Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2

Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2 Hướng dẫn tự học đại số tuyến tính chương 2

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ Nghệ An - 2021 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Quốc Thơ Hướng dẫn tự học học phần: đại số tuyến tính chương 2: Hệ PT tuyến tính Nhóm ngành: Kỹ thuật Công nghệ TiÕp cËn cido Tµi liƯu l­u hµnh néi bé NghƯ An - 2021 Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT CN I Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 1.1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính (pttt): Dạng tổng quát, dạng ma trận 1.1.1 Định nghĩa nghiệm Định lý ®iỊu kiƯn cã nghiƯm cđa hƯ pttt 1.2 HƯ ph­¬ng trình tuyến tính Cramer 1.2.1 Định nghĩa hệ pttt Cramer Định lý Cramer công thức xác định nghiệm hƯ pttt Cramer (c«ng thøc Cramer): xj = det(Aj ) , det(A) j = 1, n 1.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 1.3.1 Giải hệ pttt phương pháp Cramer 1.3.2 Giải hệ pttt phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) +) Hệ hệ pttt tương đương, phép biến đổi tương đương hệ pttt tương đương với phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận bổ sung (ma trận mở réng) Tõ ®ã ta thÊy tËp nghiƯm cđa hƯ pttt không thay đổi ta dùng phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận bổ sung hệ +) Dùng phép biến đổi sơ cấp hàng ma trËn bỉ sung, ®­a ma trËn bỉ sung vỊ ma trËn bËc thang Chän Èn rµng buéc, Èn tù do, tõ ®ã viÕt nghiƯm cđa hƯ 1.3.3 VËn dụng định lý điều kiện có nghiệm hệ pttt, định lý Cramer để biện luận số nghiệm hệ pttt (tổng quát, Cramer nhất) 1.3.4 Tìm điều kiện tham số để hệ pttt vô nghiệm, có nghiệm vô số nghiệm Giả sử hệ pttt A[x] = [b] có ma trận hệ số A = [aij ]mìn ma trận bổ sung A ã Nếu rank(A) 6= rank(A) hệ vô nghiệm ã Nếu rank(A) = rank(A) = n hệ có nghiệm ã Nếu n r tham sè rank(A) = rank(A) = r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc Nguyễn Quốc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT vµ CN 1.4 HƯ phương trình tuyến tính 1.4.1 Hệ pttt nhÊt A[x] = [0], ®ã ma trËn hƯ sè A = [aij ]mìn có nghiệm ã Nếu rank(A) = n hệ có nghiệm nghiệm tầm thường ã Nếu rank(A) = r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n r tham sè 1.4.2 C¸c tÝnh chÊt nghiƯm cđa hƯ pttt 1.4.3 Hệ nghiệm 1.4.4 Mối liên hệ nghiệm hệ pptt tổng quát hệ pttt tương ứng II Câu hỏi ôn tập Câu Định nghĩa hệ pttt(dạng tổng quát dạng ma trận) Định lý điều kiện cần đủ để hệ pttt có nghiệm Định nghĩa hệ pttt Cramer Định lý Cramer Câu Giải hệ pttt hai phương pháp: Cramer Gauss Câu Hệ pttt thn nhÊt, tÝnh chÊt nghiƯm cđa hƯ pttt thn nhÊt, mối liên hệ nghiệm hệ pttt tổng quát hệ pttt tương ứng Nghiệm nghiệm tổng quát hệ pttt Câu Cho A = [aij ]n ma trận vuông cấp n Tìm điều kiện để hệ pttt A[x] = [0] có nghiệm tầm thương III Kỹ cần rèn luyện 3.1 Nhận biết hệ phương trình hệ pttt 3.2 Xác định hệ pttt có nghiệm hay vô nghiệm 3.3 Xác định hệ pttt hệ pttt Cramer áp dụng công thức Cramer 3.4 Giải biện luận hệ pttt phương pháp Cramer phương pháp Gauss 3.5 Tìm nghiệm hệ pttt IV Vận dụng 4.1 Giải dạng tập cụ thể 4.2 Vận dụng, ứng dụng công thức, phương pháp tính toán thực tiễn toán mô hình kinh tÕ, kü tht Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT CN V Bài tập ôn tập 5.1 Giải hệ phương trình phương pháp Cramer Bài Giải hệ phương trình sau cách dùng phương ph¸p Cramer  x1 − 2x2 = x1 + 5x2 = −3,  x1 − 6x2 = 5x1 − x2 = 3,  2x1 + x2 = −1 2x1 + 3x2 = Bµi Giải hệ phương trình sau cách dùng phương ph¸p Cramer  2x1 − x2 − x3 =  3x1 + 2x2 + x3 = 3x + 4x − 2x = 11  3x − 2x + 4x = 11,   x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 =    2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 =  3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 =   2x − 3x + 2x + x = −8  2x1 + 3x2 + x3 = 2x1  + x2 + 3x3 = 11  x2 − 3x3 + 4x4 = −5    x1 − 2x3 + 3x4 = −4  3x1 + 2x2 − x4 = 12   4x + 3x − 5x = Bài Giải hệ phương trình sau cách tìm ma trận nghịch đảo −3x1 + 2x2 = −6 3x1 + 4x2 = 2x1 − 7x2 = −1 2x1 + 4x2 = 1, 4x1 + 5x2 = 5, x1 + 3x2 = Bài Tìm ma trận X thỏa mÃn phương trình " # " #     1 −1 1 = 1 X X= , 1 −1 1 Bài 5.1 Tìm a để hệ phương trình sau nghiệm  ax1 + x2 + x3 = x1 − x2 + 2x3 = x + ax2 + x3 = 2x + ax2 + 3x3 = a b   x1 + x2 + ax3 = 3x1 + 3x2 + x3 = Xác định a để hệ pttt sau có nghiệm nhÊt   x1 − x2 + 2x3 = x1 − x2 + 2x3 = 2x + ax2 + 3x3 = x + 2x2 + 3x3 = a b   3x1 + 3x2 + x3 = x1 + 3x2 + ax3 = Xác định a để hệ pttt sau có nghiệm không tầm thường ax1 + 3x2 + x3 = x1 + x2 + (1 + a)x3 = 2x + x2 + x3 = x + (1 + a)x2 + x3 = a b   3x1 + 2x2 − 2x3 = (1 + a)x1 + x2 + x3 =  ax1 − bx2 + bx3 = −1 bx + ax2 − ax3 = Bµi Chứng minh hệ phương trình ax1 + bx2 + (1 − b)x3 = 2 cã nghiƯm víi ∀a, b ∈ R, a + b >  ax1 + bx2 + cx3 = 3 bx + cx2 + ax3 = Cho a +b +c = 3abc Chøng minh r»ng hÖ phương trình cx1 + ax2 + bx3 =  có nghiệm không tầm thường   Nguyễn Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT vµ CN 5.2 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss Bài Giải hệ phương trình sau x1 2x2 + x3 + x4 =      x1 − x2 + x3 − x4 =    x1 − x3 + 2x4 =  −x1 + 2x2 − 2x3 + 7x4 = −7   −2x − x = x = −3   x1 − x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =     2x1 + x2 + 4x3 + 2x4 + 2x5 = −x1 + 4x2 − 6x4 + x5 =    −2x1 − 4x2 − 4x3 − x4 + x5 = −3    2x1 + 4x2 + 4x3 + 7x4 − x5 = 2x1 + x2 − x3 + 2x4 =  x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = −2   x − 2x + 2x = 2 Bài Giải hệ phương trình sau Từ viết nghiệm hệ tương øng    x1 − x2 + x3 − x4 =     x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 =    x2 − x3 + x4 = −3  x1 + 3x2 − 3x4 =   −7x + 3x + x = −3,   x1 + x2 − 3x3 = −1    2x1 + x2 − 2x3 =  x1 + x2 + x3 =   x + 2x − 3x = 1, x1 − x3 + 2x4 =  −x1 + 2x2 − 2x3 + 7x4 = −7   2x − x − x = 3, 1  x1 + 3x2 − 3x4 =    x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4  x2 − x3 + x4 = −3   −7x + 3x + x = −3,    3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 =    x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 =   3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 =   3x1 + 4x2 + 5x3 + 7x4 = 0, x + 2x + 4x − 3x = 0, Bài Giải hệ phương trình sau, với ẩn x, y, z, t ∈ R  (1 + i)x + (1 + 2i)y + (1 + 3i)z + + (1 + 4i)t = + 5i (3 − i))x + (4 − 2i)y + (1 + i)z + 4it = − i Bài 10.1 Tìm đa thức f (x) có bậc nhỏ thỏa mÃn điều kiện: f (−1) = 3, f (1) = −3, f (1) = −3, f (2) (1) = 12, f (3) (1) = 42 Tìm đa thức f (x) cã bËc b»ng tháa m·n ®iỊu kiƯn: f (−1) = 0, f (1) = 4, f (2) = 3, f (3) = 16 Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT CN a để hệ phương trình sau ®©y  cã nghiƯm    −2x1 + x2 − 3x3 = −6 2x1 + 3x2 − x3 = Bài 11 Tìm x1 − x2 + x3 =  x1 + 2x2 + ax3 =   4x + x + x = x1 + 5x3 =  −3x1 + 2x2 − x3 = a   x + 3x = 2 5.2 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tÝnh a  x1 + 2x2 + ax3 = Bài 12 Giải biện luận hệ pttt sau theo tham sè  ax1 + x2 + x3 = 2x1 + ax2 + 3x3 = −1 x1 + 2x2 − 2x3 = 1,  x1 + ax2 − x3 = 2x − x2 + 3x3 = −1 2x + x2 + ax3 = a   −x1 + x2 − x3 = ax1 + 2x2 + x3 = a    2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 =    x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 2x1 − x2 + x3 + x4 =   4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 =   ax1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = 0; 2x − 3x + 3x + ax = 0,  1   x1 + x2 + x3 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 =         2x1 + 3x2 + 4x3 = 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 3x1 + 4x2 + 6x3 = 3x1 + 4x2 + ax3 + 5x4 = a       3x1 + 4x2 + (a + 4)x3 = a + x1 + x2 + x3 − 3x4 =       3x1 + 4x2 + 5x3 = 3x1 + 4x2 + 5x3 − 2x4 =  x1 + 2x2 + αx3 = 3x − x2 − αx3 = Bµi 13 Cho hƯ pttt  2x1 + x2 + 3x3 = Tìm để hệ pttt có nghiệm (vô nghiệm, v« sè nghiƯm) x + ax + x =  x + x2 + ax3 =  x1 + ax2 + 2x3 = a  a, b, c  ax1 + x2 + x3 = Bài 14 Giải biện ln c¸c hƯ pttt sau theo tham sè  ax1 + x2 + x3 = −2 x1 + bx2 + x3 = −2 x1 + x2 + cx3 = −2 x1 + bx2 + x3 = x1 + x2 + cx3 = Bài 15 Giải biện luận c¸c hƯ pttt sau theo tham sè a, b, c, d   2 x1 + ax2 + a x3 = x1 + ax2 + a x3 = a x + bx2 + b2 x3 = x1 + bx2 + b2 x3 = b3   x1 + cx2 + c2 x3 = x1 + cx2 + c2 x3 = c3   ax1 + bx2 = c x1 + x2 + x3 = cx + ax3 = b ax + bx2 + cx3 = d   21 cx1 + bx3 = a a x1 + b2 x2 + c2 x3 = d2   Ngun Qc Th¬ H­íng dÉn tù häc - Ch­¬ng - HƯ PT tun tÝnh - KT vµ CN VI Câu hỏi thảo luận Kiểm tra, giải thích phản biện lại khẳng định sau đây: Câu Hệ phương tình sau hệ pttt ®èi víi c¸c Èn x, y, z, t, k?   x + y − z + 3t − 2k = x − xy + z + 3t = −3x + 4y + z + 2t = 3k H2 :  −x + y + yz − 5k = 2x + 4xy + 5z + 2t − k =  3x + 2y + t − 2k = H4 : x − 3y + z + t = 2k + H3 : −3x − 2y + z = −t + 5k  2x + 3y + 5z − t − 3k = C©u Cho hƯ pttt A[x] = [b], ®ã A lµ ma trËn hƯ sè vµ A lµ ma trËn bỉ sung H1 : cđa hƯ NÕu C©u rank(A) < rank(A) hệ pttt có nghiệm Cho hệ pttt A[x] = [b], A ma trËn hƯ sè vµ A lµ ma trËn bỉ sung hệ Nếu hệ pttt có nghiệm rank(A) > rank(A) Câu Hệ pttt Cramer hệ pttt có số ẩn số phương trình Câu Hệ pttt Cramer có vô số nghiệm Câu Cho hƯ pttt A[x] = [b], ®ã A = [aij ]n suy biÕn Khi ®ã hƯ pttt Cho hệ pttt Câu ma trận vuông cấp n, không A[x] = [b] hệ pttt Cramer A[x] = [b], A = [aij ]n ma trận vuông cấp n rank(A) = n Khi hệ pttt A[x] = [b] luôn có nghiệm Câu Cho hƯ pttt A[x] = [0], ®ã A = [aij ]n suy biến Khi hệ pttt Câu ma trận vuông cấp n, không A[x] = [0] có vô số nghiệm Cho hệ pttt tổng quát A[x] = [b] hệ pttt tương ứng A[x] = [0] A[x] = [b] vô nghiệm hệ A[x]  = [0] cịng v« nghiƯm  3x + 5y − a − =    x − 4y + 3z = a2 − 25 C©u 10 Với a = hệ phương trình 2x + 4y + 5z =   −x + 7y = 9z + a − nhÊt ®èi víi ẩn x, y, z Nếu hệ Câu 11 Cho hệ pttt A[x] = [b], A hệ pttt ma trận vuông cấp n tùy ý Nếu det(A) 6= hệ pttt đà cho có nghiƯm C©u 12 Cho hƯ pttt A[x] = [b], A ma trận vuông cấp n tùy ý vµ A lµ ma trËn bỉ sung cđa hƯ NÕu A không suy biến rank(A) = rank(A) Nguyễn Quốc Thơ Câu 13 Hướng dẫn tự học - Chương - HƯ PT tun tÝnh - KT vµ CN Cho hƯ pttt tỉng qu¸t A[x] = [0] NÕu α, β hƯ A[x] = [b] hƯ sè thùc vµ hƯ pttt tương ứng nghiệm hệ A[x] = [b] u, v nghiệm A[x] = [0] Kiểm tra tính (sai) kÕt luËn sau: A α+β B u+v C α−β D au bv E + u nghiệm hệ A[x] = [b] Câu 14 nghiƯm cđa hƯ cịng lµ nghiƯm cđa hƯ lµ nghiƯm cđa hƯ A[x] = [b] A[x] = [0] A[x] = [0] cịng lµ nghiƯm cđa hƯ A[x] = [0], víi mäi a, b ∈ R KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) cđa c¸c kÕt ln sau: A HƯ pttt Cramer A[x] = [b] cã nghiÖm nhÊt B HÖ pttt Cramer A[x] = [0] có nghiệm khác không C Ma trận hÖ sè D NÕu hÖ pttt Cramer A[x] = [b] cã n Èn th× rank(A) = n E NÕu hƯ pttt Cramer A[x] = [0] cã n Èn th× rank(A) < n, A ma A hệ pttt Cramer A[x] = [b] ma trận khả nghịch trËn bỉ sung F NÕu hƯ pttt A[x] = [b], A = [aij ]n khả nghịch hệ pttt có n nghiệm  Câu 15 Cho hệ phương trình x + ay = ax + y = , víi a ∈ R KiĨm tra tÝnh ®óng (sai) cđa c¸c kÕt ln sau: A Víi mäi a R hệ đà cho hƯ pttt B Víi mäi a ∈ R th× hƯ ®· cho lµ hƯ pttt C Víi mäi a ∈ R hệ đà cho vô nghiệm D Với a = hệ có vô số nghiệm E Với a = hệ có vô số nghiệm F Với a 6= a 6= hệ ®· cho lµ hƯ pttt Cramer HÕt!