Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 5

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Nghệ An - 2021 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính chương 5: Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Tiếp cận cido Tài liệu lưu hành nội Nghệ An - 2021 Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN I Tóm tắt lý thuyết 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa ánh xạ Cho V không gian vectơ n chiều trường số R Một : V ì V R gọi dạng song tuyến tính thỏa mÃn điều kiện sau: i) (x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y), ∀x1 , x2 , y ∈ V ϕ(αx, y) = αϕ(x, y), ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ V ii) iii) ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ), ∀x, y1 , y2 ∈ V iv) ϕ(x, βy) = βϕ(x, y), ∀β ∈ R, ∀x, y ∈ V 5.1.2 Ma trËn, h¹ng, biĨu thức tọa độ +) Ma trận dạng song tuyến tÝnh E = {e1 , e2 , , en } V +) Giả sử : V ì V R sở A = [aij ]n , ®ã aij = ϕ(ei , ej ) A = [aij ]n , lµ ma trận dạng song tuyến tính së E cđa V Khi ®ã rank(ϕ) = rank(A) +) Giả sử A = [aij ]n , ma trận dạng song tuyến tính sở E V Cho x, y ∈ V, gi¶ sư x = ϕ(x, y) = ϕ P n xi ei , i=1 ®ã n P n P xi ei i=1  yi ei = i=1 n P vµ y= n P yi ei Ta cã i=1 xi yj ϕ(ei , ej ) = i,j=1 cña n P xi yj aij = [x]T A[y], i,j=1 [x] [y] tương ứng ma trận tọa độ x y 5.2 Dạng toàn phương 5.2.1 Định nghĩa i) Dạng song tuyến tÝnh xøng nÕu ii) Cho ϕ : V × V R gọi đối (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ V ϕ : V × V R : V R, phương V xác định ứng với dạng song tuyến tính ®èi xøng ω(x) = ϕ(x, x), ∀x, y ∈ V Khi ánh xạ gọi dạng toàn gọi dạng cực Từ định nghĩa ta có: +) : V ì V R đối xứng ma trận mội sở V +) Mỗi ma trận đối xứng đối xứng ứng với dạng toàn phương Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN +) Mỗi dạng toàn phương có dạng cực xác định bởi: (x, y) = [(x + y) − ω(x) − ω(y)] 5.2.2 Ma trËn, hạng, biểu thức tọa độ +) Giả sử dạng toàn phương V dạng cực Khi ma trận (hạng) gọi ma trận (hạng) +) Giả sư n P A = [aij ]n , lµ ma trận sở E V Cho x ∈ V, gi¶ sư xi ei Ta cã x= i=1 ω(x) = ϕ(x, x) = n P aij xi xj = n P aij x2i + i=1 i,j=1 5.2.3 Dạng tắc dạng toàn phương Giả sử P aij xi xj 1i 0, ∀x 6= θV ω(x) < 0, ∀x 6= V Điều kiện cần đủ để dạng toàn phương tất hệ số dạng tắc dương xác định dương Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN II Câu hỏi ôn tập Câu Định nghĩa, ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính Câu Định nghĩa, ví dụ, ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng toàn phương Câu Phương pháp Lagrange đưa sạng toàn phương dạng tắc Luật quán tính phân loại dạng toàn phương III Các kỹ cần rèn luyện 3.1 Kiểm tra ánh xạ mootj dạng song tuyến tính Tìm ma trận hạng dạng song tuyến tính 3.2 Tìm dạng song tuyến cực tương ứng dạng toàn phương 3.3 Đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp Lagrange 3.4 Chứng minh dạng toàn phương xác đinh dương (âm, không xác định) IV Vận dụng 4.1 Hệ thống dạng toán phương pháp giải dạng toán cụ thể 4.2 Tự đọc thêm hiểu cá phân loại đường, mặt bậc V Bài tập ôn tập 5.1 Dạng song tuyến tính Bài Anh xạ f : R ì R R xác định f (x1 , x2 ) = x1 x2 có phải dạng song tuyến tính Bài Cho ánh xạ R không? Vì sao? f : R3 × R3 −→ R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) R3 , xác định bởi: f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 f (x, y) = −x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 Chøng minh Bµi Cho f f dạng song tuyến tính dạng song tuyến tính R3 R2 xác định f (x, y) = x1 y1 − x1 y2 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) R2 HÃy xác định ma trận f sở E = {e1 = (1, 2), e2 = (2, 1)} NguyÔn Quèc Thơ Bài Cho sở "R Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN E = {e1 = (1, −1, 2), e2 = (0, 1, −1), e3 = (3, −2, 1)} dạng song tuyến tính sơ có ma trận cở sở tắc −1 A = −1 2 Các dạng song tuyến tính có đối xứng? Tìm hạng R3 E = {e1 = (1, −1, 2), e2 = (0, 1, −1), e3 = (3, 2, 1)} sơ sở ϕ cã ma " trËn ®èi # víi cë së chÝnh"t¾c cđa R # 1 1 1 3 B X2 = C X3 = A X1 = 0 " # " # " # 0 0 1 0 1 0 0 D X4 = E X5 = F X6 = 1 1 0 0 ViÕt biĨu thøc täa ®é cđa ϕ sở E dạng song tuyến tính Các dạng song tuyến tính dạng đối xứng? Tìm hạng Xét tính đối xứng dạng song tuyến tính x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 f (x, y) = −x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 Cho d¹ng song tuyÕn tÝnh y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 f : R3 × R3 −→ R, xác định bởi: Bài là: # " Bài sở E Viết biểu thức tọa độ của R3 # Bài Cho f : R3 × R3 −→ R, x = (x1 , x2 , x3 ), xác định bëi: f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 f (x, y) = −x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 Ngun Qc Th¬ H­íng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở E = {e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 0)} Bµi 3 " f : R × R #−→ R, biÕt r»ng ma trËn cđa f Cho d¹ng song tun tÝnh ®èi víi −1 0 −2 vµ h : R3 R3 ánh xạ tuyến tính sở E đà chọn R # " −1 1 X©y dùng ánh xạ g : R3 ì R3 R, có ma trận sở E 3 xác định g(x, y) = f (x, h(y)), ∀x, y ∈ R Chøng minh g dạng song tuyến tính tìm ma trận g sở E 5.2 Dạng toàn phương Bài Cho dạng song tuyến tính y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 f : R3 × R3 −→ R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ), xác định bởi: f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + 2x1 y2 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 f (x, y) = x1 y1 + x2 y2 f (x, y) = −x1 y1 − x2 y2 x3 y3 a Dạng song tuyến tính đối xứng? HÃy tìm dạng toàn phương tương ứng b Dạng toàn phương vừa tìm Bài 10 Cho dạng toàn phương định Câu a xác định dương, xác định âm? : R3 ì R R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ω(x) = x21 + 5x22 − 4x23 + 2x1 x2 4x1 x3 Xác định dạng song tuyến tính đối xứng Bằng phương pháp Lagrange đưa Tìm hạng vè dạng tắc Bài 11 Cho dạng toanf phương định xác ω : R3 × R −→ R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ω(x) = x1 x2 + 4x1 x3 + x2 x3 Xác định dạng song tuyến tính đối xứng Bằng phương pháp Lagrange đưa Tìm hạng vè dạng tắc xác Nguyễn Quốc Thơ Bài 12 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Cho dạng toàn phương ω : R3 −→ R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) R3 , xác định bởi: ω(x) = 2x21 + x22 + 5x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = x21 + x22 + +4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = −2x21 − x22 − 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 ω(x) = 2x21 − x22 + 3x23 − 12x1 x2 + 2x2 x3 ω(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 a Xác định dạng song tuyến cực dạng toàn phương b Tìm hạng dạng toàn phương Bài 13 Cho dạng toàn phương trên : R3 R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , xác định (x) = 2x21 + x22 + 5x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = x21 + x22 + +4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = −2x21 − x22 − 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 ω(x) = 2x21 − x22 + 3x23 − 12x1 x2 + 2x2 x3 ω(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 X¸c định ma trận dạng toàn phương đối víi c¬ së E = {e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 0)} Bài 14 Cho dạng toàn phương : R3 R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , xác định (x) = 2x21 + x22 + 5x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = x21 + x22 + +4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = −2x21 − x22 − 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 ω(x) = 2x21 − x22 + 3x23 − 12x1 x2 + 2x2 x3 ω(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 Xác định hạng số quán tính dạng toàn phương Những dạng số những dạng toàn phương xác định dương? xác định âm? Bài 15 Cho dạng toàn phương : R3 −→ R, ∀x = (x1 , x2 , x3 ) R3 , xác định (x) = 2x21 + x22 + 5x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = x21 + x22 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 ω(x) = −2x21 − x22 − 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2x2 x3 Ngun Qc Th¬ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số TuyÕn TÝnh - KT vµ CN ω(x) = 2x21 − x22 + 3x23 − 12x1 x2 + 2x2 x3 ω(x) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 Dùng phương pháp Lagrăng đưa dạng toàn phương dạng tắc Bài 16 Tìm để dạng toàn phương sau xác định dương ω(x) = 6x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − x2 x3 ω(x) = 2x21 + x22 + x23 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 ω(x) = x21 + x22 + x23 − 2x1 x2 − 4λx1 x3 − 6x2 x3 ω(x) = 5x21 + x22 + λx23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 ω(x) = x21 + x22 + 5x23 − 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 VI Câu hỏi thảo luận Câu Cho V không gian vectơ thực ánh xạ ϕ : V × V −→ R, ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ V KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) kết luận sau: A dạng song tuyến tính đối xứng V B dạng song tuyến tính đối xứng V (x, y) = (y, x) dạng song tuyến tính (x, y) = (y, x) C dạng song tuyến tính đối xứng V D dạng song tuyến tính đối xứng (x, y) = (y, x) V dạng song tuyến tính V dạng song tuyến tính (x, y) = (y, x) E dạng song tuyến tính đối xứng (x, y) = (x) + ϕ(y) vµ ϕ(αx, βy) = αϕ(x) + βϕ(y) F Nếu G dạng song tuyến tính đối xứng ma trận V sở ma trận đối xứng Nếu ma trận dạng song tuyến tính ma trận đối xứng H sở V dạng song tuyến tính đối xứng Các ma trận dạng song tuyến tính sở khác V cã h¹ng b»ng K H¹ng cđa d¹ng song tun tính Câu Cho V phụ thuộc vào việc chọn sở V không gian vectơ thực hữu hạn chiều dạng toàn phương : V −→ R lµ mét V KiĨm tra tÝnh (sai) kết luận sau: Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tun TÝnh - KT vµ CN A Ma trËn cđa sở B Ma trận hai sở khác C Hạng D Các ma trận E Ma trận V ma trận đối xứng không khác sở khác V sở V Cho R3 không gian vectơ thực phương R3 tương ứng với dạng song tuyến cực Câu V không phụ thuộc vào việc chọn sở V có hạng khác ma trận đơn vị : R3 R dạng toàn : R3 × R3 −→ R KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) cđa kết luận sau: A Giả sử trận B A ma trận sở E sở E Giả sử biểu thức tọa độ R3 Khi A ma R3 sở E R3 (x) = λ1 x21 + λ2 x22 + λ3 x23 , ∀x "= (x1 , x2 , x# 3) ∈ R 0 λ1 λ2 Khi ®ã ma trận sở E P = λ3 0 C Gi¶ sư biĨu thøc tọa độ sở E R lµ ω(x) = λ1 x21 + λ2 x22 + λ3 x23 , ∀x "= (x1 , x2 , x# 3) ∈ R λ1 λ1 λ2 Khi ®ã ma trËn cđa ω ®èi víi sở E P = 3 D Mỗi dạng toàn phương có dạng song tuyến tính đối xứng , xác định bëi ϕ(x, y) = [ω(x + y) − ω(x) (y)], x, y R3 E Mỗi dạng toàn phương có dạng song tuyến tính đối xứng , xác định ϕ(x, y) = 2(ω(x + y) − ω(x) − ω(y)), ∀x, y ∈ R3 F Sè c¸c hƯ sè dương, hệ số âm hệ số không dạng tắc dạng toàn phương Câu Cho V không gian vectơ thực, trận chuyển từ sở tính sở không phụ thuộc vào việc chän c¬ së cđa E qua c¬ së E, U R3 hai sở V P ma U Giả sử : V ì V R dạng song tuyến V, A ma trận sở E U Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: B ma trận c¬ Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN A B = P T AP, ®ã P T B B = P −1 AP, ®ã P −1 C rank(A) = rank(B) D rank(A) = rank(B) = rank(ϕ) Câu Cho R3 ma trận chuyển vị P ma trận nghịch đảo P không gian vectơ thực (vectơ không ký hiệu R3 ) Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: A Dạng toàn phương : R3 R dạng toàn phương xác định x = R3 (x) = B Dạng toàn phương : R3 R dạng toàn phương xác định dương nÕu ω(x) > 0, ∀x ∈ R3 , x 6= R3 C Dạng toàn phương : R3 R dạng toàn phương xác định âm (x) < 0, ∀x ∈ R3 , x 6= θR3 D Mỗi dạng toàn phương đối xứng : R3 −→ R chØ cã nhÊt mét d¹ng song tuyÕn tính : R3 ì R3 R, xác ®Þnh bëi ϕ(x, y) = [ω(x + y) − ω(x) − ω(y)], ∀x, y ∈ R3 HÕt!