Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 3

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Nghệ An - 2021 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính chương 3: không gian vectơ Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Tiếp cËn cido Tµi liƯu l­u hµnh néi bé NghƯ An - 2021 Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN I Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ số tính chất đơn giản 1.1.2 Ví dụ không gian vectơ Ví dụ Cho n N Không gian vectơ thực Rn = {a = (a1 , a2 , , an ) | ∈ R, i = 1, n} VÝ dô Cho m, n N Không gian vectơ thực Mm×n (R) = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n} c¸c ma trận phần tử thực, cỡ m ì n; Ví dụ Cho n N Không gian vectơ thực Rn [x] = {f (x) = n X xi | ∈ R, deg(f (x)) ≤ n} i=0 c¸c ®a thøc mét Èn, hƯ sè thùc, bËc nhá h¬n n 1.2 Cơ sở - Số chiều không gian vectơ 1.2.1 Sự độc lập tuyến tính (đltt), phụ thuộc tuyến tính (pttt) không gian vectơ (vectơ không ký hiƯu lµ gåm θV ) vµ Cho S = {s1 , s2 , , sn } V K hệ n vectơ V +) Tổ hợp tuyến tính (thtt) hệ vectơ s1 + α2 s2 + · · · + αn sn = S vectơ x V cã d¹ng n P αi si , ∀αi ∈ K, i = 1, 2, , n i=1 +) Vectơ v V gọi biểu thị tuyến tính (bttt) qua hệ vectơ S tồn n P i K để cho v = β1 s1 + β2 s2 + · · · + βn sn = βi si , ∀i = 1, 2, n i=1 +) HƯ vect¬ S gọi hệ sinh V x V biểu thị tuyến tính qua S, tøc lµ ∃ki ∈ K, ∀i = 1, 2, , n cho x = k1 s1 + k2 s2 + · · · + kn sn = +) HƯ vect¬ S n P ki si i=1 gọi phụ thuộc tuyến tính (pttt) ki ∈ K, ∀i = 1, 2, , n không đồng thời cho k1 s1 + k2 s2 + · · · + kn sn = θV Ngun Qc Th¬ +) HƯ vect¬ S tính, tức là, Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN gọi độc lập tuyến tính (đltt) k1 s1 + k2 s2 + · · · + kn sn = θV S kh«ng phơ thc tun ki = 0, ∀i = 1, 2, , n 1.2.2 Một số tính chất đltt vµ pttt +) HƯ S = {s} chØ cã mét vectơ đltt s 6= V Do hệ S = {s} pttt +) HÖ s = θV S = {s1 , s2 , , sn } S pttt tồn vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ lại +) Cho S 0 S = {s1 , s2 , , sn } đltt v V Đặt S = {s1 , s2 , , sn , v} Khi ®ã pttt vectơ v biểu thị tuyến tính qua vectơ S biểu thị lµ suy nhÊt +) NÕu S chøa mét hƯ vectơ không S pttt S pttt S S pttt Do ®ã nÕu cã chøa +) Mọi hệ vectơ hệ đltt đltt 1.2.3 Cơ sở - Tọa độ Cho hệ K Hệ vectơ không gian vectơ vừa hệ sinh +) Cho V E gọi sở cho sở V E = {e1 , e2 , , en } sở cách biểu thị tuyến tính nhÊt qua c¬ së c¬ së E v ∈ V v = α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = n− sè (α1 , , , n ) gọi tọa độ vectơ v +) Cho n gồm có V vectơ E vừa đltt V E = {e1 , e2 , , en } i = 1, 2, , n E = {e1 , e2 , , en } V Khi ®ã n P αi e i i=1 sở Một vectơ i K, Do ®ã, bé E v∈V chØ cã mét E Vậy tọa độ vectơ v V +) Định lý tọa độ tổng hai vectơ tọa độ tích vô hướng +) Ma trận tọa độ hệ vectơ K không gian vect¬ V S = {s1 , s2 , , sm } sở gåm cã m− vect¬ E = {e1 , e2 , , en } cña V 1.2.4 Chiều không gian vectơ +) Định lý V gồm có Cho V K không gian vectơ, E = {e1 , e2 , , en } sở n vectơ Giả sử S = {s1 , s2 , , sm } hệ gồm có m vectơ V Khi m > n S pttt Nguyễn Quốc Thơ +) Hệ Giả sử không gian vectơ V mäi c¬ së cđa +) H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN V V gọi không gian vectơ hữu hạn chiều, tồn sở gồm có hữu hạn vectơ Số vectơ sở hữu V hạn tùy ý +) Cho có sở gồm hữu hạn vectơ Khi có số vectơ Định nghĩa Không gian vectơ V V gọi số chiều chiỊu, ký hiƯu V, ký hiƯu dimK (V ) hc dim(V ) K không gian vectơ Ta nói V K không gian vectơ vô hạn dimK (V ) = ∞ hc dim(V ) = ∞, nÕu V cã vô hạn vectơ, có nghĩa số nguyên d­¬ng hƯ gåm cã cã mét c¬ së gåm n tìm V n vectơ đltt 1.2.5 Hạng hệ vectơ hạng Cho hệ Định nghĩa hạng hệ vectơ số tính chất S = {s1 , s2 , , sm } gồm có m vectơ K không gian vect¬ V Ta cã: +) rank(S) = r ≤ m +) rank(S) = r = m ⇔ S ®ltt +) rank(S) = r < m ⇔ S pttt +) Gi¶ sử A ma trận tọa độ rank(S) = rank(A) V Từ suy ra, có số vectơ lớn +) Nếu S së E dim(V ) = n < ∞ cña V Khi hệ vectơ n pttt dim(V ) = n < ∞, th× mäi hƯ gåm cã n vectơ đltt V sở V 1.3 Ma trận chuyển së - PhÐp biÕn ®ỉi täa ®é 1.3.1 Ma trËn chun c¬  së Cho E = {e1 , e2 , , en } vµ U = {u1 , u2 , , un }  u1 = a11 e1 + a21 e2 + · · · + an1 en    u2 = a12 e1 + a22 e2 + · · · + an2 en hai sở V Giả sử  ··· ··· ··· ··· ··· ···   u = a e + a e + · · · + a e n 1n 2n nn n   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  Khi ®ã ma trËn A =  · · · · · · · à à à à à gọi ma trËn chun tõ c¬ së E an1 an2 · · à ann qua sở U Từ ta có: +) A không suy biến Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT vµ CN +) NÕu B +) NÕu A ma trận chuyển từ sở E từ sở U ma trận tọa độ qua sở U E, A = B T qua sở (chuyển vị) U Thì A1 ma trËn chun E 1.3.2 PhÐp biÕn ®ỉi täa ®é E = {e1 , e2 , , en }, U = {u1 , u2 , , un } hai Vvà x V Đặt: x1 x [x] = à Ã2à ma trận tọa độ x sở E x  n0  x1   x  [x ] =   lµ ma trận tọa độ x sở U · · · xn A = [aij ]n lµ ma trËn chun tõ c¬ së E qua c¬ së U së cđa Khi ®ã 0 [x] = A[x ] [x ] = A1 [x] 1.4 Không gian vectơ 1.4.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ toán V K V (gọi tắt không gian con) A với hai phép A không gian K không gian A K không gian vectơ V A +) Nếu A K Từ điịnh nghĩa nµy ta thÊy: +) NÕu V TËp (phÐp céng hai vectơ phép nhân với vô hướng) lập thành không gian vectơ vectơ 6= A V không gian vectơ V K không gian vectơ, V có hai không gian vectơ V {V } 1.4.2 Định lý (Tiêu chuẩn không gian vectơ con) vectơ Tập A không gian vectơ cña tháa m·n i) ∅ 6= A ⊆ V ii) iii) ∀a, b ∈ A th× a + b ∈ A ∀α ∈ K, ∀a ∈ A th× αa A V Cho V K không gian khi, ba điều kiện sau Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Sè Tun TÝnh - KT vµ CN 1.4.3 Tỉng - Giao không gian Định lý A, B Nếu P =AB không gian vectơ V Khi V không gian Định lý Nếu A, B K hai không gian hai không gian K không gian vectơ V Đặt M = A + B := {m = a + b | a ∈ A, b ∈ B} Khi M =A+B Không gian Nếu không gian M =A+B V gọi tổng không gian A B = {V } tổng A + B A B gọi tổng trực tiếp không gian A vµ B Ký hiƯu lµ: A ⊕ B Tỉng quát: +) Cho {Ai }iI họ không gian nP P V iI iI gọi tổng họ không gian Ai = +) NÕu | ∈ Ai , i I có hữu hạn Ai Aj = {V }, i 6= j K không gian vectơ V Khi 6= V o không gian {Ai }iI P Ai gọi tổng trực tiếp họ iI không gian {Ai }iI , ký hiệu là: Ai Định lý Cho A, B +) víi V = A+B i∈I lµ không gian vV K không gian vectơ V Khi đó: biểu diễn dạng v = a + b, a A, b ∈ B +) V = A⊕B d­íi d¹ng v V biểu diễn mét c¸ch nhÊt v = a + b, víi a A, b B Định lý i) Cho A không gian K không gian vectơ hữu hạn chiều V Khi dim(A) dim(V ) Dấu = xảy A = V ii) Cho A, B không gian K không gian vectơ hữu hạn chiỊu V Khi ®ã dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B) iii) Cho NÕu A, B không gian K không gian vectơ hữu hạn chiều V V =AB dim(V ) = dim(A) + dim(B) Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN 1.4.4 Không gian sinh hệ vectơ Cho V K không gian vectơ S = {s1 , s2 , , sm } hệ gồm n vectơ V §Ỉt L(S) = {α1 s1 + α2 s2 + · · · + αm sm | ∀αi ∈ K, i = 1, 2, , m} Khi ®ã L(S) không gian V dimK (L(S)) = rank(S) L(S) gọi không gian sinh S hiệu S Không gian gọi hƯ sinh cđa L(S) Ký L(S) =< S > 1.4.5 Không gian nghiệm hệ pttt Cho hƯ pttt thn nhÊt M cđa A[x] = [0], A = [aij ]mìn tập nghiệm hệ pttt Kn A[x] = [0] Khi M aij K Ký hiệu không gian dim(M ) = n − rank(A) Kh«ng gian Mỗi sở M M gọi không gian nghiệm hệ pttt gọi hệ nghiệm hệ pttt A[x] = [0] A[x] = [0] II Câu hỏi ôn tập Câu Xét pttt, đltt hệ vectơ Câu Chứng minh hệ vectơ hệ sinh, cở sở không gian Tọa độ vectơ sở, tính chất tọa độ Ma trận toạ độ hệ vectơ sở Câu Hạng hệ vectơ, mối liên hệ hạng hệ vectơ hạng ma trận toạ độ Ma trận chuyển sở phép biến đổi toạ độ Câu Không gian vectơ tính chất Giao, tổng tổng trực tiếp không gian vectơ Câu Cơ sở số chiều không gian vectơ sinh hệ vectơ không gian nghiệm hệ pttt III Kỹ cần rèn luyện 3.1 Nhận biết không gian vectơ Có phương pháp sau đây: 3.1.1 Sử dụng định nghĩa không gian vectơ (kiểm tra tiên đề) 3.1.2 Chứng minh V không gien vectơ không gien vectơ 3.1.3 Chứng minh V tập nghiƯm cđa hƯ pttt thn nhÊt 3.1.4 Chøng minh V ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN 3.2 Kiểm tra hệ vectơ phụ thuộc tun tÝnh (pttt) hay ®éc lËp tun tÝnh (®ltt) Sư dụng phương pháp sau: 3.2.1 Sử dụng định nghĩa đltt hay pttt 3.2.2 Đưa việc giải hệ phương trình tuyến tính Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường hệ vectơ pttt, trái lại hệ vectơ đltt 3.2.3 Chọn sở lập ma trận tọa độ hệ vectơ theo sở đà chọn Nếu hạng hệ vectơ hạng ma trận tọa độ hệ vectơ đltt, trái lại hệ vectơ pttt 3.2.4 Sử dụng tính chất không gian vectơ sau để chứng minh +) Trong không gian vectơ n chiều hệ gồm n + vectơ pttt +) Mọi hệ hệ đltt hệ ®ltt +) Mäi hƯ chøa hƯ pttt lµ hƯ pttt +) Mét ma trËn vu«ng kh«ng suy biÕn hệ vectơ hàng (hoặc cột) đltt 3.3 Tìm hệ sinh chứng minh hệ vectơ hệ sinh Ta dùng phương pháp sau: 3.3.1 Chỉ hệ vectơ chứng minh vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ 3.3.2 Chứng minh vectơ sở V biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ 3.4 Tìm sở không gian veectơ 3.4.1 V Sử dụng phương pháp sau: Chỉ hệ vectơ đltt chứng minh vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ (đưa giải hệ phương trình tuyếnh tính) 3.4.2 Chỉ hệ vectơ chứng minh vectơ V biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ (chứng minh hệ phương tr×nh tunh tÝnh cã nghiƯm nhÊt) 3.4.3 Sư dơng kết Định lý: Trong không gian vectơ n vectơ đltt sở 3.4.4 Chỉ hệ vectơ đltt cực đại V n chiều hƯ gåm Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN IV Vận dụng lý thuyết đà học Hệ thống dạng toán vận dụng phương pháp, công thức đà học để giải dạng toán cụ thể V Bài tập ôn tập 5.1 Khái niệm không gian vectơ Bài Chứng minh tập hợp sau không gian vectơ trường số thực R Tìm sở số chiều cđa nã TËp hỵp Rn = {a = (a1 , a2 , , an ) | ∈ R, i = 1, n}, víi phÐp to¸n: +) PhÐp céng: a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) +) Phép nhân với vô hướng: a + b = (λa1 , λa2 , , an ) Tập hợp Mmìn (R) = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n} c¸c ma trËn cì m ì n, phần tử thực, với phép toán cộng hai ma trận nhân số với ma trận TËp hỵp Mn (R) = {A = [aij ]n | aij ∈ R, i =, j = 1, n} ma trận vuông cấp n, phần tử thực, với phép toán cộng hai ma trận nhân số víi mét ma trËn TËp hỵp Rn [x] = {f (x) = n P xi | ∈ R, deg(f (x)) n} đa thức i=0 ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ n, với phép toán cộng hai đa thức nhân số với đa thức Bài Với phép toán cộng hai ma trận nhân số với ma trận, tập hợp không gian vectơ trường số thực R? Tập hợp ma trận đường chéo Tập hợp ma trận vuông với phần tử đường chéo không Tập hợp ma trận vuông có định thức không 5.2 Độc lập tuyến tính - Phơ thc tun tÝnh - HƯ sinh Bµi 3.1 Trong không gian vectơ thực tính vectơ R3 HÃy biểu diễn vectơ p thành tổ hợp tuyến x, y, t a p = (1, 2, 0), x = (1, 2, −3), y = (2, 5, −1), t = (0, 1, 2) b p = (0, 0, 0), x = (2, 3, 3), y = (4, 9, 1), t = (1, 3, −1) c p = (0, −2, 2), x = (2, 1, 4), y = (1, −1, −3), t = (3, 2, 5) Ngun Qc Th¬ H­íng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Trong không gian vectơ thực R3 HÃy xác định a để cho vectơ u tổ hợp tuyến tính vectơ lại a u = (9, 12, a), x = (3, 4, 2), y = (6, 8, 7) b u = (7, −2, a), x = (2, 3, 5), y = (3, 7, 8) c u = (4, −1, −3), x = (2, −3, a), y = (−1, 4, 2) d u = (1, 3, 5), x = (3, 2, 5), y = (2, 4, 7), z = (5, 6, a) e u = (5, 3, a), x = (1, 2, 3), y = (−1, 0, 1), z = (1, 2, 0) Bài Trong không gian vectơ thực R2 [x] = {f (x) = a0 + a1 x + a1 x2 | R} đa thức ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ 2, cho hƯ vect¬ P = {p1 = + x + 4x2 , p2 = − x − 3x2 , p3 = + 2x + 5x2 } Vect¬ tổ hợp tuyến tính hệ vect¬ a1 = + 9x + 5x2 a2 = + 6x2 Bài 5.1 Trong không gian vect¬ thùc P? a3 = + x + x a4 = R2 [x] = {f (x) = a0 + a1 x + a1 x2 | R} đa thức ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ b1 = + 2x2 , b2 = −1 + 6x + 3x2 , HÃy biểu diễn vectơ b3 = x + 2x2 , a4 = thành tổ hợp tuyến tính cđa hƯ vect¬ P = {p1 = + x + x2 , p2 = x + x2 , p3 = x2 }, Q = {q1 = + 2x, q2 = + x + 3x2 , q3 = x + 3x2 } Trong không gian vectơ thực vectơ R2 [x] HÃy biểu diễn vectơ p thành tổ hợp tuyến tính a, b, c a p = + 2x, a = + 2x − 3x2 , b = + 5x − x2 , c = + x + x2 b p = 0, a = + 2x + 3x2 , b = − 9x + x2 , c = + 3x x2 Bài 6.1 Trong không gian vectơ thực R3 , xét đltt pttt hƯ vect¬ sau: a A = {a1 = (1, 1, 0), a2 = (1, 0, 1), a3 = (1, −2, 0)}, b B = {b1 = (1, −3, 0), b2 = (3, −3, 1), b3 = (4, −9, 1)}, c E = {e1 = (1, −3, 2), e2 = (1, 2, 3), e3 = (2, −1, 5)}, d U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)}, để hệ vectơ A sau pttt không gian vectơ thực R3 1 1 1 A = {a1 = (λ, − , − ), a2 = (− , − , λ), a3 = (− , λ, − )} 2 2 2 Tìm Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 7.1 Trong không gian vectơ thực R2 [x], xét đltt pttt hệ vectơ sau: a A = {a1 = + 2x, a2 = + x2 , a3 = − 2x}, b B = {b1 = − 3x, b2 = − 3x + x2 , b3 = − 9x + x2 }, c E = {e1 = − 3x + 2x2 , e2 = + 2x + 3x2 , e3 = − 13x + 132 }, d U = {u1 = + x + x2 , u2 = x + x2 , u3 = x2 } để hệ vectơ A sau pttt không gian vectơ thực R2 [x] 1 1 1 A = {a1 = λ − x − x, a2 = − − x + λx2 , a3 = − + λx − x2 } 3 3 3 Bài Hệ vectơ hệ sinh không gian vectơ thực R ? Tìm A = {a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 2, 0), a3 = (3, 3, 0)}, B = {b1 = (2, −1, 3), b2 = (4, 1, 2), b3 = (8, −1, 8)}, E = {e1 = (1, 3, 3), e2 = (1, 3, 4), e3 = (1, 4, 3), e3 = (6, 2, 1)} F = {f1 = (1, −3, 2), f2 = (1, 2, 3), f3 = (2, −1, 5)}, G = {g1 = (2, 1, 3), g2 = (1, 2, 0), g3 = (0, 1, 3)}, Bài Hệ vectơ hệ sinh không gian vectơ thực R2 [x]? A = {a1 = + 2x, a2 = + x2 , a3 = − 2x}, B = {b1 = − 3x, b2 = − 3x + x2 , b3 = − 9x + x2 }, E = {e1 = − 3x + 2x2 , e2 = + 2x + 3x2 , e3 = − 13x + 132 } Bài 10 Trong không gian vectơ thực R3 tìm hạng hệ vectơ sau: A = {a1 = (0, 0, 0), a2 = (3, 2, 0), a3 = (1, 1, 1), a4 = (7, 8, 0)} U = {u1 = (1, 2, 1), u2 = (0, −1, 1), u3 = (0, 0, 2)} V = {v1 = (−1, 4, 8), u2 = (1, 3, 1), u3 = (−2, 8, 0), u4 = (1, 1, 1)} X = {x1 = (0, 0, 1), x2 = (1, 0, −1), x3 = (1, 3, 1)} 5.3 C¬ sở - Số chiều - Tọa độ Bài 11 Giải thích hệ vectơ sau sở không gian vectơ tương ứng A = {a1 = (1, 2), a2 = (3, 4), a3 = (5, 6)} ®èi víi R2 B = {b1 = (1, 2), b2 = (0, 0)} ®èi víi R2 C = {c1 = (1, 2, 3), c2 = (4, 5, 6)} ®èi víi R3 D = {d1 = + 2x + x2 , d2 = + 4x} ®èi víi R2 [x] Ngun Qc Th¬ 10 H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 12.1 Hệ vectơ sau hệ sở không gian vectơ thực độ vectơ x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ®èi với sở a E = {e1 = (1, −3, 2), e2 = (1, 2, 3), e3 = (2, −1, 5)}, b U = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)}, Tìm để hệ vectơ A B sau sở không gian vectơ thực a A = {a1 = (1, 2, 0), a2 = (1, 2, α), a3 = (2, 5, −1)} b B = {b1 = (0, −2, 4), b2 = (2, 3, 3), b3 = (, 9, 1)} Bài 13.1 Hệ vectơ sau sở không gian vectơ thực vectơ R3 Tìm tọa R2 [x] Tìm tọa ®é f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 R2 [x] sở a E = {e1 = − 3x + 2x2 , e2 = + 2x + 3x2 , e3 = − 13x + 132 }, b U = {u1 = + x + x2 , u2 = x + x2 , u3 = x2 } T×m R3 để hệ vectơ A B sau sở không gian vectơ thực a A = {a1 = + 2x, a2 = + 2x + αx2 , a3 = + 5x − x2 } b B = {b1 = − 2x + 4x2 , b2 = + 3x + 3x2 , b3 = α + x + 7x2 } Bài 14.1 Trong không gian vectơ thực R3 R2 [x] cho sở E = {e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, −2, 0)}, U = {u1 = (1, 2, 0), u2 = (2, 1, 3), u3 = (0, 1, 3)} a T×m ma trËn chun tõ c¬ së E qua c¬ së U b Giả sử tọa độ vectơ x R3 sở U với (1, 1, 1) Tìm tọa độ x đối E Bài 15.1 Trong không gian vectơ thực R2 [x] cho së E = {e1 = + x, e2 = + x2 , e3 = − 2x}, U = {u1 = + 2x, u2 = + x + 3x2 , u3 = x + 3x2 } a Tìm ma trận chuyển từ sở E qua sở U b Giả sử tọa độ vectơ f (x) ∈ R2 [x] ®èi víi U ®èi víi (1, 1, 1) Tìm tọa độ f (x) E Bài 16 Trong không gian vectơ thực R3 cho c¬ së E = {e1 , e2 , e3 } hệ vectơ U = {u1 = e1 + 2e2 + 3e3 , u2 = e2 + e3 , u3 = e1 + e2 } Chøng minh r»ng U sở R3 Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Tìm ma trận chuyển từ E Giả sử tọa độ vectơ x R3 sở U qua U 11 ngược lại (1, 2, 3) Tìm tọa ®é cđa vect¬ x ®èi víi c¬ së E Tìm tọa độ vectơ sở Bài 17 Trong không gian vectơ thực E R3 c¬ së cho c¬ së U E = {e1 , e2 , e3 } hệ vectơ U = {u1 = αe1 + e2 + e3 , u2 = e1 + αe2 + e3 , u3 = e1 + e2 + e3 } Tìm để U pttt R3 Víi α = −1, chøng minh U E qua sở U sở R3 tìm ma trận chuyển từ sở ngược lại Với = 1, biết vectơ x R3 tọa độ vectơ có tọa độ sở E (1, 0, 1) Tìm x ®èi víi c¬ së U Víi α = −1, biết vectơ y R3 có tọa độ sở U tọa độ vectơ là (0, 1, 1) Tìm x sở E 5.4 Không gian vectơ Bài 18 Trong không gian vectơ thực R3 , cho tập hợp A = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 − 3x2 + 2x3 = 0} B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 2x1 + x2 2x3 = 0} A, B không gian vectơ R3 Chứng minh Tìm sở số chiều không gian vectơ AB có phải không gian vectơ Bài 19 Trong không gian vectơ thực R3 A, B A B không? Vì sao? R3 , cho không gian vectơ A = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + 2x2 − x3 = 0} B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | −x1 + x2 − x3 = 0} Tìm sở số chiều không gian vectơ AB Vectơ có phải không gian vectơ R3 A, B A B không? Vì sao? x R3 biểu thị x = a + b, víi a ∈ A vµ b ∈ B cã không? Nguyễn Quốc Thơ 12 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 20 Cho không gian vectơ thực ma trận vuông cấp V = {A = [aij ]2 | aij ∈ R, ∀i, j = 1, 2} gồm 2, phần tử thực tập hợp M = {A = [aij ]2 ∈ V | aij = aji , ∀i, j = 1, 2}, N = {A = [aij ]n ∈ V | aij = −aji , ∀i, j = 1, 2} Chøng minh M Chøng minh V = M ⊕ N T×m mét sở số chiều Bài 21 N không gian vectơ V, M V N    a b Cho không gian vectơ thùc M2 (R) = c d | a, b, c, d R gồm ma trận vuông cấp hai, phần tử thực Tìm sở sè chiỊu cđa Chøng minh tËp hỵp M2 (R) H = {A ∈ M2 (R) | AX = XA, với X M2 (R)} M2 (R) Tìm cơsở số chiều   H   a b a b Cho tập hợp A = | a, b ∈ R vµ B = | a, b R không gian vectơ −b a a 2b a Chøng minh A vµ B không gian vectơ M2 (R) Tìm sở số chiều hai không gian vectơ b Đẳng thức M2 (R) = A B A B hay sai? Vì sao? Bài 22 Trong không gian vectơ thực R2 [x] cho tËp hỵp A = {f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] | a0 = 0} B = {f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] | P = 0} i=0 C = {f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] | a0 , a2 chia hÕt cho R2 [x] TËp hỵp không gian vectơ Tìm sở số chiều không gian vectơ Bài 23 Trong không gian vectơ thực vectơ R3 2} R3 , tìm sở số chiều không gian sinh hệ vectơ sau: U = {u1 = (1, −1, 2), u2 = (2, −1, 3), u3 = (−1, 5, −6)} V = {v1 = (2, 4, 1), a2 = (3, 6, −2), a3 = (−1, 2, − )} Ngun Qc Th¬ 13 H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Bài 24 Xác định sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tÝnh thuÇn nhÊt sau:  x1 − 3x2 + x3 =  2x1 − 6x2 + 2x3 =  3x1 − 9x2 + 2x3 = 0,  2x1 + 3x2 − x3 = 3x1 + x2 + x3 + x4 = 5x1 + x2 + x3 − x4 =   2x1 − 4x2 + x3 + x4 =     x1 − 5x2 + 2x3 = −2x2 − 2x3 − x4 =    x1 + 3x2 + x4 =    x − 2x2 − x3 + x4 = 0,  x1 + x2 + (a − 1)x3 = x + (a − 1)x2 + x3 = Bµi 25 Cho hƯ pttt thn nhÊt:  (a − 1)x1 + x2 + x3 = 0, Tìm a để hệ phương trình có nghiệm tầm thường (0, 0, 0)  x1 + 5x2 − x3 = 4x1 − x2 − x3 = Với a = 1, tìm sở không gian nghiệm hệ phương trình VI Câu hỏi thảo luận Kiểm tra, giải thích phản biện lại khẳng định sau đây: Câu Các phương pháp để nhận biết không gian vectơ? a Sử dụng định nghĩa không gian vectơ (kiểm tra tiên đề) b Chứng minh V không gian không gian vectơ đà biết c Chứng minh V tập nghiệm hệ pttt d Chứng minh V ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính Câu Các phương pháp kiểm tra hệ vectơ hệ pttt hay đltt? a Sử dụng định nghĩa pttt hay đltt b Đưa việc giải hệ pttt Nếu hệ pttt có nghiệm không tầm thường hệ vectơ pttt, trái lại hệ vectơ đltt c Chọn sở lập ma trận tọa độ hệ vectơ sở đà chọn Nếu hạng ma trận tọa độ số vectơ hệ hệ vectơ đltt, trái lại hệ pttt Câu Giải thích tính chất sau không gian vectơ: a Trong không gian vectơ n chiều hệ n + vectơ trở lên hệ pttt b Mọi hệ cđa hƯ ®ltt ®Ịu ®ltt c Mäi hƯ chøa hệ pttt pttt Nguyễn Quốc Thơ 14 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Câu Các phương pháp tìm sở không gian vectơ V : a Chỉ hệ vectơ đltt chứng minh vectơ V bttt qua hệ vectơ (đưa giải hệ phương trình tuyến tính) b Chỉ hệ vectơ chứng minh vectơ V bttt cách qua hệ vectơ c Sử dụng kết " Trong không gian vectơ n chiều hệ gồm n vectơ đltt sở" d Chỉ hệ vectơ đltt cực đại không gian V e Xuất phát từ hệ sinh V ta sở V Câu Các phương pháp tìm hệ sinh chứng minh hệ vectơ hệ sinh a Chỉ hệ vectơ chứng minh v V bttt qua hệ vectơ b Chứng minh vectơ sở E bttt qua hệ vectơ c Điều kiện cần đủ để sinh không gian vec tơ m V hàng ma trËn A cì m × n, víi E m≥n n− chiều rank(A) = n Câu Xét xem tập hợp trường hợp sau với phép cộng ma trận nhân số thực với ma trận thông thường có lập thành không gian vectơ thực không? a Tập hợp ma trận cỡ m ì n, phần tử thực b Tập hợp ma trận vuông cấp n đối xứng c Tập hợp ma trận vuông cấp n có đường chéo d Tập hợp ma trận đường chéo cấp n e Tập hợp ma trận vuông cấp n có định thức Câu Cho n N Xét không gian vectơ thực Rn [x] = {f (x) = n P xi | ∈ R, deg(f (x)) n} i=0 đa thức ẩn, hệ số thực, bậc nhỏ n a Tìm sở số chiều Rn [x] b Víi n = 3, hƯ vect¬ E = {1, x − a, (x − a)2 , (x − a)3 }, sở R3 [x]? với a R có phải Nguyễn Quốc Thơ 15 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Câu Cho m, n N Xét không gian vectơ thực Mmìn (R) = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n} m ì n ma trận phần tử thực, cỡ a Tìm sở số chiều Mmìn (R) b Với m = n = 2, tập  hợp     a b a X = −b a | a, b ∈ R vµ Y = a | a R có lập thành không gian vect¬ cđa M2 (R)? c NÕu X, Y cđa X không gian vectơ Y d Hệ vectơ E = Câu M2 (R) tìm sở số chiều S Cho      0 0 0 , ,  M2 (R)? có phải sở V hệ vectơ không gian vectơ Kiểm tra tính ®óng (sai) cđa c¸c kÕt ln sau: A NÕu S ®éc lËp tun tÝnh th× B NÕu S phơ thc tuyến tính C Nếu S sở S S không phụ thuộc tuyến tính S không ®éc lËp tun tÝnh phơ thc tun tÝnh vµ S hệ sinh D Không thể xảy trường hợp S võa ®éc lËp tun tÝnh võa phơ thc tun tính E Nếu S sở F sở qua Nếu S V V v V, v V không biểu thị qua S tồn vectơ không bttt S Câu 10 gồm Cho V K không gian vectơ S = {s1 , s2 , , sn } lµ hệ n vectơ V Kiểm tra tính (sai) kết luận sau: A Nếu S hệ sinh V vectơ B Nếu vectơ V tổ hợp tuyến tính cđa C S vµ chØ lµ hƯ sinh V V S bttt qua S S lµ hƯ sinh cđa ∀v ∈ V, ∃α1 , α2 , , αn ∈ K V cho v = α1 s1 + α2 s2 + · · · + αn sn D NÕu c¬ sở dim(V ) = n S độc lập tuyến tính V E Nếu S së cđa F NÕu dim(V ) = n th× S V dim(V ) = 2n sở V V S Nguyễn Quốc Thơ Câu 11 16 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN K Trong không gian vectơ V (vectơ không ký hiệu V ), cho sở S = {s1 , s2 , s3 } KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) cđa c¸c kÕt ln sau: A rank(S) = B HƯ vect¬ M = {s1 , s2 , s1 + s2 } sở V C Hệ vect¬ N = {s1 , s2 , s3 , s1 + s2 + s3 } ®éc lËp tuyÕn tÝnh V D HƯ vect¬ P = {s1 , θV , s2 , s3 } sở V E HƯ vect¬ Q = {s1 , 2s2 , 3s3 } sở V F V K không gian vectơ vô hạn chiều G Với v V Đặt U = {s1 , s2 , s3 , v} Khi rank(U ) = H Đặt J = {s1 , s2 , s3 , θV } Khi J Câu 12 Cho V cho hệ vectơ là sở V dim(V ) = K không gian vectơ, dimK (V ) = Gi¶ sư x, y, z, t ∈ V E = {x, y, z} ®ltt KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) kết luận sau: A Hệ vectơ (A) = {x, y, z, t} phô thuéc tuyÕn tÝnh V B Đặt U = {x, y, z, t} Khi rank(U ) = C Hệ vectơ E sở D Không gian vectơ V E Vectơ V sinh hệ vectơ không bttt qua F Mọi vectơ V V E E, V bttt qua ectơ không V E Câu 13 Trong không gian vectơ thực R3 , hệ vectơ sau sở R3 ? A M = {a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 2, −5), a3 = (1, −1, 1)} B N = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, −1), b3 = (−1, −2, 2), b4 = (1, 0, 0)} C P = {c1 = (2, 1, 1), c2 = (4, 2, 5), c3 = (0, 0, 0)} D Q = {d1 = (2, 1, 2), d2 = (3, 2, 3)} E K = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = 3e1 + e2 = (4, 3, 4)} F H = {f1 = (0, 1, 1), f2 = (4, 2, 5), f3 = −2f1 − 3f2 = (−12, −8, −17)} Ngun Qc Th¬ 17 Hướng dẫn tự học - Chương - Đại Số Tuyến Tính - KT CN Câu 14 Trong R không gian vectơ R3 cho hai sở E = {e1 , e2 , e3 }, U = {u1 = e1 + e2 + e3 , u2 = e2 + e3 , u3 = e3 } #E Ma trËn nµo sau ma trận chuyển từ sở qua c¬ së U ?" 0 1 1 0 1 A X1 = B X2 = C X3 = 0 0 " # " # " # 0 0 0 D X4 = 1 E X5 = F X6 = 0 1 1 0 0 Câu 15 Trong không gian vectơ thực R , hệ vectơ sau đltt, pttt, hƯ sinh, " c¬ së cđa # " # R3 ? A M = {a1 = (0, 1, 0), a2 = (3, 2, −5), a3 = (1, 0, 1)} B N = {b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 0, 1), b3 = (1, 2, 2), b4 = (1, 0, 0)} C P = {c1 = (0, 1, 1), c2 = (1, 2, 5), c3 = (0, 0, 0)} D Q = {d1 = (2, 1, 2), d2 = (3, 2, 3)} E K = {e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 0, 1), e3 = e1 + 2e2 = (3, 1, 3)} F H = {f1 = (1, 0, 1), f2 = (3, 4, 5), f3 = 2f1 + 3f2 = (11, 12, 17)} HÕt!