Thông tin tài liệu
Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ mơn Tốn Ứng dụng Bài Giảng Đại Số Tuyến Tính TS Đặng Văn Vinh E-mail: dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh Ngày 14 tháng năm 2013 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mục tiêu môn học Môn học cung cấp kiến thức đại số tuyến tính Sinh viên cần nắm vững kiến thức tảng biết giải toán bản: số phức, tính định thức, làm việc với ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véc tơ, khơng gian euclide, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng - véc tơ riêng, đưa dạng toàn phương dạng tắc Tài liệu tham khảo 1) Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia 2) Đỗ Cơng Khanh Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia 3) Trần Lưu Cường Đại số tuyến tính.NXB Đại học quốc gia Ghi chú: Tài liệu tóm tắc lại giảng Thầy Đặng Văn Vinh Để hiểu tốt, em cần học lớp lý thuyết tập Sinh viên tạo tài khoảng website www.tanbachkhoa.edu.vn/dangvanvinh , làm thêm tập trắc nghiệm Vì nội dung soạn lại nên khơng thể tránh sai sót Mọi góp ý, sinh viên liên hệ diễn đàn website qua mail: nguyenhuuhiep47@gmail.com CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mục lục 0.1 0.2 Ma 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức trận Các khái niệm Các phép biến đổi sơ cấp Các phép toán ma trận Hạng ma trận Ma trận nghịch đảo 11 11 13 14 15 16 Định thức 18 2.1 Định nghĩa định thức ví dụ 18 2.2 Tính chất định thức 19 2.3 Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp định thức 21 Hệ phương trình 23 3.1 Hệ Cramer 25 3.2 Hệ 26 Không gian véc tơ 4.1 Định nghĩa ví dụ 4.2 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính 4.3 Hạng họ véc tơ 4.4 Cơ sở số chiều 4.5 Tọa độ véc tơ 4.6 Ma trận chuyển sở 4.7 Không gian 4.8 Tổng giao hai không gian Khơng gian Euclide 5.1 Tích vơ hướng véc tơ 5.2 Bù vuông góc khơng gian 5.3 Q trình Gram-Schmidt 5.4 Hình chiếu vng góc 28 28 29 31 33 36 37 38 41 44 44 47 49 50 Ánh xạ tuyến tính 52 6.1 Định nghĩa ví dụ 52 6.2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 54 6.3 Ma trận ánh xạ tuyến tính 55 Trị 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 riêng - véc tơ riêng Trị riêng - véc tơ riêng Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Trị riêng - véc tơ riêng ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ánh xạ tuyến tính CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 60 60 63 65 67 69 ĐHBK TPHCM Dạng toàn phương 72 8.1 Định nghĩa 72 8.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 73 8.3 Phân loại dạng toàn phương 75 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang https://fb.com/tailieudientucntt Số phức Nội dung 0.1 1) Dạng đại số số phức 4) Nâng số phức lên lũy thừa 2) Dạng lượng giác số phức 5) Khai số phức 3) Dạng mũ số phức 6) Định lý đại số Dạng đại số số phức Định nghĩa 0.1 i) Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i2 = −1 ii) Cho a, b số thực, i đơn vị ảo Khi z = a + bi gọi số phức Số thực a := Re(z) gọi phần thực số phức z Số thực b := Im(z) gọi phần ảo số phức z iii) Tập tất số phức dạng z = + ib, b ∈ R \ {0} gọi số ảo Ví dụ 0.1 i, −2i, 3i số ảo Tập hợp số thực tập hợp tập hợp số phức, vì: ∀a ∈ R : a = a + 0.i số phức Định nghĩa 0.2 số phức phần thực phần ảo tương ứng a1 = b1 , a2 = b2 a1 + ib1 = a2 + ib2 ⇐⇒ Ví dụ 0.2 cho z1 = + 3i, z2 = m + 3i Tìm m để z1 = z2 z1 = z2 ⇐⇒ = m, = Phép cộng trừ số phức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ví dụ 0.3 Tìm phần thực ảo z = (3 + 5i) + (2 − 3i) z = (3 + 5i) + (2 − 3i) = (3 + 2) + (5 − 3)i = + 2i =⇒ Re(z) = 5, Im(z) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 0.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Phép nhân số phức (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ví dụ 0.4 Tìm dạng đại số z = (2 + 5i)(3 + 2i) z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 5i.3 + 5i.2i = + 4i + 15i + 10i2 = + 10(−1) + 19i = −4 + 19i Ghi Khi cộng(trừ) số phức, ta cộng(trừ) phần thực phần ảo tương ứng Khi nhân số phức, ta thực giống nhân biểu thức đại số với ý i2 = −1 Số phức liên hợp Số phức z¯ = a − bi gọi liên hợp số phức z = a + bi Ví dụ 0.5 Tìm số phức liên hợp z = (2 + 3i)(4 − 2i) Ta có z = (2 + 3i)(4 − 2i) = 2.4 − 2.2i + 3i.4 − 3i.2i = − 4i + 12i + = 14 + 8i =⇒ z¯ = 14 − 8i Tính chất cho số phức z, w 1) z + z¯ ∈ R 5) z.w = z.w 2) z.¯ z∈R 6) z = z 3) z = z¯ ⇐⇒ z ∈ R 4) z + w = z + w 7) z n = z n , ∀n ∈ N Chia số phức a1 a2 + b1 b2 z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 − ib2 ) b1 a2 − a2 b1 = = +i = 2 z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 − ib2 ) a2 + b2 a22 + b22 Ta nhân liên tử mẫu cho liên hợp mẫu Ví dụ 0.6 Thực phép toán z = + 2i 5−i Nhân tử mẫu cho + i, ta 15 + 3i + 10i − 13 + 13i 1 (3 + 2i)(5 + i) = = = + i z= (5 − i)(5 + i) 25 + 26 2 Chú ý: so sánh với số phức Trong trường số phức C khơng có khái niệm so sánh Biểu thức z1 < z2 hay z1 ≥ z2 khơng có nghĩa trường số phức CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang https://fb.com/tailieudientucntt 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 0.2 ĐHBK TPHCM Dạng lượng giác số phức Mô đun số phức z = a + bi số thực không âm định nghĩa mod(z) = |z| = a2 + b2 Argument số phức z góc ϕ ký hiệu arg(z) = ϕ Góc ϕ giới hạn khoảng (0, 2π) (−π, π) Ví dụ 0.7 Tìm mơ đun số phức z = − 4i a = 3, b = −4 =⇒ |z| = 32 + (−4)2 = Chú ý • Nếu xem số phức z = a + bi điểm (a, b) mặt phẳng phức |z| = a2 + b2 = (a − 0)2 + (b − 0)2 khoảng cách từ gốc tọa độ O(0, 0) đến z • Cho z = a + bi, w = c + di |z − w| = |(a − c) + (b − d)i| = (a − c)2 + (b − d)2 khoảng cách điểm z w Ví dụ 0.8 Tập hợp số phức z thỏa |z − (2 − 3i)| = đường tròn tâm (2, −3) bán kính Cơng thức tìm argument a a , cos ϕ = = √ r a + b2 b b sin ϕ = = √ r a2 + b2 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang tan ϕ = b a https://fb.com/tailieudientucntt 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Ví dụ 0.9 Tìm argument số phức z = a= √ 3, b = Ta tìm góc ϕ thỏa √ ĐHBK TPHCM + i a cos ϕ = = r b cos ϕ = = r √ √ √ √ = + 12 + 12 , = =⇒ ϕ = π Dạng lượng giác số phức √ a b √ i z = a + bi = a2 + b2 √ 2 a + b a + b2 =⇒ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gọi dạng lượng giác √ Ví dụ 0.10 Tìm dạng lượng giác số phức z = −1 + i a = −1, b = √ Mô đun:r = |z| = Dạng lượng giác z = 2(cos √ + = 2π 2π + i sin ) 3 a −1 cos ϕ = = , r √2 Argument sin ϕ = b = r =⇒ ϕ = 2π Sự số phức dạng lượng giác z1 = z2 ⇐⇒ r1 = r2 , ϕ1 = ϕ2 + k2π Phép nhân dạng lượng giác z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) Mô đun nhân với nhau, argument cộng lại √ Ví dụ 0.11 Tìm dạng lượng giác số phức z = (1 + i)(1 − i 3) √ √ √ π −π π −π −π −π z = (1 + i)(1 − i 3) = 2(cos + i sin ).2(cos + i sin ) = 2(cos + i sin ) 4 3 12 12 Phép chia dạng lượng giác z1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) r1 = = (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )) , r2 = z2 r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r2 Mô đun chia cho nhau, argument trừ √ − i 12 Ví dụ 0.12 Tìm dạng lượng giác số phức z = √ − 3+i √ −π 4(cos −π − i 12 −π 5π −7π −π 5π −7π + i sin ) √ z= = = cos( − ) + i sin( − ) = cos + i sin 5π 5π 6 6 2(cos + i sin ) − 3+i Định lý Euler(1707-1783) eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Dạng mũ số phức z = r.eiϕ CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang https://fb.com/tailieudientucntt 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM √ Ví dụ 0.13 Tìm dạng mũ số phức z = − + i Dạng lượng giác z = cos 5π 5π + i sin 6 Dạng Mũ z = 2ei 5π Ví dụ 0.14 Biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức z = ea+3i , a ∈ R Ta có z = ea (cos + i sin 3) ϕ = không đổi nên tập hợp nửa đường thẳng nằm góc phần tư thứ Phép nâng lũy thừa z = a + bi, z = (a + bi)2 = a2 + (bi)2 + 2abi = (a2 − b2 ) + 2abi, z = (a + bi)3 = a3 + 3a2 bi + 3a(bi)2 + (bi)3 = (a3 − 3ab2 ) + (3a2 b − b3 )i z n = Cn0 an + Cn1 an−1 bi + Cn2 an−2 (bi)2 + · · · + Cnn (bi)n := A + Bi Ví dụ 0.15 Cho số phức z = + i Tính z z = (2 + i)5 = C50 25 + C51 24 i + C52 23 i2 + C53 22 i3 + C54 2.i4 + C55 i5 = 32 + 5.16.i + 10.8(−1) + 10.4.(−i) + 5.2.1 + i = −38 + 41i Lũy thừa bậc n i Ta phân tích n = 4p + r : r phần dư phép chia n cho in = ir Ví dụ 0.16 Tính z = i2013 Ta có 2013 = 503.4 + =⇒ z = i2013 = i1 = i Ví dụ 0.17 Cho số phức z = + i Tìm z z 100 a) z = (1 + i)3 = + 3i + 3i2 + i3 = + 3i − − i = −2 + 2i b) Ta dùng nhị thức newton dài Công thức De Moivre Dạng lượng giác z = r(cos ϕ+i sin ϕ) Dạng lượng mũ z = reiϕ =⇒ z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ) z n = rn einϕ =⇒ Mô đun mũ n lên, argument tăng n lần Ví dụ 0.18 Sử dụng cơng thức De Moivre, tính √ b) (−1 + i 3)200 a) (1 + i)25 a) z = + i = √ 2(cos √ ( − i)17 c) √ ( 12 + 2i)20 √ 25 √ π π 25π 25π π π + i sin ) =⇒ z 25 = (cos + i sin ) = 12 2(cos + i sin ) 4 4 4 b) Tương tự c) Tương tự bậc n số phức Căn bậc n số phức z số phức w thỏa wn = z, n ∈ N CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang https://fb.com/tailieudientucntt 0.2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC ĐHBK TPHCM Công thức bậc n Cho dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Công thức √ n z= √ ϕ + k2π ϕ + k2π n r cos + i sin n n ; k = 0, 1, , (n − 1) Căn bậc n z(z = 0) có n giá trị phân biệt Ví dụ 0.19 Tìm bậc n số phức sau: a) √ b) √ + i c) d) 16i 1+i e) 1+i √ 3−i f) √ √ + 12i + 2i Bài làm a) = 8(cos + i sin 0) =⇒ b) √ 3+i= cos √ + k2π + k2π = cos + i sin 3 π π + i sin 6 = √ cos π + k2π + i sin π ; k = 0, 1, + k2π ; k = 0, 1, 2, c) Tương tự d) Tương tự e) Argument + 12i cung đặc biệt Ta dùng dạng đại số để tính √ + 12i = a+bi ⇐⇒ 5+12i = (a+bi)2 ⇐⇒ 5+12i = a2 −b2 +2abi ⇐⇒ Vậy: √ √ + 12i sau a2 − b2 = 5, 2ab = 12 ⇐⇒ a = ±3, b = ±2 + 12i = ±(3 + 2i) Định lý đại số Mọi đa thức bậc n có n nghiệm kể bội Hệ quả: Cho P (z) đa thức hệ số thực p(a + bi) = =⇒ p(a − bi) = Ví dụ 0.20 Tìm tất nghiệm đa thức P (z) = z − 4z + 14z − 36z + 45, biết nghiệm + i Theo hệ quả: P (2 + i) = =⇒ P (2 − i) = Do P (z) chia hết cho (z − (2 + i))(z − (2 − i)) = z − 4z + thương z + Ta viết P (z) = (z − 4z + 5)(z + 9) có nghiệm + i, − i, 3i, −3i Ví dụ 0.21 Giải phương trình z + i = z= √ −i = cos CuuDuongThanCong.com −π −π + i sin = cos 2 T.S.Đặng Văn Vinh −π + k2π + i sin −π Trang + k2π , k = 0, 1, 2, , https://fb.com/tailieudientucntt 7.2 CHÉO HÓA MA TRẬN ĐHBK TPHCM • Khơng phải ma trận chéo hóa được, ví dụ A = 1 • Chéo hóa ma trận A cần tìm ma trận P ma trận chéo D thỏa P −1 AP = D • Ta tìm cấu trúc ma trận P D sau: Giả sử A chéo hóa ma trận P D: λ1 λ2 ,D = . 0 λn P = P1 P2 Pn || || || Ta có P −1 AP = D ⇐⇒ AP = P D P1 P2 Pn λk = λk Pk , ∀k = 1, n Lấy cột thứ k: A.Pk = || || || Điều chứng tỏ cột Pk ma trận P VTR ứng với TR λk ma trận A Các phần tử chéo D TR A Định lý 7.6 Ma trận vuông A chéo hóa tồn n VTR độc lập tuyến tính Hệ • A có n TR phân biệt chéo hóa • A chéo hóa BHH=BĐS cho tất TR Để chéo hóa ma trận A, ta cần tìm tất TR sở KG riêng 3 Ví dụ 7.7 Chéo hóa ma trận A = −3 −5 −3 3 Bài làm λ1 = (BĐS=1) Đa thức đặc trưng P (λ) = −λ3 − 3λ2 + Tri riêng λ2 = −2 (BĐS=2) 3 λ1 = 1, giải hệ (A − 1I)x = ⇐⇒ −3 −6 −3 Cơ sở E1 u1 = −1 BHH=1=BĐS 3 0 λ2 = −2, giải hệ (A + 2I)x =0 3 −1 −1 , u3 = BHH=2=BĐS ⇐⇒ −3 −3 −3 Cơ sở E−2 u2 = 3 0 Vậy A chéo hóa được: −1 −1 0 , D = 0 −2 P = −1 1 0 −2 Ví dụ 7.8 Chéo hóa ma trận A = −4 −6 −3 3 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 64 https://fb.com/tailieudientucntt 7.3 CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG THỰC BỞI MA TRẬN TRỰC GIAO ĐHBK TPHCM Bài làm λ1 = (BĐS=1) Đa thức đặc trưng: P (λ) = −λ3 − 3λ2 + Trị riêng λ2 = −2 (BĐS=2) 4 λ2 = −2, giải hệ −4 −4 −3 r = =⇒ BHH = dim = − = < BĐS 3 Vậy A khơng chéo hóa −8 Ví dụ 7.9 Chéo hóa A = −1 −8 tính A2013 −14 11 Bài làm Sinh viên tự tính TR VTR Suy 1 P = 1 , −2 0 D = 0 0 Ta có P −1 AP = D ⇐⇒ A = P DP −1 =⇒ P DP −1 P DP −1 = P D2 P −1 A = 2013 1 −2 0 1 −1 22013 −2 −1 Suy A2013 = P D2013 P −1 = 1 3 2013 0 −2 0 0 0 tính Am Ví dụ 7.10 Chéo hóa A = 1 −3 −1 −2 −3 Sinh viên làm tương tự ví dụ 1 Ví dụ 7.11 Tìm ma trận vng có TR 2, −3, có VTR tương ứng v1 = , v2 = , v3 = 1 1 Bài làm A chéo hóa ma trận P D sau 1 0 P = 1 1 , D = 0 −3 0 1 0 Suy ma trận A cần tìm A = P DP −1 7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Định nghĩa i) Ma trận vuông thực A gọi đối xứng thực AT = A ii) Ma trận vuông P gọi trực giao P −1 = P T iii) Ma trận A gọi chéo hóa trực giao tồn ma trận trực giao P ma trận chéo D thỏa A = P −1 DP = P T DP Cấu trúc ma trận trực giao CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 65 https://fb.com/tailieudientucntt 7.3 CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG THỰC BỞI MA TRẬN TRỰC GIAO ĐHBK TPHCM Hệ Ma trận vuông A trực giao cột A tạo thành sở trực chuẩn Định lý cho A ma trận đối xứng thực Khi i) Trị riêng A số thực ii) Các VTR ứng với TR khác vng góc iii) A ln chéo hóa trực giao Mọi ma trận chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Các bước chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực Bước Lập phương trình đặc trưng Giải tìm trị riêng Bước Tìm sở TRỰC CHUẨN KG riêng Bước Thành lập ma trận P D Chú ý: • Ma trận đối xứng thực ln chéo hóa nên khơng cần xác định BHH BĐS • Để tìm sở trực chuẩn khơng gian riêng ta chọn sở tùy ý dùng trình Gram – Schmidt (nếu cần) −2 Ví dụ 7.12 Chéo hóa trực giao ma trận A = −2 2 Bài làm Đa thức đặc trưng P (λ) = −λ 12λ2 − 21λ − 98 Trị riêng:λ1 = −2, λ2 = + 2 λ1 = −2 Cơ sở E−2 v1 = Cơ sở trực chuẩn f1 = 13 −2 −2 −1 λ2 = Cơ sở E7 v2 = 0 , v3 = Tìm sở trực chuẩn Gram-Schmidt: √ 2 e2 = v2 = 0 =⇒ f2 = √1 −1 √ −1 −1 18 (v3 , e2 ) −1 0 = =⇒ f3 = √4 e3 = v3 − e2 = − 18 (e2 , e2 ) 2 √ 1 18 Cơ sở trực chuẩn E7 {f2 , f3 } Vậy ma trận trực giao P ma trận chéo D −1 P = −2 √ √1 √ −2 0 D = 0 0 18 √4 , 18 √1 18 −1 −1 Ví dụ 7.13 Hãy chéo hóa ma trận đối xứng thực A = −1 −1 −1 −1 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 66 https://fb.com/tailieudientucntt 7.4 TRỊ RIÊNG - VÉC TƠ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Sinh viên làm tương tự Kết P = √1 √1 √1 − √12 √1 − √16 − √16 , √2 ĐHBK TPHCM 0 D= 0 Ví dụ 7.14 Tìm ma trận đối xứng thực có trị riêng 2, −2, Hướng dẫn 0 Thành lập ma trận D = 0 −2 0 0 Thành lập ma trận P cách chọn sở (khác chéo ) tùy ý, ví dụ E = {(1; 0; 1), (1; 1; 1), (1; 0; 0)} Trực chuẩn E Gram-Schmidt Lập P từ véc tơ sở trực chuẩn Khi đó, ma trận A cần tìm A = P DP T 7.4 Trị riêng - véc tơ riêng ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 7.7 Cho KGVT V trường số K axtt f : V −→ V Số λ gọi TR f tồn véc tơ x = thỏa f (x) = λx Khi đó, x gọi VTR ứng với TR λ ma trận A Chú ý: x = VTR f x f (x) phương Trong chương trước, xem ánh xạ tuyến tính ma trận: TR VTR axtt giống TR VTR ma trận Ví dụ 7.15 Cho axtt f phép chiếu vng góc xuống mặt phẳng x − y + 2z = Tìm TR VTR f Bài làm Véc tơ pháp tuyến n = (1; −1; 2) =⇒ f (n) = 0.n: n VTR ứng với TR λ1 = f (a1 ) = 1.a1 Cặp véc tơ phương a1 = (1; 1; 0), a2 = (2; 0; −1) =⇒ f (a2 ) = 1.a2 Vậy a1 , a2 VTR ứng với TR λ2 = Vì f : R3 −→ R3 nên khơng cịn véc tơ riêng khác Cho E sở KGVT V K Axtt f : V −→ V Gọi A ma trận f sở E giả sử λ0 TR f : ∃x0 = f (x0 ) = λx0 ⇐⇒ [f (x0 )]E = λ0 [x0 ]E ⇐⇒ A[x0 ]E = λ0 [x0 ]E Suy [x0 ]E VTR ứng với TR λ0 ma trận A Trị riêng - véc tơ riêng ánh xạ tuyến tính Cho A ma trận axtt f : V −→ V sở E i) Trị riêng A TR f ngược lại ii) x0 VTR A ứng với TR λ0 véc tơ x cho [x]E = x0 VTR f ứng với TR λ0 : x = E.x0 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 67 https://fb.com/tailieudientucntt 7.4 TRỊ RIÊNG - VÉC TƠ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ĐHBK TPHCM Chú ý: • TR axtt ma trận giống • VTR axtt ma trận nhìn chung khác • Nếu E sở tắc VTR ma trận axtt giống Ví dụ 7.16 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biết f (x) = f (x1 , x2 , x3 ) = (5x1 − 10x2 − 5x3 , 2x1 + 14x2 + 2x3 , −4x1 − 8x2 + 6x3 ) Tìm trị riêng, véc-tơ riêng ánh xạ tuyến tính f Bài làm −10 −5 14 Chọn E sở tắc Ma trận f E A = −4 −8 Tìm TR A: λ1 = 5, λ2= 10 λ1 = Véc tơ riêng v1 = −2 α, α = −2α − β , α2 + β > α λ2 = 10 Véc tơ riêng v2 = β Vì E sở tắc nên TR-VTR A TR-VTR f Ví dụ 7.17 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biết f (1; 1; 1) = (2; 1; 3), f (1; 0; 1) = (6; 3; 5), f (1; 1; 0) = (−2; −1; −3) Tìm TR-VTR axtt f Bài làm Chọn sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} A = E −1 f (E) = 1 Ma trận f 1 1 1 3 Tìm TR A: λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = Đây α λ1 = =⇒ VTR A x = , α = α Véc tơ riêng f ứng với TR λ1 1 v1 = Ex = 1 1 sở E −2 −1 = −3 −1 −2 −1 1 TR axtt f α 2α 1 = 2α , α = 0 α α Tương tự cho trị riêng λ2 λ3 : 2α 2α v2 = α , v3 = α , α = α 2α Ví dụ 7.18 Cho axtt f : R3 −→ R3 có ma trận sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} −2 −1 A = −2 −1 −2 14 25 14 Tìm TR-VTR f CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 68 https://fb.com/tailieudientucntt 7.5 CHÉO HĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ĐHBK TPHCM Bài làm TR A λ1 = 3, λ2 = Đâycũnglà TR α λ1 = =⇒ VTR A u1 = −α , α = α VTR f ứng với TR λ1 1 v1 = E.u1 = 1 1 5α Tương tự cho trị riêng λ2 : v2 = 13α , α = 3α f α α 2 −α = 2α , α = α Ví dụ 7.19 Cho axtt f : R3 −→ R3 biết f có TR 2, 1, VTR tương ứng (1; 1; 1), (1; 2; 1), (1; 1; 2) Tìm f (x) Bài giải Theo giả thiết ta có: f (1; 1; 1) = 2(1; 1; 1) = (2; 2; 2), f (1; 2; 1) = 1.(1; 2; 1), f (1; 1; 2) = 0.(1; 1; 2) = Từ suy f (x) 7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 7.8 Axtt f : V −→ V gọi chéo hóa tồn sở B cho ma trận f sở ma trận chéo Chéo Định lý 7.9 Axtt f : V −→ V chéo hóa f có n véc tơ riêng độc lập tuyến tính Khi sở B gồm véc tơ riêng Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính: Bước 1) Chọn sở E KGVT V Tìm ma trận A f sở E Bước 2) Chéo hóa ma trận A (nếu được) Bước 3) Kết luận: i) Nếu A chéo hóa f chéo hóa ngược lại ii) Kết luận: Giả sử A chéo hóa ma trận P ma trận chéo D: Cơ sở B gồm VTR f ma trận chéo cần tìm D Ví dụ 7.20 Cho axtt f : R3 −→ R3 biết f (x) = (2x1 − 2x2 − x3 ; −2x1 − 1x2 − 2x3 ; 14x1 + 25x2 + 14x3 ) Chéo hóa f (nếu được) Bài làm −2 −1 Ma trận f sở tắc A = −2 −1 −2 14 25 14 TR A λ1 = 3, λ2 = 6(BŒS 2) = −1 λ2 = =⇒ VTR A v2 = −2 α : BHH = < BŒS A khơng chéo hóa f khơng chéo hóa CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 69 https://fb.com/tailieudientucntt 7.5 CHÉO HÓA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ĐHBK TPHCM Ví dụ 7.21 Cho axtt f : R3 → R3 , biết f (1; 1; 1) = (1; −7; 9), f (1; 0; 1) = (−7; 4; −15), f (1; 1; 0) = (−7; 1; −12) Chéo hóa f (nếu được) Bài làm Ma trận f sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} −1 1 1 −7 −7 −4 −4 = −11 −8 A = E −1 f (E) = 1 1 −7 1 −15 −12 −8 Phương trình đặc trưng −λ3 −5λ2 −3λ+9 = ⇔ −(λ−1)(λ+3)2 = Với λ1 = =⇒ u1 = α, α = −2 Cơ sở E1 f ứng với TR λ1 1 1 v1 = Eu1 = 1 1 = −1 1 −2 1 λ2 = −3 Cơ sở E−3 A u2 = 1 , u3 = 0 Cơ sở E−3 f ứng với TR λ2 v2 = Eu2 = , v3 = Eu3 = 2 Vậy sở cần tìm B = {(1, −1, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} −3 D= 0 ma trận axtt f sở B 0 −3 Bài tập Câu 1) Chéo hóa ma trận sau (nếu được): 2 −1 −1 −2 c) A = 1 −1 , a) A = −3 , −1 −3 T R : 1, 2, T R : 0, 1, 2 −2 b) A = 2 2 , d) A = 2 , 2 0 T R : 2, T R : 5, 16 , e) A = −2 −2 −5 T R : 3, −4 −6 f) A = −1 −3 , T R : 2, Câu 2) Chứng minh A chéo hóa khả nghịch A-1 chéo hóa khả nghịch Câu 3) Chứng tỏ ma trận vng A cấp n có n VTR độc lập tuyến tính ma trận AT có n VTR độc lập tuyến tính Câu 4) Chứng tỏ B đồng dạng với A A chéo hóa B chéo hóa Câu 5) Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 f (x1 ; x2 ) = (x1 + 2x2 ; 2x1 + 4x2 ) CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 70 https://fb.com/tailieudientucntt 7.5 CHÉO HĨA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ĐHBK TPHCM (a) Tìm sở số chiều imf kerf (b) Tìm tất TR VTR f (c) Chéo hóa f (nếu được) (d) Tính A20 E Câu 6) Cho axtt f : R3 → R3 E = {e1 = (1; 1; 0); e2 = (2; 1; 1); e3 = (1; 0; 2)} sở R3 f (e1 ) = (0; 0; 4), f (e2 ) = (1; 3; 8), f (e3 ) = (3; 5; 6)} (a) Tìm f (x), sở số chiều nhân ảnh (b) Tìm tất TR véc tơ riêng f (c) Tìm ma trận B cho B = AE0 (d) Chéo hóa f (nếu được) CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 71 https://fb.com/tailieudientucntt Chương Dạng tồn phương Nội dung • Định nghĩa dạng tồn phương • Đưa dạng tồn phương dạng tắc • Phân loại dạng tồn phương 8.1 Định nghĩa Định nghĩa 8.1 Dạng toàn phương Rn hàm thực f : Rn → R, ∀x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn : f (x) = xT A.x, A ma trận đối xứng thực gọi ma trận dạng tồn phương (trong sở tắc) Ví dụ 8.1 Cho x = x1 ,A = x2 −3 Ma trận dạng toàn phương R2 −3 xT Ax = x1 x2 −3 −3 x1 x2 = 2x21 − 6x1 x2 + 4x22 Dạng toàn phương R3 thường ghi dạng f (x) = f (x1 , x2 , x3 ) = Ax21 + Bx22 + Cx23 + 2Dx1 x2 + 2Ex1 x3 + 2F x2 x3 Ma trận dạng toàn phương lúc ma trận đối xứng A D E M = D B F E F C Ví dụ 8.2 Cho dạng toàn phương R3 : f (x) = 2x21 − 3x22 + 4x23 − 2x1 x2 + 6x1 x3 −1 Ma trận dạng toàn phương A = −1 −3 0 Dễ dang kiểm tra f (x) = xT Ax CuuDuongThanCong.com 72 https://fb.com/tailieudientucntt 8.2 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 8.2 ĐHBK TPHCM Đưa dạng tồn phương dạng tắc Cho dạng tồn phương f (x) = xT Ax, x ∈ Rn A ma trận đối xứng thực nên chéo hóa ma trận trực giao P ma trận chéo D: A = P DP T Khi f (x) = xT Ax = xT P DP T x = (P T x)T D.(P T x) Đặt y = P T x ⇐⇒ x = P y, ta f = y T Dy = λn yn2 + λn yn2 + · · · + λn yn2 Dạng toàn phương y T Dy gọi dạng tắc dạng toàn phương xT Ax Dạng toàn phương f (x) = xT Ax ln đưa dạng tắc f = y T Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A Phép biến đổi x = P y gọi phép biến đổi trực giao Thuật toán phép biến đổi trực giao: Bước 1: Viết ma trận A dạng tồn phương (trong sở tắc) Bước 2: Chéo hóa A ma trận trực giao P ma trận chéo D Bước 3: Kết luận: dạng tắc cần tìm f = y T Dy Phép biến đổi cần tìm x = P y Ví dụ 8.3 Đưa dạng tồn phương f (x1 , x2 , x3 ) = −4x1 x2 − 4x1 x3 + 3x22 − 2x2 x3 + 3x23 dạng tắc phép biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi Bài làm −2 −2 Ma trận dạng toàn phương A = −2 −1 −2 −1 p(λ) = −λ3 + 6λ2 − 32 =⇒ λ1 = −2, λ2 = λ3 = T R : Với λ1 = −2, ta có P∗1 = Với λ2 = λ3 = 4, ta có P∗2 = √2 √1 √1 − √15 √2 , − √230 = − √130 P∗3 √5 30 Do ma trận trực giao P = √2 √1 √1 − √15 √2 − √230 − √130 √5 30 Dạng tắc f = −2y12 + 4y22 + 4y32 phép biến đổi tương ứng x = py Định nghĩa 8.2 Phép biến đổi x = P y gọi phép biến đổi không suy biến P ma trận không suy biến CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 73 https://fb.com/tailieudientucntt 8.2 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC ĐHBK TPHCM Thuật tốn Lagrange Bước 1) Chọn số hạng x2k có hệ số khác khơng Lập thành nhóm: nhóm gồm tất số hạng chứa xk , nhóm cịn lại khơng chứa xk Bước 2) Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương Như vậy, ta tổng bình phương dạng tồn phương khơng chứa xk Bước 3) Sử dụng bước 1, cho dạng toàn phương không chứa xk Chú ý: Nếu dạng tồn phương khơng có số hạng x2k , ta chọn số hạng xi xj có hệ số khác Đổi biến xi = yi + yj x j = yi − yj xk = yk , k = i, j Ví dụ 8.4 Đưa dạng toàn phương f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x22 − 7x23 − 4x1 x2 + 8x1 x3 dạng tắc phương pháp Lagrange f (x) = [x21 − 4x1 (x2 − 2x3 )] + [2x22 − 7x23 ] = [x21 − 4x1 (x2 − 2x3 ) + 4(x2 − 2x3 )2 ] − 4(x2 − 2x3 )2 + 2x22 − 7x23 = (x1 − 2x2 + 4x3 )2 − 2x22 + 16x2 x3 − 23x23 Làm tương tự cho phần không chứa x1 : −2x22 + 16x2 x3 − 23x23 = −2(x22 − 8x2 x3 + 16x23 ) + 9x23 = −2(x2 − 4x3 )2 + 9x23 =⇒ f (x) = (x1 − 2x2 + 4x3 )2 −2(x2 − 4x3 )2 + 9x23 y1 = x1 − 2x2 + 4x3 x1 = y1 + 2y2 + 4y3 y2 = x2 − 4x3 x2 = y2 + 4y3 → y3 = x x3 = y3 Dạng tắc cần tìm f (x) = g(y) = y12 − 2y22 + 9y32 Ví dụ 8.5 Đưa dạng toàn phương f (x) = x21 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4x22 + 16x2 x3 + 4x23 dạng tắc thuật tốn Lagrange Bài làm f (x) = [x21 + 4x1 (x2 + x3 )] + 4x22 + 16x2 x3 + 4x23 = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 − 4(x2 + x3 )2 + 4x22 + 16x2 x3 + 4x23 = (x1 + 2x2 + 2x3 )2 + 8x2 x3 Phần lại không x1 + 2x2 + 2x3 = y1 x1 = y1 + 4y2 có số hạng bình phương, ta đặt x2 = y2 + y3 x2 = y2 + y3 x3 = y2 − y3 x3 = y2 − y3 2 Dạng tắc cần tìm f = y1 + 8y2 − 8y3 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 74 https://fb.com/tailieudientucntt 8.3 PHÂN LOẠI DẠNG TOÀN PHƯƠNG 8.3 ĐHBK TPHCM Phân loại dạng toàn phương Phân loại dạng toàn phương Dạng toàn phương f (x) = xT Ax gọi • xác định dương, ∀x = : f (x) > • xác định âm, ∀x = : f (x) < • nửa xác định dương, ∀x : f (x) • nửa xác định âm, ∀x : f (x) 0, ∃x0 = : f (x0 ) = 0, ∃x0 = : f (x0 ) = • khơng xác định dấu, ∃x1 , x2 : f (x1 ) < 0, f (x2 ) > Ví dụ 8.6 Phân loại dạng toàn phương f (x) = x21 + 5x22 + 4x23 − 4x1 x2 − 2x2 x3 Dùng thuật toán Lagrange: f (x) = (x1 − 2x2 )2 + (x2 − x3 )2 + 3x23 ≥ x1 − 2x2 = x2 − x3 = ⇔ x = f (x) = ⇐⇒ x3 = Vậy f (x) dạng tồn phương xác định dương Tính chất Cho dạng tồn phương dạng tắc f = λ1 y12 + λ2 y22 + + λn yn2 • Nếu λk > 0, ∀k f xác định dương • Nếu λk < 0, ∀k f xác định âm • Nếu λk 0, ∀k, ∃λi = f nửa xác định dương • Nếu λk 0, ∀k, ∃λi = f nửa xác định âm • Nếu ∃λi > 0, λj < 0, i = j f khơng xác định dấu Định nghĩa 8.3 Giả sử dạng tồn phương đưa tắc được: f = λ1 y12 + λ2 y22 + · · · + λn yn2 Số hệ số dương gọi số dương quán tính Số hệ số âm gọi số âm quán tính Luật quán tính Chỉ số dương quán tính, số âm qn tính dạng tồn phương đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách đưa dạng tồn phương dạng tắc Định nghĩa 8.4 (Định thức chính) Cho ma trận vng A Tất định thức tạo nên dọc theo đường chéo gọi định thức cấp 1, 2, , n a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n A= a31 a32 a33 a3n an1 an2 an3 ann Các định thức ∆1 = |a11 |, ∆2 = CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh a11 a12 a13 a11 a12 , ∆3 = a21 a22 a23 , , ∆n = det(A) a21 a22 a31 a32 a33 Trang 75 https://fb.com/tailieudientucntt 8.3 PHÂN LOẠI DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐHBK TPHCM Tiêu chuẩn Sylvester Cho dạng toàn phương f (x) = xT Ax i) f (x) xác định dương ∆i > 0, ∀i = 1, 2, , n ii) f (x) xác định âm (−1)i ∆i > 0, ∀i = 1, 2, , n Ví dụ 8.7 Phân loại dạng toàn phương f (x) = 5x21 + x22 + 5x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 4x2 x3 Bài làm −4 −2 Ta có ma trận dạng toàn phương f A = −4 −2 5 −4 −2 = > Vì ∆1 = > 0, ∆2 = = > 0, ∆3 = 2 −4 −2 Vậy f xác định dương theo tiêu chuẩn Sylvester Ví dụ 8.8 Cho dạng tồn phương f (x) = −5x21 − x22 − mx23 − 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 Với giá trị m dạng tồn phương f xác định âm Bài làm −5 −2 Ma trận dạng toàn phương f A = −2 −1 1 −m −5 −2 −5 −2 ∆1 = −5 < 0, ∆2 = = > 0, ∆3 = −2 −1 = −m + −2 −1 1 −m f xác định âm ∆1 < 0, ∆2 > 0, ⇐⇒ −m + < ⇐⇒ m > ∆3 < Ví dụ 8.9 Tìm m để dạng tồn phương sau khơng xác định dấu f (x) = x21 + 5x22 + mx23 − 4x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 Bài làm f (x) = (x21 − 4x1 x2 + 6x1 x3 ) + 5x22 + mx23 + 2x2 x3 = (x1 − 2x2 + 3x3 )2 + x22 + 14x2 x3 + (m − 9)x23 = (x1 − 2x2 + 3x3 )2 + (x2 + 7x3 )2 + (m − 58)x23 f (x) không xác định dấu có hệ số âm hệ số dương ⇐⇒ m < 58 CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 76 https://fb.com/tailieudientucntt 8.3 PHÂN LOẠI DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐHBK TPHCM Đề ôn tập - 2 Câu 1) Cho hai ma trận A = B = −1 Tìm ma trận X thỏa AX − X = B T Câu 2) Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, 2, 2), (2, −1, 1, 0) >, z = (1, 2, 3, 1) (a) Tìm sở số chiều U ⊥ (b) Tìm hình chiếu z xuống U ⊥ Câu 3) Trong R4 cho không gian U =< (1, 1, −2, 1), (1, 2, 1, 0) > x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 2x1 − x2 + 2x3 + x4 = V : (a) Tìm sở số chiều U ∩ V (b) Tìm sở số chiều U + V Câu 4) Trong R2 : x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) Xét tích vơ hướng (x, y) = 2x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3x2 y2 Tính khoảng cách véctơ u, v với u = (2, −1), v = (1, 3) Câu 5) Cho ánh xạ f : −2 A= −1 R3→ R3 , biết ma trận f sở E = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} Tìm f (4, 3, 6) Câu 6) Cho ma trận cấp 2 A = −1 −3 −2 Tìm ma trận B ∈ M3 (R) cho B = A Đề ôn số −1 −2 −6 Câu 1) Cho A = −1 1 , B = −2 Tìm ma trận X thỏa 3I + AX = B T −3 Câu 2) Tìm tất nghiệm hệ phương trình 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = −1 x1 + 2x2 + x4 = x1 + x2 + x3 + x4 = vng góc với véc tơ u = (1; 1; 1; 0) Câu 3) Trong R4 , cho không gian F =< (1; 2; 1; 1); (2; 3; −1; 2) >, G =< (−3; 1; 2; 1), (−5; 10; 7; 7) > Tìm sở số chiều F ∩ G Câu 4) Trong R3 , cho tích vơ hướng (x, y) = 3x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5x2 y2 + x3 y3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) không gian F =< (1; −1; 2) > Tìm hình chiếu véc tơ x = (2; 0; 1) xuống F CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 77 https://fb.com/tailieudientucntt 8.3 PHÂN LOẠI DẠNG TOÀN PHƯƠNG ĐHBK TPHCM Câu 5) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa f (1; 2; 1) = (2; −1; 3), f (2; 3; 0) = (−3; 2; 5), f (1; 3; 2) = (5; −3; −2) (a) Tìm sở số chiều ker f f (b) Tìm ma trận f sở E = {(1; 2; 1), (2; 3; 0), (1; 3; 2)} −2 Câu 6) Cho ma trận A = −1 a −3 x = −1 Tìm a, b để x véc riêng A Chéo hóa A −4 b −1 với a, b vừa tìm Đáp số Đề 20 −9 −10 X = −6 −5 2 (a) Cơ sở U ⊥ {(−1; −1; 1; 0), (−2; −4; 0; 3)} (b) P rU ⊥ (z) = (0; 2; 2; −3) 17 (a) Cơ sở U + V {(1; 1; −2; 1), (0; 1; 3; −1), (0; 0; −9; 5)} (b) Cơ sở U V {(2; 3; −1; 1)} √ d(u, v) = 34 f (4; 3; 6) = (22; 26; 21) −1 −1 0 1 1 B = −1 −1 −1 0 √0 −1 −1 −1 1 1 0 32 Đề 2: −16 −5 11 X = −11 −6 −5 x = (−1; 0; 1; 2)α, ∀α ∈ R Cơ sở F ∩ G {(4; 7; 1; 4)} Hình chiếu (1; −1; 2) f {(2; −1; 3), (0, 1, 19)} Cơ sở ker f {(48; 76; 9)} 25 −11 36 −6 (b) Ma trận f sở E −6 −11 −19 −2 0 −1 a = 0, b = D = −2 0 , P = 1 0 −1 −2 (a) Cơ sở CuuDuongThanCong.com T.S.Đặng Văn Vinh Trang 78 https://fb.com/tailieudientucntt ... https://fb.com/tailieudientucntt Số phức Nội dung 0.1 1) Dạng đại số số phức 4) Nâng số phức lên lũy thừa 2) Dạng lượng giác số phức 5) Khai số phức 3) Dạng mũ số phức 6) Định lý đại số Dạng đại số số phức Định... Đại học quốc gia 2) Đỗ Cơng Khanh Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia 3) Trần Lưu Cường Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia Ghi chú: Tài liệu tóm tắc lại giảng Thầy Đặng Văn Vinh Để hiểu... học cung cấp kiến thức đại số tuyến tính Sinh viên cần nắm vững kiến thức tảng biết giải tốn bản: số phức, tính định thức, làm việc với ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, không gian véc
Ngày đăng: 06/12/2020, 18:34
Xem thêm:
