Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật

Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật Bài giảng đại số tuyến tính dành cho sinh viên nhóm ngành kỹ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TS THIỀU ĐÌNH PHONG (chủ biên), TS MAI VĂN TƯ, TS NGUYỄN QUỐC THƠ, TS ĐÀO THỊ THANH HÀ BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TIẾP CẬN CDIO DÀNH CHO SINH VIÊN NHÓM NGÀNH TỰ NHIÊN - KỸ THUẬT Tài liệu lưu hành nội Nghệ An – 2017 MỤC LỤC THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN LỜI NÓI ĐẦU MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu chương 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm ma trận 1.1.2 Các ma trận đặc biệt 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Ma trận bậc thang 1.2 Định thức 1.2.1 Khái niệm định thức 1.2.2 Các tính chất định thức 1.2.3 Khai triển định thức 1.2.4 Tính định thức phương pháp biến đổi sơ cấp 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 1.3.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo 1.3.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo 1.3.4 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1.3.5 Ứng dụng ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận 1.4.1 Khái niệm hạng ma trận 1.4.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập 8 9 10 14 16 16 19 21 21 23 23 23 24 24 26 26 26 27 30 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu chương 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 2.1.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 2.1.2 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính tổng qt 2.1.3 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 2.1.4 Hệ phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương 2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 2.2.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính Cramer 38 38 39 39 40 40 41 42 42 2.2.2 Công thức nghiệm Cramer 2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính biến đổi sơ cấp 2.3.1 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính 2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 2.3.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính 2.4 Hệ phương trình tuyến tính 2.4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 2.4.2 Hệ nghiệm 2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2.4.4 Liên hệ định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận hệ phương trình tuyến tính Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập 42 43 43 44 47 48 48 49 49 KHÔNG GIAN VECTƠ Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu chương 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.1.1 Các khái niệm 3.1.2 Một số ví dụ 3.1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian vectơ 3.2 Cơ sở số chiều 3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 3.2.2 Hệ sinh 3.2.3 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.2.4 Cơ sở 3.2.5 Số chiều 3.2.6 Tọa độ vectơ sở 3.2.7 Ma trận tọa độ hệ vectơ sở 3.2.8 Đổi sở phép biến đổi tọa độ 3.3 Không gian vectơ 3.3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.3.2 Giao tổng không gian vectơ 3.3.3 Không gian sinh hệ vectơ 3.3.4 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập 57 57 58 58 59 60 61 61 62 62 64 64 65 66 67 68 68 69 70 50 52 71 72 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 83 Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu chương 83 4.1 Ánh xạ 4.1.1 Khái niệm ánh xạ 4.1.2 Ảnh tạo ảnh toàn phần tập hợp 4.1.3 Hợp thành hai ánh xạ 4.1.4 Các loại ánh xạ 84 84 84 85 85 4.2 Ánh xạ tuyến tính 4.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 4.2.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 4.2.3 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 4.2.4 Các tính chất ánh xạ tuyến tính 4.2.5 Sự xác định ánh xạ tuyến tính 4.2.6 Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính 4.2.7 Cơng thức số chiều ánh xạ tuyến tính 4.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 4.3.1 Định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính 4.3.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính qua ma trận 4.4 Giá trị riêng vectơ riêng 4.4.1 Định nghĩa giá trị riêng vectơ riêng 4.4.2 Bài tốn tìm giá trị riêng vectơ riêng Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID Giới thiệu, mục tiêu, chuẩn đầu chương 5.1 Dạng song tuyến tính 5.1.1 Định nghĩa 5.1.2 Ma trận, hạng biểu thức tọa độ dạng song tuyến 5.2 Dạng toàn phương 5.2.1 Định nghĩa ví dụ 5.2.2 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ dạng tồn phương 5.2.3 Dạng tắc dạng toàn phương 5.2.4 Phương pháp Lagrange 5.2.5 Dạng toàn phương xác định 5.2.6 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 5.3 Không gian vectơ Euclid 5.3.1 Tích vơ hướng, không gian vectơ Euclid 5.3.2 Chuẩn (hay môđun) vectơ 5.3.3 Góc hai vectơ khơng gian vectơ Euclid 5.3.4 Vectơ trực giao 5.3.5 Định lý Pythagore không gian vectơ Euclid 5.3.6 Cơ sở trực giao, trực chuẩn 5.3.7 Không gian bù trực giao 5.4 Chéo hóa trực giao 5.4.1 Ma trận trực giao 5.4.2 Chéo hóa trực giao 5.5 Đường mặt bậc hai 5.5.1 Đường bậc hai mặt phẳng Euclid 5.5.2 Một số đường bậc hai 5.5.3 Phân loại đường bậc hai 5.6 Mặt bậc hai không gian Euclid 5.6.1 Phương trình tổng quát 87 87 87 87 88 89 90 93 93 93 94 95 95 97 99 110 110 111 111 tính112 112 112 113 114 114 117 118 119 119 120 121 122 122 122 125 125 125 127 131 131 132 133 137 137 5.6.2 Phân loại mặt bậc hai 138 Tóm tắt, Vấn đề thảo luận, Bài tập 142 A THỰC HÀNH TÍNH TỐN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRÊN MÁY TÍNH 146 A.1 Sơ lược Maple 146 A.1.1 Cụm xử lý 146 A.1.2 Lệnh Maple 146 A.1.3 Kết Maple 147 A.2 Một vài lệnh Toán học Phổ thông 147 A.2.1 Tính giai thừa 147 A.2.2 Tìm ước số chung lớn 148 A.2.3 Tìm bội số chung nhỏ 148 A.2.4 Phân tích thành thừa số nguyên tố 148 A.2.5 Tìm nghiệm nguyên phương trình 148 A.2.6 Tìm thương dư (quotient and remainder) 149 A.3 Thực hành tính tốn Đại số tuyến tính Maple 150 A.3.1 Các phép toán vectơ ma trận 150 A.3.2 Tính giá trị riêng vectơ riêng ma trận 154 A.3.3 Tính hạng, tính định thức tính ma trận nghịch đảo 155 A.3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính 156 A.3.5 Tìm sở khơng gian vectơ 158 B MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN VÀ CÔNG CỤ ONLINE SỬ DỤNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 161 B.1 Một số ứng dụng thực tiễn Đại số tuyến tính 161 B.1.1 Ứng dụng Mật mã B.1.2 Ứng dụng Di truyền học B.1.3 Ứng dụng Lý thuyết đồ thị B.1.4 Ứng dụng Hình học B.1.5 Ứng dụng Hóa học B.1.6 Ứng dụng Lý thuyết mã B.1.7 Ứng dụng Dao động điều hòa B.1.8 Ứng dụng Nén ảnh B.1.9 Ứng dụng Mạng lưới B.1.10 Ứng dụng Nhận diện khuôn mặt B.2 Một số công cụ online sử dụng Đại số tuyến tính 161 163 164 169 172 174 178 183 189 191 195 TÀI LIỆU THAM KHẢO 197 THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN Tên học phần: Đại số tuyến tính – Nhóm ngành Tự nhiên Kỹ thuật (Linear algebra) Mã số học phần: Thuộc khối kiến thức/kỹ năng: Kiến thức Số tín chỉ: 03 Môn học tiên quyết: Môn học song hành: LỜI NĨI ĐẦU Đại số tuyến tính gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến tính Để nghiên cứu sâu sắc cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính Đại số tuyến tính ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác từ Toán học Cơ học, Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế Vì vậy, trở thành mơn học sở cho việc đào tạo cử nhân, kỹ sư thuộc ngành khoa học tự nhiên, công nghệ, kỹ thuật kinh tế tất trường đại học giới Bài giảng nhằm cung cấp kiến thức Đại số tuyến tính về: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, khơng gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, vectơ riêng giá trị riêng, dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, chéo hóa ma trận Đồng thời giúp sinh viên rèn luyện kỹ tính tốn liên quan tới Đại số tuyến tính giúp sinh viên có khả tự đọc tài liệu theo hướng dẫn gợi ý giáo viên kỹ làm việc nhóm, giao tiếp thuyết trình, giải thích vần đề nhóm trước lớp Nội dung Bài giảng chia thành chương chương phụ lục dành cho tự đọc Chương 1, trình bày kiến thức ma trận định thức, đồng thời tập trung rèn luyện kỹ năng: nhân ma trận, tính định thức, thực hành phép biến đổi sơ cấp ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng ma trận Chương cung cấp kiến thức hệ phương trình tuyến tính, phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính phép biến đổi sơ cấp, hệ phương trình tuyến tính nhất, đồng thời giúp người học có kĩ phân tích, giải thích lập luận để giải toán giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Nội dung Chương trình bày kiến thức khơng gian vectơ, khơng gian vectơ tính chất độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ Đồng thời giúp người học rèn luyện kĩ phân tích, giải thích lập luận để giải tốn khơng gian vectơ; kiểm tra tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ; tìm sở số chiều không gian vectơ Chương tập trung kiến thức ánh xạ, ánh xạ tuyến tính, ảnh, hạt nhân, ma trận ánh xạ tuyến tính, vectơ riêng, giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính kĩ giải tốn chứng minh ánh xạ tuyến tính, tìm ảnh hạt nhân ma trận ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, tồn cấu ánh xạ tuyến tính, tìm giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính Trong Chương 5, chúng tơi trình bày kiến thức dạng song tuyến tính, dạng tồn phương, khơng gian vectơ Euclid, chéo hóa ma trận phân loại đường, mặt bậc hai tập trung vào kĩ giải toán dạng song tuyến tính, dạng tồn phương Nội dung phần phụ lục kiến thức kĩ mở đầu sử dụng phần mềm Maple cơng cụ online tính tốn Đại số máy tính, ngồi cịn có ví dụ ứng dụng thực tiễn ngành tự nhiên kỹ thuật để người học hiểu vai trị mơn học mối liên hệ kiến thức giảng với thực tiễn Các khái niệm, kiến thức giảng tổng hợp từ tài liệu tham khảo dựa kinh nghiệm giảng dạy nhóm tác giả để từ trình bày, hồn thiện giảng phù hợp với chương trình đào tạo tiếp cận CDIO triển khai Trường Đại học Vinh Trong đó, số nội dung Chương Phụ lục A chúng tơi trích dẫn từ tài liệu [2] Với khối lượng kiến thức nhiều thời lượng trình bày cịn hạn chế, chắn Bài giảng khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong muốn nhận ý kiến bổ sung, góp ý từ nhà khoa học, thầy cô giáo bạn sinh viên để giảng hoàn thiện Nghệ An, tháng 08 năm 2017 Các tác giả CHƯƠNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC GIỚI THIỆU Ma trận khái niệm sở xuyên suốt Đại số tuyến tính, có mặt khắp nơi, toán học ngành khoa học khác Mặc dù nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt biết đến từ hàng trăm năm thực tế lý thuyết ma trận đời từ đầu kỷ 19 Các ma trận vuông xuất đầu kỷ 19 cơng trình dạng tồn phương hay phép tuyến tính Phép nhân hai ma trận vng cấp Gauss đưa vào năm 1801 Tên gọi ma trận nhà toán học Anh Sylvester đưa năm 1850 Cayley người mô tả cách tổng quát phép tính với ma trận ma trận nghịch đảo (1858) Ma trận định thức ngày liền với ta hay nhầm tưởng khái niệm định thức phải đời sau khái niệm ma trận, thực ngược lại Định thức hình thành nhằm để giải hệ phương trình tuyến tính mà việc làm có lịch sử lâu đời trước Khái niệm định thức lần Leibniz (Lépnít) đưa vào năm 1693 bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính Định thức tiếp tục phát triển nghiên cứu qua cơng trình Cramer (Thụy sĩ), Vandermonde (Hà Lan), Laplace (Pháp), Jacobi (Đức) Người nghiên cứu khái niệm định thức cách hệ thống Cauchy (Cô-si) (Pháp) MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Chương nhằm giúp sinh viên nắm kiến thức ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng ma trận, đồng thời có kĩ phân tích, giải thích lập luận để giải tốn ma trận, định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng ma trận CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG Trình bày khái niệm: ma trận, định thức, hạng ma trận, ma trận nghịch đảo; nêu số dạng ma trận đặc biệt, nêu phép biến đổi sơ cấp ma trận quy tắc thực phép toán ma trận Thực phép toán ma trận, tính định thức, phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm ma trận nghịch đảo Trong giảng này, ta ký hiệu K tập số thực số phức (K = R K = C) 1.1 1.1.1 Ma trận Khái niệm ma trận Định nghĩa 1.1.1 Cho m, n ∈ N∗ Một ma trận cấp m × n K bảng số có dạng: a11 a12  a21 a22  A = am1 am2 a1 n a2 n   am n m×n  gồm m.n phần tử aij ∈ K, i = 1; m, j = 1; n xếp thành m hàng n cột • Phần tử aij nằm hàng thứ i cột thứ j A Ta gọi i số hàng j số cột • Ma trận A viết đơn giản dạng A = [aij ]mìn ã Hai ma trn cựng cp A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n gọi aij = bij với ∀i = 1; m, j = 1; n • Ma trận cấp n × n (số hàng = số cột) gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử a11 , a22 , , ann gọi phần tử nằm đường chéo ma trận vng A cấp n 1.1.2 Các ma trận đặc biệt Ma trận hàng ma trận có hàng (ma trận cấp × n) Ma trận cột ma trận có cột (ma trận cấp m × 1) Ma trận khơng ma trận cấp m × n gồm mn số 0, ký hiệu Om×n Ma trận đơn vị cấp n ma trận vng A cấp n có phần tử nằm đường chéo nằm ngồi đường chéo   0 0 In =   0 = − −