 3.2 Tìm phần tử, sở, số chiều ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 3.3 Sử dụng ma trận để xét tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu ánh xạ tuyến tính 3.4 Tìm giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN IV Vận dụng Vận dụng kỹ phương pháp tính toán ánh xạ tuyến tính vào giải toán cụ thể V Bài tập ôn tập 5.1 Khái niệm ánh xạ x2 x R Bài Cho ánh xạ f : R|{1} R, xác định f (x) = x1 HÃy xét tính đơn ánh, toàn ánh song ánh f Tìm tạo ảnh toàn phần phần tử Bài 2.1 Cho ánh xạ Tìm số thực a để f Cho ánh xạ Tìm số thực f : R (, a], xác định f (x) = x2 2x + toàn ánh f : [a, +) (, 3], xác định f (x) = −x2 − 2x + a ®Ĩ f Bài Cho ánh xạ Tìm b = tập B = [1, 0] đơn ánh f : R R, xác định f (x) = x3 + f −1 (3) vµ f −1 ((0; 1]) Bài Giả sử số phức C Mn (C) Cho ánh xạ tập hợp ma trận vuông cÊp f : Mn (C) −→ Mn (C), ∀A ∈ Mn (C), AT Xét tính đơn ánh, toàn ánh Cho ma trận phần tử trường xác định ma trận chuyển vị cña n, 1 + x + x3 x A f B = [bij ] ∈ Mn (C), tháa m·n ®iỊu kiƯn bij bij = 0, ®ã bij liên hợp phức Cho ma trận Tìm bij T×m f −1 (B)  f (A) = AT , X = [xij ] ∈ Mn (C), tháa m·n ®iỊu kiƯn xij = nÕu i = j nÕu i 6= j f −1 (X) 5.2 Kh¸i niệm ánh xạ tuyến tính Bài Trong không gian vectơ thực R3 Các ánh xạ sau ánh xạ tuyến tính? f : R3 R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 − 2x3 , x2 + x1 , x1 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 g : R3 −→ R3 , xác định g(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x2 + x3 , 0), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN : R3 R3 , xác ®Þnh bëi ϕ(x1 , x2 , x3 ) = (1, x1 − x2 , x2 − x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : R3 R3 , xác định (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 + x2 , x2 + 2), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : R3 R3 , xác định λ(x1 , x2 , x3 ) = (x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Bµi Ký hiệu M2 (R) không gian vectơ thực gồm ma trận vuông cấp 2, phần tử thực Cho ¸nh x¹:  f f f f  a b : M2 (R) −→ R, x¸c ®Þnh bëi: f (A) = a + d, ∀A = c d ∈ M2 (R)   a b : M2 (R) R, xác định bởi: f (A) = det(A), ∀A = c d ∈ M2 (R)   a b : M2 (R) R, xác định bởi: f (A) = a2 + b2 , ∀A = c d ∈ M2 (R)   a b : M2 (R) M2 (R), xác định bởi: f (A) = AT , ∀A = c d ∈ M2 (R) C¸c ánh xạ ánh xạ ánh xạ tuyến tính? Vì sao? Bài Ký hiệu thực, có bậc R2 [x] không gian vectơ thực gồm ®a thøc mét Èn, hƯ sè tư ≤ Cho ánh xạ: : R2 [x] R2 [x], xác định bởi: (f (x)) = 2a2 x + a1 , ∀f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] ϕ : R2 [x] −→ R2 [x], xác định bởi: (f (x)) = (a2 + 2)x2 + (a1 + 1)x, ∀f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] ϕ : R2 [x] R2 [x], xác định bởi: (f (x)) = 0, ∀f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 R2 [x] Các ánh xạ ánh xạ ánh xạ tuyến tính? Vì sao? Bài Trong không gian vectơ thực R3 , cho ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh f : R3 −→ R3 Chøng minh: NÕu hƯ vect¬ vect¬ X = {x1 , x2 , x3 , , xn } phô thc tun tÝnh R3 , th× hƯ f (X) = {f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), , f (xn )} phô thuéc tuyÕn tÝnh R3 Nếu f đơn cấu X = {x1 , x2 , , xn } hệ vectơ độc lập tuyến tính R3 , hệ vectơ f (X) = {f (x1 ), f (x2 ), , f (xn )} ®éc lËp tun tÝnh R3 Ngun Qc Th¬ NÕu f H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN toàn cấu hệ vectơ X = {x1 , x2 , , xn } lµ hƯ sinh cđa R3 hệ vectơ f (X) = {f (x1 ), f (x2 ), , f (xn )} cịng hƯ sinh R3 Nếu f đẳng cấu hệ vect¬ X = {x1 , x2 , , xn } sở R3 hệ vectơ f (X) = {f (x1 ), f (x2 ), , f (xn )} cịng c¬ së cđa R3 Rn , Rm Ký hiệu Bài không gian vectơ thực R3 ánh xạ tuyến tính f : Rn Rm Chứng minh: f đơn cấu f biễn hệ độc lập tuyến tính Rn thành hệ độc Rm lập tuyến tính f toµn cÊu vµ chØ f biễn hệ sinh Rn Rm thành hệ hệ sinh 5.3 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Bài 10 Trong không gian vectơ thực R3 , cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 Gi¶ R3 Chøng minh r»ng: sư A, B TËp hỵp f (A) = {f (a)|∀a A} không gian vectơ R3 TËp hỵp f −1 (B) = {x ∈ R3 |f (x) B} không gian vectơ R3 Từ hai kết suy f đơn cấu f toàn cấu không gian vectơ Bài 11 Trong Ker(f ) = {R3 } Im(f ) = R3 R không gian véctơ R3 , cho phÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh f : R3 R3 thoả mÃn điều kiện Bài 12 Trong R3 R3 Im(f ) Ker(f ) không gian vcetơ R3 f = f Chøng minh r»ng Im(f ) ⊕ Ker(f ) = R3 R không gian véctơ  thoả mÃn điều kiện Chứng minh R3 , cho phép biến đổi tuyÕn tÝnh f1 + f2 = idV f1 f2 = f2 f1 = Im(f1 ) ⊕ Im(f2 ) = R3 Bài 13 Trong không gian vectơ thực R3 , cho c¬ së E = {e1 = (1, 2, 3), e2 = (2, 5, 3), e3 = (1, 0, 10)} ánh xạ tuyến tinh f : R3 R2 , xác định f (e1 ) = (1, 0), f (e2 ) = (1, 0), f (e3 ) = (0, 1) TÝnh f (1, 1, 1) TÝnh f (x), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f1 , f2 : NguyÔn Quèc Thơ Bài 14 Cho 10 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN E = {1, x, x2 } sở gồm đa thức ẩn, hệ số tử thực, có bậc R2 [x] không gian vectơ thực Cho phép biến đổi tuyến tính : R2 [x] −→ R2 [x], cho: ϕ(1) = + x, ϕ(x) = − x2 , ϕ(x2 ) = + 2x 3x2 Xác định biểu thức tọa độ Bài 15 Cho phép biÕn ®ỉi tun tinh f : R3 −→ R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Tìm số chiều sở Xét tính đẳng cấu Im(f ), Ker(f ) f 5.4 Ma trận ánh xạ tuyến tính Bài 16 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau sở tắc f : R2 −→ R2 f : R3 −→ R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 − x3 , 3x1 + x2 + 2x3 , 0) f : R2 −→ R4 xác định xác định Bài 17 Cho ánh x¹ tuyÕn tÝnh f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 ) f (x1 , x2 ) = (2x1 − x2 , x1 + x2 , 0, 7x1 − 2x2 ) f : R2 −→ R3 xác định bởi: f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − x2 , x2 ) f Tìm ma trận sở E = {e1 = (1, 2), e2 = (3, 4) cña R2 sở U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) R3 Bài 18 Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính sau sở chÝnh t¾c f : R2 −→ R4 f : R3 R4 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 2x2 , 3x2 + x3 , −x3 , x3 − x1 ) x¸c ®Þnh bëi f (x1 , x2 ) = (2x1 , x1 + x2 , x1 − 2x2 , x2 ) Bài 19 Cho phép biến đổi tuyến tinh f : R3 R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 T×m ma trËn f sở E = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, −2, 0)} Sư dơng ma trËn ë C©u 1) ®Ĩ tÝnh f (2, 2, 2) XÐt tÝnh đơn cấu toàn cấu f Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số TuyÕn TÝnh - KT vµ CN 11 −1 3 ma trận ánh xạ tuyến tÝnh f : R3 −→ R3 , Bµi 20 Cho A = E = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 0, 0)} cña R " Tìm toạ độ vectơ tắc sở # f (1, 1, 1), f (1, 1, 0) vµ f (1, 0, 0) (1, 1, 1), (1, 1, 0) (1, 0, 0) sở E Tìm toạ độ vectơ së f (1, 1, 1), f (1, 1, 0) vµ "f (1, 0, 0) # −1 lµ ma trËn cđa phÐp Bµi 21 Cho A = −2 ϕ : R2 [x] −→ R2 [x] sở E = {1, x, x2 }, E tính biến đổi tuyến tính e1 = 3x + 3x2 , e2 = −1 + 3x + 2x2 , e3 = + 7x + 2x2 Tìm tọa độ vectơ Xác định vectơ (e1 ), (e2 ), (e3 ) ®èi víi cí së E ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ) (1 + x2 ) Bài 22 Cho ánh x¹ tuyÕn tÝnh ϕ : R2 [x] −→ R4 [x] xác định (f (x)) = x2 f (x) Tìm ma trận cặp sở E, U R2 [x] R4 [x] tương ứng cña E = {e1 = + x2 , e2 = + 2x + 3x2 , e3 = + 5x + x2 } U = {u1 = 1,2 = x, u3 = x2, u4 = x3, u5 = x4} Dùng ma trận Câu để tính (3 + 5x 2x2) 5.5 Giá trị riêng vectơ riêng Bài 23 Cho phép biến đổi tuyến tinh f : R3 R3 , xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 , −2x1 +3x2 −x3 , 3x1 −2x2 +2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 T×m giá trị riêng vectơ riêng Tìm c¬ së W cđa f R3 , cho ma trận f Bài 24 Trong không gian vectơ thực W có dạng chéo? R3 , cho së E = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 2, 0)} ánh xạ f : R3 R3 , xác định f (x) = (2x1 + x2 + x3 , 3x1 + 2x2 + x3 , x1 + x2 + 2x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 f Chứng minh đẳng cấu tuyến tính Tìm ma trận f së E Ngun Qc Th¬ 12 H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Im(f ), Ker(f ) Từ suy tính đẳng cấu f Tìm Tìm giá trị riêng vectơ riêng Tìm së W cña f R3 , cho ma trËn f W có dạng chéo? 3 " f : R −→ #R , biÕt r»ng ®èi với sở tắc Bài 25 Cho ánh xạ tuyến tính 2 R f có ma trËn lµ A = −3 −1 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính Tìm Tìm giá trị riêng vectơ riêng Ker(f ) Từ suy f f đẳng cấu tuyến tính không? Vì sao? f 3 # R , biết sở tắc " f : R Bài 26 Cho ánh xạ tuyến tính R f có ma trận A = 2 −2 0 −1 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính Tìm Ker(f ) Từ suy f đẳng cấu tìm ánh xạ ngược f đẳng cấu tuyến tính không? Nếu f f Tìm giá trị riêng vectơ riêng f 3 " f : R #−→ R , biÕt sở tắc Bài 27 Cho ánh xạ tuyến tính 0 R f cã ma trËn lµ A = 1 0 Viết biểu thức toạ độ ánh xạ tuyến tính Tìm Tìm giá trị riêng vectơ riêng Tìm sở Ker(f ) Từ suy f U đẳng cấu tuyến tính không? Vì sao? f R3 , cho ma trËn cđa f Bµi 28 Trong không gian vectơ thực biến đổi tuyến tính cđa R2 f R2 , ®èi víi cho cã ma trận U có dạng chéo? (e) = {e1 , e2 } Giả  sử f là sở (e) A = phép TÝnh f (α1 ), f (α2 ), f (α3 ) ®ã α1 = −3e1 + 5e2 , α2 = e1 − 3e2 , α3 = 2e1 − 3e2 Bài 29 Trong không gian vectơ thực R3 , cho hệ vectơ E = {e1 = (2, 3, 4), e2 = (3, 5, 7), e3 = (4, 4, 6)}, U = {u1 = (−1, 1, −1), u2 = (1, −1, 0), u3 = (1, 0, 0, )}, c¸c tËp hỵp M = {a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 |a1 + 2a2 − 3a3 = 0} N = {b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 |b1 + b3 = 0} Ngun Qc Th¬ ánh xạ 13 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN f : R3 R3 , xác định f (x) = (2x1 , 2x1 + 2x2 + x3 , 2x1 + 2x2 + 3x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Chøng minh hÖ vectơ E Tìm toạ độ vectơ p = (2, 3, 4) sở E Tìm ma trận chuyển từ sở Giả sử vectơ với sở x R3 U R3 hai sở E qua sở có tọa độ sở U ngược lại U (1, 0, 2) Tìm tọa độ x đối E M, N Chứng minh Tìm sở số chiều Tìm Tìm ma trận Tìm giá trị riêng vectơ riêng 10 U không gian vectơ cđa M, N vµ R3 M ∩N Im(f ), Ker(f ) Từ suy tính đẳng cấu f Tìm sở W f së cña E f R3 , cho ma trËn f Bài 30 Trong không gian vectơ thực R3 W có dạng chéo? cho sở E = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, −2, 0)}, U = {u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, 2, 0), u3 = (0, 1, 1)}, tập hợp M = {a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 |a1 + 2a2 − 3a3 = 0}, N = {b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 |2b1 − b2 + 3b3 = 0} ánh xạ f : R3 R3 , xác định f (x) = (x1 , 2x1 + 3x2 , 4x1 + 5x2 + 6x3 ), ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 p = (2, −3, −4) ®èi víi sở E Tìm toạ độ vectơ Tìm ma trận chuyển từ sở Giả sử vect¬ víi c¬ së x ∈ R3 E qua c¬ sở U có tọa độ sở U ngược lại U (1, 0, 2) Tìm täa ®é cđa x ®èi E M, N Chøng minh Tìm sở số chiều Chøng minh T×m ma trËn cđa T×m sở f không gian vectơ M, N R3 M N đẳng cấu tuyến tính f W sở E R3 , cho ma trËn cđa f ®èi với W có dạng chéo? Nguyễn Quốc Thơ 14 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN VI Câu hỏi thảo luận Kiểm tra, giải thích phản biện lại khẳng định sau đây: Câu Cho ánh xạ f : X Y Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: xX Mỗi phần tử B Với C Nếu xX D Nếu f toàn ánh yY f (y) = (tập rỗng) E Nếu f song ánh yY f (y) * X F Nếu f song ánh f (X) = Y Câu có ảnh f (x) ∈ Y A x1 , x2 ∈ X, nÕu x1 = x2 Cho thì f (x1 ) = f (x2 ) f (x) ∈ Y f : X Y, g : Y Z ánh x¹ tÝch ϕ = g.f : X −→ Z KiĨm tra tính (sai) kết luận sau: A Nếu f, g B Nếu f song ánh C Nếu f đơn ánh D Nếu đơn ánh f không đơn ánh E Nếu toàn ánh g toàn ánh F Nếu song ánh f đơn ánh G Nếu song ánh f không đơn ánh H Nếu song ánh f Câu đơn ánh đơn ánh g g toàn ánh song ánh toàn ánh đơn ánh g toàn ánh g không toàn ánh song ánh Thiết lập công thøc t­êng minh B ChØ mét c¬ së cđa C Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính V Sử dụng công thức tuyến tính Câu song ánh Các phương pháp xây dựng ánh xạ tuyÕn tÝnh A C©u g f : V −→ W f : V W ? xác định ảnh sở qua ánh xạ f f Phương pháp tìm hạt nhân ( W cặp sở dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = dim(V ) để tìm số chiều ánh xạ Im(f ) ảnh số chiều Ker(f ) Ker(f )) ánh xạ tuyến tính f cách đưa giải hệ pttt Câu Cho ánh xạ V, W K không gian vectơ (vectơ không tương ứng f : V W Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: θV , θW ) Ngun Qc Th¬ 15 H­íng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN A f ánh xạ tuyÕn tÝnh nÕu f (a + b) = f (a) + f (b), ∀a, b ∈ V B f lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nÕu f (αa) = αf (a), K, a V D f ánh x¹ tuyÕn tÝnh nÕu: f (αa + βb) = αf (a) + βf (b), ∀α, β ∈ K, ∀a, b V E f Nếu ánh xạ tuyến tính th× f (αa + βb) = f (α)f (a) + f (β)f (b), ∀α, β ∈ K, ∀a, b ∈ V f (θV ) 6= θW NÕu f lµ ánh xạ tuyến tính G Nếu f đẳng cấu tuyến tính H Nếu f ánh xạ tuyến tính F Câu Cho V, W c¸c f (θV ) = θW f (−a) = f (a), a V K không gian vectơ tùy ý ánh xạ f : V W Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: A f đơn cấu B f toàn cấu C f đẳng cấu f đơn ánh toàn ánh D f đẳng cấu f ánh xạ tuyến tính Câu Cho V, W ánh xạ tuyến tính A B Nếu Nếu f đơn ánh f toàn ánh K B không gian vectơ W A V Với tập D Nếu tập hợp E Ker(f ) = f −1 (θV ) F Ker(f ) = {x ∈ V | f (x) = θW } A không gian V thì H Ker(f ) không gian vectơ V f : V W K không gian vectơ (vectơ không tương ứng Nếu V , W ) ánh xạ tuyến tính Kiểm tra tính (sai) cđa c¸c kÕt ln sau: A f −1 (B) không gian vectơ V f (A) kh«ng gian cđa W Ker(f ) = f −1 (W ) W f (A) f (A) không gian vectơ W G V, W θV , θW ) f : V −→ W KiÓm tra tính (sai) kết luận sau: A không gian vectơ V Cho song ánh không gian vectơ (vectơ không tương ứng C Câu f x Ker(f ) f (x) = θW Ngun Qc Th¬ 16 H­íng dÉn tù học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN B NÕu x ∈ V \Ker(f ) th× f (x) 6= θW C NÕu x∈V D NÕu y ∈ Im(f ) th× ∃x ∈ V E Hạng F Số khuyết mà f f W Ker(f ) H Nếu Câu 10 V cho f (x) = y Im(f ) Ker(f ) dim(Im(f )) = dim(W ) K không gian vectơ hữu hạn chiều (vectơ không ký hiệu V ) phép biÕn ®ỉi tun tÝnh f f (x) 6= θW số chiều đẳng cấu Cho sè chiỊu cđa G f x 6= θV f : V V Ký hiệu V tập hợp vectơ riêng Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: tương ứng với giá trị riêng xV A vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng , vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng , f tương ứng với giá trị riêng , f tương ứng với giá trị riêng , f (x) = λx x∈V B f (x) = λf (x) x∈V C x 6= θV f (x) = λx xV D x 6= V vectơ riêng cđa f (x) = λf (x) Víi mäi vect¬ E riêng F vectơ riêng x V , x 6= V vectơ riêng f tương ứng với giá trị V V G Víi mäi vect¬ H NÕu x ∈ Vλ x V vectơ riêng f tương ứng với giá trị riêng kx V , víi mäi k ∈ K HÕt!