Lời nói đầu Khoá luận trình bày số khái niệm môđun ngôn ngữ phạm trù trình bày định lý quan trọng hạng tử trực tiếp tuyệt đối môđun vành iđêan Khoá luận gồm chơng : Chơng : Trình bày cách chi tiết hệ thống số khái niệm phạm trù Chơng : Trình bày số khái niệm môđun ngôn ngữ phạm trù nh vật không, cấu xạ đơn, cấu xạ lên, tích, đối tích, nhân, đối nhân, đồng thời giới thiệu khái niệm hạng tử trực tiếp tuyệt đối môđun chuyển định lý quan trọng hạng tử trực tiếp tuyệt đối nhóm aben sang cho môđun miền Chơng Phạm trù Định nghĩa 1.1 Một phạm trù C mét líp c¸c vËt A, B, C cïng víi (i) Một họ tập rời Mor(A,B) với cặp vật A, B C ; (ii) Với ba vật A, B, C thuộc C , xác định hàm ứng với Mor(A,B), Mor(B,C) phần tử Mor(A,C) ; (iii) Một hàm ứng với vật A thcC mét phÇn tư 1A Mor(A,A); cho: a) NÕu β ) α α Mor(A,B), Mor(B,C) , Mor(C,D) th× ( β α Mor(A,B) th× α ) =( ; b) NÕu α 1A = α = 1B α Chó ý 1.2 a) NÕu Mor(A,B), ta viÕt : A ⃗ B A B gọi cấu xạ C từ A vào B Cấu xạ đợc gọi tích cấu xạ , b) Cấu xạ ổ C đợc gọi cấu xạ đồng ổ = ỉ α α = α vµ β ỉ vµ ổ có nghĩa Mỗi 1A cấu xạ đồng Ngợc lại, ổ cấu xạ đồng nhất, ổ: AA với vật A ổ = ổ1A = 1A Nh vậy, cấu xạ ổ C đồng vµ chØ nÕu ỉ =1A víi nhÊt mét vËt A C Ví dụ 1.3 (Về phạm trù) a) Phạm trù tập hợp C = Set Các vật Set tập hợp Với A, B Set, Mor(A,B) tập hợp ánh xạ từ A đến B Hợp thành cấu xạ đợc hiểu theo nghĩa thông thờng, chẳng hạn : A⃗B ; β : B⃗C th× β α : ®Þnh nghÜa β α (a) = β ( α (a)), a A A C đợc Cấu xạ đồng ứng với vật A ánh xạ đồng cđa tËp hỵp A 1A = idA : A ⃗ a ↦ a, A ∀ a A ¿ b) Ph¹m trù nhóm đợc kí hiệu Gr Các vật Gr nhóm Với A, B Gr, Mor(A,B) tập hợp đồng cấu nhóm từ A đến B Hợp thành cấu xạ hợp thành đồng cấu nhóm Cấu xạ đồng ứng với vật A đồng cấu đồng nhóm A c) Phạm trù R - môđun trái (với vành R có đơn vị ), đợc kí hiệu M, vật R- môđun trái, cấu xạ đồng cấu R- môđun, với phép hợp thành đồng cấu môđun đồng cấu đồng idA với A M Định nghĩa 1.4 Cấu xạ C đợc gọi cấu xạ đơn biểu đồ giao hoán ổ1 B , X A α ( α æ1 = α ỉ2) ỉ2 ®Ịu suy ỉ1 = ỉ2 CÊu xạ C đợc gọi cấu xạ lên biểu đồ giao hoán A suy σ = σ B Y, ( σ β = σ β ) Chú ý 1.5 Nh vậy, với vật A, 1A cấu xạ đơn cấu xạ lên Thật vậy, + Giả sử, có ổ1 X ổ2 1A A A , suy æ1 = 1Aæ1 = Aổ2 = ổ2 Vậy 1A cấu xạ đơn (1Aổ1 = Aổ2) + Giả sử, có σ 1A A A σ suy σ σ = σ = A θ ': B⃗ A NÕu θ : viÕt A ¿ B ) A đợc gọi tơng đơng nÕu tån t¹i cho θ ' θ = 1A vµ θ A⃗B σ = A VËy 1A cấu xạ lên AB Định nghĩa 1.6 Cấu x¹ θ : σ ( σ = A Y , θ ' = 1B lµ mét tơng đơng ta nói vật A tơng đơng với B Chú ý 1.7 a) Nếu tơng đơng ' nh Thật vËy, nÕu cã θ '' : B ⃗ A cho θ '' θ' = 1A θ' = θ '' θ θ = 1A th× θ' = θ '' 1B = θ '' VËy, ta gäi θ' lµ cÊu xạ nghịch đảo , ký hiệu -1 b) Tích hai tơng đơng tơng đơng Thật vậy, giả sử A⃗B ; θ : : B ⃗ C lµ hai tơng đơng, tức ': = 1A , θ CÇn chøng minh: h = θ θ ' θ minh B ⃗ A ; θ '' : C ⃗ B ∃ ∃ θ : C⃗ A θ '= 1B , θ '' θ θ A ⃗C = 1B , θ θ ''= 1C tơng đơng, tức chứng cho h = 1A , h θ = 1C ThËt vËy, lÊy θ = θ ' θ '' : θ h = θ ' θ '' θ θ 1)= θ ' θ = 1A : cho θ C ⃗ A , ta cã = θ '( θ '' θ 2) θ h θ = θ θ θ ' θ '' = θ 2( θ θ 2(1B θ '') = θ θ '' = 1C 1 = θ '1B θ θ ') θ '' = θ = θ '(1B (1B) θ '' = VÝ dô 1.8 (i) Trong phạm trù tập hợp Set, ánh xạ đơn (đơn ánh) cấu xạ đơn; ánh xạ lên (toàn ánh) cấu xạ lên; song ánh tơng đơng Chứng minh +) Giả sử :A B đơn ánh giả sử có biểu đồ giao hoán ổ1 X A æ2 B , æ1 = α ( α æ2) α (ỉ1(x)) = CÇn chøng minh ỉ1 = ỉ2 ThËt vËy, ∀ x α æ1(x) = α X ta cã ¿ α ỉ2(x) suy (ỉ2(x)) ®ã ỉ1(x) = ỉ2(x) VËy ỉ1 = ỉ2 β :A +) Gi¶ sö σ = ThËt vËy, xÐt b ¿ B toàn ánh biểu đồ sau giao hoán β ⃗ A cÇn chøng minh ⃗ B σ Y , σ β σ σ = β , B, ∃ a ¿ A : β (a)=b, ta cã ( (b) V× b ¿ B tuỳ ý nên )(a)= ( )(a) suy σ +) Gi¶ sư ⃗ σ (b) = α A cho :A α -1 = B song ánh, suy tồn = 1A -1 = 1B VËy α α -1 :B tơng đơng (ii) Trong phạm trù Gr , đơn cấu nhóm cấu xạ đơn; toàn cấu nhóm cấu xạ lên, đẳng cấu nhóm tơng đơng Chứng minh (Hoàn toàn tơng tự nh phạm trù Set ) Mệnh ®Ị 1.9 Trong ph¹m trï C bÊt kú : (i) Tích hai cấu xạ đơn cấu xạ đơn, tích hai cấu xạ lên cấu xạ lên (ii) NÕu βα (iii) NÕu βα Chøng minh lµ cấu xạ đơn cấu xạ đơn cấu xạ lên cấu xạ lên α (i) + Gi¶ sư βα : A chøng minh C hai cấu xạ đơn, ta cần C cấu xạ đơn, tức chứng minh ỉ1 = ỉ2 víi A tho¶ m·n : βα æ1 = βα æ2 ⃗ æ1 ,æ2 : X B; β :B ⃗ :A ThËt vËy, ta cã βα æ1 = βα æ2, suy α æ1 = æ2 ( cấu xạ đơn ( æ1)= β (α æ2), suy æ1, α α ⃗ æ2 : X B ), suy æ1 = æ2 (vì cấu xạ đơn) Vậy ổ1 = ổ2 , ta có điều phải chứng minh + Giả sử :A C cấu xạ lên , tøc lµ chøng minh βα minh víi mäi σ :A σ , ThËt vËy, ta cã β = σ ⃗ :C B; β :B σ ⃗ σ Y tho¶ m·n : βα = σ C hai cấu xạ lên , ta chứng = βα , β , β lµ cấu xạ lên , suy σ = σ βα σ lµ cÊu xạ lên, suy = Vậy ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sư ⃗ B; β :B ⃗ :A ThËt vËy, víi mäi ỉ1 , ỉ2 : X ⃗ ỉ2 , ®Ịu cã β ( α β ( æ1) = )æ2 , suy ỉ1 = ỉ2 ( v× βα α (iii) Gi¶ sư ⃗ α β , ta cã ( ), suy σ σ β )α σ =( σ σ , ( βα ) = :C β )α σ 2 α A tho¶ m·n tÝnh chÊt æ2), suy ( β B; β :B C cấu xạ lên, ta chứng minh :A cấu xạ đơn cấu xạ đơn ) Vậy :A ThËt vËy, víi mäi α α C lµ cÊu xạ đơn, ta cần chứnh minh C hai cấu xạ ổ1= )ổ1 = ( cấu xạ đơn C hai cấu xạ :A cấu xạ lên (nhân Y thoả mÃn : ( βα ) , suy σ β vµ = σ σ σ β = σ β vào bên trái cấu xạ (vì lên ) Vậy cấu xạ lên Mệnh đề 1.10 Trong ph¹m trï C , nÕu cÊu x¹ x¹ đơn vừa cấu xạ lên Chứng minh tơng đơng vừa cấu Giả sử :A B tơng đơng, tức β :B ⃗ A cho βα = 1A vµ = 1B Vì 1A cấu xạ đơn nên cấu xạ đơn; mặt khác, 1B cấu xạ lên nên cấu xạ lên (theo mƯnh ®Ị 1.9) * Chó ý r»ng mƯnh ®Ị đảo 1.10 với phạm trù quen biết nh phạm trù nhóm, phạm trù môđun, nhng không với phạm trù tổng quát Định nghĩa 1.11 Phạm trù mà cấu xạ vừa cấu xạ đơn vừa cấu xạ lên tơng đơng đợc gọi phạm trù cân (phạm trù Balance) Định nghĩa 1.12 Vật A phạm trù C đợc gọi vật phổ dụng đầu hay vật đầu với vật X C |Mor( A, X )| = VËt B cđa ph¹m trù C đợc gọi vật phổ dụng cuối hay vËt ci nÕu víi mäi vËt X cđa C th× |Mor( X, B)| = Chó ý 1.13 NÕu ph¹m trù có vật đầu ( vật cuối ) vật đầu ( vật cuối ) ( sai khác tơng đơng ) Chứng minh Giả sử A, A' vật đầu C, theo định nghĩa vật phổ dụng đầu : A ⃗ A' vµ ∃ ! β : A' ⃗ A suy 1A' , Mor(A,A') Mor(A',A) có nhÊt mét cÊu x¹ VËy A ∃ ! α = 1A A' = Đối với vật ci ta chøng minh t¬ng tù VÝ dơ 1.14 a) Trong phạm trù tập hợp Set, tập hợp rỗng vật phổ dụng đầu Mọi tập hợp gồm phần tử vật phổ dụng cuối b) Trong phạm trù nhóm Gr, nhóm gồm mét phÇn tư nhÊt (phÇn tư trung lËp) võa vật đầu, vừa vật cuối c) Cho tập hợp S, ta xây dựng phạm trù nh sau: Mỗi vật ánh xạ f : S ⃗ G, víi G thuéc Gr NÕu f : S vật Mor(f, f ') gốm tất đồng cấu u : G hoán S f ⃗ G G vµ f ':S ⃗ G' lµ hai G' làm biểu đồ sau giao f' u , f ' = u f G' Vật khởi đầu phạm trù ánh xạ g : S nhóm G ánh xạ f : S ⃗ F cho víi G, tån t¹i nhÊt mét ®ång cÊu ϕ :F G cho biĨu ®å sau giao ho¸n g ⃗ S G ϕ f f = g , G' Vật đợc gọi nhóm tự tập S Định nghĩa 1.15 Cho Ai , i vật họ {X, } I i i I vật cđa ph¹m trï C Ta xÐt ph¹m trï D , , vật D cấu xạ từ {X, cấu xạ : X ⃗ α ¿ α Ai Gi¶ sư {Y, β i} i :X ⃗ i }i ¿ I vào {Y, i }i I I đợc hiểu Y cho biểu đồ sau giao hoán ⃗ X i Y β i α , i i = β γ i , ∀ i I Ai VËt phổ dụng cuối D (nếu tồn tại) đợc gọi tích họ vật {Ai}i I Nếu {Y, β } ¿ I i i lµ tÝch cđa họ {Ai}i Định nghĩa 1.16 Cho Ai , i vật họ {X, } i i I ¿ :X ⃗ α ∏ i∈ I Y= Ai , i X Giả sử {Y, β i} i : Ai ⃗ } vµo {Y, β i} i i i ¿ I ¿ I ¿ I đợc hiểu Y cho biểu đồ sau giao hoán X ta kí hiệu I vËt cđa ph¹m trï C Ta xÐt ph¹m trï D , vật D cấu x¹ tõ {X, cÊu x¹ γ ¿ I, Y β i I Ai i , β i = γ α i , ∀ i ¿ {Ai}i ¿ VËt phỉ dơng đầu D (nếu tồn tại) đợc gọi đối tÝch cđa hä c¸c vËt I α NÕu {X, i} i I đối tích họ {Ai}i I, ∐ i ∈I ta kÝ hiÖu X = A i Định nghĩa 1.17 Phạm trù C mà họ vật C có tích (hoặc đối tích) đợc gọi phạm trù có tích ( có ®èi tÝch ) Chó ý 1.18 NÕu tÝch hc ®èi tích họ vật tồn ( sai khác tơng đơng ) Thật , tích đối tích họ vật tồn vật phổ dụng cuối vật phổ dụng đầu phạm trù D Theo chó ý 1.13 nã lµ nhÊt VÝ dơ 1.19 Phạm trù Set phạm trù có tích đối tích Tức, {A i}i họ tập hợp tồn i I i I Ai vµ ¿ I lµ mét Ai ThËt vËy a) Tån t¹i tÝch : XÐt tÝch descartes A= ∏ i∈ I Ai = {(xi) i | xi ¿ I Ai , i ¿ I} = xj , ∀ j I họ phép chiếu α j B©y giê ta sÏ chøng minh {A, α j :A Aj , ((xi) i } j j ¿ I) ¿ I lµ mét tÝch cđa hä {Ai}i ¿ I ThËt vËy, gi¶ sư β j :B ⃗ ∀ j Aj , ¿ I, ¿ I , lµ họ ánh xạ Khi ánh xạ :B ⃗ A, γ (x) = ( β j(x))j ∀ x ¿ B sÏ tho¶ m·n tÝnh chÊt α ¿ B, ∀ j ¿ VËy γ j γ (x) = α j ( γ (x)) = α j (( β j(x))j ¿ I) = β j(x) , ∀ x I đợc xác định làm cho biểu đồ sau giao ho¸n A γ ⃗ B α ¿ β j β , j j α = γ j , ∀ j I Aj V× vËy {A, α } i i ¿ I lµ mét tÝch cđa hä {Ai}i b) Tån đối tích : Xét hợp rời A = ¿ ⃗ : Ai i ∐ Ai i∈I α A , I phép nhúng i (ai ) = , ∀ ¿ A i, ∀ i I α Ta chøng minh {A, i }i ¿ I Thật vậy, giả sử ánh xạ i ®èi tÝch cña hä {Ai}i : Ai ⃗ ∀ i ¿ β i(a) , ∀ a ¿ B , I I họ Khi ánh x¹ γ ⃗ : A γ (a) = B, A, a = ¿ Ai ( ∃ i ¿ I) sÏ tho¶ m·n tÝnh chÊt γ A), ∀ i ¿ α i (ai) = γ ( i (ai)) = γ (ai) = β i(ai) , ∀ ¿ Ai(ai I Vậy đợc xác định làm cho biểu đồ sau giao hoán A ¿ α B β i i β , i = γ α i , ∀ i I Ai V× vËy {A, Định nghĩa 1.20 phổ dụng ) i }i I đối tích họ {Ai}i I Vật vừa vật đầu vừa vật cuối đợc gọi vật không (hay vật Chú ý 1.21 Tõ chó ý 1.13 ta suy vËt kh«ng cđa phạm trù C (nếu tồn ) luôn nhất, đợc kí hiệu Ví dụ 1.22 a) Trong phạm trù Set vật không b) Trong phạm trù nhóm Gr, nhãm chØ gåm mét phÇn tư nhÊt (phÇn tư trung lập ) vật không c) Trong phạm trù môđun, môđun vật không