Tich phan 201011

NGUYÊN HàMTíCH PHÂN Và ứng dụng Bảng CÔNG ThứC đạO hàm nguyên hàm Cỏc quy tc ly o hm • ( u + v − w) = u + v − w ' ' ' • ∫ k.dx = k.x + C ' • ( u.v) = uv + uv • • • ( au) = a.u' ( a số ) • ' ' ' ' ' ' ' u ữ = uv uv  v •∫ v Cơng thức đạo hàm ( ) • ( u ) = α u • xα = α.xα−1 α −1 u ' ' 1 •  ÷ = − x  x ' • x = x ( ) dx = − + C x ∫ x dx = ln x + C x dx = x + C xn+1 +C n+ 1 −1 • ∫ n dx = +C x (n − 1).xn− • ' α ' ∫x ' 1 •  ÷ = − u ' u u ' ' u • u = u ( ) • ( sin x ) = cos x ' • ( sin u ) ' = u 'cos u n ∫ x dx = (ax + b)n+1 n ( ax + b ) dx = + C (n ≠ 1) ∫ a n+ • 1 +C a(n − 1)(ax + b) n −1 1 dx = ln ax + b + C • ∫ (ax + b) a • ∫ (ax + b) • ∫ sin x.dx = − cos x + C n dx = − • ( cos x ) = − sin x • cos x.dx = sin x + C • ( cos u ) = −u 'sin u • ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C • ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C • ∫ cos • ∫ sin ' ' • ( tan x ) ' = = + tan x cos x u' = u '(1 + tan u ) cos u ' • ( cot x ) = − = −(1 + cot x) sin x u' ' • ( cot u ) = − = −u '(1 + cot u ) sin u • ( tan u ) ' = LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -1- 1 x dx = ∫ (1+ tan2 x).dx = tan x + C x dx = ∫ 1+ cot2 x dx = − cot x + C ( ) • (e x ) ' = e x • • (e u ) ' = u ' e u • ( a x ) ' = a x ln a • ( ln u ) ' = u ' • ( ln x ) ' = x • ( log a x ) ' (a u )' = u '.au ln a ac x+ ' ' bc n a +C ( ax +b ) e +C a ∫ f (x).dx = F (x) + C ⇒ ∫ f (ax + b)dx = F (ax + b) + C ∫x 1 x−a [ln x − a + ln x − b ] + C = ln +C a−b a−b x−b am +C x • a x dx = a + C ∫ ln a akx+ b • ∫ akx+ bdx = +C k.lna ∫ ( x − a)( x − b) = a − b ∫ [ x − a − x − b ]dx • x −x ∫ ac b' c'  ax + bx + c  a b =  ' ' ' ÷  a x +b x+c  ( a' x2 + b' x + c' ) dx • e ( ax +b ) dx = x2 + ' ' x −x u ln a ab 2 ∫ e dx = e • e dx = − e ∫  ax + bx + c  amx + 2anx + bn cm ữ= ( mx + n )  mx + n   ∫ sin (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C • ad − bc  ax + b ữ' = cx + d  ( cx + d ) = • • log u ' = u ' ( a ) x ln a ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C u = • = dx dx 1 =∫ = ∫[ − ]dx −a ( x − a)( x + a) 2a x − a x + a 1 x− a [ln x − a + ln x + a ] + C = ln +C 2a 2a x + a Các công thức lượng giác thường dùng tính nguyên hàm = am−n • n a = a−n 2 • n m am = a n − • a m n = n am • cos2a = cos a − sin a = 2cos a-1=1-2sin a • sin 2a=sin a.cosa ( nhâ n đô i) 1− cos2a 1+ cos2a • sin2 a = • cos2a = ( hạbậ c 2) 2 1 • cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a − b)] • sina.sinb = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 • sin a.cosb = [sin(a + b) + sin(a − b)] ( tích nh tổ ng ) • sin3a = 3sin a − 4sin3 a ⇒ sin3 a= (3sina-sin3a) ( nhaâ n ba → hạbậ c3) • cos3a = 4cos3 a 3cosa cos3a= (3cosa+cos3a) LTĐH2011 -2GV:NguyễnVănNhơng Bi PHƯƠNG PHáP TíNH Nguyên hàm : Tính nguyên hàm công thức , định nghĩa : (1) ∫ ( x − 2x + 3x − 2)dx (2) (4) ∫( (7) x3 + 2x2 + x − ∫ x2 + 2x + dx )( ) x + x − x + dx (5) x2 − x dx x (1 ∫ (1 3) (1 6) (1 9) ∫ ( 2sin2x + 3cos3x) dx ∫ sin 2xdx e 2x -1+2 x ∫ ex dx sin x.dx ∫ + cos x (2 2) (2 5) (8) x − x3ex + x2 dx (6) x3 ∫ ∫ (3) ( 1− x) dx x x x dx ∫ 2sin (1 4) (1 7) (2 0) ∫ cos3xcosxdx ∫ (sinx + cosx) dx (2 3) ∫2 2 ∫( e x 2x2 + 2x + ∫ x + dx ∫ (x 2 (1 1) + 1) dx x x 3x dx (9) ∫ − 2)3 dx (1+ x ) dx x 2xdx (1 2) ∫ cot (1 5) (1 8) (2 1) ∫ sin4xcos2xdx ∫ (tanx + cot x) dx (2 4) ∫  e 3x + (2 (2 x + x −4 + dx dx x 6) 7) e +1 x : Tìm nguyên hµm F(x) cđa hµm sè ∫ ∫ Bài 2x − ∫ x + dx dx dx ∫ 1-cosx ; ∫ 1+sinx 1   + − ÷dx x x x dx ∫ x +1 − x 2x + cosx víi F(0) = f(x) = víi F(π) = x+ 1+ sinx 1 x2 − 2x + − víi F(1) = f(x) = Nếu đồ thị 4.f(x) = x x x f(x) = hµm sè   9 2 y = F(x) qua điểm 3; ữ Bi 5.f(x) = 2xln2 + 3xln3 víi F(0) = 6.f(x) = 6sin2xsinx víi F(0) = : Tính nguyên hàm bng phng phỏp i bin s : LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -3-  Đặt t = u(x) , lấy vi phân vế dt = u’dx Thế vào ∫ f (x)dx = ∫ g(t).dt = G(t) + C = F(x) + C xdx −1 (1) ∫ (x (4) ∫ (7) x2 − 2x ∫ x3 − 3x2 + 1dx (8) (1 0) ∫ (2 x − 3) dx (1 1) (1 3) ∫x (1 4) (1 6) ∫ dx − 4x + x3dx x3 ∫ (x +1)2 dx dx ∫ (3x − 1)5 xdx ∫ x4 − (1 7) ∫ sinxcos (1 9) ∫ (tan x + tan (2 0) ∫ tan xdx (2 1) (2 2) e x dx ∫ x sin 2x ∫ + cos 2x dx (2 3) ∫2 (2 4) + 1)5.x2dx xdx (2) (5) x2 + x +2 x)dx ∫x ∫x (3) 2x − dx − x+1 (6) (9) (1 2) (1 5) xdx sin x cos xdx (1 8) sin x (2 (2 (2 dx 5) 6) 7) + cos x Bài : Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số : ∫ xdx ∫ 1− x ∫ (2x − 1).e x2 − x dx +x dx ∫ x2 − dx ∫x ∫x x2 + cosx ∫ sin3 x dx dx ∫ sinx.cosx sin 2x.dx ∫ + cos x ecot x dx ∫ sin x (1) ex ∫ ex − 1dx (2) ∫ (sinx + 1)cos x.dx (3) ∫ sin (4) ln3 x.dx ∫ x (5) (2 + 3ln x)3 dx ∫ x (6) ∫x (7) ∫ x(1− x) (1 0) (2 x 3) dx 20 LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng dx (8) ∫ tg xdx (1 1) ∫ (3x − 1) (9) dx -4- (12 ) dx x.cos4 x.dx dx ln x dx ∫ cos4 x dx ∫ x2 − dx ∫ x2 − 4x + x3dx (1 3) (1 6) ∫ (1 9) x +2 ∫e cos2x (2 2) ∫ x (2 5) dx ∫ x2 − xdx ∫ x4 − (15 ) ∫x (1 7) lnx.3 1+ ln2 x dx ∫ x cos2x ∫ sinx + cosx dx x dx (18 ) ∫ (21 ) ∫ 1+ (2 0) sinxcosxdx (23 ) − xdx 7+x dx ∫ x2 + (26 ) (1) cos2x.dx ∫ (sinx + cosx)2 (2) (4) ∫ cosx x.dx (5) (1 0) ∫ x2 + cosx − cos3 xdx dx (24 ) ∫ 1+ ∫x (27 ) x x dx 3 x4 + dx − 4x + : Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số : Bài (7) dx (1 4) sin x + sin x ∫ + 3cos x dx sin x + cos x ∫ sin x − cos x dx (1 3) ∫ (e (1 6) ∫ e x dx x + 1) e x + (8) (1 1) (1 4) − cos3 x sin x.cos5 x.dx (q) ∫ sin 2xdx 3sin2 x + 4cos2 x + cos x.dx ∫ − sin x + sin x sin x.cos x ∫ + cos x dx sin x ∫ cos x + dx ∫ e x dx ex −1 dx ∫ + sin x + cos x (3) tan4 x ∫ cos2x dx sin x − sin x cot x.dx sin x (6) ∫ (9) − sin x ∫ + sin 2x dx (12) ∫ cos sin xdx x + cos x x5 + x3 dx (15) ∫ x2 + sin x.cos xdx (18) ∫ + cos x Phương pháp tính ngun hàm phần  • Đặt u = u(x) , lấy vi phân vế , du = u’dx dv = v’.dx , lấy nguyên hàm v (C=0) , v = v(x) LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -5- Áp dụng công thức nguyên hàm phần Bài (1) Phương pháp nguyên hàm phần loại : ( Đặt dv = sinx , cosx, ex) ∫ x.sin2xdx (4) ∫x (7) ∫ x.2 dx ∫ e dx (1 0) (1 3) (1 6) (1 9) ∫ u.dv = uv− ∫ v.du cosxdx x xdx x ∫ cos ∫ ( x + sin x) cos x.dx x2 dx ∫ (2x − 1)cos2x.dx (5) ∫ x.sin (8) ∫ (sin x + x).cos xdx ∫ sin x.dx (11 ) (14 ) x ∫ x e (2) xdx ∫ x.tan x.dx (17 x ∫ (e + sin x).sin x.dx ) (20 2x ∫ (4 x − x − 1).e dx ) (3) ∫ x.e 2x dx (6) ∫ x e (9) ∫ x(.e + e )dx ∫ e sin2x.dx (12 ) (15 ) (18 ) −x x dx x x ∫ (x ∫ − x).e x dx ( x + sin x) dx cos x Phương pháp nguyên hàm phần loại : ( Đặt u = lnx , ln(ax+b) ) (1) ∫ x.lnxdx (2) ∫x (4) ∫ lnx dx x2 (5) ∫ (7) ∫ xln( 1− x)dx (8) ∫ sin 1+ x (1 0) (1 3) ∫ ln( x + (1 6) ∫x (1 9) ∫ ln( x x + 1).dx ∫ cos(ln x).dx ln(1 + ).dx x − x)dx (3) ∫ x.ln(x + 1)dx (6) ∫ ln ln(sin x)dx (9) ∫ (11 ) (14 ) ∫ cosx.ln(1+ cosx).dx ∫e ∫ sin(ln x).dx (12 ) (15 ) (17 ) ∫ ln(ln x) dx x (18 ) ∫ (1-x (20 ) x2 + ∫ x ln x.dx (21 ) ∫ lnx.dx lnx x dx x phƯơng pháp tính tích phân LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -6- x.dx x ln xdx x ln(1 + e x ).dx ln x.dx ∫ ( x + 1) 2 ).lnx.dx ln(1 + x) dx x2 C«ng thøc Newton-Leibniz b I = ∫ f ( x ).dx = F ( x ) a = F (b ) F (a ) b a Tính tích phân sau định nghĩa : π /2 ∫ ( x + 1) dx ∫ xdx ∫ xdx ∫ 1− cos2xdx e2x − 2ex + 1dx π /4 ∫0 2x + 1dx ∫  2x + 4dx 10 x2 − x + ∫ x − dx −1 π /2 x ∫0 x + 1dx π dx ∫1 x2 + x ∫ ∫ x 16 cos2 dx x2 − 2x dx −2 x − 2x + x + dx ( x − 1) −1 ∫ ( 1+ sinx) dx + ∫ ( 1+ cosx) dx 1 x2 14 ∫ dx x +1 π /2 18 ∫ tan2 xdx /2 21 Phơng pháp ®æi biÕn sè Đặt t = u(x) , lấy vi phân vế → dt = u’(x) dx Đổi cận : + Cận : x = b → t= u(b) + Cận : x = a → t = u(a) -7- x3 15 ∫ dx x +1 2π 19 1+ sinxdx 23) ∫ cos3xcos5xdx LT§H2011 GV:NguyễnVănNhơng /2 /2 x3 − x2 + dx 13 12 ∫ 1− x −3 ∫ 11 20 π ∫ sin  − x÷ dx 17 −1 ∫ −π /2 ∫ sin 2xdx π /2 ∫ − π /2 sin2xsin7xdx Thế vào • b I = ∫ f ( x).dx = a u (b) ∫ u (b ) g (t ).dt = G (t ) u ( a ) = G[u (b )] − G[u (a )] u(a) TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: e2 e ln5 x dx ∫ x 1 x3 ( x4 + 1) dx ∫ π /2 cot2xdx tan4xdx dx ∫ x + 2x + 10 13 ∫ sin π /2 ∫ cos5 xdx ∫ dx cos4 x π /4 ∫ 11 x 1− x dx xdx ∫x 18 15 12 − x2 dx 16 x3 ∫0 1+ x8 dx sin3 xcos2 xdx 22 19 ∫ 1+ e x dx 20 25 π /2 π /2 sin3 xcos3 xdx 26 ∫x −1 ∫ esinx cosxdx esin x sin2xdx 30 LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng x+1 dx + 2x + 23 ∫ ∫ cos x ∫π/6 sin2 x dx 29 1− x2 dx π /2 π /2 ∫ 1− x2 dx ∫π/4 sin4 x dx π /2 π /2 ∫ 1 21 dx π /2 17 π /12 ∫ dx ∫ 14 x2 + 1 π /12 ∫ 4x ∫ ∫ sin xcosxdx ∫ 1+ x π /4 ∫e xln5 x dx π /4 ∫x −1 tanx e ∫ cos -8- 5x + dx + x−2 x dx 24 π /2 ∫ sinx dx 1+ 3cosx π /2 π /4 ∫ 37 sin2x ∫ 1+ cos 33 x x dx 1+ x4 dx 34 ∫ ∫ 41 35 sinx − cosx 32 1+ lnx dx x π /6 tan4 xdx ∫ 38 x ∫ x 28 xe dx dx ∫ sinx + cosx dx 31 e tan3 xdx ex π /4 π /4 ∫ 27 ∫ 1+ 4sinx.cosxdx 36 ∫ 1+ ∫ x dx 23 45 x ∫ x 1+ x dx 42 1− x dx 46 π /2 39 cosx ∫ 1+ sin x dx 40 ln3 sin( lnx) ∫1 x dx e ∫1 x( 1+ lnx) dx 50 ∫ 0 e ln( − x) dx − x 49 ln8 ∫ ex − ∫ln2 ex + 1dx e2 ex + 1.e2xdx 43 ∫ e ln3 lnx dx 44 x π /2 cotx.3 sin3 x − sinxdx ∫ sin3 x π /3 π /2 48 ∫ sin2x cos x + 4sin2 x π /2 47 π /3 dx ln5 dx dx x −x 51 e + 2e − ln3 ∫ (1)Cho f(x) lµ hàm số liên tục lẻ đoạn [-a; a] chøng minh a ∫ f ( x) dx = a LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -9- dx sinx a f ( x) dx = (2)Cho f(x) hsliên tục chẵn [-a; a] chứng minh a a f (x )dx Phơng pháp tích phân phần Phương pháp tính tích phân phần  • Đặt u = u(x) , lấy vi phân vế , du = u’dx dv = v’.dx , lấy nguyên hàm vế (C=0) , v = v(x) a a ∫ u.dv = [ u.v] − ∫ v.du Áp dụng công thức tích phân phần b a b b TÝch tích phân /2 /2 ∫ xsinxdx xcos2xdx ∫ ∫ ∫ ∫ π /2 ∫ x2 sinxdx e ∫ ( 4x + 1) lnxdx e ∫ 10 x e dx 13 ∫e ∫ 12 ln xdx ∫ xsin sinx e 11 x lnxdx xdx 15 xln( x2 + 1) dx 16 ∫ 14 π /2 −x π /2 x2exdx x dx cos2 x ∫ 0 ∫ e lnxdx 2x xe dx π /2 ( 2x − 1) cosxdx sin2xdx 17 ∫ x5ex dx 19 xln( x + 1) dx 20 ∫ 0 x 18 ( 2x + 1) e dx ∫ π /2 ∫ cosx.ln( sinx) dx π /6 Bài Tập bổ sung Tích phân hàm đa thức LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -10- 1 e cosxdx x π ( ∫ a) sin x + sin x π /4 ∫ d) ) 3π + sin x dx cos x ∫( e sinx e) p) ∫ ∫ sin π π x + cos3 x ) dx ∫ c) cos x.cos4 x.dx π dx x.cos x f) π k) − 2sin x dx cos x h) ∫0 + 2s inx dx + cos x ) cos x.dx m) ∫ + sin x π cos x ∫0 + cos x dx o) π π s) sin x.cos x dx ∫0 + cos x ∫ + 3cos x ∫ ∫ u) cos x w) π s inx.dx 0 dx v) ∫ π  π s inx.sin  x + ÷ 6  + cos x π t) sin x.t anx.dx π 4sin x ∫0 + cos x dx r) s inx.cos x dx sin x +s inx dx − cos3 x s inx.cos x.dx q) ∫ π π π + sin x + cos2 x dx s inx + cos x π ∫ π π sin x dx g) ∫ π cos x l) ∫ ( sin b) dx π π π cos x + 2s inx ∫ cos x + 3s inx dx Tích phân phần: e −1 a) ∫ ln ( x + 1) dx ∫ ( ) b) ln x x dx LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng 2 ∫ ( ) c) x.ln x + dx -14- 2 d) ∫ ( x.ln x ) dx e ∫ ( x + 1) e) f) 1/2 l) π ∫( x π ln x.dx ∫ π π x.dx k) x + s inx dx ∫0 cos2 x + cos2 x x + 1.dx g) x.cos x.dx h) ∫ ∫ π π2 + 1) s inx.dx m) ∫ x ( 2cos x − 1) dx ∫ sin n) π ∫ p) ∫ x.l o g xdx x dx o) ∫ x sin x dx 10 π2 π x q) ∫ 5e x sin xdx r) x e dx s) e x cos x.dx 0 ∫ Tích phân hàm mũ logarit x− x a) ∫ ( x − 1) e dx e + 3ln x ln x dx x ∫ e) 1 g) ∫ ln ∫ f) ln h) 2x + b) 1 − ex dx + ex dx ∫ ln ∫ 1 dx c) ∫ x e + ex ∫ x d) e dx 2x e dx ex −1 + log x dx 2x  3x  x +5 k) ∫  + ÷dx sin ( x +1) x +1 ÷   1/9 l) ∫ ( 10 x /4 −2 − sin π x ) dx Tích phân hàm số mũ: 1 e x dx 1) ∫ x e +1 4) 7) dx 2) ∫ x e +1 dx ∫0 e2 x + e x 5) dx ∫ln e x + 2e− x − ln ln ∫ ln e − 1.dx x 8) ∫ 10) ∫ ( x + 1)e dx −2 x LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng e x dx ex + 1 ex + ∫0 2e x + dx 3) ln 6) ∫ ln ln 9) ∫ 11) sin xe dx ∫ -15- 12) ∫ ex −1 e x + 3e x dx e x + 3e x + ln 2x (e x + 1)e x dx ex (e x + 1)3 1 π ∫ sin x.e 16) x2 x +3 14) ∫ x e dx x 13) ∫ e dx 15) ∫x e 1+ x3 dx π dx −π ∫ x e 17) cos x dx −π Tích phân hàm số logarit : e 1) ∫ ( x + 1).ln xdx e e e e e x3 + ln xdx 6) ∫ x dx − ln x 9) ∫ 8) ∫ x ln x + 1dx e8 11) π /6 ∫ 14) −π / π /3 π /4 ln(tan x) dx π /6 cos x ∫ ∫ 12) e 13) ∫ cos(ln x) dx x ln( x + + x ) ln x dx 10) ∫ x 16) ∫x 5) + 3ln x ln x dx x 7) ∫ ln x + ln x dx x 3) ∫ ln( x + 1) dx 4) ∫ x2 e ∫ x ln xdx 2) 17) e3 sin x ln( x + 1)dx 15) ∫ ln + x2 dx + ln x dx x ln x x2 + dx x2 + ln(tan x) dx π /4 sin x ∫ Tích phân cận đối π a) ∫ − π s inx.sin x.cos5 x dx c) ex + π ∫ − π 1 x + cos x x4 dx dx 1− x2 dx d) e) x ∫ ∫ − sin x 1+ DIệN TíCH HìNH PHẳNG LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -16- Bi Toỏn NG DUẽNG TCH PHAN TNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: ∫ 1− x dx x=a (H ) O x=b (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) (C1 ) : y = f ( x) (C ) : yb= g ( x )  (H ) :  ∆1 : x = a  ∆ : x = b a x ∫ 1− x dx (C ) : x = g ( y) y=b b a (H ) O S = ∫ [ f ( x ) − g ( x )] dx a yC1 y C2 b S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy xC1 a (1) DiÖn tích hình phẳng giới hạn đờng y = sinx, y = 0, x = 0, x = π y = cosx, y = 0, x = 0, x = π (2) (3) y = x2 - 2x vµ trơc hoµnh (4) y = x2 - x vµ trơc Ox, vµ x = 0, x = (5) y = x4 - x2 vµ trơc hoµnh (6) y = x(3 - x)2 vµ trơc hoµnh (7) y = x2 - x vµ y = 3x ( 8) y = x3 - x y = 3x LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng x (C1 ) : x = f ( y ) b Bài y=a (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y )  (H ) :  ∆1 : y = a  ∆2 : y = b -17- xC (9) y = x3 - 3x vµ y = -3x + 1, x = 0,x=2 (10) y = x4 - 2x2 vµ y = -1 (11) y = x3 vµ y = 0, x = -1, x = (12) y = lnx vµ y = 0, x = e x = y3 vµ y = 1, x = (13) y2 = x vµ y = x (14) y = ex , y = e-x, x = (15) y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến (P) điểm M(3; 5) trục tung (16) y = x2 - 2x + 2, tiÕp tuyến (P) điểm M(2; 2) đờng thẳng x = x vµ y = 0, x = 0, x = x+1 x2 + x (18) y = vµ trơc hoµnh x− 2x + (19) y = tiệm cận ngang (C) đờng th¼ng x = 1, x+ (17) y = x=3 (20) (C): y = x2 , tiƯm cËn xiªn cđa (C) đờng thẳng x = 2, x1 x=3 (21) xy = , y = 0, x = a, x = 3a (a > 0) (22) y = x , y = vµ y = x2 miÒn x ≥ 0, y ≤ (23) x = 1, x = 2, trục Ox đường cong y = x ( x3 + 1) (24) y = x2 − 4x + vaøy = x + (25) x + y = ; x2 – 2x + y = (26) y = xlnx , y = , x = e (27) y = x2, trục Ox, tiếp tuyến điểm M có hoành độ (28) y = −x2 + 4x − , tiệm cận xiên (C) hai đường x −1 thẳng x = 2, x = LT§H2011 GV:NguyễnVănNhơng -18- Thể tích vật thể TRòN XOAY Cụng thc: y x=a O a y x=b (C ) : y = f ( x) y=0 b x=0 x O b y=a a x b y=b (C ) : x = f ( y ) b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x)] dx a a Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số quay xung quanh trôc Ox : (1) y = x − 1, trục Ox đờng thẳng x = 1, x = hai trục toạ độ  (2) y = 0≤ x ≤ cosx   ÷ 2 (3)y = 0, y = x - x2 (4) y = cosx, y = 0, x = 0, x = y = 0, x = 0, x = π (6) y= x xe2 , y = 0, x = 0, x = x (7) y= x.e2 , y = 0, x = 0, x = = 1, x = e (i) quay quanh trôc Ox (9) y = (11) x , y = 2, y = 4, x = π (5) y = sin2x, (8) y=lnx, y = 0, x (ii) quay quanh trôc Oy (10 y = x2 y2 + =1 a2 b2 x , x = 0, x = x+1 Bài TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số quay xung quanh trục Oy : x(y + 1) = đờng thẳng x = 0,y = 0, y = (1) LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -19- (2) y = đờng thẳng y = 1, y = 4, x = x (3) y = x3, y = 0, x = (4) y = x2 vµ y = 2x (5) y = x;y = − x;y = Các đề thi Tích phaân (1) I= π /2 ln (2) sin x − cos x ∫ I= (e x + 1)e x dx ∫ e −1 I= π /2 sin x.dx ∫ ∫e I= x ln dx + 5e − x − ( B 2006) ∎ (6) (CÑSPLongAn) I = ∫ xe − x dx I= (7) π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx (Cao Thaéng) 7/3 (8) (D2006) I = ∫ ( x − 2)e x dx (5) ( A2006) cos x + 4sin x ln (4) ( Phaân ban KHTN) x ln (3) (TNPT2006 I= (9) ∫ I= x +1 dx (CĐ Điện Lực) 3x + π /4 ∫ (cos (a) (10) ∎ I= π /4 ∫ π /4 x − sin x).dx ; J= ∫ xdx cos x cos2x 1+2sin2x (CĐKT) (b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = x3 (Cao ng2006) LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -20- Caực ủe Cao Đẳng dx + + 3x I =∫ (11) I= (12) π /2 ∫ (CĐáCầnThơ) sin x.dx (2 + sin x) (CÑSPTPHCM) I = π/ cos x.dx ∫ −2 sin x (13) J= ∫(2 x +7) ln( x +1).dx (CÑGTVT3) (14) I=∫ e ln x.dx x I= (15) I= ∫ x ln(1 + x ).dx I= π /3 ln(tgx) dx sin x /4 ∫ π sin x − cos x dx + sin x π /4 ∫ x x −1 I= ∫ dx x−5 dx I = I= ∫ x + 2x + −1 π /2 (17) sin x.dx cos x + π /3 (16) ∫ I= π /2 I = ∫ (1 + 2sin x)3 cos xdx π /4 ∫ (1− tg x)dx (TNPTPhân Ban) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: (18) (a) y=7−2x2, y=x2+4 (b) : y = (e+1)x, y=(1+ex) x J= (TNPT2007) (19) I= (Nângcao 2008) (20) J= (Cơ 2008) (21) LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng ( A2007) -21- (TNPTKPB) I = ∫ (1 + e x ) xdx (22) π /4 ∫ (23) J= π ).dx sin x + 2(1 + sin x + cos x) sin( x − π /6 ∫ (24) tan x.dx cos 2x (KB2008) ln x dx x3 (KA2008) ∫ K D_2008) (TNPT2009 π (25) ∫ (26) (KA2009) ∫ (cos x − 1).cos x.dx 0 I=  π /2 J= x(1 + cos x).dx 3 + ln x ∫1 ( x + 1)2 dx (KB_2008) J= ∫e dx −1 x (KD) Naêm 2010 I = ∫ x (x − 1) dx I=∫ e I= (TNPT) x + e x + 2x 2e x dx + 2e x ln x ∫ x(2 + ln x) dx 2x − dx x +1 I=∫ (CaoĐẳng) e ( KA_2010) 3  I = ∫  x − ÷ln xdx x 1 (D-2010) (KB_2010) Đề Thi tuyển sinh Đại học nào? Mơn Tốn: khơng q khó TuổiTrẻ - Thơng thường, thang điểm mơn tốn đề thi tuyển sinh ĐH phân bố sau: phần khảo sát hàm vấn đề liên quan (2 điểm); phần hình học giải tích (2 điểm) phần hình học cổ điển (1 điểm); phần đại số lượng giác (3 điểm); phần tích phân giải tích tổ hợp(2 điểm) Nhìn lại 27 đề thi mơn tốn ba năm (từ 2002 - 2004 gồm chín đề thi thức 18 đề dự trữ) thấy vấn đề thường xut hin thi nh sau: LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -22- 1) Tồn đề thi có câu khảo sát vẽ đồ thị hàm số (100%) 2) Biện luận tương giao đồ thị kiến thức tam thức bậc (40%) Thật ra, 90% đề thi đòi hỏi biết sử dụng kiến thức tam thức bậc 3) Tìm giá trị nhỏ lớn (25%) 4) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (23%) 5) Viết phương trình tiếp tuyến (15%) 6) Tìm giới hạn hàm số cách khử dạng vô định (14%) 7) Viết phương trình đường thẳng; xác định tọa độ điểm đặc biệt tâm đường tròn,trực tâm tam giác… (40%) 8) Các câu hỏi đường tròn (30%) 9) Các câu hỏi elip (15%) 10) Các câu hỏi parabol (6%) 11) Các câu hỏi tọa độ điểm, đoạn vng góc chung, phương trình đường thẳng, mặt phẳng không gian (60%) 12) Những câu hỏi liên quan đến mặt cầu (30%) 13) Các toán liên quan đến tích phân (75%) 14) Các tốn liên quan đến giải tích tổ hợp (76%) 15) Phương trình, bất phương trình hệ phương trình chứa logarit (60%) 16) Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa (27%) 17) Chứng minh bất đẳng thức phép biến đổi tương đương dùng bất đẳng thức Cauchy (28%) 18) Các hệ phương trình đối xứng (13%) 19) Những tốn túy hình học cổ điển thường có tỉ lệ điểm Để chắn đậu đại học, em nên học thật chăm từ năm lớp 10, cần hiểu kỹ điều sách giáo khoa cần làm tập với độ khó mức trung bình trung bình Thạc sĩ PHẠM HỒNG DANH (GV tốnTrườngĐHKinh tế TPHCM) Những điều cần nhớ làm đề Toán Thạc sĩ Nguyễn Anh Dũng, giáo viên khối phổ thông chuyên Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - người nhiều năm kinh nghiệm đề chấm thi ĐH - đưa lời khuyên cho thí sinh làm đề Toán Những dạng câu hỏi đề Toán Trong đề thi tuyển sinh ĐH thường chia thành ba mức kiến thức Khoảng 30 - 40% tập có u cầu trung bình Khoảng 30 - 40% cú LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -23- yờu cu cho hc sinh khoảng 20% tập nâng cao chủ yếu để phân loại học sinh giỏi Đề thi môn tốn khơng có câu hỏi lý thuyết, tất câu hỏi dạng tập Cụ thể, đề thi tuyển sinh ĐH có bao gồm tập phần kiến thức khác Thơng thường có tập hàm số, làm trọn vẹn điểm Đây gần phần kiến thức không thiếu đề thi đại học mơn tốn (cả khối A, B, D) nhiều năm lại Bài tập hàm số thường dạng toán khảo sát hàm số câu hỏi phụ Câu hỏi khảo sát hàm số thường loại sau: hàm nghịch biến, hàm đồng biến, hàm cực trị Một phần tập khác thường gặp đề thi ĐH tập tích phân Có thể đề bắt thí sinh phải tính tích phân tốn cụ thể tốn có ứng dụng tích phân Từ Bộ GD-ĐT đề chung đến nay, chủ yếu phần tích phân hỏi dạng giải tốn có ứng dụng tích phân Phần tập tích phân thường chiếm điểm đề thi Tổ hợp dạng toán quen thuộc đề thi ĐH Phần thường chiếm điểm Các toán tổ hợp thường gặp là: Tạo dãy số, phân chia đối tượng, nhị thức Newton Câu thứ tư đề thi đại học thường câu hỏi lượng giác Phần thường chiếm điểm Dạng tập thường gặp giải phương trình lượng giác Phần hình học đề thi đại học thường phần sau: Phần hình học phẳng chủ yếu đường thẳng, đường tròn, ba đường cơníc; phần hình học không gian thường tập theo dạng lập phương trình đường thẳng, đường thẳng chéo nhau, mặt phẳng Phần tập mặt cầu thường thuộc dạng tập "quen thuộc" đề thi đại học Năm 2005, đề thức khơng có phần mặt cầu đề dự bị lại có Và cuối câu nâng cao dành cho học sinh giỏi Phần thường vào phần kiến thức lớp 11 12 Năm 2005 câu hỏi 5a câu dành học sinh giỏi nên nhiều học sinh khơng làm Tuy nhiên, mơn tốn bậc phổ thơng phần đại số lớp 11 thường phần kiến thức giáo viên đề "ưa thích" để thử tài học sinh (k c hc sinh gii) LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -24- Cõu hi thường bất đẳng thức, toán tính giá trị lớn nhất, nhỏ Tuy nhiên, phần tập thường yêu cầu học sinh phải hiểu sâu kiến thức vận dụng linh hoạt giải tốn F 10 điều cần nhớ làm đề toán Định hướng đề Khi phát đề thi, thí sinh thiết phải đọc qua lượt tất tập đề để phân loại câu hỏi, xác định dễ, khó Thơng thường từ câu câu câu dành cho học sinh đại trà, câu số (câu cuối cùng) thường câu nâng cao Thí sinh nên dùng bút phân loại mức độ khó dễ Khi làm phải làm từ dễ đến khó Như thí sinh nắm điểm tạo tự tin để làm tiếp khó Tạo thoải mái, có cảm giác "sẽ làm được" phòng thi yếu tố quan trọng để giúp thí sinh hồn thành tốt thi Thí sinh phải ln tâm niệm "Mình thi khơng phải làm tập lớp", làm phải điểm Khơng nên làm khó chiếm thời gian khác Điều đồng nghĩa với việc (hoặc hai điểm) tốn mà tám chín điểm khác Không làm tắt Nhiều học sinh khá, giỏi thường điểm toán dễ tính tài tử Khi giải tốn, thí sinh nên viết tất bước để thực tốn làm Vì chấm, cán theo ba-rem có sẵn để chấm Nếu thí sinh bỏ qua vài phép tốn, nhiều không chấm mức điểm tối đa cho kết cuối xác Nhận dạng tập Khi đứng trước tốn cụ thể, thí sinh cần phân biệt xác thuộc dạng toán Các tập đề thi tuyển sinh ĐH thường theo dạng tập có SGK, nhiên hình thức câu hỏi khác Ví dụ: Trong SGK thường có dạng tập tìm nghiệm hệ phương trình Nhưng đề thi lại tìm điều kiện để số hệ phương trình có chung nghiệm Thực hai tốn có cách giải Khụng nờn lm trc vo giy nhỏp LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -25- Giấy nháp cơng cụ để hỗ trợ tính tốn Vì vậy, với tốn mà thí sinh định hướng cách giải khơng nên giải hoàn toàn giấy nháp viết vào giấy thi Làm vừa thời gian vừa dễ sai sót Bởi giải trực tiếp tốn "viết đầu" thí sinh chủ động Còn chép lại (kể chép vừa viết) thí sinh lại trở thành thụ động dễ viết nhầm, bỏ sót Do đó, sử dụng giấy nháp phần cần tính tốn Có thể làm "nhảy cóc" Thơng thường câu hỏi thường có nhiều câu hỏi nhỏ Ví dụ câu có câu 3a, 3b, 3c Đối với câu hỏi kiểu phần lớn kết trước trở thành điều kiện cho sau Tuy nhiên, không làm trước thí sinh thừa nhận kết trước để làm sau Như vậy, thí sinh tính điểm cho câu làm Khi bị "tắc" từ khơng nên "bỏ qua" mà phải xem kỹ câu có làm khơng Cẩn trọng với lời giải Giải tốn khơng số kết tính tốn mà lời giải có ý nghĩa quan trọng Lời giải khơng liên kết phép tốn mà chứng tỏ tư người làm có xác, có thật hiểu tốn hay khơng Do vậy, lời giải cần phải viết cô đọng rành mạch khơng cộc lốc Những thi có lời giải nhận "cảm tình" người chấm Cẩn thận biến đổi hệ phương trình Thí sinh ln gặp phải hệ phương trình bất phương trình thi Khi biến đổi hệ, thí sinh phải đặc biệt ý khơng nên biến đổi hệ mà phải biến đổi theo phương trình, sau tổng hợp lại cho kết hệ Làm có hai điều lợi: Thứ thân thí sinh dễ dàng kiểm soát bước thực tốn, khơng bị nhầm lẫn Thứ hai người chấm hiểu bước thực thí sinh ba-rem điểm Làm đến đâu viết đến Với khó, làm phần mà chưa làm trọn vẹn thí sinh nên viết vào làm Vì phần làm theo ba-rem chấm điểm Không nên nộp chưa hết Nếu làm xong sớm thí sinh khơng nên nộp mà phải kiểm tra lại Rất nhiều thí sinh nhà kiểm tra lại phát c nhng ch lm sai LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -26- Khi lm lúc nhiều tốn dễ mắc sai sót Trước hết phải làm thử lại phép tính Thứ hai kiểm tra lỗi ngữ pháp, diễn đạt Nếu nhiều thời gian thí sinh viết lại thi khác thật rõ ràng, rành mạch 10 Cuối phải kết luận Cuối tốn nên có phần kết luận Có thể viết lại đáp số trả lời câu hỏi đề để người chấm thi biết thí sinh kết thúc hay chưa Theo giáo viên có kinh nghiệm chấm thi ĐH, bỏ phần kết luận lỗi phổ bin ca cỏc thớ sinh KIEN TRè LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng - Tệẽ TIN THAỉNH CONG -27- LTĐH2011 GV:NguyễnVănNhơng -28-