Ứng dụng tích phân

Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông... 3 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục Ox.

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Vấn đề 8: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

① Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b], trục hoành và hai đường x = a, x = b

② Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a ; b] và hai đường x = a, x = b

③ Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f1(y) và x = f2(y) liên tục trên [a ; b] và hai đường y = a, y = b

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a c 1 c2 c3

= ( )

y f x y

∫

b

a

S = f(x) dx

 =

 =



 =



 =



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c 1

y

a

S = f (x) f (x) dx−





=



 =



( )

H

x a

x b

1 ( )C

2 ( )C

a 1

c

y

O

b

x

2

c

1 2

∫b

a

S = f (y) f (y) dy−





=



 =



( )

H

y a

y b

1) y = 2x – x2, x + y = 2

2) y = x3 – 12x, y = x2

3) x + y = 1, x + y = –1, x – y = 1, x – y = –1

4) y = 1 2

1 x+ , y =

1 2

4

= − ,

2 x y

4 2

=

x 1

− −

=

− , x = 0 và y = 0 7) y x= 2−4x 3+ và y = x + 3

8) y = x2, x = – y2

9) y x= , y 2 x= − 2

10) y2+ − =x 5 0, x y 3 0+ − =

11) y ln x

2 x

= , y = 0, x = e, x = 1

12) y = x2 – 2x, y = – x2 + 4x

13) y = x2 3x 3

+ − , y = x 14) y = ex, y = 2, x = 1

15) y2 = 2x + 1, y = x – 1

16) y = − 4 x− 2 , x2 + 3y = 0

17) Trục Ox, Oy và đồ thị của hàm số (C): y = 2x 1

x 1

+

− 18) Đồ thị của hàm số (C): y = − x + 3 − 1

x 1− , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 3

19) Đồ thị (C): y = x4 – x2, trục Oy và tiếp tuyến với đồ thị tại A(1 ; 0) 20) Đồ thị (C): y = x3 – 1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm (−1 ; −2)

Vấn đề 9: TÍNH THỂ TÍCH

① Thể tích vật thể: Thể tích V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hành tại hai điểm có hành độ x = a ; x = b (a ≤ b) S(x) là

diện tích thiết diện của V vuông góc với trục Ox tại x ∈ [a ; b]

② Thể tích khối tròn xoay:

ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], trục hoành và hai đường x = a, x = b quay quanh trục

Ox

ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn [a ; b] và hai đường y = a, y = b quay quanh trục Oy

Bài 2.Tính thể tích các vật thể sau:

∫

b

a

= S(x)dx

V

x

( ) V

S(x)

x

a

= ( )

y f x y

b 2

a

V =π f(x) dx

( ) : ( ) ( ) :



 =



 =



C y f x

Ox y 0

x a

x b

c

y

O

d

x

 

 

∫

y

d 2

c

V =π g(y) dx

( ) : ( ) ( ) :



 =



 =



C x g y

Oy x 0

y c

y d

1) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1 Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông

2) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1 Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông

Bài 3.Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

1) y = 2 – x2, y = 1, quay quanh trục Ox

2) y = 2x – x2, y = x, quay quanh trục Ox

3) y = 32x 1+ , x = 0, y = 3, quay quanh trục Oy

4) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại (1 ; 2), quanh trục Ox 5) y = lnx, y = 0, x = e, quanh trục Oy

6) y = x2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0, quay quanh trục Ox

7) y = x , y = 2 − x, y = 0, quay quanh trục Oy

8) y = x , y = − x, x = 5, quay quanh trục Ox

9) y (x 2) = − 2, y = 4, quay quanh trục Ox

10) y (x 2) = − 2, y = 4, quay quanh trục Oy

11) y = − 4 x y x2; = 2+ 2, quay quanh trục Ox

12) y 21 ;y x2

2

x 1

+ , quay quanh trục Ox.

13) y = 2x2 , y = 2x + 4, quay quanh trục Ox

14) y = y2 = 4x , y = x, quay quanh trục Ox

15) y = x e ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox.12 x2

16) y = xe , y = 0, x = 0, x = 1, quay quanh trục Ox.x2

17) y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e, quay quanh trục Ox

18) y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox

19) y = x ln( 1 +x3 ) ; y = 0 ; x = 1, quay quanh trục Ox

20) y = sinx, y = 0, x = 0, x =

4

π , quay quanh trục Ox.

21) y = cosx, y = 0, x = 0, x =

4

π, quay quanh trục Ox.

22) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = π, quay quanh trục Ox

23) y = x2

2 , y = 2, y = 4, x = 0, quay quanh trục Oy.

24) y = 1 x

2 , y = x, y = 2, quay quanh trục Oy.

25) y = 0, y = cos x sin x6 + 6 , x = 0, x =

2

π, quay quanh trục Ox.

26) y = 0, y = 1 cos x sin x+ 4 + 4 , x = 0, x =

2

π, quay quanh trục Ox. 27) y = 0, y = cos x xsinx2 + , x = 0, x =

2

π, quay quanh trục Ox.

Bài 4.Cho hàm số y = f(x) xác định trên [0 ; 3], cho bởi qui tắc sau:



 1) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x)

2) Tính diện tích hình (H) chắn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và tục Ox 3) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox

Bài 5.Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) cho bởi:

2 2

5x 3 nếu1 x



= = 



 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox