LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Bùi Tường Trí Nhân dịp này tôi xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận[.]
Trang 1Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí Nhân dịp này tơi xin bài tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tơi rất nhiều trong suốt q trình học tập cũng như q trình hồn thành luận văn
Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập
Xin cảm ơn các bạn học viên nghành tốn đã động viên giúp đỡ tơi và có nhiều ý kiến đóng góp trong q trình hồn thành luận văn
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sót Tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các Bạn
Trang 2Tơi xin cam đoan luận văn do chính tơi làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí Tôi không sao chép luận văn của người khác Nếu lời cam đoan của tơi khơng đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật
Trang 3Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1 Môđun – Môđun con – Môđun thương 2
1.2 Đồng cấu môđun 7
1.3 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 11
1.4 Tích Tenxơ 15
1.5 Mơđun cốt yếu - Đối cốt yếu 17
1.6 Môđun nội xạ 18
1.7 Môđun Noether – vành Noether 24
1.8 Giới hạn trực tiếp 25
Chương 2 BAO NỘI XẠ CỦA MƠĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ 27
2.1 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ 27
2.2 Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Mơđun 30
2.3 Tính nội xạ trên vành Noether 37
KẾT LUẬN 41
Trang 4Q: Nhóm cộng các số hữu tỉ Z : Vành các số nguyên
i
IA
⊕ : Tổng trực tiếp ngồi các mơđun A ii,∈I
iIf
⊕ : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( ,f ii ∈I)
iI
f
∏ : Tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( ,f ii ∈I)
x⊗y : Tích tenxơ của hai phần tử x và y
M⊗N : Tích tenxơ của hai mơđun M và N E(M): Bao nội xạ của môđun M
N⊂M : N là môđun con của M
e
N ⊆ M : N là môđun cốt yếu trong M hay M là mở rộng cốt yếu của N
s
N ⊆ M : N là môđun đối cốt yếu trong M hay N là môđun con bé trong M
Trang 5MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết vành và môđun khái niệm nội xạ và xạ ảnh được xem là hai trong những khái niệm cơ bản nhất Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra bởi R.Bayer năm 1940 và sau đó là một loạt khái niệm liên quan được đưa ra như là khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng dụng đối với nghành Đại số nói chung và nghành Đại số giao hốn nói riêng
Trên vành giao hốn Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cúc trúc của chúng
Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại Hiện nay người ta đã mở rộng các lớp mơđun đó và đã thu được nhiều kết quả quan trọng Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun nội xạ với đề tài “Bao nội xạ của mơđun - những hình ảnh cụ thể của nó”
Bố cục luận văn chia làm hai chương:
♦ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tơi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý thuyết vành có liên quan đến nội dung của đề tài Cụ thể tơi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất của mơđun và môđun nội xạ
♦ Chương 2 Bao nội xạ của mơđun - những hình ảnh cụ thể của nó
Trang 6Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun – Môđun con – Môđun thương
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử R là vành Một R môđun phải M là nhóm cộng aben cùng với ánh xạ
( , )
MRM
m rmr
× →
được gọi là phép nhân vơ hướng nếu thỏa các hệ thức sau:
() '(')(')'(')'.1mr rm rrm m rmrm rm rrmrmrmm=+=++=+=
với mọi m m,'∈M và mọi r r, '∈R
Tương tự, một R môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô hướng rm (r∈R m,∈M) thỏa ( ' )(')(')'(')'1.r r mrr mr m mrm rmrr mrm r mmm=+=++=+=
với mọi m m,'∈M và mọi r r, '∈R
Nếu R là vành giao hốn thì các khái niệm R môđun phải và R môđun trái trùng nhau và được gọi là R mơđun
1.1.2 Ví dụ
Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun Bởi vậy R là R môđun phải Tương tự R cũng là R mơđun trái Do đó R là R mơđun
Mỗi ideal phải của R là R môđun phải, mỗi ideal trái của R là R môđun trái
Giả sử R=Z là vành các số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như Z môđun
Trang 71.1.3 Định nghĩa
Giả sử M là R môđun phải Tập con A của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A
1.1.4 Bổ đề
Giả sử M là R môđun phải Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều sau tương đương
(a) A là mơđun con của M
(b) A là nhóm con cộng của M và với mọi a∈A r,∈R ta có ar∈A (c) Với mọi a b,∈A và r s,∈R ta có ar+ ∈bsA
1.1.5 Ví dụ
(a) Mỗi mơđun M đều có các mơđun con tầm thường là 0 và M Môđun con A của M được gọi là thực sự nếu A≠0 và A≠M
(b) Giả sử M là R môđun tùy ý và m0∈M Khi đó tập con
0
{,}
o
m R= m r r∈R là môđun con của M Nó được gọi là mơđun con xiclic sinh bởi phần tử m0
(c) Giả sử m0 là phần tử của R môđun M, I là ideal phải của vành R Tập hợp các phần tử m0α trong đó α chạy khắp I là một mơđun con của M Kí hiệu m I0
(d) Giả sử A và B là hai mơđun con của M thì A∩B cũng là môđun con của M và A B+ ={a b a+/∈A b,∈B} cũng là môđun con của M
1.1.6 Mệnh đề
Trang 81.1.7 Định nghĩa
Giả sử X là một tập con của R môđun M Môđun con bé nhất A chứa X gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A Trong trường hợp A=M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R mơđun hữu hạn sinh
Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi mơđun đó là mơđun con xiclic
1.1.8 Mệnh đề
Giả sử X là một tập con của R môđun M Các mệnh đề sau tương đương:
1) A là môđun con sinh bởi tập X
2) A={∑xrx/x∈X r, x∈R} trong đó rx bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn
Ví dụ :
Z môđun Q các số hữu tỉ khơng có hệ sinh hữu hạn Thật vậy:
Giả sử X ={a a , ,1 2 an} là hệ sinh hữu hạn của Q Khi đó 1
1a2 có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn 11 111a =x a +,2 iiiia x aZ≠∈∑ Suy ra 1 1 11a =2x a +2 ii, iia x aZ≠∈∑Từ đó 11ma =2 ii, iia x aZ≠∈∑ với m= −1 2x1 Giả sử 11 111a =y a + ii, iia y yZm ∑≠ ∈Khi đó 1i 11111a =my a + ii 2 iiiiiiiiiiimy ax a ymy ar a≠≠≠≠=+=∑∑∑∑
Trang 91.1.9 Định nghĩa
Giả sử (A ii /∈I ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M Khi đó mơđun con sinh bởi tập i
I
S =A được gọi là tổng của các môđun con
i
A và được kí hiệu bởi iI
A
∑
1.1.10 Mệnh đề
Cho (A ii/∈I ) là một họ tùy ý những môđun con của R mơđun M Khi đó : {,,,iiiiIJA = a a ∈A i∈ ⊂JI J∑∑ hữu hạn} 1.1.11 Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A≠M và nó khơng chứa trong một môđun con thật sự nào của M
1.1.12 Định lý
Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thật sự được chứa trong một môđun con tối đại
1.1.13 Bổ đề Zorn
Cho A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hồn tồn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại
1.1.14 Hệ quả
Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠{0} đều chứa môđun con tối đại
1.1.15 Luật môđula
Nếu B,C,D là những môđun con của R môđun M và C⊂B thì
(D C+)∩ = ∩BD (B C+)
1.1.16 Mệnh đề và định nghĩa
Cho A là môđun con của R môđun M Khi đó tương ứng
() //
(, )
MARMA
mA rmrA
×→
Trang 10với phép nhân vô hướng (m+A)r = mr+A và được gọi là môđun thương 1.1.17 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)
R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ có hai mơđun con tầm thường là (0) và M
1.1.18 Định nghĩa môđun nửa đơn
R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay mơđun hồn tồn khả qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các mơđun đơn
1.1.19 Định lí
Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương (i) M là nửa đơn
(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M (iii) M là tổng của một họ môđun con đơn
1.1.20 Bổ đề
Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn Khi đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi
()
RR
M*=Hom M, R ≠ 0
1.1.21 Định nghĩa vành đơn, vành nửa đơn
Vành R ≠0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là mơđun đơn (nửa đơn) trên chính nó
1.1.22 Định lí
Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là R – môđun phải nửa đơn
(ii) R là R – môđun trái nửa đơn
(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn (iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn
Trang 11Vành R được gọi là vành nguyên nếu R 0≠ và ab 0= ⇒ = hoặc a 0b= 0
Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên Vành chia
Vành R được gọi là vành chia nếu R 0≠ và mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch
Vành chia giao hoán là trường
1.2 Đồng cấu môđun 1.2.1 Định nghĩa
Cho hai môđun MR và NR Một đồng cấu R môđun hay một ánh xạ tuyến tính f M:→N là một ánh xạ f thỏa các điều kiện :
()( )( )()( )f xyf xf yf xrf x r+=+=
Với mọi x y,∈M r,∈R Nếu N=M thì f được gọi là tự đồng cấu của M Một đồng cấu R môđun cịn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu khơng cần chỉ rõ vành cơ sở
Dễ dàng thấy rằng f M:→N là đồng cấu môđun khi và chỉ khi
()( )( )
f xr+ys = f x r+ f y s
Với mọi x y,∈M, r s,∈R
Tập tất cả các đồng cấu từ MR đến NR kí hiệu bởi Hom M NR(,) hay
(,)
Hom M N Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu
(f +g x)( )= f x( )+g x( )
Với f g,∈Hom M N(,) và x∈R
Nếu R là vành giao hốn thì nhóm cộng này có cấu trúc R-mơđun với phép nhân vơ hướng f rx( )=rf x( )
Trang 12là đơn ánh (toàn ánh, song ánh)
Đối với đồng cấu môđun f M:→N ta kí hiệu imf = f M() và
1
ker f = ∈{xM / f x( )=0}= f− (0) và gọi imf là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f
1.2.2 Mệnh đề
Cho đồng cấu môđun f M:→N và U,V tương ứng là môđun con của M,N Khi đó :
1) f U( ) là mơđun con của N 2) 1
( ){/( )}
f− V = ∈xMf x ∈V là môđun con của M
Đặc biệt imf và kerf là những môđun con tương ứng của N,M
1.2.3 Mệnh đề
Giả sử f X:→Y là một đồng cấu R môđun Khi đó các điều sau tương đương:
1) f là đơn cấu
2) f giản ước được bên trái nghĩa là đẳng thức fϕ1= fϕ2⇒ϕ ϕ1=2 trong đó ϕ ϕ1,2 là những đồng cấu từ R môđun tùy ý M tới X
1.2.4 Mệnh đề
Giả sử f X:→Y là một đồng cấu R mơđun Khi đó các điều sau tương đương:
1) f là toàn cấu
2) f giản ước được bên phải nghĩa là đẳng thức ϕ1f =ϕ2f ⇒ϕ ϕ1=2 trong đó ϕ ϕ1,2 là những đồng cấu từ Y đến một R mơđun bất kì N
1.2.5 Bổ đề
Giả sử ϕ: A→B là một đồng cấu R môđun và U,V là những mơđun con của A,B Khi đó :
Trang 13ψ 2) 1( ( ))UU kerϕ ϕ−= +ϕ 3) 1( ( ))VVimϕ ϕ−= ∩ϕ1.2.6 Định lý
Mỗi đồng cấu R mơđun ϕ: A→B có sự phân tích A B
A/ kerϕ
Trong đó ψ:A→A/ kerϕ là tồn cấu tự nhiên, cịn ϕ' là đơn cấu Hơn nữa ϕ' là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu
1.2.7 Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất)
Nếu B,C là hai mơđun con của A thì (B C+) /C ≅B/ (B∩C)
1.2.8 Định lý (định lý đẳng cấu thứ hai)
Nếu C⊂ ⊂BA thì A B/≅( / ) / ( / )A CB C
1.2.9 Định lý
Giả sử ϕ: A→B là đồng cấu môđun và α: A→C là tồn cấu, ngồi ra
kerα⊂kerϕ Khi đó tồn tại đồng cấu λ: C→B sao cho: 1) ϕ λα=
2) imλ=imϕ
3) λ đơn cấu khi và chỉ khi kerα=kerϕ
1.2.10 Định nghĩa
Giả sử ϕ: A→B là đồng cấu R mơđun Khi đó ta đặt
ker/
co ϕ=B imϕ là đối hạt nhân của ϕ
/ ker
coimϕ= A ϕ là đối ảnh của ϕ Như vậy coimϕ≅imϕ
ϕ
Trang 141.2.11 Định lý (định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân)
Trong biểu đồng các đồng cấu môđun Kerϕ A B
D
Nếu ϕψ=0 thì tồn tại duy nhất đồng cấu ψ' :D→kerϕ sao cho ψ ψ=i '
với i là phép nhúng chính tắc Tương tự
Trong biểu đồ các đồng cấu môđun
A B Cokerϕ
C
Nếu pϕ=0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất p co' :kerϕ→C sao cho
'
p= p p với p là phép chiếu chính tắc
1.2.12 Định nghĩa (dãy khớp)
Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn các đồng cấu R môđun
→ A α→ → B β C →
Được gọi là khớp tại B nếu imα=kerβ Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi mơđun khác hai đầu của dãy
Dãy khớp dạng : 0→ A α→ → B β C →0 được gọi là dãy khớp ngắn
1.2.13 Mệnh đề
Cho đồng cấu R mơđun α: A→B Khi đó: 1) Dãy 0→ A α→B là khớp nếu α đơn cấu 2) Dãy Aα→ B →0 là khớp nếu α toàn cấu
Trang 153) Dãy 0→ A α→ B →0 là khớp nếu α đẳng cấu
Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn cấu cịn β là tồn cấu
1.3 Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp 1.3.1 Định nghĩa (tích trực tiếp)
Cho một họ những R môđun (A ii/∈I) Khi đó tích Đề Các
{( ) /,}iiiii IAaiI aA∈=∈∈
∏ cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo các thành phần:
( ) ( )ai + bi =(ai +bi)
( )a ri =(a ri )
là một R môđun, gọi là tích trực tiếp của họ (A ii /∈I) Trường hợp Ai =A với mọi i∈I ta kí hiệu I
iIA =A∏ Phép chiếu j: ijIp ∏A →A là một R đồng cấu ∀ ∈jI 1.3.2 Định lý ( Tính chất phổ dụng )
Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu Bj:B→Aj Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : i
I
BA
β→∏ sao cho biểu đồ sau giao hoán : pjijIA →A∏ ∀ ∈jI B 1.3.3 Mệnh đề
Giả sử (fi:Ai →B ii /∈I)là một họ đồng cấu mơđun Khi đó tương ứng
: ii
II
f ∏A →∏B cho bởi f(( ))ai =( ( ))f aii là một đồng cấu, được kí hiệu bởi i
I
f
∏ và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu (fi/i∈I)
Trang 161.3.4 Định nghĩa (Tổng trực tiếp)
Cho một họ những R môđun (A ii /∈I) Một môđun con của iI
A
∏ gồm tất cả những phần tử ( )ai mà ai =0 hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i∈I, được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngồi của họ (A ii /∈I) và kí hiệu i
IA
⊕
Trong trường hợp Ai =A với mọi i∈I ta kí hiệu ( )Ii
IAA
⊕ =
Với mỗi j∈I tương ứng j: ji
IAAµ→ ⊕( )jia → a , ,0,jaijaiij== ≠là một đơn cấu 1.3.5 Định lý (Tính chất phổ dụng)
Giả sử B là R mơđun cùng với các đồng cấu αj:Aj →B Khi đó tồn tại duy nhất α:Ai →B sao cho biểu đồ sau giao hoán
pjijIAA⊕ →∀ ∈jI B 1.3.6 Mệnh đề
Giả sử (fi:Ai →B ii/∈I) là một họ đồng cấu mơđun Khi đó tương ứng
: ii
II
f ⊕A → ⊕B cho bởi f(( ))ai =( ( ))f ai là một đồng cấu kí hiệu ⊕fi và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu (fi/i∈I)
1.3.7 Định nghĩa
Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con (A ii/∈I) nếu các điều kiện sau thỏa:
Trang 171.3.8 Bổ đề
Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (A ii/∈I) nều và chỉ nếu mỗi phần tử a∈A biểu diễn duy nhất dưới dạng :
12 ,,
njj
iiiiij
a=a +a + +aa ∈A i ∈I
1.3.9 Hệ quả
Giả sử A là tổng của những mơđun con Ai,
j
A=∑Ai Khi đó A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ 1 2 0,,
njjiiiiija +a + +a = a ∈A i ∈I suy ra 0,1jia =≤ ≤jn 1.3.10 Hệ quả
Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (A ii /∈I) nếu và chỉ nếu ánh xạ ( )iIiiAAaa⊕ →∑ là đẳng cấu 1.3.11 Định nghĩa
Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có mơđun con C của A sao cho A= ⊕BC
Mơđun con A≠0 được gọi là khơng phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A
Ví dụ :
1) Giả sử V =VK là không gian vectơ trên trường K và {ai/i∈I} là cơ sở của nó Khi đó hiển nhiên i
IV = ⊕a K
2) Trong ZZ mọi môđun con đều có dạng mZ, m∈N Với m≠0,m≠1 thì mZ không là hạng tử trực tiếp Thật vậy nếu Z =mZ⊕nZ thì
001
mn∈mZ∩nZ = ⇒ = ⇒nmZ = ⇒Zm= (trái giả thiết) Vậy ZZ khơng phân tích được
1.3.12 Định nghĩa
Trang 18hạng tử trực tiếp trong B Toàn cấu β: B→A được gọi là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp trong B
1.3.13 Mệnh đề
1) Đồng cấu α: A→B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
: BA
β→ sao cho βα =idA ( ta nói α có nghịch đảo trái) Khi đó
Im Ker
β=α⊕β
2) Đồng cấu β: B→C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
: CB
γ→ sao cho βγ =idC ( ta nói β có nghịch đảo phải) Khi đó
Im
Ker
β=β⊕γ
1.3.14 Định nghĩa
Dãy khớp ngắn 0→ A α→ → B β C →0 được gọi là chẻ ra nếu
Imα=Kerβ là hạng tử trực tiếp của B
1.3.15 Mệnh đề
Đối với dãy khớp ngắn 0→ A α→ → B β C →0 ta có các phát biểu sau tương đương:
a) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra b) α là đơn cấu chẻ ra
c) β là toàn cấu chẻ ra
Khi đó B=Imα⊕Imγ≅ ⊕AC, trong đó γ : C →B là nghịch đảo phải của
β
1.3.16 Định lý
Cho dãy khớp ngắn 0→ A α→ → B β C →0 Khi đó các dãy sau là khớp
a) 0→Hom M A(, )→α* Hom M B(, )→β* Hom M C(, ) b) 0→Hom C M( ,)→β* Hom B M( ,)→α* Hom A M( ,)
Trong đó M là R mơđun tùy ý α*=Hom id( M, )α , *
( , M)
Homid
Trang 19tự với **,
β β )
1.3.17 Định lý
Cho dãy khớp chẻ ra 0→ A α→ → B β C →0 Khi đó các dãy sau cũng là khớp chẻ ra
a) 0→Hom M A(, )→α* Hom M B(, )→β* Hom M C(, )
b) 0→Hom C M( ,)→β* Hom B M( ,)→α* Hom A M( ,)
1.4 Tích Tenxơ 1.4.1 Định nghĩa
Giả sử A là nhóm aben Ánh xạ ϕ: M× →LA được gọi là tuyến tính trong nếu (xx y', )( , )x y ( ', )x yϕ+=ϕ+ϕ( ,x yy')( , )x y ( , ')x yϕ+=ϕ+ϕ(xr y, )( ,x ry)ϕ=ϕ
Với mọi x x, '∈M , y y, '∈L và mọi r∈R
1.4.2 Định nghĩa
Tích tenxơ của RL và MR là nhóm aben T cùng với ánh xạ tuyến tính
:
f M× →LT sao cho mỗi nhóm aben A và ánh xạ tuyến tính trong
: MLA
ϕ× → đều tồn tại đồng cấu duy nhất h T:→A làm cho biểu đồ sau giao hoán fM× →LT ϕ= h f A 1.4.3 Mệnh đề
Nếu (T,f’) và (T’,f’) đều là tích tenxơ của MR và RL thì tồn tại đẳng cấu duy nhất j T:→T' sao cho jf = f '
1.4.4 Mệnh đề (sự tồn tại )
Tích tenxơ của MR và RL thì tồn tại
Trang 201.4.5 Nhận xét
Ta kí hiệu tích tenxơ của hai mơđun MR và RL là
R
T =M⊗ =LM ⊗L Ánh xạ tuyến tính trong f M:× →LM ⊗L khơng bao giờ là đơn ánh, trừ khi M = =L 0 Do đó khơng thể đồng nhất M×L với một tập con của M⊗L Ta kí hiệu : f x y( , )= ⊗xy và gọi là tích tenxơ của hai phần tử x và y
Tập tất cả các phần tử x⊗y , x∈M y,∈L lập thành một hệ sinh của
M⊗L có dạng ∑n xi( i+yi),ni∈Z
Từ tính tuyến tính của f suy ra các hệ thức sau trong M⊗L :
(')'(')',(),xxyxyxyxyyxyxyxryxry rRn xynxyxny nZ+⊗ = ⊗ + ⊗⊗+= ⊗ + ⊗⊗ = ⊗∈⊗=⊗ = ⊗∈
Do hệ thức cuối cùng nên mỗi phần tử của M ⊗L có thể viết dưới dạng
(xi⊗yi)∑ 1.4.6 Mệnh đề RRM⊗ RM
1.4.7 Định nghĩa ( Tích tenxơ các đồng cấu )
Giả sử µ:M →M' và λ:L→L' lần lượt là R môđun phải, trái Khi đó
tương ứng : ' '( , )( )( )RMLMLx yxyàì l ỏnh x tuyn tớnh trong Do đó ϕ mở rộng thành đồng cấu duy nhất : ' '( )( )MLMLxyxyµ λµλ⊗⊗ →⊗
⊗⊗ gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu µ và λ
Bây giờ nếu cho các đồng cấu '
'''
M µ→M →µ M và '
'''
Lλ→ →L λ L
Trang 211.4.8 Mệnh đề
Nếu Mi (i∈I) là những R môđun phải và L là một R mơđun trái thì tồn tại một đẳng cấu tự nhiên ( i)( i )
IMRLIMRL
⊕⊗⊕⊗
1.4.9 Mệnh đề
Tích tenxơ hai đơn cấu khơng là đơn cấu
1.5 Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu 1.5.1 Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A∩ ≠B 0 ( nếu A∩ = ⇒ =B 0 B 0)
Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A⊆eM Ví dụ: 1) Đối với mỗi mơđun M ta đều có M ⊆eM
2) Xem vành các số nguyên Z như mơđun trên chính nó Khi đó mỗi ideal khác khơng trong Z đều cốt yếu, bởi vì đối với hai ideal khác khơng bất kì aZ và bZ ta đều có 0≠ab∈aZ∩bZ
1.5.2 Bổ đề
1) Nếu trong mơđun M có các mơđun con A⊂B thì A⊆eM ⇒ ⊆BeM 2) Nếu Ai ⊆eM, i=1,2,…,n thì 1nieiAM=⊆
3) Nếu ϕ: M →N là đồng cấu mơđun và B⊆eN thì 1
( )BeM
ϕ−⊆
1.5.3 Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với mỗi môđun con E≠M ta đều có A E+ ≠M ( một cách tương đương nếu
A+ =EM ⇒ =EM )
Khi đó ta kí hiệu A⊆sM
Ví dụ : 1) Đối với mỗi mơđun M ta đều có 0⊆sM
Trang 22f
h
1.5.4 Bổ đề
1) Nếu trong môđun M có các mơđun con A⊂B thì B⊆sM ⇒ ⊆AsM 2) Nếu Ai ⊆sM, i=1,2,…,n thì 1nisiAM=⊆∑
3) Nếu ϕ: M →N là đồng cấu mơđun và A⊆sM thì ϕ( )A ⊆sN
1.5.5 Mệnh đề
Đối với phần tử a∈MR thì mơđun con aR khơng là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a∉K
1.5.6 Bổ đề
Cho A là môđun con của MR Khi đó A⊆eM khi và chỉ khi với mỗi phần tử khác khơng m∈M thì tồn tại r∈R sao cho 0≠mr∈A
1.5.7 Hệ quả Giả sử iIM =∑M , Ai ⊆eMi, i∈I và iiIIA=∑A = ⊕A Khi đó A⊆eM và iIM = ⊕M1.5.8 Hệ quả Giả sử iIM = ⊕M , Ai ⊆eMi, i∈I Khi đó iiIIA=∑A = ⊕A và A⊆eM 1.6 Môđun nội xạ 1.6.1 Định nghĩa
Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f A:→Q và mỗi đơn cấu g A:→B của những R môđun, tồn tại một đồng cấu h B:→Q
sao cho hg=f, nghĩa là biểu đồ giao hoán 0 A B
Q
Trang 231.6.2 Định lý
Nếu iI
Q=∏Q thì Q là nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội xạ với i∈I
1.6.3 Hệ quả
Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ
1.6.4 Định lý
Đối với môđun QR các điều sau tương đương 1) Q là nội xạ
2) Mỗi đơn cấu ϕ: Q→B là chẻ ra (nghĩa là Imϕ là hạng tử trực tiếp trong B)
3) Đối với mỗi đơn cấu α: A→B,ánh xạ ( ,1 ) :QR( , ) R( , )
Homα Hom B Q →HomA Q là tồn cấu
1.6.5 Định lý (Tiêu chuẩn Baer)
Mơđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi ideal phải U ⊂RR và mỗi đồng cấu f U:→Q đều tồn tại đồng cấu h R: R →Q sao cho hi=f, trong đó i là phép nhúng từ U vào R
Chứng minh :
Điều kiện cần là hiển nhiên
Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ Bước 1:
Xét biểu đồ:
0→ A α→B
Q
Trong đó α là đơn cấu Gỉa thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B sao cho Imα⊂C và tôn tại đồng cấu γ : C→Q sao cho ϕ γα= Ta sẽ khẳng định rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B thực sự chứa C và tồn tại
Trang 24đồng cấu γ1: C1→Q sao cho ϕ γ α= 1 ( và do đó γ1/ C=γ )
Để hứng minh khẳng định này ta lấy b∈B và b∉C và đặt C1= +CbR Nếu C∩bR=0 thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường Nếu C∩bR≠0 thì ta có thể làm như sau Gọi U = ∈{uR bu/∈C} Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ :UC
ubu
ζ→
là một R đồng cấu Đặt ξ λζ= , ξ:U →Q Theo giả thiết tìm được đồng cấu ρ: R→Q sao cho ξ ρ= i nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
U ζ→ C ξ→Q
R
Bây giờ ta định nghĩa γ1: C1→Q bởi quy tắc 1:
( )( )CbRQc brcrγγρ+→++
Tương ứng γ1 là ánh xạ Thật vậy nếu có
'',, ',, 'c br+= +cbrc c ∈Cr r ∈R Thì c c− =' b r( '− ∈ ∩r) CbR Từ đó '(')(')(')( ('))( ')(')( )( )( ')( ')rrUrrrrc cb rrrrrrcrcrγζργγγζργργρ− ∈ ⇒−=−⇒−=−=− =−⇒+=+
Do γ và ρ là những R đồng cấu nên γ1 cũng là R đồng cấu và rõng ràng γ1/ C =γ
Bước 2:
Giả sử C0=Imα và α0 là đẳng cấu của A lên C0 cảm sinh bởi α Đặt
1
00
γ=ϕα− ta có ϕ γ α= 0 Bây giờ ta có thể kéo dài γ0 lên B nhờ bước 1 và bổ đề Zorn Cụ thể giả sử T là tập tất cả các cặp ( , )C γ trong đó C0⊂ ⊂CB và
: CQ
γ→ , γ / C0 =γ0
Tập T ≠ ∅ vì (C0,γ0)∈T Ta đưa vào T quan hệ thứ tự
Trang 251111(1)( , )(,)/(2)CCCCCγγγγ⊂≤⇔ =
Bây giờ giả sử A là một dây chuyền trong T và D= ∪C với ( , )C γ∈A Rõ ràng C0⊂ ⊂DB Hơn nữa giả sử :
( )DQdddγ→ với d∈C, trong đó
( , )C γ∈A Do (2) là đồng cấu mở rộng của γ0 Điều này chứng tỏ ( , )D d là cận trên của A trong T Bởi vậy theo bổ đề Zorn, trong T tồn tại phần tử tối đại và do bước 1 phần tử tối đại này phải bằng ( , )Bψ trong đó ϕ ψα=
Điều này kết thúc phép chứng minh
1.6.6 Bổ đề
Mơđun Dz ( nhóm aben ) là nội xạ khi và chỉ khi nó chia được ( nghĩa là nD=D với mọi số tự nhiên n>0)
Chứng minh :
Điều kiện đủ :
Cho ϕ: D→B là một đơn cấu của hai nhóm aben, trong đó D là nhóm chia được Ta sẽ chứng minh ϕ chẻ ra và do đó D là nội xạ
Do ϕ đơn cấu nên D đẳng cấu với Imϕ Bởi vậy ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc Gọi Γ là tập tất cả các nhóm con U của B sao cho D∩ =U 0 Tập Γ ≠ ∅ do U = ∈Γ0 Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy rằng trong B có phần tử tối đại chẳng hạn V Khi đó D V+ = ⊕DV Bây giờ ta sẽ chứng tỏ B= ⊕DV
Lấy phần tử tùy ý b∈B Xét iđêan I = ∈{xZ bx/∈ +D V} Do Z là vành chính nên I =mZ Hơn nữa I ≠0 vì nếu I =0 thì nhóm con H sinh bởi B thỏa điều kiện H∩(D V+)=0 Từ đó (H+V)∩ =D 0, trái với tính tối đại của V
Giả sử bm=d0+v0 Do D chia được nên tồn tại d'∈D sao cho md'=d0 Khi đó V0= −(b d m') Ta khẳng định rằng D∩(V + −(b d Z') )=0
Trang 26'1
b= − =dvd x∈ + ⇒ =D Vx Bởi vậy x=mx' và do đó
0
(')''
d = + −vb d mx = +v v x Do D∩ =V 0 nên d=0 Từ tính tối đại của V suy ra (b d Z−')⊂ ⇒ − ∈ ⇒ ∈ +Vb d' VbD V Như vậy B= ⊕DV và ta có điều phải chứng minh
Điều kiện cần :
Giả sử Qz là nội xạ và giả sử q∈Q, 0≠ ∈mZ Xét biểu đồ các đồng cấu mZ Z
Q
Trong đó i là phép nhúng chính tắc, cịn ϕ xác định bởi cơng thức
( )mq
ϕ= Do tính nội xạ của Q nên tồn tại đồng cấu ψ : Z →Q sao cho ϕ ψ= i Ta có q=ϕ( )m =ψ( )m =ψ(1 )m =ψ(1)m
Điều này chứng tỏ Q là nhóm chia được
1.6.7 Bổ đề
Nếu D là nhóm aben chia được thì Hom R DZ( ,) là một R môđun phải nội xạ
Chứng minh:
Giả sử α: A→B là một R đồng cấu và ϕ:A→Hom R DZ( ,) là một R đồng cấu tùy ý Xét biểu đồ:
A Hom R DZ( ,) D
B
Trong đó σ là đồng cấu nhóm cho bởi f f(1) Do D là Z môđun nội xạ nên tồn tại Z đồng cấu β: B→D sao cho σϕ βα= Bây giờ ta xác định
:BHom R DZ( ,)
ψ→ bởi công thức: ψ( )( )b r =β(br) , b∈B r.∈R Khi đó đối với phần tử b cố định ta có:
Trang 27( )bHom R DZ( ,)
ψ∈
1111
(br r)( )(br r)( )(b r r)( ( ) )( )b r r
ψ=β=ψ=ψ nghĩa là ψ(br r1)( )=ψ( )b r1 Do đó ψ
là R đồng cấu Hơn nữa ta có
(( ( ) ) )ψ α a r =β α( ( ( ))a r =β α( (ar))=βα(ar)=σϕ(ar)=ϕ(ar)(1)=( ( ) )(1)ϕ a r =ϕ( )( )a r
Do vậy ψα ϕ=
1.6.8 Bổ đề
Mỗi nhóm aben đẳng cấu với nhóm con của nhóm aben chia được
Chứng minh:
Giả sử A là nhóm aben với hệ sinh S ={ui/i∈I} Khi đó ta có đẳng cấu
(1)
:AZ /K.
α Đơn cấu chính tắc (1)(1)
: ZQ
τ→ cảm sinh đơn cấu
(1)(1)
* :Z /KQ /K
τ→ Do Q chia được nên Q(1)
và Q(1)/K cũng chia được Do vậy τ α* là đơn cấu phải tìm
1.6.9 Định lý
Mỗi mơđun MRđều có thể ánh xạ đơn cấu vào một môđun nội xạ
Chứng minh:
Giả sử MR là môđun đã cho Khi đó theo bổ đề 1.6.8 tồn tại Z đơn cấu
: MD
µ→ trong đó D là nhóm aben chia được Ta xác định tương ứng
: Z( ,)
f M →Hom R D sao cho f m r( )( )=µ(mr), m∈M r,∈R
Rõ ràng f là đồng cấu R mơđun Từ tính đơn cấu của µ suy ra tính đơn cấu của f Định lý được chứng minh
1.6.10 Bổ đề
Trang 281.7 Môđun Noether – vành Noether
1.7.1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)
Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt :
12
ii
C C
≠≠
⊂ ⊂
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho
nn 1n 2
iii
C =C + =C + =
(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại
1.7.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:
12
ii
C C
≠≠
⊃ ⊃
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho
nn 1n 2
iii
C =C + =C + =
(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu
1.7.3 Môđun Noether
Định nghĩa: Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải) Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC)
Trang 291.7.4 Vành Noether – vành Artin
Vành Noether:
Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – mơđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng
+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại Vành Artin:
Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – mơđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng
+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu Định lý:
Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải
1.8 Giới hạn trực tiếp 1.8.1 Định nghĩa
Cho { }Aα ,α∈ là mI ột họ các R-môđun với I là một tập định hướng Với mỗi (α β thu, ) ộc I, α ≤ β, gαβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ
Giả sử gαβ thỏa mãn điều kiện:
i Với mỗi α∈I, gαα là đồng cấu đồng nhất ii Nếu có α ≤ β ≤ γ thì gαγ =g gβγ αβ
Trang 301.8.2 Định nghĩa
Cho {A gα, αβ} là một hệ trực tiếp của R-môđun trên I Giới hạn trực tiếp
là limA α và một họ các đồng cấu nhúng (vα:Aα → limAα α∈) I thỏa:
i v gβ αβ = khi α < β vα
ii Với mỗi R-môđun M và với mọi đồng cấu ψα: Aα →M thỏa mãn
g
β αβα
ψ = ψ với α < β, tồn tại duy nhất đồng cấu θ: limA α →M sao cho
vα α
Trang 31Chương 2 BAO NỘI XẠ CỦA MƠĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ
2.1 MỞ RỘNG CỐT YẾU VÀ BAO NỘI XẠ 2.1.1 Định nghĩa
Một R môđun phải E⊇MR được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu mỗi mơđun con khác khơng của E đều có giao không tầm thường với M
Mở rộng cốt yếu E⊇M được gọi là tối đại nếu không có mở rộng thật sự nào của E là mở rộng cốt yếu của M
Nếu E ⊇M là mở rộng cốt yếu thì ta cũng có thể nói M là mơđun con cốt yếu (lớn) của E và viết M ⊆eE
Kí hiệu mơđun con lớn là đối ngẫu của môđun con nhỏ Một môđun con
S⊆E gọi là nhỏ ( viết là S ⊆sE) nếu bất kì mơđun con N ⊆E , S+N=E suy ra N=E
Chú ý :
1) M ⊆eE nếu với mọi a≠0 thuộc E tồn tại r∈R sao cho ar≠0 và
ar∈M Điều này cần thiết cho việc chứng minh Nó cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra M ⊆eE.Ở đây ta kiểm tra tính cốt yếu bằng tiêu chuẩn này
2) Tính bắc cầu : Nếu M ⊆eE và E⊆eE' thì M ⊆eE'.Tính bắc cầu rất cần thiết trong việc chứng minh tính cốt yếu
Khái niệm mở rộng cốt yếu dẫn đến một khái niệm mới của tính nội xạ
2.1.2 Bổ đề
Một mơđun MR là nội xạ nếu và chỉ nếu nó khơng có mở rộng cốt yếu nào
Chứng minh:
Trang 32E⊃M và E≠M theo 1.6.4 ta có E=M⊕N với mơđun con N ≠0 nào đó Do 0
N∩M = nên E⊇M không là mở rộng cốt yếu Ngược lại, giả sử rằng M khơng có mở rộng cốt yếu và nhúng M vào một môđun nội xạ IR Theo bổ đề Zorn tồn tại một môđun con S ⊆I tối đại với giả thiết rằng S∩M =0 Do đó, xét mơđun thương I S/ , bất kì mơđun con khác 0 S S'/ trở thành ảnh của môđun M không tầm thường, cho nên im M()⊆eI S/ Theo giả thiết ta có
()/
im M =I S Điều này nghĩa là I =M ⊕S cho nên M là môđun nội xạ (theo 1.6.2)
2.1.3 Bổ đề
Bất kì một mơđun MR nào cũng có mở rộng cốt yếu tối đại
Chứng minh:
Xét môđun nội xạ I ⊇M và xét họ bất kì các mở rộng cốt yếu của M trong I mà sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm Theo chú ý (1) của định nghĩa 2.1.1 thì ta dễ dàng thấy rằng hợp của họ trên cũng cốt yếu trên M Theo bổ đề Zorn, ta có thể tìm được một môđun con E tối đại với M ⊆eE⊆I Chúng ta có E là mở rộng cốt yếu tối đại của M Thật vậy, nếu điều này sai, ta có thể tìm được E⊂E' sao cho M ⊆eE' ( Chú ý E’ chỉ là R mơđun và nó có thể khơng nằm trong I ) Do tính nội xạ của I thì E⊆I có thể mở rộng đến xạ
:'
g E →I Dễ dàng thấy rằng (ker )g ∩M =0 do đó M ⊆eE' và từ đó kerg=0.Chúng ta có thể biết E’ thông qua g(E’) Nhưng M ⊆eE' mâu thuẫn với tính tối đại của E
Bây giờ chúng ta sẽ đến với các kết quả của Eckmann-
Sch o pf và Bayer
2.1.4 Định lý
Với mỗi mơđun M ⊆ I thì các điều sau tương đương 1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M
Trang 333) I là môđun nội xạ tối tiểu trên M
Chứng minh:
(1)⇒(2) Theo tính chất bắc cầu trong chú ý (2) của định nghĩa 2.1.1 , từ (1) cho ta I không có mở rộng cốt yếu nào Do đó, I là nội xạ theo bổ đề 2.1.2
(2)⇒(3) Đặt I’ là môđun nội xạ sao cho M ⊆ ⊆I' I Theo 1.6.4 I = ⊕I' N
với mọi môđun con N ⊆I Từ N∩M =0 ta có N=0 cho nên I’=I (do M ⊆eI)
(3)⇒(1) Giả sử I nội xạ tối tiểu trên M Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 cho ta một môđun con E⊆I mà là cốt yếu tối đại trên M Sử dụng
(1)⇒(2) ta thấy rằng E là nội xạ và do đó E=I
2.1.5 Định nghĩa
Nếu môđun M thỏa một trong ba mệnh đề tương đương của định lý 2.1.4 thì chúng ta nói rằng I là bao nội xạ của M Như vậy theo bổ đề 2.1.3 thì bất kì mơđun nào cũng có bao nội xạ
2.1.6 Hệ quả
Bất kì hai bao nội xạ I,I’ của M đều đẳng cấu với nhau trên M.Điều đó có nghĩa là tồn tại một đẳng cấu g I:→I' là đồng cấu đồng nhất trên M.Tuy nhiên, đẳng cấu này là khơng duy nhất
Chứng minh:
Do tính nội xạ của I, ta có thể tìm thấy xạ g I: '→I mở rộng đến xạ bao hàm M →I Theo phần chứng minh của bổ đề 2.1.3 ta có kerg =0 từ đó
'
e
M ⊆ I Do đó g I( ') là môđun con nội xạ của I chứa M.Bây giờ do (2.1.4)(3) cho ta g I( ')=I và do đó g I: '→I là đồng cấu cần tìm
Kể từ đây ta viết E(M) là bao nội xạ của M
2.1.7 Hệ quả
1) Nếu I là môđun nội xạ mà chứa M thì I chứa trong nó một bản sao của E(M)
Trang 34ra E(M)=E(N)
Bao nội xạ của M là môđun nội xạ I mà có đồng cấu M →I mà ảnh của nó là “lớn” Bao xạ ảnh của M là mơđun xạ ảnh P mà có tồn cấu P→M mà hạt nhân của nó là “nhỏ” Chúng ta đã thấy được rằng bao nội xạ của mơđun thì ln tồn tại Tuy nhiên chúng ta thấy rằng bao xạ ảnh của môđun chỉ tồn tại trên một lớp vành đặc biệt
Thông qua khái niệm về bao nội xạ của môđun, chúng ta đã biết được bao nội xạ của môđun là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu Bao nội xạ đóng vai trị quan trọng trong đại số hiện đại Nó có nhiều ứng dụng trong nghành đại số nói chung và đặc biệt trong đại số giao hốn nói riêng Để thấy rõ hơn về bao nội xạ của mơđun cũng như biết được một cách chính xác bao nội xạ của mơđun có hình ảnh cụ thể như thế nào trong từng lớp vành cụ thể, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu hơn về bao nội xạ thơng qua một số ví dụ cụ thể Trong từng trường hợp cụ thể ta sẽ đi tính xem bao nội xạ của mơđun trên lớp vành ấy là gì Qua đó chúng ta sẽ thấy được những hình ảnh cụ thể về bao nội xạ của môđun Sau đây là một số ví dụ về bao nội xạ của mơđun
2.2 Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Mơđun 2.2.1 Ví dụ
Cho mơđun M ⊆ =IE M() và cho N là môđun bất kì sao cho N ⊆eM
hoặc M ⊆N ⊆I Khi đó E N( )=E M() (Điều này suy ra từ hệ quả (2.1.7) (2)) Ví dụ 1 cho ta thấy nếu như M ⊆E M() thì nếu có mơđun N nào là mơđun cốt yếu của M thì bao nội xạ của nó chính chính là bao nội xạ của M
2.2.2 Ví dụ
Trang 35không xoắn MR Từ đó với bất kì tập con nhân S =R\ {0}, ta có
1
R
M ⊗ K =S M− ⊇M ,và dễ dàng thấy được đó là mở rộng cốt yếu Bây giờ,
R
M ⊗ K là K- không gian vectơ và cũng theo 1.6.9 thì nó là nội xạ như là R mơđun Từ điều này và những gì chúng ta có ở trên ta có thể suy ra được rằng
1
() R
E M =M⊗ K =S M−
Qua ví dụ này ta thấy được rằng nếu R là miền ngun giao hốn với trường các thương K thì ta có E(R) = K và 1
() R
E M =M ⊗ K =S M−
2.2.3 Ví dụ
Mệnh đề (*): Một Z môđun là nội xạ nếu và chỉ nếu nó chia được Bất
kì Z mơđun nào cũng đều được nhúng vào một Z môđun nội xạ
Trong trường hợp R=Z, E(M) được biết như là “bao nội xạ chia được” của nhóm aben M Đặt Cn là nhóm cyclic cấp n, với số nguyên tố p đặt Cp∞hợp của các nhóm dây chuyền tăng
23
ppp
C ⊂C ⊂C ⊂
Từ đó Cp∞ là p chia được và do đó nó chia được ( nó đẳng cấu với p thành phần nguyên sơ của / ) Theo mệnh đề (*) Cp∞là Z- nội xạ và theo chú ý (1) của (2.1.1) Cp∞ là cốt yếu trên các Cpi(i≥1) Do đó E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1
Qua ví dụ này ta thấy được E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1 Như vậy ta có thể tính được bao nội xạ của tất cả các nhóm cyclic cấp i
Trang 362.2.4 Ví dụ
Cũng nói về các nhóm cyclic ta sẽ tìm tìm hiểu về bao nội xạ của tổng trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p
Trên bất kì vành R, nếu Mj ⊆Ej với mọi j∈J thì ⊕Mj ⊆ ⊕eEj nếu và chỉ nếu Mj ⊆eEjvới mọi j Chiều ngược là hiển nhiên Chiều thuận ta chỉ kiểm tra trong trường hợp tổng trực tiếp hữu hạn.(theo chú ý 1 của 2.1.1).Đặt
{1, 2, }
J = n và sử dụng tính bắc cầu ta chỉ cần kiểm tra rằng :
12 ne 12 n
M ⊕E ⊕ ⊕E ⊆ E ⊕E ⊕ ⊕E khi đó M1⊆eE1
Trường hợp này được kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng lại (theo chú ý 1 của 2.1.1) Bây giờ giả sử rằng tất cả các Ej là nội xạ Nếu J < ∞ thì theo 1.6.2 ⊕j J∈ Ej cũng là nội xạ cho nên ta có : ( j)( j)
j Jj J
EME M
∈∈
⊕= ⊕(J < ∞) Đặc biệt R= thì tất cả các Ej đều là nhóm aben chia được ⊕j J∈ Ej
cũng chia được với mỗi tập con J Do đó ( j)( j)
j Jj J
EME M
∈∈
⊕= ⊕ đã trở thành Z- môđun mà không cần bất cứ giả thiết nào trên J Đặc biệt nếu ta lấy J là tập tất cả các số nguyên tố và Mp =Cp với mỗi p∈J thì điều này cho ta
235 2 3 5
( )
E C ⊕C ⊕C ⊕=C∞⊕C∞⊕C∞⊕
Qua ví dụ này ta có được kết quả E C(2⊕C3⊕C5⊕ )=C2∞⊕C3∞⊕C5∞⊕ Như vậy bao nội xạ của tổng trực tiếp các nhóm cyclic cấp p chính bằng tổng trực tiếp của các bao nội xạ của chúng
2.2.5 Ví dụ
Cho R là một đại số hữu hạn chiều trên trường k Chúng ta có
^
( , )
k
R=Hom R k xem như R môđun phải và theo 1.6.10 là nôi xạ.Chúng ta sẽ
chứng minh rằng ^
R chính là bao nội xạ của R mơđun phải R/radR, tại đó rad R là radical Jacobson của R Để thấy được điều này ta đặt S là tổng trực tiếp của tất cả các R môđun con đơn của ^
Trang 37nào mà chứa một môđun con đơn chúng ta có S⊆eR Do đó ^
( )
E S =R Điều này cần thiết để thấy đẳng cấu của S là R mơđun phải.Ta có :
^^^{: 0}(: ()0}( /)SfR f radRSfR f radRR radR=∈==∈=≅
Qua ví dụ này ta thấy được với R là đại số hữu hạn trên trường k, S là tổng trựctiếp của tất cả các R môđun con đơn của ^
R với ^( , )kR=Hom R k thì ^( )E S =R
Trước khi đưa thêm một số ví dụ về bao nội xạ của mơđun ta hãy tìm hiểu một phương pháp khác để kiểm tra tính nội xạ của môđun
2.2.6 Bổ đề
Cho R là vành con của vành S và B là một tập con khác rỗng của R sao cho S B.⊆R Giả sử IS là một S mơđun phải trên chính nó thì trên B có linh hóa tử ( nghĩa là với mọi i∈B mà i B.= ⇒ =0 i 0) Nếu I là nội xạ như là một S mơđun thì I cũng nội xạ như R mơđun
Chứng minh:
Ta biết rằng với mỗi ideal J ⊆R và f ∈Hom J IR( , ) có thể được mở rộng đến g∈Hom J S IS( , ) và g có thể mở rộng đến S bởi tính nội xạ của IS Chúng ta xây dựng g như sau :
( i i)( )ii
g ∑a s =∑ f a s (ai∈J s, i∈S)
Để chứng minh định nghĩa trên là tốt ta giả sử ∑a si i =0 Với mọi b∈B
ta có s bi.∈S B.⊆R cho nên từ ∑a s bi i =0 ta có ∑ f a( )(is bi )=0 Điều này nghĩa là ∑ f a s( )ii∈I là không đúng bởi mỗi b∈B cho nên theo giả thiết
( )ii 0
f a s =
Trang 382.2.7 Ví dụ
Nói về vành các ma trận ta sẽ đi tìm hiểu về bao nội xạ của mơđun trên vành các ma trận Qua ví dụ này ta sẽ biết được cách tính bao nội xạ của một ma trận cụ thể
Cho S =M kn( ) , tại đó k là vành nửa đơn, đặt B là ideal trái của S chứa tất cả ma trận với chỉ cột thứ n có thể khác 0 Từ đó linh hóa tử trái của B trong S là 0, từ đó một ma trận khác 0 khơng thể có linh hóa tử trái trên mỗi cột vectơ Và dĩ nhiên ta có S B.=B Do đó ta có thể áp dụng (2.2.6) với I =SS
và R là vành con bất kì chứa B Chú ý rằng S là một vành nửa đơn mà tất cả S mơđun phải đặc biệt là SS đều nội xạ.Ngồi ra, ∀ ∈sS s B: = ⇒ =0 s 0 ta có thể suy ra được rằng RR ⊆eSR (theo chú ý 1 của 2.1.1) Từ đó áp dụng (2.2.6) ta có thể kết luận rằng E R( R)=SR Từ kết luận này ta có thể giả sử rằng vành con R chứa B Hơn nữa R có thể không chứa k, và vành con của tất cả ma trận chéo Sau đây là một số ví dụ cụ thể về R :
(1) R= vành con của tất cả ma trận tam giác trên n n× trên k
(2) R= vành con của tất cả các ma trận hệ số khác 0 trên đường chéo chính và trên cột thứ n
(3) R= vành con của vành (2) mà chứa các ma trận với đường chéo bất định (4) (n=3) R chứa tất cả các ma trận (aij ) với a31=a32=0 (5) (n=3) R chứa tất cả các ma trận (aij ) với a12=a31=a32=0 (6) (n=3) 000R= với k = hoặc 000R= với k=
Trang 391
Sn
S =E ⊕ ⊕E , RR = ⊕ ⊕P1 Pn
Tại đó Ei là S ideal phải chứa các ma trận với hệ số khác 0 chỉ trên dòng thứ i và Pi =Ei∩R ( trong đó Pi có đường chéo chính khơn phân tích được thành R mơđun phải Từ R⊆eS ta có Pi ⊆eEi với mọi i theo (2.2.4) Cũng từ
R
S là nội xạ và (E Ri) là nội xạ ta có E P( )i =Ei với mọi i Từ đó tất cả các Ei
đều đẳng cấu với nhau trên S môđun và cũng đẳng cấu trên R môđun Do đó tất cả các Pi có cùng bao nội xạ là điều hiển nhiên.Từ đó, mỗi Pi đều đẳng cấu với mở rộng cốt yếu R môđun con của P1 ( Nghĩa là P1=E1 là xạ ảnh và nội xạ trên mR và trên mS)
Trong ví dụ trên ta có E(RR)=S Từ đó ta có thể áp dụng môđun trái (2.2.6) bằng cách chọn B là ideal phải của S chứa ma trận với hệ số khác 0 trên dịng đầu tiên
Các vị trí thì khác nhau tuy nhiên với vành con trong ví dụ (2.2.7)(2) Để tránh nhầm lẫn ta hãy đổi tên vành này thành vành T Khi ta có E T( T)=S
theo (2.2.7) chúng ta khơng thể có E T( T)=Svới n≥3 Thật vậy ma trận đơn vị
12
E ∈S chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng T E.12∩ =T (0) cho nên S ⊇TT không là mở rộng cốt yếu
2.2.8 Ví dụ (Osofsky)
Trong (2.2.2) ta thấy rằng với miền giao hoán R, E R( R) là trường các thương của R Trong (2.2.7) chúng ta đã xem xét cấu trúc của các ví dụ về vành R mà ứng với mỗi ER có từ M kn( ) Đặt biệt E R( R) có cấu trúc vành tương thích với cấu trúc của R môđun trên E R( R) Tuy nhiên ví dụ của Osofsky cho thấy rằng ER khơng có cấu trúc của vành
Cho A là vành Z / 4Z, µ=2 A và cho R l ô vnh tam giỏc ằ
0AAà ca
Trang 40trúc vành giao hoán với cấu trúc R môđun phải trên E.(Đặt biệt R≠E R( R) Ngồi ra, ta đặt ideal 0 0
0
I
µ
=
Xem I là ideal phải của R ta có thể tìm thấy một bản sao của E I( )⊇I bên ngoài E Do đó tồn tại x∈E I( ) thỏa phương trình 0200.0002x =
Từ đó E(I) chia được, và ta dễ dàng kiểm tra được rằng đơn vị phải của
02
00
thì được chứa trong 0 0
02
Tương tự ta có thể kiểm tra rằng tồn tại y∈E sao cho
02.200y = Chúng ta cần thấy rằng . 2 0 000x= Nếu giả sử . 2 0 000x≠ thì từ ( )eI ⊆ E I , . 2 0 000xRI∩ ≠ nhưng 20202.: , ,0000020:00200,00abxRxa b cAcaxaAx= ∈ = ∈ = Từ đó ta có . 2 0 0 00002x =
( chỉ khác không ở I) Thực hiện phép nhân bên phải bởi 1 0
00 dẫn đến . 2 0 000x=
và ngược lại Nếu E có cấu trúc vành giao hốn với cấu trúc R mơđun phải, nó sẽ dẫn đến kết quả sau :