BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 ĐẠI HỌC BK TP HCM

BÀI GI NG TOÁN CAO C P (A1) Biên so n: TS V GIA TÊ Ths CuuDuongThanCong.com PHI NGA https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s CH 1.1 S NG I: GI I H N C A DÃY S TH C 1.1.1 Các tính ch t c b n c a t p s th c A S c n thi t m r ng t p s h u t Q Do nhu c u đòi h i c a cu c s ng,t p s t nhiên N={0,1,2, }, c s c a phép đ m đ c m r ng sang t p s nguyên Z={0, ± 1, ± 2, } Sau đó, Z khơng có ph n t mà tích v i ho c b ng 1, nên ngu i ta xây d ng t p s h u t Q, t p g m s đ c bi u di n b i t s c a hai s nguyên, t c s th p phân h u h n ho c vô h n tu n hoàn N u ch d ng l i t p Q tốn h c g p ph i nhi u u h n ch , đ c bi t g p khó kh n vi c gi i thích hi n t ng c a cu c s ng Ch ng h n vi c tính đ ng chéo c a hình vng có kích th c đ n v ng chéo khơng th mơ t b i s h u t Th t v y m n u = ∈ Q SCLN(m, n)=1 m2=2n2 ⇒ m=2p 4p2=2n2 ⇒ n=2q i u vô n ∉ Q Nh ng s xu t hi n đ lí lúc m, n có c chung Ch ng t xuyên gi i tích nh e, π c ng khơng ph i s h u t c dùng th ng B S vô t d M t s bi u di n d i d ng th p phân vơ h n khơng tu n hồn,hay khơng th bi u di n i d ng t s c a hai s nguyên đ c g i s vô t C S th c T t c s h u t s vô t t o thành t p h p s th c Kí hi u t p s th c R V y t p s vô t R\Q Ng i ta có th xây d ng t p s th c R nh vào m t h suy di n hay nói cách khác nh vào m t h tiên đ Chúng ta khơng trình bày mà coi r ng t p h p s th c R quen thu c ki m tra l i s tho mãn tiên đ Chúng ta coi tính ch t c a t p h p R Tính ch t 1: T p R m t tru ng giao hoán v i hai phép c ng nhân: (R, + , ) ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc ) ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba R có ph n t trung hồ đ i v i phép c ng đ i v i phép nhân ∀a ∈ R , a + = + a = a CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s a.1 = 1.a = a Phân ph i đ i v i phép c ng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca T n t i ph n t đ i c a phép c ng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = T n t i ph n t ngh ch đ o c a phép nhân ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = Tính ch t 2: T p R đ c x p th t toàn ph n đóng kín đ i v i s th c d ng ∀a, b ∈ R, a < b ho c a = b ho c a > b ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính ch t 3: T p R đ y theo ngh a sau đây: M i t p X không r ng c a R b ch n R đ u có m t c n thu c R m i t p không r ng X c a R b ch n d i R đ u có m t c n d i thu c R Cho X ⊂ R a ∈ R G i a c n c a X R n u x ≤ a, ∀x ∈ X G i a c n d d i c a X R n u x ≥ a, ∀x ∈ X G i X b ch n R(b ch n d i) c a X R i) ch t n t i nh t m t c n (c n G i s nh nh t c n c a X R c n c a X R, kí hi u s M* hay SupX (đ c Suprémum c a X) G i s l n nh t c n d i c a X R c n d s m* hay InfX (đ c Infimum c a X) i c a X R, kí hi u N u M* ∈ X nói r ng M* ph n t l n nh t c a X, kí hi u M*=SupX=MaxX N u m* ∈ X nói r ng m* ph n t nh nh t c a X, kí hi u m*=InfX= MinX G i X b ch n R ch X b ch n b ch n d i R Chú ý: T p R\Q không n đ nh đ i v i phép c ng phép nhân, ch ng h n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s ± ∈ R \ Q nh ng + (− ) ∉ R \ Q 2 ∉ R \ Q ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q xy ∈ R \ Q ∈R\Q x N u M c n c a t p X SupX ≤ M n u m c n d i c a t p X InfM ≥ m N u M*=SupX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α N u m*=InfX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α Ví d 1: Ch ng minh ( + + ) ∈ R \ Q Gi i: Gi s q= + + ∈ Q ⇒ ( + ) = ( q − ) hay q + = 2( q + 1) , d dàng ch ng minh ∉ Q (t ong t nh ch ng minh q2+1=0 i u mâu thu n V y q ∉ Q Ví d 2: Tìm c n d ∉ Q ) Theo ý suy q+1=0 i c n R n u chúng t n t i c a t p ⎧ (−1) n ⎫ X =⎨ n + , n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N * n ⎩2 ⎭ { } Gi i: ∀p ∈ N * có 1 + ⇒ < u2 p ≤ u2 = 2p 2p 1 1 1 ⇒− ≤− ≤ u p +1 ≤ p +1 ≤ u p +1 = p +1 − p +1 p +1 2 u1 = − u2 p = suy ∀n ∈ N * có − = u1 ≤ u n ≤ u = InfX=minX= − , SupX=maxX= Ví d 3: Cho A, B hai t p không r ng c a R b ch n a Ch ng minh Sup ( A ∪ B )=Max(Sup(A), Sup(B)) b G i A+B= {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b} , ch ng minh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B) Gi i: a Kí hi u α = SupA, β = SupB , γ = Max (α , β ) V y t p h p c n c a A ∪ B X= {x, x ≥ α x ≥ β } hay X= {x, x ≥ γ } V y γ = Sup ( A ∪ B ) b ∀a ∈ A, a ≤ SupA ∀b ∈ B, b ≤ SupB ⇒ ∀a + b ∈ A + B, a + b ≤ SupA + SupB ⇒ M * = Sup( A + B) ∀ε > ∃a ∈ A, a > SupA − ∃b ∈ B, b > SupB − ε ε ⇒ ∃a + b ∈ A + B, a + b > SupA + SupB − ε ⇒ ∃M * = SupA + SupB = Sup( A + B) 1.1.2 T p s th c m r ng Ng i ta thêm vào t p s th c R hai ph n t kí hi u − ∞ + ∞ T p s th c m r ng kí hi u R R = R ∪ {− ∞,+∞}, phép toán + , quan h th t đ ∀x ∈ R c đ nh ngh a nh sau: x + ( +∞) = ( +∞) + x = +∞ x + ( −∞ ) = ( −∞) + x = −∞ ( +∞) + (+∞ ) = +∞ ( −∞) + (−∞ ) = −∞ ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0} x( +∞) = (+∞ ) x = +∞ x( −∞) = (−∞ ) x = −∞ ∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0} x(+∞) = (+∞ ) x = −∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞ (+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = +∞ (+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞ ∀x ∈ R CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s − ∞ < x < +∞ − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ 1.1.3 Các kho ng s th c Cho a, b ∈ R a ≤ b Trong R có chín lo i kho ng sau đây: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} đ [a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b} đ (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} [a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x} (− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} đ (a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x} (− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a} c g i đo n hay kho ng đóng b ch n c g i kho ng n a đóng ho c n a m c g i kho ng m Các s th c a,b g i mút c a kho ng 1.1.4 Giá tr t đ i c a s th c A nh ngh a: Giá tr t đ i c a s th c x, kí hi u x m t s th c không âm xác đ nh nh sau ⎧ ⎪x ⎪ x =⎨ ⎪− x ⎪⎩ x ≥ x ≤ B Tính ch t ∀x ∈ R, x = Max( x,− x) x = ⇔ x = ∀x, y ∈ R, ∀n ∈ N , * xy = x y n n i =1 i =1 ∀x1 , x , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi ∀x ∈ R, x n = x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ∀x ∈ R * , ng 1: Gi i h n c a dãy s 1 = x x ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y ∀n ∈ N * , ∀x1 , x ,K, x n ∈ R, n n i =1 i =1 ∑ xi ≤ ∑ xi ∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = (x + y + x − y ) Min( x, y ) = (x + y − x − y ) ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x− y 1.1.5 Kho ng cách thông th A ng R nh ngh a: Kho ng cách R ánh x d : R× R → R ( x, y ) a x− y ó hình nh tr c quan v kho ng cách gi a m x y đ th c R B Tính ch t d ( x, y ) = ⇔ x = y ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ng th ng tr c s Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s 1.2 S PH C Chúng ta bi t r ng tr ng s th c R khơng th phân tích thành th a s tam th c b c hai ax + bx + c Δ = b − 4ac < Tuy nhiên s r t ti n l i n u có th th a s hoá tam th c thành d ng a(x − α )( x − β ) α , β ∉ R Nh m m c đích thêm vào R m t ph n t m i, kí hi u i (g i đ n v s ph c 1.2.1 A o) k t h p v i c p s th c ( x, y ) ∈ R đ t o nh ngh a d ng s ph c nh ngh a: Cho ( x, y ) ∈ R , m t s bi u di n d i d ng z=x+iy, i = −1 g i m t s ph c T p s ph c kí hi u C G i x ph n th c c a z, kí hi u Rez =x y ph n o c a z, kí hi u Imz =y G i mơđun c a z,kí hi u z xác đ nh b i s th c không âm z = x2 + y2 = r ≥ G i Acgumen c a z , kí hi u Argz xác đ nh b i s th c ⎧ Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ ⎩ = x y ⎫⎪ sin θ = ⎬ , v i z ≠ z ⎪⎭ z Nh v y Acgumen c a z sai khác k 2π , k ∈ Z Arg0 không xác đ nh V y s ph c z có d ng vi t: z =x+iy g i d ng t c hay d ng đ i s c a s ph c z z = r (cos θ + i sin θ ) g i d ng l ng giác c a s ph c z B Bi u di n hình h c c a s ph c y M(z) y r θ x x CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s Xét m t ph ng 0xy v i h to đ tr c chu n Ánh x ϕ : C → xy đ t m i s ph c z=x+iy ng v i m M có to đ (x,y) m t ph ng 0xy.V y ϕ song ánh.G i m t ph ng 0xy m t ph ng ph c ∀z ∈ C , ϕ ( z ) g i nh c a z 0xy → ∀M ∈ xy, ϕ −1 (M ) g i to v c a M, s ph c z ∈ C Ngoài OM c ng đ véct bi u di n s ph c z Nh v y OM = z cg i ⎛→ → ⎞ ⎜ Ox, OM ⎟ =Argz ⎝ ⎠ Trên m t ph ng ph c 0xy nh n th y: Tr c 0x bi u di n s th c z = x ∈ R , tr c g i tr c th c,còn tr c 0y bi u di n s ph c z = iy, y ∈ R g i s o thu n tuý,ng i ta g i tr c 0y tr c o 1.2.2 Các phép toán t p C A Phép so sánh b ng ( ) ⎧⎪ x = x x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y ' ' ∀ x, y , x ' , y ' ∈ R , B Phép l y liên h p Cho z = x + iy ∈ C , liên h p c a z, kí hi u z cho b i z = x − iy C Phép l y s ph c đ i Cho z=x+iy ∈ C, s ph c đ i c a z, kí hi u –z (đ c tr z ) đ c xác đ nh: -z = -x-iy D Phép c ng Cho z = x+iy, z’= x’+iy’,t ng c a z z’, kí hi u z+z’ xác đ nh nh sau: z+z’=(x+x’)+i(y+y’) E Phép nhân Cho z=x+iy z’=x’+iy’, tích c a z z’, kí hi u z.z’ xác đ nh nh sau: z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y) F Phép tr phép chia Là phép tính ng c c a phép c ng phép nhân z − z ' = z + (− z ' ) z = z" ⇔ z = z '.z" z' 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 1: Gi i h n c a dãy s T phép toán trên, nh n đ i đây: c tính ch t d ∀z ∈ C , z = z ∀( z , z ') ∈ C , z + z' = z + z' ∀(z , z ') ∈ C , z z ' = z z ' n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 ∑ zi = ∑ zi , ∀n ∈ N * , ∀z1 , z ,K, z n ∈ C , ∏ zi = ∏ zi ∀z ∈ C , ∀z '∈ C * , C * = C \ {0} ⎛z⎞ z ⎜ ⎟= ⎝ z' ⎠ z' ∀z ∈ C , z = z ⇔ z∈R z = − z ⇔ z ∈ iR , iR = {iy , y ∈ R} ∀z ∈ C z z = z G Phép lu th a, công th c Moavr ( Moivre) Cho z = r (cosθ + i sin θ ), ∀k ∈ Z G i z k lu th a b c k c a z B ng qui n p, d ch ng minh đ c z k = r k (cos kθ + i sin kθ ) (1.1) G i (1.1) công th c Moivre H Phép khai c n b c n c a z ∈ C * Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) G i ς ∈ C * c n b c n c a z, kí hi u nh sau: n z ,xác đ nh ςn = z ⎧ρ n = r θ + kπ v i N u g i ρ = ς Φ = Arg ς ⎨ ρ = r n Φ= n Φ = + n θ k π ⎩ k = 0,1,2, , n − V y s z có n c n b c n, s ph c có d ng: ⎛ ⎝ ς = r n ⎜ cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ ⎞ n ⎟ ⎠ k = 0,1,2, , n − (1.2) 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch πx πx 1 f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos n dx , bn = ∫ f ( x) sin n dx , n = 1,2, ∫ l −l l −l l l −l l l a0 = ng 5: Lý thuy t chu i l l (5.50) N u f (x ) tu n hoàn v i chu k T = 2l đ c mô t b i bi u th c gi i tích (α ,α + 2l ) khơng nên s d ng cơng th c (5.50) đ tính h s Fourier mà d a vào tính ch t hàm tu n hồn (Xem ví d 1d m c 4.2.2) nh n đ c công th c sau: a0 = l α + 2l ∫ α f ( x)dx , an = l α + 2l ∫ α f ( x) cos n πx l N u f (x ) hàm s ch n f ( x ) cos n dx , bn = πx l l α + 2l ∫ α f ( x) sin n πx l dx hàm s ch n f ( x) sin n (5.51) πx hàm s l l khai tri n có d ng πx , ak = ∫ f ( x) cos k dx , k = 0,1,2, f ( x) = ∑ ak cos k l l l k =0 πx ∞ T l (5.52) ng t n u f (x ) hàm s l ∞ πx k =1 l f ( x) = ∑ bk sin k πx f ( x) sin k dx ∫ l l l , bk = (5.53) T ng t nh ph n khai tri n thành chu i lu th a, nh vào khai tri n thành chu i Fourier có th tính đ c t ng m t s chu i đ c bi t Ví d 1: Cho hàm s f (x ) tu n hoàn v i chu k b ng có d ng f ( x) = − x , x ∈ (0,2) Hãy khai tri n hàm s thành chu i Fourier (−1) m tính t ng S = ∑ m = 2m + ∞ Gi i: th c a hàm s đ c mơ t hình 5.1 Hàm s tho mãn u ki n c a đ nh lí Dirichlet có m gián đo n lo i t i x = 2k , k ∈ Z Chúng ta tính h s Fourier c a hàm s a0 = ∫ (2 − x)dx = ( x − 2) 2 =2 y 214 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 5: Lý thuy t chu i -4 -2 x H.5.1 ak = ∫ (2 − x) cos kπxdx = =− kπ 2 2− x sin kπx 02 + sin kπxdx kπ kπ ∫0 cos kπx 02 = , k = 1,2, bk = ∫ (2 − x) sin kπxdx = x−2 cos kπx 02 − cos kπxdx kπ kπ ∫0 2 − 2 sin kπx 02 = , k = 1,2, kπ k π kπ ∞ sin kπx V y − x = 1+ ∑ , ∀x ≠ 2k , k ∈ Z π k =1 k = 1− x = Thay x = kπx k =1 k ∞ ∑ π π vào cơng th c s có (−1) k =S k = 2k + ∞ =∑ Ví d 2: Hãy khai tri n thành chu i Fourier hàm s f (x ) tu n hoàn v i chu k 2π f ( x) = x v i x ∈ [− π ,π ] T tính t ng S = ∞ ∑ (2m + 1) m=0 Gi i: th hàm s cho b i hình 5.2 y π 215 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch − 3π −π − 2π π ng 5: Lý thuy t chu i 2π 3π H.5.2 Hàm s cho ch n, liên t c ∀x tho mãn đ nh lí Dirichlet a0 = an = π π π ∫ xdx = π π ∫ x cos nxdx = π ⎞ 2⎛x ⎜ sin nx π0 − ∫ sin nxdx ⎟ ⎜ ⎟ π ⎝n n0 ⎠ , n = 2m ⎧0 2 ⎪ n π = cos nx = ((−1) − 1) = ⎨ πn πn ⎪− π (2m + 1) , n = (2m + 1) ⎩ m = , , , ∞ π cos(2m + 1) x , ∀x x = − ∑ V y π m = (2m + 1) Thay x = vào công th c nh n đ c ∞ π2 1 1 =∑ = + + + + m = (2m + 1) Ví d 3: Cho hàm s f (x ) tu n hoàn v i chu k π , bi t f ( x) = cos x , x ∈ (0,π ) Hãy khai tri n Fourier hàm s cho Gi i: th hàm s cho b i hình 5.3 Hàm s l tho mãn đ nh lí Dirichlet có m gián đo n x = kπ , k ∈ Z π bn = = = π π 2 ∫ cos x.sin 2nxdx = π ∫ [sin(2n + 1) x + sin(2n − 1) x]dx 0 2⎡ ⎤ cos( 2n − 1) x ⎥ cos( 2n + 1) x + ⎢ π ⎣ 2n + 2n − ⎦ π 2⎛ 1 ⎞ n + ⎜ ⎟= π ⎝ 2n + 2n − ⎠ π 4n − y 216 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt x Ch ng 5: Lý thuy t chu i − 2π − 3π −π − π π π 3π 2π x -1 H.5.3 V y cos x = π ∞ n sin 2nx n =1 n − ∑ , x ∈ (0,π ) 5.4.3 Khai tri n thành chu i Fourier c a m t hàm s b t k Xét hàm s f (x ) đ n u t ng khúc b ch n (a, b) , a < b Bây gi s bi u di n hàm s d i d ng m t chu i l ng giác (a, b) Có nhi u cách bi u di n, nhiên th A Thác tri n tu n hoàn L p hàm s ng dùng ph ng pháp sau đây: f (x ) tu n hoàn v i chu kì T = b − a F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b) Xem hình 5.4 y f (x ) a −T a b +T b x H.5.4 Rõ ràng f (x ) khai tri n đ c thành chu i Fourier , F ( x) = f ( x) , ∀x ∈ (a, b) V y t i m liên t c c a f (x ) (a, b) ta có: f ( x) = a0 ∞ kπx kπx + ∑ ak cos + bk sin l k =1 l (5.54) 217 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ch ng 5: Lý thuy t chu i b−a , a0 = ∫ f ( x)dx la b Trong l = kπx kπx 1 dx , k = 1,2, (5.55) f ( x) cos dx , bk = ∫ f ( x) sin ∫ l la l la b b ak = B Thác tri n ch n, thác tri n l ng Ngoài ph ng pháp thác tri n tu n hoàn, hàm s f (x ) cho kho ng (0, a ) , a > , i ta có dùng ph ng pháp thác tri n l ho c ch n hàm s cho, c th nh sau: L p hàm s Fl (x) tu n hoàn v i chu kì T = 2a ⎧− f ( − x ) , − a < x < Fl ( x) = ⎨ , 0< x