Ds c3 tich phan

CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b)  F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu f ( x)dx a Ta dùng b kí b F ( x) a hiệu F (b)  F (a) để hiệu số F (b)  F (a ) Vậy b f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a) a b Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu f ( x)dx hay a b f (t )dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào a cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục khơng âm đoạn b [a; b] tích phân f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị a b hàm số y  f ( x) , trục Ox hai đường thẳng x a, x b Vậy S f ( x)dx a Tính chất tích phân a b f ( x)dx 0 a b a c c b b b k f ( x)dx k f ( x)dx (k  ) a b b b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ( a  b  c ) a a f ( x)dx  f ( x)dx a a b [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx a a a B KỸ NĂNG CƠ BẢN Một số phương pháp tính tích phân I Dạng 1: Tính tích phân theo cơng thức Ví dụ 1: Tính tính phân sau: 1 dx a) I  (1  x ) x dx b) I  x 1 2x  dx c) I  x 3 x dx d) I  4 x Hướng dẫn giải 1 1 dx d (1  x)   a) I  3 2(1  x) (1  x ) (1  x )  x   dx    dx  x  ln( x  1)  x 1 x 1  0 b) I  1 1  ln 1 2x    dx    dx  x  3ln( x  3)  3  6ln  3ln x 3 x 3 0 c) I    1 x d 4 x d) I  dx   ln |  x | ln 2 20 4 x 4 x http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 1/80 Bài tập áp dụng 1 1) I x ( x  1) dx   2) I  x  x  dx 0 16 3) I x  xdx 4) I   0 dx x 9  x II Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân b b b Sử dụng tính chất [f ( x)  g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối a a a Ví dụ 2: Tính tích phân I  | x  1| dx 2 Hướng dẫn giải  x  1,  x  1,  x 2 Do  x   Nhận xét: x   1 1 1 2  x2   x2  I  | x  1| dx  | x  1| dx  | x  1| dx   x  1 dx   x  1 dx    x     x  5   2   1 2 2 1 2 1 Bài tập áp dụng 2 1) I  | x  | dx 2) I  | x  x  x  | dx 4 1  x 3) I |  | dx  4) I  2 | sin x | dx  5) I   cos xdx  III Dạng 3: Phương pháp đổi biến số 1) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số u u ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b]  u ( x)  Giả sử viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x [a;b], với g liên tục đoạn [ ;  ] Khi đó, ta có u (b ) b I f ( x)dx  a  g (u )du u(a)  Ví dụ 3: Tính tích phân I  sin x cos xdx  Hướng dẫn giải    Đặt u sin x Ta có du cos xdx Đổi cận: x 0  u (0) 0; x   u   1  2  0 Khi I  sin x cos xdx  u du 1 u 1   3 Bài tập áp dụng 1) I x x  1dx e 3) I  1  ln x dx x Dấu hiệu 2) I x x  1dx e2 dx x  ln x 4) I   e Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân Có thể đặt Ví dụ http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 2/80 Có f ( x) x3 dx Đặt t  x  x 1 t  f ( x) I  Có (ax  b)n t ax  b I  x( x  1) 2016 dx Đặt t  x  Có a f ( x ) t  f ( x) I 4 Có Có e x dx t e x biểu thức chứa e x I  e x 3e x  1dx Đặt t  3e x  Có sin xdx t cos x I 2 sin x cos xdx Đặt t sin x Có cos xdx t sin xdx I  Có dx Có sin x e tan x 3 dx Đặt t tan x  cos x e ln xdx I  Đặt t ln x  1 x (ln x  1)  t ln x biểu thức chứa ln x dx ln x x dx cos x ln  sin x dx Đặt t 2cos x  2cos x    1 I 4 dx  04 (1  tan x) cos x dx cos x Đặt t tan x  t tan x  I 4 t cot x ecot x ecot x dx  dx Đặt  cos x 2sin x t cot x 2) Đổi biến số dạng Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Giả sử hàm số x  (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ;  ](*) cho  ( ) a,  (  ) b a  (t ) b với t  [ ;  ] Khi đó: b  f ( x)dx f ( (t )) '(t )dt a  Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng    a  x : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 |a|    ; t    ;  \ {0} x  a : đặt x  sin t  2    x  a : x | a | tan t ; t    ;   2 ax a x : đặt x a.cos 2t a x ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I   tích phân I 0 x3 dx x2  x dx x2  phải đổi biến dạng cịn với nên đổi biến dạng Ví dụ 4: Tính tích phân sau: a) I   x dx dx 1 x b) I  Hướng dẫn giải  a) Đặt x sin t ta có dx cos tdt Đổi cận: x 0  t 0; x 1  t  http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 3/80   0  Vậy I   x dx  | cos t |dt  cos tdt sin t | 1     x 0  t 0  b) Đặt x tan t , ta có dx   tan t dt Đổi cận:    x 1  t      Vậy I  dx  dt t |    0 1 x IV Dạng 4: Phương pháp tính tích phân phần Định lí : Nếu u u ( x) v v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b b u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  a  u '( x)v( x)dx , a a b hay viết gọn b b udv uv |a  vdu a Các dạng bản: Giả sử cần tính a b I P ( x ).Q( x)dx a Dạn g hà m P(x): Đa thức thức Q(x): sin  kx  hay P(x): Đa Q(x): ekx Các h đặt * u P ( x ) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân cos  kx  P(x): Đa thức P(x): Đa thức Q(x): Q(x): hay sin x cos x ln  ax  b  * u P ( x ) * dv Phần * u ln  ax  b  lại dv  P  x  dx biểu thức * dấu tích phân * u P ( x ) * dv Phần lại biểu thức dấu tích phân Thơng thường nên ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”  e Ví dụ 5: Tính tích phân sau : a) I  x sin xdx  b) I  x ln( x  1)dx 0 Hướng dẫn giải u x du dx a) Đặt  ta có  dv sin xdx v  cos x  Do I  x sin xdx   x cos x    |02    cos xdx 0  sin x |02 1  du  dx  u ln( x  1) x 1  b) Đặt  ta có  dv xdx v  x   e  x2  1 I  x ln( x  1) dx  ln( x  1)     e  e ( x  1)dx   e2  2e   x    x 2  e e  2e  e  4e  e    2 Bài tập áp dụng http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 4/80 x 1) I (2 x  2)e dx  2) I  x.cos xdx  2 x 3) I  x sin dx 2 2x 4) I ( x  1) e dx http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 5/80 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a; b] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b b  f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx a a b a b a b b b C kf ( x)dx k f ( x)dx a a B f ( x)dx  f ( x)dx b D xf ( x )dx x f ( x)dx a a a Câu Cho hàm số f liên tục  số thực dương a Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? a a A f ( x)dx 0 a a B f ( x)dx 1 a a C f ( x)dx  D C D a f ( x)dx  f (a) a Câu Tích phân dx có giá trị A  B a Câu Cho số thực a thỏa mãn e x 1 dx e  , a có giá trị 1 A B  C D Câu Trong hàm số đây, hàm số có tích phân đoạn [0;  ] đạt giá trị ? A f ( x ) cos 3x B f ( x ) sin x x  x  C f ( x ) cos    D f ( x ) sin    4 2 4 2 Câu Trong tích phân sau, tích phân có giá trị khác ? e2 A ln xdx B 2dx C  sin xdx D 0 Câu Trong hàm số đây, hàm số thỏa mãn B f ( x ) cos x A f ( x ) e f ( x)dx  f ( x)dx ? 1 x xdx C f ( x) sin x 2 D f ( x ) x  dx Câu Tích phân I  có giá trị x A 3ln B ln C ln D ln  dx Câu Tích phân I  có giá trị  sin x 1 A ln B ln C ln D ln Câu 10 Nếu   e  x /2  dx K  2e giá trị K 2 A 12,5 B C 11 D 10 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 6/80 1 dx có giá trị Câu 11 Tích phân I  x  x  A ln B  ln C  ln D ln Câu 12 Cho hàm số f g liên tục đoạn [1;5] cho 5 f ( x)dx 2 g ( x)dx  1  g ( x)  Giá trị f ( x ) dx A  B C D  f Câu 13 Cho hàm số liên tục đoạn [0;3] Nếu f ( x)dx 2 tích phân  x  f ( x) dx có giá trị A B C Câu 14 Cho hàm số f liên tục đoạn [0;6] Nếu D f ( x)dx 2 f ( x)dx 7 f ( x)dx có giá trị A B  C Câu 15 Trong phép tính sau đây, phép tính sai? 2 x x A e dx  e  B x dx  ln x  2 3 3 2 D  2  x2  D  x  1 dx   x   1 2 C cos xdx  sin x    Câu 16 Cho hàm số f liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm hàm F đoạn [a; b] Trong phát biểu sau, phát biểu sai ? b A f ( x)dx F (b)  F (a) a B F '( x)  f ( x) với x  (a; b) b C f ( x)dx  f (b)  f (a) a b f ( x)dx G(b)  G (a) D Hàm số G cho G ( x) F ( x)  thỏa mãn a Câu 17 Xét hàm số f liên tục  số thực a , b , c tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? b A b f ( x)dx f ( x)dx  a c a f ( x)dx c b B c b f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx a a c http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 7/80 b c b C f ( x)dx f ( x) dx  a a b f ( x)dx c c D f ( x) dx f ( x) dx  c a a f ( x)dx b Câu 18 Xét hai hàm số f g liên tục đoạn  a; b  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? b A Nếu m  f ( x ) M x  [a; b] m(b  a ) f ( x)dx M (a  b) a b f ( x)dx m(b  a) B Nếu f ( x ) m x  [a; b] a b C Nếu f ( x ) M x  [a; b] f ( x)dx M (b  a) a b f ( x)dx m(a  b) D Nếu f ( x ) m x  [a; b] a Câu 19 Cho hai hàm số f g liên tục đoạn [a; b] cho g ( x) 0 với x  [a; b] Xét khẳng định sau: b I b b  f ( x)  g ( x) dx f ( x)dx  g ( x)dx a a b a b b II  f ( x)  g ( x)  dx f ( x )dx  a a b III b g ( x )dx a b  f ( x).g ( x) dx f ( x)dx.g ( x)dx a a a b f ( x )dx  f ( x) a dx  b IV  g ( x ) a g ( x)dx b a Trong khẳng định trên, có khẳng định sai? A B C D Câu 20 Tích phân x( x  1)dx có giá trị với giá trị tích phân tích phân đây? 3 A  x  x  3 dx B sin xdx ln 10 C e  2x dx D cos(3x   )dx 0 Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? b A Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b  , cho f ( x)dx 0 f ( x ) 0 a x  [a; b] B Với hàm số f liên tục đoạn [ 3;3] , ln có f ( x)dx 0 3 b C Với hàm số f liên tục  , ta có a f ( x)dx f ( x)d ( x) a b http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 8/80 D Với hàm số f liên tục đoạn  1;5  f ( x)  dx  f ( x)  3 Câu 22 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu f hàm số chẵn  f ( x)dx  f ( x) dx 0 B Nếu 1 f ( x)dx f ( x)dx 1 f hàm số chẵn đoạn [ 1;1] C Nếu f ( x)dx 0 f hàm số lẻ đoạn [ 1;1] 1 D Nếu f ( x)dx 0 f hàm số chẵn đoạn [ 1;1] 1 Câu 23 Giả sử F nguyên hàm hàm số y x sin x khoảng (0; ) Khi x sin xdx có giá trị A F (2)  F (1) B  F (1) C F (2) D F (1)  F (2) b Câu 24 Cho hàm số f liên tục  hai số thực a  b Nếu f ( x)dx  tích a b2  f (2 x)dx phân có giá trị a  B 2 C  D 4 Câu 25 Giả sử F nguyên hàm hàm số y x sin x khoảng (0; ) Khi A tích phân 81x sin xdx có giá trị A 3 F (6)  F (3)  B F (6)  F (3) C 3 F (2)  F (1)  D F (2)  F (1) Câu 26 Giả sử hàm số f liên tục đoạn [0; 2] thỏa mãn f ( x)dx 6 Giá trị tích  phân  f (2sin x) cos xdx A  B C  e Câu 27 Bài tốn tính tích phân I  D ln x  ln x dx học sinh giải theo ba bước x sau: I Đặt ẩn phụ t ln x  , suy dt  dx x x e t e ln x  ln x dx  t  t  1 dt II I  x 1 http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 9/80 2   III I  t  t  1 dt  t   1  t 1  Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai Bước III  sin x dx Thực phép đổi biến t cos x , ta đưa Câu 28 Xét tích phân I    cos x I dạng sau  2t dt A I   1 t  2t dt B I   1 t 1 2t D I 1  t dt 2 2t C I  1  t dt Câu 29 Cho hàm số y  f ( x ) liên tục đoạn [a; b] Trong bất đẳng thức sau, bất đẳng thức đúng? b a b b b A  f ( x) dx  a b a a b b D f  x  dx   f ( x) dx C  f ( x) dx  f ( x )dx a b B f  x  dx  f ( x ) dx f ( x)dx a a a Câu 30 Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A  C sin(1  x)dx sin xdx B (1  x) x dx 0  x sin dx 2 sin xdx  0 D x 2017 (1  x)dx  1 2019 Câu 31 Cho hàm số y  f ( x ) lẻ liên tục đoạn [ 2; 2] Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? 2 A f ( x)dx 2 f ( x )dx B f ( x)dx 0 2 2 2 2 D f ( x)dx  f ( x)dx C f ( x)dx 2 f ( x )dx 2 2 Câu 32 Bài tốn tính tích phân I  ( x  1) dx học sinh giải theo ba bước 2 sau: I Đặt ẩn phụ t ( x  1) , suy dt 2( x  1)dx , dt dt dx  dx Đổi cận 2( x  1) t x 2 t 4 t dt  t  III Vậy I  ( x  1)2 dx  3 2 t Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải Câu 33 Một học sinh định lên bảng làm tốn tích phân Mỗi giải 2,5 điểm, giải sai (sai kết sai bước tính nguyên hàm) điểm Học sinh giải tốn sau: Bài Đề Bài giải học sinh II Từ suy http://dethithpt.com – Website số chuyên đề thi file word có lời giải Trang 10/80