(Skkn 2023) một số hướng tiếp cận bài toán hàm số ẩn trong bài toán trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN BÀI TOÁN HÀM SỐ ẨN TRONG BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM” Nhóm tác giả: Lê Đức Hưng Nguyễn Phùng Tú : ĐT: 0979108353 Tổ: Tốn – Tin trường thpt Đơ Lương Lĩnh vực: Toán học Tháng năm 2023 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Sách giáo khoa tốn tài liệu thống sử dụng nhà trường phổ thơng Bên cạnh q trình giảng dạy nhận thấy học sinh khối 12 học vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số, đồ thị hàm số, biểu thức liên quan đến hàm số mà đề muốn đề cập đến nhiên người ta không cho cụ thể biểu thức hàm số vận dung để giải vấn đề liên quan đến toán học thường khó khăn khó tiếp thu áp dụng vào tốn cụ thể để giải tốn giải tích Một phần toán dạng thường xuất đề thi tuyến sinh đại học trước kỳ thi thi THPT quốc gia, chúng câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao Vì để giúp học sinh học tốt mơn giải tích lớp 12 nói chung chủ đề nói riêng tơi chọn đề tài “Một số hướng tiếp cận toán hàm số ẩn” phần giúp em tháo gỡ khó khăn vận dụng tôt kiến thức hàm số toán tiếp tuyến đồ, biến thiên, cực trị hàm số tốn tích phân Mục đích nghiên cứu: Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh đối tượng có học lực từ trung bình, giỏi trở lên, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ khai thác thông tin từ đồ thị hàm số hay đồ thị đạo hàm củc hàm số biểu thức liên quan đến hàm số hàm số hợp hay biểu thức có chứa đạo hàm với ứng dụng việc giải tốn Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học Đối tượng nghiên cứu: Cho đồ thị đạo hàm hàm số yêu cầu khai thác thơng tin để tìm số tính chất liên quan đến hàm số đó, cho biểu thức có chứa f  x , f ' x  , f ' u  u cầu tìm biến thiên, cực trị hay tích phân có liên quan đến hàm số f  x  hay hàm số hợp f  u  B NỘI DUNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN: Cơ sở chọn đề tài: Trong trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương mơn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh học vấn đề liên quan đến đồ thị, biểu thức liên quan đến f  x  , f '  x  , f '  u  em thường có tâm lí: khơng kết nối giả thiết toán mà toán yêu cầu, nói cách khác em khơng gắn lý thuyết vào thực hành, em khơng muốn học hay tìm hiểu vấn đề Vì GV cần rõ, cụ thể hướng dẫn cho học sinh cách tiếp cận, kết nối chưa biết biết vận dụng vào giải toán Để giúp em học tốt Giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học: Thơng qua khảo sát chất lựơng, kiểm tra dạy chuyên đề lớp 12T1 12D5 năm học 2021 – 2022 thu kết sau Lớp 12T1 12D5 Trung bình 15% 50% Khá 55% 45% Giỏi 30% 5% Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh nắm toán vẽ đồ thị hàm số hay cho hàm số cụ thể yêu cầu tìm biến thiên, cực trị hay tính tích phân liên quan đến hàm số nhiên tốn ngược sử dụng đồ thị, cho biểu thức liên quan đến f  x , f ' x , f ' u  vận dụng để giải giải tốn cịn lúng túng Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ xử lý biểu thức hàm số hay kỹ đọc đồ thị học sinh đòi hỏi nhiều công sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ số điểm: - Các em lúng túng việc liên hệ vận dụng biểu thức f  x  , f ' x  , f ' u  vào câu hỏi biến thiên, cực trị hay tích phân - Khả tìm kiếm hàm số phù hợp với biểu thức giả thiết đề liên hệ đồ thị tương ứng với hàm số hạn chế - Liên hệ đồ thị đạo hàm hàm số với tính chất liên quan đến hàm số - Nhiều học sinh chưa có hứng thú tốn dạng Đây mơn học địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng học sinh mà cịn khó giáo viên việc truyền tải kiến thức tới em Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động học tập,… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực, phân hố nội thích hợp Tuy nhiên ngồi việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán III: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trong học phần: khảo sát vẽ đồ thị hàm số , cực trị hàm số hay chủ đề tích phân ứng dụng giải tốn đa phần học sinh nắm chưa phần ứng dụng, chưa hiểu chất Óc tư hàm, suy luận lơgíc, khả kh qt phân tích cịn hạn chế, đặc Vì học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu tơi xin đưa số toán với giả thiết cho số yếu tố liên quan đến f  x  , f ' x  , f ' u  yêu cầu giải vấn đề tiếp tuyến đồ thị, biến thiên, cực trị hay tích có liên quan đến hàm số hợp thức f  x  , f ' x  , f ' u  f  u hàm số có xuất biểu : PHẦN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề tiếp tuyến chuyên đề rộng rãi giải tích mơn tốn THPT Các câu hỏi chủ yếu xoay quanh ba tốn lớn là:Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước, viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết trước hệ số góc viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết qua điểm cho trước Có điều chung ba tốn cho biểu thức hàm số cụ thể xin đưa y  f  x  cụ thể mà cho f '  x  hay biểu thức có chứa f '  x  , kiện liên quan đến hàm số tốn mà giả thiết tốn khơng cho hàm số f  u  x   ,… Sau số số ví dụ: y  f  x  có đạo hàm liên tục với giá trị biến x R 2 f x  f  x  12 x     đồng thời thỏa mãn (1) Phương trình tiếp tuyến đồ thị y  f  x  điểm có hồnh độ hàm số Câu Cho hàm số A y 2 x  B y 4 x  C y 2 x  Khó khăn học sinh gặp phải khơng tìm hệ số góc tức D y 4 x  f '  1 tọa độ tiếp điểm Và mục tiêu toán để hướng tới biểu thức y  f '( x )( x  1)  f (1) Hướng dẫn giải 1: Tìm biểu thức f  1 tung độ tiếp điểm Từ giả thiết ta tìm hàm số Trong (1) thay 2x  2x ta 2 f   x   f  x  12   x  (2) Từ (1) (2) suy f  x  8 x    x  2 f 2 , f '  1 4 tiếp f x  x   x     hay Đến dễ dàng ta tìm   tuyến cần tìm y 2 x  Đáp án A Hướng dẫn giải 2: Ta không tìm cụ thể Trong (1) thay x 0 suy x f  x  mà cần tìm f  1 f '  1 ta f    f  1 0 f  1  f   3 từ f  1 2 Tiếp theo đạo hàm hai vế (1) ta f '  x   f '   x  24 x vào ta f '    f '  1 0 f '  1  f '   3 từ suy thay x 0 f ' 4 Từ ta có tiếp tuyến cần tìm y 2 x  suy   x Câu Cho hàm số f ' x   y  f  x  có đạo hàm liên tục  0; thỏa mãn f  x 4 x  x f 2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x   điểm có hồnh độ x 2 A y 16 x  20 B y  16 x  20 C y  16 x  20 D y 16 x  20 xf '  x   f  x  4 x  3x ta viết lại xf  x   ' 4 x  3x xf  x  x  x  c từ điều kiện f  1 2 suy thành  suy c 0 hay f  x  x  x Khi dễ dàng tìm tiếp tuyến là: y 16 x  20 chọn đáp Hướng dẫn giải Từ biểu thức đề ta có án D y  f  f  x   y  f  x   y  f x   Câu Cho hàm số , , có đồ thị  C1  ,  C2  ,  C3  Đường thẳng x 1 cắt  C1  ,  C2  ,  C3  thứ tự M , N , P  C1  M y 3x  , y 12 x  Phương trình tiếp tuyến  C3  P Biết phương trình tiếp tuyến A y 8 x  B y 4 x  C y 2 x   C2  N D y 3x  Hướng dẫn giải Xuất phát từ công thức phương trình tiếp tuyến điểm cho trước y  f '  x0   x  x0   f  x0  thứ tự điểm M , N  C1  ,  C2  ta có Tại M  C1  f '  1 3 f  1  2  f  1 5 ta có  C2  f '  1 f '  f  1  12  f '  f  1  4  f '   4 f  f  1   12   f  f  1  7  f  5 7 Tại N ta có C Khi P   y 2 x0 f '  x02    x  x0   f  x02   tiếp tuyến có dạng thay x0 1 ta y 2 f '    x  1  f    y 8  x  1   y 8 x  Câu Cho hàm số y  f  x  hàm số bậc ba có đồ thị hình bên Biết xf ''( x  1)dx 7 2 xf '  x  1 dx  Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y  f  x  điểm có hồnh độ x 3 y x 2 A y x  B C y 2 x  hàm số Hướng dẫn giải Vẫn đặt mục tiêu tìm tung độ f  3 hệ số góc f '  3 * Từ 2 xf '  x D y 3 x  10  1 dx  Đặt t x  dẫn tới f ' t  dt  ta có f  3  f    Quan sát đồ thị dễ thấy f   2 nên f  3  * Từ xf ''( x  1)dx 7 đặt t x  dẫn tới  t  1 f ''(t )dt 7 Sử dụng tích phân u t  1, dv  f ''  t  dt  du dt , v  f '  t  phần 3  t  1 f '  t   f '  t dt f '  3  f '   4 ta tìm f '  3 1 Tìm đáp án y 2 x  Qua ví dụ ta thấy để học sinh làm tốt dạng tập trước hết cần nắm vững cơng thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho trước y  f '  x0   x  x0   f  x0  Do tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  y  f  x  hay hàm số hợp y  f  f  x   ta tìm f  x0  f  f  x0   f '  f  x0   f '  x0  f' x   PHẦN SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ f  u  x   Vấn đề Cho đồ thị f '  x  Hỏi khoảng đơn điệu hàm số  Thông thường toán cho biểu thức hàm số yêu cầu xét chiều biến thiên hàm số hàm số hợp Ở vấn đề đề cập đến toán cho dấu hiệu liên quan đến hàm số mà toán ẩn biểu thức hàm số Yêu cầu xét chiều biến thiên hàm số khác thường hàm số hợp hàm số có thơng tin đề Do học sinh cần có kinh nghiệm xử lý toán dạng Một số lưu ý cần trang bị cho học sinh: - Cách nhận dạng đồ thị hàm số đồng biến: Tính từ trái qua phải có hướng lên - Cách nhận dạng đồthị hàm số nghịch biến: Tính từ trái qua phải có hướng xuống - Khảng đồ phía trục hồnh khoảng dấu biểu thức hàm số dương, phía trục hồnh khoảng biểu thức hàm số âm - Qua việc xác định dấu biểu thức f '  x  ta suy đơn điệu hàm số y  f  x hay hàm số hợp y  f  u  x   … Sau số ví dụ để rèn luyện kỹ giải toán chủ đề Câu Cho hàm số f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x  hình bên Khẳng định sau sai ? ( - 2;1.) A Hàm số f  x  đồng biến ( 1;+¥ B Hàm số f  x  đồng biến ) C Hàm số f  x  nghịch biến đoạn có độ dài ( - ¥ ;- 2) D Hàm số f  x  nghịch biến Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  ta thấy: é- < x f ' x   f ( x) đồng biến khoảng ( - 2;1) , ( 1;+¥ ) ● ë Suy A đúng, B ® f ( x) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;- 2) Suy D ● f '( x) < x